ALGEBRA 1

Algebra

WYKŁAD 1

ALGEBRA 2

Realizacja przedmiotu

Wykład 30 godz.

Ćwiczenia 15 godz.

Regulamin zaliczeń:

www.mini.pw.edu.pl/~figurny

ALGEBRA 3

Program zajęć

Liczby zespolone

Algebra macierzy

Układy równań liniowych

Geometria analityczna

ALGEBRA 4

ALGEBRA - LITERATURA

Jurlewicz Teresa, Skoczylas Zbigniew, Algebra liniowa 1, Przykłady i zadania, GIS, 2004

Jurlewicz Teresa, Skoczylas Zbigniew, Algebra liniowa 1, Definicje, Twierdzenia, Wzory, GIS, 2004

Krysicki W., Włodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, 2000.

Nawrocki J. Matematyka, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2002.

Klukowski J., Nabiałek I., Algebra dla studentów, WNT, 2006

Nabiałek I., Zadania z algebry liniowej, WNT, 2006

Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 1, PWN, 1978

Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 2, PWN, 1980

Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych. Część A i B, PWN 2006

Gdowski B., Pluciński E., Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, PWN, 1974

ALGEBRA 5

Algebra - dziedzina matematyki, będąca

początkowo teorią rozwiązywania równań,

obecnie zajmuje się własnościami działań

określonych na pewnych zbiorach oraz

strukturą tych zbiorów

ALGEBRA 6

Liczby zespolone

ALGEBRA 7

Definicja Niech a, b R. Parą uporządkowaną o poprzedniku a

i następniku b nazywamy zbiór }},{},{{ baa .

Oznaczamy ją w skrócie ),( ba .

Definicja Zbiór wszystkich par uporządkowanych nazywamy

iloczynem (produktem) kartezjańskim zbioru R przez R

i oznaczamy symbolem RR .

Uwaga ),(),( dcba )( dbca

Liczby zespolone

ALGEBRA 8

Definicja

Dla dowolnych par ),(),( dcba definiujemy działania:

dodawania

),(),(),( dbcadcba

mnożenia

),(),(),( bcadbdacdcba

Definicja Zbiór RR z działaniami dodawania i mnożenia elementów nazywamy zbiorem liczb zespolonych.

Oznaczamy go symbolem C. Jego elementy nazywamy

liczbami zespolonymi i oznaczamy symbolami z1, z2, …

Liczby zespolone

ALGEBRA 9

Przykład

Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,-1) i (3,7)

(2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6)

(2, -1)(3, 7) = )3172,7132( = (13, 11)

Definicja

Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.

Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych.

Liczby zespolone

ALGEBRA 10

W zbiorze liczb zespolonych o elementach postaci

(a, b) można wyodrębnić podzbiór o elementach

)0,(a

Dodawanie i mnożenie liczb postaci (a,0)

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)

(a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Element neutralny dodawania - (0, 0)

Element neutralny mnożenia - (1, 0)

Element przeciwny do (a,0) - - (a, 0)

Element odwrotny do (a,0) - )0,

1(a dla

(a, 0)(0, 0).

Liczby zespolone

ALGEBRA 11

Wyodrębniony podzbiór zbioru liczb zespolonych ma względem dodawania i mnożenia jego elementów

analogiczne właściwości jak zbiór R liczb rzeczywistych.

Dlatego liczby zespolone postaci (a, 0) są utożsamiane

z liczbami rzeczywistymi.

W szczególności liczba (0, 0) jest utożsamiana z zerem

rzeczywistym.

Uwaga

Liczby (0, b) różnej od zera zespolonego, nie można

w analogiczny sposób utożsamić z żadną liczbą rzeczywistą.

Liczby zespolone

ALGEBRA 12

Definicja

Liczbę (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy

symbolem i.

1)1,0()1,0(2 iii Stąd

12 i

Uwaga

Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną!

Liczby zespolone

ALGEBRA 13

Ponieważ (a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz (0, b) = (0, 1)(b, 0)

każą liczbę zespoloną z = (a, b) można zapisać w postaci

kanonicznej (algebraicznej, kartezjańskiej, Gaussa)

z = a + bi

a R - część rzeczywista liczby zespolonej z,

- oznaczenie a = Re z (czyt. realis z)

b R - część urojona liczby zespolonej z,

- oznaczenie b = Im z (czyt. imaginalis z)

Liczby zespolone

ALGEBRA 14

Działania wykonywane na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej podlegają tym samym prawom, jakie stosujemy przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych (wyłączanie przed nawias, redukcja wyrazów podobnych, wzory skróconego mnożenia itp.).

Wykorzystujemy przy tym fakt, że 12 i .

Liczby zespolone

ALGEBRA 15

Przykłady

bcadibdac

bdiibciadacidciba

dbicaidciba

dbicaidciba

2

Liczby zespolone

ALGEBRA 16

Potęgi jednostki urojonej

Inaczej zapisane

Wyznaczanie in dla n N

1. Dzielimy n przez 4 (ponieważ wartości potęg i

powtarzają się cyklicznie co 4).

2. Niech r będzie resztą z dzielenia, wówczas

in= ir .

3. Jeżeli reszta wynosi 0 to in =1,(ponieważ i0 =1).

11

...11

84

73

62

51

ii

iiii

ii

iiii

...1111 87654321 iiiiiiiiiiii

Liczby zespolone

ALGEBRA 17

Przykłady

a) i12 = 1

b) i67 = –i

c) 4 + i3 = 4 + (–i) = 4 – i

d) 4i4 – 2i2 + i = 4(1) – 2(–1) + i = 4 + 2 + i = 6 + i

Liczby zespolone

ALGEBRA 18

Definicja

Modułem liczby zespolonej z = a + bi, oznaczanym

przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną,

będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby

22|| baz

Przykłady

,543|43|

.0|0|

,1||

,1|1|

22

i

i

Liczby zespolone

ALGEBRA 19

Definicja

Liczbą sprzężoną z liczbą ,biaz nazywamy liczbę

postaci bia i oznaczamy

.biaz Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą,

nazywamy liczbami sprzężonymi.

Wnioski

Liczby sprzężone mają równe moduły

|||| zz

Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu

2|| zzz

Liczby zespolone

ALGEBRA 20

Ostatni wzór można zapisać w postaci

biabiaba 22

Zatem w zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszego stopnia.

Przykład

ixixx 12

Liczby zespolone

ALGEBRA 21

Dzielenie liczb zespolonych

Jeśli 0oraz, 221 zdiczbiaz , to

22

21

22

21

2

1

|| z

zz

zz

zz

z

z

Po rozpisaniu

22 dc

bcadibdac

idcidc

idciba

idc

iba

Liczby zespolone

ALGEBRA 22

Przykład

i

i

iii

iii

i

i

i

i

i

i

5

3

10

13

20

1226

48816

1020816

24

24

24

54

24

54

2

2

Liczby zespolone

ALGEBRA 23

Przykłady

i

ii

i

i

25

11

25

2

43

432

43

222

i

iii

i

i

1

2

2

2

2

11

12

1

222

iii

i

i

)(

1

Liczby zespolone

ALGEBRA 24

2121 zzzz

2121 zzzz

zz )(

2121 zzzz

Rzzz

|||||| 2121 zzzz

Podstawowe własności

Liczby zespolone

ALGEBRA 25

2|| zidc

ibaz

Przykład

Obliczyć jeżeli

Metoda I

)/()(||/|||| 2222222 dcbaidcibaz

Liczby zespolone

ALGEBRA 26

Przykład (c. d.)

Metoda II

2222))((

))((

)(

)(

dc

adbci

dc

bdac

idcidc

idciba

idc

ibaz

222

22222

)(

)()()Im()Re(||

dc

adbcbdaczzz

222

22222222

)(

)2()2(

dc

daabcdcbdbabcdca

22

22

222

222222

222

22222222

)(

)()(

)( dc

ba

dc

dcbdca

dc

dacbdbca

Liczby zespolone

ALGEBRA 27

Zadanie

Niech iz 321 i iz 412 ,

Wyznaczyć

(a) 21 2zz (b) 12 izz (c) 21zz (d) 2

1

z

z

Zadanie

Zapisać w postaci kanonicznej

(a) izgdzie

z

z

1,

2

2

(b)

2sin2cos1

2sin2cos1

i

i

(c) 2sin2cos1

1

i

Liczby zespolone

ALGEBRA 28

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH

Rozważmy płaszczyznę z wyróżnionym układem współrzędnych prostokątnych. Każdy punkt płaszczyzny jest opisany w sposób jednoznaczny za pomocą pary (uporządkowanych) współrzędnych.

Zatem każdej liczbie zespolonej z = x + iy, można

przyporządkować punkt o współrzędnych (x, y).

Pz = x + iy

x

y

O

Im

Re

|z| =

r

θ

φ jest kątem skierowanym

pomiędzy osią Re i wektorem OP

φ

|z| jest odległością punktu P od środka układu

Liczby zespolone

ALGEBRA 29

Im

Re

r = |z|=1

O

i

-1 1

-i

Ważne liczby

Liczby zespolone

ALGEBRA 30

z

Im

Re

r = |z|

z

O

Ważne liczby

Liczby zespolone

ALGEBRA 31

Im

z1

Re

z1+ z2

z2

O

Działanie dodawania w liczbach zespolonych odpowiada

dodawaniu wektorów

Liczby zespolone

ALGEBRA 32

Podobnie jak punkt na płaszczyźnie, liczbę zespoloną

z 0 możemy reprezentować przez parę ,z .

Jest to przedstawienie liczby we współrzędnych biegunowych.

P

z = x + i

y

x

y

O

Im

Re

e

|z|

Liczby zespolone

ALGEBRA 33

Jeżeli liczba zespoloną z jest reprezentowana przez

parę ,z , to kąt φ nazywamy argumentem liczby z

i oznaczamy arg z.

Argument spełniający nierówność 0 arg z < 2 ,

(lub równoważnie - < arg z ) nazywamy

argumentem głównym i oznaczamy Arg z.

Uwaga

Dla liczby z = 0 argumentu nie definiuje się.

Liczby rzeczywiste dodatnie mają argument główny

równy 0, zaś liczby ujemne .

Liczby zespolone

ALGEBRA 34

Liczbę zespoloną z 0 możemy przedstawić w postaci

sincos)||||

(|| iriz

b

z

azbiaz

gdzie

r – moduł liczby zespolonej,

– argument liczby zespolonej.

Definicja Przedstawienie

sincos irz

nazywamy postacią trygonometryczną liczby

zespolonej z.

Liczby zespolone

ALGEBRA 35

Przykład

Znaleźć postać trygonometryczną liczby iz 3

213 zr

k2

6

2

1sin

2

3cos

6sin

6cos23

ii

Liczby zespolone

ALGEBRA 36

Przykład

Znaleźć postać trygonometryczną liczby z = -2+2i.

.4

3

2

2

22

2

8

2sin

2

2

22

2

8

2cos

,82)2(22 22

iz

4

3sin

4

3cos8 iz

Liczby zespolone

ALGEBRA 37 37