Algebra 5º

7/21/2019 Algebra 5º

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Cap ít u l o Pág .

1. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 37

2. Exponentes I ................................................................................................................... 45

3. Exponentes II .................................................................................................................. 51

4. Productos notables ........................................................................................................... 55

5. Factorización I ................................................................................................................. 61

6. Factorización II ................................................................................................................ 69

7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 75

8. Repaso ........................................................................................................................... 81

ÍNDICE



37Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEc uac iones de pr im er grado

Capít ulo I

Resolución de ecuaciones

Los problemas de ecuaciones no se consideran, por lo común, difíciles: de esto testimonia el hecho de que la mayoríade los estudiantes (según su opinión) cumplen esta tarea. Al mismo tiempo, muchos problemas encierran en sí dificultades y los estudiantes cometen graves errores.

Tal situación parece extraña, aunque sólo a primera vista. Para muchos graduados de la escuela secundaria hay unadistancia enorme entre los hábitos de cálculo práctico obtenidos y la comprensión consciente de los fundamentosteóricos lógicos, sin los cuales es imposible resolver acertadamente una ecuación (quizás por casualidad, pero contarcon esto sería, desde luego, absurdo).

Esto se manifiesta durante las resoluciones: la mayoría de los estudiantes pueden simplificar una ecuación con ayudade cálculos infalibles, pero no cada uno puede percibir cómo y por qué estos cálculos conducen a la pérdida o la

adquisición de las raíces, y muchos hasta no reflexionan en esto. Otros, aunque conocen bien las tesis teóricasrespectivas, empero las conocen formalmente, como una instrucción, expresan una incapacidad absoluta en unasituación un poco variada.

Digamos que los escolares saben bien que al elevar ambos miembros de una ecuación irracional al cuadrado puedenaparecer raíces extrañas. ¡Pero, cuántas veces se puede ver cuando la elevación al cuadrado se aplica a una ecuacióntrigonométrica sin omisión siguiente de las raíces extrañas! Aunque no es difícil evitar este error sabiendo por qué laelevación al cuadrado da origen a la aparición de raíces extrañas. Veamos, el problema referente a la comprobación.Entre los estudiantes existen dos opiniones del todo opuestas. Unos consideran que la comprobación es un capricho delos profesores a que debe obedecerse a la fuerza, otros piensan que la comprobación es siempre obligatoria y compruebantodo, incluso las raíces de la ecuación de segundo grado. Estas opiniones se basan en la incomprensión absoluta de lacomprobación, del lugar que ésta debe ocupar durante la resolución.

En pocas palabras, cada cual tiene que poseer aquel mínimo de conocimientos teóricos que se requieren para laresolución de ecuaciones. Nos detendremos brevemente en este mínimo.

¿Y cómo se aplican los conceptos introducidos durante la resolución de las ecuaciones? El hecho es que en la mayoríaaplastante de los casos la solución resulta sólo después de una serie de transformaciones y pasos de una ecuación aotra. De tal modo, durante la resolución, cada ecuación se sustituye una por otra nueva, y la nueva ecuación puedetener, naturalmente, nuevas raíces. El problema de la resolución correcta de las ecuaciones consiste precisamente enseguir esta variación de las raíces, no perderlas y saber omitir las extrañas.

Está claro que el mejor procedimiento es el de sustituir cada vez la ecuación siguiente por una equivalente a ésta;entonces, las raíces de la última ecuación serán raíces de la inicial. Sin embargo, esta via ideal es irrealizable habitualmenteen la práctica. Como regla, la ecuación se sustituye por su corolario, diciendo en general, que no es equivalente; en

este caso, según la definición del corolario, todas las raíces de la primera ecuación son las de la segunda, es decir, notiene lugar una pérdida de raíces sino que pueden aparecer raíces extrañas aunque pueden no aparecer. Y en el casocuando la ecuación, durante las transformaciones, se sustituye, aunque una sola vez, por el corolario que no esequivalente, es obligatoria la investigación de las raíces obtenidas, siendo ésta la comprobación. Notemos en seguidaque esta investigación, como lo veremos a continuación, no exige obligatoriamente la sustitución directa de las raícesobtenidas en la ecuación inicial.

De tal modo, si la resolución se efectuaba sin análisis de la equivalencia y fuentes de aparición de las raíces extrañas,entonces la comprobación es parte integrante de la resolución, sin la cual aquélla no puede ser considerada comoválida, aunque no hayan aparecido, en realidad, las raíces extrañas. Si éstas han aparecido y permanecen no omitidas,la solución es realmente incorrecta. Por otra parte, si en cada oportunidad la ecuación se sustituye por una equivalente(como ya hemos dicho, esto sucede muy raramente), entonces no hace falta realizar la comprobación; con todo eso,

de este hecho ya se habló especialmente en el curso de la resolución.



Ecuac iones de pr imer grado

38Quinto año de secundaria

TEORÍA DE ECUACIONES

una

Igualdad

es

Una relación de comparación quese establece entre dos expre-siones el cual nos indica quetienen el mismo valor.

A B

1 miembroer 2 miembrodo

=

CLASES DE IGUALDAD

Absolutas incondicionales Relativas condicionales

es es Aquella que se verifica para todos losvalores asignados a sus incógnitas.Ejm: (x+1) = x + 2x + 1la igualdad se verifica para cualquiervalor real de "x".

2 2

Aquella que se verifica para ciertosvalores particulares que se les atribuye asus incógnitas.Ejm: 2x + 1 = x + 7se verifica sólo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

ECUACIONES

es

Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo

para algunos valores asignados a sus variables.

Así: 5x - 3 = + 25, queda satisfecha sólo cuando: x = 6

Solución o raíz

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Conjunto solución Ecuaciones equivalentes

son es el es dos

Aquellos valores que asumenlas incógnitas las cuales veri-fican o satisfacen una deter-minada ecuación.

Conjunto formado portodas las soluciones.

Efectuar en ellas todas lasoperaciones necesarias paraobtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalentessi todas las soluciones de laprimera ecuación son tam-bién soluciones de la segun-da ecuación e inversamente.

así así para

así Dada la ecuación:

x - 5x = x - 11x + 6

Para: x = 1 -4 = -4

3 2 2

Para: x = 2 -12 = -12Para: x = 3 -18 = -18

luego las raíces o solucionesson:

x = 1; x = 2; x = 3

Como las soluciones de laecuación:

x - 5x = x - 11x + 6

Son : x = 1; x = 2; x = 3

entonces el conjunto solu-ción (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

3 2 2

Conseguirlo se le transformasucesivamente en otrasequivalentes.

hasta

Conseguir que ella seasencilla y permita hallar elvalor de la incógnita.

Las ecuaciones:

son equivalentes puesto que

ambas ecuac iones severifican solamente para:x = 12

x3

x2

+2x3

= 14 ; 5x - 36 = 2x





si

si

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Forma general

Análisis de sus raíces

si

Teoremas

de

a 0 b R x = -

solución única(compatible determinada)

ba

Transposición

* a+b = c a = c - b

* ab = c a =

* = c a = bc

ax + b = 0

si

a = 0 b = 0 0 x = 0

"x" admite cualquier solución(compatible indeterminada)

a = 0 b 0 0x = -b

no existe ningún valor "x"que multiplicado por cero

da como resultado -b(Incompatible o absurda)

Cancelación

si

* a+c = b+c a = b, si:c R * ac = bc a = b, si: c 0

* =

a = b, si: c 0ab

ac

bc

cb





1. Resolver: 4015

x9

5

x3

3

x2+=+

Resolución:Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de losdenominadores : 15

( )401515

x915

5

x315

3

x215 +

=

+

→ 5(2x) + 3(3x) = 9x + 600

10x + 9x = 9x + 600

eliminando 9x: 10x = 600 → x = 60

2. Resolver :3x

11

3x

1

−=+

−

Resolución:

Tener presente que el denominador es diferente de cero.

Es decir : x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3 ...... (1)

Reduciendo la ecuación:3x

1

3x

3x1

−=

−−+

Cancelando (x - 3):

1 + x - 3 = 1x = 3 .......... (2)

De (1) y (2) se observa una contradicción.

Concluimos: la ecuación no tiene solución o es

incompatible.

3. Resolver:

4x

x2x

3

4x

x52x

322 −

+−

=−

−+

Resolución:

Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:

4xx

)2x)(2x()2x(3

4xx5

)2x)(2x()2x(3

22 −+

+−+=

−−

−+−

4x

x

4x

)2x(3

4x

x5

4x

)2x(32222 −

+−

+=

−−

−

−→

4x

x)2x(3

4x

x5)2x(322 −

++=

−

−−

Para: x = 2 ∧ x = -2, los denominadores se anulan portanto: x ≠ ± 2 ........ (1)

3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x → 6x = - 12

De donde: x = -2 ............... (2);De (1) y (2) se observa una contradicciónSe concluye : la ecuación no tiene ninguna solución oes incompatible.

4. Resolver : 11x4x =−−+

Resolución:

Transponiendo 1x − :

1x14x −+=+

Elevando al cuadrado miembro a miembro:2

22

1x1x214x −+−+=+ →

1x1x214x −+−+=+

Reduciendo se tiene:

1x24 −= → 21x =−

Al cuadrado : x - 1 = 4 → x = 5

Llevando: x = 5, a la ecuación propuesta:

11x4x =−−+ → 11545 =−−+

3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)∴ La solución es: x = 5

5. Resolver : 75xx =++

Resolución:

x75x −=+

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

22)x7(5x −=+ → x + 5 = 49 - 14x + x2

x2 - 15x + 44 = 0

x - 11x - 4

Donde: x = 11 Ú x = 4

Verificando en la ecuación original:

75xx =++

Problemas resuel tos





Si:

x = 11 ® 751111 =++ → 11 + 4 = 7 (Falso)

Si:

x = 4 ® 7544 =++ → 4 + 3 = 7 (Verdadero)o)

∴ La única solución es: x = 4

6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)

Resolución:

Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro:

(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0

Extraemos el factor común (x - 4):

(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0x - 4 = 0 ∨ (x - 2) - 5x = 0

Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -1/2Entonces tiene dos soluciones.

Bloque I

1. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

2. Resolver: 16x - 11 = 7x + 70

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 9

3. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

4. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

5. Resolver:

113

x

2

xx =++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Problemas para la c lase

6. Resolver:

4015

x9

5

x3

3

x2+=+

a) 1 b) 60 c) 62

d) 63 e) 687. Resolver:

3

5

x

16x3=

−

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 16

8. Resolver:

3

1x

5x5=

+

−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

9. Resolver:

156

x5

4

x3

2

x=−+

a) 1 b) 12 c) 18d) 36 e) 40

10.Resolver:

26

x55

4

x3+=+

a) 12 b) 18 c) 36d) 41 e) 42

11.La ecuación:

(a + b)x + b - 2 = 7x - 1

es indeterminado, hallar "ab".a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 9

12.Dar el valor de "a", si la raíz de la ecuación:

7

6x32ax

+=+ ; es: x = -2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6





13.Resolver:

22xx =++

a)5

1b)

4

1c)

3

1

d)21 e)

71

14.Resolver:

17x5

x

4

x

3

x

2

x−=+++

a) 60 b) 61 c) -60d) -61 e) 62

15.Resolver:

211x2

2x219x2 −=−−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Bloque II

1. Resolver:

(x + 2) (x + 3) - x(x + 2) = 3(x + 2) - 6

a) 1 b) 0 c) -1d) indeterminado e) incompatible

2. Resolver:

3

12x54

5

9x3x

−−=

−+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

3. Resolver:

14x33

7x22

7x5 −=+−−

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 7

4. Resolver:

98xx

99...

1299

699

299

2 =

+++++

a) 90 b) 95 c) 92

d) 99 e) 98

5. Resolver:

22

14x

4

8x

3

2x5−

+=

−−

−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

6. Resolver:

03

22

4

3x5

3

5x2=++

−−

−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

7. Resolver:

6x4

x76x

45x

−+−=

−+−

a) 6 b) -6 c) 6 y -6d) indeterminado e) incompatible

8. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 deuna, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar lamayor de las partes.

a) 12 b) 18 c) 22d) 24 e) 28

9. ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 8, y la mitad más

5, dan 122?a) 60 b) 80 c) 100d) 140 e) 200

10.Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, dela cual quedan todavía 15 metros. Búsquese la longitudde la pieza.

a) 40 m b) 60 c) 80d) 120 e) 160

11.Repartir 100 soles entre tres personas, de manera que

la primera reciba 5 soles más que la segunda, y queésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibela tercera persona?

a) S/.20 b) 22 c) 24d) 25 e) 50

12.Repartir 90 dólares entre tres personas, de manera quela tercera reciba 5 dólares menos que la segunda yésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe lasegunda?

a) $ 35 b) 30 c) 20d) 10 e) 60





Bloque III

1. Resolver:

9

84

7

1

5

x

6

7

3

1x

6

5=

−+

−

a) 4 b) 5 c) 6d) 10 e) 12

2. Resolver:

0004509

x4

3

xx6x2

3

x5=

−−++

a) 90 000 b) 80 000 c) 950 000d) 9 500 e) 45 000

3. Resolver:

(x - 1) (x - 2) + (x - 1) (x - 3) = 2(x - 2)(x - 3)

a) 1 b)7

6c)

3

7

d)7

3e)

3

11

4. Resolver:

1b

bx

a

ax=

+−

+

a) baab+ b) ba

ab− c) ab

ab−

d)a

be)

b

a

5. Resolver:

1x

b1

a

b

x

a1

b

a=

−+

−

a) a - b b) a + b c) a2 - ab + b2d) a2 + b2 e) a2 - b2

6. Resolver, si:

1ba1x)1x)(ba()ba()ba(x 22

++++++−+++

,

es igual a: a2 + b2 - a - b + 1 + 2ab

a) a - b b) a + b c) a2 - b2

d) a+ab+1 e) a + 1

7. Resolver:

)cba(xabc1ac

x

bc

x

ab

x++−=−++

a)abc

cba ++b)

cba

abc

++

c)c

abd)

cba−

e) a+b+c

8. Resolver:

1)cab)(bac(

cbx

)cba)(cba(

ax 222

=−−−−

−−+

+−−++

a) bc b) ac c) abd) abc e) a+b+c

9. Un padre reparte sus bienes de la manera siguiente: alhijo mayor le da 1 000 pesetas más 1/7 del resto, alsegundo 2 000 pesetas más 1/7 del resto, al tercero3 000 pesetas más 1/7 del resto y así sucesivamente,dígase cuáles son los bienes del padre aumentado en elnúmero de hijos, sabiendo que todas las partes soniguales.

a) 32 000 b) 32 003 c) 36 000d) 36 006 e) 40 066

10.Un viajero gasta todos los días la mitad de lo que poseemas 1 peseta; al cabo de tres días ha gastado todo, ¿quésuma tenía?

a) 10 pesetas b) 12 c) 11

d) 14 e) 13

1. Resolver:

15

1x32

5

)4x(

3

)4x( −+=

−−

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Resolver:

2m

nx

n

mx=

−−

+

a) m - n b) n - m c) n + md) n

2 + m2 e) m - 1

3. Resolver:

4

1

6

x

2

x−=

Aut oevaluac ión





a) -4

3b)

3

4c) -

3

4

d)4

3e)

2

1

4. Resolver:

4

7

10

x

5

x2x3 −=−

a)7

10b) -

710

c) -107

d)3

10e)

103

5. La suma de la tercera parte y la cuarta parte de unnúmero equivale al duplo del número, disminuido en17. Hallar el número.

a) 11 b) 12 c) 14d) 18 e) 16



45Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEx ponentes I

Capít ulo I I

Motivación

La notación exponencial se emplea en varias situaciones,el ejemplo muestra el uso de exponentes para analizaruna situación en la que cierta sustancia esta decreciendo

de modo exponencial.

* Ejemplo

Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que sólo queda1/2 de la cantidad previa despuésde cada hora. Si en un momento dado hay 320 gramos dedicha sustancia, ¿qué cantidad quedará después de 8 horas?,¿cuánto quedará después de "n" horas?

Resolución:

Como la cantidad restante, después de cada hora, es1/2 de los gramos que había al final de la hora anterior,podemos encontrarla multiplicando el número precedentede gramos por (1/2).

gramos restantes

Inicio : 0 horas 3202

1320

0

=

después de 1 hora 16021

3201

=

después de 2 horas 8021320

2

=

después de 3 horas 4021

3203

=

después de 8 horas45

21

3208

=

Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la mismaque el número de horas que ha estado desintegrándose lasustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la mismanorma, sacamos la conclusión de que después de "n" horas;

quedarán: n

n

2320

21

320 =

gramos de la sustancia original.

Las torres de Brahma

Al terminar su obra Brahma (El Creador), colocó tres clavos de plata alineados en el patio de un Monasterio deBenarés.

En el clavo de la izquierda puso 64 discos de oro de distintos tamaños. El mayor el más bajo.Reunió a los monjes y les dijo: «desde hoy empezarán y sin descansar pasarán los 64 discos de la izquierda

a la derecha. Pero siempre respetarán mis tres mandamientos».Los tres mandamientos de Brahma:

1° La unidad es la fuente.- Por eso nunca moveréis más de un disco en cada movimiento.2° Ahorren energía.- Habrán de hacerlo en el mínimo número de movimientos.3° El poderoso no debe oprimir al débil.- Jamás un disco mayor se situará sobre otro menor.

Brahma les dijo: «El día que acaben vendrán conmigo al Nirvana Eterno donde cesarán el dolor y la intolerancia.

¿Cuánto tiempo nos queda?. Brahma habló hace 5000 años.

La leyenda fue creada por el matemático francés Edouard Lucas en 1883



E x pone nt e s I


EXPONENTES Y RADICALES

definimos

tenemos

b.b.b.b. .......b = bn ; n IN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = ;-n

Exponente negativon > 0a° = 1 ; a 0

Exponente fraccionario

a =mn amn

Multiplicación debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

bn ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

an a ; a 0m-n

Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

babn

Consecuencia

= aam n p

a qar s

(np+q)r+smpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

a = am m

n np p

Además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

an1

.

a



E x pone nt e s I


PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar errores como estos

52 . 54 = 58

(No multiplique los exponentes)52 . 54 = 256

(No multiplique las bases de las potencias)

3

2

6

55

5= (No divida los exponentes)

4

2

6

15

5= (No divida las bases de la potencia)

(52)6 = 58 (No sume los exponentes)

(-2)4 = -24 (Mala interpretación del paréntesis)

(-5)0 = -1(Mala interpretación de la definición de b0)

3

3

2

12 −=−

(Mala interpretación de la definición de b-n)

1434

3

2222 −−−

== (Descuido al restar exponentes)

53 + 53 = 56

(La adición de exponentes no se aplica con el signode suma)

(a + b)-1 = a-1 + b-1

(Mala aplicación de la definición del exponentenegativo)

525 ±= (Mal uso de la definición de a )

434 /3 )16(16 =(Mal uso de la definición de bm/n)

(-2)-1/3 = 21/3

ba1ba 2 /12 /1

+=+ −−

MAL BIEN

52 . 54 = 56

42

6

555

=

(52)6 = 512

(-2)4 = (-1)424 = 24

(-5)0 = 1 (Definición de b0)

3

3

2

12 =− (Definición de b-n)

53 + 53 = (1 + 1)53 = 2 . 53

(Propiedad distributiva)

ba

1)ba( 1

+=+ −

(Definición del exponente negativo)

( ) 4 3344 /3 16ó1616 =

33 /1

3 /1

2

1

)2(

1)2(

−=

−=− −

b

1

a

1ba 2 /12 /1 +=+ −−

525 =

7)4(34

3

2222

== −−−



E x pone nt e s I


1. Reducir: x ≠ 0

33753

254223222

)x(

)x)(x)(x)(x()x(

)x()x()x()x)(x(S =

Resolución:

Aplicando: (am)n = amn ; tenemos:

9753

108642

)x( x.x.x.x.xx.x.x.x.x

S = , luego aplicando: am.an = am+n ;

tenemos:

525

30

97531

108642

)x( xxx

xx

S === ++++

++++

2. Reducir:

8

4 22

222S

=

Resolución:

Aplicando: mpr

sr)qnp(m p r sqn aaaa

++

= , tenemos:

422

2

2S

8

8

28

8

5

8

7

8

8

5

8

7

=

=

=

= −

3. Si: xmyn = 3m.... (α)xnym = 3n .... (β)

Hallar:

xy

yx

S

=

Resolución:

Multiplicando (α) y (β) tenemos: xmyn . xnym = 3m.3n

De donde acomodando: xm+nyn+m = 3m+n

(xy)m+n = 3m+n → xy = 3

Dividiendo βα

: n

m

mn

nm

3

3

yx

yx

=

nm

nm

nm

3y

x −−

−

= ®nm

nm

3yx −

−

=

→ 3

yx

=

Luego reemplazamos: S = 33 = 27

4. Simplificar:

294

36

30.14.1580.35.21

S3

=

Resolución:

Descomponiendo en base 5; 3 y 7.

22.5.3.7

2.5.3.7S

5.2.3.2.7.3.5

5.2.5.7.3.7

)5.2.3.()2.7()3.5(

)5.2()5.7()3.7(S

11669

12669

2229944

3123366

294

3436

==⇒

==

Bloque I

1. Efectuar:xx2x

27

8.

4

9.

3

2S

=

a)3

2b)

2

3c) 1

d)4

9e)

9

4

2. Reducir:

2m2x

m2x3x

16.84.2

M+−

++

=

a)4

1b)

2

1c) 1

d) 2 e) 4

3. Al reducir:5,049278S

−−−−=se obtiene:

a) 0,25 b) 0,75 c) 0,5d) 2,5 e) 2

4. Reducir:

0x;8.4.2P2x

x1x

x4x

x >= −++





E x pone nt e s I


a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

5. Calcular:

1

4

1

4

1S

1

3

11

5

1

+

−

=

−

−

−

−

a) 27 b) 28 c) 29d) 31 e) 33

6. Si: mm = 3El equivalente de:

1mmmS +

= es:

a) 3m+1 b) 311 c) 27d) 3 e) 9

7. Efectuar:

1n2n

3n4n

22

22B

++

++

−

−=

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Calcular:

1)2,0(25,0P125,012,0 +−=

−−−−

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

9. Reducir:

3m 2m

2m 3m

322

162+ +

+ +

a) 0,25 b) 0,2 c) 1d) 0,5 e) 1,5

10.Efectuar:

5

1

m 2mm 3m 8.432L

= +−

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 1 024

Bloque II

1. Efectuar:

1mm

m3m

3.8

4.6F +

+

=

a) 36 b) 66 c) 48

d) 65 e) 72

2. Reducir:

3a

1aa1a

3333

M−

+− +−=

a) 54 b) 63 c) 45d) 9 e) 7

3. Calcular:13125243008,0P

−−−−=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Reducir:

nm

mn

nm1

b.a

b.a.)

b

a(Q +

−

−−=

a) 1 b) a c) b

d)b

ae)

a

b

5. Efectuar:

1m1m2mm2

1mm2m1m2

3.53.53.53.5

S−−

−+

−−

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Reducir:

m6

3 2m3m

81

3.3 A

+

=

a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e) 243

7. Calcule:

333 3

3

39

3 2739S

= −

a) 9 9 b) 3 3 c) 9

d) 3 e)9

1

8. Reducir:

532

1255 625

55 51

55 5

5 ])25(25[P−−=



E x pone nt e s I


a) 5 5 b) 5 c) 1

d) 1255 e) 5 25

9. Halle el valor de:

16 16 4 2 4 24 4216 164 2 )(1616 ++

-2-2

.

a) 22 b) 2 c) 24

d)21

− e)2

1

10.Simplifique:

7 7 575

7 7 49749

7 377- 577.

a) 77 b) 75 c) 712

d) 7 e) 1

Bloque III

1. Simplificar:

22

334

70.60.250.5442.30.10

S =

a) 5 b) 1 024 c) 5 040d) 40 320 e) 10 240

2. Calcular:

27034

33

3.3

)3(R

−−

=

a) 3 3 b) 3 c) 2

d) 6 6 e) 12 −

3. Sea: 5x2x =

Hallar: E = (xx)2x

a) 24 b) 23 c) 22d) 26 e) 25

4. Sumar:

1

4

11

3

11

2

1

41

31

21

K

−

−

−

−

−

−

+

+

=

a) 180 b) 200 c) 380d) 287 e) 121

5. Reducir:2

2

5

510555 )5.5(S

−

−=

a) 20 b) 50 c) 16d) 25 e) 625

6. Reducir:

8

4 xx

xxx

a) x b) 2x c) x2

d) x + 5 e) x + 8

7. Simplificar:

25

24

4 3 81273K

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Si: aa = 2

Hallar: a1aaa ++

a) 2 b) 4 c) 16d) 8 e) 64

9. Si: x2 - 2x = 2

Calcular: x2 x

a) 2 b) 3 c) 8

d) 7 e) 16

10.Sabiendo que: 2x - 3 = 3Hallar: 21 - x

a) 1 b)2

1c)

121

d)4

1e)

3

1



51Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEx ponentes I I

Capít ulo I I I

La importancia de las notaciones

La utilización y escogencia de símbolos para denotar conceptos o procesos matemáticos ha resultado de muchaimportancia. Antes del siglo XVI el único hombre que introdujo conscientemente el simbolismo para el álgebra fueDiofanto (alrededor del 250 d.C.). Otros cambios de notación fueron esencialmente abreviaciones de palabras. Alrededordel siglo XV, por ejemplo, se usaba “m” para menos y “p” para más. + y - se supone fueron introducidos por losalemanes en ese mismo siglo. El = fue introducido por el inglés Robert Recorde (1510 - 1550). Viéte usó ~ para laigualdad, y Descartes usó m para ésta misma. Descartes usó Ö : para la raíz cuadrada.

Para que se tenga una idea de la importancia de la notación, mencionemos que el matemático italiano JerónimoCardano en su libro Ars Magna (1545).

escribía: “x2 = 4x + 32” como “quadratu aeqtur 4 rebus p: 32”

Fue el francés Viéte quien realizó cambios decisivos en el uso de símbolos en el álgebra. Fue el primero en usarsistemáticamente letras para las variables o potencias de la variable, y también las usaba como coeficientes.

Otro ejemplo para que se perciba que todas las dimensiones de las matemáticas son históricas, elaboradas porpersonas de carne y hueso en algún momento: la notación x2 para x • x(tan natural) se estandarizó hasta que laintrodujo Gauss en el siglo XIX.

EXPONENTES Y RADICALES

definimos

tenemos

b.b.b.b. .......b = bn ; n IN

exponente natural

"n" veces

Exponente nulo

a = ;-n

Exponente negativo

n > 0a° = 1 ; a 0

Exponente fraccionario

a =mn amn

Multiplicación debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

b

n ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

an a ; a 0

m-n

Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

b

ab

n

Consecuencia

= aam n p

aq

ar s

(np+q)r+smpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnp

p

Potencia de exponente

a = am m

n np p

Además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

an

1a

.



E x p o n e n t e s I I



Bloque I

1. Expresar como una potencia de 2.

3

2

2

3

33

22

2222 )2()2).(2.(])2[(E =

a) 216 b) 217 c) 2117

d) 28 e) 1024

2. Reducir:

124

641

K

−−−

=

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

3. Simplificar:13)27()27(M

−−−−=

a)3

1b) 3 c) -3

d)31

− e)6

1

4. Reducir:

12416

811

S

−−−−

=

a) 3 b) 9 c) 10d) 8 e) 6

5. Simplificar:

82 2 2 222 )2(K =

a) 2 b) 4 c) 16d) 512 e) 256

6. Reducir:

45 5 5 5 5 51 5 25

5 51 5 25 )5.5(M ++

=

a) 5 b) 25 c) 625d) 1024 e) 125

7. Simplificar:

0x;

)x(

x.xT

1a1- a-2a

a1 2a21a2a 13a

≠=−

+ +++ −

a) 1 b) x c) x2

d) xa e) xa + 1

8. Simplificar:

2

11

3

11

4

11

1n

11

nx.............M

+ + +−

+

=

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) xn

9. Reducir:

0ab;baba

S 200220022002

20022002

>++

=−−

a) ab b) b

a

c) a

b

d) a + b e) a - b

10.Reducir:

yx)yx(

yx

111111

E −−−

−

++

=

a)11

1b) 11 c) 10

d) 7 e) -11

Bloque II

1. Reducir:

nnnn

nnnnnn

cba

cbcabaS

−−− ++++

=

a) abc b) a2b2c2 c) anbncn

d) an + bn e) anbncn - n

2. Simplificar:

4 5 3 72 8.8.8P =

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 8

3. Simplificar; x > 0

n n n n 4n4

n n n n 16n3n2nn

)x(

x........x.x.xK =

a) x6 b) x8 c) x12

d) x21 e) x25





4. Simplificar:

∞−−−

∞+++=

..........6666

.........909090S

a) 5 b) 6 c)245

d) 3 e) 15

5. Simplificar: x > 0

3 3 3 444

8 8 8 777

........xxx

..........x.x.xE

∞÷÷

∞=

a) 0 b) 1 c) 2d) x e) 4

6. Reducir:

∞+++−−= .......1212121352E

a) 5 b) 7 c) 9d) 12 e) 18

7. Indicar el exponente final de "x", si: x > 0, en:

radicalesn""

7 7 7 7 3333 x........x.x.xS =

a) 7n b) n

1n

717 −−

c) n

1n

7.27 −

d) n

n

7.217 −

e) n

n

7.217 +

8. Encontrar la suma de los exponentes de "x" e "y", si:x > 0, y > 0 en:

8 8 33 ...................yxyxS ∞=

a)2

1b)

4

1c)

5

1

d)7

1e) 3

1

9. Simplificar:

13m22

26m

16.2.)2(

4.2.16E

−−

−−

=

a) 1 b) 2 c)2

1

d) 2m e) 8

10.Reducir:

n2

n

n2n2n

2n

2nn

12

24

8168

S+

+++

=

a)2

1b) 3 c)

3

1

d) 4 e) 2

Bloque III

1. Simplificar:

n7

n1n

4

1n

3.3

81E

−+

+

=

a) 2 b) 3 c) 9

d) 27 e) 80

2. Si:

∞+++= ...........303030x

Calcular:

3 3 3 ........xxxE ∞+++=

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

3. Simplificar:

3n 3n4423n

13n

24

20E

++

+

+

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular:

5 5 5 ........818181

64

64

64

P∞

∞

=





a) 2 b)2

3c)

3

4

d)4

5e) 0

5. Proporcionar el exponente final de "x"

xxxx

3

5

7

∞

S =

-44-4-0,5

. . . . . . . .

a)2

1b) 2 c) 16

d) 4 e) -8

6. Reducir:

2516 5

45 27 25

)2(

)42(P =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

7. Efectuar:

3

1

343

11

3

12

1

4

1

4

12

4

1M

−

−

−

−

−

=

a)2

1b) 2 c) 8

d) 16 e) 32

8. Reducir:

13 93 33 3

)22(L

−+

=

a)2

1b) 2 c) 4

d) 8 e) 216

9. Simplifique:

a

2a1 aa 2a1

2a1 1aa2

a.a

)aa(J

+

=++

+ −+

a) a b) 1 c) a + 1d) a2 e) aa

10.Simplificar:

5)nn(nn1nn n

n5nn )n(P

−+

=

a) 1 b) n c) nn

d) n n e) nn n

1. Reducir:

80

81

3 3 3 3 2222 xxxxS

=

a) x b) x2 c) xx

d) xx-1 e) x-1

2. Simplificar:

40 30 50 300 600985838 xxxx

a) x b) x2 c) xx

d) x-1 e) x20

3. Reducir:

radicales................222

radicales................666S

∞

∞=

a) 2 b) 3 c) 6d) -6 e) -2

4. Reducir:

x4x3x2x1x

x4x3x2x1x

33333

33333K

++++

++++=

−−−−

++++

a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243

5. Reducir:

23223242

33422324

)y()x()y()x(

)y()x()y()x(S =

a) x4 b) y3 c) x4y3

d) x3y4 e) x2y2

Aut oevaluac ión



55Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOProduct os no t ab les

Capítu lo IV

¿Por qué (-1) (-1) = 1?

Mi melancólico profesor Benedito de Morais acostumbraba explicarnos, a mí y a mis compañeros de segundo añoen el gimnasio, las reglas de los signos para la multiplicación de números relativos de la siguiente manera:1. El amigo de mi amigo es mi amigo, o sea (+) (+) = +2. El amigo de mi enemigo es mi enemigo, esto es, (+) (-) = -3. El enemigo de mi amigo es mi enemigo, lo que significa (-) (+) = -, y finalmente:4. El enemigo de mi enemigo es mi enemigo, lo que significa (-) (-) = +

Sin duda esta ilustración era un buen artificio didáctico, aunque algunos de nosotros no concordásemos con la filosofíamaniqueísta contenida en la justificación de la cuarta regla (bien podíamos imaginar tres personas enemigas entre sí)

Consideraciones sociales aparte, lo que los preceptos anteriores dicen es que multiplicar por -1 significa “cambiarel signo" y, evidentemente, cambiar el signo dos veces equivale a dejarlo como está. Más generalmente, multiplicarpor -a quiere decir multiplicar por (-1) a, o sea, primero por a y después por -1, luego multiplicar por -a es lo mismo

que multiplicar por a y después cambiar el signo. De ahí resulta que (-a) (-b) = ab

• PRODUCTOS NOTABLESSon los resultados de ciertas multiplicaciones indicadasque se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicarla propiedad distributiva por la forma que presentan.

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• IDENTIDADES DE LEGENDRE

I1 : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)I2 : (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Multiplicando miembro a miembro las identidades I1e I2:

(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

3. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca(ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)

4. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

• IDENTIDADES DE CAUCHY

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

• RELACIONES PARTICULARES

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

6. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO

Según Cauchy, se puede escribir así:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3bc(b + c)+ 3ca(c + a) + 6abc

• Otras formas más usuales del desarrollo:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c)(c + a)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)

(ab + bc + ca) - 3abc

(a + b + c)3 = 3(a + b + c) (a2 + b2 + c2) -2(a3 + b3 + c3) + 6abc

7. IDENTIDADES DE STEVIN:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 +

(ab + bc + ca)x + abc

8. IDENTIDAD TRINÓMICA DE ARGAND:(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n



P r oduc t os no t a b le s


• Formas particulares más usuales:

Si: m = 1, n = 1:(x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Si: m = 1, n = 0:(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1

9. IDENTIDADES DE LAGRANGE

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2

(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay - bx)2 + (bz - cy)2 + (az - cx)2

10.IDENTIDAD DE EULER

(a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (bx - ay + cw - dz)2 + (cx - az + bw - dy)2 + (dx - aw + bz - cy)2

11.IDENTIDAD DE GAUSS

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

• Debemos tener en cuenta que:

a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac =2

1 [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac =2

1 [(a + b)2 + (b + c)2

+ (c + a)2]

12.IDENTIDADES ADICIONALES:

(a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc

(a + b)(b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc

(a - b)(b - c)(c - a) = ab (b - a) + bc(c - b) + ca(a - c)

IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0; se verifican las siguientes relacionesnotables:

• a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)

• a3 + b3 + c3 = 3abc

• a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 =2

1(a2 + b2 + c2)2

• a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + bc + ca)

• a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 - 2(ab + bc + ca)3

También debemos considerar:

•

3

c

c

5

c

3

•

5

c

c

7

c

5

• a8+b8+c8=

c

3

c

8

c

3

• a9+b9+c9 =222333

3333

2

cba.

3

cba9

3

cba3

En general, si: a + b + c = 0; n ∈ ZZ+ se cumple:

an + 3 + bn + 3 + cn + 3 = abc(an + bn + cn) +

2

1(a2 + b2 + c2) (an + 1 + bn + 1 + cn + 1)

1. Reducir:

L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x(x + 7) + 7

Resolución:

Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Tenemos:L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7 → L = 30

2. Si: 3x1x

2

=

+ ; hallar: 3

3

x1xS +=

Resolución:

Desarrollando: x2 + 2x

x

1+ 2x

1 = 3

1x

1x

2

2 =+⇒ , luego de "S"

+−

+=+= 2

2

3

3

x

1

1xx

1

xx

1

xS ,






reemplazando:

0)0(x1

xS =

+=

3. Reducir:

S = (x + 1) (x + 2) (x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3) -2x(x2 + 11) - 1

Resolución:

Operando:

S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1

De donde: S = -1

4. Reducir:

abc)ca()cb()ba(

P333 +++++

=

Si: a + b + c = 0

Resolución:

Resolviendo tenemos que: a + b = -cb + c = -aa + c = -b

Luego reemplazando:

abcabc3

abc)cba(

abc)b()a()c(

P333333

−=++−

=−+−+−

=

∴ P = -3

5. Reducir:

57

57

57

57S

+

−+

−

+=

Resolución:

Operando:

( ) ( )( ) ( ) 22

2222

57

572

5757

5757S

−

+

=+−

−++=

122

)57(2S =

+=


Bloque I

1. Efectuar: (x + 2)2 - 2(x + 1)2 + x2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Sabiendo que: x + y = 8xy = 4

Hallar el valor de: P = x - y

a) 23 b) 22 c) 4

d) 34 e) 16

3. Efectuar:

625.625E −+=

a) 10 b) 5 c) 1d) -10 e) 2

4. Efectuar:

3 633 63 nmmm.nmmmP −+−−=

a) mn b) m2 c) m3

d) m4 e) n2

5. Si se cumple: x + y = 6 ∧ xy = 7Hallar el valor de: x3 + y3

a) 20 b) 40 c) 50d) 80 e) 90

6. Reducir:

[ ]2

322

)zyx(

www)zyx()zyx()wzyx(

++

−+++−+++++

a) xyz b) x + y + z c) xd) y e) x2y2z2

7. Efectuar:

32 842 )19()19()19(801R ++++=

a) 9 b) 3 c) 81d) 1 e) 6

8. Calcular “A + B”, si:

)9x()3x()6x(B)8x()2x()5x( A 2

2

++−+=++−+=





a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Efectuar:

( ) ( )63216321K +−−+++=

a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) -1

10.Sabiendo que:x + y + z = 12xy + yz + zx = 60

Hallar: K = (x + y)2 + (x + z)2 + (y + z)2

a) 204 b) 168 c) 100d) 228 e) 120

Bloque II

1. Simplificar:

1)2

ee(E 2

xx

+−

=−

a)2

ee xx −−b) xx ee

2−+

c)2

ee xx −+d)

2

ee x2x2 −+

e) 1

2. Simplificar; si: ab + bc + ac > 0

)cba()cba()acbcabcba(E 22222222 ++++−+++++=

a) ab b) ab + bc c) ab + bc + acd) a + b + c e) abc - 1

3. Efectuar:

)zyx(

)zyx()zyx()zyx()zyx(S

222

2222

++

++−++−+−++++=

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

4. Si: x + y = 5 xy = 2

Calcular: S = x2 + x3 + x4 + y2 + y3 + y4

a) 603 b) 573 c) 495d) 549 e) 609

5. Siendo: a + b = S ab = P

Calcular: T = (a + b)4

- (a - b)4

a) 1 b) 8SP c) 4SPd) 6SP e) 8P(S2 - 2P)

6. Reducir:

3 2222 )1n2n()1n()1n2n()1n(S −−−−−++=

a) 0 b) 2n c) -2nd) -n e) n

7. Efectuar:S = (x3 - 3x)2 - [(x + 1) (x - 1)]2 (x + 2) (x - 2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

8. Hallar el valor de:2

2

2

2

2222

)ba(

b

)ba(

a4

ba

b

ba

a

ba

b

ba

aE

−−

+−

−−

++

−+

+=

Para: 32b;32a −=+=

a)4

3b)

3

4c)

3

16

d)16

3e) 2

9. Si:x + y = 5xy = 3

Hallar: S = x6 + y6

a) 28 b) -28 c) -26

d) 26 e) 52

10.Si: 23c;52b;35a −=−=−=Hallar:

++

++

++=

ab

c

ac

b

bc

a

acbcab

cbaS

222222

a) 235 ++ b) 1c) -3 d) 6 e) -6

Bloque III

1. Si: a + b + c = 0; reducir:

bcacab

)bac2()acb2()cba2( A

222

++

++++++++=

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 0

2. Si:a + b + c = 60Reducir:

)30c)(20b)(10a(

)30c()20b()10a(R

333

−−−

−+−+−=





Aut oevaluac ión

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) -2

3. Si: 33 931x +−=Señalar el valor de:

R = x3 - 3x2 + 12x - 6

a) 10 b) 2 c) 3 3

d) 3 9 e) 0

4. Si:

0b0a;725a

b4

b

ann

nn

>∧>=

+

Calcular:

3nn

nn

ba

b2a A +=

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 20

5. Si: 52c;23b;35a −=−=−=Calcular el valor de:

444

2222

cba

)cba(E

++

++=

a) 1 b) 2 c) 3

d)2

1e) 4

6. Si: (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 = abc(a + b + c);a, b, c ∈ IR +

Efectuar:

2

22333

c

abac

caabc

cbaE

a) 0 b) 3 c) 4

d) 6 e)2

3

7. Si se cumple: (a + b)2 + 1 = (a + 1)(b + 1)Calcular:

)1b(b

)1a(aR

2

2

−

−=

a) 1 b) -1 c) 2

1

d)2

1− e) -2

8. Si se cumple:

zy2x

4

zy

1

yx

1

++=

++

+

Calcular:

2

22

)zx(

zzxxN

+

−++=

a) 1 b) -1 c)2

1

d)2

1− e)

4

1

9. Si: )23(5,0x 33 +=

)23(5,0y 33 −=Calcular:

E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si: 0cba 33 =++Calcular:

444

333222

cba

)cba2)(cba(M

++

−−++=

a) 1 b) 3 c) 3ad) 3b e) 3c

1. Reducir:

E = (m + n) (m - n) (m2

+ n2

) (m4

+ n4

) + n8

- m8

+ 1a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

2. Simplificar:

K = (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (-x + y + z)3

a) 6abcxyz b) 12xyzc) 18xyz d) 24xyze) 12z(x2 + y2)

3. Si: P = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) + 1Hallar: P





a) x + 1 b) x + 5c) -x2 + 5x+ 4 d) x2 + 5x + 5e) N.A.

4. Reducir, si: a + b = 3 ab = 1

Hallar: S = (a2 + b2)2

a) 48 b) 49 c) 46d) 41 e) 40

5. Multiplicar:33333 420100210Q ++−=

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 12



61Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFac t or izac ión I

Capít ulo V

Cristóbal de Losada y Puga

La niñez y adolescencia de Cristóbal de Losada y Puga (1894 - 1961) transcurrió en uno de los departamentoshistóricos del ande peruano como lo es Cajamarca, paraje donde, seguramente, inició su romance con las cienciasmatemáticas.

En 1923 obtuvo el grado de Doctor en Ciencias Matemáticas en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos conla tesis "Sobre las curvas de Rodadura". También estudió en la Escuela de Ingenieros donde obtuvo el título deIngeniero de Minas.

Se desempeño como docente en la Escuela Militar de Chorrillos, donde enseñó Aritmética y Mecánica Elemental.Su fructífera labor como profesor lo llevó luego a importantes instituciones educativas del país, como la Universidadde San Marcos, la Escuela Nacional de Ingenieros y la Pontificia Universidad Católica. En dichas universidades enseñó,entre otros cursos, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de Probabilidad y Física Matemática, Mecánica Racional,

Resistencia de Materiales y Cálculo Infinitesimal.Fecunda labor:

Eran principios de 1931. El país atravesaba una crisis política y social. Augusto B. Leguía ponía fin a su gobiernoque había durado 11 años. Cristóbal de Losada y Puga asumió en ese entonces la dirección de uno de los gremiosindustriales más importantes del país: la Sociedad Nacional de Industrias. Luego, durante el gobierno de José LuisBustamante y Rivero, fue nombrado ministro de Educación. En dicho cargo permaneció 10 meses, tiempo en el cual seimpulsó el desarrollo educacional del país, especialmente en los niveles primarios y secundarios, que se encontrabanmuy desarticulados. Asimismo, fue director de la Biblioteca Nacional; en dicha institución pública le guardan el mejorde los recuerdos, debido a la constante preocupación que el destacado matemático Cristóbal de Losada y Puga mostrópor la situación laboral de los trabajadores. En 1938 fue Decano en la Universidad Católica, donde dirigió la revista dela citada casa de estudios. Otra faceta poco difundida es la de periodista. Losada y Puga dirigió la revista Fénix, de laBiblioteca Nacional, y además participó en la fundación de la revista Mercurio Peruano. La labor profesional deCristóbal de Losada y Puga no se centra sólo en el país. Su obra ha sido también apreciada en el extranjero dondedictó muchas conferencias magistrales.

No debe de extrañar, entonces, su incorporación en la Real Academia de Ciencias Físicas y Naturales de Madrid yla Sociedad Francesa de Física; asímismo fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas yNaturales, la Asociación Peruana para el Progreso de la Ciencia, la Academia Peruana de la Lengua, entre otrasinstituciones.

Producción bibliográfica

Su contribución bibliográfica más importante se titula Curso de Análisis Matemático, un ejemplo de tratado de su

especialidad. Figuran además Las anomalías de la gravedad; su interpretación geológica, sus aplicaciones mineras.Contribución a la teoría matemática de las clepsidras y de los filtros, Galileo, Copérnico, entre otras publicaciones.Entre los principales reconocimientos a su trayectoria profesional destaca la Gran Cruz de la Orden de Alfonso X elSabio, otorgado nada menos que por el gobierno español en 1949. Una distinción justa y merecida para uno de losmatemáticos peruanos más representativos del siglo XX.



Fa c t o r i z a c ión I


CONCEPTOS PREVIOS

Factor o divisor

es

Factor algebraico

es

Factor primo

si

Todo polinomio quedivide en forma exacta

a otro polinomio.

así

Todo polinomio degrado no nulo que

divide en forma exactaa otro polinomio.

Admite por divisoresa 1 y a si mismo.

así

así

P = xy(x;y)

P = x(y - 1)(x;y)

P = xy2

(x;y)

sus sus

susDivisores son:

P = 11 (x;y)

(x;y)

(x;y)

(x;y)

P = x

P = y

P = xy

2

3

4

Divisores son:P =11 (x;y)

(x;y)

(x;y)

(x;y)

P =x

P = y - 1

P = x(y - 1)

2

3

4

No es factoralgebraico

Divisores son:P = 11 (x;y)

(x;y)

(x;y)

(x;y)

(x;y)

P = x

P = y

P = y

P = xy

2

3

4

5

2

únicosfactoresprimos





ASPA DOBLE

Forma general

Procedimiento

P = ax + bx y + cy + dx + ey + f (x;y)2n n m 2m n m

si le faltase un término, completar con el cero.t1 t2 t3 t4 t5 t6

paso 1

Aspa simple a los términos : t ; t y t1 2 3

Aspa simple a los términos: t ; t y t3 5 6

Los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

Aspa simple de comprobación: t ; t y t1 4 6

paso 4





1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xyDar como respuesta el número de factores primos.

Resolución:

Extraemos el factor común: a2b3c5

E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy]

E = a2b3c5 [a(b+y)+x(b+y)]

E = a2b3c5 (b+y) (a+x)

Los factores primos son:a; b; c; (b + y); (a + x) Þ En total son cinco.

2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z)

Dar como respuesta la suma de factores primos.

Resolución:

Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yz

Agrupando convenientemente:

P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)

P(x;y) = (x2 + y2 + 2xy) + (xz + yz)

P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y)

Factor común : (x+y)P(x;y) = (x + y) (x + y + z)

Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)

La suma de factores primos es:x + y + x + y + z = 2x + 2y + z

3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125

Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do

grado.

Resolución:

A potencia 3:R = (x - 3)3 + 53 ..... suma de cubos

R = [(x - 3) + 5] [(x-3)2 - (x-3)(5) + 52]

Desarrollando y reduciendo:

R = (x + 2)(x2

- 6x + 9 - 5x + 15 + 25)R = (x + 2) (x2 - 11x + 49)

Factores primos: (x + 2) Ù (x2 - 11x + 49)

Primer grado Segundo grado

Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39

4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x + 180

Resolución:

Agrupando de 2 en 2:M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x + 180)

Descomponiendo cada paréntesis:M = x4 (2x + 5) - 13x2 (2x + 5) + 36 (2x + 5)

factor común : 2x + 5M = (2x + 5) [x4 - 13x2 + 36]

Luego :

M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9)→M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)

M = (2x+5)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)Donde la suma de sus factores primos será:

(2x+5)+(x+2)+(x-2)+(x+3)+(x-3) = 6x + 5

5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

Resolución:

P(x) = 4x4 - 101x2 + 25

Luego: P(x) = (4x2 - 1) (x2 -25)

Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:

P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52]

Finalmente:

P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)


x2 -4 → -4x2

x2 -9 → -9x2

suman: -13x2

4x2 -1 → - x2

x2 -25 →

-100x2

suman: -101x2





Bloque I

1. Factorizar:x8y12z8 - 2x7y13z8 + x6y14z8

indicando un factor primo.

a) x2 + y2 b) x - y c) x + 2yd) x - 2y e) x + 8y

2. Factorizar:P(x) = x6 - x2 + 2x(x4 - 1) + (x4 - 1)

indicando el factor primo que más se repite.

a) x2 + 1 b) x - 1 c) x + 1d) x + 2 e) x + 7

3. Factorizar:F(x) = (x + 1)7(x2 + 1)10 - (x + 1)5(x2 + 1)11


a) x - 1 b) x + 2 c) x2 + 1d) x2 - 2 e) x + 4

4. Factorizar:P(x,y) = xm + n + ym + n + (xy)m + (xy)n


a) xn + yn b) xn + ym c) xn - ym

d) x + y e) x - y

5. Factorizar:S(n) = (n + 3) (n + 2) (n + 1) + (n + 2) (n + 1) + (n + 1)

indicando el factor que más se repite.

a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2d) n + 3 e) n + 8

6. Factorizar:F = (a - b)2 - (c - d)2

indicar la suma de factores primos.

a) 2a b) 2b c) 2(a - b)d) 2(a + b) e) a2 - b

7. Factorizar:P(x) = 9x4 - 9x2 + 6x - 1

indicar un término de un factor primo.

a) 2x b) 3x c) -2xd) -6x e) 10x

8. Factorizar:S(x,y) = 4(x + 3y)2 - 9(2x - y)2


a) 8x + 3y b) 8x - 3y c) 8x + 6yd) 8x - y e) 4x - y

9. Factorizar:P(a) = (8a3 - 27) (8a3 + 27)

indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10.Factorizar:P(x,y) = 54x6y2 + 38x3y2 - 16y2


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Bloque II

1. Factorizar:P(x,y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Factorizar:P(x) = x4 - 15x2 + 44


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

3. Factorizar:P(x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x - 4) - 112

indicando un término de un factor primo.

a) 4x b) -4x c) 3xd) -3x2 e) 6

4. Factorizar:P(x) = 6x2n + 1 + 5xn + 1 - 6x


a) xn + 3 b) 2xn + 7 c) 2x3n + 1d) 2xn + 3 e) xn - 2

5. Factorizar:P(x,y) = (x - y)3 - (x - y)2 - 2(x - y)indicando un factor primo.

a) x - y + 3 b) x - y + 2c) x - y + 1 d) x - y - 8e) x

6. Factorizar:F(x,y) = 6x2 - 6y2 - 13x - 13y + 5xy + 5


a) x + y - 1 b) 2x + 3y - 1

c) x - y + 1 d) x + y + 2e) x - 2y - 3






7. Factorizar:P(x,y) = 6x2 - 3y2 - 2z2 - 7xy - xz + 7yz

indicando la suma de factores primos.

a) 5x - 2y + z b) 5x - 2y - zc) x + y + z d) x - y - ze) x + 2y + 4z

8. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9

Indicar un factor primo.

a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 6c) 2x + 5y + 4 d) 2x + 5y + 7e) 2x + 5y + 5

9. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18

Indicar la suma de factores primos.

a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 5y + 6e) 4x + 6y + 7

10.Factorizar:P(x;y) = (1 + xy)2 - (x + y)2

a) (1 + x) (1 + y) (1 - x) (1 - y)b) (1 + x) (1 + y) (x - y) (x - 1)c) (x - 1) (x - y) (y - 1) (x)d) (1 + x + y) (1 - x + y) (1 + x - y)e) (1 + x + y) (x + 1) (1 + y)

Bloque III

1. Factorizar:P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18

a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6)b) (x2 - 5x + 3) (x2 - 3x + 6)c) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)d) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x - 6)e) (x2 - 5x - 3) (x2 + 3x + 6)

2. Factorizar:P(x) = 2x4 + x3 - 16x2 + 8x - 1

a) (2x2 - 5x - 1) (x2 + x + 1)b) (2x2 + x - 1) (x2 + 3x + 1)c) (2x2 + 5x - 1) (x2 + 3x + 1)d) (2x2 + 5x + 1) (x2 + 3x - 1)e) (2x2 - 5x + 1) (x2 + 3x - 1)

3. Factorizar:

S(x) = (x + 1)4 + (x + 2)3 + (x + 3)2 - 7(x + 2) + 2

indicar el factor que más se repite.

a) x + 2 b) x + 1 c) x - 1d) x - 2 e) x + 8

4. Factorizar:F(x,y,z) = x6y + x4z3 - x6z + y6z - x4y2z -

x2y5 - y4z3 + x2y4zindicando un factor primo.

a) x4 - y4 b) x2 - yz - z2

c) x - z d) x2 + z2

e) x2 + y8

5. Factorizar:P(x,y,z) = (x3 + y3 + z3)3 - x9 - y9 - z9


a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

6. Factorizar:F(x,y) = x4 + y4 + 2xy(x2 + y2) + 3x2y2


a) xy b) -xy c) x2y2

d) x2 + y2 e) x4

7. Factorizar:P(x,y) = x6 + 2x5y - 3x4y2 + 4x2y4 - y6


a) x3 - xy + y2 b) x3 - x2y + y2c) x2 - xy + y3 d) x3 - x2y + y3

e) x2 - xy2 + y3

8. Factorizar:F(a,b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 - c4(a + b)3 - c7


a) a + b + c b) ab + bc + acc) a2 + ab + b2 d) a - be) a2 + b2 + c2

9. Factorizar:P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 - x6


a) x + 2 b) x + 3 c) x4 + 1d) x + 7 e) x + 8

10.Factorizar:P(x,y) = x7 + 2x4y3 + y7


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8





1. Factorizar e indicar un factor primo en:

P(x) = x2(x + 8) + 2x(x + 8) + (x + 8)

a) x + 2 b) x + 3 c) x + 1d) x - 1 e) x - 2

2. Factorizar: P(x) = x6 - 4x4


a) x + 6 b) x - 4 c) x + 2d) x - 6 e) x + 4

Aut oevaluac ión3. Factorizar:

P(x,y) = (5x + 7y)2 - (2x + 4y)2


a) 7x + 10y b) 7x + 11y c) 3x - 3yd) x2 - y e) x - 8y

4. Factorizar: P(x,y) = x6 - 64y6Indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5. Factorizar: P(x) = x4 + x2 + 1indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



69Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFac t or izac ión I I

Capítu lo VI

¿Es el cero un número natural?

Si y no. Incluir o no el número 0 en el conjunto IN de los números naturales es una cuestión de preferencia personal o,más objetivamente, de conveniencia. El mismo profesor o autor puede, en diferentes circunstancias, escribir 0 Î IN ó 0 ∉ IN.¿Cómo es esto?

Consultemos un tratado de álgebra. Prácticamente en todos ellos encontramos IN = {0, 1, 2, ...}. Veamos un libro deanálisis. Hallaremos casi siempre IN = {1, 2, 3, ...}

¿Por qué esas preferencias? Es natural que el autor de un libro de álgebra, cuyo interés principal es el estudio de lasoperaciones, considere cero como un número natural pues esto le dará un elemento neutro para la adición de númerosnaturales y permitirá que la diferencia x - y sea una operación con valores en IN no solamente cuando x > y sino también si:x = y. Así, cuando el algebrista considera cero como número natural, está facilitándose la vida, eliminando algunas excepciones.

Por otra parte, en análisis, los números naturales aparecen muy frecuentemente como índices de los términos de unasucesión.

Una sucesión (digamos, de números reales) es una función x: IN ® R, cuyo dominio es el conjunto IN de los númerosnaturales. El valor que toma la función x en el número natural n se indica con la notación xn (en lugar de x(n)) y se llama el

término n-ésimo de la sucesión.Se usa la notación (x1,x2, ..., xn, ...) para representar la sucesión. Aquí, el primer término de la sucesión es x 1, el segundoes x2 y así sucesivamente. Si fuésemos a considerar IN = {0, 1, 2, ...} entonces la sucesión sería (x 0, x1, x2, .., xn, ..), en la cualel primer término es x0, el segundo es x1, etc. En general, xn no sería el n-ésimo sino el (n + 1) - ésimo término. Para evitaresa discrepancia, es más conveniente tomar el conjunto de los números naturales como IN = {1, 2, 3, ...}.

Para cerrar este tópico, una observación sobre la nomenclatura matemática. No ayuda encaminar la discusión en el sentidode examinar si el número cero es o no «natural» (en oposición a «artificial»). Los nombres de las cosas en matemática no sonescogidos generalmente de modo que transmitan una idea sobre lo que deben ser esas cosas. Los ejemplos abundan: unnúmero «imaginario» no es ni más ni menos existente que un número «real»; «grupo» es una palabra que no indica nadasobre su significado matemático y, finalmente, «grupo simple» es un concepto extremadamente complicado, al punto de quealgunos de sus ejemplos más famosos son calificados (muy justamente) de «monstruos».

ASPA DOBLE ESPECIAL

Forma general

Procedimiento

si le faltase un término, completar con el cero.

P = ax + bx + cx + dx + f (x;y)

4n 3n 2n n

t1 t2 t3 t4 t5

paso 1

Descomponer los términos t y t de modo

que el producto en aspa determine un

término cuadrático.

1 5

Los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

paso 4

Descomponer el término que resulta dehacer la diferencia del término central y eltérmino cuadrático obtenido en el paso 1.

Si esta expresión fuese correcta, almultiplicar en aspa debe verificar lostérminos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4



Fa c t o r i z a c ión I I


DIVISORES BINÓMICOS

se

Procedimiento

Utiliza para factorizar polinomios degrado mayor o igual a tres.

paso 1

Determinar el rango de aquellos posiblesvalores que anulan al polinomio.

paso 2

paso 3

En base a estos valores realiza evaluacioneshasta conseguir algún valor que logre anularlo.

: Todo valor que anula al polinomio

genera un factor de 1 grado.

Notaer

Para conseguir el otro factor o factoresaplicaremos Ruffini cuantas veces

sea necesario.

si

1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3

Resolución:

Completamos con 0y; aplicamos luego aspa doble.

P(x;y) =

I. 5xy3xy

8xy

+II. 3y

-3y

0y

+

III. 5x-3x 2x

+

Luego:P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)

2. Factorizar: Q(x;y;z)

= 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x +z3) + 4xz3

Resolución:

Efectuando:Q(x,y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3 + 4xz3

Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:

Q(x;y;z) =


5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 32 2

5x

x

3y

y

- 3

1I IIIII

2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z2 2 4 3 2 3 6

2x

x

-y

-2y

2

2

2z

z

3

3I III II





Luego:

Q(x; y; z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)

3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2

Resolución:

Paso 1:

Descomponemos los extremos y obtenemos el resultantede las aspas:

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)

4 3 2

x2

x2

1

2 Aspas = 3x

2

Paso 2:

Obtenemos “A” :

A = 45x - 3x = 42x2 2 2

términocentral

Aspas

Paso 3:

Se debe verificar 13x3 y 20x mediante la descom-posición apropiada de:

42x

2 7x

6x

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2

x2

x2

1

2

7x

6x

Paso 4:P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)

4. Factorizar: P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15

Resolución:

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)

4 3 2

4x2

4x2

3

-5 Aspas = -8x

2

A = -16x - (-8x ) = -8x2 2 2 2x

-4x

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)

4 3 2

4x2

4x2

3

-5

2x

-4x

Finalmente :P(x) = (4x2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)

5. Factorizar: P(x) = x3 - x2 - 2x - 12

Resolución:

Paso 1:

Cálculo a los posibles valores que anulan al polinomio:como el polinomio es mónico usaremos los divisores de12: ±(1; 2; 3; 4; 6; 12).

Paso 2:

Para: x = 1→ P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)

Para: x = -1→ P(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 2(-1) - 12 = -12 (No)

Para: x = 2→ P(2) = 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12 (No)

Para: x = 3→ P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0 (Sí) P(3) = 0 ⇒ (x - 3) es un factor del polinomio P(x).

Paso 3:

Aplicando Ruffini :3x

P )x(

−

x = 3

1 -1 -2

3 6

1 2 4

-12

12

0

q(x) = x2 + 2x + 4

Finalmente:

P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)

6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1

Resolución:

Paso 1:El polinomio no es mónico, usaremos opcionalmente:

principalecoeficientdeldivisores

nteindependietérminodeldivisores±

±

2;1

1





Paso 2:Evaluamos:

Para: x = 1→ P(1) = 2(1)3 + (1)2 + (1) - 1 = 3 (No)

Para: x = -1

→ P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1 = -3 (No)

Para: x =2

1

→ 0121

21

21

2P23

21 =−

+

+

=

Entonces

−

2

1x , es un factor..

Paso 3:

Utilizando Ruffini :

2

1x

P )x(

−

x =2 1 1

1 1

2 2 2

-1

1

0

12

Finalmente:

( ) ( )( )1xx22

1x22x2x2

2

1xP 22

)x( ++

−=++

−=

P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1)

Bloque I

1. Factorizar e indique un factor primo.P(a;b) = 15a2 - ab - 6b2 + 34a + 28b - 16

a) 5a + 3b + 2 b) 5a + 3b - 2c) 5a - 3b - 9 d) a + b - 2e) Ninguna

2. Indicar uno de los coeficientes de "y" en uno de losfactores primos de:

P(x;y) = 6x2 - xy - 12y2 + x - 10y - 2

a) 1 b) 2 c) 8d) 4 e) 6

3. Factorizar:F(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1


a) x2 + x + 1 b) x2 + x + 2c) x2 + x - 2 d) x2 + 1e) x2 - x + 2

4. Factorizar:P(x) = x4 + 3x3 - x2 + 7x + 2


a) x2 + x + 4 b) x2 - x + 2c) x2 + x + 7 d) x2 + x - 4e) x2 + x + 8

5. Factorizar:P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6

Indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1

6. Factorizar:M(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24

Indicar la suma de términos independientes.

a) -3 b) -5 c) -7d) 4 e) 6

7. Factorizar:S(x;y) = 15x2 - xy - 6y2 + 34x + 28y - 16


a) 5x + 3y - 2 b) 5x + y + 2c) 5x + y + 3 d) 5x - y + 7e) Ninguna

8. Factorizar:R (x) = x8 + 5x6 + 19x4 + 35x2 + 36


a) x2 + x + 2 b) x2 - x + 16c) x2 + x + 4 d) x2 + x + 5

e) x2

+ x + 69. Factorizar: A(x) = x4 + 2x2 + 9

Indicar un término de un factor primo.

a) x b) 8x c) 7xd) x2 e) 9

10.Factorizar: M(x) = x3 - 13x + 12Indicar un factor.

a) x + 3 b) x + 1 c) x - 2d) x - 4 e) x + 4






Bloque II

1. Factorizar:R (x) = x3 + 10x2 + 31x + 30

Indicar la suma de términos constantes de sus factoresprimos.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

2. Factorizar:P(y) = y4 - 13y3 + 60y2 - 116y + 80

Indicando un factor primo.

a) y - 5 b) y - 16 c) y - 18d) y + 18 e) y + 5

3. Factorizar:F(x) = x5 + 4x4 - 10x2 - x + 6

Indicando el factor que mas se repite.

a) x + 1 b) x - 1 c) x + 2d) x + 3 e) x + 8

4. Factorizar:F(x) = x12 - 17x6 - 36x3 - 20

Indicando un factor primo.

a) x3 - 2 b) x3 + 7 c) x3 + 4d) x3 - 10 e) x2 - x + 1

5. Factorizar:

P(x) = 4x6 - 28x5 + 35x4 + 35x3 - 49x2 - 7x + 10Indicar un factor primo.

a) 2x + 1 b) 2x - 7 c) 2x - 3d) 2x + 5 e) 2x + 8

6. Si a uno de los factores primos de:x2y2(3x2 + 3y2 + 5xy) + (x + y)3 (x3 + y3)

Se le agrega el término xy se forma un trinomio el cualtiene como uno de sus divisores a:

a) x + 2y b) x + y c) 2x + y

d) x - y e) x - 2y7. La suma de los factores primos de:

(x2 - bx + 2b2)3 + 4x2b2(x - b)2 - 80b6

es de la forma: x2 + x + c, calcular el valor de la constante"c".

a) 5 b) 12 c) 13d) 15 e) 0

8. Factorizar:P(x;y;z)=6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz - 17xz

e indicar la suma de sus factores primos.

a) 5x - y - 5z b) 3x - 4y + 2zc) 2x + 5y - 7z d) 5x + y - 5ze) 3x + y - z

9. Factorizar:Q(x) = x4 + 2x2 + 9

Indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

Bloque III

1. Factorizar:P(x) = x5 + x - 1

a) (x2 - x + 1) (x3 + x2 - 1)b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 - 1)c) (x2 - x + 1) (x3 + x2 + 1)d) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)e) (x2 - x - 1) (x3 - x2 + 1)

2. Factorizar:P

(x) = x5 + x + 1

a) (x2 - x - 1) (x3 - 1)b) (x2 + x + 1) (x3 + 1)c) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)d) (x2 - x + 1) (x3 - x2 + 1)e) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)

3. Factorizar:P(x) = x5 - x4 - 2x3 + 2x2 - 1

a) (x2 - x - 1) (x3 - x + 1)b) (x2 + x + 1) (x3 + x + 1)

c) (x2 - x - 1) (x3 - x - 1)d) (x2 - 1) (x3 + 1)e) (x2 - x - 1) (x3 + 1)

4. Factorizar:x7 + x5 + x3 - x2 + 1

a) (x3 + x - 1) (x4 - 1)b) (x3 - x - 1) (x4 + x - 1)c) (x3 + x + 1) (x4 + x + 1)d) (x3 + x + 1) (x4 - x + 1)e) (x3 + x + 1) (x4 + 2x + 1)

5. Factorizar:P(x) = x13 + x8 - x6 - x2 - 2x - 1

a) (x6 + x + 1) (x7 - x - 1)b) (x6 - x + 1) (x7 - x - 1)c) (x6 - x + 1) (x7 + x + 1)d) (x6 - 1) (x7 - x + 1)e) (x6 + 1) (x7 - x - 1)

6. Luego de factorizar:P(x;y) = x5 + x4y + y5

señale el término de un factor primo.

a) -x3y3 b) -xy2 c) x4yd) x2y2 e) x3y2





7. Luego de factorizar:P(x) = x5 + x2 + 2x + 2

Dar un factor primo.

a) x2 + 2x - 1 b) x2 - x - 1c) x2 + x - 1 d) x2 + x + 1e) x - 1

8. Factorizar:P(a;b;c) = 3(ac2+b2c+a2b)+9(a2c+c2b+b2a)+28abc

a) (3 + a) (3 + b) (3 + c)b) (a + b + 3) (b + c + 3) (c + a + 3)c) (3a + b) (3b + c) (3c + a)d) (a + 3b) (b + 3c) (c + 3a)e) (a + b) (b + c) (c + a)

9. Factorizar:P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x + 6

a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x2 + 1)

b)

+

21

x (x + 2) (2x + 1) (x2 + 9x + 6)

c) (x + 1) (x + 2) (2x + 1) (x2 + 9x + 1)d) (x - 1) (x - 2) (2x - 1) (x2 + 9x + 1)e) x(x + 2) (2x + 1) (x2 + 9x + 6)

10.Factorizar:F(a;b;c) = a(b3 - c3) + b(c3 - a3) + c(a3 - b3)

a) (a - b) (b - c) (c - a) (a + b + c)

b) (a + b) (b + c) (c + a) (a + b + c)c) (a - b) (b - c) (c - a) (a - b - c)d) (a - b) (b - c) (c - a)e) (a + b + c) (a + b) (b + c - a)

Aut oevaluac ión

1. Factorizar:P(x) = 2x4 - 4x3 + 3x2 + 5x + 4

a) (2x2 + 2x + 1) (x2 - 12x - 4)b) (x2 + 2x + 1) (2x2 - 12x - 4)c) (2x2 + 2x + 1) (x2 + 12x - 4)d) (2x2 + 2x + 1) (x2 + 12x - 4)e) (2x2 + 1) (x2 + x - 4)

2. Indicar la suma de sus factores primos, luego defactorizar:

F(x;y) = 12x2 + 8xy - 15y2 + 46x + 55y + 20

a) 4x + 4y + 21 b) 8x - 2y + 21c) 4x - 2y + 21 d) 4x - 2y - 21e) x + y + 21

3. Factorizar:

P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6


a) x + 1 b) x - 1 c) x + 2d) x + 3 e) x + 6

4. Factorizar:

P(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6

Indicar la suma de los términos independientes de susfactores primos.

a) -2 b) -1 c) 3d) 6 e) 12

5. Factorizar:

P(x) = x3 + 3x2 - 10x - 24

a) (x + 2) (x - 3) (x - 4)b) (x - 2) (x - 3) (x - 4)c) (x + 2) (x - 3) (x + 4)d) (x - 2) (x + 3) (x + 4)e) (x + 2) (x + 3) (x + 4)



75Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEc uac iones de segundo grado

Capít ulo VII

¿Cuáles son las raíces de la ecuación: 2 x = x2?

Dos de esas raíces son evidentes: x = 2 Ù x = 4. Mas, trazando los gráficos de lasfunciones y = 2x Ù y = x2, constatamos que hay una raíz negativa, como se ve en lasiguiente figura.

A propósito de esa raíz negativa, el profesor Carlos Alberto Ceotto de Vitória, ES,pregunta:1° ¿Es tal raíz un número racional o irracional?2° ¿Es posible obtenerla por un proceso puramente algebraico?

El problema de determinar las raíces de la ecuación 2x = x2 me ha sido propuestovarias veces, en diferentes ocasiones. La curiosidad que él suscita tal vez se deba alhecho de que las personas generalmente se sienten inseguras cuando, para resolveruna ecuación, necesitan apelar a los abominables «métodos numéricos».

Estamos condicionados a preferir métodos «algebraicos», fórmulas tales como la de la ecuación de segundo grado,o artificios específicos para cada ecuación que enfrentamos. Al adoptar este punto de vista, no obstante, estamosolvidando dos cosas:a) Una «fórmula cerrada», como la que existe para ecuaciones de 2°, 3° y 4° grado, es muchas veces una victoria

ilusoria; ni siquiera nos da una idea del orden de magnitud de las soluciones;b) Todo proceso de resolución de una ecuación recae, tarde o temprano, en un cálculo numérico que dará el resultado

final, con la aproximación deseada.En el caso en cuestión, la raíz negativa de la ecuación: 2x = x2 puede ser obtenida, de modo simple, por el método

de las aproximaciones sucesivas. El resultado es x = -0,7666646959, con 10 cifras decimales exactas.

16

40

y = 2x

4

2

y = x2

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

FORMA FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN

ax + bx + c = 0; a 02 depende

suma

se resuelve por

Factorización Fórmula

AB = 0

A=0 B=0 ∨x =1,2 2a

-b b -4ac2

∆ = b - 4ac2

Discriminante

si

∆ > 0

Raíces realesdiferentes

∆ = 0

Raícesiguales

∆ < 0

Raícescomplejas

y conjugadas

∆ 0

Raícesreales

>

x x1

2 x = x1 2 x = m + nix = m - nim; n IR,

además: i = -1

12

producto

Diferencia

se debe tener

Suma = S - b a

Producto = P c a

donde

x - Sx + P = 02

-ba

ca

∆|a|

S = P =



Ecuac iones de segundo grado


Teorema : (Raíces irracionales conjugadas)

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 de raícesx1 ∧ x2; donde (a, b, c) ∈ Q (coeficientes racionales).

Si: x1 = m + n , es una raíz irracional, entonces:x2 = m - n , es la otra raíz irracional conjugada.

∴ C.S. = {m + n ; m - n }

Teorema : (Raíces complejas conjugadas)

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 de raícesx1 ∧ x2; donde (a, b, c) ∈ IR.

Si: x1 = m + ni, es una raíz compleja, entonces:x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.

C.S. = {m + ni ; m - ni} m, n ∈ IR

Bloque I

1. Resolver:

5x2

+ 7x + 1 = 0

Señalar la suma de soluciones.

a)5

7b)

5

1c) -

5

1

d) -5

7e) 1

2. Resolver:3x2 - 6x - 1 = 0

a)3

323 +b)

333 +

c)3

33 −d)

3332 −

e) 1

3. Si la ecuación:(b + 5)x2 + 3bx + b = 0presenta raíces iguales. Hallar “b”.

a) 0 b) - 2 c) 4d) 8 e) 6

4. Formar una ecuación de segundo grado, sabiendo quesus raíces son:

27x;27x 21 −=+=

a) x2 - 14x + 49 = 0

b) x2

- 14x + 45 = 0c) x2 - 14x + 47 = 0d) x2 + 14x - 47 = 0e) x2 - 14x - 47 = 0






5. En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces.x(x + 2) + 5 = 3(2 - x) + x

a) 2 b) - 2 c) 4d) - 4 e) 5

6. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.

(m - 2)x2 - (m + 5)x + 8 = 0

a) 25 b)925

c)259

d)4

1e) N.A.

7. Dada la ecuación:9x2 + 5x + 1 = 0con raíces “x1” y “x2”. Calcular “k”, si: 3(x1x2)

k - 4 = 1

a)2

9b)

2

7c)

2

5

d) 4 e) 9

8. Resolver la ecuación:x2 - 7x + 12 = 0

y dar como respuesta el producto de las raíces divididoentre la suma de las raíces.

a)127

b)712

c) -127

d) -712

e) 1

9. En la ecuación:x2 + 6x - m = 0

Hallar “m”, si una raíz es - 2.

a) - 1 b) - 4 c) - 8d) 6 e) 2

10.Hallar el valor de “k” que hace que la suma de las raíces

de la ecuación:x2 + kx + 2x - k 2 + 4 = 0sea igual al producto de las mismas.(k < 0)

a) - 3 b) - 2 c) 0d) - 1 e) N.A.

Bloque II

1. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble.x2 - (m + 1)x + 25 = 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 10

2. Si la ecuación:ax2 + bx + c = 0

tiene raíces simétricas “x1” y “x2”, calcular:M = x1

2001 + x22001

a) 1 b) - 1 c) - 2d) 2 e) 0

3. Calcular la suma de raíces de la ecuación:x2 - ∆x + ∆ = 0∆ > 0. ∆: Discriminante.

a) 3 b) 2 c) 5d) - 2 e) F.D.

4. Determinar el valor de “p” para la siguiente ecuación:x2 - 6x + 4 + p = 0sabiendo que la diferencia de sus raíceses 2.

a) 1 b) - 1 c) 4d) - 2 e) 0

5. Formar una ecuación de segundo grado que tenga poruna de sus raíces:

4

5-7

a) 8x2 + 20x + 9 = 0b) 16x2 + 20x + 9 = 0c) 8x2 + 40x + 9 = 0

d) 16x2 + 20x + 18 = 0e) 8x2 + 10x + 18 = 0

6. Formar la ecuación de segundo grado, si tiene por raíces:

M ± 1-M2

a) 2x2 - Mx + 2 = 0b) 2x2 - 4Mx + 2 = 0c) 2x2 - 2Mx + 1 = 0d) 2x2 - 2Mx + 2 = 0e) 2x2 - Mx + 1 = 0

7. Indique el mínimo valor entero que puede tomar “a” para que una de las raíces de la ecuación:x2 + (3 - 2a)x - 6a = 0sea mayor que 18.

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 11

8. Si “α” y “β” son raíces de la ecuación:x2 - 6x + c = 0entonces el valor de:

M = 9c2

22

+β+α





es igual a:

a) 3 b) 6 c) - 6d) 4 e) - 3

9. Hallar el valor de “k”, en la ecuación:(k - 1)x2 - 5x + 3k - 7 = 0

para que una de las raíces de la ecuación sea la inversamultiplicativa de la otra.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

10.Para que una de las raíces de la ecuación:ax2 + bx + c = 0

sea el triple de la otra, entonces la relación decoeficientes es:

a) 16b2 = 4ac b) 3b2 = 16acc) 16b2 = 3a d) 9b2 = 16ac

e) 3b2

= 16a

Bloque III

1. Sea la ecuación cuadrática: x2 - mx + m - 1 = 0indique la diferencia entre el mayor y menor valor de

“m”, si el discriminante es igual a la suma de raíces.

a) 2 b) 3 c) 1d) 0 e) 4

2. Calcular el valor de “m” no nulo para que una raíz de laecuación (1) sea el triple de una raíz de la ecuación (2).

x2 - 11x + m = 0 ... (1)x2 - 9x + m = 0 ... (2)

a) 12 b) 24 c) 28d) 26 e) 48

3. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:2ax2 - (8b - 3)x + 18 = 0x2 + (b + 5)x + 6 = 0son equivalentes (tienen las mismas raíces).

a)61 b) -

23 c) -

21

d) -2

9e) -

9

2

4. Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de laecuación de incógnita “x”:

(k - a)(x2 - x) = -(k + a)si: S < P; son números consecutivos.Hallar “k” en función de “a”.

a) - a b) 2a c) a

d) 3a e)

2

a3

5. Los límites hacia los que tienden las raíces de laecuación:(a - 2)x2 - (7a - 2)x + 6a = 0cuando “a” crece indefinidamente.

a) 1 y 6 b) 2 y 3 c) 1 y 3d) 2 y 6 e) N.A.

6. Para qué valor de "n" las raíces de la ecuación:

1n

1n

25x

3xx2

+

−

=+

+

son simétricas.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

7. Si "x1" y "x2" son las raíces de la ecuación: x2 - 3x + 1 = 0.Calcular el valor de:

( ) ( )1xx1xxM 222

211 +++=

a) 6 b) 19 c) 21

d) 23 e) 25

8. Dada la ecuación: 5x2 + 7x + 3 = 0Determinar la ecuación de segundo grado que tiene porraíces las inversas de las raíces de la ecuación.

a) x2 + 7x + 5 = 0b) 2x2 + 7x + 5 = 0c) 3x2 + 7x + 5 = 0d) x2 + 2x + 3 = 0e) x2 + 5x + 7 = 0

9. Si "p" y "q" son las raíces reales de la ecuación:x2 + x - 1 = 0 y la función cuadrática: f (x) = x2 + ax + b;se anula para:

p1

qx;q1

px 21 −=−=

Hallar "ab".

a) 6 b) -6 c) 8d) -8 e) 4





Aut oevaluac ión

1. Cuáles son las raíces de la ecuación: x2 - 3px + 2p2 = 0

a) p y - 3p b) - p yp2 c) p y 2p2

d) p y 2p e) - p y -2p

2. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación: x2 - px + 36 = 0.

Determinar “p” de modo que: 12511

=β

+α

a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11

3. Hallar la ecuación cuyas raíces sean:

( ) ( )3223y3223 −+

a) x2 - 26 x + 6 = 0 b) x2 + 6x + 6 = 0

c) x2 + 26 x + 6 = 0 d) x2 + 26 x - 6 = 0

e) x2 - 26 x - 6 = 0

4. Hallar el valor de “b” si la ecuación: 5x2 - bx = 9 tienecomo solución: x = 3

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14



81Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepaso

Capít ulo VII I

Un poco de álgebra

¿Sabías que el álgebra que se estudia en secundaria es muy antigua? Aquí encontrarás algunos pasajes de su historia.Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y

segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas.En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos

que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método pararesolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el «método de la falsa posición». No tenían notación simbólica peroutilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. losmatemáticos chinos escribieron el libro jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversosmétodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.Con su ábaco (suan zi) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso variasreglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofano de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historiade las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las desegundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílabade la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo quesiglos más tarde sería «la teoría de ecuaciones». A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantesque eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivosy negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al - Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentalespara el concimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos decálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio

origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a losmétodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de «procedimiento sistemático de cálculo». En cuantoa la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra,

Al-jabr wal muqabala.En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al - Jwarizmi y cuyos avances

en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de

Diofanto y Al - Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo,

Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tressiglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos,

introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamenteexponentes positivos o negativos.En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d’Eger inventó los símbolos «+» y «-» para sustituir las letras «p» y

«m» que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y laresta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Estesímbolo era una forma estilizada de la letra «r» de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de losnúmeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.En 1591 el matemático francés Francois Viéte desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las

incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la «geometría analítica».

Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabetoa, b, c, ... y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy endía.



R e p a s o



1. Resolver : 2abx2 - (b2 + 6a2)x + 3ab = 0; ab ≠ 0

Resolución:

Aplicando en aspa simple:

2abx - (b + 6a )x + 3ab = 02 2 2

2ax

bx

-b

-3a

-b x2

-6a x2

-(b +6a )x2 2

Luego : (2ax - b) (bx - 3a) = 02ax - b = 0 ∨ bx - 3a = 0

x = a2

b

∨ x = b

a3

C.S. =

b

a3;

a2

b

2. Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación:2x2 - mx + (m + 6) = 0 ; tenga raíces iguales.

Resolución:

Las raíces de la ecuación serán iguales si eldiscriminante:

∆ = b2 - 4ac = 0

De la ecuación

+=−=

=

6mcmb

2a

Reemplazando en ∆:

(-m)2 - 4(2)(m+6) = 0 → m2 - 8m - 48 = 0 m -12

m +4 (m - 12) (m + 4) = 0

→ m - 12 = 0 ∨ m + 4 = 0

Finalmente : m = 12 ∨ m = -4

3. Determinar la suma de los valores de “k” que hacenque la suma de las raíces de la ecuación:x2 + kx + 2x - k 2 + 4 = 0; sea igual al producto de lasmismas.

Resolución:

Dando forma a la ecuación:1x2 + (k+2)x + (4 - k 2) = 0

Según el problema:x1 + x2 = x1 .x2

1k 4

1)2k ( 2−=

+−

- k - 2 = 4 - k 2→ k 2 - k - 6 = 0

k -3k +2

(k - 3) (k + 2) = 0

De donde: k - 3 = 0 ∨ k + 2 = 0k = 3 ∨ k = -2

Piden: 3 - 2 = 1

4. Determinar el valor de “p” en la ecuación:

x2

- 6x + 4 + p = 0; sabiendo que la diferencia de susraíces es 2.

Resolución:

Por propiedad:a

xx 21

∆=−

Dato del problema : x1 - x2 = 2

Reemplazando datos :

1)p4)(1(4)6(2

2

+−−= → 2p41636 =−−

Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 ⇒ 4p = 16

∴ p = 4

5. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación:

1n

1n

2x5

x3x2

+−

=+

+; sean simétricas.

Resolución:

Multiplicando en aspa se tiene:

(n + 1) (x2 + 3x) = (n - 1) (5x + 2)

Efectuando :

(n + 1)x2 + 3(n + 1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)

Transponiendo y agrupando:

(n + 1)x2 + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0

(n + 1)x2 +(-2n + 8)x - 2(n - 1) = 0



R e p a s o


Las raíces de la ecuación serán simétricas si: x1 + x2 = 0

01n

)8n2(=

++−

−

-2n + 8 = 0 → 2n = 8

Finalmente : n = 4

6. Forma la ecuación de 2do grado de coeficientes reales, siuna de sus raíces es: x1 = 2 - 5i

Resolución:

Por teorema de raíces complejas conjugadas, si:x1 = 2 - 5i, entonces la otra raíz es: x2 = 2 + 5i

Para formar la ecuación se necesita:

+−===++−=+=

)i52)(i52(xxP4i52i52xxS

21

21

= 22 - (5i)2 = 4 - 25i2

pero: 1i1i 2 −=⇒−=

Reemplazando:P = x1x2 = 4 - 25 (-1) = 29

Luego la ecuación es:x2 - Sx + P = 0

Es decir: x2 - 4x + 29 = 0

Bloque I

1. Resolver: x2 - 7x - 18 = 0

Indicar la mayor solución.

a) 1 b) 2 c) 9d) -2 e) 16

2. Resolver: (x + 2) (x + 3) = 6Hallar la mayor solución.

a) 5 b) 0 c) -5d) 6 e) 10

3. Resolver: (x - 15) (x + 15) = 400

indicando la mayor solución.a) 23 b) 24 c) 25d) 27 e) 30


4. Resolver: 4(x2 - 1) = 4x - 1indicando la solución negativa.

a) -2

1b) -

2

3c)

7

2

d) - 4

1

e) - 6

1

5. Resolver: (2x - 3)2 = 8xindicando la mayor solución.

a)4

1b)

2

9c)

4

3

d)8

1e)

4

9

6. Resolver2

3

x

x

9=−

Indicar la solución negativa.

a) -2 b) -3 c) -9d) -6 e) -4

7. Resolver:

53x

1x =

−+

indicando una solución.

a) 3 b) 6 c) 10d) 4 e) 9

8. Resolver:

747

5x21

7x

=+

+

indicando la mayor solución.

a) 12 b) 40 c) 44

d) 41 e) 469. Resolver:

14x

x1x

x=

++

+

Hallar la suma de soluciones.

a) 1 b) 2 c) -2d) 0 e) 6

10.Resolver:

2x2 2x2x x2 =+++

Indicar una solución.



R e p a s o


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Bloque II

1. Si: P(x) = x2 - 3x + 1Hallar la suma de las soluciones de la ecuación:

P(x) = P(ax) ; | a | ≠ 1

a)1a

1a22 +

+b) 1a

3a32 −−

c)1a

1a32 +

+

d) 1a3− e) 0

2. Resolver indicando una raíz:(a2 - b2) (x2 + 1) + 2(a2 + b2)x = 0

a) abab

−+ b)

abba 22 + c) ba

ba−+

d)b

ae) ab

3. Una solución de la ecuación:3x2 + 4x + 12a + 9ax = 0es mayor que 6, si a ∈ IR, entonces:

a) a = 2 b) a < 2 c) a = -2d) a < -2 e) -2 < a < 2

4. Resolver: x624x6x2x 22 −=++

Hallar "x" e indique un valor.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

5. Si: x0; verifica la relación |x0| < 2 y también es unasolución de la ecuación:|x2 + 2x + 8| + |x2 - 4| = |x|2 + 8

Dar el valor de (x0 - 1)3.

a) 55 b) 5 c) - 5

d) 55− e) N.A.

6. Resolver la ecuación:

4x|16x|2

2xx 22

−−

=−

a) )}15(2;)15(2{ +−

b) )}15(2;)15(2{ −−−

c) )}15(2;)15(2{ +−−

d) )}15(2;)15(2{ +−−−e) φ

7. Si las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 sonreales y distintas, indicar la naturaleza de las raíces dela ecuación: 2a2x2 + 2abx + b2 - 2ac = 0; a, b ∈ IR +

a) son reales e igualesb) son complejas y diferentesc) son racionales y distintasd) son irracionales y conjugadase) son complejas y conjugadas

8. Señalar el valor de verdad de las siguientesafirmaciones:

I. A = {x∈Q / 10x2 = 13x + 3}; es un conjunto unitario.II. B = {y ∈ (IR - {0}) / -y = y-1}; es un conjunto no

vacío.III. Si: x ∈ IR y A = {a ∈ IR / 4x2 - 2ax + 3 + a; es un

trinomio cuadrado perfecto}; entonces: A ⊂{a ∈ ZZ / (x - a) es divisor de x3 + 24 - 6x2 - 4x}

a) VFV b) FVF c) FFVd) FVV e) FFF

9. Si "a" y "b" son números reales para los cuales lasecuaciones:

(7a - 2)x2 - (5a - 3)x + 1 = 0 8bx2 - (4b + 2)x + 2 = 0

tienen las mismas raíces, entonces el valor de (a + b)

es:

a) 5 b) 3 c) -1d) -3 e) 2

10.Determinar el conjunto:

F = {k ∈ IR / x2 + 3k + 1 = (k + 2)x; tiene solucionesreales}.

a) <0;8>b) [0;8]c) <- ∞ ;0> ∪<8;∞ >

d) <- ∞ ;0] ∪[8; ∞ >e) <-8;8>

Bloque III

1. Sea la ecuación cuadrática:2x2 + (m + 1)x + 54 = 0encontrar la suma de valores de "m" para que suconjunto solución sea {r;3r}.

a) 1 b) 2 c) -2d) 3 e) -8

2. Siendo "x1" y "x2" las raíces de la ecuación:mx2 - 2(m - 1)x + m = 0El mayor valor de "m" que cumple la condición:



R e p a s o


:es,4x

x

x

x

1

2

2

1 =+

a) 2 - 6 b) 6 - 2 c) - 6 - 2

d) 2 + 6 e) 8 + 6

3. Se da la ecuación: x2 + bx + c =0 y sus dos raíces "r1" y"r2" reales y distintas. Decir el valor de verdad de lassiguientes afirmaciones:

I. Si: |r1| = |c|; entonces: r2 = ± 1II. Si: |r1 - r2| < 10-5; entonces:

|b2 - 4ac| < 10-5

III.Si: |c| < 1; entonces al menos una de las raíces esmenor que 1.

a) VVV b) FVV c) VVF

d) VFV e) FVF

4. Si la suma de los cuadrados de las soluciones de laecuación: x2 + (m - 2)x - (m + 3) = 0; es igual a unnúmero "k" mínimo y m ∈ IR. Hallar "m + k"

a) 10 b) 20 c) -10d) -20 e) 0

5. Sabiendo que "x1" y "x2" son raíces de:2x2 - 2x + 1 = 0

Halle:

−

= 2x

1x

1

21x

2x

2

1

xx

xxS

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

6. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean:

m33

33x;

m33

33x 21

−−=

−+=

a) mx2 + x - 18 = 0b) mx2 - 9x + 27 = 0c) mx2 - 9x + 3 = 0d) mx2 - 18x + 27 = 0e) mx2 - mx + 10 = 0

7. La ecuación de segundo grado con coeficientes enterosque admite como raíz al número complejo (2 - i 3 )es:

a) x2 - 4x + 7 = 0b) x2 - 4x + 1 = 0c) x2 + 4x - 1 = 0d) x2 + 4x + 1 = 0e) x2 + 4x + 7 = 0

8. Se ha dividido un terreno rectangular en parcelasobteniéndose 108 parcelas cuadradas de 121 m2 cadauna. En cada esquina de las parcelas se ha colocado unposte. Si se han necesitado 130 postes; calcular ladiferencia entre el largo y el ancho del terrenorectangular.

a) 22 m b) 44 c) 30d) 33 e) 40

9. Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa.El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 m, ellapodría abarcar cuatro veces el área original. Entoncesla longitud original de la cuerda es:

a)3

10m b) 5 c) 15

d) 20 e) 10

10.Vean ustedes: decía un abuelo refiriéndose a su edad:"No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años nitan viejo que se me pueda llamar noventón. Mis hijosviven en perfecta armonía, y cada uno de ellos me hadado tantos nietos como hermanos tiene; mi edad es

justamente el triple del número de hijos y nietos quetengo”. ¿Cuál será su edad?

a) 72 años b) 75 c) 80d) 84 e) 86

1. Resolver: x2 - 6x + 8 = 0Indicar la mayor solución.

a) 4 b) 2 c) 6d) 1 e) 8

2. Resolver: x2 - 4x - 21 = 0Indicar la menor solución.

a) -3 b) -2 c) -4d) -5 e) -10

3. Resolver:

2x

1x

1x

1x2

−+

=+−

indicando una raíz.

a)2

537 +b)

2

57 −c)

2

57 +

d)2

73 +e)

2

73 −

Aut oevaluac ión



R e p a s o


4. Hallar "q" en la ecuación de manera que una raíz sea 3.x2 - 7x + q = 0

a) 11 b) 12 c) 16d) 18 e) 17

5. Hallar "m" si las raíces son iguales.x2 - 4x + m = 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Departamento de Publicaciones - TrilceCOSI5SLIAL1B-04




1. Factorial - Número combinatorio........................................................................................ 33

2. Binomio de Newton .......................................................................................................... 39

3. Números complejos I ....................................................................................................... 45

4. Números complejos II ...................................................................................................... 51

5. Sistema de ecuaciones lineales ......................................................................................... 57

6. Matrices .......................................................................................................................... 65

7. Determinantes ................................................................................................................. 75

8. Repaso ........................................................................................................................... 83

ÍNDICE



33Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFactor ia l

Número combinator io

Capít ulo I

El jugador de turno vació sobre la mesa su caja de cerillas, distribuyéndolas en tres montones.

-¿Se dispone usted a hacer hogueras? -bromearon los presentes.

-El rompecabezas -explicó- será a base de cerillas. Tenemos tres montoncitos diferentes. En ellos hay en total 48

cerillas. No les digo cuántas hay en cada uno. Pero observen lo siguiente: si del primer montón paso al segundo tantas

cerillas como hay en éste, luego del segundo paso al tercero tantas cerillas como hay en ese tercero, y por último, del

tercero paso al primero tantas cerillas como existen ahora en ese primero, resulta que habrá el mismo número de cerillas

en cada montón. ¿Cuántas cerillas había en cada montón al principio?

Factorial de un número Z+

Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todoslos números enteros y positivos consecutivamente desdela unidad hasta el número considerado inclusive.

n! ó n ó n

Se lee: factorial de "n" ó "n" factorial.

2 = 1 . 2 = 2

3 = 1 . 2 . 3 = 6

4 = 1 . 2 . 3 . 4 = 24

5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

6 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720

7 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 = 5 040

8 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 40 320

En general:

n = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..... (n - 3) (n - 2) (n - 1) n

Regla:

- n + 3 = (n + 3) (n + 2) (n + 1) n(n - 1) ... 3 . 2 . 1

- 80 = 80 . 79 . 78 . 77 ..... 3 . 2 . 1

- 2n - 6 = (2n - 6) (2n - 7) (2n - 8) .... 3 . 2 . 1

- n - 4 = (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) ... 3 . 2 . 1

Observaciones:

1. a ± b a b±

2. ab a b

3. ab

ab

Propiedades:

1. n +0

2. Por definición: 1 = 1Por acuerdo: 0 = 1

a = 1 a = 1a = 0

3. Si: a = bEjemplo:

2x - 10 = 720

2x - 10 = 6

2x - 10 = 6

x = 8

4. Todo factorial mayor contiene un factorial menor (porlo menos).

n! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . ..... . (n - 2) (n - 1) (n)

n! = (n - 1)!n = n - 2 (n - 1) (n)

n + 3 = (n + 3) (n + 2) n + 1

2n + 5 = (2n + 5) (2n + 4) 2n + 3Número combinatorioRepresentación del número de combinaciones de "n"elementos tomados de "k" en "k".

k nk nn

k C;C;C

• Definición matemática:

C =nk

n

k n - k ; n k

.

42C =

42 4 - 2. =

2.224

= 6



Factor ia l - Número combinator io


73C =

73 . 4 =

7.6.5 . 4

6 . 4 = 35

5048

C =50

48 . 2 =50.49 . 48

48 . 2 = 1 225

• Regla práctica: (k ≤ 8)

C =nk

n

k n - k =

n(n-1)(n-2)....(n-k+1) n - k

1.2.3.......k n - k . .

- 35)3)(2)(1()5)(6)(7(

C73

- 6)2)(1()3)(4(

C42

- 35)4)(3)(2)(1()4)(5)(6)(7(

C74

• Propiedades:

1. nk C n Z +

k Z +0

k n

2. Propiedad complementaria:

C nk

= Cnn - k

- 8x6

8x)2x()8x(

8x2x CCC

- 2251)2)(1(

)49)(50(CC 50

25048 ===

C n

n

= Cn

0

= 1

- 33

100

70 CC1C

3. Igualdad:

C np

= C nq

1ra posibilidad: p = q2da posibilidad: p + q = n

4. Suma de combinatorios:

C nk

+ Cnk + 1

= Cn + 1k + 1

- 117

107

106

CCC

- 17x2x

16x1x

16x2x

CCC

- 125

114

103

92

81

70

CCCCCCS +++++=

C80 + C

81

C91 + C

92

C102 + C

103

C113 + C

114

C124 + C

125

C 135

5. C n1 = n

• Reglas de degradación

1. 1n1k

nk C

k n

C −−=

- 81

92

103

C.

2

9.

3

10C.

3

10C

- 4x1x

5x2x C.

2x5x

C

2. n1k

nk C.

k 1k n

C −+−

=

- 7x1x

7x1x

7x2x

C2x

6C.

2x

1)2x()7x(C

3. 1nk

nk C.

k nn

C −−

=

-63

63

73

C.4

7C.

37

7C






1. Simplificar:)!1n(!n

)!2n()!1n(!nS

++++++

=

Resolución:Podemos expresar: (n + 2)! = (n + 2) . (n + 1)n!

(n + 1)! = (n + 1)n!Reemplazando en el ejercicio:

)!1n(!n!n)1n()2n(!n)1n(!n

S++

+++++=

Factorizando n! en el numerador y denominador.

)]1n(1[!n

)]1n()2n()1n(1[!nS

+++++++

=

2nS2n )2n(2n 4n4nS22

+=→++=+ ++=

2. Simplificar:180n201n83n15n)!3n()!4n()!5n(

S234 +−+−

−+−+−=

Resolución:Escribiendo convenientemente el numerador yfactorizando el denominador.

)4n()5n()3n()!5n()4n()3n()!5n()4n()!5n(

S 2 −−−−−−+−−+−

=

)4n()5n()3n(

)]4n()3n()4n(1[)!5n(S

2 −−−−−+−+−

=

)4n()5n()3n(

]9n6n[)!5n(S

2

2

−−−+−−

=

)4n(

)!6n(S

)4n()5n(

)5n()!6n(S

−−

=→−−−−

=

3. Calcular "x", en: !14)!7x()!8x(

)!7x()!9x( =+++++

Resolución:

Factorizando el denominador:

!14)!7x()!7x()8x(

)!7x()!9x(=

++++++

!14

]1)8x[()!7x(

)!7x()!9x(=

+++

++

!149x)!9x(

=++

!14)9x(

)!8x()9x(=

+++

(x + 8)! = 14!Luego: x + 8 = 14 ® x = 6

4. Calcular "n" en: 1n

3

n

3

V6 V7 +=

Resolución:

)!31n(

)!1n(6

)!3n(

!n7

−++

=−

)!2n()!1n(

6)!3n(

!n7

−+

=−

Ordenando convenientemente:

)!3n()2n()!3n(6

!n)1n(!n

7−−

−=

+

2n

6

1n

7

−=

+ , en donde: n = 20

5. Calcular "x", en: x17x2

x7 CC −=

Resolución:

Se presenta dos posibilidades:

I. 7 = 2x - 17 ® 24 = 2x ® x = 12

II. 7 + 2x - 17 = x ® 2x - 10 = x ® x = 10

Si: x = 12 ® 127

127 CC =

Si: x = 10 ® 103

107 CC =

El problema tiene 2 respuestas: x = 10 ; x = 12

Bloque I

1. Simplificar:

!28

!30S

a) 840 b) 870 c) 890d) 860 e) 820

2. Reducir:

Q =12 + 1413 + 14






a)65

60b)

6561

c)6150

d)67

51e) N.A

3. Simplificar:

S =15 + 16 + 17

15 + 16+

(3!)!6!

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

4. Hallar "x" en: x + 4 = 30 x + 2

a) 1 b) -9 c) 2d) 3 e) 10

5. Hallar la suma de soluciones de la ecuación:4x - 3 = 1

a)43

b) 1 c)47

d)4

1 e)

8

1

6. Resolver la ecuación, hallando el número de soluciones:

x - x = 7202

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

7. Calcular:

M =400399

+10099

+43

a) 400 b) 100 c) 45d) 504 e) 506

8. Hallar "x" en: 1x

3

x

4C5C2

a) 10 b) 1 c) 9d) 8 e) 16

9. Calcular un valor para "n + p", en: n2p10

n22p CC

a) 4 b) 6 c) 10d) 14 e) N.A.

10.Calcular "x" en:

2C

CC2x

4

1x3

x2 =+

+

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

Bloque II

1. Resolver: (x + 1)! = x! + 7!x

a) 1 b) 2 c) 5d) 7 e) 9

2. Simplificar:

+

+

+++=

!36

!35!34

!70!69

!71

!7!6

!8!7!6P

a) 16 b) 18 c) 14d) 15 e) 10

3. Calcular "n", si:

59

4!n)3!n(!n =

+−

a) 24 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

4. Sabiendo que:ba

4

b

1

a

1

+=+

Simplificar:

)!1!b(!b)!!b(3

)!1!a(!a)!!a(2E

−+

−+=

a) 0,5 b) 0,6 c) 0,75d) 0,3 e) 0,2

5. Calcular:

!9.!8!7.!10R +=

a) 9 ! b)2

!9c) 7 !

d) 2

!8

e) 36.7 !

6. Hallar "n":21n2

2121n2

22n21

2n21

1n22

2n20 CCCCCC

a) 20 b) 21 c) 28d) 24 e) 22

7. Hallar "x":

12x2CC)C(

C]CC[

m1x

2m1x

21mx

m1x

1mx

2m1x





a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

8. Calcular la suma:

1nC

......3

C

2

C

1

CS

nn

n2

n1

n0

a)1n

2 1n

b)1n

12 1n

c)n

12 1n

d)1n

12n

e)1n

12 1n

9. Determinar "m" a partir de:

!80!81

!81!82

1m

m2

−−

=−

a) 80 b) 81 c) 82d) 83 e) 84

10.Resolver:

23!x!)1x(!x

!)1x(2!xx −=

++−+

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Bloque III

1. Si: ,14)!m()n(

!8= calcular “m + n”

a) 5 b) 6 c) 10d) 8 e) 9

2. Calcular "n", si: 3n1n

5n1n C7C +

−+− =

a) 11 b) 10 c) 9

d) 7 e) 8

3. Indicar el producto de las soluciones de: x14x2

x4 CC −=

a) 42 b) 72 c) 108d) 90 e) 84

4. Calcular "x", si: 3x5

2x8

x7

x6

x5 CCCC2C ++ =+++

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

5. Hallar un valor de “m + n + p” en:

1CC....CCC 29p

sumandos"n"

m9

129

119

109 −=++++

a) 29 b) 52 c) 56d) 49 e) 0

6. Resolver:

2x22x

x2x

2x2

1x1

x0 C

21

11C...CCC +

+++ =++++

y calcular: x2 + x + 1

a) 31 b) 111 c) 421d) 73 e) 562

7. Calcular "n", si:3.3! + 4.4! + 5.5! + ... + n2.n2 ! = 145 ! - 6

a) 10 b) 12 c) 14d) 8 e) 16

8. Si:

−

=

1n

7611

n

773

Determinar: !!3

n

a) 6 b) 8 c) 15d) 48 e) 105

9. Reducir:

...!7

!8!9

!8

!9!10

!9

!10!11M +−+−+−=

a) 380 b) 385 c) 386d) 387 e) 400

10.Hallar "n", en:

78C

nC....

C

C4

C

C3

C

C21C

n1n

nn

n3

n4

n2

n3

n1

n2

n1 =++++

−

a) 1 b) 6 c) 12d) 13 e) 14

1. Simplificar:

)!2n()!1n()!3n()!2n()!1n(

K +++

+++++=

a) n! b) n c) (n+2)!d) n + 3 e) (n+3)!

Aut oevaluac ión





2. Calcular "a" de:

16)!2a(

)!2a()!1a(!a=

−−+−+

a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 6

3. Reducir:134

123

112

101

80 CCCCC ++++

a) 60C b) 14

4C c) 133C

d) 135C e) 14

5C

4. Calcular "n", en:

4n4n

4n3

4n2

4n1

4n0 C....CCCC +

+++++ +++++ = 1024

a) 6 b) 52 c) 4d) 3 e) 8

5. Calcular "x", en:

2C

CC2x

4

1x3

x2 =+

+

+

a) 2 b) 3 c) 1d) 5 e) 4



39Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOBinomio de New t on

Capít ulo I I

Blaise Pascal(1623 - 1662)

Desde muy joven, Blaise Pascal demostró tener sorprendentes dotes para las matemáticas. A los doce años había leído y

entendido, por su cuenta, toda la geometría euclidiana; a los catorce años participaba activamente en las reuniones matemáticas

en la celda de Mersenne; a los diecisiete años escribió su primer libro, Essay pourles Coniques, en el que describe la mayoría de

las propiedades de las secciones cónicas y reinventa todo el trabajo de Apolonio (190 a.C.) y de otros matemáticos griegos.

Pascal está relacionado con otros y muchos aspectos de las matemáticas: inventó la primera máquina de calcular que se

conoce; fue, junto con Fermat, uno de los iniciadores del cálculo de probabilidades y del cálculo combinatorio; también usó

y estudió el llamado "triángulo de Pascal", que él llamaba "triángulo aritmético", y que el matemático chino Yang Hui ya

conocía en el siglo XIII.

A los 23 años, Pascal abandonó las matemáticas para dedicarse a los problemas de la fe religiosa; se sabe que vivió

angustiado por no poder conciliar su espíritu científico con su religión. Escribió entre otras cosas Pensées, obra en la que

aparece su famosa apuesta: Pascal argumenta que, aún suponiendo que sea muy pequeña la probabilidad de que Dios exista

y de que sea verdadera la fe cristiana, siendo infinitamente grande la recompensa que es lograr la felicidad eterna, conviene

creer en Dios y en la fe cristiana.Es claro que este tipo de argumento no calmó los tormentos metafísicos de Pascal, que se preguntaba en otra parte de

la obra si era probable la probabilidad y si tenía algún interés el estudio de aquellas "bagatelas".

Cuando tenía 16 años, Pascal descubrió un teorema del que dedujo 400 corolarios; denominó la figura obtenida "exagrama místico".

"Si se marcan seis puntos cualesquiera sobre una cónica (círculo, elipse, hipérbola, parábola) con los números 1; 2; 3; 4; 5

y 6, las intersecciones de las rectas 1-2 y 4-5; 3-4 y 6-1; 5-6 y 2-3, están sobre una misma recta". (Es la llamada recta de Pascal).

Introducción al desarrollo del binomio de Newton(para exponente entero y positivo Z+)

Teorema

- Sean: x, a ¹ 0 Ù n Î Z+

∑=

−=+n

0k

k k nnk

n axC)ax(

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

(x + a)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4

(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5

(x + a)6 = x6 + 6x5a + 15x4a2 + 20x3a3 + 15x2a4 + 6xa5 + a6

(x + a)6 = 666

565

4264

3363

2462

561

660 aCxaCaxCaxCaxCaxCxC ++++++

. . .

.

(x + a)n =

binomiodelexpansióndesarrollo

nnn

33nn3

22nn2

1nn1

nn0 aC...axCaxCaxCxC +++++ −−−



Binomio de Newton


Triángulo de Pascal

(x + a)0 ® 1

(x + a)1 ® 1 1

(x + a)2 ® 1 2 1

(x + a)3 ® 1 3 3 1

(x + a)4 ® 1 4 6 4 1

(x + a)5 ® 1 5 10 10 5 1

(x + a)6 ® 1 6 15 20 15 6 1

[x+(-a)]n=(x-a)n= 33nn3

22nn2

1nn1

nn0 axCaxCaxCxC −−− −+−

nnnn )1(aC... −++

Propiedades:

1.

# de términosdel desarrollo

binomio (x + a)n

del = exponentedel binomio

+ 1

hallar el número de términos de:

B = (x + 2y)7 ® # de términos: 7 + 1 = 8

2. Si: x = a = 1, se obtiene la sumatoria de coeficientes:

nnn

n3

n2

n1

n0 2C.....CCCC =+++++

3n3n3n

3n3

3n2

3n1

3n0

2C...CCCC

12C....CCCC 2n2n 1n2n32n22n12n0

* B(x;y) = (3x3 + 2y2)60

Halla la suma de coeficientes.

x = y = 1 ® 560

3. Cálculo del término general: tk + 1 de (x + a)n

k k nnk 1k a.xCt −

+ =

1base

ra2

baseda

hallar el "t61" de:

B(x;y) = (3x2 + 2y3)90

t61 =18060603090

6060330290

60 y2x3C)y2()x3(C

4. Posición del término central:("n" ® exp. del binomio)

a. Para "n" par, un término central.

1t2n +

b. Para "n" impar, dos términos centrales

t t∧n+12

n+12 + 1

1. Encontrar un binomio tal, que al desarrollar su quintapotencia, se encuentra que el tercer término es 10x5 y

su quinto término5x

5 .

Resolución:

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5Comparando: 10a3b2 = 10x5 Þ a3b2 = x5 ...... (1)

5ab4 = 5x

5Þ ab4 = 5x

1.... (2)

(1) ´ (2) Þ a4b6 = 1; extrayendo ; a2b3 = 1 ... (3)

(2)2 Þ a2b8 = 10x

1 ..... (4)

(3) ̧ (4) 82

32

baba

=

10

x

11

Þ b-5 = x10 ® b = 2x

1

Reemplazando en (1) se obtiene (a = x3) luego el

binomio será:

+

2

3

x

1x

2. Hallar el valor de "m" sabiendo que la diferencia entrelos grados absolutos de los términos sexto y décimosexto del desarrollo del binomio (x4 + ym)2n es 10.

Resolución:

T6 =n2

5C (x4)2n-5 (ym)5, en donde su grado absoluto es:

8n - 20 + 5m




Binomio de Newton


T16 =n2

15C (x4)2n-15 y15m, en donde su grado absoluto

es: 8n - 60 + 15mPor condición del problema:(8n - 20 + 5m) - (8n - 60 + 15m) = 1040 - 10m = 10 Þ m = 3

3. Calcular el término independiente del desarrollo de:60

19x1x

+

Resolución:

Se sabe: Tk+1 =60k C (x)60-k (x-19)k

Tk+1 =60k C x60-20k

Para que sea el término independiente se debe cumplir:x60-20k = x0, de donde: 60 - 20k = 0 Þ k = 3 de dondese deduce que el término independiente es:

6034 CT =

4. Dado el binomio

50

5x

1x

+ , determinar:

a) El número de términos racionales e irracionales deldesarrollo.

b) El número de términos enteros y el número defraccionarios.

c) Encontrar el término independiente.

Resolución:

Tk+1 =50k C (x1/2)50-k (x-1/5)k

Tk+1 =50k C x25-k/2 . x-k/5

Tk+1 =50k C x25-7k/10

a. Para que una expresión sea racional, los exponentesde la parte literal de dicha expresión deben ser

enteros; luego: =−10

k 725 número entero, cosa

que se cumple para: k Î {0; 10; 20; 30; 40; 50} yaque k £ 50, luego hay 6 términos racionales y 45irracionales ya que el total de términos del binomioes 51.

b. Para que una expresión sea fraccionaria, alguno delos exponentes que afecta a sus letras debe sernegativo, luego:

25 -10

k 7< 0 ® 25 <

10

k 7®

luego: k Î {36, 37, 38, ... , 50}

Entonces habrá 15 términos fraccionarios y 36términos enteros.

* Nótese que para la resolución de este tipo de problemasse deberá observar las restricciones.

0 £ k £ n y k = número entero

en donde "n" es el exponente del binomio.

c. El término independiente se obtendrá haciendo:

x25-7k/10 = x0 de donde: 25 -10k 7 = 0 ® k =

7250

pero

"k" debe ser entero y positivo luego;

En el desarrollo de

50

5x

1x

+ , no hay término inde-

pendiente.

Bloque I

1. Hallar el cuarto término de (x2 + 2y)4

a) -30x3y2 b) 32xy2 c) 32x2y3

d) 28xy3 e) -28x2y3

2. Hallar el "t103" del siguiente desarrollo:

( )10433 ba −

a) 5 635a4b32 b) 5 356a6b34

c) 3 565a8b36 d) 6 536a4b32

e) N.A.

3. Hallar el noveno término de la expansión de:(2x5 + y3)11

a) 1 230x16y25 b) 1 023x15y28

c) 1 320x15y24 d) 2 130x16y24

e) N.A.

4. Halle el lugar del término que contiene como parte literal

a x29 en:22

2

x

3x2

+

a) 5to b) 4to c) 8vo

d) 6to e) 12avo

5. ¿A qué potencia se deberá elevar el binomio:

+

x2

1x2

si el término 11 debe ser de grado 20?

a) -15 b) -5 c) 10d) 25 e) 20


250 < 7k 35,7 < k



Binomio de Newton


6. Hallar el valor de "n" en (x + y)n si el coeficiente deltercer término es 105 el valor de "n".

a) 14 b) 15 c) 17d) 13 e) 16

7. Un término en el desarrollo de (x2 - 5y7)n tiene como

parte literal a: x6y35. Hallar el coeficiente del segundotérmino.

a) -30 b) -40 c) -50d) -60 e) -70

8. Si en el desarrollo de (a + b)m los valores de loscoeficientes de 4to, 5to y 6to término son respectivamente56; 70 y 56, luego el valor de "m" es:

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

9. El término independiente del desarrollo:13

5 3

2

x

1x

+ tiene por valor:

a) 297 b) 384 c) 286d) 354 e) 374

10.Si en el desarrollo del binomio:n2

3

x

y2x3

+

existe un término cuyas potencias de "x"e "y" son respectivamente 5 y 8, encontrar el númerode términos del desarrollo.

a) 8 b) 7 c) 9d) 6 e) 10

Bloque II

1. En el desarrollo de (4x + 3y)n la suma de los grados es110. Hallar el valor de "n".

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

2. Si en el binomio: (5x17 - y15)n la suma de exponentes es"n" veces la suma de coeficientes. Hallar "n".

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3. ¿Qué valor asume "n" en: (xn + x-2)17 de modo que elproducto de los términos centrales sea constante?

a)31 b)

21 c) 2

d) 4 e) 5

4. ¿A qué exponente debe elevarse el binomio (a + 2b) demanera que el cociente de los coeficientes de lostérminos de lugares once y diez resulte 20?

a) 108 b) 109 c) 110d) 111 e) 112

5. ¿Qué lugar ocupa el término de grado 48 en el desarrollode: (x2 + y3)18?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

6. Hallar el término independiente en el desarrollo de:9

4

2

x

3

3

x

+

a) 56 b) 79 c) 84

d) 126 e) 154

7. En el desarrollo de cada una de las potencias(ax5 + by7)3; (ax7 - by9)2 se observa que la suma decoeficientes es igual al triple de la suma de exponentes.Hallar "ab" (a > b).

a) -27 b) -5 c) 8d) 15 e) 18

8. Si el décimo término del desarrol lo de:(xb + xc)d es x18, hallar "c + d".

a) 1 b) 2 c) 9d) 11 e) 13

9. Si el tercer término del desarrollo del binomio: (n + x3)n

es "n" veces el cuarto término del desarrollo de(n + x2)n. Hallar "n".

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10.Determinar el término racional en el desarrollo de:

( )5

3 22 +

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Bloque III

1. Calcular el número de términos que tendrá el desarrollode: B(x;y) = (x + y2)n; si se cumple que los términos delugares 4 y 5 tienen el mismo coeficiente.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 6



Binomio de Newton


2. Hallar el coeficiente del antepenúltimo término de:B(x;y) = (2x2 + y)m; si se sabe que uno de los términosde su desarrollo es 672x6y6.

a) 36 b) 144 c) 18d) 84 e) 126

3. Sabiendo que en la expansión de: P(x) = (3x + 1)n; lostérminos de lugar sexto y séptimo, tienen el mismocoeficiente, calcular la suma de todos los coeficientesde dicha expansión.

a) 223 b) 236 c) 246

d) 250 e) 254

4. Calcular "n" (n Î Z+) de modo que uno de los términosdel desarrollo de:

n)y,x( )y

y

x(B +=

sea de la forma: m(xy)4

a) 10 b) 12 c) 16d) 18 e) 22

5. Si el grado absoluto del séptimo término del desarrollode: (x2y + z)n es 30, halle el grado de su término central.

a) 26 b) 28 c) 30d) 32 e) 34

6. Si:mxay; nx10y-b, son términos del desarrollo:822

)y,x( x2y

yx2B

+=

entonces "m + n" es:

a) 204 b) 256 c) 412d) 672 e) 704

7. En el desarrollo de:

n7

5

3 2

)y,x( )x

y

y

x(F +=

existen dos términos consecutivos, el primeroindependiente de "x", el segundo independiente de "y".Indique el número de términos del desarrollo.

a) 58 b) 60 c) 61d) 62 e) 63

8. ¿Cuántos términos fraccionarios hay en el desarrollo

de: 1003)x( )

x

3x2(Q ?

a) 18 b) 21 c) 24d) 25 e) 27

9. Determine el número de términos irracionales en eldesarrollo de:

4834)x( )xx(P

a) 26 b) 32 c) 34d) 42 e) 44

10.Hallar el término independiente de “x” si existe en laexpansión de:

9

4x

1x

+

a) 84 b) 72 c) 60d) 92 e) 96

1. Señalar la suma de coeficientes de (4a - 2b)8.

a) 128 b) 127 c) 255d) 256 e) 1 024

2. Al desarrollar (3x - 2y)3n se puede afirmar:

I. Que el polinomio resultante es de grado 3n.II. Que la suma de los coeficientes de los términos del

desarrollo es 1.III.Que los términos equidistantes de los extremos en

el desarrollo tienen los mismos coeficientes en valorabsoluto.IV. El polinomio resultante es completo con respecto a

las letras "x" e "y".

a) I b) II c) I y IId) I, II, III e) I, II y IV

3. Señalar el lugar que ocupa el término independiente

del desarrollo de:72

5

3

x

1x

+

a) 25 b) 31 c) 28d) 36 e) N.A.

4. Si "a" y "b" son los lugares que ocupan los términoscentrales de (x + y)3n+5 en donde "n" es un númeronatural. Calcular: b2 - a2

a) 5 - 4n b) 4n - 6 c) 3n + 6d) 3n + 5 e) N.A.

Aut oevaluac ión



45Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIONúmeros com ple jos I

Capít ulo I I I

Números imaginariosDentro del campo de los números reales IR podemos siempre hallar números "x" tales que: x2 - 1 = 0.

Los números reales 1 y - 1 satisfacen dicha ecuación.

¿Pero qué podemos decir sobre la ecuación: x2 + 1 = 0?

No existe ningún número real "x" que satisfaga esta ecuación puesto que el cuadrado de todo número real es positivo o cero

(x2 ≥ 0) y en consecuencia: x2 + 1 > 0

Se hace necesaria la ampliación de IR a un conjunto en la cual pueda resolverse situaciones del tipo anterior, tal conjunto

es el de los números complejos en la que definimos un número "i" tal que: i2 = -1

Números complejos

Un número complejo tiene la forma: a + ib ó a + bi, donde "a" y "b" son números reales y la "unidad imaginaria i" es un nuevo

número tal que: i2 = -1. Por eso a veces se escribe: i = .1− Los números complejos surgieron en matemática a fin de

hacer posible la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo: .i39 =− En consecuencia, toda ecuación de

segundo grado pasó a tener raíces. Por ejemplo: x2 - 2x + 5 = 0, posee raíces complejas: 1 + 2i y 1 - 2i.

DefiniciónSe llama número complejo a todo par ordenado (a, b)

de componentes reales.

Notación: Z = (a,b); donde "a" y "b" ∈ IR

Al número "a" se le llama parte real de Z. [Re(Z) = a] Al número "b" se le llama parte imaginaria de Z. [Im(Z) = b]

Sean: "a", "b", "c", "d" y "m" Î IR

Se define:

- Adición:(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

- Multiplicación:(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc)m(a,b) = (ma, mb)

Observación:

• Al número complejo (x,0) se le identifica con el númeroreal "x", lo cual se puede escribir: x = (x,0).

• Al par (0;1) se le llama unidad imaginaria y se lerepresenta por el símbolo "i".

Entonces al número complejo: Z = (a,b), lo podemosexpresar:

Z = (a,b) = a(1;0) + b(0;1)

Z = a + bi

Forma binómica o

cartesiana de unnúmero complejo

• Si: b = 0 ® el número complejo (a + 0i) se llamacomplejo real.

• Si: a = 0 ® el número complejo (0 + bi) se llamacomplejo imaginario puro.

• Dos números complejos: Z1 = a + bi y Z2 = c + di; soniguales si: a = c y b = d

• El conjugado de un número complejo: Z = a + bi es:

Z = a - bi

• El opuesto de un número complejo: Z = a + bi es: Z* = -a - bi

• Usamos la letra "C", para designar el conjunto:C = {z/z = a + bi; a Ù b Î IR }

Potencias naturales de "i"

i1 = i i7 = -ii2 = -1 i8 = 1

i3

= -i i9

= ii4 = 1 i10 = -1i5 = i i11 = -ii6 = -1 i-12 = 1

Propiedades:

1. i = 14n i = i4n + 1 i = -14n + 2 i = -i4n + 3 ; n Î IN

2. i + i + i + ...... + i = 0 ; n IN2 3 4n

3. (1 + i) = 2i2 ; (1 - i) = -2i2



Números comple jos I


4. (1 + i) =4 (1 - i)4 = -4

5. ii1

i1=

−+

ii1

i1−=

+−

Teorema

(a + k)n = a + k n; n Î IN

Módulo de un complejo: |Z|

Sea el: Z = (a,b) luego: |Z| = 22 ba , será su módulo.

Propiedades

1. |Z| ³ 0 ; " Z Î C

2. 0Z;Z

ZZ

ZZ.Z

33

21

3

21

3. |Z| = |-Z| = |Z|

4. Z.Z = |Z|2

5. |Z1 + Z2|2 + |Z1 - Z2|

2 = 2[|Z1|2 + |Z2|

2]

6. |Z1| + |Z

2| ³ |Z

1 + Z

2|

Propiedades del conjugado: Z1 y Z2 Î C

1. Z1 = Z1

2. 2121 ZZZZ

3. 2121 Z.ZZ.Z

4. )0;0(Z;Z

ZZZ

22

1

2

1

5. (Z)Re2

ZZ 11

6. (Z)Imi2ZZ 11


1. Calcular el valor de:9

9

i1

)i1(E

++

=

Resolución:Como: i9 = i

89

)i1(i1

)i1(E +=

++

=

Pero: (1 + i)8 = [(1 + i)2]4 = (2i)4 = 16i4 = 16Finalmente: E = 16

2. Calcular la expresión:

4413523506

144001849155

iiiii

i2iiiiiE

−−−−−

−−−−−−

−+−−++−+−

=

Resolución:Transformar las potencias:

4413523506

144001849155

i1

i1

i1

i1

i1

i2

i1

i1

i1

i1

i1

E−+−−

++−+−=

i1

i1

i1

)1(1

)1(1

)1(

2

1

1

)1(

1

i

1

i

1

i

1

E

0

33

0

0

3

−+−−

−−

−++

−−+−

=

3

i1i3

E −=−

=

3. Hallar "a" y "b" si se verifica la siguiente igualdad:

∈++=

+b,a;

b3ai4a3

bi1ai IR

Resolución:

Efectuando en aspa:

ai (a + 3b) = (1 + bi) (3a + 4i)

(a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3abi + 4bi2

(a2 + 3ab)i = 3a + 4i + 3abi + 4b(-1)





Ordenando:

0 + ( a

2 + 3ab)i = (3a - 4b) + (4 + 3ab)i

Igualamos partes reales e imaginarias:

+=+ =− )2(.....ab34ab3a)1(.............0b4a3

2

Resolviendo:

De (2): a2 = 4 ® ∴ a = ± 2

en (1): 3( ± 2) = 4b ® ∴ b = ±23

4. Simplificar:

zw2wzzw

2wz

|w||z|E

2222

22

−++++

+=

Resolución:

Por partes:

α+=++=++ ......2

)wz(2

zw2wzzw2

wz 22222

β−

=−+=−+ ....2

)wz(2

zw2wzzw2

wz 22222

"a" y "b" lo reemplazo en "E".

22

22

22

22

|wz||wz|)|w||z(|2

2)wz(

2)wz(

|w||z|E

−+++

=−

++

+=

22

22

|wz||wz|

)|w||z(|2E

−+++=

El denominador es equivalente a:

|z + w|2 + |z - w|2 = 2[|z|2 + |w|2]

Reemplazando se tiene:

1)|w||z(|2

)|w||z(|2E

22

22

=++

=

5. Sean los complejos:

m = 1 + yi ..... (1) n = u + vi ..... (2)

Además: m + n = a + 7i ........ (3) mn = -7 + 11i ..... (4)

Donde:

−=

.8y2entreocomprendidenteronúmerounes:"a".positivosenteros:"v","u","y"

1i

Calcular: a2 + y2 + u2 + v2

Resolución:

Reemplazando "m" y "n" en las otras expresiones:

* (1 + yi) + (u + vi) = a + 7i(1 + u) + (y + v)i = a + 7i ....... (I)

agrupando:

* (1 + yi) (u + vi) = -7 + 11i

ordenando y agrupando:

(u - yv) + (v + uy)i = -7 + 11i ...... (II)

De (I) y (II):

1 + u = a ... ay + v = 7 ... bu - yv = -7 ... q

v + uy = 11 ... g

Resolviendo el sistema: u = 3; y = 2; v = 5; a = 4

Se pide: a2 + y2 + v2 + u2 = 42 + 52 + 22 + 32 = 54

Bloque I

1. Efectuar:E = i + i2 + i3 + i4 + .... + i99 + i100

a) i b) -1 c) 0d) -i e) i + 1

2. Calcular:E = i-1 + i-2 + i-3 + ... + i-99 + i-101

a) i b) -1 c) -id) 0 e) 1 + i

3. Hallar el valor de: 1i2E −=

a) i b) 2i c) 3id) 4i e) N.A.






4. Efectuar: i2iiM 59 ++=

a) 0 b) 2i c) 4id) -2i e) -4i

5. Hallar "a", si "M" es un número real puro.

i1ai2M

−+=

a) -1 b) -2 c) 2d) 1 e) 4

6. Hallar "p", si el número "N" es un número imaginariopuro.

i2i3p

N++

=

a)2

3−b) -

32

c)1

32 −

d)32

e) 1

7. Efectuar: M = i-35 + i-42 + i-57

a) 0 b) 1 c) -1d) i e) -i

8. Efectuar:121197

9876

8765 iiiM ++=

a) 0 b) 1 c) id) -i e) -1

9. Calcular:

3.21.1S

a) 1 + 6 b) 1 + 5 c) -1 - 6

d) 1 + 2 e) i

10.Calcular:

P = i53 + i24 + i34 + i27; 1i

a) 1 b) -1 c) 0d) -2 e) i

Bloque II

1. Hallar el conjugado de: 3 + 2i

a) 3 + 4i b) -3 - 2i c) 3 - 2id) 3 + 6i e) 3 + 5i

2. Hallar el conjugado de: 8

a) -8 b) -8i c) 8id) 8 e) 16

3. Simplificar: K = i-45 + i21

a) 1 b) 0 c) -1d) -2 e) -8

4. Cuál es el equivalente de:

;ba

b

ba

aZ

si: a > 0; b > 0

a)ba

a

b)ba

ba

c)ba

b

d)baba

e)ab

ba 22

5. Hallar "n", para que al dividir los siguientes númeroscomplejos, el resultado sea puramente real:

i1;i210

ni75

a) 1 b) -1 c) -7

d)

7

1 e) 6

6. Hallar "a", para que Z sea un número imaginario puro.

i1;i32

ai86

a) 2 b) -2 c)21

d)2

1e)

41

7. Sumar:

1i;)i1(

1i1i1

i1i1

S6

a)8

1b)

81

c)8

i

d)8i

e)16i

8. Calcular:

1i;i1

)i1(W

9

9





a) 1 b) -16 c) 16d) 8 e) -8

9. Efectuar y dar el módulo del complejo:

4 9i2i2Z

a) 2 b) 42 c) 2

d) 3 e) 4 3

10.Simplificar:

+

++++

++++=

3

i2

iiiii

iiiiiK

27233581246032442541

33746542152

;

1i

a) 1 b) -1 c) 0d) -i e) i

Bloque III

1. Calcular el valor de:777

666555

444333

222111 iiiiiiiE

1i

a) 1 b) 2i c) id) 3i e) 3

2. Calcular el valor de:

1i;)i1(32

)i1(S

11

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 4

3. Reducir:

1i;)i1(

)i1()i1(

W 6

23

a) i b)2

ic)

4i

d)8

ie)

4

i

4. Calcular:

1i;)i1(S

4)i1()i1()i1()i1(

a) 4 b) -4 c) 8d) -8 e) 2i

5. Calcular:

y

y

; si se cumple:

(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = x + yi

a)3

1b) 3 c)

3

2

d)3

4e)

5

1

6. Calcular el menor valor que verifica; si: n Î IN(1 + i)n = 32i

a) 11 b) 9 c) 8d) 10 e) 12

7. Calcular:

S = (1 + i) + (2 + i2) + (3 + i3) + .... + (4n + i4n)

a) 2n(4n + 1) b) 2n(4n - 1)c) 2n(4n + 2) d) 2n(4n - 2)e) 8n2


22234322 ]

i

1....

i

1

i

1

i

1i1

1[Z

1i

a) 0 b) i c) -id) 2i e) -2i

9. Calcular:S = 3i+5i2+7i3+9i4+11i5+...+ (8n + 1)i4n - 4n

donde: 1i

a) 2ni b) -4ni c) 5nid) -5ni e) 6ni

10.Calcular:Z1 = (1 + i)200 - (1 - i)200

a) 2100 b) 0 c) 250

d) i e) -i

1. Calcular: 5i476 - 3i258

a) 4 b) 8 c) 12d) 36 e) 48

Aut oevaluac ión





2. Calcular el valor de: Z = (1 + i)3 - (1 + i)2

a) 1 b) -4 c) 4d) 2 e) -2

3. Siendo "i" la unidad imaginaria, calcular el valor de laexpresión:

32

100365432

iii2

i....iiiiii

−+−+++++++

a) -1 b) 1 c)21

d) -21

e)i

21


(1 + i)8 + (1 + i)6 + (1 + i)4 + (1 + i)2

a) 6 b) 6 - 12i c) 6 + 12id) 12 - 6i e) 12 + 6i

5. Sea el complejo: Z = 1 + iCalcular: Z8

a) 8 b) 4 c) 64d) 32 e) 16



51Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIONúmeros com ple jos I I

Capítu lo IV

ParadojaRafael Robson Negrao de Londrina Paraná, quiere una explicación para la paradoja:

11)1)(1(1.1i.i1 ==−−=−−==−

Esta cuestión es bastante antigua, pero resurge con increible frecuencia, lo que certifica el interés que provoca. Para dar

una idea de su popularidad, ella ocupa un lugar destacado en la lista de paradojas publicada por la revista británica

"Mathematical Spectrum" (Vol. 14, 1981/82, pág. 33).

En la anterior secuencia de igualdades, 4 son correctas pero una es falsa (la tercera). Examinémosla una por una.

1. "i . i" CIERTO. El número complejo "i", por definición, tiene la propiedad de que su cuadrado es igual a "-1"

i . i = ,1.1 −− CIERTO. Como el cuadrado de "i" es -1, es aceptable considerar "i" como raíz cuadrada de -1 y escribir:

i = .1− ,1)1)(1( =−− CIERTO. Es obvio también pues (-1) (-1) = 1.

.11 = CIERTO. Como es de costumbre, cuando "x" es un número real positivo (o cero), x significa el único número

positivo (o cero) cuyo cuadrado es igual a "x".

,)1).(1(1.1 −−=−− FALSO. La regla abb.a = sólo es válida cuando bya,ab son números positivos o cero.Para convencerse de esta última afirmación, basta recordar cómo se prueba que: .abb.a = Se tiene:

( ) ( ) ( ) abb.ab.a222== y, por otra parte, ( ) .abab

2= Así abyb.a son números que tienen el mismo cuadrado. Como

el símbolo x representa siempre un número ≥ 0 y como números mayores que o iguales a cero que tienen el

mismo cuadrado son iguales, concluimos que .b.aab = En nuestro caso específico, los números: )1)(1(y1.1 −−−−

tienen ambos cuadrados iguales a 1. Pero esto no quiere decir que ellos sean iguales. En efecto, 11)1)((y11.1 =−−−=−−

En resumen, para tener b.aab = es necesario hacer la convención de que el símbolo x representa siempre un

número positivo o cero. pero 1− no es ni positivo ni cero. Por eso no se puede escribir )1).(1(1.1 −−=−−

Representación geométrica de un número complejo

Todo número complejo, se puede representar por puntosen un plano, llamado Plano complejo oDiagrama de Argand.

Sea: z = a + bi, a Ù b Î IR ..............(a)

Poloa

b

z(a,b)

Afijo

|z| = r

Radiovector

ejeimaginario

eje real

Módulo:

22 ba|z|r

Argumento:

)

a

barctan()zarg(

y al valor que cumple: 0 £ arg(z) < 2π ; se le llama Argumento Principal

Forma polar o trigonométrica de un número complejo

Del gráfico:a = rcosqb = rsenq

En (a): ® z = rcosq + rsenqi

z = r(cos + isen )

Raíces cúbicas de la unidad

Para:

º

Luego:

3

k 2isen

3

k 2cos1

3

k = 0: z0 = cos0º + isen0º ® z0 = 1

k = 1: z1 = cos3

2 + isen

3

2® z1 = i

23

21

= w

k = 2: z2 = cos3

4

+ isen3

4

® z2 = i23

21

= w2



Números comple jos I I


lm

Re

z0

z1

z2

Propiedades:

1. w = 13n ; n IN

2. 1 + w + w = 02

1. Calcular el equivalente de:6

2

i3Z

+= , siendo:

1i −=

Resolución:Expresando a su forma trigonométrica.

6

i21

23

Z

+= → Z = (cos30° + isen30°)6

Z = cos(30°) (6) + isen(30°) (6)

01

180seni180cosZ °+°=−

⇒ Z = -1

2. Calcular a su forma exponencial:

( ) ( )

π−π++=

3isen

3cosi1i31Z

Resolución:

1 + 3 i = 2 (cos + i sen ) = 2eπ3 π3

iπ

3

3

2π /3

1

1 + i = 2 (cos + i sen ) = 2 eπ4

π4

iπ4

2

1

π /4

1

*

*


*i

3e3

seni3

cos3

seni3

cosπ

−=

π−+

π−=π−π

Luego:

=

π−

ππi

3i

4i

3

ee2e2Zi

4e22Z

π

=⇒

3. Reducir:

33

5533

)]11isen11(cos15[

)]12isen12(cos5[)]31isen31(cos3[Z

°+°

°+°°+°=

Resolución:Transformando a la forma exponencial:

e

iθ = cosθ + isenθ

( ) ( )( ) 3

33

5553

33

)11isen11(cos15

]12isen12[cos5]31isen31[cos3Z

°+°

°+°°+°=

3i11

5i123i31

)e(15

)e(5.)e(3Z =

i120i33

i60i93

ee.15

e.e.15Z == Þ Z = e120i = cos120° + isen120°

i2

3

2

1Z +−=

4. Hallar las tres raíces cúbicas de: Z = 8i.

Resolución: Aplicando:

]3

k 2seni

3k 2

cos[|Z|w 3k

π+θ

+

π+θ

=

Si: Z = 8i → |Z| = 8 ® 2)Zarg( π==θ

zπ2

Para K = 0:

π+π

+

π+π

=3

)0(22isen

3

)0(22cos|Z|w 3

0





i32

1i

2

32

6isen

6cos8w

3

o +=

+=

π+π=

Para K = 1:

π+π

+

π+π

=3

)1(22seni

3

)1(22cos|Z|w 3

1

i32

1i

2

32

6

5isen

6

5cos8w

31 +−=

+

−=

π

+π

=

Para K = 2:

π+π

+

π+π

=3

)2(22isen

3

)2(22cos|Z|w 3

2

π

+π

=6

9isen

6

9cos8w

3

2

i22

3isen

2

3cos2w2 −=

π+π=

Finalmente: i2;i3;i3 −+−+

5. Calcular: w668 + w273 + w855 + w542 + w115 + w439

Siendo: 1; w y w2, las tres raíces de la unidad.

Resolución:

Sabemos que: w3n = 1También todo número es múltiplo de 3 si la suma desus cifras es múltiplo de 3.

Luego:H = w3k+2 + w3k + w3k + w3k+2 + w3k+1 + w3k+1

H = w3k .w2 + 1 + 1 + w3k .w2 + w3k .w + w3k .w

Reemplazando: w3k = 1

H = w2 + 2 + w2 + w + w

cero

2 )1ww(2H ++= Þ ∴ H = 0

Bloque I

1. Expresar en forma trigonométrica: Z = 2 = 2 + 0i

a) 2 (cos50° + isen50°)

b) 2(cos30° + isen30°)c) 2(cos90° + isen90°)d) 2(sen0° + icos0°)e) 2(sen90° + icos90°)

2. Expresar en forma polar: Z = -2 = -2 + 0i

a) 2[cos2p + isen2p]b) 2[cosp + isenp]c) 2[secp + icosp]d) 2[cosp /2 + isenp /2]

e) 2

3cos2

π

3. Expresar en forma trigonométrica: Z = 2i = 0 + 2i

a) 2(senp /2 + icosp /2)b) 2(cosp + isenp)c) 2(cosp /2 + isenp /2)

d) )2

3isen

2

3(cos2

π+π

e) 2sen3p /2

4. Expresar en forma polar: Z = -2i = 0 - 2ia) 2(cosp + isenp)b) 2(senp + icosp)c) 2(cos3p /2 + isen3p /2)d) 2(cosp /2 + isenp /2)e) cosp /3

5. ¿Cuántos de los siguientes números no están escritosen forma polar o trigonométrico?

Z1 = 2[cos40º + isen40º]

Z2 = - 3 [cos 125 + isen 12

5 ]

Z3 = 2 [cos(7

) + isen(7

)]

Z4 = (tan120º) [cos80º + isen80º]

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6. Expresar: Z = 1 + 3 i, en forma trigonométrica.

a) 2[cos60º + isen60º]b) 3[cos30º + isen30º]c) 4[cos60º + isen60º]






d) 3 [cos60º + isen60º]

e) 2 [cos45º + isen45º]

7. Expresar: Z = -3 + 3 i , en forma polar..

a) 2 3 [cos6

5

+ isen6

5

]

b) 3 [cos4

+ isen4

]

c) 7 [cos3

+ isen3

]

d) 2 2 [cos4

+ isen4

]

e) 32 [cos 6

+ isen 6

]

8. Expresar: Z1 = (1;1) en forma polar.

a) 2 [cos3

+ isen3

]

b) 2 [cos2

+ isen2

]

c) 2 [cos4

+ isen4

]

d) 3 [cos4

+ isen4

]

e) 2 [cosp + isenp]

9. Expresar: Z = 1, en forma polar.

a) cosp + isenpb) cos2p + isen2p

c) cos2

+ isen2

d) cos0º + isen0ºe) 2[cos0º + isen0º]

10.Expresar: Z = i , en forma polar o trigonométrica.

a) cosp + isenp

b) cos2

+ isen2

c) cos4

+ isen4

d) cos 3

+ isen 3

e) cos8

+ isen8

Bloque II

1. Expresar: Z = (-1;0) en forma polar.

a) cosp + isenp

b) cos

2

+ isen

2

c) cos3

+ isen3

d) cos4

+ isen4

e) cos8

+ isen8

2. Si: Z1 = 3[cos6

+ isen6

]

Z2 = 4[cos3

+ isen3

]

hallar "Z1.Z2"

a) 12[cos6

+ isen6

]

b) 12[cos12

+ isen12

]

c) 12[cos 2

+ isen 2

]d) 6[cosp + isenp]e) 8p

3. Si: Z1 = 3[cos6

+ isen6

]

Z2 = 4[cos3

+ isen3

]

hallar:1

2

Z

Z

a) ]2

isen2

[cos3

4

b) ]isen[cos3

4

c) ]6

isen6

[cos3

4

d) 3 ]3

isen3

[cos

e) N.A.





4. Sea: Z1 = 2[cos3

+ isen3

]

hallar: Z17

a) 128[cos3

7

+ isen3

7]

b) 64[cos5

6

+ isen5

6]

c) 128[cosp + isenp]

d) 64[cos3

+ isen3

]

e) 64[cos2

+ isen2

]

5. Hallar una de las raíces cúbicas de la unidad:

a) i26

21 b) i

23

21

c) i23

21

d) i2

6

2

1−

e) 1 + 3 i

6. Sea el complejo: Z1 = 1 + i; expresarlo en forma expo-nencial.

a) ie2 b)i

2e2

c) 4e2

d)i

4e2

e)i

3e

7. Hallar: Z = ii

a)i

2e

b)i

2e

c) 2e

d) 2e

e) 4e

8. Expresar el complejo:2

i1Z1

en forma exponencial.

a)i

3e

b)i

4e

c)i

2e

d)i

4e

e)i

8e

9. Sean:

Z1 = 2 3 [cos12

5

+ isen12

5

]

Z2 = ]4

isen4

[cos41

hallar: E = Z1.Z2

a)3

2cis

2

3

b)3

cis3

3

c)4

cis7

3

d)8

cis2

3

e)4

cis22

10.Si:Z1 = 3cispZ2 = 6cispZ3 = 5cis2p

Hallar: Z1Z2Z3

a) 90 + 90i b) -90 c) 90d) 90 - 90i e) 16

Bloque III

1. Si: ]3isen3[cos2Z

hallar: W = Z3

a) 8cisp b) 16cisπ c) 14cisπ

d) 12cisπ e) 8cis2

2. La forma cartesiana del siguiente complejo:

11

23

)º7isenº7(cos

)]º28isenº28(cos2[]º17isenº17[cosZ

+++

=

es:

a) i + 2 b) 2 + 2i c) 3 + i

d) 2 + 3 i e) 12 + 3 i

3. Simplificar:Z1 = (1 + w - w2)3 - (1 - w + w2)3

siendo "w" raíz cúbica de la unidad.

a) 1 b) w c) w2

d) -w e) 0

4. Calcular:

4 626 ])1w2()1w2[(27E





siendo "w" una raíz cúbica compleja de la unidad real.

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Reducir:

)º78cis)(º85cis2)(º7cis10(

)º38cis5)(º70cis4)(º72cis(3N =

sabiendo que: cisπ = cosπ + isenπ

a) 2 b) 3 c) cis180ºd) 1 e) 8

6. Si: θ=+ cos2Z

1Z ; donde: Z Î C

hallar:m

m

Z

1Z +

a) 2senq b) 2sen(mq) c) 2cosqd) 2cos(mq) e) 4

m

7. Hallar una raíz de la ecuación: Z2 = 2i

a) 1 - i b) -1 - i c) -1 + id) 1 + 2i e) i

8. Reducir:

Z = (1 + 3 i)30 + (1 - 3 i)30

a) 230 b) 231 c) 232

d) 233 e) 240

9. Hallar el mayor número de dos cifras que verifica:

1i;21

i23

i21

23

n

−=+=

+

a) 99 b) 97 c) 96d) 98 e) 94

10.Simplificar:

factores)n6(

84422 )......ww1)(ww1)(ww1(S −+−+−+=

a) 4 b) 42n c) 43n

d) 1 e) 4n

1. La forma cartesiana del complejo:

11

23

)7isen7(cos

)]28isen28(cos2[]17isen17[cosZ

°+°

°+°°+°=

a) i2 + b) i24 + c) i3 +

d) i32+ e) i233 +

2. Si:2

i31W

+−= ; calcular: E = (5 + 7w + 7w2)10

a) 64 b) 512 c) 2 048d) 1 024 e) 4 096

3. Dado: Z = cosq + isenq , calcular: Z3 + Z-3

a) 2cos3q b) 2sen3q c) 2cosqd) 2senq e) i

4. La forma exponencial del complejo: Z = -i, es:

a)i

eπ

b)i

2e

π−

c)i

2e

π

d) i2

3

eπ

e) i23

eπ

−

5. Dado el complejo: Z = cos3q + isen3qCalcular: Z4 - isen12q

a) sen12q b) cos4q c) cos12qd) cosq e) senq

Aut oevaluac ión



57Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOSis tem a de ec uac iones l inea les

Capítu lo V

Funcionamiento de los círculos escolares

En nuestro instituto - comentó un estudiante de bachillerato - funcionan cinco círculos de deportes, de literatura, de

ortografía, de ajedrez y de canto. El de deportes funciona un día sí y otro no; el de literatura, una vez cada tres días; el de

fotografía, una cada cuatro; el de ajedrez, una cada cinco, y el de canto, una cada seis. El primero de enero, se reunieron

en la escuela todos los círculos y siguieron haciéndolo después en los días designados, sin perder uno. Se trata de

adivinar cuántas tardes más, en el primer trimestre, se reunieron en la escuela los cinco círculos a la vez.

-¿El año era corriente o bisiesto? -preguntaron al estudiante.

- Corriente.

- ¿Es decir, que el primer trimestre -enero, febrero y marzo- fue de 90 días?

-Claro que sí.

-Permíteme añadir una pregunta más a la hecha por ti en el planteamiento del rompecabezas -dijo el profesor-. Es la

siguiente: ¿cuántas tardes de ese mismo trimestre no se celebró en el Instituto ninguna reunión de círculo?

-¡Ah, ya comprendo! -exclamó alguien-. Es un problema con segunda... Me parece que después del primero de enero, no

habrá ni un día en que se reúnan todos los círculos a la vez, ni tampoco habrá uno en que no se reúna ninguno de los

cinco. ¡Claro!.-¿Por qué?

-No puedo explicarlo, pero creo que le quieren pescar a uno.

-¡Señores! -dijo, tomando la palabra, el que había propuesto el juego y al que todos consideraban como presidente de la

reunión-. No hay que hacer públicas ahora las soluciones definitivas de los rompecabezas. Que cada uno discurra. El

árbitro, después de cenar, nos dará a conocer las contestaciones acertadas. ¡Venga el siguiente!.

Sistema de ecuaciones.- Es el conjunto de ecuacionesque verifican simultáneamente para los mismos valoresde sus incógnitas.

Solución de un sistema .- Conjunto de valores de todassus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones lasconvierte en identidades.

Sistemas equivalentes.- Son aquellos que a pesar detener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones.

Clasificación de los sistemas

I. Atendiendo sus soluciones

1. Sistema compatible: Cuando existe solución.

Ejemplo:

El sistema: x + y = 6x - y = 2es compatible, su solución es: x = 4 ; y = 2

2. Sistema incompatible: Cuando no existe solución.

Ejemplo:El sistema: x + 3y = 10

x + 3y = 13

es incompatible, por que no hay ningún par de valoresde “x” e “y” que verifique ambas.

II. Atendiendo al número de ecuaciones con el nú-mero de incógnitas

1 . S i s t e m a d e t e r m i n a d o . - Cuando el número deecuaciones independientes es igual al número deincógnitas.

2. Sistema indeterminado.- Cuando el número deecuaciones independientes es menor que el númerode incógnitas, estos sistemas se caracterizan portener infinidad de soluciones.

3. Sistema incompatible, imposible, absurdo oinconsistente.- Cuando el número de ecuacionesindependientes es mayor que el número deincógnitas.

Observación:

Se denomina ecuaciones independientes, si loscoeficientes de una misma incógnita no sonproporcionales.

Resolución de sistemas de primer grado

El método que mayormente se utiliza es el denominadométodo algebraico que consiste en realizartransformaciones lineales con las ecuaciones del sistemapara eliminar progresivamente las incógnitas.

La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera3 procedimientos:

a) Sustitución b) Igualaciónc) Reducción d) Gráfico



Sistema de ecuaciones l ineales


Sistema de primer grado con dos incógnitas

Forma normal:a1 x + b1 y = c1a2 x + b2 y = c2

donde: “a1” , “a2” , “b1” , “b2” , “c1” y “c2”; son números

reales.

I. Método de sustitución

Se resume en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.b) En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita,

hallar el valor de la otra (esta operación se llamadespejar una incógnita).

c) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuacióndel sistema, obteniendo así una ecuación con una

incógnita.d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en la expresión de la

otra incógnita.

* Resolver: 5x - 2y = 4 ........... (I)3x + y = 9 ........... (II)

Solución: Si en la segunda ecuación suponemosconocida la incógnita “x”, obtenemos:y = 9 - 3x; y la solución general de esta ecuación estádada por el par {x; 9 - 3x }.Si ésta fuera también solución del sistema, sustituida

en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad:

5x - 2(9 - 3x) = 4

Obtenemos así una ecuación de primer grado con unaincógnita, que podemos resolver fácilmente:

5x - 18 + 6x = 411x = 22x = 2

Si ahora sustituimos el valor de “x” en [II], podemos

hallar el correspondiente valor de “y”.y = 9 - 3 [ 2 ] = 9 - 6 = 3La solución del sistema vendrá dada por el par { 2 ; 3 }.

II. Método de igualdad

Podríamos resumir este método de igualación con lossiguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.b) Despejar en las ecuaciones la misma variable.c) Igualar las dos expresiones de la variable despejada.d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las

expresiones de la otra incógnita.

* Resolver el siguiente sistema:

x + 3y = 10 ............ (1)

2x +4

5y = 1 ............ (2)

Solución: Al aplicar este método también conviene observar cuáles la incógnita que más fácilmente se despeja en lasdos ecuaciones, en este caso es “x”. Se tiene así:

De (1): x = 10 - 3y ........ (3)De (2): 2x = 1 - 5/4 y

Osea: x =2

y4

5-1

........ (4)

Igualamos los segundos miembros de (3) y (4) ; esdecir:

10 - 3y =2

y4

5-1

Se resuelve la ecuación en “y”, que hemos obtenidoquitando el denominador 2, se tiene:

(10 - 3y) 2 = 1 -4

5 y

efectuando la operación indicada en el 1er término:

20 - 6y = 1 -4

5y

Es decir: -6y +4

5y = 1 - 20

Osea: -419

y = - 19

de donde: - y =19

4)19-(

- y = - 4Luego: y = 4

Sustituimos “y” por su valor 4, en la expresión (3) o en

la (4).

En nuestro caso es más cómodo en la (3). Así resulta:

Es decir: x = 10 - 3(4)Osea : x = 10 - 12

x = - 2Luego la solución es: {-2 ; 4}

III. Método de reducción

Este método llamado también de eliminación, se resumeen los siguientes pasos:





a) Reducir el sistema a su forma normal.b) Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones

por ciertos números, de tal forma que los coeficientesde una incógnita sean opuestos.

c) Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro.d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las

dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.

* Resolver:2x - 3y = 53x + 4y = 7

Solución:Para eliminar “y” , basta multiplicar la primera ecuaciónpor 4 y la segunda por 3, y sumar ordenadamente:

4 . (2x - 3y = 5)3 . (3x + 4y = 7)

8x - 12y = 209x + 12y = 21

17x = 41

x =1741

Para eliminar “x”, podemos multiplicar la primeraecuación por - 3 y la segunda por 2, y como tiene igualsigno, cambiamos de signo a todos los términos de laprimera:

-3 . (2x - 3y = 5) 2 . (3x + 4y = 7)

-6x + 9y = -15 6x + 8y = 14

17y = -1

y = - 17

1

; la solución es :

7

;

7

IV.Método gráfico

Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado,las dos rectas que representan las ecuaciones. Lasolución del sistema viene dada por las coordenadas(x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig.(a) se deduce que la solución del sistema formado por(1) 2x - y = 4 Ù (2) x + 2y = -3 es: x = 1, y = - 2, o bien(1; -2).Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones esincompatible, es decir, no tiene solución. Por ejemplo, elsistema formado por (3) x + y = 2 Ù (4) 2x + 2y = 8 esincompatible, como indica la Fig.(b). Obsérvese que sise multiplica la ecuación (3) por 2 se obtiene:2x + 2y = 4 que evidentemente, es incompatible con (4).

y

x

(1; -2)

x + 2 y

= - 3

2 x

- y = 4

2x+2y=8x+y=2

y

x

4 x +

4 y = 4

x + y = 1

y

x

c) Ecuaciones dependientes

(5) x + y = 1

Las ecuaciones dependientes están representadas poruna misma recta. Por consiguiente, todos los puntos dela recta constituyen una solución y, en definitiva, elsistema tendrá infinitas soluciones. Por ejemplo,(5)x + y = 1 Ù (6)x + 4y = 4 son ecuacionesdependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la

ecuación (5) se obtiene la ecuación (6).

Sistema de primer grado con tres o másincógnitasUn sistema de primer grado de 3 ecuaciones con 3incógnitas se presenta bajo su forma normal:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3

En una de las tres ecuaciones podremos despejar una

incógnita y sustituirla en las otras 2: se obtiene de estaforma un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitasque podemos resolver. Las soluciones obtenidas sesustituyen en la expresión de la primera incógnitadespejada, hallando así su valor.

* Resolver el sistema:3x - 4y - 2z = 2 ............... (1)x + 5y + 3z = 5 ............... (2) 2x + y - z = 11 ............... (3)

Solución:

En la segunda ecuación, despejamos “x”: x = 5 - 5y - 3z

Figura (a)

Figura (b)





Sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dosecuaciones:

3(5 - 5y - 3z) - 4y - 2z = 2-19y - 11z = -13............ (a)2(5 - 5y - 3z) + y - z = 11-9y - 7z = 1 ............ (b)

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con 2incógnitas:

-9 171y + 99z = 11719 -171y - 133z = 19

ab

- 34z = 136

z = -4

-7 133y + 77z = 9111 - 99y - 77z = 11

ab

34y = 102

y = 3

Sustituimos los valores de “y” Ù de “z” en la expresiónde “x”.

x = 5 - 5(3) - 3(-4) = 2

La solución del sistema será: { x, y, z } = { 2; 3; - 4 }

1. Hallar "x + y + z", si "x", "y", "z" son las solucionespositivas del sistema:

==+=+

)3.........(21xz

)2(........8zy)1(......12yx

Resolución:

* Multiplicamos (1) por “z” :

(por 3 ) xz + yz = 12z

21 + yz = 12z yz = 12z - 21 ... ( )α {

⇒

* Multiplicamos (2) por “z”:

(ver )α yz + z = 8z2

12z - 21 + z = 8z2

{

Así obtenemos una ecuación de segundo grado:

"Aplicando: Aspa simple"

z + 4z - 21 = 02

zz

+7-3

Luego:

z = -7 ; z = 321

Esta solución es descartada,pues las soluciones son positivas.


En (a) reemplazamos: z2 = 33y = 36 - 21 Þ y = 5

Reemplazando en (1):x + 5 = 12 Þ x = 7

Luego: x + y + z = 15

2. Resolver el sistema:

1zyx;6

z

3

y

2

x 222 =++==

Resolución:

Por dato tenemos:

x2

y3

z6

= =

así tenemos

x2

y3= y

3z6=

x = = z z = 2y⇒2y3

6y3

⇒

Estos resultados los aplicamos en el otro dato:

x + y + z = 122 2

2y

3 + y + [2y] = 12 2

{ { {

2

Þ 1y4y9y4 22

2

=++

49y2 = 9

49

9y2 = Þ

7

3y ±=

Así tenemos:7

6z;

7

2x ±=±=

Luego la respuesta es:7

6z;

7

3y;

7

2x ±=±=±=

3. En el siguiente sistema de ecuaciones:

=+

=+

)2(.......468yx

)1(....420)yx(xy

33

Hallar "2x + 2y".

Resolución:

Multiplicamos (1) por (3): 3xy (x + y) = 1260





Ahora sumamos con (2):

3xy (x + y) = 1260 +

x + y = 4683 3

x + y + 3xy (x + y) = 17283 3

(x + y) = [12]3 3

⇒ x + y = 12

Luego la respuesta es: 2(x + y) = 2(12) = 24

4. Si: 2yx =− ; x + y = 20 ; x > 10

Entonces: ....esyx

Resolución:

Se tiene del dato: 2

=− ]2[]yx[

2

x - xy2 + y = 4

Þ20 - xy2 = 4

Þ 8xy =

Þ xy = 64 Þy

64x =

* Si: y = 16 Þ x =1664

= 4 ; descartado pues x > 10

* Si: y = 4 Þ x =464

= 16

Luego: 44

16yx ==

5. Resolviendo el sistema:

=+−

=++−+

)2...(..........02y2x

)1....(05y4x6yx 22

Se concluye sobre sus raíces que:

Resolución:

De (2) tenemos: x = 2(y - 1)

Reemplazamos en (1) :

[2(y - 1)] + y - 6[2(y - 1)] + 4y + 5 = 02 2

4y - 8y + 4 + y - 12y + 12 + 4y + 5 = 02 2

5y - 16y + 21 = 02

⇒

⇒

Esta ecuación podríamos intentar resolverla por aspasimple, sin embargo, veamos que ocurre con sudiscriminante:

D = [-16]2 - 4(5)(21) = -164 < 0

¡¡ ajá !!! el discriminante es negativo.

Luego se concluye que las raíces de ese sistema soncomplejas.

Bloque I

1. Resolver el sistema:x + y - z = 3x - y + 2z = 8 z2 - 4 = 5

indicar el número de soluciones.

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) N.A.

2. Resolver el sistema: x2 - x = 6x2 + x = 15 - x

e indicar la solución.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Si el siguiente sistema admite como solución: x = 2;y = 3. Hallar “a + b”.

ax - y = 1bx - 2y = 4

a) 3 b) - 2 c) 5d) - 4 e) 7

4. Resolver el sistema:5x + 3y = 83x + 2y = 3

Dar el valor de “xy”.a) 20 b) - 25 c) 36d) - 56 e) - 63

5. Si el sistema:(2a + 5)x + 5y = 7a3x + (a + 2b)y = 7

admite infinitas soluciones. Calcular: M = ab - aba

a) - 150 b) - 90 c) - 32d) 90 e) 150

6. Dar el valor o valores de “n” que hacen que el sistema:3x + (n - 1)y = 12(n + 6)x + 6y = n






sea inconsistente.

a) 1; 3 b) 2; 6 c) 3d) 3; - 8 e) - 8

7. Calcular “a”, para que el sistema:(a + 1)x + 5y = 7

x + y = 5 5x - 3y = 9tenga solución única.

a) 6 b) - 5 c) - 4d) - 2 e) 4

8. Resolver:

6

1

9b

y-

4a

x=

15

14

5b

y

6a

x=+

Hallar “y”.

a) 2a b) 3a c) 3bd) 2b e) 6a

9. Resolver el sistema:2x(1 + 2y) = 202x + 1(1 - y) = - 8

e indicar el valor de: xy.

a) 2

1

b) 1 c) 2d) 3 e) 4

10.Resolver:

ayx

1y-x

1=

++

byx

1-

y-x

1=

+

y dar como respuesta el valor de:

y

x.

a) a + b b) a - b c)b

a

d)a

be) 1

Bloque II

1. Si:x2 - y2 = 9

x + y = 6Hallar el valor que toma “x” en la solución.

a)4

3b)

4

7c)

2

7

d)215

e)4

15

2. Hallar un valor de “x” en: x + y + z = 6 x

2 + y2 + z2 = 14 xz + yz = (xy + 1)2

a) 3 b) - 3 c) - 1d) 1 e) 4

3. De las relaciones mostradas:

4

xz

5

zy

3

yx +=

+=

+

7x + 5y + 11z = 300

Indicar el valor de “z”.

a) 6 b) 12 c) 18d) 24 e) 10

4. Siendo (x0, y0, z0) la solución del sistema:x + y = 12y + z = 8xz = 21

donde además: "x0", "y0", "z0" Î IR +.Calcular “x0 + y0 + z0”

a) 3 b) 5 c) 7d) 10 e) 15

5. Resolver en IR +

x(x + y + z) = 6 y(x + y + z) = 12 z(x + y + z) = 18

y dar como respuesta el valor que toma “y”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Resolver:

33

33

y-xyx

y-x-yx

++

+ = 3

x2 + y2 = 65indicar el valor de “y”.

a)227

b)229

c)22

d)225

e) N.A.

7. Halle el valor de xy del sistema:





14y3x2 =+4x - 9y = -56

a) 12 b) 5,2 c) 7,5d) 8 e) 4,5

8. Para qué valor del parámetro “k” el sistema:(2k - 1)x + y = k x + ky = 2k - 1

tiene infinitas soluciones.

a) -1 b) 0 c) -2

1

d)2

1e) 1


a1

axzyx =

+++

b1

byzyx=

+++

c

1

cz

zyx=

+++

indicar el valor de “x”.

a)

1cba

c

+++

b)

cba

c

++

c)1-cba

b

++d)

1cba

a

+++

e)1-cba

a

++

Bloque III

1. Resolver:ax + y + z = 1x + ay + z = a

x + y + az = a2

Hallar "z"

a) a + 1 b) a - 1 c) a

d) -a - 2 e)2a

)1a( 2

++

2. Resolver el sistema en IR.x2 + xy + y2 = 4 x + xy + y = 2

Hallar el número de elementos del conjunto solución.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

3. Resolver: x2 + y2 = 29x + y = 3

Hallar "xy".

a) 1 b) 2 c) 3d) -10 e) 12

4. Hallar "x", para valores enteros positivos.

x-1 + y-1 + z-1 = 1 xy + xz + yz = 27 x + y + z = 9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

5. Resolver:xy + x + y = 23xz + x + z = 41yz + y + z = 27

Hallar:yxz

a) 15 b) 10 c) 14

d)5

18e) N.A.

6. Resolver:

nmnm

ynm

x+=

−

+

+

m2n

y

m

x =+

Hallar "x".

a) m(m + n) b) n(m - n)c) m(m - n) d) n(m + n)e) N.A.

7. Dado el sistema de ecuaciones:(x + y) (y + z) = 0(x + y) (x + z) = 3

(x + z) (y + z) = 0Indicar: M = x2 - y2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Hallar el valor de "z" en:x + y + z = 12xy = z2 + 1

Si: "x", "y", "z" Î IR.

a) 1 b) 2 c) 2x - y

d) x - 2y e) N.A.





9. Resolver:

zyx1

yxz

zxy

zyx

++=

+=

+=

+

Hallar "x".

a) 32

b) 1 c) -1

d)23

e)31

10.Resolver:x2 + xy + y2 = 151x + y = 14 ; x > y

dar el valor de "x + 3y".

a) 6 b) 5 c) 24

d) 7 e)27

1. Determinar el valor de "n", si el sistema:

=−

=−−−

6ny5x3

2y)n8(x)2n(

tiene infinitas soluciones.

a) -58

b) -58

y 3 c) 3

d)58

y -3 e) -3

2. Indicar el conjunto solución de:

=−

=+

2

1n2m5

5nm8

a)

−

2

1;1 b)

1;2

1c)

2

1;0

d) (1; -1) e)

−

2

1;

2

1

3. Resolver:

=−

=+

xyyx

xy7yx

Indicar el valor de "y"

a)4

1b)

21

c)16

1

d) ±

16

1e) ±

2

1

4. Si:

=+=+=+

10xz13zy7yx

Indicar el valor de: x + y + z.

a) 20 b) 15 c) 30d) 10 e) 40

5. Hallar " vu

", en el sistema:

=−−+

=−++

10vuvu

20vuvu

a)5

13b)

13

5c)

527

d) 27

5

e) 4

5

Aut oevaluac ión



65Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOMat r i ces

Capítu lo VI

Matemáticas recreativas

Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de

mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su

edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible.

-Claro que es imposible -añadió una voz.

-Pues es completamente posible. El abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años tenía cada uno de nosotros?

Definición

Se define una matriz como un arreglo rectangular deelementos ordenados en filas y columnas.

Así una matriz tiene la siguiente forma general:

a

a

a

a

11

21

i1

m1

a

a

a

a

12

22

i2

m2

a

a

a

a

ij

2j

ij

mj

a

a

a

a

1n

2n

in

mn

Filas

Columnas

A =

Donde: a11, a12,... a21,... am1, am2,... amn

se llaman elementos de la matriz “A”. “aij” es el elemento ubicado en la fila “i”, columna “j”.

Orden de la matriz

Si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas, entoncesse dice que esta matriz es de dimensión u orden “m × n” (no se efectúa).

Así la matriz “A”, se puede denotar:

A = (aij)m × n

Donde: m, n Î ZZ +

i = {1; 2; 3;... ; m} j = {1; 2; 3;... ; n}

Ejemplo:Escribir explícitamente la matriz:

A = (aij)2 × 3 / aij = 2i - j

Tipos de matrices

1. Matriz columna: Es aquella matriz, que tiene una solacolumna, es decir es de orden “m × 1”.

Ejemplo:

A =

131-

3

5

×

2. Matriz fila: Es aquella matriz, que tiene una sola fila,es decir es de orden “1 × n”.

Ejemplo:

B = ( )64-2 1 × 3

3. Matriz nula: Es aquella matriz, cuyos elementos soniguales a cero y se denota por Æ.

Ejemplo:

Æ =

000

000

4. Matriz cuadrada: Es aquella matriz, cuyo número defilas es igual al número de columnas, y se denota:

A = (aij)n × n ó A = (aij)n

Ejemplo:

A =

3

5

7

4

2

3

- 1

- 6

1

Diagonal secundaria

Diagonal principal

Traza de una matriz cuadrada: Es la suma de loselementos de su diagonal principal.Sea la matriz:

A = (aij) ® Traz(A) =n

1i=Σ aij

Así en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6

Casos particulares de una matriz cuadrada

a. Matriz triangular superior: Es aquella matriz, cuyoselementos que se encuentran debajo de la diagonalprincipal, son iguales a cero. Es decir:



Mat r i ces


A = (aij)n es una matriz triangular superior, si: aij = 0;" i > j

Ejemplos:

A =

50

73; B =

100

260304-

b. Matriz triangular inferior: Es aquella matriz, cuyoselementos que se encuentran encima de la diagonalprincipal, son iguales a cero. Es decir: A = (aij)n es unamatriz triangular inferior.Si: aij = 0; " i < j

Ejemplos:

A =

42

01; B =

617

020005

c. Matriz diagonal.- Es aquella matriz que simultáneamentees triangular superior e inferior, es decir todos loselementos fuera de la diagonal principal son ceros.

A = (aij)n es una matriz diagonal, si: aij = 0; " i ¹ j

Ejemplos:

A =

50

07; B =

800060002

d. Matriz escalar.- Es una matriz diagonal, cuyos elementosde la diagonal principal son iguales, es decir:

A = (aij)n es una matriz escalar, si: aij =

≠= ji0; jik;

Ejemplos:

A =

60

06

; B =

300030003

e. Matriz identidad.- Es una matriz escalar, cuyos elementosde la diagonal principal son iguales a la unidad y sedenota por “In”.

In = (aij) / aij =

≠= ji0; ji1;

Ejemplos:

I2 =

10

01; I

3 =

100010001

Relaciones entre matrices

a. Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si ysólo si son del mismo orden y todos sus respectivoselementos son iguales.

Así, dadas las matrices:

A = (aij)m × n ; B = (bij)m × n

A = B « aij = b ij: " i; " j

Ejemplo:Calcular “x - y”, si las matrices son iguales.

A =

y1

x3y-x; B =

x-61

y-62

b. Transpuesta de una matriz: La transpuesta de una

matriz A (de orden m × n), es una matriz denotada por At (de orden n × m) que se obtiene cambiando las filaspor las columnas de la matriz A.

Ejemplo:

A =

61-

45

32

® At =

643

1-52

c. Matrices opuestas: Dos matrices son opuestas si sondel mismo orden y además sus respectivos elementos

son opuestos.

A =

1411-6031-2

® su opuesta es: - A =

1-4-1-16-03-12-

d. Matriz simétrica: Si una matriz es igual a su trans-puesta, se llama matriz simétrica.

Ejemplo:

A =

5-4241-3

237

® At =

5-4241-3

237

como: A = At ® “A” es simétrica

e. Matriz antisimétrica: Si una matriz es igual al negativode su transpuesta, se llama antisimétrica.

Ejemplo:

A =

043-

4-02

32-0

® AT =

04-3

402-

3-20



Mat r i ces


® -AT =

043-4-0232-0

Como: A = -At ® "A" es antisimétrica.

Operaciones con matrices

1. Adición de matrices

Sean las matrices: A = (aij)m × n ; B = (bij)m × nLuego la matriz suma de “A” y “B” es:

A + B = (aij + bij)m × n

Ejemplo:Sean:

A =

23

511-4

; B =

4-22365-

® A + B =

++++

4-223253161-5-4

=

2-57451-

Observación:

- A - B = A + (-B) - A + B = B + A- A + Æ = Æ + A = A - (A + B) + C = A + (B + C)

2. Multiplicación de matrices

a. Multiplicación de un escalar por una matrizSea:

A = (aij)m × n ® kA = (kaij)m × n

Ejemplo:

A =

12-

35→ 8A =

××××

818)2(-

8385 =

816-

2440

b. Multiplicación de una matriz fila por una matrizcolumnaSean las matrices:

A = (a1 a2 a3 ... an); B =

n

2

1

b:

bb

® A × B = (a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn) =n

1i=

Σ aibi

Ejemplo:Sean:

A = ( )231 ; B =

52-4

® A × B = 1 × 4 + 3(-2) + 2 × 5 = 8c. Multiplicación de matrices

Sean las matrices: A = (aij)m × n; B = (bij)n × pEntonces se define:

A × B = (cij)m × p

donde “cij” resulta de multiplicar la i-ésima fila de “A” por la j-ésima columna de “B”.

Observación: Sólo se puede hallar el producto “A.B” si el número de columnas de “A” es igual al número

de filas de “B”.

Ejemplo:

A =2241-

23

×

B =

32221-134

×

® C = A × B =

232221

131211

CCC

CCC

C11 = 3.4 + 2(-1) = 10 C21 = (- 1)(4) + 4(- 1) = - 8C

12

= 3.3 + 2.2 = 13 C22

= (- 1)(3) + 4.2 = 5C13 = 3.1 + 2.2 = 7 C23 = (- 1)(1) + 4.2 = 7

Entonces:

A × B =

758-

71310

Propiedades:

1. (A ± B)t = At ± Bt

2. (At)t = A

3. (AB)t = Bt At

4. (KA)t = KAt

5. K(A + B) = KA + KB

6. A(B + C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA

7. (AB)C = A(BC)

8. En general “AB” no es necesariamente igual a “BA”.Si “A” y “B” son dos matrices cuadradas del mismo ordenentonces:



Mat r i ces


“A” y “B” conmutan o son conmutativos « AB = BA “A” y “B” son anticonmutativos « AB = -BA

9. AI = IA = A

10.In = I

11.Si: AB = AC, no implica que: B = C

12.“A” es una matriz idempotente, si: A2 = A

13.“A” es una matriz involutiva, si: A2 = I

14.“A” es una matriz nilpotente, si: A2 = Æ

1. Dadas las matrices:

−

=

−=

=

01

12C;

21

01B;

30

41 A

Calcular: 3A - 2B + C

Resolución:

Reemplazando las matrices:

−

+

−−

01

12

21

012

30

413

Efectuando:

−

+

−−

+

01

12

42

02

90

123

−

+

− 01

12

52

125

− 53

137

2. Dadas las matrices:

−

=

−−

−=

01

22

10

31

B;

3024

2123

2101

A

Calcular "AB"

Resolución:

==

3231

2221

1211

2x32x44x3

CCCCCC

CB. A


12201

1

2

0

1

]2101[C11 =+−+=

−=

10203

0

2

1

3

]2101[C12 =+−+=

−

−=

32203

1

2

0

1

]2123[C21 =−++=

−=

90229

0

2

1

3

]2123[C22 =++−=

−

−=

13004

1

2

0

1

]3024[C31 =−++=

−=

1000212

0

2

1

3

]3024[C32 =++−=

−

−=

Finalmente la matriz "C" resultante es:

==

101

9311

CB. A

3. Dado el polinomio: f (x) = 3x2 - 5x - 2 y además:

=

1321

A . Hallar: f (A)

Resolución:

Reemplazando el valor: x = A, en el polinomio y laidentidad 1 del polinomio por I (matriz identidad).

f (A) = 3A2 - 5A - 2I



Mat r i ces


Calculamos:

=

==

76

47

13

21

13

21 A. A A2

Luego:

−

−+

−−−−

+

=

−

−

=

2002

515105

21181221

f

10012

13215

76473f

) A(

) A(

Sumando las matrices:

=

143

214f ) A(

4. Calcular la inversa de la matriz:

=

1226 A

Resolución:

Asumiendo que la inversa de la matriz “A” es B = A-1 talque se cumple: AB = I

Reemplazando:

=

10

01

wz

yx

12

26

Efectuando:

=

++++

10

01

wy2zx2

w2y6z2x6

De la igualdad se tiene los sistemas:

=+=+

=+=+

1wy20w2y6

0zx21z2x6

Resolviendo:

x =21

y = -1z = -1w = 3

Formando la matriz "B".

−

−=

==−

31

121

wzyx

B A 1

Comprobación: AB = I

2I1001

31

121

1226

AB =

=

−

−

=

5. Hallar la potencia enésima de la matriz:

=

10

11 A

Resolución:

=

==

10

21

10

01

10

01 A. A A 2

=

== 10

31

10

01

10

21

A. A A23

=

==

10

41

10

01

10

31 A. A A 34

Así sucesivamente:

== −

10

n1 A. A A 1nn

6. Si "A" es una matriz no singular de orden "n" entonces:) A.adj(

| A|1 A 1 =−

Calcular la inversa de:

−=

124120321

A

Resolución:

Paso 1:

Sea la matriz de cofactores.

=

333231

232221

131211

C

CCCCCCCCC

A

Calculamos:

812

32C

412

32C4

12

12C

31

2111

=−

+=

=−=−=−

+=



Mat r i ces


110

31C

1114

31C4

14

10C

32

2212

−=−=

−=+==−=

220

21C

62421C8

2420C

33

2313

−=−

+=

=−==−+=

Luego:

−−−

−=

2186114844

AC

Paso 2:

La matriz Adj(A) es la transpuesta de la matriz decofactores (AC).

−−−

−==

2681114

844 A AdjA t

C

Paso 3:

Calculamos la determinante de la matriz "A".

28124120321

| A| =−=2681114

844

281 A 1

−−−

−=∴ −

Bloque I

1. Construir la matriz:

A = [aij]2 × 3 / ji:si;ija ji:si; jia

ij

ij

<=

≥+=

a)

343

222b)

542

431c)

643

322

d)

235

243e)

623

524

2. Hallar: (x - y)(z - w)si:

=

+ 62

21

ywx-z

y-wz-2x

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 3

3. Dada:

A =

02-1

123121-

Calcular: 3A - 2I

a)

2-6-334936-5

b)

2-8-1147145-

c)

06-1249165-

d)

2-8-1227145-

e)

333222111

4. Dados:

A =

01-21

B =

21-01

Si:P(x, y) = 2x - y + 3

Determinar: P(A, B)

a)

1-3-44

b)

14

33c)

11-44

d)

44

2-2e)

33

1-1-

5. Dados:

A =

42-3

3-12 B =

21

32

11

Determinar “AB”

a)

42

10b)

5221-

c)

631-1

d)

53

1-1e)

51

2-2




Mat r i ces


6. Dada la matriz “A”, calcular: A3 - 6A.

A =

01

22

a) A b) 2 A c) 2 Id) 3 I e) 4 I

7. Si:

X + Y =

1-41231

X - Y =

321-4-1-3

Hallar: Xt

a)

1-13

421b)

2-12

131-

c) 101

31-2d) 203

31-1-

e)

01-2

211

8. Hallar la suma de los elementos de “X”, tal que:

X.

12

12- =

04-

52-

a) - 2 b) 0 c) 1

d) 3 e) 5

9. Hallar la matriz inversa de:

A =

27

28

señalar la traza de dicha matriz inversa.

a) 1 b) 2 c) 7d) 5 e) 10

10.Hallar la matriz "X" que resuelve:

=

37411X.

1231

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 2 b) 1 c) 3d) 7 e) N.A.

Bloque II

1. Escribir explícitamente la matriz “A”. A = [aij] Î K 3x2 / aij = i + 2j

a)

756453

b)

958473

c)

97

86

75

d)

410024

e) N.A.

2. Sean las matrices:

+=

−−=

434y2B;

yx3xy2x A

Hallar “xy”, si: A = B

a) 1 b) 2 c) 6d) 12 e) N.A.


y21x

x2y5B;

2y3

y1x2 A

+

−−=

−−

=

.14

52C

−

−=

Hallar “A + C”, si: A = B

a)

13

35b)

19

35c)

− 24

25

d)

10

21e) N.A.


yx61

y62B;

y1

xy3x A

−−

=

−=

−−=

32

84C

Si: A = B, hallar “3A + 2C”

a)

−−9711

b)

−9692

c)

−−67

12d)

−−98

12

e)

−−97

12


x - 2y = A2x + 3y = B

Donde: x, y Î K 2x2



Mat r i ces


Además:

−

=∧

−=

87

812B

47

36 A

Hallar "x".

a)

41

16b)

− 63

20c)

16

41

d)

− 03

02e) N.A.


−=

=

214

321By

21

32 A

Hallar "AB"

a)

−709

12114b)

709

12011

c)

−109

10114d)

−809

12114

e) N.A.

7. Hallar la matriz "A" de segundo orden tal que a22 = 5 y

A2 =

2821

77. Según ello, hallar la suma de todos los

elementos de la matriz "A".

a) 2 b) 1 c) 3d) 11 e) N.A.

8. Si:

−−

−−−=

011121221

A

Hallar la traza de (A2).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

9. Si:

−

=21

21 A y F(x) = x2 - 3x + 2

Hallar la suma de elementos de la diagonal principal deF(A).

a) 2 b) 14 c) 16

d) 18 e) N.A.

10.Si:

=

358

zyx

011102210

Hallar “x + y + z”

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) N.A.

Bloque III


ji1b

ji0b

)b(B

ji2a ji1a ji0a

)a( A

ij

ij

2x3ij

ij

ij

ij

3x2ij

≠↔=

=↔==

>↔=<↔==↔=

=

Calcular: At + B

a)

120320

b)

220230

c)

110230

d)

221032

e)

330210

2. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que:

−−

+−=−

21d34c2

4b2a A A 2t

−=

31

12 A

Dar como respuesta "a + b + c + d".

a) 0 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

3. Dada la matriz:

=

1012

A

Además: P(x) = x2 - 5x +2Dar la suma de elementos de P (A).

a) 8 b) -6 c) -4d) 6 e) -8



Mat r i ces


4. Dada la matriz:

=

21

03 A

Calcular la suma de elementos de "An".

a) 3.2n b) 5.2n c) 2.3n

d) 2n e) 5.3n

5. Señale si es verdadero (V) o falso (F) las siguientesafirmaciones:

I. Si “A” es una matriz cuadrada ® (A - At)t esantisimétrica.

II. Toda matriz cuadrada “A”, se puede expresar comola suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

III. Si “A” es una matriz involutiva ®2

1(I - A) es

idempotente.

a) VVF b) FFV c) VFVd) VVV e) FVV

6. Si la matriz:

65xz1-23y-1

es simétrica. Hallar “x - y + z”

a) 6 b) 5 c) - 4

d) 10 e) 4

7. Dada la matriz:

A =

11

02

Hallar la suma de los elementos de la matriz conmutablecon “A”, cuya determinante sea 35 y cuya traza sea 12.

a) 15 b) 23 c) 8d) 14 e) 18

8. Hallar la matriz “X”, que cumpla:

=

12

6-4X

31

52

Indicar: Traza (X)

a) 2 b) 5 c) -17d) 10 e) - 2

9. Dada la matriz:

A =

003

200010

Calcular la suma de los elementos de: A40.

a) 611 b) 614 c) 613

d) 612 e) 6

10.Señalar el valor de verdad en cada caso:

I. Siempre |AB| se puede calcular a través de |A| y|B|.

II. |An| = |A|n ; ∀ n Î ZZ+III. |ABC| = |CBA| para "A", "B" y "C" de orden "n".IV. |KA| = K|A| para "K" escalar.

V. |A-1| =| A|

1

a) VVVVV b) FFFFF c) VVFFVd) VFVFV e) FVFVF

1. Dada la matriz cuadrada:

=

13

21 A

Calcular: 3A2

a)

2118

1221b)

327

123c)

76

47

d)

10

01e)

2118

1212


=

=

103514421

By193243

A

Hallar el producto de matrices "AB".

a)

852

341025b)

101112

161512

c)

514

341025d)

581542

405

e)

581542

341025

3. Dada la siguiente igualdad de matrices:

=

−++

14

58

zy4

zyx3

Calcular:z

yx +

Aut oevaluac ión



Mat r i ces


a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

4. Si:

+=

3cb

a520ba1

A es una matriz simétrica.

Calcular "a + b + c".

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

5. Hallar la inversa de la matriz:

=

9321

A

a)

91

31

211

b)

−

−

31

1

31

3

c)

−

−

31

1

323d)

12314

e)

−11

20



75Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIODete rm inan tes

Capít ulo VII

"Razones de nuestros antepasados"

Un problema sobre el mes de diciembre

-Yo, señores, soy representante, y por lo tanto, me encuentro muy alejado de toda clase de matemáticas -empezó a decir un

hombre de edad a quien le había llegado el turno de exponer su rompecabezas-. Por eso no esperen de mí un problema de

matemáticas. Sólo puedo plantear alguna cuestión sobre algo que conozco. ¿Me autorizan ustedes a plantear un

rompecabezas sobre el calendario?

-¡Con mucho gusto!

-Al duodécimo mes le llamamos diciembre. ¿Saben lo que en realidad significa diciembre? Esta palabra proviene de la

palabra griega deka (diez); de ella se forman las palabras decalitro, diez litros: década, diez días, y otras. Resulta, pues, que

el mes de diciembre lleva la denominación de décimo. ¿Cómo explicar esa anomalía?

-Ya no falta más que un rompecabezas -dijo el presidente.

Nuestro calendario tiene su origen en el de los antiguos romanos. Estos (antes de Julio César) consideraban como

comienzo del año el 1 de marzo y no el 1 de enero. Por consiguiente, diciembre era entonces el mes décimo. Al pasar a

contar el año desde el 1 de enero, los nombres de los meses no cambiaron. De ahí proviene la falta de correlación existente

entre el nombre y el número ordinal correspondiente a algunos meses en la actualidad.

Nombre del mes Significado Ordinal

septiembre séptimo IX

octubre octavo X

noviembre noveno XI

diciembre décimo XII

Definición

Se llama determinante, a un valor escalar que se le

asocia a cada matriz cuadrada y se denota por: |A| óDet(A) para indicar el determinante de una matriz “A”.

- Para una matriz de orden 2:Sea la matriz:

A =

2221

1211

aaaa

® |A| =2221

1211

aaaa

= a11.a22 - a21.a12

Ejemplo:Sea:

A =

23

4-7→ |A| = 23

4-7 = 7.2 - 3(- 4) = 26

- Para una matriz de orden 3:Sea la matriz:

A =

a

a

a

11

21

31

a

a

a

12

22

32

a

a

a

13

23

33

fila 1

Ubicación de signos:

+++

++

---

-

Usando la fila 1:

| A | = a 11 3332

2322

aaaa

- a12 3331

2321

aaaa

+ a13 3231

2221

aaaa

Ejemplo:Hallar el determinante de:

A =

21-5124301

Usando la fila 1:

|A| =21-5124301

= 121-

12 - 0 25

14 + 3

1-5

24

® |A| = 4 - (- 1) + 3(- 4 - 10) = 5 + 3(- 14)

® |A| = - 37



D e te r m i n a n te s


Propiedades:

Sea “A” una matriz cuadrada.

1. D e t ( A ) = D e t ( A

t).2. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales

a cero, entonces: |A| = 0.

3. Si dos filas o dos columnas son proporcionales,entonces: |A| = 0.4. Si se intercambian dos filas o columnas, entonces el

determinante cambia de signo.5. Si a una fila o columna se le suma o se le resta un

múltiplo de otra, el determinante no se altera.6. El determinante de una matriz triangular (superior o

inferior) es igual al producto de todos los elementos dela diagonal principal.

7. Si todos los elementos de una fila o columna tiene unfactor en común, dicho factor se puede extraer.Sean “A” y “B” matrices cuadradas de orden “n”,entonces:

8. |AB| = |A| |B|9. Si: A = KB ® |A| = K n|B|10.|An| = |A|n

Observación: Si |A| ¹ 0, entonces “A” se llama matrizno singular.

Matriz inversa

Sea “A” una matriz no singular, se define la matriz inversade “A”, denotado por A-1, a aquella matriz que cumplecon:

A.A-1 = A-1.A = I

Cálculo de la matriz inversa

- Para una matriz de orden 2

Dada la matriz:

A =

dc

ba ; donde: |A| ¹ 0

A-1 =

ac-

b-d

| A|

1

Ejemplo:Calcular la matriz inversa de:

A =

21-7-5

|A| = 5.2 - 7 = 3

® A-1 =

51

72

3

1® A-1 =

3

5

3

137

32

- Para una matriz de orden 3(Método de Gauss - Jordan)

Dada la matriz cuadrada “A” (|A| ¹ 0), construimos lamatriz ampliada (A I), luego por operacioneselementales con filas o columnas obtenemos: (I B) donde

“B” es la matriz inversa de “A”.

Así: (A I) O.E. (I B)Luego:B = A-1

Ejemplo:Calcular la matriz inversa de:

i. A =

1002103-21

ii. A =

814312201

Propiedades:

1. (A-1)-1 = A2. (AB)-1 = B-1 A-1

3. (At)-1 = (A-1)t

4. |A-1| =| A|

1


22

22

22

abab2

ab2abbab2a

E =

Resolución:

Desarrollando:

a

b2ab

a

b

2

2

2

2

2ab

a

b2ab

a

2

2

2

b2ab

a

b2ab

2

2

2 ab

8a b

6

6

3 3

2a b2a b2a b

3 3

3 3

3 3

D = a + b + 8a b6 6 3 3I = 6a b3 3∑∑

333366 ba6ba8baEIDE −++=⇒∑−∑=

33

2336336

baE

)ba(Ebba2aE

+=∴

+=⇒++=







7654

6543

5432

4321

E =

Resolución:

Restando columnas: C4 - C3 y C3 - C2

0

1154

1143

1132

1121

675654

564543

453432

342321

7654

6543

5432

4321

==

−−−−−−−−

=

La determinante es nula pues existen dos columnasidénticas: E = 0


xcxxxxbxxxxa

++

+

Resolución:

Desarrollando la determinante.

a + xxx

a + xx

xb + x

xx

b + x

xx

c + xxx

(-)(-)(-)

(+)(+)(+)

=

= (a + x) (b + x) (c + x) + x3 + x3 - x2(b + x) - x2(a + x)

- x2(c + x) .... (a)

Pero:

(a + x) (b + x) (c + x) = (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x + abc

Reemplazando en (a):

= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac)x + abc +x3 + x3 - bx2 - x3 - ax2 - x3 - cx2 - x3

Reduciendo obtendremos: (ab + bc + ac)x + abc

4. Calcule el valor de:

222 zyxzyx111

Resolución:

Efectuando las operaciones:

En la primera columna: C1 - C2En la segunda columna: C2 - C3

22222222 zzyyxzzyyx100

zyxzyx111

−−−−=

Desarrollando la determinante por menorescomplementarios se tendrá:

= 1 2222 zyyx

zyyx

−−−−

= (x - y) (y2 - z2) - (y - z) (x2 - y2)= (x - y) (y + z) (y - z) - (y - z) (x + y) (x - y)

Factor común:

(x - y) (y - z)= (x - y) (y - z) [y + z - (x + y)]= (x - y) (y - z) (z - x)

Finalmente:

)xz()zy()yx(zyxzyx111

222

−−−=

5. Calcular:

1111

3111

22111111

) A(d

−−

−=

Resolución:

Restando la primera fila a todas las demás obtenemos:

d(A) =

11111111

1311111112121111

1111

−−−−−−−−−− −−−−−





d(A) =2000

2200

1120

1111

−−

−

La forma del determinante es triangular superior estoimplica que d(A) es igual al producto de todos loselementos de la diagonal principal.

d(A) = (1) (-2) (-2) (-2) = -8

Bloque I

1. Hallar el determinante de la matriz:

=

987654321

A

a) 0 b) 5 c) -5d) 4 e) N.A.

2. Resolver:

0

1110x

312xx3

=

+

−−

a) 222 ±− b) ± 4 c) 112 ±−

d) 224 ±− e) N.A.

3. Calcular:

acbbaccba

a) a

3 + b3 + c3 b) a3bc + b3ca + c3abc) a2 + b2 + c2 d) a3 + b3 + c3 - 3abce) a3 + b3 + c3 + 3abc

4. Si:

4252716x3128

=−−−

Obtener "x + 1".

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

5. Obtener "2x + 1"; a partir de:

101812516054xx1

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

6. Si:

123235124

A−−−

= y además: |A| = 1

Obtener: |At|

a) 1 b) -1 c) 1t

d) t e) N.A.

7. Hallar:

7313

5636

2828

1545

−−

a) 376 b) 425 c) -1d) 0 e) N.A.

8. Hallar los valores de "k" para los cuales:

08k 4

2k 2k k 721

=−+−

a) - 3;34

b) 3;3

4− c) 4;

4

3−

d) - 4;43

e) N.A.

9. Si: x Î ZZ , hallar "3x + 2" a partir de:

1523x

3x26443x

−=−

+

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) -2

10.Si: k Î IN, obtener "3k + 5" sabiendo que:

02k 11k

211k 3k 2

=+−

−−−






a) 4 b) 5 c) 19d) 11 e) 17

Bloque II

1. Calcular:

252623343735 111

a) 8 b) 6 c) 7d) -14 e) -16

2. Calcular:

y1111x11111

++

a) y b) x c) x - yd) xy e) xy + x + y

3. Calcular:

1xyx1zyz1

−−

−

a) x + y + z b) -(x + y + z)

c) x2 + y2 + z2 + 1 d) x2 + y2 + z2

e) x2 + y2 + z2 - 1

4. Hallar el valor de “x”:

23111012x

= 0

a) 1 b) 2 c) 3d) - 1 e) - 2

5. Si:

dc

ba = 0

Calcular:

dcc

baa

ddc

bba

++

+++

a) 0 b) 1 c) 2d) - 1 e) - 2

6. Si:

=

04-

52-X.

1-1

23

Calcular: |X|

a) - 1 b) 2 c) - 4d) 6 e) 10

7. Señalar el valor de verdad en cada caso.

I.201302103

= 0

II.312214132

= -214312132

III.888

60504015105

= 400111

654321

IV.1412111098876

=433222876

a) VVVF b) VFVV c) VFFVd) VVFF e) VVVV

8. Si “A” es de orden 4 y |A| = 2. Calcular el valor de |2A|.

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

9. Calcular el determinante:

10049251075111

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

10.Calcular el valor de:

401053002

+50032-0003

a) 8 b) 10 c) 12d) 15 e) 20

11.Calcular el valor de:

8321

0342

1211

3321





a) - 2 b) 6 c) 15d) 12 e) 30

Bloque III

1. Si "w" es raíz cúbica imaginaria de la unidad, hallar elvalor de:

w1w

1ww

ww1

2

2

2

a) w b) 4 c) 3d) w2 e) 0

2. Hallar "x" en:

0bxbmmmxaa

=

a) m b) a c) bd) Hay dos correctas e) N.A.

3. Resolver:

01314x71617x3111011x215

=−−−

a) 5 b) 3 c) 4d) 6 e) 2

4. A que es igual:

2

2

2

cc1bb1aa1

a) (b - c) (c - a) (a - b)b) abc (a + b + c)c) a2 + b2 + c2

d) ab + ac + bce) abc (ab + ac + bc)

5. Resolver: x + y + z = 1x + 2y + 3z = 1x + 4y + 9z = 1

Indique "x".

a) 21

b) 2 c) 1d) 5 e) N.A.

6. Hallar "x".

2x + 3y + 5z = 0 4x + 9y + 25z = 08x + 27y + 125z = 0

a) 1 b) 0 c) 5

d) 6 e) 8

7. Hallar "x + 1", a partir de:

x + 3y + 4z = 2 x + 9y + 16z = 4x + 27y + 64z = 8

a)35

b)32

c) -31

d)6

5e) -

6

1

8. Dada la matriz:

A =

11

02

Hallar la suma de los elementos de la matriz conmutablecon “A”, cuya determinante sea 35 y cuya traza sea 12.

a) 15 b) 23 c) 8d) 14 e) 18

9. Dada la matriz:

A =

10

2-1

Hallar la suma de los elementos de la matriz “B”, donde:B = A + A2 + A3 + ... + An n ≥ 2, n Î IN

a)2

1)-n(nb) n(n + 1) c) - n(n + 1)

d) n(1 - n) e)2

n)-n(1

10.Calcular el determinante:

2535253251

3141314312

4212421423

5323532534

a) 32 b) 24 c) - 17d) - 22 e) - 32





1. Calcular:

baba

baba

+−−+

a) ab b) 2ab c) 4abd) 8ab e) 16ab

2. Calcular el valor de la determinante:

812278543

| A|

−−−

=

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3. Calcular:

xaaxaaaaa

| A|

−−−=

Aut oevaluac ióna) a b) x c) x + ad) 2a2(a+x) e) 4a5x

4. Calcular:

50000x4000xx300

xxx20xxxx1

|B| =

a) 120 b) 110 c) 100d) 90 e) 80

5. Resolver:

61110x312

xx3

=+

−

−

a) {-8; 1} b) {-9; 1} c) {9; -1}d) {8; -1} e) x Î R



83Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepaso

Capít ulo VII I


¿Quién cuenta más?

Dos personas estuvieron contando, durante una hora, todos los transeúntes que pasaban por la acera. Una estaba

parada junto a la puerta; otra andaba y desandaba la acera. ¿Quién contó más transeúntes?

-Andando, naturalmente que se cuentan más; la cosa está clara -oyose en el otro extremo de la mesa.

-Después de cenar sabremos la respuesta -declaró el presidente- ¡El siguiente!

Ambos contaron el mismo número de transeúntes. El que estaba parado junto a la puerta contaba los transeúntes que

marchaban en ambas direcciones, mientras que el que andaba veía dos veces más personas que se cruzaban con él.

1. Reducir:

208

1912

1812

185

185

CCCC

C.6

19.

7

20.

8

21

S

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Resolver: x + x = 1202

hallar el número de soluciones.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Hallar "n" en:

1024C.....CCC 3n3n

3n2

3n1

3n0

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

4. Resolver y hallar "n" en:

120)!4n()!3n( )!5n()!3n(

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

5. Sumar:

!0

!1!2...

!7

!8!9

!8

!9!10

!9

!10!11K

a) 55 b) 77 c) 285d) 85 e) 385

6. Simplificar:

20

8

19

12

18

12

18

5

2113

218

CCCC

CCK

a)21

b)2

1c)

41

d) 2 e) 4

7. Hallar el término independiente de "x" en:

94)x( )

x

1x(F

a) 81 b) 82 c) 83

d) 84 e) 868. Hallar el término independiente de "x" en el desarrollo:

92

)x(x3

1x

2

3S

a)185

b)3

1c)

187

d)9

4e)

2

1

9. Sabiendo que:

2yx

tt 22

9

8

obtenidos de: F(x,y) = (x2 + y2)n; calcular el número detérminos del desarrollo.

a) 15 b) 19 c) 23d) 24 e) 29

10.Hallar que término es independiente de "x" en la

expansión:9

2)x(

x2

1x

5

2F



Repaso


a) t5 b) t6 c) t7d) t8 e) t3

11.Calcular:

M = i343 + i5; donde: 1i

a) 1 b) 0 c) -1d) i e) -i

12.Reducir:

W = i5331 + i9; 1i

a) -1 b) 0 c) -2d) -2i e) -i

13.Calcular:

W = i-242 + i-328; 1i

a) 1 b) -1 c) 0d) 4i e) 2i

14.Simplificar: 1i

32824255

41230025425331343

1iii

iiiiZ

a) 1 b) 2 c) -2d) 6i e) -i

15.Sumar:S = i2 + i4 + i6 + i8 + ... + i4n - 2 + i4n

1i

a) 1 b) 2 c) 0d) 4 e) -2

16.Calcular: S = i4! + 1 + i3! + 1

a) 1 b) 2 c) 0d) 4 e) 6i

17.Calcular:

isenyycosisenxxcos

W

a) cos(x + y) + isen(x + y)b) cos(x - y) + isen(x - y)c) cos(x - y) + id) cos(x - y) + 2isen(x + y)e) i

18.Pasar a la forma polar: Z1 = 8

a) 6[cos0º + isen0º]b) 8[cos0º + isen0º]c) 6 [ c o s p + isenp]

d) 8[cosp + isenp]e) 16[cosp + isenp]

19.Pasar a la forma polar: Z = -8 - 38 i; 1i

a) 16[cos 3

4

+ isen 3

4

]

b) 8[cos3

4

+ isen3

4

]

c) 4[cosp + isenp]d) 2[cosp + isenp]e) 16[cosp + isenp]

20.Pasar a la forma exponencial: Z1 = -3 - 33 i; 1i

a)i

3e6

b)i

3

4

e6

c)i

3

5

e18

d)i

32

e6

e)i

3e4

21.Resolver:

yx1

y-x1

++ = a

yx1

-y-x

1+ = b

y dar como respuesta el valor de "yx ".

a) a + b b) a - b c)b

a

d)a

be) 1

22.Dado el sistema:

=+

=39xy5x2y

11xy2x-3y

donde (x0, y0) es una solución. Señalar el valor de verdadde:

I. "x0" es mayor que 0,15.II. (7x0 + 5y0) es una fracción.III. (3,5x0 + y0) es un número entero.

a) FFV b) VFV c) VVFd) VFF e) VVV

23.El sistema en “x” e “y”:(m + 1)x + (m + 8)y = 7 3x + my = 3



Repaso


es indeterminado e incompatible para m = m1 Ù m = m2,respectivamente. Calcular “4m1 + 5m2”

a) 5 b) 12 c) 10d) 4 e) 15

24.¿Qué valor debe dársele a “m” en el sistema:

13x - my = 17 7y + mx = 51para que la solución sea de la forma (a, a)?

a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 2

25.Calcular “a + b + c”, si la siguiente matriz:

+

6c8ab24

bab-a1

es simétrica.

a) 6 b) 8 c) 12d) 20 e) 30

26.Luego de resolver:

A + 2B =

3-0

2-5

2A - B =

45-

115

donde “A” y “B” son matrices, calcular “A + B”

a)

12

04b)

14-

01c)

1-1-

14

d)

1-11-4

e)

04

12

27.Hallar la matriz “X” de orden 2, que cumpla:

=

12

6-4X

31

52

indicar la traza de “X”.

a) 2 b) 5 c) 8d) 10 e) -2

28.Si:

A =

11-

01

Hallar la suma de elementos de “An”. (n = par)

a) 2 b) 2n c) 1d) - n e) n

29.Calcular:

b-a-cc2c2b2a-c-bb2a2a2c-b-a

a) (a + b + c)2 b) a + b - cc) (a + b + c)3 d) abce) a + b + c

30.Hallar todos los valores de “x”, tal que:

4-x441-xx

1-x6-2x

= 0

a) 6 b) 2 c) - 2d) 2; 6 e) - 2; 6

31.Calcular:

1245

93-7-5-

2-132

4121

a) 40 b) 39 c) -25d) 37 e) 36

32.Indicar un factor de:

xabxaxxbbxxaxbax

a) a + b + x b) a + b + 2xc) a + x d) a + b - xe) a + b - 3x




I. Desigualdades ................................................................................................................. 33

II. Inecuaciones de grado superior ......................................................................................... 41

III. Funciones I ..................................................................................................................... 45

IV. Funciones II .................................................................................................................... 53

V. Progresión aritmética ....................................................................................................... 63

VI. Progresión geométrica ..................................................................................................... 69

VII. Repaso ........................................................................................................................... 74

ÍNDICE



33Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIODesigualdades

Capít ulo I

Introducción a los números reales

Sea IR el conjunto de números reales, provisto de dosoperaciones; la adición (+), la multiplicación (×) y unarelación de orden (<: menor que) que constituye elSistema de los Números Reales.

IR : (+ , ×, <)+ : adición× : multiplicación< : menor que

• Definición

Si “a” y “b” denotan al mismo número real, escribiremos:a = b (que se lee “a” igual a “b”). Una expresión de estetipo se llama igualdad.

• Axiomas de la Adición y Multiplicación

1. Ley de Clausura o Cerradura

(A1)

a, b IR : a + b IR (M1)

a, b IR : ab IR

2. Ley Conmutativa

(A2)

a, b IR : a + b = b + a(M2)

a, b IR : ab = ba

3. Ley Asociativa

(A3)

a, b, c IR : a + (b + c) = (a + b) + c(M3)

a, b, c IR : a(bc) = (ab)c

4. Ley de la existencia y unicidad del Elemento Neutro

(A4)

a IR : ! 0 IR / a+0 = 0+a = a(M4)

a IR : ! 1 IR / a.1 = 1.a = a

Observaciones:

0 : Neutro Aditivo1 : Neutro Multiplicativo

5. Ley de la existencia y unicidad del Elemento Inverso

(A5)

a IR : ! (-a)IR / a + (-a) = (-a) + a = 0(M5)

a IR - {0} : ! a-1 IR / a . a-1 = a-1 . a = 1

Observaciones:

(-a) : Inverso aditivo u opuesto

a-1 ó a1

: Inverso multiplicativo o recíproco.

6. Ley Distributiva

(D1) a,b,c IR : a(b + c) = ab + ac(por la izquierda)(D2)

a,b,c IR : (b + c)a = ba + ca(por la derecha)

* Axiomas de la Igualdad

1. Reflexiva:

a IR: a = a2. Simétrica:

a,b IR: Si: a = b → b = a3. Transitiva:

a,b,c IR: Si: a = b y b = c → a = c

• Teoremas Básicos de la Igualdad

1. Si: a = b; entonces: a + c = b + c,

a,b,c IR 2. Si: a = b; entonces: ac = bc,

a,b,c IR 3. Si: a . c = b . c; entonces: c = 0 ó a = b,

a,b,c IR 4. a.0 = 0 ,

a IR 5. a.b = 0 a = 0

b = 0

* Relación de Orden

a 0

* Axioma de Tricotomía

a IR se cumple una y solamente una de las siguientesrelaciones:

a > 0 ó a < 0 ó a = 0

• Teoremas Básicos de la Desigualdad

1. a 0

ac < bc ,

a,b IR 3. a bc ,

a,b IR

4. ab > 0 {(a > 0b > 0) (a < 0 b < 0)}(signos iguales)5. ab < 0

{(a > 0b < 0)

(a < 0 b > 0)}(signos diferentes)

6.

a IR - {0} : a y a-1 presentan el mismo signo.

a > 0

(a1

) > 0

a < 0

(a1

) < 0

7. a b2n,

n IN10.Si: a < x < b ab < 0 entonces 0 x2 < Max (a2 , b2)11.Si: a < b c < d entonces a + c < b + d



Desigualdades


12.Si: 0 < a < b 0 < c < d entonces ac < bd

13.Si: 0 < a < b entonces a <2

ba + < b

14.Si: 0 < a < b entonces a < ab < b

Observaciones:

2

ba +: se denomina MEDIA ARITMÉTICA.

ab : se denomina MEDIA GEOMÉTRICA.

• Definición

Dados: a1 , a2 , a3 , a4 , ... , an lR + , definimos:

MEDIA ARITMÉTICA: M.A. =n

a...aaa n321 ++++

MEDIA GEOMÉTRICA: M.G. =n

n321 a.....a.a.a

MEDIA ARMÓNICA: M.H. =

n321 a1

...a1

a1

a1

n

++++

• Teoremas

- En genera l para cant idades cua lesquiera:M.A. ³ M.G. ³ M.H.

- Cantidades diferentes: M.A. > M.G. > M.H.- Cantidades iguales: M.A. = M.G. = M.H.

15.Para dos números reales positivos “a” y “b”.

b1

a1

2ab

2ba

2ba 22

+≥≥

+≥

+

16.Si:d

c

b

a0 << entonces: d

cdbca

ba

<++

<

Intervalos

Son conjuntos de números definidos mediante la relaciónde orden en el campo de los números reales y son de variasclases:

A. Intervalo cerrado:[a;b] = {x

∈ IR / a £ x £ b} en el cual se incluye a los

extremos: a y b en la recta real.

a b

- ∞ +∞

B. Intervalo abierto:<a; b> = {x Î IR / a < x < b} en el cual no se incluye alos extremos a y b en la recta real.

a b

- ∞ +∞

C. Intervalos semiabiertos:[a; b> = {x Î IR / a £ x < b}

a b

- ∞ +∞

<a; b] = {x ∈ IR / a < x ≤ b}

a b

- ∞ +∞

<a; b] = {x ∈ IR / a < x ≤ b}

D. Intervalos infinitos:

<a; ¥> = {x Î IR / x > a}

a

- ∞ +∞

[a; ¥> = {x Î IR / x ≥ a}

a

- ∞ +∞

<- ¥; b> = {x Î IR / x < b}

b

- ∞ +∞

<- ¥; b] = {x Î IR / x ≤ b}

b

- ∞ +∞

* Observaciones:

IR = <- ¥ ; + ¥>IR + = <0; + ¥>IR - = <- ¥ ; 0>

[a; a] = {a}<a; a> = f



Desigualdades


* Ejemplo:

Expresar en forma de intervalo:

-∞ +∞-2 3 6-5

Resolución:

Del gráfico, se tiene:x ∈ <- ¥ ; -5] ∪ <-2; 3] ∪ <6; + ¥ >

* Ejemplo:

Expresar en forma de intervalo:

-∞ +∞-8 -7 -4 -1 2 4 7 8

Resolución:

Del gráfico:x ∈ <- ¥; -8] È [-7; -4> È [-1; 2] È <4;7] È [8;+¥>

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Es aquella que presenta la siguiente forma:

ax + b > > 0

• Solución de una inecuación

Son todos los valores que satisfacen a la inecuación. Lasolución se da en forma de intervalo.

• Principios fundamentales

1. Si a ambos miembros de una inecuación se le suma ose le resta una misma cantidad el sentido de ladesigualdad no se altera.

Si: a > b, entonces: a + c > b + c ; ∀

a ; b ; c ∈ IR

2. Si a ambos miembros de una inecuación se multiplicapor una misma cantidad mayor que cero el sentido dela desigualdad se mantiene.

Si: a > b, entonces: ac > bc ; ∀ c > 0

Si la cantidad por la cual se multiplica es menor quecero, el sentido de la desigualdad se invierte.

Si: a > b, entonces: ac < bc; ∀ c < 0

3. El principio anterior se cumple para la división:

Si: a > b, entonces:c

b

c

a> ; ∀ c > 0

Si: a > b, entonces:c

b

c

a< ; ∀ c < 0

4. Si dos inecuaciones tienen el mismo sentido, se puedensumar miembro a miembro y el sentido de la desigualdadno se altera, esto es:

ac

>>

bd

a + c > b + dentonces:

si:

5. Si: a < b, entonces: b > a

6. Si: a < x + c < b, entonces: a - c < x −−

Solución:

El MCM de todos los denominadores es 20, luego:4(3x) - 2(7) - x > 4(1) - 7x12x - 14 - x > 4 - 7xtransponiendo términos:12x - x + 7x > 4 + 14 18x > 18

x > 1818

x > 1x ∈ <1;+ ∞>

1 + ∞

2. Resolver: 3 - x £ 5 + 3x

Solución:

A un lado la variable y al otro los números:

-x - 3x ≤ 5 - 3- 4x ≤ 2

Al dividir a ambos miembros por -4, el sentido de ladesigualdad se invierte. Esto es:

2

1x

4

2

4

x4−≥⇒

−≥

−−

-1/2 + ∞

∞+−∈ ;

21

x



Desigualdades


Otra forma

Para resolver: 3 - x ≤ 5 + 3x, llevamos las “x” al segundomiembro, observe:

3 - 5 ≤ 3x + x-2 ≤ 4x ⇒ 4x ≥ -2

luego:

x ≥ -4

2

x ≥ -2

1

∞+−∈ ;

21

x

3. Resolver: 13 ≥ - 3 + 2x ≥ 5

Solución:

13 ≥ - 3 + 2x ≥ 5 ⇒ 13 + 3 ³ 2x ³ 5 + 3Þ 16 ≥ 2x ≥ 8

⇒2

16≥ x ≥

2

8

⇒ 8 ≥ x ≥ 4⇒ 4 ≤ x ≤ 8∴ x Î [4;8]

4. Resolver:

5x - 3y > 2 .... (I)2x + y < 11 .... (II)

y +2

1>

10

37-

5

1.... (III)

Solución:

De la inecuación III:

10

5237

y2

1

5

1

10

37

y

−−

>→−−>

→ y >10

30⇒ y > 3 .... (α)

Multiplicando a la primera inecuación por 2 y a la segundainecuación por -5, se tiene:

10x-10x

---

6y5y

11y

>>>

4-55-51

11

51y <

.... (β)

De (α) y (β) se tiene: 3 < y < 4,6 → ∴ y = 4

en (I):

5x > 2 + 3(4)5x > 14

x > 514

→ x > 2,8

en (II):

2x < 11 - 4 ⇒ 2x < 7 x < 3,5

como: 2,8 < x < 3,5 ⇒ x = 3

finalmente: x = 3; y = 4

Resolver las siguientes inecuaciones:

1.3

2

2

1x2

6

2x3

5

1x2+

+>

−+

−

a) <- ∞ ;17> b) <- ∞ ; -17> c) <- ∞ ; 2>d) <- ∞ ;3> e) <- ∞ ; 5>

2.3

1x5

10

13x3

4

1x5 +>

−−

−

a) <0;2> b) <0;3> c) <- ∞;1>d) <0;4> e) <0;5>

3. Dar el menor valor impar.

31

21

51

4x

51

41

3x

2x

−

+>

−

+

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

4. m - nx ³ px - q ; si: p + n < 0

a) npqm

x++

≤ b) npqm

x++

≥

c) npnm

x++

≤ d) qpnm

x++

≥

e) x ≥ 1

5. Si: x ∈ <2;4>, entonces:

3x2

1

+

pertenece al intervalo:

a) [7;11] b)

111

;71

c) 71

;111



Desigualdades


d) <7;11> e) 111

;71

Inecuaciones de Segundo Grado

Forma:

ax2 + bx + c > 0

* Resolución por factorización: (Puntos críticos)

1. Se factoriza el polinomio mediante un aspa simple.

2. Se hallan los puntos críticos, igualando cada factor acero y se ubican en la recta numérica o eje decoordenadas.

3. De derecha a izquierda se ubican los signos más (+) ymenos (-) en forma alternada en cada intervalo.

4. Luego, si: P(x) ≥ 0 se tomarán los intervalos (+) positivosy si: P(x) < 0 se tomarán los intervalos negativos.

* Ejemplo:

Resolver: x2 - x - 6 ≤ 0

Primer paso, factorizar:

x - x - 6 02

≤

xx

-32

Segundo paso, puntos críticos:x - 3 = 0 ∧ x + 2 = 0P.C. = {3; -2}

Tercer paso, ubicamos los puntos críticos en la rectanumérica y hacemos la distribución de signos:

-2 3

+ +-

Cuarto paso, como: P(x)

≤ 0, tomamos el intervalonegativo. Entonces: x ∈ [-2; 3]

1. Señalar (V) ó (F):

I. x2 > 16 → C.S.: <4; ∞>II. x2 ≤ 4x ® C.S.: <- ¥ ; 4>III. (x - 3) (x - 5) < 0 ® C.S.: <3; 5>

a) VVV b) FFF c) VFFd) VVF e) FFV

Solución:

I. x

2 > 16 ® x2 - 16 > 0 → (x + 4) (x - 4) > 0

- ∞ - 4 4 + ∞

- ++

C.S.: <- ∞ ; - 4> ∪ <4; ∞>

II. x2 ≤ 4x ® x2 - 4x £ 0 ® x(x - 4) £ 0

- ∞ 0 4 + ∞-+ +

C.S.: [0; 4]

III. (x - 3) (x - 5) < 0

- ∞ 3 5 + ∞-+ +

C.S.: <3; 5>Rpta: FFV

2. Resolver: (x + 1) (x + 2) (x + 3) ≥ x3 + 5x2 + 10x + 8

Solución:x3 + 6x2 + 11x + 6 ≥ x3 + 5x2 + 10x + 8x2 + x - 2 ≥ 0x + 2x - 1(x + 2) (x - 1) ≥ 0

Puntos críticos {-2; 1}

- ∞ - 2 1 + ∞

-+ +

→ C.S: <- ∞ ; - 2] ∪ [1; ∞ >

3. Después de resolver, indique el menor entero queverifica: 2(x + 8) (x - 5) ≥ x(x + 5) + x2

Solución:

Efectuando:

2(x2 + 3x - 40) ≥ x(x + 5) + x2

2x2

+ 6x - 80 ≥ x2

+ 5x + x2

x ≥ 80 → ∴ el menor valor entero es 80




Desigualdades


4. Resolver: x8 - 2x4 + 1 ≤ 0Indicando la suma de valores que la verifican.

a) 1 b) -1 c) 0d) 4 e) 2

Solución:

Operando: x8 - 2x4 + 1 ≤ 0

0)1x()(

24 ≤−+

La única solución:

x4 - 1 = 0 → (x2 + 1) (x2 - 1) = 0→ (x2 + 1) (x + 1) (x - 1) = 0

∴ x = - 1 ; x = 1→ Suma de valores "cero".

5. Marcar (V) ó (F) en:

a

1

b

1< ..... ( ) a2 < b2 ..... ( )

Si: a ∈ R + y -b ∈ R +

a) VV b) VF c) FVd) FF e) N.A.

Solución:

a > 0- b > 0 → b < 0

I.a

1

b

1< ....... (V) II. a2 < b2 ...... (F)

(-) (+) porque si: a = 4 ; b = -116 < 1, falso

Bloque I

1. Resolver: x2 - x - 6 ≥ 0 ; dar el intervalo solución.

a) <- ∞; 2] ∪ <3 ; + ∞>b) <- ∞; 2] ∪ [3 ; + ∞>c) [2; 3]d) <3 ; + ∞>e) <- ∞; 2>

2. Resolver: 3x2 - 11x + 6 < 0 , su intervalo solución será:

a) <3

2; 3>

b) <-∞;3

2> ∪ <3; +∞>

c) [3

2; 3]

d) φe) <3; +∞>

3. Resolver: x2 ≤ 9 , dar su intervalo solución.

a) [-3; 3]b) <- ∞ ; -3] ∪ [3 ; + ∞>c) IR d) φe) <- 3; 3>

4. Resolver: x2 > 3 , dar un intervalo de su solución.

a) <- 3 ; 3> b) < 3 ; ∞>c) <3 ; + ∞> d) IR e) φ

5. Resolver: x2 - 4x + 1 < 0 , dar un intervalo de susolución.

a) <- ∞ ; 2 + 3 >

b) <2 - 3 ; 2 + 3 >c) IR d) Hay dos respuestase) φ

6. Resolver: x2 - 2x - 1 ³ 0 , dar un intervalo de su solución.

a) [1 + 2 ; + ∞> b) [1 - 2 ; 1 + 2 ]

c) <- ∞ ; 1 - 2 > d) IR e) φ

7. Resolver: 3x2 - 2x - 5 < 0 ; dar un intervalo de susolución.

a) <- ∞ ; -1> b) <3

5; + ∞> c) <- 1;

3

5>

d) φ e) IR

8. Resolver: x2 - 6x + 25 < 11

a) <3 ; + ∞> b) <- 5 ; + ¥> c) f

d) IR e) IR +

9. Resolver: (x - 3)2 ≤ 0

a) IR b) [3 ; + ∞> c) <- ∞; 3]d) 3 e) φ

10.Resolver: x2 - 8x + 8 > 4 - 4x

a) [2 ; + ∞> b) <- ¥; 2> c) <2 ; + ∞>d) IR - {2} e) φ




Desigualdades


Bloque II

1. Hallar los valores de “m”, para que la ecuacióncuadrática: (m + 3)x2 - 2mx + 4 = 0 tenga solucionesreales.

a) <- ∞ ; -2> ∪ <6 ; + ∞>

b) <- 2 ; 6>c) <- 6 ; 2>d) <- ∞ ; - 6> ∪ <2 ; + ∞>e) φ

2. Halle el mayor valor de “k”, si: x2 - 12x + 40 ≥ k satisface: ∀ x ∈ IR

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

3. Resolver: (x - 2)2 ≤ 16

a) <- ∞ ; - 2] ∪ [6 ; + ∞>b) <- 2; 6>c) [-2; 6]d) IR e) φ

4. Si el intervalo solución de: 5(x + 1)2 - 3(x - 1)2 > 12x + 8es: <-∞; a> ∪ <b; +∞>. Hallar “a - b”

a) -5 b) 12 c) -4d) -2 e) 10

5. Sea la inecuación cuadrática: x2 - mx + p ≤ 0 cuya

solución es: x ∈ [2; 4], indique:2

m-p

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

6. Resolver el sistema: x2 - 11x + 24 < 0 x2 - 9x + 20 > 0

dar como respuesta el número de valores enteros quela verifican.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Resolver: x2 + ab ≤ (a + b)x ; a 

9. Hallar el número “M”, con la propiedad que ∀ x ∈ IR.1 + 6x - x2 ≤ M

a) 8 b) 11 c) 9d) 12 e) 10

10.Sea la inecuación cuadrática: ax2 + (a + 3)x + 4 ≤ 0

si su conjunto solución es unitario, indique el menorvalor de “a”.

a) 9 b) - 1 c) 1d) - 9 e) 0

Bloque III

1. Sea el sistema de inecuaciones:x2 - 8x - 9 ≤ 0x ≤ a

si su conjunto solución es unitario, indique el valor de

“a”.a) 8 b) 8,5 c) 9d) -1 e) 7

2. El conjunto solución de: ax2 + bx + c < 0

a > 0, es: <-2;5

3>. Hallar “a.b.c” , {a, b, c} ⊂ ZZ .

a) -210 b) -180 c) -120d) 180 e) 210

3. Al resolver el sistema:x2 + x + 1 ≤ x + 50 < x2 - 3x + 50su solución es: [a; b> ∪ <c; d]indique: M = ac - b - d

a) -28 b) -35 c) 0d) 19 e) 21

4. La inecuación cuadrática: x2 + ax + b > 0{a, b} ⊂ ZZ , tiene como conjunto solución:

IR - [1 - 5 ; 1 + 5 ] ; Hallar: a2 - b3

a) 4 b) 64 c) 68d) 60 e) 65

5. Hallar “a”, para que el sistema:2x2 + 3x - 9 < 02x2 - 3x - 5 < 0x > atenga solución única en ZZ .

a) -0,3 b) 0,2 c) 1,2d) -1,3 e) 2

6. Resolver: ax + bx2

≤ a + bx ; b < a < 0

a) <1;b

a>



Desigualdades


b) <- ∞; 1> ∪ 

c) <1;a

b>

d) <- ∞; 1> ∪ < a

b

; +∞>

e) <- ∞; -b

a] ∪ [1; +∞>

7. Resolver: x2 + 18 < 9xx2 > 2x

a) <3; 6> b) <2; 4> c) <-1; 4>d) <6; 9> e) φ

8. Sean los conjuntos:

A = {x ∈ IR / x2

- x - 2 ≥ 0}B = {x ∈ IR / x2 - 4x - 5 ≤ 0}Hallar: A ∩ B

a) [2; 5] ∪ {-1}b) [-1; 2] ∪ [5; + ∞>c) <- ¥; -1] ∪ [2; 5]d) [2; 5]e) N.A.

9. Del problema anterior, hallar: A ∪ B

a) <- ∞; + ∞> b) <- ∞; 5] c) <- ∞; -1]

d) <- ∞; 2] e) N.A.

10.Del problema 8, hallar: (A' ∩ B')

a) {-1} b) <2; 5> c) <-1; 5>d) φ e) N.A.

1. Hallar el C.S. de: x2 - x - 6 ≤ 0

a) x ∈ [3; ∞> b) x ∈ [-2; 3] c) x ≥ 0

d) x ∈ <- ∞; 0] e) x ∈ [2; ∞>

2. Hallar el C.S. de: x(x + 1) (x - 3) > 0

a) x ∈ <- ∞ ; 0> ∪ <2; ∞>b) x ∈ <-1; 0> ∪ <3; ∞>c) x ∈ <0; ∞>d) x ∈ <3; ∞>e) N.A.

3. Hallar el C.S. de: x2 - 4x + 1 < 0

a) x ∈ [- ∞ ; 2 - 3 > b) x ∈ [2 + 3 ; ¥ >

c) x ∈ <2 + 3 ; ∞ > d) x∈<2- 3 ; 2 + 3 >e) N.A.

4. Hallar el C.S. de: (x - 3)2 ≤ 0

a) x ∈ R b) x = 3 c) x ³ 3d) x ∈ φ e) N.A.

5. Hallar el C.S. de: (x - 2)2 ≤ 25

a) x ∈

<- ¥ ; 2] b) x ∈

[-3; 7]c) x ∈ [3; ∞ > d) x ∈ [-3; ∞ >e) N.A.

Aut oevaluac ión



41Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOInec uac iones de grado super ior

Capít ulo I I

Son aquellas que presentan la siguiente forma general:

a0xn + a1x

n - 1 + a2xn - 2 + ... + an > 0 ; (< ; ≥ ; ≤)

n ∈ ZZ+ ∧ n ≥ 3 a0; a1; a2; ...; an → constantes o coeficientes

• Resolución (Procedimiento)

A. Se factoriza el polinomio teniendo en cuenta que todoslos factores primos tengan coeficiente principal positivo.

B. Se hallan a continuación los puntos críticos, igualandocada factor a cero y éstos se ubican en la recta numérica,guardando su relación de orden.

C. Se forma así intervalos, los cuales de derecha aizquierda, poseen un signo comenzando con el signomás y alternando con el signo menos.

D. Si el P(x) ≥ 0, se toman los intervalos positivos; si elP(x) ≤ 0, se toman los intervalos negativos, obteniendoasí el intervalo solución.

* Ejemplo:

Resolver:

(x)

23

P

6-11x6x-x + ≤ 0

Resolución:Factorizando: (x - 1)(x - 2)(x - 3) ≤ 0Hallando los puntos críticos: Pc = {1; 2; 3}Ubicando en la recta numérica:

1 2 3-∞ +∞

Comenzamos

Luego: P(x) ≤ 0, tomamos los negativos:x ∈ <- ∞; 1] ∪ [2 ; 3]

Nota:

A veces se encuentran trinomios: y = ax2 + bx + c, que noson factorizables, entonces se calcula su discriminante. Si:∆ < 0 ∧ a > 0, entonces el trinomio es (+)

x ∈ IR, porello se descarta de la inecuación o simplemente pasa adividir, esto no altera el sentido de la desigualdad.

1. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n

; n∈ ZZ+

estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto críticoqueda pendiente de si es solución o no.

2. Si encontramos factores de la forma:

(ax + b)2n+1

; n ∈ ZZ+

quedará en la inecuación sólo (ax + b).

* Ejemplo:

Resolver: (x2 - 2x + 4)(x + 3)2(x - 7)3(x + 1)(x - 2) ≥ 0

Resolución:

- El trinomio (x2 - 2x + 4) tiene ∆ = -12 negativo,coeficiente principal positivo ∴ es (+)

x ∈ IR Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido.

- El factor (x + 3)2

se descarta pero su punto críticox = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estarcontenido en la solución.

- El factor (x - 7)3 es reemplazado por (x - 7)Luego tendremos: (x - 7)(x + 1)(x - 2) ≥ 0

P.C. = {-1; 7; 2}Ubicando en la recta:

-1 2 7-∞ +∞

Luego: P(x) ≥ 0 se toman los (+) más el punto crítico:x = - 3

x ∈ [- 1 ; 2] ∪ [ 7 ; +∞> ∪ {-3}

1. Resolver: 02x3x22x6 2 ≤+−−

Solución:

Dándole una forma adecuada al primer miembro yfactorizando:

6 x - (2 2 + 3) x + 2 02 ≤

2 x -1

-23 x

aplicandoaspa

simple

x =⇒ 1

2= 2

2; x = 2

3= 3

32

Estos son los "puntos críticos"

2

2

+ - +

3

3

2

C.S. = 22

; 3

3

2




Inecuaciones de grado super ior



2. Señale el valor de "a" para el cual el sistema:

x2 - 4x + 3 < 0 ....... (1)x2 - 2x + 4 £ 6 - x ....... (2)x ≥ a ....... (3)

Se verifica para un único valor entero de "x".

Solución:

Resolviendo (1): x2 - 4x + 3 < 0 ⇒ (x - 1) (x - 3) < 0Luego: 1 < x < 3

Resolviendo (2): x2 - x - 2 ≤ 0 ⇒ (x - 2) (x + 1) ≤ 0Luego: -1 £ x ≤ 2

Graficando los resultados:

-1 1 2 3

Luego el único valor entero es 2.

3. ¿Entre qué limites debe variar "m" para que la inecuación:

16

3mmx2x 2 >++

se verifique para todo valor real de "x"?

Solución:

De la inecuación tenemos:

016

3mmx2x 2 >−++

si se verifica ∀ x ∈ IR debe cumplirse:

1 > 0 ; (2m) - 4(1) m - < 02 316

coeficientede "x "2 discriminante

De lo último se tiene:16m2 - 16m + 3 < 0

→ (4m - 1) (4m - 3) < 0

Luego los puntos críticos son:4

3m;

4

1m ==

Así tenemos:

14

34

Por lo tanto:

43m

41 <<

4. ¿Para qué valores de "a" la inecuación:(3a2 - a)x2 + (2a - 9)x + 2a2 - 5 < 0

se satisface sólo para:7

3,

2

1x ∈ ?

Solución:

Como:73

;21

x ∈ ⇒ los puntos críticos son:

x1 = 21

; x2 = 73

Eso significa que:

073

x21

x

ndomultiplica

<

−

−

→ 14x2 - 13x + 3 < 0

Así:

35a2;139a2;aa314 22 =−−=−−=

a =37

∨ a = -2 ; a = -2 ; a = ±2

Luego, la única solución es: a = -2

5. Indicar la condición que debe tener el número "n" para

que el polinomio: x2

+ 2x + n sea superior a 10Solución:

Se tiene: x2 + 2x + n > 10⇒ x2 + 2x + n - 10 > 0

Tenemos:1 > 0 ; 22 - 4(1) (n - 10) < 0

⇒ Así se tiene: 4 - 4n + 40 < 0⇒ n > 11

Bloque I

1. Resolver: x3 - 5x2 + 6x ≥ 0

a) [0; 2] ∪ [3; +∞> b) <-∞; 0]∪[2; 3]c) [2; + ∞> d) <-2; 3]e) [0; + ∞>

2. Resolver: x3 < 9x

a) <-∞; -3> ∪ <0; 3> b) <-3; 0> ∪ <3; +∞>c) <-∞; 9> d) <-3; 3>e) <-∞; -3> È <3; +∞>





3. Resolver: (x2 - x - 2)(x - 4) ≥ 0

a) [-1; 4] b) [2; 4]c) [4; +∞> d) <-∞;-1]∪[2; 4]e) [-1; 2] ∪ [4; +∞>

4. Resolver: x(x - 1)2 > 0

a) <0; +∞> - {1} b) x ∈ IR - {1}c) {1} d) <-∞; 0>e) <-1; 1>

5. Resolver: (x + 1)(x + 3)2(x - 7)5(x - 2) ≥ 0

a) [-1; 2] ∪ [7; +∞> ∪ {-3}b) [1; 2] ∪ [7; +∞> - {-3}c) IR d) φe) N.A.

6. Resolver: (x + 4)5(x + 1)4(x - 2)3(x - 5)2 ≤ 0indique la suma de los valores enteros que la verifican.

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -7

7. Resolver: x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 > 0Dar un intervalo de su solución.

a) <-∞; 4> b) <- ∞;-1> ∪ <2; +∞>c) <-2; +∞> d) <-1, 1>e) <-4; -1>

8. Resolver:3-x

2x +≥ 0

a) [-3; +∞> b) <- ∞; -2] ∪ <3; +∞>c) <-3; 2] d) [2; +∞>e) x ∈ IR

9. Resolver:3)-1)(x(x

2)-x)(4x(

++

≤ 0

a) [-4; 1> ∪ [2; 3> b) < - ∞; -4> È [-1; 2>c) IR d) [-4, 4]e) f

10.Resolver:

35x12-x

65x-x2

2

+

+ > 0

a) <-¥; 3> ∪ <5; +∞>b) <-∞; 2> ∪ <5; +∞>c) <-∞; 5> ∪ <7; +¥>

d) <-¥; 2> ∪ <3; +∞>e) <-¥; 2> È <3; 5> ∪ <7; +∞>

Bloque II

1. Resolver: x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 ≥ 0Dar un intervalo de su solución.

a) <-∞; 2] b) [-4; +∞> c) {1}d) <-¥; 1] e) [1; 4]

2. Resolver: x5 - 5x4 + 2x3 + 14x2 - 3x - 9 < 0

a) <-∞; 1> - {-1} b) <-∞; -1> ∪ {1}c) <-1; 1> d) <1; +∞>e) <3; +∞>

3. Resolver: (x2 + 1)(x2 + 2)(x - 3) > 0

a) IR b) φ c) <1; 2>d) <3; +∞> e) <-∞; 1> ∪ {3}

4. Resolver: (x - 2 - x2)(x2 + 2x - 8) < 0, dar un intervalosolución.

a) <1; +∞> b) <-¥; -4> c) <-4; 1>d) <-∞; 1> e) N.A.

5. Resolver: (x3 - 1)(x3 - x2 + 2x - 2)(x - 2) < 0, dar unintervalo de su solución.

a) <-∞; 2> b) <-∞; 1> c) <2; +∞>d) <1; +∞> e) N.A.

6. Resolver:

1x

2-3x

+ <

2-x4

dar un intervalo de la solución.

a) <1; 2> b) <2; 4> c) <-1; 2>d) <-2; 1> e) N.A.

7. Hallar una inecuación entera de coeficientes racionalesde grado mínimo cuya solución es:<-∞; -2> ∪ <-2; 2> ∪ <3; +∞>

a) (x - 3) (x - 2) (x + 2)2 > 0b) (x + 3) (x + 2)3 > 0c) (x - 3) (x - 2)2(x + 2) < 0d) (x - 3)2 (x - 2) (x + 2) > 0e) (x + 3) (x + 2)2 (x - 2) ≤ 0

8. Resolver: 5-x < 3

a) [5; +∞> b) <-∞; 14] c) [5; 14>d) f e) IR

9. Resolver: 5-x < - 3

a) [5; +∞> b) [14; +∞> c) <14; +¥>d) IR e) f





Aut oevaluac ión

10.Resolver: 5-x > - 3

a) IR b) [5; +∞> c) <14; +∞>d) IR - {5} e) φ

Bloque III

1. Resolver: (x2 - x)2 - 14(x2 - x) + 24 ≤ 0

a) [-3; -1] ∪ [4; +∞> b) [-3; -1] ∪ [2; 4]c) <-∞; -3] ∪ [4; +∞> d) [-1; 2] ∪ [4; +∞>e) x ∈ φ

2. Resolver: x4 - 8x2 - 9 < 0

a) <8; 9> b) <-¥; 8> ∪ <9; +¥>c) <-3; 3> d) <-∞; 3>e) IR

3. Resolver: x3 - 3x - 2 ≥ 0

a) [2; +∞> b) [-2; +∞> - {-1}c) [-2; +¥> d) [2; +∞> ∪ {1}e) [2; +∞> È {-1}

4. Resolver: x3 - 18x2 + 77x - 60 > 0

a) <1; 5> ∪ <12; +∞> b) <1; 4> ∪ <10; +∞>c) <-1; 5> È <12; +∞> d) <0; 5> ∪ <10; +∞>e) <-12; -5> ∪ <-1; +¥>

5. Indicar el intervalo no solución:127x-x34x-x 22 +≤+

a) <0; 1> b) <-∞ ; -1] ∪ {3}c) <-¥; -1] d) <1; +∞>e) <-5; 0>

6. Resolver: (7 - x)4(5 - x)3(2 - x)2(-1 + x)5 > 0Indique cuántos valores la verifican.

a) 1 b) 2 c) 3d) más de 3 e) N.A.

7. Resolver: 2x + > x

a) [-2; 2> b) [-2; 2] c) [-2; 8]d) <2; 7> e) IR

8. Resolver:

1-x

1x + +

2x

2-x

+ > 2

a) <-¥; -2> È <1; 4> b) <-¥; -4>

c) <-∞; 1> ∪ <4; +∞> d) <-2; 4>e) N.A.

9. Resolver:

2-x

1x2 +£ x - 5

a) [

7

9; 2> b) IR c) <-¥; 2]

d) [2; +∞> e) N.A.

10.Resolver: (x - 2)(x2 - 18) + 3x(x - 2) ≥ 0

a) -6 ≤ x < 2 b) -6 < x £ 2 È x ≥ 3c) x ≥ 4 d) -6 ≤ x ≤ 3e) N.A.

1. La solución de la inecuación: -x2 + 8x - 7 > 0, es:

a) - ∞ < x < ∞ b) - 1 < x < 7c) - 1 < x < 1 d) 0 < x < 7e) 1 < x < 7

2. Al resolver la inecuación: x2 - 10x + 33 < 0, podemosafirmar que:

a) No existe solución real b) x < -10

33

c) x > - 10

33

d) x > 0

e) x < 0

3. La solución de la inecuación: x2 - 6x + 9 ≤ 0

a) x ∈ IR b) x ∈φ c) x ∈ {3}d) x ∈ {-3} e) x ∈ <-1; 1]

4. Hallar el mínimo valor de "M" con la propiedad de quela inecuación: x2 - 6x + (M - 1) ≥ 0 se verifica: ∀ x ∈ R

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

5. Hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad:(2x - 1)2 > x2 - 3x + 3

a) x ∈ <- ∞ ;32

> ∪ <1; + ∞>

b) x ∈ [-32

; 1]

c) x ∈ [1 ; 5>d) x ∈ IR e) x ∈ φ



45Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFunc iones I

Capít ulo I I I

• Par Ordenado

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos endeterminado orden:

(a ; b)

Primera componente Segunda componente

Propiedades:

1. (a; b) ≠ (b; a) (no conmutativa)2. Si: (a; b) = (c; d) ® a = c Ù b = d

• Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos; se llama productocartesiano (A × B) al conjunto de pares ordenados (a; b)donde a Î A y b ∈ B ; es decir:

A × B = {(a; b) / a ∈ A Ù b Î B }

Propiedades:

1. A × B ¹ B × A2. n(A × B) = n(A) × n(B)

• Relación

Definición

Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos; se llama relaciónde “A” en “B”, a todo subconjunto “R” de “A × B” es decir:

“R” es una relación de “A” en “B” ↔ “R” Ì “A × B”

En particular, si: A = B, “R” se llama una relación en “A” (órelación entre elementos de “A”).

La definición anterior de relación exige la comparación deelementos por pares, por eso suele llamarse relaciones

“Binarias”.Ejemplo:

En el conjunto: A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}establecemos las siguientes relaciones:

- “a” es el doble de “b”.- “a” es igual a “b”.

Escribir los pares que cumplen las relacionesrespectivamente.

Sea:R 1 = {(a; b) / “a” es doble de “b”}R 1 = {(2; 1)(4; 2)(6; 3)(8; 4)}

R 2 = {(a; b) / “a” es igual a “b”}

R 2 = {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6),(7;7),(8;8),(9;9)}

- Si “R” es una relación entre elementos de “A” y “B”, alconjunto “A” se llama conjunto de partida de la relacióny a “B” conjunto de llegada.

- Se llama dominio de una relación “R” al conjunto detodos los elementos (a Î A ) tales que existe por lomenos un (b Î B) con (a; b) Î R.

- Se llama rango de una relación “R” al conjunto de todoslos elementos (b Î B) tales que existe por lo menos un(a Î A) con (a; b) Î R.

Ejemplo:

Sea la relación:

R 1 = { (1; 2),(2; b),(2; 7),(3; 2),(1; -2)}DR1 = { 1; 2; 3}R R1 = { 2; b; 7; -2}

• Funciones

Definición

Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser:

A = B) llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación: f Ì A × B , que tienela propiedad: (a; b) Î f y (a; c) Î f entonces: b = c

Es decir, una función “f” es un conjunto de pares ordenadosde elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen elmismo primer elemento.

Notación

Si “f” es una función de “A” en “B” se designa por:

f: A ® B ó a b

A B

f

Se lee “f” es una función de “A” en “B”.

Ejemplos:

c 1

A f

b

a

B

Siendo: a b c diremos:≠ ≠

A B→

f = {(a; 1),(b; 1),(c; 1)} es función



Funciones I


3

a

Mf

21

N

M N→f bc

d

f = {(1; c),(2; d),(3; b)} es función

Mf

2

1

S

M S→f a

b

c

f = {(1; b),(2; a),(2; c)}

- Si: a ≠ b ≠ c, luego no es función por que se repite elprimer componente.

- Si: a = c ≠ b, es función.

Toda función es una relación, pero no toda relación esuna función.

* Ejemplo:

Hallar los valores de “a” y “b” para que el conjunto depares ordenados:

A = {(2; 5),(-1; -3),(2; 2a - b),(-1; b - a),(a + b2; a)}sea una función.

Solución:

En una función dos pares distintos nunca tienen el mismoprimer elemento.

∴ (2; 5) y (2; 2a - b) ∈ A → 5 = 2a - b .......... (1)

(-1; -3) y (-1; b - a) ∈ A → b - a = -3 .......... (2)

De (1) y (2) resolviendo: a = 2; b = - 1

∴ f = {(2; 5),(-1; -3),(3; 2)}

- Si “f” es una función de “A” en “B” el conjunto “A” sellamará conjunto de partida de la función y “B” elconjunto de llegada.

- El dominio de una función “f”, se designa por “Df ” y sedefine como el conjunto siguiente:

Df = {x ∈ A / ∃ y, tal que (x;y) ∈ f}

Es decir son las primeras componentes de los paresordenados.

- El rango (o imagen) de una función “f”, se designa por “R f ” o “Imf ” y se define como el conjunto siguiente:

R f = {y ∈ B / ∃ x, tal que (x; y) ∈ f}

Es decir son las segundas componentes de los paresordenados.

- Si el par ordenado (a; b) ∈ "f" escribiremos:b = f (a) y diremos que “b” es imagen de “a” por “f” (otambién, que “b” es el valor de “f” en “a”)

f = {(a; b) Î A × B / b = f (a), a Î Df }

* Ejemplo:

Sea la función: f = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1)}Hallar: M = f (2) + f (3) + f (7) + f (-2) + f (4)

Solución:

Como:f (2) = 3 ; f (3) = 4 ; f (7) = 3

f (-2) = 6 ; f (4) = 1

∴ M = 17

• Regla de Correspondencia

Para que se pueda definir bien una función es suficienteconocer su dominio (Df ), y una regla que permita asignarpara cualquier x Î Df , su imagen f (x).

* Ejemplo:

Hallar el dominio en las siguientes funciones:

a. f = {(2; 3),(4; 5),(6; 3),(-2; a)}Df = {2; 4; 6; -2}

b. f (x) = 2-xDf : x - 2 ≥ 0; x ³ 2 ® Df = [2; +∞>

c. f (x) = 5x

2-x

+ +

3-x3

Df : 5x

2-x

+ ≥ 0 y x - 3 ≠ 0

-5 2-∞ +∞

y x ≠ 3

Df = <-∞; -5> ∪ [2; +∞> - {3}



Funciones I


* Ejemplo:

Hallar el rango de las siguientes funciones:

a. f = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6), (-2; 3)}R f = {3; 6; 7}

b. Sea: f (x) = x2

y = x2 →}0{R y

R x

∪∈

∈+ ; Df = <-∞; +¥>; R f = [0; +∞>

* Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremoslas más conocidas:

- Cuando tenemos una función donde su dominio nopresenta rango, se despeja “x” en función de “y”.

- Cuando tenemos un intervalo como dominio usamosdesigualdades.

c. Para la función definida por:g(x) = 2x2 + 3x + 2; x ∈ IR

Solución:

y = 2x2 + 3x + 2 → 2x2 + 3x + (2 - y) = 0

x =)2(2

y)-4(2)(2-93- ±

Si: “x” ∈ IR; luego “y” también ∈ IR

Pero:D

≥ 0; 9 - 8(2 - y) ≥ 0 → y ≥ 8

7

→ R g = [ 8

7

; +∞>

d. Para la función definida por:

h(x) = x2 - 4x + 7; x ∈ [2; 3]

Solución:

y = x2 - 4x + 7 → y = (x - 2)2 + 3Como:2 ≤ x ≤ 3 → 0 ≤ x - 2 ≤ 1

Al cuadrado: 0 ≤ (x - 2)2

≤ 1

Más tres:3 ≤ (x - 2)2 + 3 ≤ 4 → 3 ≤ y ≤ 4 → ∴ R h = [3; 4]

e. Para la función:

f (x) = 1x

x2

2

+

Solución:

y = 1x

x

2

2

+ → yx2

+ y = x2

→ x2

(y - 1) = -y

x2 = y-1y

→ x = ±y-1

y→ y-1

y≥ 0 → 1-y

y£ 0

0-∞ +∞1 → y ∈ [0; 1> → R f = [0; 1>

• Gráfica de una función

Definición

Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es el conjunto G,de todos los puntos (x;y) en el plano, tal que “x” está en eldominio de “f” e “y” es la imagen de “x” por “f”, es decir:

G = {(x; y) ∈ R 2 / y = f (x), x ∈ Df }

- Una gráfica cualquiera será función ; si y sólo si, altrazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en unsólo punto.

* Ejemplo:

a. F(x) es función L1, la recta paralela corta a la gráfica ensólo un punto.

yL1

F(x)

x

b. G(x) no es función L2, la recta paralela corta a la gráficaen más de un punto.

y L 2

G(x)

x

1. Hallar el dominio de la función:

x61xf )x( −+−=

Solución:

f (x) es real ⇒ x - 1 ≥ 0 Ù 6 - x ³ 0x ≥ 1 ∧ 6 ≥ xx ≥ 1 ∧ x ≤ 61 £ x ≤ 6 → \ x ∈ [1; 6]




Funciones I


2. ¿Cuál es el dominio de la función:

)9x()1x(f )x( −−= ?

Solución:

Al igual que el problema anterior: (x - 1) (x - 9) ≥ 0

1 9- ∞ + ∞

Finalmente: x ∈ <- ∞ ; 1] ∪ [9; + ∞ >o también: x ∈ IR - <1; 9>

3. Encontrar una función lineal F(x) tal que:F(2) = 3F(3) = 2F(4)

Solución:

Sea F(x) = ax + b la función lineal

para: F(2) = 2a + b = 3 .......... (α)

para: F(3) = 3a + b F(3) = 2F(4)

para: F(4) = 4a + b 3a + b = 2(4a + b) ....... (β)

de (α) : 2a + b = 3de (β) : -b = 5a

Resolviendo: a = -1 ; b = 5 → ∴ F(x) = -x + 5

4. Si el rango de la función:

1x

xF

2

2

)x( +=

es [a; b> entonces "a + b", es:

Solución:

Despejando "x" en términos de "y" en:

1x

x

Fy 2

2

)x( +==y (x2 + 1) = x2

yx2 + y = x2 ↔ x2y - x2 = -y → x2 = 1yy−

−

® x = 1yy

−−

±

"x" es real 01y

y≥

−−

⇔

multiplicando por -1: 1y01y

y ≠↔≤−

0 1

Ran F(x) = [a; b> = [0; 1> → ab

==

01

a + b = 1

∴

5. Halle el dominio de la función:

6x

x49F

2

2

)x(

−

−=

Solución:

Para que F(x) sea real, se cumple:

49 - x2 ≥ 0 ∧ x2 - 6 > 0 ® (x + 7) (x - 7) ≤ 0 Ù

(x + 6 ) (x - 6 ) > 0

-7 ≤ x ≤ 7 ∧ (x < - 6 ∨ x > 6 )

graficando:

-7 - 6 6 7

El dominio será: x Î [-7; - 6 > ∪ < 6 ; 7]

6. Hallar el rango de la función:

3x2xF 2)x( ++−=

Solución:

Paso 1: Calculando el dominio:-x2 + 2x + 3 ≥ 0 ↔ x2 - 2x - 3 £ 0 (x - 3) (x + 1) ≤ 0

-1 3→ -1 ≤ x ≤ 3

Paso 2: Construyendo la función F(x) a partir del dominio:

4)1x(F

3x2xF

2)x(

2)x(

+−−=

++−=

-1 ≤ x ≤ 3

Restando 1: - 1 - 1 ≤ x - 1 ≤ 3 - 1

-2 ≤ x - 1 ≤ 2 → 0 ≤ (x - 1)

2

≤ 4Multiplicando por (-1) a toda la desigualdad:

-4 ≤ - (x - 1)2 ≤ 0



Funciones I


Sumo 4: - 4 + 4 ≤ - (x - 1)2 + 4 ≤ 0 + 4

0 ≤ - (x - 1)2 + 4 ≤ 4

44)1x(0 2 ≤+−−≤

0 ≤ F(x) ≤ 2 → ∴ Ran F(x) : [0; 2]

7. Dada las siguientes funciones de variable real cuya reglade correspondencia es:

1x3G;2x1x

F )x()x( −−=−−

=

Hallar: DomF(x) ∩ RanG(x)

Solución:

* Hallando el dominio de F(x):

Para que F(x) sea real: 02x1x

≥−−

→ x ≠ 2

1 2

DomF : <- ;1] <2; + > .... ((x) α∞ ∪ ∞ )

* Hallando el rango de G(x):

Primero hallamos su dominio: 1x3G )x( −−=

para que G(x) sea real: 3 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3

Dom G(x) : <- ∞ ; 3]

El rango de G(x) es: 0x3 ≥−

Restando 1: 101x3

1)x(G

−≥−−

−≥

∴ RanG(x) : [-1; + ∞ > ......... (β)

Con (α) y (β) calculamos: DomF(x) Ç RanG(x)

1 2-1

Del gráfico: [-1; 1] ∪ <2; + ∞ >

Bloque I

1. Si el conjunto: F = {(1; 7a + 3b), (-2; 3a + 2b), (-2; -2),

(1; -8), (a + b; 4)}es una función, hallar "a2 + b2"

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

2. Hallar el dominio de la función: F(x) = x + 9

a) IR - {9} b) IR - {-9} c) IR d) IR - {0} e) IR +

3. Hallar el dominio de la función: F(x) = 3x2 + 2x + 1

a) IR - {3} b) IR - {2} c) IR - {1}d) IR e) IR -

4. Hallar el dominio de la función: F(x) = (x + 1)2 + (x - 1)2

a) IR - {1} b) IR - {-1} c) IR d) IR + e) IR -

5. Hallar el rango en:

M(x) = 8x

2x

++

a) y ∈ IR - {8} b) y ∈ IR - {-8}c) y ∈ IR + d) y ∈ IR -

e) y Î IR - {1}

6. Hallar el rango en:

N(x) = 4x

2x3

++

a) y ∈ IR - {4} b) y Î IR - {-4}c) y ∈ IR d) y Î IR - {3}e) y Î IR - {-3}

7. Calcular el rango de: f (x) = 5x +

a) [5; +∞> b) [-5; +∞> c) [0; +∞>d) [2; +∞> e) [-3; +∞>

8. Hallar el dominio de: F(x) = x4 + 2x2 + 2

a) IR + b) IR - c) IR - {2}d) IR e) IR - {-2}

9. Hallar el dominio de: F(x) = 9x + + 4

a) x ∈ IR + b) x ∈ IR - c) x ∈ IR d) x ∈ [9; +∞> e) x ∈ [-9; +∞>




Funciones I


10.¿Cuáles de las siguientes relaciones dadas por paresordenados, son funciones?

R 1 = {(a; x), (b; x), (c; y)}R 2 = {(a; x), (a; y), (b; x)}R 3 = {(a; x), (b; y), (c; z)}

a) Sólo R 1 b) Sólo R 2 c) Sólo R 3d) R 1 y R 2 e) R 1 y R 3

Bloque II

1. Hallar el dominio de la función “f” definida en IR por:

f (x) = -2

x + 3

a) IR + b) IR - c) IR d) IR - {2} e) IR - {-2}

2. Hallar el rango de la función “f” definida en IR por:

f (x) = 3 -2

x

a) IR b) IR - c) IR +

d) IR - {2} e) IR - {-2}

3. Hallar el dominio de la función “f” definida por:y = f (x) = x + 5en el conjunto IN.

a) {0; 2; 3; 4; ...} b) {0; 1; 2; 3; ...}c) {2; 3; 4; ...} d) {2; 4; 6; ...}e) {3; 5; 7; ...}

4. Hallar el dominio de la función “f” definida por:y = f (x) = x + 5 en el conjunto ZZ .

a) IR b) ZZ c) IR - {5}d) ZZ - {5} e) ZZ - {-5}

5. ¿Cuál es el rango de la función: F = {(1; 3), (2; 5), (1; a - 1), (2; b + 2),

(a; b), (2b; a)}?

Señale la suma de sus elementos.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

6. Reconocer el rango de la función:f = {(2; a), (2; 3a - 4), (3; a - 1), (4; a2)}

a) {3; 6; 9} b) {1; 2; 4} c) {0; 2; 4}d) {3; 5; 7} e) {2; 4; 6}

7. El dominio de la función: f (x) = x2 , es [-1; 1]. Determinar

el rango de “f”.a) [-1; 1] b) [-1; 0] c) [0; 1]d) [1; 2] e) [1 ; 4]

8. ¿Cuál es el valor mínimo del rango de la función:g(x) = x2 + 3 ?

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. ¿Cuál es el valor máximo del rango de la función:

h(x) = 10 - x2 ?

a) 0 b) 3 c) ∞d) 1 e) 10

10.El dominio de la función: f (x) = x-11x ++

a) [-1; 0] b) [0; 1] c) [0; 2]d) [-2; 0] e) [-1; 1]

Bloque III

1. Determinar el rango de la función:f (x) = |x - 2| + |x + 3|

a) [-5; 5] b) [1; +∞> c) [5; +∞>d) <-5; 5> e) [0; +∞>

2. Si: f (x) = 2-x + x , calcular el dominio de dichafunción.

a) <2; +∞> b) [-2; 2] c) [-2; +∞>d) [2; +∞> e) <-∞; 2]

3. Hallar el dominio de una función “f” cuya regla de

correspondencia es: F(x) = x-5 + 3 1-x , indicarcomo respuesta la cantidad de valores enteros que toma

“x”.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4. Hallar el dominio de la siguiente función:

f (x) = 1x

1-x2 +

a) IR + b) IR - c) IR d) IR - {1} e) IR - {-1}

5. Hallar el dominio, si:

f (x) = 2x-1

1

a) <-1; 1> b) [-1; 1> c) <-1; 1]d) [-1; 1] e) IR

6. Calcular el rango:

f (x) = 2x-1

1



Funciones I


a) [1; +∞> b) <1; +∞> c) [-1; 1]d) <-1; 1> e) IR +

7. Si: f (x) = x2 - 4x + 2 y x ∈ <-1; 4>Hallar el dominio.

a) IR b) IR + c) [-1; 4]

d) <-1; +∞> e) <-1; 4>

8. Hallar el dominio de: f (x) = x + x

a) [0; +∞> b) IR c) IR +

d) IR - {0} e) [0; 1]

9. Calcular su rango: f (x) = 9-x2

a) [0; +∞> b) <0; +∞> c) IR d) IR + e) IR -

10.Hallar el dominio de:

f (x) = 9-x

x22

a) IR + b) [-3; 0] ∪ [3; +∞>c) IR d) <-3; 0] ∪ <3; +∞>e) <-3; 1] ∪ [3; +∞>

1. Si el conjunto de pares ordenados representa unafunción, calcular "xy".

F = {(2; 4), (3; x + y), (5; 6), (3; 8), (2; x - y)}

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2. De las gráficas, ¿cuántas corresponden a una función?

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3. Calcular el dominio de la función: 4x5F 2)x( −=

a) IR - {2} b) IR - [-2; 2] c) IR d) <-2; 2> e) [5; + ∞ >

4. Calcular el rango de la función:2x4

1x8F )x( +

−=

a) IR - {2} b) IR - {-2} c) IR d) IR - {-2; 2} e) IR - {1}

5. Calcular el rango de la función: F(x) = 5x2 + 2x + 1

a) ∞−

54

; b) ∞+;5

4c) IR

d) ]1;∞− e) ∞+− ;1

Aut oevaluac ión



53Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFunciones I I

Capítu lo IV

• Funciones especiales

1. Función Constante

Regla de correspondencia: f (x) = k

Df = IR ∧ R f = k

Significa que: f = {... (0; k),(1; k),(2; k)...}

∴ f = {(x; k) / f (x) = k}

Gráfica:

y

x0 2 3 6

f = k (x)

2. Función Identidad

Regla de correspondencia: f (x) = x

Df = IR ∧ R f = IR

Significa que:

f = {...(1; 1), (2; 2), (3; 3), ...}∴ f (x) = {(x; y) / f (x) = x → x = y }

Gráfica:

y

x

f = x(x)

3. Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia: f (x) = |x|

|x| =

<≥

0x:six;-

0x:six;

Df = IR ∧ R f = IR + ∪ {0}

Significa que:f = {..., (-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1),...}f (x) = |x|

y = |x| → x = 1; y = 1

x = -1; y = 1

Gráfica:

y

x

y = |x|

4. Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: f (x) = x

Df = IR + ∪ {0} ∧ R f = IR + ∪ { 0 }

Significa que:

f = {(0; 0),(1; 1),(2; 2 ),(3; 3 ), ...}}

Gráfica:

y

x

y = x

5. Función Lineal

Es una función con dominio en todos los reales y comoregla de correspondencia: f (x) = ax + b, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a ≠ 0)

Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e intercepto “b”

Gráfica:

y

x

y

xα

αb b

y = mx + b

m > 0

y = mx + b

m < 0

m: pendiente de la rectam = tanα



Funciones I I


* Ejemplo:

C a l c u l a r l a f u n c i ó n l i n e a l q u e t e n g a : f (1) = 3 y además:f (2) = 2f (3)

Solución: Además:

f (x) = mx + b 2m + b = 2(3m + b)f (1) = m + b = 3 ........ (a) 2m + b = 6m + 2bb = - 4m ........ (b)

De (α) y (β):m = - 1 ∧ b = 4∴ f (x) = - x + 4

6. Función Cuadrática

Es una función con dominio en el conjunto de losnúmeros reales y cuya regla de correspondencia es:f (x)

= ax2 + bx + c; a, b, c ∈

IR; a ≠

0

- Su gráfica es una parábola simétrica respecto a unarecta vertical, llamada eje de simetría, abierta haciaarriba si: a > 0 y hacia abajo si: a < 0.

- Nota Gráfica:

Sea la función: y = ax2 + bx + c

∆ = Discriminante = b2 - 4ac

y

x

b2a

-

x1 x2

f(- )b2a

V

V: Vértice y

xb2a

-x1 x2

f(- )b2a

V

V: Vértice

a > 0 ∧ ∆ > 0 a < 0 ∧ ∆ > 0

{x1; x2} raíces de la ecuación, cuando: y = 0

y

x

b2a

-x = x =1 2

V

a > 0 ∧ ∆ = 0

b2a

-x = x =1 2y

x V

a < 0 ∧ ∆ = 0

{x1; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando: y = 0

y

xb2a

-

Vf(- )

b2a

a > 0 ∧ ∆ < 0

y

x

b2a

-

Vf(- )b

2a

a < 0 ∧ ∆ < 0

Esta función, cuando: y = 0, los valores de “x” sonnúmeros complejos.

• Otras Funciones

- Funciones Pares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por sersimétricas respecto del eje “y” ; y se cumple que:

I. Si: x ∈ Df → -x ∈ Df

II. f (x) = f (-x) →

x ∈ Df

- Funciones Impares:

Son aquellas funciones que se caracterizan por sersimétricas respecto del origen.

I. Si: x ∈ Df → -x ∈ Df

II. f (x)

= -f (-x)

→

x ∈ Df



Funciones I I


* Ejemplos:

Indicar que funciones son pares, impares o ni par niimpar:

I. F(x) = x4 + 1II. G(x) = x3

III. H(x) = x - |x|

Solución:

I. F(x) es par, porque:F(-x) = (-x)4 + 1F(-x) = x4 + 1F(-x) = F(x) ® ∴ F(x) es par

II. G(x) es impar, porque:G(-x) = (-x)3

G(-x) = -x3

-G(-x)

= x3

-G(-x) = G(x) ® ∴ G(x) es impar

III. H(-x) = -x - |x|-H(-x) = x + |x|-H(-x) ≠ H(x); También: H(-x) = H(x)∴ H(x) no es ni par ni impar

• Desplazamientos

a. Desplazamiento horizontal

y y

y

x x

x

h > 0

F(x + h) F(x)

F(x - h)

h > 0

b. Desplazamiento verticaly y

y

x x

x

F - h(x)

F(x)

F + h(x)

• Reflejos

a. Reflejo en el eje x

y y

x xF(x)

- F(x)

b. Reflejo en el eje y

y y

x x

F(x) F(-x)

c. Con valor absoluto

y

y

x

x

F(x)

|F |(x)

1. ¿Cuál es la gráfica de: F(x) = |x| ?

Solución:

Si: x ≥ 0 x|x| =→ → xF )x( =∴

es la función raíz cuadrada

Si: x < 0 → x|x| −= → xF )x( −=∴

simétrica a: x con respecto al eje y




Funciones I I


De las dos condiciones:

y

x

2. Indicar la gráfica de: F(x) = 7 - |x - 2|

Solución:

Gráfica 1: y = |x| (función valor absoluto)

y

x

Gráfica 2: y = |x - 2| se desplaza dos unidades a laderecha respecto a y = |x|

y

x

Gráfica 3: y = - |x - 2| es simétrica a: y = |x - 2| conrespecto al eje x.

y

x

Gráfica 4: y = 7 - |x - 2| se desplaza hacia arriba 7unidades.

y

x

7

2

3. Según el gráfico de f (x) :

y

x

f (x)

-2

1

Indicar el gráfico de: f (-x) - 1

Solución:

y = f (-x) es simétrica a f (x) respecto al eje "y".

y

x2

1

y = f (-x) - 1 se desplaza una unidad hacia abajo

y

x2

-1

4. Esbozar el gráfico de: F(x) = 4x(x + m) + m2

siendo: m < 0

Solución:

Efectuando:

F(x) =

perfectocuadradotrinomio

22 mxm4x4 ++ → F(x) = (2x + m)2

Gráfica 1: y = (2x)2 = 4x2 (función cuadrática simple)

y

x

Gráfica 2: y = (2x + m)2 se desplaza "m" unidades a laderecha, pues: m < 0

y

xm

5. Sea la función F(x) descrita por el gráfico.

y

x

Indicar el gráfico de F(2 - x)



Funciones I I


Solución:

Nos piden graficar: y = F(2 - x) = F[-(x - 2)]Inicialmente: y = F(x)

y

x

Gráfica 1: y = F(x - 2) Se desplaza 2 unidades a la derecha.

y

x

Gráfica 2: y = F[- (x - 2)] Es simétrica en el eje "y" respectoa la función: y = F(x - 2)

y

x2

Bloque I

1. Graficar: f (x) = 2x + 3

a) b)

y

x

y

x

c) d)

y

x

y

x


2. Graficar: f (x) = -2

a) b)

y

x

y

x

c) d)

y

x

y

x

3. Graficar: f (x) = 1x +

a) b)

y

x

y

x-1

c) d)

y

x1

y

x

4. Graficar: f (x) = |x - 2|

a) b)

y

x

y

x

c) d)

y

x

y

x



Funciones I I


5. Graficar:

<

≥=

1x;x

1x;xf

2)x(

a) b)

y

x

-1

1

y

x

c) d)

y

x

1

y

x

6. Si la gráfica de f (x) = x , es:

y

x

Hallar la gráfica de: 2xf )x( −=

a) b)

y

x2

y

x

c) d)

y

x

2

y

x

7. Si la función:

y

x

f (x)

Graficar: f (x - 2)

a) b)

y

x2

y

x2

c) d)

y

x

y

x2

8. Si la función:y

x

f (x)

Graficar: f (x) + 2

a) b)

y

x2

y

x-2

c) d)

y

x2

y

x2

9. Graficar la función:

−≤−

<<−≥

=

1x;x

1x1;|x|1x;x

f 2

2

)x(

a) b)

y

x-1 10

y

x-1



Funciones I I


c) d)

y

x-1 10

y

x-1 1

10.Graficar:

<=

>−=

1x;11x;01x;1

f )x(

a) b)

y

x

10

-1

y

x

c) d)

y

x

1

-1

0

y

x

Bloque II

1. Sea la función, hallar el dominio de la función:

y

x-11 50

a) <- ∞; 5>b) <- ∞ ; 5> - {1}c) <- ∞ ; 1> ∪ [0; 5> - {1}d) <- ∞ ; -1> ∪ [0; 5>e) N.A.


y

x

2

-3 -1 1 30

a) [-3; 3] b) [-1; 1] c) <-1; 1>d) [0; 2] e) N.A.


y

x-5 -2 03

a) [-5; 3> b) [-5; 0> c) <-5; 0>d) [5; 0> e) [-5; ∞>

4. Hallar el rango de la siguiente función:

y

x

3

1

a) <- ∞ ; 3> b) <- ∞ ; 0> c) <- ∞ ; 3> - {1}d) <- ∞ ; 2] e) N.A.


x55xf )x( −+−=

a) x ≥ 5 b) 5 c) x ≤ 5d) x ≥ 0 e) x ≤ 0


22xf )x( +−=

a) y ≤ 0 b) y ≥ 0 c) y ≤ 2d) y ≥ 2 e) N.A.


2x1x

f )x( +−

=

a) <- ∞ ; -2> ∪ [1; ∞ > b) <-2; 1>c) [-2; 1] d) [0; ∞ >e) <-2; 1> ∪ <3; ∞ >

8. Graficar: f (x) = |x| + 2

a) b)

y

x2

y

x-2



Funciones I I


c) d)

y

x-2

y

x2

9. G r a f i c a r : f (x) = x2 + 1

a) b)

y

x

1

y

x-1

c) d)

y

x1

y

x1

Bloque III

1. Hallar el dominio de la función: f (x) = |x - 2| + 1

a) IR - {1} b) IR - {2} c) IR - {-1}d) IR - {-2} e) IR

2. Hallar el rango de la función: f (x) = - |x + 4|

a) [0; 4] b) < - ∞ ; 0] c) IR +

d) IR e) <- ∞ ; -1]

3. Hallar el dominio de la función: f (x) = 5 - |x + 2|

a) IR b) IR - {5} c) IR - {-5}d) IR - {2} e) IR - {-2}

4. Hallar el rango de la función: f (x) = - |x - 1| - 4

a) <- ∞ ; 4] b) <- ∞ ; 0] c) <- ∞ ; -4]d) IR e) IR -

5. Hallar el rango de la función: f (x) = 3x2 - 12x + 20

a) [2; + ∞ > b) [-4; +∞> c) [6; + ∞ >d) [8; + ∞ > e) [10; + ∞ >

6. Hallar el dominio de la función: f (x) = -2x2 - 6x + 11

a) <- ∞ ; + ∞ >b) <- ∞ ; 0> c) <0; + ∞>d) IR - {2} e) IR - {-2}

7. Hallar el rango de la función: f (x) = -4x2 - 8x - 9

a) <- ∞ ; -1] b) <- ∞ ; -2] c) <- ∞ ; -3]d) <- ∞ ; -4] e) <- ∞ ; -5]

8. Hallar el dominio de la función: f (x) = -3x2 - 2x + 5 ; x ∈ [-2 ; 3>

a) [-2; 3> b) [-2; 2> c) <-2; 3]d) [0; 3> e) <-1; 6>

9. Graficar: 1xf )x( −=

a) b)

y

x

y

x1

c) d)

y

x-1

y

x1

e)

y

x-1

10.Graficar: 2xf )x( +=

a) b)

y

x2

y

x-2

c) d)

y

x

y

x2



Funciones I I


e)

y

x-2

1. Graficar: F(x) = |x - 4|

a) b)

y

x4

y

x-4

c)

y

x4

2. Graficar: F(x) = - x

a) b)

y

x

y

x

c)

y

x

3. Graficar: F(x) = | |x| - 3 |

a) b)

y

x

3

y

x

Aut oevaluac ión

c)

y

x

4. G r a f i c a r : F (x) = x2 + 10x + 25

a) b)

y

x-5

y

x

c)

y

x5

5. Dada la gráfica de F(x)

y

x

1

2

Hallar la gráfica de -F(x - 3)

a) b)

y

x

1

543

y

x

-1

5

c)

y

x543



63Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOProgres ión ar i tm ét ic a

Capít ulo V

Sucesión

Se llama así al conjunto ordenado de acuerdo a una ley deformación.

Ejemplo:

1

2; 1

4;

1

8; ......

Ley de Formación: Los denominadores son potenciasconsecutivas de 2.

Progresiones Aritméticas (P.A.)

Son aquellas sucesiones en las que se cumple que cualquiertérmino, después del primero es igual al anterior más unacantidad constante llamada razón (r) o diferencia.Ejemplo:

2; 5; 8; 11; ... ® r = 3 (P.A. creciente: r > 0)10; 6; 2; -2; ... ® r = -4 (P.A. decreciente: r < 0)a; a + r; a + 2r; ... ® Razón “r”

Representaciones Específicas

Para tres términos ® (a - r); a; (a + r). Razón “r” Para cuatro términos® (a - 3r); (a - r); (a + r); (a + 3r).Razón “2r”

Notación

Las progresiones aritméticas, llamadas tambiénprogresiones por diferencia, se representan de la siguientemanera:

÷ a1 . a2 . a3 . ...... . an

En donde:

→→→→

razónrtérminosdenúmeronúltimooEnésimoa

Primeroan

1

Propiedades

1. La diferencia entre dos términos consecutivos esconstante e igual a la razón.

En:÷ a1 . a2 . a3 . ...... . an

Se cumple:

a2 - a1 = a3 - a2 = ...... = r

2. El enésimo término es igual al primero más el número

de términos disminuído en uno, multiplicado por larazón. Así tendremos:

a n = a1 + (n - 1)r

* Ejemplo:En: 2; 8; 14; ... . Calcular el quinto y el vigésimo término.

Solución:Se tiene : a1 = 2 ; r = 6

Þ a5 = a1 + (5 - 1) r ® a5 = 2 + 4 × 6 = 26Þ a

20

= a1

+ (20 - 1) r ® a20

= 2 + 19 × 6 = 116

3. La suma de los “n” términos de una P.A. es igual a lasemisuma de los términos extremos multiplicado por elnúmero de términos.

Así:

S = n2

aa n1

+

Además, como : an = a1 + (n - 1) r

n2

r)1n(a2Sn2

r)1n(aaS 111

−+=→

−++=

Si “n” es impar: S = (ac)n

* Ejemplo:Calcular: S = 5 + 8 + 11 + ... (20 términos)

Solución:Se tiene: a1 = 5

r = 3

n = 20

Medios Aritméticos o Diferenciales

Se llama así a los términos de una progresión aritmética,comprendidos entre los términos extremos.

Ejemplo:

3 medios aritméticos

6; 10; 14; 18; 22

Interpolación de Medios Aritméticos

Interpolar “m” medios aritméticos entre los números “a” y “b” , es formar una P.A. cuyo primer término será “a”, el

202 3)120()5(2S −+= = 670



Progres ión a r i tmét ica


último “b” y el número de términos “m + 2”. Para poderinterpolar se debe calcular la razón de interpolación.Si se desea interpolar “m” M.A. entre los números “a” y “b” se debe formar:

÷ a

. A.M"m"

.......................... b

Aplicando: an = a1 + (n - 1) rtendremos: b = a + (m + 2 - 1) r

r = 1mab

+−

Razón de interpolación

* Ejemplo:Interpolar 4 M.A. entre los números 2 y 27.

Solución:Se tiene que: a = 2 ; b = 27 ; m = 4

Luego:

514227

r =+−

= ® Interpolando:

Medios interpolados

2; 7; 12; 17; 22; 27

1. Timoteo no pudiendo cancelar una deuda de S/. 12 950

le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo:S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguienteS/. 50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe delúltimo pago?

Solución:

Datos:

S = 12 950 ; a1 = 600 ; r = 50

1) Como: Sn

= [2a1

+ (n - 1)r]2

n

Luego:

12 950 = [2(600) + (n - 1) 50]2n

Operando: n = 14

2) Como: an = a1 + (n - 1)ran = 600 + (14 - 1)50\ an = S/. 1 250

2. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es65, la suma de los tres últimos es 307 y la suma detodos los términos es 3 100. ¿Cuántos términos tiene laP.A.?


Solución:

De los datos:a1 + a2 + a3 = 65an + an-1 + an-2 = 307

(a1 + an) + (an-1 + a2) + (an-2 + a3) = 372

3(an + a1) = 372an + a1 = 124

Dato:

1003n.2

1241003n.2

aa 1n =

⇒=

+

Luego: n = 50

3. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie decada uno de los 30 árboles que están al lado de una

calzada; los árboles están a 8 m de distancia y el montónde arena está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuántohabrá recorrido después de haber terminado su trabajoy vuelto la carretilla al montón de arena?

Solución:

10 8

1° 2° 3° 30°

8

...........

Ojo: Para cada uno lleva la arena y regresa al montón(hace doble recorrido)

Þ S = 20 + 36 + 52 + ......

r = 16 Sn = [2a1 + (n - 1)r]2n

n = 30 S = [2(20) + (30 - 1) 16]230

a1 = 20 S = [40 + 464] . 15 ®\ S = 7 560

4. En una P.A. se conoce:a1 = a - 2 ; r = 2 - a ; Sn = 10 - 5aHallar “n”.

Solución:Reemplazando los datos en la siguiente fórmula:

[ ]n

2

r)1n(a2S 1

n

−+=

[ ]n

2

)a2()1n()2a(2)a2(5

−−+−=−

5(2 - a) = (2 - a) (-2 + n - 1)2

n

sumando






10 = n(n - 3) → n2 - 3n - 10 = 0 n -5 n +2 n = 5 ∨ n = -2

Luego: n = 5

5. Dada la P.A.: ÷ a, b, c, d

Calcular: E = b2 + c2 + (a - b)2 - (b - c)2 - (c - d)2Si: bc = 50

Solución:

Desarrollando (b - c)2

E = b2 + c2 + (a - b)2 - (b2 - 2bc + c2) - (c - d)2

E = b2 + c2 + (a - b)2 - b2 + 2bc - c2 - (c - d)2

Luego de reducir se tiene:E = 2bc + (a - b)2 - (c - d)2

como: “a”; “b”; “c”; “d” están en P.A. se cumple:b + c = a + d ó c - d = a - b

⇒(c - d)2 = (a - b)2

Luego: E = 2bc + (a - b)2 - (a - b)2

E = 2(50) = 100

6. Sea la P.A.: ÷ 3 .... 30 .... pEl número de términos comprendidos entre 3 y 30 esigual a los comprendidos entre 30 y p. Si además lasuma de todos los términos es 570, hallar la razón de laP.A.

Solución:

3m2

mm

p........30........3

+

÷

La razón de la progresión es:

1m30p

1m330

r+

−=

+−

= ..... (1)

Reduciendo se tiene:

27 = p - 30 → p = 57

Dato del problema: Sn = 570

570n2

aa n1 =

+

Reemplazando datos:

( ) 5703m22573

=+

+

→ 2m + 3 = 19 → m = 8

reemplazando en (1):

39

27r == ⇒ r = 3

Bloque I

1. El primer término de una P.A. es 12 y su razón 4, hallarel trigésimo término.

a) 120 b) 132 c) 128d) 48 e) 124

2. De una P.A. el término de lugar 53 es 5; el de lugar 17es -58. Hallar la razón.

a)4

9b)

4

3c)

4

7

d)2

11e)

83

3. La suma de los 57 términos de una P.A. es 228; hallar eltérmino central de la misma.

a)25

b) 5 c)23

d)5

4e) 4

4. En una P.A. de 25 términos, se sabe que: a3 + a23 = 56.Hallar la suma de todos sus términos.

a) 640 b) 720 c) 100d) 700 e) 540

5. En una P.A. el último término es (8x - 13), el número detérminos (3x - 5) y el primero (2x - 1), calcule la razón.

a) x b) -2 c) 3

d) 6 e) 26. Dada la P.A.: (x + 1); (x + 4); (x2 - 5).

Hallar el tercer término.

a) 11 b) 3 c) 2d) 4 e) Hay 2 respuestas

7. Sea: P.A.: x; y; z; w; uSi: w - x = 18Hallar: R = (z - x) (w - y) (u - z)

a) 1 728 b) 2 016 c) 1 780

d) 2 040 e) 1 640





8. El término general de una P.A. es: an = 5n - 8. Hallar elvigésimo término.

a) 24 b) 108 c) 92d) 112 e) 204

9. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es:

Sn = n2 + nHallar la razón.

a) 3 b) - 2c c) 1d) 2 e) 4

10.Interpolar 3 medios aritméticos entre 13 y 21. Hallar eltérmino central obtenido.

a) 15 b) 17 c) 13d) 12 e) 19

Bloque II

1. La suma de los términos de una progresión aritméticaes 425 y su término central 17. El número de términoses:

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

2. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es 41 yla relación del quinto al séptimo, 19/25. El segundotérmino es:

a) 7 b) 9 c) 10d) 13 e) 15

3. Si las raíces de la ecuación: x4 - (m + 4)x2 + 4m = 0están en progresión aritmética. Los valores de "m" quehacen posible que esto suceda son:

a) ± 36 b) ±32

c) 6 y32

d) 36 y9

4e) -36 y -

9

4

4. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es(4n2 + 2n), para todos los valores de "n". El valor delquinto término es:

a) 30 b) 32 c) 36d) 38 e) 46

5. Se han interpolado "m" medios diferenciales entre 3 y57 y "m - 2" entre 5 y 19. Si la razón de la primera es eltriple de la segunda, el cociente del penúltimo términode la primera entre el penúltimo de la segunda es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Calcular el primer término de una P.A. si el décimotérmino es 57 y la razón es 5.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

7. Indicar la razón de una P.A. si el primer término es 14 y

el undécimo término es 94.

a) 8 b) 6 c) 2d) 4 e) 5

8. En una progresión aritmética de cinco términos, elprimer término es 3 y su suma es 45. Calcular el quintotérmino.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 18

9. Una P.A. tiene un número impar de términos. El centralvale 22 y el producto de los extremos es 259. Ladiferencia del mayor menos el menor es:

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

10.La suma de los cinco términos racionales de una P.A.creciente es 40 y el producto de ellos 12 320. El quintotérmino es:

a) 2 b) 8 c) 11d) 14 e) 15

Bloque III

1. Calcule la suma de los 15 primeros términos de unaP.A. cuyo enésimo término es: 4n + 1.

a) 420 b) 480 c) 495d) 372 e) 515

2. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 28y la relación del segundo y décimo término es como 1es a 5. Hallar el primer término.

a) 10 b) 12 c) 2d) 14 e) 9

3. En una P.A. el término de lugar "r" es "t" y el término delugar "t" es "r". Indique la razón.

a) - 1 b) - 3 c) - 2d) 6 e) - 4

4. Un número está formado por 4 dígitos en P.A., la sumade todos los dígitos da 16 y la suma de los dos últimosda 12. Indique el producto de cifras de dicho número.

a) 64 b) 105 c) 405d) 480 e) 48





5. Si: P.A.: a0, a1, a2, ....., anCalcule:

n1n322110 a.a1

...a.a

1a.a

1a.a

1S

−

++++=

a) 0an

b) n0 a.a1

c) na1

d)n0 a.a1n −

e)na

n

6. Si: (m - n)-1; (2m)-1; (m - p)-1 están en P.A. ¿Qué relaciónes correcta?

a) n = mp b) m2 = np c) m = (np)2

d) m = n + p e) m = np

7. Una P.A. se compone de 8 términos, el primero es 10 yel último -4. Indique la razón.

a) 3 b) - 2 c) 2d) - 3 e) 4

8. Dada la P.A.: (a + b)-1; (b + c)-1; (a + c)-1

Indique:

2

22

acb

R +

=

a) 21

b) 4 c) 4

1

d) 2 e) 1

9. La suma de los "n" primeros términos de una P.A. es3n2 - n. Dar el trigésimo primer término de la progresión.

a) 320 b) 381 c) 328d) 182 e) 180

10.Sabiendo que los números positivos: x1, x2, ..., xn(en ese orden) constituyen una progresión aritmética,el valor de la suma:

n1n3221 xx

1...xx

1

xx

1

+++

++

+ −

Aut oevaluac ión

se transforma en:

a)n1 xx

2n

+

+b)

n1 xx

1n

+

+

c) n1 xx

n

+ d) n1 xx

1n

+

−

e)n1 xx

2n

+

−

1. Hallar el número de términos de la P.A.:18, 24, 30, 36, .... , 282

a) 44 b) 45 c) 46d) 47 e) 48

2. Dada la progresión: 40, 44, 48, 52, ...Hallar el vigésimo término.

a) 118 b) 117 c) 116d) 115 e) 114

3. Calcular: S = 85 + 90 + 95 + 100 + .... + 2 360

a) 557 460 b) 554 760 c) 565 470d) 457 760 e) 554 761

4. Hallar el valor de "a" en la P.A.:(11 - a), (2a - 1), (9a + 3), ....

a) 2 b) - 3 c) 8d) 6 e) -4

5. Hallar el décimo tercer término:

......,81

1,

243

1,

729

1

a) 243 b) 2 187 c) 81d) 729 e) 3



69Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOProgresión geom ét r ic a

Capítu lo VI

Son aquellas sucesiones en las que cualquier término

después del primero es igual al anterior multiplicado poruna cantidad constante llamada razón (q)

Ejemplo:

- 2; 6; 18; 54; .... ® q = 3(P.G. creciente: q > 1)

- 180; 60; 20;320

; ..... ® q =31

(P.G. decreciente: 0 < q < 1)

- 5; -10; 20; -40; ...... ® q = -2(P.G. oscilante: q < 0)

- t; tq; tq2; .... ® razón : q

* Notación:Las progresiones geométricas, llamadas tambiénprogresiones por cociente se representan de la siguientemanera:

¸¸ t1 : t2 : t3 : ...... tn

En donde:

→

→

→

→

razónq

términosdenúmeron

últimooenésimot

primerot

n

1

Propiedades

1. El cociente de dividir dos términos consecutivos esconstante e igual a la razón.En:

¸¸ t1 : t2 : t3 : .... tn

se cumple:

q.........tt

tt

2

3

1

2 ===

2. El enésimo término es igual al primero multiplicado porla razón elevada a la (n - 1)

tn = t1.qn-1

* Ejemplo:En 3; 12; 48; ... Calcular los términos de lugares 20 y35.

Solución:

Se tiene: t1 = 3; q = 4 Aplicando: tn = t1.qn - 1

t20 = 3 . 420 - 1 ; t35 = 3 . 435 - 1

3. El producto de multiplicar los "n" términos de unaprogresión geométrica limitada se obtiene al extraerraíz cuadrada al producto de términos extremos elevadosa la "n".

nn1 )t.t(P =

* Ejemplo:Hallar:

términos11

2048.........8.4.2P =

Solución:Por fórmula:

11)2048.2(P =

4. La suma de los términos de una progresión geométricalimitada se obtiene al multiplicar el último término porla razón, menos el primer término, todo dividido entre

la razón menos uno.

1qtq.t

S 1n

−−

=

Además: como: tn = t1.qn - 1

1q

)1q(tS

1q

tq.q.tS

n11

1n1

−−

=→−

−=

−

* Ejemplo:Hallar:

S = 3 + 6 + 12 + .... (30 términos)

Solución:Se tiene: t1 = 3; q = 2; n = 30

)12(312

)12(3S 30

30

−=−

−=

5. La suma límite de los términos de una progre-sión geométrica il imitada (siempre que0 < q < 1 ó -1 < q < 0), se obtiene al dividir el primertérmino entre uno menos la razón.

q1t

S 1límite −

=



Progres ión geométr i ca


* Ejemplo: S = 36 + 18 + 9 + .....

Solución:

Se tiene: q =21

; t1 = 36

72S2136

S211

36S =→=→−=

Medios geométricos o proporcionalesSe llama así a los términos de una progresióngeométrica comprendidos entre los términos extremos.

162;54;18;6;2cosgeométrimedios3

Interpolación de medios geométricos

Interpolar "m" medios geométricos entre los números"a" y "b" es formar una progresión geométrica cuyo primertérmino es "a", el último "b" y el número de términos"m + 2". Para poder interpolar se debe calcular la razón deinterpolación.Para interpolar "m" medios geométricos entre los números"a" y "b" se debe formar:

¸¸ a :

.G.M"m"

.................... : b

Aplicando:tn = t1.q

n-1

b = a.qm+2-1 ® q = 1m

ab+

* Ejemplo:Interpolar tres medios geométricos entre 2 y 32.

Solución:Se tiene: a = 2; b = 32; m = 3

2232q 13 == +

Interpolando:

32;16;8;4;2erpoladosintmedios

1. Hallar el término 18 de la P.G. sabiendo que el quintotérmino es 32 y el octavo es 4.

Solución:

Como: tn = t1.qn - 1

Luego: t1.q4 = 32 ........ (1)

t1.q7 = 4 .......... (2)

Dividiendo (2) y (1) : q3 =81

® q =21

Reemplazando "q" en (1): t1 = 512

Piden:

t18 = t1.917 ® t18 = 512 ( 21 )17®t18 = 17

9

22 ®t18 = 256

1

2. Calcular:

......81

15

27

7

9

3

3

11S +++++=

Solución:

2

5S:Luego

3

11

3

1

3

21

1S

.....81

1

27

1

9

1

3

1....

81

16

27

8

9

4

3

21S

...81

1

81

16

27

1

27

8

9

1

9

4

3

1

3

21S

....3

12

3

12

3

12

3

121S

límitesumalímitesuma

4

3

3

2

=→

−

−

−

=

++++−

+++++=

+

−+

−+

−+

−+=

+

−+

−+

−+

−

+=4

2

3. Se deja caer una pelota desde una altura h = 270 m.En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de lacual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre lapelota hasta quedar en reposo?

Solución:

h = 27025 ......h 2

5 h2

25

h3

1






630S3

)270(7S

3

h7S

3

2h2hS

5

21

5

2

h2hS

q1

th2hS

....52

52

52h2hS

......h5

22h

5

22h

5

22hS

1

321

.G.P

321

=⇒=→

=→

+=→

−+=

−+=→

+

+

+

+=

+

+

+

+=

4. Hallar la suma límite:

...7

2

7

1

7

2

7

1

7

271

S65432

++++++=

Solución: Agrupando convenientemente:

++++

+++= ...

7

1

7

1

7

12...

7

1

7

1

7

1S

64253

Aplicando la fórmula para cada caso:

q1t

S 1límite −

=

+

=

−+

−=

2

2

22

2

2 7

487

1

2

7

487

1

7

11

7

1

2

7

11

7

1

S

16

3

48

9

48

2

48

7S ==+=

16

3S límite =

5. Dada las progresiones:÷÷ x - 4 : x : x + 2÷÷ y + 1 : 3y : 9y - 6÷ x ; y ; zHallar “x - y + z”

Solución:(*) x - 4 : x : x + 2 es una P.G. luego se cumple:

x2 = (x - 4) (x + 2) → x2 = x2 - 2x - 8x = -4


(*) y + 1 : 3y : 9y - 6 es una P.G. luego se cumple:(3y)2 = (y + 1) (9y - 6)9y2 = 9y2 + 3y - 6 → y = 2

(*)x ; y ; z es una P.A. luego se cumple:2y = x + z → z = 2y - x

z = 2(2) - (-4)

z = 8Finalmente: x - y + z -4 - 2 + 8 = 2

6. Entre 4 y 5184 además entre 5 y 405 se han interpoladoel mismo número de medios geométricos. Hallar la razónde cada P.G. de manera que la razón de la primera seael doble de la segunda.

Solución:

1m1m1

"m"

12964

5184q5184....4 ++ ==⇒

1m1m2

"m"81

5405

q405....5 ++ ==⇒

como: q1 = 2q2

Reemplazando:1m1m

8121296 ++ =

1296 = 2m+1.81Reduciendo:2m+1 = 16 = 24

m + 1 = 4 ⇒ m = 3Luego:

6q61296q 14

1 =⇒==

3q381q 24

2 =⇒==

Bloque I

1. El quinto término en una P.G. es 81 y el segundo 24.

Hallar el número de términos enteros de la progresión.a) 5 b) 6 c) 12d) 25 e) 83

2. Hallar cinco números enteros en P.G. creciente cuyasuma es 31 y su producto 1 024. Proporcionar la sumade la razón con el primer término de dicha progresión.

a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 6

3. Hallar el número de medios proporcionales en lasiguiente P.G.: ̧ ¸2 : 4 : ... : 1 024

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10





4. Hallar "t20 ¸ t10", en la siguiente P.A.: ¸ 4 : 8 : 16: ...

a) 512 b) 1 024 c) 256d) 64 e) 16

5. Hallar "t25 ¸ t15", en la siguiente P.G.: ¸¸ 5 : 10 : 20: ....

a) 512 b) 826 c)35

d)53

e) 1024

6. En una P.G. el quinto y el segundo término son 81 y 24respectivamente. Calcular el primer término.

a) 36 b) 32 c) 16d) 38 e) 12

7. Sumando el mismo número a 20, 50 y 100 se formauna P.G. Indique la razón.

a) -53

b)25

c) 2

d)53

e)35

8. En una P.G. el primer término es 73 y el último 7. Si elnúmero de términos es 3, indique el término central.

a) 7 b) 49 c) 14d) 28 e) 98

9. Dado el sistema: 2x + y + z = 40 3y - z = 10

Si: x, y, z son términos consecutivos de una P.G. Indique"z".

a) 16 b) 12 c) 20d) 32 e) 15

10.En una P.G. la suma de los 6 primeros términos es igual

a 9 veces la suma de los 3 primeros términos. Hallar larazón de la progresión.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3

Bloque II

1. ¿Qué se puede afirmar con respecto a la siguienteprogresión geométrica?

(2x + 1); 2x; (x + 1)

a) puede ser decreciente

b) puede ser oscilantec) puede ser creciented) hay 2 correctase) hay 3 correctas

2. En una P.G. no oscilante el término de lugar "6a" es(3k 2) y el término de lugar "4b" es (12). Hallar el términode lugar: (3a + 2b)

a) 2abk b) 3ab c) abd) 3k e) 6k

3. En una P.G.: t1 + t2 + t3 = 62 Además: 2t6 = t5 . t2Hallar "t2"

a) 8 b) 10 c) -12d) 4 e) Hay 2 correctas

4. En una P.G. la suma de los cuatro primeros términos es10 veces la suma de los dos primeros. Hallar el cuadradode la razón.

a) 10 b) - 3 c) 3d) 9 e) - 9

5. Indique verdadero (V) o falso (F).

I. 155;35;15 forman P.G.

II.

15

2;

5

1;

10

3forman P.A.

III.

−

−

4

15;

2

3;

4

3 forman P.A.

a) VVV b) VFV c) FVVd) FVF e) VFF

6. ¿Cuántos medios geométricos se han interpolado entre(x + 1) y (x6 + x5), si la razón obtenida es "x"?

a) 3 b) 5 c) 2d) 1 e) 4

7. En una P.G. decreciente e ilimitada la suma de los cubos

de sus términos es ,13108

y el primer término es 2.

Hallar la razón.

a) 5-1 b) 2-1 c) 6-1

d) 3-1 e) 4-1

8. Calcular el valor límite de:

....729

80

81

26

9

82S ++++=

a)73

b)81

2c)

827

d) 12 e)7

81






...3

14

3

13

3

12

3

1K

432

+

+

+

+

=

a) 0,5 b) 0,2 c) 0,6d) 1,5 e) 0,75

10.Calcular:

...51

751

551

351

R 432

+

+

+

+

=

a)92

b)4

5c)

83

d)37

e)65

Bloque III

1. La suma de tres números en P.G. es 70. Si los extremosse multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productosestán en P.A. El mayor de ellos es:

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

2. Se tienen escritas cuatro fracciones; sus numeradoresestán en progresión aritmética y sus denominadores enprogresión geométrica, ambas de razón 3. El producto

de las dos fracciones extremas es 10/243 y la suma delas otras dos 19/27. La suma de los miembros de latercera fracción es:

a) 52 b) 60 c) 63d) 70 e) 34

3. Se da una sucesión geométrica con el primer términodistinto de 0 y q ¹ 0 y una sucesión aritmética con elprimer término igual a cero. Si se suman los términoscorrespondientes de las dos sucesiones se obtiene unatercera sucesión: 1, 1, 2, ... entonces la suma de los

diez términos de la nueva sucesión es:

a) 467 b) 557 c) 978d) 987 e) 1 068

4. La cantidad que hay que sumar a: 5; 13; 29para que formen una progresión geométrica es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. El número de términos de la siguiente progresión:¸¸ 2 : 8 : ... : 8 192; es:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

6. Dada la P.G.: ¸¸ 7 : 14 : .... en la cual el producto de

dos términos consecutivos es 25 088. La suma de estostérminos es:

a) 112 b) 224 c) 336d) 448 e) 560

7. Dividir 777 en cuatro partes que están en progresióngeométrica, de manera que la diferencia de los términosextremos esté con la diferencia de los términos mediosen la relación 43/6. La mayor de estas partes es:

a) 108 b) 215 c) 432d) 648 e) 684

8. En una P.G. de 6 términos en la cual el primer términoes igual a la razón y la suma del primer y tercer términoes 30. La suma de sus términos es:

a) 120 b) 363 c) 1 290d) 1 092 e) 1 902

9. En una P.G. el número de términos viene dado por elvalor de "n" que satisface a la siguiente igualdad: 3n-1 + 3n-2 + 3n-3 + 3n-4 + 3n-5 = 121sabiendo además que se cumple:

32SSSS

nn2

n2n3 =−−

donde, S representa la suma de los "n" primerostérminos, la razón de esta progresión es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

10.Si: S1, S2, S3, ... , Sn son las sumas de series geométricasinfinitas cuyos primeros términos son: 1, 2, ... , n cuyasrazones son:

1n1....

41

31

21

+++++

el valor de "S1 + S2 + S3 + .. + Sn", es:

a)2

)1n(n +b)

3

)2n(n +c)

2

)3n(n +

d)2

)2n(n +e)

3

)3n(n +



75Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIORepaso

Capít ulo VII

1. Señalar verdadero (V) o falso (F):

I. x2 > 16 → C.S. <4; +∞>II. x2 ≤ 4x → C.S. <-∞; 4>III. (x - 3)(x - 5) < 0 → C.S. <3; 5>

a) VVV b) FFF c) VFFd) VVF e) FFV

2. Resolver: x2 + 3x + 10 > 0

a) <-∞; -3> ∪ <5; +∞> b) <-∞; -5> ∪ <3; +∞>c) <-5, -3> d) IR e) φ

3. Resolver: (x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ x3 + 5x2 + 10x + 8

a) <-∞; -2] ∪ [1; +∞> b) [-2; 1]c) [1; +∞> d) IR e) φ

4. Hallar el menor número “M” con la propiedad que paratodo x ∈ IR ; 1 + 6x - x2 ≤ M

a) 8 b) 11 c) 9d) 12 e) 10

5. Resolver: 2(x + 8)(x - 5) ≥ x(x + 5) + x2

indique el menor entero que la verifica.

a) 81 b) 79 c) 80d) 60 e) 51

6. Resolver: (x + 8)(x + 3) < x(x + 11) + 12

a) <-∞; 3> b) <24; +∞> c) <-∞; 12>d) IR e) φ

7. Resolver: x2 - x - 6 ≥ 0

a) <-∞; -2] ∪ [3; +∞>b) [-2; 3]c) [3; +∞>d) <-∞; -2]e) IR

8. Resolver: x8 - 2x4 + 1 ≤ 0indicando la suma de los valores que la verifican.

a) 1 b) -1 c) 0d) 4 e) 8

9. Al resolver la inecuación: x2 - 10x + 33 < 0

podemos informar que:

a) no existe solución real b) x < -1033

c) x > -1033

d) x > 0

e) x < 0

10.Al resolver, indicar cuántos ZZ+ la verifican.

2x-x-x

2xx23

2 ++≤ 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.Resolver:3x

1-x

+ > x

a) <-∞; -1> b) <-1; 3> c) <-1; +∞>d) <-∞; -3> e) <-3; -1>

12.H a l l a r e l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n : f (x) = |x - 2| + 1

a) IR - {1} b) IR - {2} c) IR - {-1}d) IR - {-2} e) IR

13.Hallar el rango de la función: f (x) = -|x + 4|

a) [0; 4] b) <-∞; 0] c) IR +

d) IR e) <-∞; -1]

14.Hallar el dominio de la función: f (x) = 5 - |x + 2|

a) IR b) IR - {5} c) IR - {-5}d) IR - {2} e) IR - {-2}

15.Hallar el rango de la función: f (x) = -|x - 1| - 4

a) <-∞; 4] b) <-∞; 0] c) <-∞; -4]d) IR e) IR -

16.Hallar el rango de la función: f (x) =3x2 - 12x + 20

a) [2; +∞> b) [4; +∞> c) [6; +∞>d) [8; +¥> e) [10; +∞>

17.Hallar el dominio de la función: f (x) = -2x2 - 6x + 11

a) <-∞; +∞> b) <-∞; 0> c) <0; +∞>d) IR - {2} e) IR - {-2}




Repaso

18.Hallar el rango de la función: f (x) = -4x2 - 8x - 9

a) <-∞; -1] b) <-∞; -2] c) < - ¥; -3]d) <-∞; -4] e) <-∞; -5]

19.Hallar el dominio de la función: f (x) = -3x2 - 2x + 5x ∈ [-2; 3>

a) [-2; 3> b) [-2; 2> c) <-2; 3]d) [0; 3> e) <-1; 6>

20.Graficar: f (x) = 1-x

a)

x

y

b)

x

y

1

c)

x

y

-1

d)

x

y1

e) x

y

-1

21.Graficar: f (x) = 2x +

y y

24.En:

÷÷7291

:2431

: ...

Calcular "a13".

a) 629 b) 729 c) 829

d) 686 e) N.A.25.El quinto término de una P.G. es 2 y el décimo primero

es 128. Calcular el valor de la razón.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

26.En la siguiente P.G., calcular "a49"÷ 2-2 : 2-1 : ...

a) 242 b) 244 c) 246

d) 248 e) N.A.

27.El quinto término de una P.A. es igual a 19 y el décimoes 39. ¿Cuántos términos hay que tomar para que susuma sea 465?

a) 18 b) 12 c) 20d) 10 e) 15

28.Determinar el décimo quinto término de una P.A. si lasuma de los “n” términos está determinada por:Sn = n(n + 8)

a) 19 b) 14 c) 37d) 24 e) N.A.

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Algebra 5º