Algebra ALGAD

Spaii vectoriale

14 Algebr liniar,geometrie analitic i diferenial Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 2

SPAII VECTORIALE

Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 2 15

2.1 Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial 15 2.2 Schimbarea bazei. Schimbarea coordonatelor 18

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 2 21 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 21 Bibliografie unitatea de nvare nr. 2 23

Spaii vectoriale

15Algebr liniar,geometrie analitic i diferenial Curs i aplicaii

OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 2

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 2 sunt:

nelegerea noiunii de dependen i independen liniar, baz i dimensiunea unui spaiu vectorial

Aplicarea cu succes a noiunii de schimbare de baz S rein noiunile de baz i dimensiune

2.1 Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial

Dependen i independen liniar

Definiia 1. Mulimea SVS ,vv se numete liniar dependent dac exist o mulime

finit de elemente distincte din S, Svn ,....,, 21 i scalarii Kn ,..,, 21 , nu toi nuli, astfel nct

0....2211 nnvvv . Mulimea S se numete liniar independent dac nu este liniar dependent, adic,

pentru orice niSvi ,1 , , 0....2211 nnvvv , Ki , nedeterminai, implic 0,..,0,0 21 n .

Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial

Definiia 2. O mulime B de vectori din spaiul vectorial V se numete baz a lui V dac

B este liniar independent i genereaz spaiul V, )(BLV .

Denumire. V este finit dimensional dac admite o baz finit sau dac V={0} ; n caz contrar, se spune c V este infinit dimensional.

Definiia 3. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit dimensional V i se noteaz cu dim V numrul

{0}. adac 0, vectori,din aformat abaz o are adac ,

dimV

nVnV

Notaie. V de dimensiune finit n se noteaz cu . nV

Definiia 4. Subspaiul S este suma direct a subspaiilor U i V ale spaiului V dac VUVUS ,

i se noteaz VUS . U i V se numesc n acest caz spaii complementare.

Spaii vectoriale


Exemple 1. n spaiul vectorial aritmetic Kn multimea n21 eeeB ,...,, , unde e1= (1,0,0,...,0), e2= (0,1,0,...,0),...,en= (0,0,...,0,1) Kn, determin o baz a lui Kn. ntr-adevr, B este liniar independent ntruct relaia de dependen liniar cu coeficieni nedeterminai

0vkn

1iii

devine (k1,k2,...,kn) = (0,0,...,0) i de aici : k1= 0, k2=0,...,kn = 0. Cea de-a doua condiie din definiia bazei este de asemenea ndeplinit:

.ex...exex

1...,0,0x...0,...,0,1,0x0,...,0,1xx,0,...,0,0..0,...,0,x,0

0,...,0,0,xx,...,x,xx,Kx

nn2211

n21

n2

1n21n

2. Spaiul vectorial al matricelor dreptunghiulare are dimensiunea . O baz este multimea

KM nm nm ,nj1,mi1,EB ij

,E ij fiind matricea din acest spaiu care are un singur element egal cu 1, anume cel care se

afl n linia i i coloana j , celelalte elemente fiind nule. ntr-adevr, orice matrice )K(MaA nmij

este o combinaie liniar de : ijE

,EaaA ijm1i

n

1jijij

condiia a doua din definiia bazei este deci ndeplinit. Pentru a studia dac B este sau nu liniar independent considerm relaia de depende liniar cu coeficieni nedeterminai: ij

nmijm1i

n

1jij 0E

Aceast relaie este echivalent cu

000

000000

mn2m1m

n22221

n11211

...............

...

...

...............

...

...

Spaii vectoriale


deci n,1j,m,1i,0ij ,ceea ce arat c cei nm vectori sunt liniar independeti .

KME nmij Aplicaii:

1. S se studieze dependena liniar a vectorilor :

)2,4,1(),1,1,0(),4,2,1( 321 vvv n 3R , Soluie. Se consider relaia 0332211 vvv . Prin nlocuirea vectorilor se obine

321 ,, vvv,42,( 32131 )0,0,0()24 321 , echivalent cu sistemul omogen

02 3214,042,0 32131

t3

. Rangul matricei acestui sistem este doi. Prin urmare, sistemul admite i soluii nebanale, deci sistemul de vectori este liniar dependent. Notnd , se obine soluia ttt 3,221 , , astfel c, prin nlocuirea acestora n relaia 0332211 vv v , relaia de dependen liniar este 021 32 v vv .

2. In 3R se dau vectorii ),1,1,3(),1,1,1( 21 vv )1,1,0(3 v . a) S se demonstreze c formeaz o baz n 321 , vvv 3R , b) S se determine coordonatele vectorului )3,2,1(v n aceast baz. Soluie.a) este baz dac vectorii sunt liniar independeni i formeaz sistem de generatori. Pentru liniar independen, din relaia

321 , vvv 0332211 vvv se obine sistemul

omogen 0- ,0 , 32132103 21 cu soluia banal 0321 ; deci sunt liniar independeni. Vectorii 2v 3 v1 ,v 321 , vvv formeaz sistem de generatori dac, oricare ar fi , exist scalarii 3Rv ,, astfel nct 3v2v1vv . Fie, astfel,

. Din 3R) )1,1,1(),,(,, cba(v )1,1,0()1,1,3( cbavcba

rezult sistemul - ,, 3 , cu soluiile

cbacbcba ,2/)( ,2/)332( , deci R ,, . Cum sistemul de vectori 321 , vvv este sistem de generatori i liniar independent, se deduce c este baz n 3R .

b) Fie coordonatele vectorului x n aceast baz. Deci 321 x, xx 332211 vxvxvxx 33

.

Prin nlocuire se obine sistemul ,2,13 2132121 xxxxxxxx , cu soluia . Deci 9,2/17 21 xx ,2/5 3 x 9,2/5,2/17 xB

Test de autoevaluare 2.1

1. S se determine i reali astfel nct matricele

411

,1235

,3512

321 AAA s fie liniar dependente.

Spaii vectoriale


2. Fie 2,0,,)( 21202 iaatatatP i R . Demonstrai c sistemul de vectori 2321 1)(,1)(,2)( ttpttptp

)(2 tP formeaz o baz a

spaiului vectorial .

2.2 Schimbarea bazei. Schimbarea coordonatelor

Schimbarea bazei. Schimbarea coordonatelor.

Fie o baz a spaiului n-dimensional . neeeB ,....,, 21 nV nixexexexvVv innn ,1,,...., 2211 K . (1.1)

Denumire. Numerele se numesc coordonatele vectorului v n baza B iar relaia (1.1) se numete relaia de descompunere a vectorului v n baza B.

nxxx ,....,, 21

Teorema 1. ntr-o baz dat, coordonatele unui vector sunt unic determinate.

Demonstraie. ntr-adevr, s presupunem c

,eyv in

1ii

unde, cel puin pentru un indice i, . Atunci, din relaia ii yx 0eyx...eyxeyx nnn222111 rezult c e1,e2,...,en sunt liniar dependeni, contrar ipotezei c ei formeaz o baz. In baza conditiei 2 din definitia bazei , fiecrui vector nVv i corespunde un singur n-uplu (x1, x2, ... , xn) nK i invers. Deci exist o bijecie (1) nn KV:f Aceast bijecie f este un izomorfism de spaii. ntr-adevr, dac

n

1iiiexx

i

n

1iiieyy

atunci

in

1iii eyxyx

i

Spaii vectoriale


,e xx in1i

i

deci dac pentru o baz dat a spaiului Vn avem

nn21f Kx,...,x,xx i

,Ky,...,y,yy nn21f

atunci avem i corespondenele (2) nnn2211f Kyx,...,yx,yxyx

(3) ,Kx,...,x,xx nn21f adic f este o transformare liniar de spaii vectoriale. Cum f este i funcie bijectiv, rezult c f este un izomorfism de spaii vectoriale (Vn este izomorf cu Kn).

a) Schimbarea bazei. Fie un spaiu vectorial. Considerm i dou baze ale lui , unde

K/V

nV neeeB ,....,, 21 neeeB ,....,, 21

njeaeaeae nnjjjj ,1 ,....2211 . (1) Matricea A format cu coordonatele vectorilor je (aezate pe coloane) n baza B se

numete matricea de trecere de la baza B la baza B . n acest caz relaiile (1.2) se numesc formulele de trecere de la baza la baza ie je a lui ( formulele schimbrii bazei). nV

b) Schimbarea coordonatelor.

Fie . Cum n baza avem , iar n baza , , rezult n baza unicitii coordonatelor

Vx ie

n

jjj exx

1ie

n

iiiexx

1

njxaxn

iijij ,1,

1

. (2)

Sub form matricial, relaiile (2) se scriu XAX , unde , ,

nx

xx

X 2

1

nx

xx

X 2

1

ijaA cu A matricea de trecere de la B la B .

Aplicaii:

1. S se determine matricea de trecere de la baza B la baza Bdac : , n )2,1(),1,5(B )1,0(),0,1(B 2R ,

Soluie. a) Se descompun vectorii bazei B n baza B, )2,1()1,5()0,1( 21 , )2,1()1,5()1,0( 21 . Se obin sistemele : (1) 02 ,1 2125 1 i, respectiv, (2)

Spaii vectoriale


12 ,05 2121 , cu soluiile (1) 9/1,9/2 21 i (2) 9/5,9/1 21 . Matricea de trecere are, pe coloane, coordonatele vectorilor din baza B n baza B:

5112

9/199

/59/1/19/2

C .

2. Fie matricea de trecere de la o baz B la o alt baz B n 2R , dat de .

31

21C

a) Dac vectorul x are n baza B coordonatele (1,7), care vor fi coordonatele sale n baza B?

Bb) Pentru vectorul y de coordonate (-2,4) n baza s se determine coordonatele sale n baza B.

Soluie. a) Din relaia matriceal BX BBB CX se deduce , unde

2

1

32

xx

21 , xx 1

1

71

sunt coordonatele lui x n baza B . Din sistemul se obine

.

1x

731

2

2

x

146

42

21x

x

11

TT

B xx

x

5/8

5/11

2

1

T

B yy

y

2

1

)14,6(Byb) Pentru , cu aceeai relaie matriceal avem . Deci,

.

3

2

2

1

yy

Test de autoevaluare 2.2

1. Fie sistemele de vectori: , 33 )3,2,1(),0 R v 33 )9,7,6(),3, R v

21 ,0,1(),0,1,1( vvB21 2,2(),3,3,1( vuB .

a) Artai c B i B sunt baze n 3R ; b) S se gseasc matricea de trecere de la B la B 0B, de la B la (baza canonic) i de la la 0B B ; c) S se determine coordonatele vectorului v 321 43 vv 2v n baza B .

Spaii vectoriale


De reinut! Definiia bazei. Formula de trecere de la o baz la alta. Formula de schimbare a coordonatelor Exemple de baze.

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 2 1. Fie sistemele de vectori:

)(5000

,0330

,0002

22321 R

MEEEB ,

)(1001

,0991

,2001

22321 R

MEEEB .

a) Artai c B i B sunt baze n , )(22 RMb) Gsii matricea de trecere de la B la B , c) Determinai expresia vectorului 321 32 EEEX n baza B .

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Test de autoevaluare 2.1 1. Relaia 0332211 AAA este echivalent cu sistemul :

,01152 21 3,0 3213 03,0425 321321 11

. Din condiia ca rangul matricei sistemului s fie doi se obine , 3 . Relaia de dependen liniar este 032 321 AAA . 2. Se demonstreaz c i sunt liniar independeni i sistem de generatori.

21 , pp 3p

Spaii vectoriale


Test de autoevaluare 2.2 1. a) artm c vectorii sunt liniar independeni i c formeaz sistem

de generatori. b) , ,

; c)

311211101

BBC

)4,3,2(

3/1003/1113/210

0BBC

933723621

0 BBC Bv ; din BBB vC Bv se obine

. )20,7,3(Bv

Recapitulare

O mulime B de vectori din spaiul vectorial V se numete baz a lui V dac B este liniar independent i genereaz spaiul V, . )(BLV

Schimbarea bazei. Fie K/V un spaiu vectorial. Considerm i neeeB ,....,, 21 neeeB ,....,, 21 dou baze ale lui nV ,

unde njeaeaeae nnjjjj ,1 ,....2211 . (1)

Matricea A format cu coordonatele vectorilor (aezate pe coloane) n baza B se numete matricea de trecere de la baza B la baza

je

B . n acest caz relaiile (1.2) se numesc formulele de trecere de la baza la baza a lui ( formulele schimbrii bazei). ie je nV

Schimbarea coordonatelor. Fie . Cum n baza Vx ie avem , iar n baza

n

jjjexx

1 ie ,

, rezult n baza unicitii coordonatelor

n

iiexx

1

i

njxaxn

iijij ,1,

1

. (2)

Spaii vectoriale


Bibliografie 1. Letiia Ion, Mihaela Badea, Complemente de algebr i

geometrie, Editura Nautica, 2005. 2. Radu C., Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial,

Editura All, Bucureti, 1998.3. Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M., Algebr liniar ,

geometrie analitic i diferenial, ecuaii difereniale (Culegere de probleme), Editura All, Bucureti, 1994.

4. Udrite C., Probleme de albebr, geometrie, ecuaii difereniale, Bucureti, 1994.

5. Mneanu V., Carp D., Elemente de Algebr, Geometrie i Calcul Tensorial, vol. 1,2, Institutul de Marin Civil, Constana, 1997.

Documents

Algebra ALGAD