ISKAZNA ALGEBRA

Prof. dr Esad Jakupović

3.1. DEFINICIJA ISKAZNE ALGEBREU skupu B ={0, 1} (o kome je bilo riječi u odeljku 1.1.) definišemo unarnu operaciju i binarne operacije pomoću sledeće tablice:

Ove operacije redom nazivamo: negacija, disjunkcija, konjunkcija, implikacija, ekvivalencija i ekskluzivna disjunkcija. Na primjer, važe jednakosti: itd.Definicija 1. Uređen par (B, F), gde je B={0, 1} i F={ }, naziva se iskazna algebra. Drugim riječima, skup B snabdjeven operacijama naziva se iskazna algebra.

1 0,1 0 1,1 1

, , , ,

, , , ,

Iskazna algebra je konstruisana tako da odražava odnose vrijednosti istini tosti složenih rečenica sa vrijednostima istinitosti dijelova od kojih je ona sastavljena. Ako * označava jednu binarnu operaciju iskazne algebre, odnosno odgovarajuću operaciju sa rečenicama, važi relacija

gdje su P i Q rečenice a τ R vrednost istinitosti rečenice R, što se neposredno provjerava na osnovu definicije operacija. Takođe za unarnu operaciju (negaciju) važi Primjetimo da je u relaciji (1), simbol * upotrebljen u dva različita smisla. Označimo odgovarajućim malim latinskim slovom vrijednost istinitosti jednog suda koji je označen velikim latinskim slovom, tj. neka je, na primer, Τ P=p. Vrijednost istinitosti, recimo, konjunkcije P Q je jednaka p q. Na sličan način, i za složenije rečenice vrijednost istinitosti dobijamo ako veliko slovo u zapisu rečenice zamjenimo odgovarajućim malim slovom. Na primjer, vrijednost istinitosti rečenice

,P Q P Q

.P P

je .P Q R p q r

3.2. ISKAZNE FORMULE, TAUTOLOGIJADefinisaćemo simbole i formule iskazne algebre.U simbole iskazne algebre spadaju iskazna slova, simboli operacija ( ) i zagrade (»otvorena« zagrada (i »zatvorena« zagrada) . Iskazna slova su izvjesni dogovorom usvojeni simboli: p,q,r,p1,q1,r1 .. .Izvjesne nizove sastavljene od iskaznih slova, operacijskih simbola i zagrada nazivamo iskaznim formulama.Definicija 1. 10 Iskazna slova su iskazne formule 2° Ako su nizovi simbola A i B iskazne formule, tada su iskazne formule i A, (A B), (A B), (A B), (A B), (A B), 3° Iskazne formule mogu se obrazovati jedino pomoću konačnog broja primjena odredbi 1° / 2°.Primjer 1. Iskazne formule su, na primjer, sledeći nizovi simbola iskazne algebre:p, q, (p q), (( p q) ).Iskazne formule se mogu interpretirati na više načina.

, , , , ,

r q

Definicija 2. Iskazna formula, koja za sve vrijednosti svojih iskaznih slova ima vrijednost 1, naziva se tautologija.Ako je formula A tautologija, piše se A a ovaj simbol se čita: A je tautologija.Provjeravanje da li je izvesna formula tautologija vrši se sistematskim izraču navanjem vrijednosti formule za sve mogućne vrijednosti iskaznih slova.U složenim formulama postupno se izračunavaju vrijednosti pojedinih podformula. Izračunavanja se izvode i pregledno predstavljaju u tabelama koje su poznate kao tablice istini tosti (vidjeti sledeći primjer).Primer 2. Ispitati da li je sledeća formula tautologijaOdgovarajuća tablica istinitosti ima sledeći oblik:

.p q r p q p r

Primjer 3. Ispitati da li je sledeća formula tautologija (1)

Ako (1) nije tautologija postoje vrijednosti iskaznih slova za koje (1) ima vrijednost 0. Tada jelz druge od ovih relacija se dobijašto zamjenom u prvu relaciju dovodi do kontradikcije:Dakle, (1) je tautologija.Tautologije se ponekad mogu verifikovati korišćenjem matematičke indukcije.

Primjer 4. Dokazati da je sledeća formula tautologija (2)

Za n=1 (2) se svodi na (p1 p) (p1 p) i to je očigledno tautologija.Pretpostavimo da je (2) tautologija za neko n i dokažimo da je

(3)takođe tautologija.

.p q r p q p r

1 i 0.p q r p q p r

1 i 0, tj. 1, 0 i 1,p q p r p r q

1 1 0 1, tj. 0 1.

1 2 1 2... ... )...)n np p p p p p p p

1 2 1 1 2 1... ...)n n np p p p p p p p p

Za pn+1 = l lijeva strana ekvivalencije (3) ima istu vrijednost kao lijeva strana ekvivalencije (2). Na desnoj strani je Pn+1 +1 p=p (jer je pn+1 = l) pa se i desna strana od (3) svodi na desnu stranu od (2). Postoje (2) po induktivnoj pretpostavci tautologija, (3) ima vrijednost 1.Ako je pak pn+1=0, direktnim izračunavanjem se dobija da je vrijednost obe pod formule, na lijevoj i desnoj strani ekvivalencije (3), jednaka 1 pa (3) ima opet vrijednost i.Dakle, (3) je tautologija. Ako se iskazna slova u tautologiji interpretiraju kao sudovi onda tautologija predstavlja složeni sud koji je istinit bez obzira na vrijednost istinitosti sudova od kojih je obrazovan. Dakle, tautologije predstavljaju model za obrazovanje uvek istinitih sudova.U stvari, tautologije opisuju zakone pravilnog formalnog zaključi vanja.Bez teškoća se proverava da su, na primer, sledeće formule tautologije (uz tautologije su navedena i njihova imena):

1. zakon isključenja trećeg2. zakon neprotivrečnosti3. zakon dvojne negacije4. zakon tranzitivnosti za implikaciju5. zakon kontrapozicije6. zakon tranzitivnosti za ekvivalenciju7. zakon idempotencije za disjunkciju8. zakon idempotencije za konjunkciju9. zakon komutativnosti za disjunkciju10. zakon komutativnosti za konjunkciju11. zakon asocijativnosti za disjunkciju12. zakon asocijativno za konjunkciju13. zakon apsorptivnosti disjunkcije prema

konjunkciji14. zakon apsorptivnosti konjunkcije prema disjunkciji15. zakon distributivnosti disjunkcije prema

konjunkciji16. zakon distributivnosti konjunkcije prema

disjunkciji17. De Morganov –zakon18. De Morganov zakon

p p

p p p p

p q q r p r

p q q p p q q r p r

p p p

p p p

p q q p p q q p

p q r p q r p q r p q r

p p q p

p p q p p q r p q p r

p q r p q p r

p q p q p q p q

Teorema 1. Formula , gde su A i B formule, je tautologija ako i samo ako je A=B. Na osnovu ove teoreme, na primjer, tautologije 7, 10, 12 iz napred navedene tabele možemo interpretirati redom na sledeći način:

U ovom obliku tautologije izražavaju osobine operacija iskazne algebre (idempotentnost disjunkcije, komutativnost konjunkcije, asocijativnosl konjunkcije).Naprijed navedeni nazivi tautologija (zakon asocijativnosti za konjunkciju, itd.) odnose se kako na osobine operacija u iskaznoj algebri tako i na osobine odgovarajućih operacija nad rečenicama.

A B

, , .p p p p q q p p q r p q r

Iskazna slova interpretiramo kao tzv. normalno otvorene prekidače (si. 2 a), a negacije iskaznih slova kao tzv. normalno zatvorene pre kidače (si. 2 b). Ako iskazno slovo p ima vrijednost 1, smatra se da se prekidač na sl. 2 a zat vara, tj. da provodi struju, a da je za p=0 otvoren. Nasuprot tome, normalno zatvoren prekidač se otvara za p=1 a ostaje zatvoren p=0.

Sl.2

3.3. IZVOĐENJE ZAKLJUČAKAAparat iskazne algebre omogućava da se formalnim putem iz datih premisa izvode zaključci. S tim u vezi uvodimo sledeću definiciju:Definicija 1. Formula F je posljedica skupa formula F={F1, F2, .... Fn} ako F ima vrijednost 1 za sve vrijednosti iskaznih slova za koje svaka od formula iz F ima vrijednost 1.Ovako definisana posledica naziva se i semantička posledica. Ako je F posljedica skupa formula F piše se F^ ili F1, F2, . . . , Fn F. Formule iz F zovu se hipoteze.

Primjer . Formule p i p q imaju vrijednost 1 samo ako je p =1 i q=1.Prema definiciji 1 to znači p, p q'~q. Ako ove formule interpretiramo kao rečenice zamenjujući p rečenicom P i q rečenicom Q dobijamo P, P Q\zQ što treba shvatiti na sledeći način: Iz pretpostavke da je tačno P i da je tačno da P Q zaključujemo da je tačno Q. U ovome prepoznajemo svakodnevni (ispravan) način zaključivanja koji se naziva modus ponens.

Primjer 2. Provjeriti ispravnost sleđećeg zaključivanja:Ako su cijene visoke, visoke su i zarade. Cijene su ili visoke ili su kontrolisane. Ako se kontrolišu cijene, izbjegava se inflacija. Međutim, inflacija postoji.Dakle, zarade su visoke.Ako se za pojedine rečenice uvedu sledeće oznake:

P — »cijene su visoke«,Q — »zarade su visoke«,R — »cijene se kontrolišu«,S — »postoji inflacija«,

 gornje rečenice se mogu redom predstaviti pomoću P Q,,P R, R S, S, Q. Dakle, treba provjeriti:što se može učiniti formalno ali nam je potrebna tablica istinitosti sa 4 iskazna slova p, q, r, s.

, , ,p q p r r s s q

Teorema 1. Ako su F1, F2, . . . , Fn , F formule iskazne algebre, važi

Napomena. Izraz »ako i samo ako« obilježen je ovdje izuzetno znakom umjesto .

Dokaz. Ako F1, F2, ... , Fn F onda F ima vrijednost 1 kad god F1, F2,. . ., Fn imaju vrijednost 1. U ovom slučaju ima vrijednost 1.

No ova formula ima vrijednost 1 i u ostalim slučajevima, tj. kada bar jedna od formula F1, F2,..., Fn ima vrijednost 0.

Stoga je tautologija.

1 2 1 2, ,..., ... .n nF F F F F F F F

1 2 ... nF F F F

1 2 ... nF F F F

Posmatrajmo formulu iskazne algebrekoja sadrži iskazna slova p1, p2, ... , pn. Za svaku vrijednost uređene n-torke (p1, p2,...pn) (naravno, svako iskazno slovo može da dobije vrijednost 0 ili 1) formula F dobija vrijednost 0 ili I. Dakle, formula F definiše jednu funkciju skupa Bn u skup B, tj. . Ovakve funkcije nazivaju se Booleove funkcije.Pregled Booleovih funkcija sa jednom i sa dve promjenljive je dat u sledećim tabelama:

α3 predstavlja negaciju, dok β2, β8, β5, β7, β10 predstavljaju redom disjunkciju, konjunkciju, implikaciju, ekvivalenciju i ekskluzivnu disjunkciju.

3.4. BOOLEOVE FUNKCIJE 1 2, ,..., nF F p p p

: nF B B

Teorema 1. Za proizvoljnu Booleovu funkciju važi formula

Dokaz. Konjunkcija je jednaka 1 ako i samo ako je Za zadato samo će jedna od ovakvih konjunkcija biti jednaka 1 te neposredno proizlazi da je desna strana formule (1) jednaka , što je i trebalo dokazati.

Primjer 1. Savršena disjunktivna normalna forma Booleove funkcije zadate pomoću navedene tablice glasi

Analogno teoremi 1 dokazuje se i sledeća teorema.

1 21 2 1 2 1 2, ,..., , ,... ... .n

n

e e en n n

e b

f p p p f e e e p p p

1 2

1 2 ... ne e enp p p 1 2

1 2 ... ne e enp p p

1 2, ,..., np p p 1 2, ,..., nf p p p

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, ,f p p p p p p

p p p p p p

p p p p p p

Teorema 2. Za proizvoljnu Booleovu funkciju važi formula

(3)

Ako je E skup svih n-torki takvih da je formuli (3) se može dati oblik

(4)

Desna strana formule (4) se naziva savršena konjunktivna normalna forma Booleove funkcije f.

Primjer 2. Savršena konjunktivna normalna forma funkcije iz primjera 1 glasi

Prekidačke mreže koje odgovaraju savršenoj disjunktivnoj i konjunktivnoj normalnoj formi lako se konstruišu na osnovu ranije izloženih principa.

1 2, ,..., nf p p p

1 21 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., ... n

n

e e en n n

e Bf p p p f e e e p p p

1 2, ,..., ne e e 1 2, ,..., 0nf e e e

1 21 2 1 2, ,..., ... ne e e

n ne Ef p p p p p p

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,f p p p p p p p p p p p p

Mreže koje odgovaraju formama iz primjera 1 i 2 prikazane su na sl. 1.

U ovom odjeljku uvodimo još jednu korisnu definiciju.

Definicija 1. Ako je Booleova funkcija, tada se Booleova funkcija

Naziva dualna funkcija funkcije

Primjer 3. Primjenimo ovaj postupak na konjunkcijuDobili smo tablicu za disjunkciju.Dakle

Za negaciju imamoDakle , tj. negacija je samodualna operacija.

1 2, ,..., nf p p p

1 2 1 2* , ,..., , ,...,n nf p p p f p p p

1 2, ,..., nf p p p

*

*

Posmatrajmo skup M unarnih i binarnih logičkih operacija (operacija skupa B) Neke od ovih operacija se mogu izraziti pomoću drugih operacija. Na primer, na osnovu De Morganovih formula (vidjeti spisak tautologija iz odjeljka 3.2) konjunkcija se može izraziti pomoću disjunkcije i negacije a disjunkcija pomoću konjunkcije i negacije:

Definicija 1. Podskup U skupa M naziva se. baza iskazne algebre ako se pomoću ope racija iz U mogu izraziti sve operacije iz skupa M i ako to svojstvo nema nijedan pravi podskup od U.Savršene normalne forme Booleovih funkcija pokazuju da se sve operacije iz skupa M mogu izraziti pomoću konjunkcije, disjunkcije i negacije.Kako se na osnovu formula (1) konjunkcija ili disjunkcija mogu eliminisati, zaključujemo da se pomcću elemenata svakog od skupova { },{ , V}, mogu izraziti svih 20 operacija iz skupa M.Dalja eliminacija operacija je nemoguća pa su navedeni dvoelcmentni skupovi primjeri baze iskazne algebre.

3.5. BAZE ISKAZNE ALGEBRE

1 2 3 4 1 2 16, , , , , ,..., .M

,p q p q p q p q

,

Baza je takođe i skup { } jer se, na primjer, disjunkcija u ovoj bazi može predstaviti pomoćuPostoje i dve jednočlane baze. Njih obrazuju operacije .Operacija se naziva Lukasiewiczeva operacija (ili Pirsova operacija) i obilježava se sa . Ova operacija predstavlja negaciju disjunkcije, tj. .Operacija se označava simbolom i naziva se Shefferova operacija. Važi formula , tj. ova operacija je negacija konjunkcije.Cayleyjeve tablice ovih operacija glase

Da bi dokazali da je skup { } baza iskazne algebre dovoljno je da dokažemo da se pomoću mogu izraziti i V , jer se na osnovu ranijeg izlaganja sve operacije mogu izraziti pomoću i V. Neposredno se dobija

, p q p q

15 9 i

15

p q p q

9 p q p q

p p p p p

p q p q p q p q

Na sličan način se za Shefferovu operaciju dobija

čime se dokazuje da je { } baza, jer je i { } baza, Lukasiewieczeva i Shefferova operacija su međusobno dualne.

Sistematskim ispitivanjem je utvrđeno da postoji ukupno 46 baza iskazne algebre.

Baze sa dve binarne operacije mogu se pregledno predstaviti grafom na sl.1.Čvorovi i i j tog grafa su povezani granom ako i samo ako je { } baza.

Na kraju poglavlja spominjemo i tzv. problem minimizacije Bookovih funkcija.

,

,

p p p p p

p q p q p q p q

,

,i j