Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 15/08/2011

Si yo tengo un vector = 2; 3 de qu otra forma habamos podido expresar este vector? De la forma = 2; 3 = 2 + 3 qu son i y j? Son versores y son vectores? S, por qu los decimos versores? Porque tienen mdulo 1 y por qu se decan versores fundamentales? Porque tienen la direccin de las ejes de coordenadas y entonces = 2; 3 = 2 + 3 = 2 1; 0 + 3 0; 1 y un vector escrito = 2; 3 = 2 1; 0 + 3 0; 1 es una combinacin lineal de los versores fundamentales que es multiplicar a cada uno de los versores por un escalar y casualmente cada uno de esos escalares son las componentes de nuestro vector. Ser posible expresar al vector = 2; 3 como combinacin lineal de vectores que no sean exactamente los versores = fundamentales? Una podra ser = 2; 3 = 1 1; 1 + 1 1; 2 seran los vectores 1; 1 y = 1; 2 multiplicados por los escalares 1 y 1 otra combinacin? Podra ser = 2; 3 = 4 ; 0 + 6 0; y esto es la combinacin lineal de los vectores = ; 0 y = 0; con los escalares 4 y 6 existirn otras combinaciones lineales para el vector = 2; 3 ? S, infinitas. Bueno, esto es, bsicamente, combinacin lineal: que a un vector yo lo pueda expresar como la suma de un conjunto de vectores multiplicados por escalares, eso es una combinacin lineal. En trminos muy estrictos uno dira si tengo un espacio vectorial V para el cuerpo K y las operaciones de suma y multiplicacin por escalares que pertenecen al cuerpo K, que para nosotros es el conjunto de los reales , entonces se dice que un vector que pertenece al espacio vectorial V es combinacin lineal ; ; ;; de un conjunto de vectores = si existen escalares, que pertenecen al cuerpo K, al que = + + ++ . Esto es combinacin lineal, tenemos un vector = 2; 3 que, en este caso, pertenece a y nuestro cuerpo de escalares K que son los reales . Bueno, hagamos algunos ejercicios. Si tengo el vector = 2; 0; 0 y digo que es combinacin lineal del conjunto = 1; 0; 0 cul sera el escalar? 2; 0; 0 = 2 1; 0; 0 = 2; 0; 0 . . = 1; 0; 0 ; +; ; , = . . + + = ; ; ;; + + ,

Combinacin lineal

2 (dos), si tengo un solo vector tendr un solo escalar 2; 0; 0 , evidentemente, es 2 1; 0; 0 , el escalar 2 (dos) multiplicado por el vector 1; 0; 0 . La combinacin lineal ms elemental es cuando el conjunto tiene un solo vector y en este caso vemos que es un mltiplo, un vector escalado. El escalar justamente escala al vector.

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 = Otro ejemplo sera si yo tengo el vector 1; 2; 3 , 1; 1; 1 . = 1; 2; 3 , 1; 1; 1

Cules son los escalares que hacen que ste conjunto de vectores = 1; 2; 3 , 1; 1; 1 como combinacin lineal me d el vector = 3; 5; 7 ? 2 (dos) y 1 (uno), porque 2 1; 2; 3 + 1 1; 1; 1 = 3; 5; 7 = 3; 5; 7 = A ver, el mismo 1; 0; 0 , 0; 1; 0 , 0; 0; 1 = = 3; 5; 7

= 3; 5; 7

= 3; 5; 7 y el conjunto de vectores

vector

y

el

conjunto

Qu parece? Quines son esos vectores del conjunto? Los versores = 1; 0; 0 , = 0; 1; 0 y = 0; 0; 1 , cuando tengo los versores en el conjunto, los escalares coinciden con las componentes del vector. 3; 5; 7 = 3 + 5 + 7 = 3; 5; 0 = = 3; 5; 0 =

1; 0; 0 , 0; 1; 0 , 0; 0; 1

Veamos otro ejemplo teniendo el vector 1; 2; 3 , 1; 1; 1 , 4; 6; 8 . 1; 2; 3 , 1; 1; 1 , 4; 6; 8

y el conjunto

Podra ser que a algn conjunto no se lo pueda expresar como combinacin lineal para un vector? Los ejemplos que estudiamos hasta ahora demuestran que se puede, veamos si ste dice lo mismo. Por lo general, cuando el ejercicio es fcil, se le puede sacar por tanteo, como los ejemplos anteriores, pero ante ejemplos como este, que son ms complicados, cmo los sacamos? Podramos escribirlos as: 3; 5; 0 = 1; 2; 3 + 1; 1; 1 + 4; 6; 8

Para no tantear tenemos eso, un sistema de ecuaciones. En nuestro sistema de ecuaciones, las incgnitas son los escalares , y que tienen que valer lo mismo para cada una de las ecuaciones. Pensemos en nuestro problema que es que esos escalares existan para que yo pueda representar el vector. Si esos escalares existen, cmo debe ser mi sistema de ecuaciones? Compatible, determinado o indeterminado? Puede ser los dos,

3= + 5=2 + 0=3 +

Y podemos armar las siguientes ecuaciones. +4 +6 +8

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 por qu puede ser los dos? Porque no importa si tiene una solucin o infinita, lo que importa es que tenga solucin, que existan esos escalares as uno est relacionado con otro. Pero si el sistema es incompatible, entonces yo dira que este vector = 3; 5; 0 no puede expresarse como combinacin lineal de los vectores del conjunto = 1; 2; 3 , 1; 1; 1 , 4; 6; 8 . Resolvamos el sistema sabiendo que no importa mucho el valor de los escalares, sino saber si el sistema es, o no, compatible. Cmo resolvemos el 1 1 4 3 sistema? Lo podemos expresar de forma matricial: 2 1 6 5 y mediante un Gauss 3 1 8 0 Jordan lo resolvemos. O cmo ms rpido veo si es compatible o no es compatible? qu pasa si el determinante es igual a 0 (cero)? El sistema no sera compatible determinado y por tanto no me servira hallar el determinante. Entonces, mejor vayamos por el camino ms seguro que es Gauss Jordan. 1 2 3 1 0 0 1 4 3 1 6 5 1 8 0 1 4 3 1 2 1 2 4 9 1 1 0 1 3 1 1 0 0 4 3 2 1 8 0 1 4 3 1 2 1 0 0 7 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 2 4 3 2 1 4 9

Qu me est diciendo el tercer rengln?

Que 0 + 0 + 0 = 7 es cierto? No, nunca puede ser y por tanto este sistema es incompatible. Entonces, qu conclusin puedo sacar? Que el vector = 3; 5; 0 no se puede expresar como combinacin lineal del conjunto = 1; 2; 3 , 1; 1; 1 , 4; 6; 8 , porque no existen escalares que hagan posible esa combinacin lineal. Y as podemos responder la pregunta que hicimos anteriormente Podra ser que a algn conjunto no se lo pueda expresar como combinacin lineal para un vector?, y entonces, en trminos generales, diramos que no siempre un vector se puede expresar como combinacin lineal de vectores que pertenecen a ese mismo espacio vectorial. 2 0 Otro ejemplo, si yo tengo la matriz = que pertenece al conjunto de 1 3 2 0 matrices de dos por dos = y tengo el conjunto de matrices = 1 3 1 0 1 1 2 0 ; ; . Lo mismo que el ejemplo anterior, la pregunta es existen 0 2 0 1 0 1 2 0 escalares para que la matriz = pueda expresarse como combinacin lineal de las 1 3 1 0 1 1 2 0 tres matrices del conjunto = ; ; ? expresemos nuestra matriz 0 2 0 1 0 1 2 0 = como combinacin lineal de las tres matrices del 1 3 1 0 1 1 2 0 conjunto = ; ; . 0 2 0 1 0 1

4 3 2 1 0 7

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 2 0 = 1 3 1 0 + 0 2 +2 +2 1 1 + 0 1 2 0 0 1

Fijmonos que la cantidad de escalares siempre va a ser igual al nmero de vectores que tenga el conjunto. Y ahora tengo que armar el sistema de ecuaciones. 2= + 0= 1=0 + 2=

En una ecuacin leemos 0 = Pero hay una ecuacin extraa:

osea que ya me est dando el valor de un escalar. +2 +2

Y as nuestro sistema ya est resuelto porque 1 0 y por tanto, digo que se verifica 2 0 que la matriz = no es posible expresarla como combinacin lineal de las 1 3 1 0 1 1 2 0 matrices del conjunto = ; ; . 0 2 0 1 0 1 Otro ejemplo, si tengo el polinomio = 3 5 + 2 que pertenece a los polinomios de grado hasta dos , Y tengo el conjunto de polinomios = ; + 2; 2 + 4; 2 + 3 . Lo mismo, vamos a ver si este polinomio = 3 5 + 2 se puede expresar como combinacin lineal de los cuatro polinomios del conjunto = ; + 2; 2 + 4; 2 + 3 . Existen escalares, de manera que yo pueda expresar ese polinomio como combinacin lineal de los cuatro polinomios del conjunto A? Al polinomio lo expresamos como combinacin lineal de los cuatro polinomios del conjunto A. 5 +2= + +2 + 2 +4 + 2 +3 =3 5 +2

2= + 0= 1=0 2= +

3

Ser que existe algn escalar para que el coeficiente de me d 3 (tres)? Pareciera ser que si =1y = 2 se estara dando, pero eso tiene que cumplirse despus para los otros coeficientes de las otras variables. Armemos el sistema de ecuaciones. 3= + 5 = + 2=2 +4 2 +3 +2

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 Se arm un sistema de tres ecuaciones con cuatro incgnitas ser compatible? tengo ms incgnitas que ecuaciones ser compatible? S, puede ser compatible, no sera compatible determinado pero puede ser compatible. Armemos la matriz. 1 0 1 0 3 1 1 2 2 5 0 2 4 3 2 1 0 1 0 3 0 1 1 2 2 0 0 6 1 6 1 1 0 0 2 6 11 1 0 1 0 6 1 1 0 0 1 6 6 11 = 1 6 =2 6 =1+ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 3 1 1 2 2 2 4 3 2 1 0 3 1 2 2 1 0 1 1 6

De nuestro resultado podemos sacar que

Qu me dice esto? A cuntos escalares puedo darles valor en estas ecuaciones? y cuntos escalares libres tengo en las ecuaciones? 1 (uno), entonces, yo le doy valor a obtengo los valores de los escalares restantes. Supongamos que = 0, entonces = 2, = 1 y = 1. Veamos si para estos valores se cumple. 3= + 3=2+1 5 = + 2 + 2 5 = 2 + 1 2 1 + 2 0 2 = 2 1 + 4 1 + 3 0 2=2 +4 +3 3=3 3=3 5 = 2 + 1 2 5 = 5 2 = 2 + 4 2=2

S, se cumpli, entonces, dndole valores a una de las incgnitas obtengo las otras. A qu conclusin llegamos? A que a este polinomio = 3 5 + 2 s es posible expresarlo como combinacin lineal de los cuatro vectores del conjunto = ; + 2; 2 + 4; 2 + 3 . Los escalares que obtengo no son un conjunto nico pero s es posible expresarlo a ese polinomio como la combinacin lineal de los cuatro vectores.

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Espacio generadoAhora, fijmonos otra cosa, en todos los ejemplos que dimos qu dimos? Un vector, y nos preguntbamos si poda ser expresado como combinacin lineal de otros. Ahora hagmonos la pregunta al revs cules son todos los vectores que puedo generar o expresar como combinacin lineal de un conjunto determinado de vectores? Supongamos que yo tengo el conjunto de vectores de : = 1; 2 , 1; 0 , y tomo el vector = 3; 5 y me pregunto si yo lo puedo expresar como combinacin lineal de los dos vectores del conjunto. Hacemos los de siempre: 3; 5 = = 1; 2 , 1; 0 = 1; 2 + 1; 0 = 1 2 = 3; 5

Es decir, el conjunto de vectores de : = 1; 2 , 1; 0 permite expresar al vector = 3; 5 como combinacin lineal de ellos, es posible y existen los escalares. Ahora, la pregunta que hacamos era: dado este conjunto de vectores = 1; 2 , 1; 0 de cules son todos los vectores que se pueden expresar como combinacin lineal de ste conjunto? Ahora razonaremos de forma ms general, tengo un conjunto y veo qu vectores se pueden generar. Hacemos lo mismo que lo anterior slo que en lugar de poner 3; 5 ponemos ; que me representa un vector genrico, cuando digo todos. = ; = 1; 2 , 1; 0 1; 2 + 1; 0 = ;

3=

5=2

5 2

Y si a le doy valores, obtengo y, y si a le doy valores, obtengo x qu puedo decir entonces de cules son todos los vectores que se pueden generar con este conjunto siempre voy a tener escalares para formar el vector = 1; 2 , 1; 0 ? ; ; ? S, siempre, porque siempre voy a poder darle cualquier valor. Si lo miro desde un punto de vista de sistema de ecuaciones, y yo quisiera resolver ese sistema de ecuaciones, 1 1 dira que tengo y ac es donde hay que pensar bien, hay que estar atento, 2 0 porque si yo voy a resolver este sistema a m me interesa saber si existen escalares para que pueda armar cualquier vector ; , no me interesa el valor de los escalares, como

=2 =

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 decamos anteriormente no me interesa cunto valen sino si es compatible o incompatible el sistema que me dir si existen o no existen. 1 1 2 0 1 1 0 2 2 + 2 2 2 2 1 0 1 1 2 2

1 0

0 1

Cmo es el sistema? Tenemos que saber bien que x e y son valores fijos porque tengo valores fijos, ac estamos hablando de un vector ; . Entonces, ac + tengo valores fijos y si a la matriz la pudimos reducir a la matriz identidad, tengo

que = + y = , y como a x e y puedo darles cualquier valor, obtendr diferentes valores para los escalares segn cada valor que doy a x e y, por tanto, el sistema es compatible indeterminado. Y as, puedo decir que ese conjunto = 1; 2 , 1; 0 me como combinacin lineal. permite expresar cualquier vector ; que pertenezca a Cambiemos de ejemplo, supongamos que tenemos el conjunto = 1; 2 , 3; 6 y quiero saber si puedo expresar cualquier vector de como combinacin lineal de los vectores del conjunto. Lo mismo que anteriormente, pruebo = ; = 1; 2 , 3; 6 1; 2 + = 3; 6 ;

=2 +6 = +3

Atencin, se ve a qu llegamos? decamos que el sistema tena que ser compatible, no importa si era determinado o indeterminado, pero tena que ser compatible para que existan los escalares. Ac, para expresar cualquier x e y ser posible? para que el sistema sea compatible qu tiene que ocurrir? me tiene que dar todo el segundo rengln 0 (cero) 1 1 0 0 2

1 3 2 6

Esto puedo armar de forma matricial, 1 1 0 0 2

porque qu pasa si donde dice 2 me da distinto de 0 (cero)? sera un sistema incompatible, entonces qu tengo que condicionar ac? que 2 = 0.

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 2 =0 =2

y entonces qu pasa ac? ste conjunto = 1; 2 , 3; 6 genera a todo vector de ? No, slo a aquellos del tipo ; 2 y entonces decimos que el conjunto = 1; 2 , 3; 6 genera, o el espacio generado por el conjunto = 1; 2 , 3; 6 es igual a ; tal que = 2 no genera, genera un subespacio de . Entonces, qu genera este conjunto? Esto que estamos estudiando, despus que vimos combinacin lineal, se denomina espacio generado por un conjunto de vectores. A ver si podemos diferenciar los dos ejemplos que tomamos, para hacer una generalizacin, no nos olvidemos siempre que en espacios vectoriales decimos algo y tratamos de generalizar. En el primer ejemplo tenamos el conjunto = 1; 2 , 1; 0 y llegamos a la conclusin de que ese conjunto de vectores genera todo por qu? porque para cualquier valor de x e y, siempre vamos a encontrar escalares que me permiten expresarlo como combinacin lineal. En cambio, en el segundo ejemplo, donde tenamos el conjunto = 1; 2 , 3; 6 , hicimos lo mismo y llegamos a que para que el sistema sea compatible = 2 , osea, son vectores donde y siempre va a ser el doble de x, sino, no se pueden expresar como combinacin lineal de esos dos vectores y entonces me genera un subespacio de . Esta es la ecuacin de espacio generado: = 1; 2 , 3; 6 = = ; : = 2 que dice que dado un conjunto de vectores, se puede expresar todo vector del espacio vectorial como combinacin lineal de ellos y se los denomina espacio generador, y sino, se lo denomina generador de un subespacio. Nos enfrentaremos a ejercicios donde, dado un conjunto determinado de vectores de un espacio vectorial, tendremos que analizar si genera todo el espacio vectorial o no. Y una segunda pregunta podra ser, si no genera todo el espacio vectorial, qu genera?. Qu pasar como generalidad? que si el sistema es compatible determinado, no existe ninguna condicin para x e y, y entonces decimos que ese conjunto genera todo el espacio vectorial. Si para que el sistema sea compatible existe un condicionamiento, y esto es cuando resuelvo por Gauss Jordan y me aparece un rengln de 0 (cero) y tendr que condicionar para que sea compatible y no va a generar todo el espacio vectorial, sino que genera un subespacio dado por esas condiciones. Qu otra observacin podemos hacer de los conjuntos de vectores = 1; 2 , 3; 6 y = 1; 2 , 1; 0 ? Fijmonos en las grficas los vectores de cada conjunto. = 1; 2 , 3; 6 = = ; : =2

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011y 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 1.8 1.6 vector (-1; 0) Vector (1; 2) 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 vector (3; 6) Vector (1; 2)

Cmo son los vectores de cada conjunto? los vectores del conjunto = 1; 2 , 3; 6 son colineales y los del conjunto = 1; 2 , 1; 0 no. Casualmente, los vectores del conjunto que no son colineales me dicen que puedo generar cualquier vector de escalando a cada uno de los vectores y sumndolos puedo expresar cualquier vector. Por otra parte, los vectores del conjunto que s son colineales me dicen que puedo generar solo un subespacio de y slo podr expresar como combinacin lineal de esos vectores a los vectores que son escalados de esos propios vectores donde se mantiene que = 2 . Entonces, si hablamos desde el punto de vista geomtrico, decimos que el conjunto = 1; 2 , 3; 6 de vectores genera nada ms que los vectores que se encuentran en la recta = 2 . Todo esto que vimos para podemos utilizar para cualquier espacio vectorial y decir si el conjunto de vectores genera todo el espacio vectorial o si genera solo

Alumno: Gabriel Alejandro Paul; Materia: lgebra Bloque B; Ao: 1er ao, Facultad: UNAM de Ingeniera en Ober; Ao lectivo: 2011; Trabajo: Teora 15/08/2011 un subespacio vectorial cmo? resolviendo el sistema para que sea compatible y fijando las condiciones necesarias.