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5/7/2018 Algebra Elemental Cap 6-10 Ursini - slidepdf.com
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Uso de la tecnologia
con el. Modelo 3UV
Las tecnologias de Ia informacion yde la comunicaci6n estanpresentes cada vezmas en el sal6n de clases. El empleo de estas
tecnologias implica un esfuerzo de los maestros y un cambiaen la forma de ensenar, que permita sacar provecho efectivo delas nuevas herrarnientas. Se trata de que el usa de la tecnologia
sirva paraestimular la comprensi6n de los conceptos materna-
ticos por parte de los alumnos y tambien para fomentar el razo-
namiento maternatico en la soluci6n de problemas. Lograr esteprop6sito requiere el disefio de estrategias daras para dirigir la
atenci6n de los alumnos hacia los objetos matematicos de inte-res, 10 que conlleva la construcci6n de actividades para el salonde clases que permitan alcanzar los objetivos deseados.
El disefio y el desarrollo de estrategias de ensefianza con usade tecnolagias de Ia inionnaci6n y de la comunicaci6n se yen
enormemente favarecidos si se cuenta con una herramienta teo-rica que proporcione al maestro una ayuda para guiar el proce-
der de los alumnos bacia un fin bien determinada y poder sacarel mayor provecho posible del usa de la tecnologfa ..EI Modele3UV proporciona elementos que son muy utiles para el maestroque usa la tecnologia en la clase de rnatematicas, En este capi-tulo presentamos algunos ejernplos en los que el Modelo 3UVse utiliza como guia en la planificacion de clases en las que seutiliza la tecnologta para apoyar la ensefianza del algebra.
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102
ACTIVIDADES CON HOJA
ELECTRONICA DE CALCULO
En esta secci6n presentamos una forma en que el uso delModelo 3UV ayuda a disefiar estrategias de clase para la ense-
iianza de la variaci6n lineal utilizando una hoja electr6nica de
calculo,Las hojas electr6niea de calculo son particularmente uti-
les como herramienta para eomprender el coneepto de relaei6n
funcional entre variables. Su usa perrnite a los estudiantes fa-
miliarizarse con la lectura y el llenado de tablas para resolver
problemas especificos, asi como reconoeer la correspondenciaentre las variables, L a influeneia del cambio en una de ellas sobrela otra y su mutua variaci6n.
En las paginas siguientes mostraremos una aplicaci6n del
Modelo 3UV en la planificaci6n de una aetividad, de modo que
esta resulte mas efectiva para cornprender el eoneepto de rela-
ci6n entre variables y, en particular, de relacion funcional. Esimportante destaear que 10 que aquf se pretende no es analizarla actividad utilizando el modelo, sino usar el modele para ha-
eer variaciones a la actividad, que permitan su mejor aprove-ehamiento en terrninos de los aspectos destacados en el Mo-
delo 3UV.
La actividad fue desarrollada dentro del proyecto EMAT(Enseiianza de las Matematicas con Tecnologfa) que prornueve
la Secretarta de Educaci6n PUblica en las escuelas secundariasoficiales del pais. El prop6sito de la actividad consiste en el U0
de tablas' de datos para obtener informacion aeerca del com-
portamiento de un fen6meno. En especial, se pretende que losalumnos: identifiquen la relacion funcional entre dos variables(Ft); identifiquen cuando un fen6meno se comporta en formalineal, es decir, reconozcan un tipo especifico y cornun de re-laci6n funcional (Fl , F2, F4); utilicen ciertas representaciones
de la funci6n lineal como representaciones del mismo objetomatematico, e identifiquen la estructura rnatematica comun adistintos fen6menos.
La actividad planteada (Moeh6n et al., 2000) es la siguiente:
103
iQue tienen en comtin el costo de un viaje en taxi y el
cocinado de un pavo?
En rnarematicas los fen6mcnos reales se clasifican de
acuerdo con cl tipo de modele maternatico que los describe.
En esta actividad veras que las dos siruaciones mencionadas
coinciden en su estructura maternatica,
Considera primero el viaje en taxi. Imagine que al subir, enel rnedidor aparece ya la cantidad de $5.00 y que esta aumenta
$1.50 par cada kilometre que eltaxi recorre,
(Culmto ha bra que pager en total si el recorrido es de 4 ki16-
metros?
Las operaciones que hiciste posiblemente fueron:
1 .5 * 4 + 5 = 11
Una Iormula general para hacer estos calculos es:
1.5 * (km recorridos) + 5=Cantidad que hay que pagar
Utiliza una hoja de calculo para obtener una tabla que re-
presente esta situacion. En la columna A coloca los kilometres
recorridos e incrernentalos de uno en uno ernpleando una f6r-
mula, En la columna B calcula la cantidad que bay que pagar
con la f6rmula general.
A B C
1 Kil6metros Cantidad que Cantidad querecorridos hay que pagar hay que pagar (2)
2 0 5
3 1 6.5
4 2 8~-~
lCuanlo hay que pagar por un recorrido de 15 ki16metros?
En otra ciudad se cobra s610 $1.00 POI'el banderazo, pero
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Ia para esta ciudad. Campara los resultados para averiguar que
ciudad brinda el servicio mas barato.
Ocupate ahora de cocinar el pavo.
En un Iibro de cod na aparece la siguiente sugerencla:
Envuelva el pavo en papeJ de aluminio; por cada kilogra-
rna de peso, hornee elpavo 15minutos y SUIDe a esto 90 minu-
tos extra.
lCuanto tiempo de cocinado necesita un pavo de 8 kilo-
grarnos?
Las operaciones que posiblemente hiciste fueron:
15 * 8 + 90 =21 0
Una formula para hacer estos calculos es:
IS * (kg de peso) + 90 -;= minutes de cocinado
Usemos OITa hoja de caleulo para obtener una tabla que
represente esta siLuaci6n. En Ja columna A anota los kilogra-mas de peso. En las columnas Bye calcula los tiempo de
cocinado.
A B C
1 Kilogramos Minutes de Horas de
de peso cocci6n cocci6n
2 0 105 1.75
3 1 120 2
4 2 135 2.25~
lCuanto tiempo se requiere para cocinar un pavo de 6.5
kilogramos?
Si observas las dos formulas, la del taxi y la del pave, nota-
rfu; que sao muy similares, Ambas pueden expresarse aS1:
a*.x+b:=y
o bien
y=a*x+b
donde a y b son rurmero constantes y las variables estan
10 5
Apartir de la pregunta "(Que tienen en comun el costa de un
viaje en taxi y el eoeinado de un pavo?", la aetividad motiva a los
estudiantes a usar rnodelos rnatematicos y a emplear la herra-
mienta computacional, con la intencion de encontrar la estruc-
tura maternatica que haee similares a estos dos problemas.
La actividad pide a los estudiantes que inicien eon el viaje
en taxi para el eual el banderazo cuesta $ 5.00, y el kilometre
recorrido, $ 1.50. Para contestar la primera pregunta y calcular
cuanto habra que pagar si se recorren 4 km, tienen que darse
cuenta, ante todo, de la correspondencia (Ft) que hay entre los
kilometres recorridos yel costo, e incorporar en el calculo el
costo del banderazo.
Luego se les indica cual es Ia regla general que rige la rela-
cion y se les pide que generen una tabla en la hoja electronics
de calculo. Para ello. los alurnnos deben reconoeer, en primer
termino, cuales elementos del problema cambian y cuales per-
maneeen constantes; es decir; deben reeonoeer las variables del
problema como numeros generales. (Gl)Finalmente, requieren identificar las variables enrelaei6n (F'l)
y, dado que e les pide que usen la hoja electr6nica de calculo
para elaborar una tabla, es necesario que diferencien la variable
independiente de la variable dependiente, y que generen, para
cada una, una columna de datos, can el fin de calcular el valor
de la variable dependiente CF2). AI solicitar a los alumnos que
introduzcan la formula general para generar los valores de lacolumna correspondiente ala cantidad que hay que pagar, tie-
nen que reconocer, a partir de la regla que se les dio, una regia
general (Gl) y expresarla (GS) en ellenguaje de la hoja electro-
nica de calculo [en la celda B2 escriben la expresi6n " , lS"A2+S,que en terminos matematicos significa: 1.5 x (el valor que apa-
rece en la celda Al) + 5].
Posteriorrnente, a traves de las preguntas pertinentes en una
discusion grupal, sera posib1e lograr, por ejempla, que los estu-
diantes enfoquen su atenci6n en aquello que pueden generali-
zar para datos que no estan en las tablas (GI, G2). Asf, podran
ir mas alia de la comprensi6n de la correspondencia entre las
variables para reconocer la variacion conjunta de ellas CF4). El
objetivo de esta reflexi6n es que los estucUante interpreten de
una manera mas general la relaci6n entre las variables y las ca-
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106 C ' ! P ' 6. U so ( f t · ((I " 0 1 0 ( ° 9 1 1 1 107
en esta actividad, que se refiere a la variaci6n lineal. el maestro
puede pedirles que resuelvan 10 .iguientes problemas:
a) ,Cminto habrta que pagar si se recorrio una distancia
mayor que las que aparecen en la tabla?
b) cQue datos no varian en tus respuestas?
c) Construye una grafica con los datos de la tabla.
d) cQue forma tiene?
e) iPor que es posible saber cuanto habrfa que pagar para
distintos reeorridos del taxi, si unicamente tenemos unos
cuantos datos?
f) ,De que depende el costo del recorrido?
la tabla. (Se aconseja pedir siempre a los estudiantes que jus-
tifiquen pOI'escrito la forma en que contestan las preguntas, y
discutir con elios de que manera proceden para identificar la re-
laci6n entre variables.) Tambien se puede comparar el costo de
un recorrido en las dos ciudades y ver S 1 se puede estableeer una
relaei6n entre eUos. Es conveniente plantear preguntas como:
"cEn que ciudad es mas caro viajar en taxi?" La idea de esta dis-
cusion es que los estudiantes se den cuenta de que la respuesta
ala pregunta depende de la distancia que se recorre y que no es
posible dar una respuesta general, dada la forma en la que las
variables estan relacionadas en cada uno de los casos.
Para sacar mayor provecho de la actividad se les puede su-gerir a los estudiantes que utilicen las graficas que construyeron
can los datos de Lastablas y que identifiquen en elias la posici6n
de la variable independiente, la posicion de la variable depen-
diente y c6mo podtian aprovechar las graficas para verificar las
conclusiones que encontraron en Ia discusi6n anterior.
Antes de pasar a las otras partes de la actividad se sugiere
pedir a los estudiantes que den alTOSejemplos similares, en los
que las variables esten relacionadas de manera que el valor de
una de elIas dependa del valor de la otra. Es recomendable ano-
tar esos ejemplos en el pizarron para poder aprovecharlos mas
adelante como tarea 0como parte de la misma aetividad.
AI terminar la actividad del viaje en taxi se puede continuar
con Iaparte correspondiente a Iacocd6n del pavo, siguiendo las
mismas estrategias que en el caso anterior.
En euanto se concluyan estas actividades, es posible introdu-
cir la idea de que estos diferentes fen6menos tienen una estruc-
tura comun, e invitar a los alumnos a que intent en generalizar
y escribir una formula que relaciona las variables. Cuando e
halle Ia relaci6n, ya sea dada por los alumnos 0propuesta por
el profesor despues de la discusi6n, es recomendable pedirle a
los alumnos que identifiquen el significado de las variables y las
constantes implicadas en la relacion, y que las relacionen con los
valores encontrados en las activtdades que realizaron con ante-
rioridad.
Despues de este proceso, puede introducirse la ecuaci6ny =
ax + b como una formula general que de cribe una relaci6n li-neal en la que los simbolos que se utilizan para los parametres
Si, al terminar esta parte, se les pide a los alurnnos que ex-
presen con sus propias palabras la forma en que encontraron las
respuestas a las preguntas anteriores, y que justifiquen su forma
de proceder, los estudiantes avanzaran en la direccion de una
futura simbohzaei6n de la relaci6n funcional. (F6)
La hoja eleetr6nica de calculo puede utilizarse tambien para
encontrar la representaci6n grafica de este tipo de relaci6n, e
identificar en ella el efecto de los valores constantes de la rela-
ci6n. La idea es conducir la discusion demanera que los alumnos
identifiquen que existe una relaci6n entre las variables: distancia
recorrida y costo del viaje en taxi. Asimismo, que identifiquen el
valor $ 5.00 como una cantidad fija 0 constante para cualquier
recorrido, y el valor $ 1.50 como la diferencia entre valores con-
secutivos de la tabla, para hallar asi la constante de proporciona-
lidad que interviene en el patron de esta situacion. (GI, Fl)
Una vez terminada esta etapa de identificaci6n, es posiblepasar a realizar una actividad similar en la que el viaje en taxiocurra en otra eiudad, donde el costo del viaje es diferente, con
el fin de favorecer la generalizaci6n del tipo de relacion encon-
trada. En este case, es conveniente pedirle a los estudiantes que
comparen las tablas del viaje en ambas ciudades, y que identifi-
quen que cambia y que permanece igual tanto en la tabla como
en Ia grafica. De esta forma, ]05 estudiantes interpretan la rela-
ci6n entre las variables y nuevamente reflexionan acerca de las
caractert ticas que haeen de esta relaci6n una funci6n lineal.
Para la nueva tabla. es posible repetir Ia lectura de los datos
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108 Ccp . 6. U s o . rf e fa r«l1ol~lJl(!
les pedira a los alumnos que encuentren las constantes y las va~
riables en cada uno de los casas particulares antes discutidos, y
que analicen elefecto de carnbiarlos en la grafica y en la tabla
asociadas a distintas situaciones relacionadas can los problemas
de la activi.dad. Por ejemplo, se puede preguntar que pasa siel
banderazo del taxi es mas cam a mas barato y que ocurre cuan-
do el precio por kilometre cambia. La mi.smo se hara para di-
ferentes recetas de cocina y para los problemas propuestos par
los alumnos.
De esta manera, se pretende que los alumnos interpreten y
den sentido a los parametres que aparecen en la relaci6n fun-
clonal. y que logren generalizar su significado. La actividad, que
puede tomar varias sesiones de clase, puede terminarse can una
discusi6n cuyo prop6sito sea insistir en que una cualidad de las
matematicas consiste en la posibilidad de representar de ma-
nera general el eomportamiento de fenomenos que parecen ser
muy diferentes entre sf, utilizando un mismo concepto materna-
Lieo(en este caso, la relacion para la variacion lineal).
ACTIVIDADES CON CALCULADORA
DE BOLSll.LO
NUmeros generales y patrones
La calculadora de bolsillo es una herramienta util para pro-
ducir listas 0sucesiones denumeros que presentan algun patron
de cornportarniento. Las sucesiones mas seneillas se producen
mediante la aclici6n de mimeros naturales. Por ejemplo, si sepide a los alumnos de primer grade que program en su calcula-
dora de la siguiente manera:
veran que se obtiene la sucesi6n:
5, 8, 11, 14,...
A partir de aquf se Ies puede pedir que encuentren algunos
Acrlv .laa&r WII c l 1 f m f a a o m Ir vofsi l lo 109
a) ,Que numero aparecera en la pantalla si pulsan una vez
mas la tecla ~ ?
b) GOuenumeros apareceran sucesivamente en Lapantalla si
pulsan varias veces la tecla ~ ?
c) Pulsen varias veces la tecla ~ para ver si se curnple
la predicd6n que han hecho.
Una vez que los alumnos eomprueban sus conjeturas en re-
lacion con este problema, conviene presentar otros similares
para que adquieran confianza en el reconocimiento de patrones
numericos:
·@~m~~~~·· ·• i j ] J m m ~ fJ ] a ; J J a ; n .
· m l E D ~ ~ a ; ) J fD [ [ ; D .
En un segundo memento, losalumnos deberan explicitar
verbalmente la regla a patr6n que permite continuar la suce-
sion, antes de introducirlos a la simbolizaei6n (G3). Se les pue-
de preguntar, por ejemplo:
d) lOUe relacion hay entre dos rerminos consecutivos de la
sucesion?
e) lC6mo se obtiene cualquier termino a partir del ante-
rior?
Esto tiene el fin de que expresen la forma de obtener el si-guiente termino a partir de uno dado. En forma esquernatica,
los alumnos podran escribir:
5 8 II 14...
VVV+3 + 3 +3
En este punto se podria incluso plantear el problema inverso:
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110
gramar la calculadora de modo que, al pulsar varias veces la tecla
~, aparezcan sucesivamente los terminos de dicha sucesi6n.
Finalmente, seles puede invitar a que simbolicen la regla que
sigue una sucesi6n (GS), para 10 cual deben encontrar terminos
muy avanzados de ella (por ejemplo, el termino que aparece en
ellugar 30 a en ellugar 50), a se Ies presentan situaciones mas
cornplejas, como la siguiente:
f) Si programas la calculadora can la suma ~~~~@J)~ ~ ~ fl) .'" ique numero debe aparecer despues de
pulsar 50 veces la tecla ~?
g) cY si, en vez de partir de 2, se inicia en 3, 4 05?
h) cY si se parte de cualquier numero?
En segundo grade sepodra seguir una secuencia de ensenan-
za similar, pero ahara can otras operaciones, como la resta, Par
ejemplo: si se programa la calculadora de la siguiente manera:
se obtendra la sucesi6n:
3, 1, -1, -3, ...
a) cQue nurneros apareceran si pulsas varias veces la tecla
~? (GI)
b) iQue relaci6n existe entre dos terminos consecutivos cua-
lesquiera de esta sucesi6n? (G3)
c) cC6mo se obtiene cualquier terrnino a partir del anterior?(G3)
d) iQue numero debe aparecer despues de pulsar 25veces la
tecla ~? (G5)
ACTIVIDADES CON
CALCULADORA GRAFICADORA
Las actividades que se proponen enseguida se han disefia-
do con base en la calculadora Tlc92 Plus, de la compaiiia Texas
Acrilrilaat's CO l i ca(w{n,{Qra g l ' l ! ! l md i " . 1 1 1 I t
arrollar la idea de correspondencia entre dos variables interde-
pendientes y la de variaci6n conjunta, as! como trabajar con in-
tervalos de variaci6n.
Aunque la calculadora graficadora es una herramienta que
facilita la resoluci6n y el analisis de problemas concretos, su
potencial didactico crece cuando se utiliza para desarrollar ha-
bilidades para el trabajo personal de los alumnos y su aptitud
para la indagaci6n, a partir de situaciones matematicas abiertas
desprovistas de todo contexto. En cuaJquiera de los dos casas, el
usa adecuado tanto de esta herramienta como del Modelo 3UVayuda a explicitar los aspectos que caracterizan a cada uno de
los usos de la variable.
Relaciones funcionales (situaciones
descritas con palabras Y expresiones
simbollcas)
Ernpezaremos nuestro trabajo planteando un problema maso menos real, para centrarnos luego en problemas sin contexto.
Una agencia de turismo cotiza el costa de un paseo par
Europa en $ 1000 par dia de paseo. Ademas, agrega $ 1500
par el seguro del paseante. cQue relaci6n hay entre el costo y
del paseo y el mimero x de dlas que dura el paseo?
Algunas preguntas que podriamos plantear son las siguientes:
a) iDe que depende el costo total del paseo? (Fl)
b) iCual es el costa por un paseo de lu dias? (F2)c) Si eJ paseo durara el doble de mas, ise duplicarta el cos-
ta? CF4)
d) Si el importe de una factura fue de $ 21500, icuantos dfas
dur6 el viaje? (F3)
e) Si y representa el costo del paseo, Y x, el numero de dfas
que dura el paseo, ,cual es Ia expresi6n que relaciona es-
tas variables? (F6)
Seguramente 1aUltima pregunta debe plantearse despues de
haber elaborado y analizado una tabla de valores de las varia-
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aspectos de las variables en relaci6n funcional que participan en
este problema.
Una vez que se ha encontrado 1a expresi6n imb6lica que
relaciona estas variables, conviene introducir el uso de la calcu-
ladora para abundar en el analisis de 1asituaci6n con base en el
Modelo 3UV. Para ello, tecleamos 1a expresion encontrada (que
en 1acalculadora se traduce como ~ 1 = 1 0 0 0 · x + 1 S O O ) y desplega-
mos una parte de su tabla de valores:
~~- . . . . . . . . . . ~ ..')Fl ~ F2 F2 F3 F4 F5
P O H T i. .~ T S e T U P [~!._ M x B - 1 0 + 1 P O H T X n l
X ! : I I i !9500
~. ... ..._
9. 10500 . ----____..T['" n50B~'-
1 1 . 12500. ..-12 1 3 S O D . . . ._ ..
1 3 . 1450'0',-
1 1 - 1 . 15500,
. . _ . . . ._ : .1 3 1 6 S Q O , .------~.
, 1 F l L " " " ! T F 2 ' ( F 2 ~ ~ ' - - - r~ 1 : FS 1 - - - - - - 1. . S E ! U f ' I(ELIL MX.B. 0+ 1 P a M j X n l P O H
X ! : I 1 ,_ .....- ---1 . 1 5 0 0 . . . . . - ..
1 1 . 18S00.
~ .. 1 9 5 0 0 . ...
~-"- ~!!~_Q_-. .. ..
20 21500. I!
22500r-
2 1 . J.....-_... ..
22 . 2 3 5 0 0 , I
11 3
Entre la diversidad de preguntas que pueden plantearse te-
niendo a la vista esta tabla de valores, se sugieren las siguientes:
f) i.Cual es el costo por un paseo de 8 elias? (F2)
g) (Para cuantos dtas de paseo alcanzan $ 15SOO?(F3)
11) i.El costa de un paseo por 8 d tas es el doble de otro por 4
elias? (F4)i) i.Por que al duplicar el valor de x no se duplica e1 de y?
i.C6mo tendria que ser la expresi6n simbolica de esta si-
tuaci6n para que esto sucediera? CF4)
j) Para el pago del paseo dispongo de m a s de $ 20000, pero
menos de $ 25000. i.Para cuantos eliasde paseo me alcan ..
za? (F5)
Relaciones funcionales
(tablas y expresiones simb6licas)
Hernos visto que el uso de 1a tecnologfa no 5610faciIita el
analisis de 1a situaci6n concreta en cuestion, sino tambien las
relaciones entre dos modos de representaci6n de las funciones:
la expresi6n simbolica y la tabla de valores. Las actividades que
se presentan enseguida tienen como fin que los alumnos explo-
ren estas relaciones y puedan interpretar ambos modos de re-
presen taci6n.
Actividad 1
Tomaremos como punto de partida la expresi6n algebraica
y =x para explorar de que manera se modifica la tabla de valores
al transformar esta expresi6n.
a. ) c:C6mo sera Ia tabla de valores que corresponde a esta
expresi6n? (Ft)
b) i.Oue relacion hay entre los valores dex y y? (F'l)
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1 1 4
F1~~F'i Y FS JF6 r - '..~~..L_f __ J.~!_~ ~_!':II!_-~-_j---
. . .. F L I J ' ! " 5-.ly1.)[_
' J2 ~!:d·y l . . ! "ys·! lE i •.".
' : I B ~ss -ylO~
,,. .----. .-f----.-.
~ -- . . . ~ . . - - _ f. : . . _ . .. - . - ~ - . . . . _ . . - - . f-------..... ._--.._...._ ~ ......
3. 3.
0 4 , '1 - I I I~ - - - - + - ~ - - - + - I. ~!I_ - - - - - - - - ' - ~ - - l = ~ " -l6 . J 6. I I
1 1 i
Conestas imageries a la vista se pueden plantear las siguien-tes preguntas (en apariencia, muy simples):
c) iPor que la tabla muestra valores iguales para la x y la y?
eFt)d) iC6mo serfa la tabla de valores de la expresion y ::0 x-I?
(Fl)
e) i.Y c6mo seria Lade la expresion y = x + I? (F 1)
Con objeto de que los alumnos validen a corrijan sus afirma-ciones, tecleamos estas expresiones (en la calculadora, ~2 = X -1 y' ; 1 3 = X + 1 ) y tendremos:
11 5
r~-Y"L L I S T ' : I L E P C H .L _
1 . Il O . 2.2 _ ' 1 2 1 1 3 _
.3 . 1 3 . 2. "_ ~ ,-",,,_ _ _ _4. I Y . 3 . S.
5 , I S , ' { 6 .
+ . - - . .+ ~ ~- - - - - -'- . I--,~~~-~+--~-L--~,
Planteamos ahora el problema inverso: partimos de la tabla
y preguntamos sabre L a expresion simb6lica. Para ella, anota-
mas en el pizarr6n la siguiente tabla:
x y
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
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116
Enseguida preguntamos, si continuamos la tabla de valores:
a) c:Que valor tendra y cuandox = lO? (Ft)b) ,Que valor tendra x cuando y = lO? (F2)c) ,Que expresi6n simb6lica corresponde a esta tabla de va-
lores? (F6)
Para validar 0 corregir las afirmaciones de los alumnos, te-cleamos las expresiones algebraicas que propongan.
Conviene presentar a los estudiantes diversos ejemplos de
tablas de valores y pedirles que den las expresiones simb6licascorrespondientes, can objeto de que desarrollen sus habilidades
de simbolizaci6n.
Relaciones funcionales
(graficas y expresiones simbolicas)
Actividad 3
Nuevamente tomaremos como punto de partida la expresi6nalgebraica y =x para explorar ahara de que manera se modificala grafica al transformar esta expresion, Tecleamos esta expre-si6n (~1= x) y obtenernos su grafica:
• Puns.1 \lh xY2~.y 3 . . .\ 1 '- 1 ~! : IS"\ 1 6 :':Il~! : l B ~' :190
! : I lO~
117
Preguntamos: segun Ia grafica de y = x:
a) ,Curues son los valores de y cuando 10 de x son 1,2, 3 Y4? (F2)
b) ,Por que los puntos de Ia recta Y =x estan ala misma dis-tancia de los dos ejes? (Ft)
Tecleamos ahora las funciones ':12= 2 x y ':13= Y x para obtenersus graficas:
• P lOTS.,I y l ~ xvy2= 2 x,! \ l3~Y)(
Y"4=
\ : I S ~! : I f , c :
' : 1 1 "
! :I 8 "' : 1 9 ·
' :110:
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11 8
Y preguntamos: segun Ia grafica de y = 2x:
c) iCuales son los vaIores de y cuando los de x son I, 2, 3 y
4? (F2)
d) i.Por q u e la recta y = 2 x esta mas cercana aI eje y que la
recta y :=x? (Ef )
e) iPor que la recta y = 4x esta mas cercana al eje y que larecta y = 2x? (Ft)
f) Imagina 1arecta de la expresi6n y = 3x. lEstan'i entre las
dos rectas anteriores 0fuera de ellas? (Fl)
Para que los alumnos validen 0 corrijan sus conjeturas, se
teclea la funci6ny = 3x (en 1acalculadora, ~y = 3x), se obtiene su
grafica y se observa su ubicaci6n con respecto de las de y = 2x y
y = 4x:
. .. P ~O T S
"!lI="1j2~2~"':13 -y)(
! I "! . .h':IS".! - 1 6 k' : 1 1 -
' : 1 8 "' : 1 9 "~iO•
119
g) Imagina la recta de la expre i6n y = O . S x . cCuales seran
los valores de y cuando los de x son 1,2,3 Y4? (F'l )
11 ) ,D6nde estara esta recta con respecto de y =x? (Fl)
Para que los alumnos validen 0 corrijan sus conjeturas, se
teclea la expresi6n y = O.5x (en la calculadora, ~5 = O . 5 x ) y se ob-
tienesu grafica:
A partir del analisis de estas graficas, los alumnos podran
reconocer la relacion entre la inclinacion (0 pendiente) de las
rectas y los valores de m en la expresion y = mx, Un proceso
similar puede seguirse al dar a m valores negatives. Del mismo
modo se puede proceder para lograr que los alumnos recorioz-
can la relaci6n entre los valores (positivos y negativos) de b y la
posicion de las rectas y =mx + b.
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120
ACTnnDADES CON LOGO
Logo es un lenguaje de programaci6n muy completo que per-
mite escribir programas may complejos, Sin embargo, la Geo-
metria de laTortuga (que es la parte grafica de Logo y su aspecto
m a s conocido) constituye, par 10 general, Ia puerta de entrada
a este lenguaje de programaci6n. AI trabajar con la Tortuga, 105alumnos no 5610descubren la Geornetria de la Tortuga, sino que
pueden acercarse a ideas algebraicas fundamentales.
Araiz de un trabajo experimental desarrollado can alumnos
utilizando ellenguaje de programacion Logo (Ursini. 1994), pu-
dimas constatar que este entorno de aprendizaje favorece los
procesos de conceptualizacion y uso del algebra. Logo permite
disefiar actividades que llevan al alumno a entrar en contacto
con los diferentes usos de la variable (incognita, variable funclo-nal, numero general) y sus aspectos.
Encontramos que, usando como soporte 1aexperiencia y el
conocimienro nurnericos que los estudiante poseen a 1 iniciode la secundaria, se les puede conducir gradualrnente hacia un
pensamiento mas general y abstracto, propio del algebra. Los
resultados obtenidos mostraron que, al trabajar con Logo, los
estudiantes de 12 a 13 anos de edad sin experiencia algebraica
previa pueden:
• Desarrollar la capacidad para reconocer patrones.
• Desarrollar una concepcion de la variable como numero
general, al tiempo que son capace de escribir expresiones
abiertas y operar sin necesidad de conocer su valor.
• Trabajar tanto can la idea de correspondencia entre dosvariables interdepenclientes, como can la idea de varia-
ci6n; adernas, son capaces de trabajar con intervalos y con
la idea de maximo y minima.
~ Concebir la variable como incognita espec1fica y determi-
nar su valor.
A continuaci6n e presentan algunas actividades que ilus-
tran como se puede usar Logo para trabajar ideas algebraicas
con 10 alumnos. (Para mas actividades, vease Ursini y Rojano,
121
Reconocimiento de patrones
Para dibujar un cuadrado cuyos lados miden 30 en Logo, se
puede escribir un program a como el que presentarnos a conti-
nuaci6n. Observese que en este program a se e cribe cuatro ve-
ces el mismo bloque de instrucciones.
P A R R C U R D R A D O
R!.J30}G O g O
A I) 30 }G O g O
~~~gI ) 3 0
G D g O
F IN
Cuando en un programa hay bloques de instrucciones que se
repiten, Logo permite escribir el program a en forma mas com-
pacta. Paraello se usa 1aprimitiva R E P I T E . As!, eI programa ante-
rior se puede escribir:
P A R R C U R D R A D D
R E P I T E Y [R ! ) 3 0 G O 1 3m
F I N
Cada vez que en una figura encontramos un patron basicoque se repite, podemos usar la primitiva R E P I T E para reproducir-
10 en la pantalla. Por ejernplo, trate de usar la primitiva R E P I T E
para escribir los programas que dibujan en pantalla los siguien-tes patrones:
a)
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122
Por 10 general, los alumnos no tienen dificu1tad para darse
cuenta de que hay algo que se repite sisternaticamente en ~n
dibujo (GI). Tampoco tienen problema alguno para reproducir-
10 con lapiz y papel, Las clificultades surgen cuando se trata de
expresarlo en Logo, dado que esto implica identificar cual es el
bloque exacto de instrucciones que hay que repetir (G3) y usar
la sintaxis correct a de este lenguaje.AI trabajar con actividades de este tipo, se ha observado que
los alumnos recurren al uso combinado de varias represents-
clones durante el proceso que siguen para identificar el bloquede instrucciones que se repite. Ast, por ejemplo, una estrategia
invent ada por elias (y que suele darles buenos resultados) es la
siguiente:
1. Primero dibujan la figura dada en modo directo, con 10
que logran reproducir el patr6n (Gl) y toman nota de los
comandos tecleados.2. Limpian la pantalla y vuelven a teclear los comandos que
registraron en papel y, al mismo tiempo, allado de cada
eomando registrado en el pape1, trazan el dibujo que enese momento aparece en la pantalia. Esto les ayuda a dar-
se cuenta del momento en que ernpieza a repetirse el pa-
tron y deducir asi el metodo. (G3)
Observese este procedirniento en el registro que se presenta
a continuacion, que fue realizado por una pareja de nifias de pri-mere de secundaria, cuando trabajaron con 1aversion de Logo
en ingles.
123
Para poder identificar el patron (G3), las alumnas fueron es-
tableciendo una correspondencia entre cada trazo y el comandocorrespondiente. Asf,una vez identificado el patron en eI dibuja,
tenian automaticamente identificado el bloque de comandos que
le correspondia. Notese como en su busqueda de la expresi6n
formal de la regularidad encerraron en un circulo los comandos
que, segun elias, producen el patron que se va repitiendo.Una vez identificado el bloque de instrucciones que hay que
repetir, el paso siguiente es escribir un program a usando 1a pri-
mitiva R E P I T E ; esto es, expresar e l patr6n en lenguaje Logo ( G S ) .
AI ejecutar el programa, se verifica si el bloque de instrucciones
identificado realmente representa el patron que se repite. A par-
tir del registro de las alumnas, vemos que no fue facil para ellasidentificar el patron; tuvieron que combinar la representaci6n
pictorica con ellenguaje Logo para identificarlo y expresarlo de
manera formal.
Lo anterior no pretende ser una sugerencia de ensenanza:
mas bien es una invitaci6n a dejar que los alumnos inventen sus
propias estrategias. El papel del profesor eonsiste en observar
las estrategias, discutirlas de rnanera individual 0grupal y, si esnecesario, ayudar a corregirlas.
Trabajo COD numeros generales
Generalizar y trabajar can generalizaciones es una caracte-ristica de las matematicas, y ellenguaje algebraico es elmedio a
traves del eual se expresa matematicamente una generalizaci6n.Can Logo es facil crear ambientes que propicien en el alumno 1anecesidad de generalizar y expresar una generalizacion, incJuso
antes de introducir ellenguaje algebraico. Experiencias de este
tipo pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar una mejorcomprension del algebra.
El prograrna C U R D R R D O visto arriba dibujaba un cuadrado delado 30. Si queremos clibujar un cuadrado de lado 100, podemosescribir el programa siguiente:
P R R R C U A D R R D O
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124 C c p , 6. U ,O ,ft (II tc tl lo[og!a
iD6nde esta la diferencia entre este program a y el que dibu-
[aba un cuadrado de lado 3D?S1e llector analiza el metodo que se us6 para resolver estos
dos casas particulares, pero sirnilares, observara que se sigui6larnisma regla a metodo, leual fue 1a regla 0rnetodo que emplea-
mas? Para deducirlo,es necesario reconocer ante todo que los
problemas son similaresy,en consecuencia, identificar cualesson sus aspectos comunes y clistinguirlos de los aspectos que
cambian. En nuestro ejemplo, la unica diferencia entre los dos
programas es el tamafio dellado del cuadrado: una vez es 30,
otra vez es 100; es decir, 10 que varia es el tamafio dellado; todo
1 0 demas perrnaneee igual.En Logo, un metoda general se expresa par media de un
programa general, en el eual 1 0 que varia se exp:es~ medianteun numero general Un programa general para dibujar un cua-
drado de cualquier tamano es el siguiente:
P A R A C U A D R A D O : XR E P I T E Y [ A I ) : X G O 9 0 ]
F IN
Si se les pide a los alumnos, par ejemplo, que escriban pro-
gramas generales para dibujar poligonos regulares de distintos
tamafios, tendran que seguir un analisis similar al que acaba-
mos de ilustrar; esto es, deberan reeonoeer que hay una regla a
metodo para dibujar un pohgono detenninado, que es indepen-
diente de su tamafio (GO. Tendran que deducir la regla 0meto-
do empleado (G3). Deberan simbolizar la regla (GS) escribiendo
un programa general, en el que asignaran un simbolo al numerogeneral.
Por otro lado, si se le pide al alwnno que escriba un pro-
grama general que dibuje, por ejemplo. la letra "E" de distintos
tamafios, usando una sola variable, sera neeesario ademas que
el opere can el numero general. (G4)
9
125
Paso del numero general a
Ia incognita especifica
Si bien el uso de las variables en Logo esta fntimamente Iiga-
do a la escritura de program as generales, escribir un programa
general no suele ser el objetivo final de una actividad. Mas bien,
es un paso intermedio de un proceso cuyo objetivo es obtenerun resultado visible en la pantalla, Una vez escrito el programa
general, se ejecuta asignando un valor especffico a la variable
involucrada. En este proeeso, la variable se desprende de su ca-
racter de numero general y asume un valor especffico, Esto im-
plica pasar de interpretar la variable como un mimero general,
indetenninado, a interpretarla como representante de un valor
particular. En Logo se puede usar este hecho para trabajar con
la idea de inc6gnita.
Dependiendo de los valores que le asignamos a la variable, al
ejecutar un program a general se puede obtener la misma f igu-
ra, pero de distinto tamaiio. Conocer cual es el valor que tengoque asignar a la variable para obtener una figura de eierto ta-
mano puede ser rnuy uti! cuando, por ejemplo, quiero obtener
una cornposicion annoniosa de distintas figuras en la pantalla
de la computadora. Por ejernplo, el siguiente programa dibuja
un "pino", cuyas dimensiones aparecen sefialadas en la Iigura,
lQue valores hay que asignarle a la variable : X para que el pino
mida, en total, 122,2150 186?
P R R A P IN D :X
8 T 8 P C E N T R O O T
R l. ! : X G O 9 0R U Y O G I 1 8 0
R I ) S O G O 1 3 5
R I ) R C 3 2 0 0 G O 9 0
R I ) R C 3 2 0 0 G O 2 2 5
E S C R I S E [ E L P IN D r U D E ]
P D N [U R S O R u y m
E S C R IS E : X + Y O
F I N
40
L____ __ -, ---" __ • _
·X
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126
x + 40 = = 122 x + 40;= 215 x + 40 = 186
Los valores que se obtienen para la x al resolver estas ecua-
ciones son 10 que se usaran para ejecutar el program a y as}
obtener los tres "pinos" del tamai'io deseado. Para lograrlo, el
alumna tieoe que:
• Reconocer que en la situaci6n plante ada hay un valor des-
conocido. (H)• Interpretar el simbolo que aparece en el programa como la
representaci6n de un valor especifico que se puede deter-
minar. (12)• Piantear las ecuaciones de hecho 0mentalmente. (15)
• Deterrninar la cantidad desconocida. (14)
• Ejecutar el programa con el valor que cumple con los re-
querimientos del problema. (13)
Las ecuaciones involucradas en este problema son del tipox + a = h. Dependiendo de los alumnos con los que se este tra-
bajando, pueden disefiarse siruaciones que impliquen resolver
ecuaciones de distiota complejidad. Porejemplo, al trabajar con
aluronos prealgebraicas, se puede empezar can ecuaciones sen-
cillas, de los tipos x + a = b yax = b. Mas adeLante se puede tra-bajar con ecuaciones del tipo ax + b = = e. Finalmente se pueden
usar ecuaciones del tipo ax + bx + ex = d, cuya soluci6n implica
la manipulaci6n de la variable.
Algo de relaciones funcionales
Los programas generales de Logo son funciones. A I asignar-
le un valor a Ia variable, obtenemo cierto resultado grafico 0
numerico. Esta caracterfstica de Logo favorece el trabajo con las
ideas de correspondencia y variaci6n, fundamentales para acer-
car a los alumnos a la idea de relaci6n funcional.
Consideremos el siguiente programa, que dibuja un triangu-
10 de cualquier tamaiio:
127
( E S C R IB E [T R nR NO D E L L R D 0 1 J{ + IS ]
F IN
Si queremos que ellado del triangulo este entre 50 y 200,
,que valores puedo dade a :X ? Para contestar esta pregunta, e
necesario dru-secuenta de que existe una relacion de correspon-
denc ia entre el valor que se asigna a :X al ejecutar el programa y
el tarnafio que tiene ellado del triangulo. (Fl)
Se puede pedir al alumno que ejeeute el programa con dis-
tintos valores y que elabore una tabla relacionandolos COll el
tamafio dellado (F2). AI analizar la tabla, puede tratar de identi-
ficar los valores que corresponden a los tamafios 50 y 200. (F3)
Si la tabla se llen6 de manera sistematica, aumentando 0dts-
minuyendo los valores con los que se ejecut6 el programa, el
alumno no tendra mayores di.fi.cultadesen determinar el inter-
valo (FS) de valores para los cuales se obtiene un triangulo cuyo
lade es mayor que 50pero menor que 200. Esto, sin embargo, les
puede resultar diftcil si no tienen una labla de datos ordenada.
En lugar de usar la expresi6n x + 15, u otra que irnplica un
crecimiento lineal, pueden usarse distintas expresiones que den
como resultado una relaci6n funcional mas compleja; por ejem-
plo, una funci6n decreciente (como 150 - x), 0 que tenga un
maximo (como 200 _x2) 0un minimo (x2 + 12), En estos caso ,
dependiendo de la funci6n utilizada, se aconseja sugerir a los
alumnos los rangos de valores con los que conviene que haga
sus busquedas.
El alumna no tiene por que tener acceso necesariamente a la
estructura del programa; en estos ca os mas complejos es sufi-
ciente que pueda ejecutarlo y observar los resultados que obtiene.Su faeo de atenci6n puede centrarse en los resultados obtenidosy a1 analizarlos puede tratar de ubicar, por ejemplo, cuando el
lado del triangulo alcanzara su valor maximo, cuando el minima
y en que interval os ellado estara entre ciertos valores dados.
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,IUQTHPH1L-~ -,7.fJ
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jnl
i&J,
;4~.l~
: Y
EI Modelo 3UVenel diseno
de instrumentosde diagnostico
IMPORTANCIA DE LA EVALUACION
Y DEL DIAGNOSTICO
Una actividad importante en una clase de maternaticas es Iaevaluaci6n del conocimiento de los estudiantes. Esto suele lle-varse a cabo par media de examenes y de la participaci6n de los
estudiantes en las actividades dentro del aula. Generalmente, en
Iosexamenes se utilizan preguntas muy parecidas a las que se
ctiscuten y se resuelven en la clase. Sin embargo, las actividades
de evaluaci6n pueden constituir oportunidades para conocer
can mayor profundidad los conocimientos de cada uno de los
alumnos del grupo y las caractertsticas de este como un todo.
Tal conocimiento resulta muy util cuando se torna como punto
de partida para disefiar estrategias que permiten ayudar a cada
persona a al grupo a avanzar, y como base de comparad6n en
futuras evaluaciones.El aprendizaje esta en constante evoluci6n y las actividades
dediagn6stico deben seguir ese cambia continuo. Por ella, esne-
cesario tamar una postura dinamica can respecto al diagn6sticoy a Ia evaluacion. En este capitulo nos interesa mostrar como el
Modelo 3UVpuede ser una herramienta muy util en el diseno de
instrumentos de diagn6stico y evaluacion, y en el analisis de los
resultados que se obtienen de su aplicacion.
La elecci6n de las preguntas de evaluaci6n es un asunto cen-
tral; no cualquier pregunta es adecuada para obtener informa-
cion valiosa y pertinente, El disefio de cada una de las cornpo-
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130 C ' ! P . 7.E{M o d e r . . l JUV
nentes de un instrumento seve beneficiado si se hace un analisis
previo del concepto 0 conceptos que se desea abordar y de la
forma en la que deben abordarse. El Modelo 3UV proporciona
una base teorica, fundamentada en la investigacion educativa,
que sirve de guia tanto en el desarrollo de instrumentos de eva-
luaci6n y diagn6stico, como en el analisis de las respuestas que
dan los estudiantes.
USO DE LOS ELEMENTOS DELMODELO 3UV EN EL DISENODE CUESTIONARIOS yEXAMENES
iC6mo podemos usar elModelo 3UV en el diseno de pregun-
tas que nos permitan conocer alga mas de nuestros alumnos y
evaluarlos mejor? k~p'ect u caracterizan.cada uno de los
'es usos c a variable que se esg osan en el mouelo, pued:en
usarse como punto e partida en el diseno de las preguntas deun examen, para delimitar con precision la forma en 1aque los
estudiantes entienden el c l.cepto de ~arja~.
Lo tre uso taria. e 1e extern
nados entr€ S1. En a mayoria e 0 pro emas aparecen OU-
juntamente, aunque con diferentes grados de importancia. Por
ella, en el disefio de las preguntas de examen debe decidirse que
tipo de informacion se busca. Mostraremos aquf el disefio de
dos cuestionarios de evaluacion, Uno de elios busca conocer
a.manerz la...c}ue_losstudiantes jIlt€) pet e-l 0RGe'Riode
varia - . Con tal motivo se 1.enaron preguntas que permitari
dilerenciar, 10 m a s claramente posible, entre los distintos usosen los que el concepto se presenta de acuerdo con el modelo; es
decir, preguntas en las que el enfasis en uno de los usos se per-
ciba con claridad. El otro cuestionario se diserio para analizar
1aflexibilidad con 1aque los estudiantes manejan el concepto de
variable, a traves de problemas mas complejos, en los que es ne-
cesario pasar entre los distintos usos que se hace de la variable
en el algebra elemental.
131
Diseiio de preguntas para medir
Ia comprensi6n del concepto
de variable
Los resultados obtenidos en varias investigaciones (Lopez,
1996; Ursini y Trigueros, 1997; Ursini, Trigueros y Lozano, 2000;
(Juarez, 2002); Ursini y Trigueros. 2004;) nos permiten afirmar
que el M deJo 3UV ha robado ser uti! como henamienta de
diagnosticif
15 apnmera forma de acercarse al estudio de la comprensi6n
del concepto de variable par parte de los estudiantes requiere un
analisis del grado en que estos han cornprendido los distintos
aspectos que componen cada uno de los usos de la variable. Ilus-
tramos a continuaci6n el diseno de un cuestionario basado en
elModelo 3UV. EI cuestionario consta de 10 preguntas. Deelias,
tres se refieren aluso de 1av~able c rna inca ita, tres al usa
de 1a v~~hL c.om numero g_e~raI y tres al usa de variables
en relacion ClOnal. e agrego, ademas, una pregun a que seJ,"efiere a la inter retacion de una relaci6n funcional presentada
en forma grafica.
El cuestionario se utilize para la evaluacion diagnostica deun
grupo de estudian tes de tercer grado de secundaria. Cada una de
las preguntas que 10 constituyen se analiza con base en la inter-
pretacion, manipulacion y simbolizaci6n de los distintos usos de
lavariable. Es import ante enfatizar que las preguntas se eligieron
de manera que claramente pongan en relieve cada uno de los ele-
mentos del modelo, con el fin de poder diagnosticar los proble-
mas especificos que los alumnos tienen con cada uno de elios.
Cuestionario I
1. iCuantos valores puede tomar 1aletra x en 1a expresion 4 +
x2 = x(x + I)?
2. Dada la expresion y =X2, si queremos que los valores de y es-
ten entre 256 y 10 000, ,entre que valores debe estar x?
3. iCuantos valores puede tomar 1aletra en 1aexpresi6n x + 2 = =
2 +x?
4. Dada la siguiente grafica, ,entre que valores de x crecen los
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32
y
x
5. En 1a expresion 40 - 15x - 3y = 17 y - 5x, (que valor de y
corresponde a x = 16?6. Escribe los valores que puede tornar la letra en Iaexpresi6n
(x + 3) 2 = 36.7. El area de 1asiguiente figura es 27 ern". (Cual es el area del
cuadrado de lade b, si la base del rectangulo de 1aderecha
mide 3 cm?
b
b 3
8. Escribe una expresi6n que signifique: "Un numero desco-
nocido dividido entre 5 y el resultado sumado a 7."9. Reduce la siguiente expresi6n a una equivalente: (Xl + 1) (x2
- 2);
[0. En el puesto de manzanas de don Panchito, la charola de
la bascula se desplaza 4 centimetres por cada kilograrno
d e manzanas. Encuentra y simboliza la relacion entre el
peso de las manzanas y Ja distancia que se desplaza la cha-
rola.
l33
AJUiIisisde las preguntas delcuestionario I utilizando el Modelo 3UV
Pregunia A 1' 1 d l is i s
1- iCuantos valores puede tomar N6tese que Ia pregunta
1aletra x en la expresi6n no requiere la soluci6n
4 +x'- =x(x + I)? de la ecuacion, pew si suanalisis, Los estudiantes
suelen con iderar que
una ecuacion en 1aque la
variable aparece al cuadrado,
tiene automaticamente dos
soluciones. (U)Un analisis
simple pero euidadoso de la
expresion hace notar que la
ecuacion tiene unicamente
una soluclon, Pero para
ella es necesario manipular
la variable de hecho 0
mentalrnente. (G4)
2. Dada la expresion y = x2, si Se planiea la necesidad de
queremos que los valores de interpretar a la variable eny esten entre 256 y 10000, Llna relacion [unc i ona l , a
(entre que valores debe estar partir de la informacion dada
x? analiticamente. Su resolucion
requiere que los estudiantes
entiendan la variacion
conjunta de las variables
en un intervale, a partir dela relacion dada. Para ello,
deben bu car el Intervale
de variacion de la variable
independiente, cuando el
intervale de variacion de
lavariable dependiente es
conocido. (FI, FS)
3 . iCuantos valores puede tornar Esta pregunta pretende
la letra en la expresi6n x + 2 = acercarse a L a po ibilidad de2 +x? que los alumnos diferencien
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13 4
(Continuacion )
Pregunia Andlisis
4. Dada la siguiente grafica,
(entre que valores de x crecen
los valores de y?
y
2~-22-
20-IS-16-I~-
12-10-8-
6-
4-2-
l I - 2 " - = +- I I
-~ -2 2 4
expresion tauiologica, en la
que el papel que desempena la
literal es el de variable comonumero general. (G2)
If.
En esta pregunta, 10 relevante
es la posibilidad de interpretar
la variable en una relacion
[uncional, a partir de la
.informacion dada en una
grafica. Se trata de indagar
si los estudiantes entienden
la variaci6n conjunta de las
variables en un intervale, Para
elJodeben busear el intervale
de variaci6n de Ia variable
independiente, cuando el de
la variable dependiente es
conocido, (Fl, F5)
5. En la expresi6n 40 - 15x - 3)'
= J 7y - 5x, ,que valor de y
corresponde a x = 16?
6. Escribe los valores que puede
tamar laIetra en Ia expresion
(x + 3)2 '"36.
La expresi6n que se presenta
aqui corresponde a una
relacion funcional. Adernas
de interpretar la variable
en una relacion [uncional
representada en forma
analltica, los aJumnos deben
ser capaces de sustituirel vaJor
dado, con 10 que la expresion
se convierte en una ecuaci6n
que es necesario manipular
mediante transposicion y
agrupaci6n de terminos
para cneontrar eI valor de la
incognita. (Il, F2)
En esta pregunta se requiere
saber interpretar Ia variable
como incognita
7. El area de la siguiente figura
es 27 cruz. (Cual es el area del
cuadrado de lado b, si la base
del rectangulo de la derecha
rnide 3 em?
b 3
8. Eseribe una expresi6n que
signifique: "Un rnimero
desconocido dividido entre 5
y el resultado surnado a 7."
9. Reduce la siguiente expresi6n
a una equivalente: (x2 + t) (Xl
- 2) ::
10. En el puesto de manzanas de
don Panchito, la charola de la
ba s cuI a se desplaza
13 5
(It) Ymanipularla (14) en
una expresion euadratica.
La eeuaci6n es simple, de
manera que eJ valor de la
incognita puede encontrarse
sin necesidad de rnanipular:
sin embargo. al evitar la
manipulaci6n, explieita 0
mental. los estudiantes olvidan
la posibilidad de obtener
x :: -3como solucion.
Esta pregunta requiere
interpretar lavariable dada
como un numero general
(G2) y manipularla (G4) para
establecer la ecuaci6n. (15)
Reconoeer cual es la incogni ta
del problema (11) ycaJcular su
valor. (14)
Can esta pregunta se hace
enfasis en Ia simbolizaci6n
de la variable como numerogeneral. Parte de su dificultad
radica en que lavariable debe
aparecer en una fraccion. (IS)
Para responder esta pregunta
se requiere saber manipular
la variable como UI1 numero
general en una expre ion en la
que la variable aparece elevada
al cuadrado. (G4)
Aqui se requiere sirnbolizar
la var iable en Wla relacion
[uncional, a partir de los datos
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136
tContinuacicn.)
Pregun ta Andlisis
4 cent imetros por cada contenidos en un problema
kilogramo de manzanas, planteado en lenguaje natural
Encuentra y sirnboliza la yen el que el sfmbolo no esta
relaci6n entre e1peso de las dado. Adernas, es necesario
manzanas y la distan cia que rnanipular la expresi6n
se desplaza la charola. propuesta para encontrar
el valor de 1avariable
dependiente, cuando se da el
de 1avariable independiente.
(F3, F6, 11)
Como puede verse, las 10 preguntas anteriores cubren varies
de los elementos de la descomposici6n del concepto de variable
que se incluyen en el Modelo 3UV Las preguntas son simples.
no requieren muchas operaciones ni elplanteamiento deproble-
mas complejos. Estas preguntas son pertinentes para analizarde forma difereneiada emil 0cuales de los aspectos del eoneep-
to de variable son comprendidos por los alumnos y en emil 0
cuales presentan dificultades.
Diseiio de preguntas para medir
la flexibilidad para pasar entre
los distintos usos de la variable
Otra manera de acercarse al estudio de la comprension que
tienen los estudiantes del concepto de variable es su capacidad
para resolver problemas cuya soIuci6n demanda pasar, de rna-
nera flexible, de un aspecto de la variable a otro. Tomando como
base el Modelo 3UY,se disefi6 un cuestionario con este proposi-
to. El.cuestionario consta de seis problemas.
Cuestionario II1. lPara que valores de x el area del siguiente rectangulo varia
entre 168 y 288? Si el valor de x aurnenta 0 decrece, (que
pasa can el area?
137
12
2. Dada la ecuaci6n de 1arectay = 2 .x + 1, i.es"illnlos puntos (3,
7) y (2, 8) en la recta? El valor de y de un punta de esa recta
es _ _ ± _ . i.Cual es el correspondiente de x?3
3. Sabemos que x + y =: lOy, adernas, que xy =7. Halla los valo-
res de x y de y.
4. Un horte1ano vende el kilogramo de tomate a $ 12.00 Yle
cuesta $ 240.00 reeoger la cosecha. Halla una relaci6n entre
10 que gana el hartelano y el numero de kilogramos de to-
mate que vende. (Cumtos kilogramos tiene que vender para
ganar $ 4500.00?
5. Resuelve graficamente la ecuacion Xl - 5x + 7 = O.6. Los datos de L a tabla representan elprecio al que se venden
los jugos en el puesto del mercado.
C antidad de Pr e c io env as os (x ) p e s o s (y)
1 2
1.5 3
2 4
2.55
3 6
3.5 7
4 8
4.5 9~
• Encuentra la grafica que describe la relaci6n entre la can-
tidad de juga que compras y el precio.
• Describe con tus propias paJabras que pasa con el precio
cuando compras mas jugo.
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13 8 c~, 7. E(Mm{do 311V
• ,Cuanto costarta cornprar 2 ! vasos de jugo?
• Escribe una ecuacion que represente cuanto tienes que pa-
gar depencliendo del numero de vasos dejugo que compres.
• c . Cuanto tendrfas que pagar par nueve vasos de juga?
Aruilisis de las preguntas delcuestionario IIutilizando
el Modelo 3UV
Andlisisregunta
1. (Para que valores de
x el area del siguiente
rectangulo varia
entre 168 y 288? Si el
valor de x aumenta
o decrece,(que
pasacon el area?
La respuesta a este problema requiere
la identificacion de dos intervaJos no
contiguos. Para elio, la variable x debe
ser reconocida en primer lugar como
un numero general (G2), que debe ser
manipulado y utilizado para obtener
una expresion (G4). Posteriormente,
es necesario reconocer a x como
una cantidad desconocida cuyo
valor puede determinarse (11, 14).
Se requiere, ademas, reconocer
la correspondencia (Ft) entre los
valores de x y del area, y la variaci6n
conjunta de esas dos variables (F4),
para determinar los intervalos (F5)
en los que las variables toman los
valores deseados. Es posible utilizar
otras estrategias de soluci6n para esteproblema.
12
2. Dada la ecuaci6n de la
recta y =2x + I,i.cstan
los puntos (3, 7) Y
(2, 8)en la recta? E1
valor de y de un punto
de esa recta
es..i. lCUa! es el
coneJondiente de x?
En esta pregunta es necesario
considerar, en primer termino,
que las variables x y y estan en
correspondencia (Fl). Para encontrar
si los puntos dados pertenecen a la
recta, el alumno requiere sustituir los
valores en la relaci6n funcional (F2,
F3), para determinar si se satisface la
igualdad en la ecuaci6n resultante. La
3. Sabemos que x + y '"
1 0 y, ademas, que
xy =: 7. Halla los
valores de x y de y.
4. Un hortelano vende elkilogramo de tomate
a $ 12.00 y le cuesta
$ 240.00 recoger la
cosecha. Halla una
relacion entre 1 0 que
gana el hortelano y el
mimero de kilogramos
de tomate que vende.
lCmintos kilogram ostiene que vender para
139
segunda parte de la pregunta requiere
reconsiderar Ia ecuaci6n original y
sustituir el valor dado para y (F3),
reconocer la inc6gnita en la ecuacion
resultante (11, [4) Ymanipular L a
expresicn para determinarel valor de
x (14) correspondiente.
Esta pregunta puede resolverse
siguiendo distintas estrategias, La mas
sencilla requiere identificar las dos
expresiones dadas como ecuaciones,
y a las variables x y y como incognitas
(II, 12). Para manipular estas
expresiones esnecesario interpretar
a las variables x y y como numeros
generales (G1, G2) y manipular
una de las ecuaciones para obtener
una expresion equivalente en
terrninos de una sola variable (G4).Posteriormente, se ha de inlerpretar
esta expresi6n como una ecuaci6n
en la que hay una incognita (11),
encontrar su valor (14) y sustitui:rlo
en 1aotra expre i6n (12, G3, G4).
Otra estrategia consiste en identificar
a las expresiones como relaciones
funcionales, graficarlas y, a partir
de la grafica, encontrar los valores
correspondientes.
En este problema se requiereidentificar la relaci6n funcional entre
el nurnero de kilogram os de tomate
que se venden y la ganancia obtenida,
tomando en consideracion el coste
de Ia cosecha (Fl, F4). El analisis de
la situaci6n planteada debe conducir
ala simbolizaci6n de Ia relaci6n
funcional (F6). Una vez establecida
esta, hay que sustituir el data
proporcionado (F2) para obtener
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Pregunia
Para resolver este problema, es
necesario interpretar las variables
que representan los datos de 1a tabla
como variables en correspondencia
(Fl). A partir de el los, es necesario
graficar la funci6n (F4) e interpretar
la informacion contenida en ella
en terminos de la variaci6n entre
las variables (F4). Luego hay que
interpretar la relaci6n funcional
(Ft) y simbolizarla (F6). Una vez
que se cuenta can esta relacion,
el estudiante requiere sustituir el
data proporcionado en Ia relacionfuncional (F2), para obtener una
ecuacion en 1aque debe reconocer laincognita (II) y manipularla (G4) para
5. Resuelve graficamente
la ecuaci6n x2 - Sx + 7
= O .
6. Los datos de la tabla
representan el precio
al que se venden los
jugos.en el puesto del
mercado.
Cantidad de Precio en
vasos (x) (y)
1 2
'1.5 3
2 4
2.5 5
3 6
3.5 7
Alldlisis
interpreter a una de las variables
como incognita (11), manipularla
(G4) y encontrar su valor (14).
Este problema tambien puede ser
resuel to uti lizando una estrategia de
graficaci6n de funciones.
Este problema pide hallar el valor
de la inc6gnita de manera grafica,
Para el lo, es necesario establecer una
relaci6n funcional entre la expresion
dada y una nueva variable, y, 1 0
que implica pasar de interpretar
la variable x como incognita, a
interpretarla como una de las
variables en relacion (Fl, F4, F6).
Para graficar la funcion, se requiere
dar valores a una de las variables
para encontrar el valor de la otra
(F2), y construir una tabla y la graficacorrespondiente CF4). Posteriormente,
reconocer que resolver la ecuacion
original corresponde a encontrar los
valores de x para los que y vale 0 e
ident ificar su valor en la grafica, (F3)
• Encuentra Ia graficaque describe la
relaci6n entre la
cantidad de jugo
que compras y el
precio.
• Describe can tus
propias palabrasque pasa can el
precio cuando
compras mas juga.• i,Cuanto costarfa
comprar 2 _ l_ vasos
d. 4
eJugo?
• Escribe unaecuaci6n que
represente cuanto
lienes que pagar
dependiendo delmimero de vases de
jugo que cern pres.
• i,Cuanto tendrias
que pagar par nueve
vases de juga?
14 1
USO DE LOS CUESTIONARIOS
DE DIAGNOSTICO Y ANALISIS DE
LAS RESPliESTAS DE LOS ALUMNOS
UTILIZANDO EL MODELO 3UV
Los instrumentos diseiiados se pro baron para demostrar su
fiabilidad y han sido aplicados en numerosas ocasiones. A conti-
nuaci6n se presentan las respuestas dadas por algunos alumnos
de tercer afio de secundaria. Dichas respuestas se analizan en
terminos del Modelo 3UV En el cuestionario I se analizan una
por una para dos estudiantes, y en el cuestionario II en formaglobal, para todo el grupo.
Antes de revisar el analisis de las respuestas, invitamos al
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14 2 C a y , 7.E( Maada 3UV
Una vez que 10 haya heche, comparelo can eI que proporciona-
mas aquf.
Respuestas al cuestionario I
Respuestas de M(U1l / . e l A nrii is is
1. Dos El estudiante identifica la expresion
como una ecuaci6n y reconoce el
papel que la variable desernpena
en ella; sin embargo, reacciona
automaticarnente a una serial
externa: la incognita aparece al
cuadrado; luego, se trata de una
ecuaci6n cuadratica y debe tener
dos soluciones, Aun euando este
estudiante reconoce la expresion y la
incognita en ella, su interpretacion
de Ia variable como incognita esta
limitada par su falta de analisis, Este
hecho evidencia que este estudiante
requiere orientaci6n para que, al
realizar actividades como esta, analice
cuidadosamente la situacion.
2..256 <Y < 1000, En esta respuesia se observa que el
256 < xL < 1000; estudiante interprets correctarnente
(16,.100) la nocion de correspondencia entre
cantidades especificas, pero tiene
dificultades can la idea de variacion
conjunta, ya que, para encontrar el
Intervale que se Iepide, deterrnina el
valor de Ia funci6n en los extremes
del intervale dado y generalize los
valores internes al intervale, sin tamar
en consideracion las caracterfsticas
espectficas de la funci6n con Ia que
esta trabajando. Puede coasiderarse
que el estudiante sobregeneraliza
la variacion mon6tona a cualquier
14.3
3. Una El estudiante Identifica la
expresion como una ecuacion,
por 10 que atribuye a la variable
1"'1apel de incognita. Reacciona
au tomaticamente al hecho de que
en 1aexpresion se presenta una
igualdad en la que la literal aparece
sin exponente, y por ello responde que
la literal puede tamar unicamente un
valor. La reaccion automatica a signos
externos no perrnite distinguir el
caracter tautolegico de la expresion,
4. Entre 0 y -5, Yde Qa 5 Manuel interpreta el crecirniento de
Ia funci6n representada en la grafica
situandose en el origen como punta
de partida. Vista desde ese punto, el
valor de y aumenta hacia la izquierda
y hacia la derecha del 0, par 10 que
concluye que es en esos intervalos
donde la funci6n es creciente. Este
alumna muestra dificultades con la
interpretacion de Ia relaci6n Iuncional
y con la noci6n de variacion, asf como
can la idea de orden de los numeros
reales, al leer jndisrintamente de
derecha a izquierda a de izquierda
a derecha los valores de la variable
independiente,
S . 17 y + 3y - 5x + 1 5x - 40; Esta respuesta revela cierta debilidad
20y + JQx- 40 en Ia habilidad del estudiante para
lOx - 40 = -2Oy manipular la relacion funcionallO,! - 40
,
y la necesidad de irhacienda=-20 las operaciones de una en una,
160 - 40 = 120 ==-6 escribiendo Ladas los pasos. Se
-20 observe tarnbien el mal manejo que el
estudiante hace del signa de igualdad.
En este case, el estudiante manipula
las variables en [aexpresion como
numerus generales, pero recupera
posteriormente la relacion funcional y
es capaz de sustituir correctamente los
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Respuestas de Manusi Andlisis
6. x =: 3 La ecuaci6n que se presenta en e te
problema es simple. El estudiante
es capaz de reeonocer a la expresion
como una ecuaci6n. La sirnplicidad
de la ecuaci6n conduce al estudiante
a evitar la manipulaci6n y a adivinar
la soluci6n par sustituci6n directa,
Adiferencia de la pregunta anterior.
al ser capaz de calcular rapidamente
el valor de la incognita, el estudiante
pasa par alto el grado de la ecuaci6n
y se conforma con encontrar una sola
soluci6n. Nuevarnente, esto revela
superficialidad en el conocimiento
algebraico del estudiante, quien
es capaz de poner atencion s610
al aspecto mas sobresaliente de la
ecuaci6n.
7. L := m El estudiante es incapaz de plantear
el problema propuesto. Una vez
mas, contesta en respuesta a signos
extemos explicitos. Dado que el
problema menciona que se debe
encontrar eJarea de un cuadrado,
el estudiante precede a utilizar Iaf6rmula memorizada para el area
de un cuadrado: U = 27 Yobtiene la
rafz cuadrada. El estudiante tiene
dificultades para interpretar su propia
ecuaci6n, pues un simple analisis deesta pudo haberle indicado que 10 que
obtendria a craves de su planteamiento
seria el lado de un cuadrado de lado
mayor que el que se requiere, y no
el area buscada. En este caso, el
estudiante no es capaz de Identificar
Ia incognita en la situaci.6n, ni de
interpretar correctamente su ecuacion
en terminos del problema planteado;
ademas, esmcapaz de simbolizar Ia
145
8.~ =Y + 7 EI alumna muestra dificultades a]5 interpretar el sfrnbolo como ruimero
general y para simbolizarlo. Aun
cuando el alumna es capaz de
simbolizar un numero general
(cuando escribe':£), muestra5
dificultades al pasar a la simbolizaci.6n
de una expresion un poco mas
compleja, ya que tiene problemas para
considerar a ~ como un objeto sobre5
el que puede operar para producir una
nueva expresi6n. El estudiante
tiene la necesidad de identificar a£5
can una nueva variable, la variable
Y , para operar can ella. AIefectuar la
operacion de surna, no considera
necesario separar las expresiones ~5= y y y + 7, Ylas combina en una sola,
que resulta incorrecta. El usa del
signa de igualdad como una forma
de conectar los pasos del proceso
de saluci6n puede considerarse
una evidencia de la inseguridad
del alumna en la interpretacion del
papeJ de la variable en elproblema,
y muestra dificultades con la
manipulaci6n y la simbolizacion de la
variable como numero general.
9.X4 - 2x2 + x' - 2 ; El alumno muestra una interpretaci6nX4 _Xl - 2 adecuada de la variable como un
numero general y una manipulaci6n
correcta de la expresi6n.
10.1 kg = 4 ern Esta claro que, para este alumno,
los metodos aritmeticos de soluci6n
prevalecen sobre los algebraic as, 1 0cual interfiere con su habilidad para
esiablecer relaciones entre variables y
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Respuestas de Manuel Andlis is
informacion dada en el problema de
forma simb6lica y l lega a una relaci6n
incorrect a entre las variables. E1usa
que hace del signa de igualdad nos
proporciona informacion relevarue
acerca de la forma en la que aborda
el problema. Para el, el signo de
igualdad desempena el papel delverba, "desplazar" 0 "corresponder
a". EI alumno usa el igno como
una herramienta que 1 0 apoya en su
analisis del problema. pero al misrno
tiempo 10 limita a un acercarniento
aritmetico y Ie dificulra la posibilidad
de generalizar;
Diagn6stico global de Manuel
Este alumno es capaz de reconocer la variable como inc6gni-ta 0como numero general, y de manipularla en ecuaciones sim-
ples 0en aquellas en las que el enunciado del problema le da una
idea clara de ello. Cuando DO es asi, tiene dificultades para es-tablecer el papel de la variable (s f se trata de Lillaincognita, de
un rnimero general 0 de una relaci6n funcional). Aunque puede
reconocer la correspondencia entre variables en una relaci6n fun-cional, no es capaz de reconocer la variaci6n conjunta de las va-
riables y rnuestra dificultades en la manipulaci6n de la expresi6n
que involucra do variables. El estudiante siempre reacciona ante
los signo externos demanera autornatica: es decir, muestra poca
capacidad de analisis, bene Lillaidea incorrecta del Significadode la igualdad ymanifiesta deficiencias en eluso de procedimien-
tos algebraicos, Debido en gran medida a todas las dificultades
mehcionadas, el alumno no puede sirnbolizar, aun cuando las ex-
presiones algebraicas que deberia escribir son simples. Con base
en estos resultados, habria que recomendar a este alumno que
regrese al estudio de la soluci6n de problemas simples analizan-
do cada una de las actiones que se Ilevan a cabo en el proceso
de soluci6n, para que pueda pasar de lareacci6n automatics y el
pensamiento aritmetico, a un pensamiento algebraico,
Respuestas de Laura Analisis
1. Varies
2. 256 <Y < 1000;.x2 > 0;
x2 < 1000, entonces
-100 -c x < 100
3.x + 2 -x - 2 =0; 0 := 0;ninguno
Esta estudiante tiene problemas
can la interpretacion del papel
de la variable en la expresion. Su
respuesta indica que es posible que
confunda el papel de la variable y la
considere como un numero general.
en lugar de incognita. Esta confusion
quiza se deba a la falta de una senalclara para ella en el enunciado del
problema, que Ie indique que debe
resolver 1aecuaci6n; e.sella quien
debe identificar cual es el papel
de la variable en la ecuaci6n y que
debe hacer, para 10 cual no esta
suficientemente preparada.
La alumna interpreta correctarnente
la nocion de correspondencia entre
cantidades especificas, y muestra
tener una cierta noci6n de Ia variaci6nconjunta; sin embargo, utiliza de
rnanera incorrecta a1gunas de las
caracteristicas que conoce de la
funcion, como el hecho de que los
valores de y siempre seran positivesy la sirnetria de la funcion, La
estudiante sobregeneraliza la noci6n
de sirnetrfa en el eje x, in tamar en
consideracion el intervalo cornpleto de
valores que corresponde a la variable
dependiente. Esto nos muestra Ia
dificultad de la alumna para pensaren la relacion en el senudo inverso (esdecir, de 1<1ariable dependiente hacia
la variable independiente), 10 cual
indica debilidad en su comprensi6nde la correspond en cia entre lasvariables.
La estudiante identifica la expresioricomo una ecuacion, por 10 que
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1 4 8
Respuestas de Laura Analisis
atribuye a la variable el papel de
incognita. Manipula correctamente
la literal, pero, al enfrentarse can
la tautologfa a = 0, en lugar de
reconoeer que esto es verdadero,
independienternente del valor
de x seleccionado, reacciona a ladesaparici6n de 1avariable dela
expresion pensando que no hay
posibilidad de encontrar valores que
la satisfagan.
4. -20 a 0 uni6n a a 5 Cuando la relacion entre las variables
se muestra en forma grafica, la
alumna es capaz de reconocer los
interval os en los que crece la variable
dependiente. En este caso, Ia alumna
interpreta correctamente la variaci6n
conjunta de las variables en larelacion.
5. 40 - 1Sx - 3y = 17y - Sx La respuesta de esta alumna revela
40 - 20x = 20y debilidad en L a manipulaci6n de la
40 - 20( 16) = 20 y relaci6n funcional. Escribe paso
40 - 320 = 20y a paso las rnanipulaciones, sin
y=_320 =16 . considerar si son correctas 0no.
20 Se puede observar una dificultad
en Ia transposici6n de terminos
de un lado a otro de la igualdad,
y.aunque sustituye el valor dado
en forma correcta, los errores en
1atransposicion de terminos L a
conducen a una respuesta incorrecta.
6. x =3 Y x =-3 En este problema, la alumna es
capaz de identificar la expresion
como una ecuacion y a la variable
como inc6gnita. Ademas, es capaz de
manipular Ia expresi6n para obtener
los valores correctos de la inc6gni La.
149
7. (L - 3)(L - 3) La estudiante muestra dificultad para
conceptuar la variable como inc6gnita
(11) en relaci6n can las restricciones
del problema dado. SUre puesta
indica que sf ha interpretado el
problema correctamente, ya que
escribe que el area total es (L - 3) (L
- 3), pero, posteriormente, no sabeque mas debe hacer. La estudiante
tiene dificultades para interpretar
y simbolizar la inc6gnita en una
ecuaci6n. Su planteamiento no
contiene explicitamente una ecuacion,
por 10 que se Ie dificulta saber que
hara can aquello que escribio.
xCan su respuesta, la estudiante.y = - + 7
5 evidencia dificultades al interpretar
el simbolo como mimero general;
interpreta el enunciado dado como
la representaci6n de una relacion
funcional entre dos variables, aun
cuando el problema no hace mendon
m a s que de una. Ella puede
simbolizar e1numero general ..£ + 7;5
sin embargo, es incapaz de considerar
que el enunciado se refiera a una
expresi6n abierta. Par ella, decide
nombrar de alguna manera a este
nuevo objeto matematico, al que
iguala a su nombre, y, convirtiendo
la expresi6n que contenia al nurnerogeneral x en una relaci6n fund anal
entre este y Ia nueva variable
introduclda.
9. 2x 4 - 2 Si bien la estudiante interpreta
correctamente a la variable como
numero general, no es capaz de
rnanipular de manera correcta la
expresion dada.
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150
Respuestas de Laura AIUi.Usis
10. 1 kg = = 4 em. Par reglade tres, 1 kg = 4 em, 2 kg
=8 em y asf, x kg =: 4x em
Aun cuando la estudiante muestra el
rnismo acercamiento al problema que
Manuel, es capaz de generalizar su
procedimiento usando aun rnetodos
aritmeticos, y, no obstante que llega a
una expresi6n mas general, evidenciaun manejo incorrecto del signa
de igualdad, as! como dificultades
para pensar en la relacion entre las
variables de una manera dinarnica.
Su concepcion de la relacion entre
variables esta limitada a una idea
estatica de correspondencia de un
valor de la variable independiente con
llD valor de la variable dependiente: la
idea de variacion esta ausente.
Diagnostico global de Laura
La alumna muestra problemas para diferenciar entre la va-
riable como inc6gnita y la variable como numero general, excep-
to cuando enfrenta expresiones muy simples. Interpreta correc-
lamente a las varia bles en relaci6n funcional, identifica la corres-
pondencia y,en general, la variacion conjunta de las variables.
Sin embargo, evidencia algunas dificultades en la manipulaci6n
de expresiones y en la interpretaci6n del significado del signo
deigualdad. Can base en estos resultados, la recomendacion per-tinente para esta alumna es hacer que resuelva problemas que
requieran la manipulacion de la variable, efectuando, a1 mis-
mo tiempo, un analisis del tipo de expresiones que intervienen
en los problemas y del significado de Ia igualdad en cada una
de ellas,
15 1
Anilisis global de las respuestas
al cuestionario II
El analisis de las respuestas a la pregunta 1 muestra que
10 de los alumnos son capaces tanto de manipular la variable
para simbolizar 1abase del rectangulo, asi como de expresar el
area de la figura (G2, G4). Seis de los estudiantes establecen dos
ecuaciones [( x2
+ 12) * 6 = 168 Y (x2
+ 12) * 6 = 288], can 1 0 cual,de utilizar la variable como mimero general, pasan a darle un
caracter de inc6gnita (11). Cuatro de elios no establecen direc-
tamente las ecuaciones, sino que escriben primero la relaci6n
[A = (x 2 + 12) * 6] y despues sustituyen los valores proporciona-
do para el area. Este paso intennedio resulta muy interesante,
pues, si bien no indica precisamente que los estudiantes son ca-
paces de establecer una relacion funcional (F6) entre la medida
de la base y el area (ya que podrian estar usando A como etique-
ta), sf evidencia una posibilidad para acercar a los alumnos a la
idea de correspondencia y variacion. (Fl, F4)
Los 10 alumnos son capaces de resolver la ecuaci6n plantea-da, 10 cual implica que pueden reconocer la inc6gnita y encon-
trar su valor (11. 14). AI resolver las dos ecuaciones, cinco de los
estudiantes consideran tenninada la tarea. Los otros cinco rna-
nifiestan que el area aumenta cuando se incrementa el valor de
x; esto muestra una idea intuitiva de variacion conjunta CF4) , al
igual que cierta capacidad de integrar estos aspectos de los usos
de la variable y pasar entre elias de manera flexible.
En la pregunta 2, 11alumnos reconocen Ia correspondencia
entre las variables x y y en la expresion (Fl ). Construyen una
tabla de valores, en la que asignan valores positives y negativos
a la variable independiente, para calcular con exito la variabledependiente (F2). S6lo tres estudiantes son capaces de sustituir
el valor de la variable dependiente en la relacion, interpretar la
variable x como incognita y calcular su valor (F3, 11, 14). En
conjunto, las respuestas nos dicen que la comprensi6n que tie-
nen los alumnos acerca de la variable en relaci6n funcional, es
debil, y que tienen dificultades para integrar los LISO de la varia-
ble como incognita y en relad6n funcional.
La pregunta 3 resulto ser una de las mas dificiles del cues-
tionario. Si bien se trata de un sistema de ecuaciones simples,
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152 CRy. 7. E( A1DJr(o 3UV
se resuelven en las clases de Matematicas en la escuela secunda-
ria. De los siete alumnos que intentaron responderla, 5610 tresfueron capaces de mani pular una de las variables en la primera
ecuaci6n (Gl. G2). A pesar de ello, ninguno pudo considerar la
expresi6n obtenida como una variable (Gl) y sustituirla en la
otra ecuaci6n. Uno de elios identific6 las variables como incog-nitas de un sistema (II, 12). Las dificultades encontradas en esta
pregunta muestran que los alumnos no tienen una comprensi6ns6lida del concepto de variable, 10 que les impide rnanejarla can
flexibilidad.En Ia cuarta pregunta, 10 alumnos pudieron identificar la
relaci6n funcional entre la cantidad de tornate vendida y la ga-nancia que se obtuvo (Fl, F4), pero solamente cinco tomaron en
consideraci6n el costa de la cosecha, y lograron simbolizar la re-laci6n funcional (F6). Tres de ellos sustituyeron el dato prop or-cionado en la relaci6n funcional (F2) e interpretaron Ia relaci6n
resultante como una ecuaci6n en la que debe determinarse unainc6gnita (11); sin embargo, unicamente dos lograron encontrar
su valor mediante la rnanipulacion de la variable (G4, 14). Otroscuatro estudiantes hallaron el valor de la incognita utilizando
procedimientos aritmeticos, Estos resultados confirman las di-ficultades que tienen con el manejo flexible de las variables en
la relaci6n funcional, y muestran c6mo esta falta de flexibilidadincide negativamente en su posibilidad de integrar los dist intosusos de la variable.
La pregunta 5 tambien evidencia que para los alumnos esdiftcil el manejo de las relaciones funcionales; solo cinco alum-
nos la' respondieron, De estos, cuatro establecieron una relaci6n
funcional (Fl, F4, F6), Ydos construyeron despues una tabla
de valores (desde x = -- 4 hasta x = 4) (F2), pero no trazaron lagrafica ni supieron c6mo interpretarla para resolver la ecuaci6n.Otros dos construyeron una tabla y trazaron una grafica con los
datos CF4), Y, aun cuando uno de elios represent6 1a relaci6ncomo una recta, cometi6 errores en la sustituci6n de valores enla relacion funcional. El otro trazo con exito la grafica de la rela-ci6n; sin embargo, no fue capaz de interpretarla para encontrarla so1uci6n de la ecuaci6n. Los dema alumnos interpretaron laexpresi6n como una ecuaci6n y procedieron a manipularla (G4)
para encontrar la inc6gnita (11); no obstante, todos encontraron
153
ble. Sin importar si los estudiantes interpretaron la expresion
como una relacion funcional 0 como una ecuacion, es evidenteque les rue diftcil integrar los distintos aspectos de la variableque intervienen. Ademas, en los procedirnientos utilizados, losalumnos muestran confusi6n tanto al interpretar las operacio-
nes que se efecnian sobre las variables, como al identificar la
propia inc6gnita.
En la Ultima pregunta, nueve de los 13 alumnos pudieron re-conocer la correspondencia entre las variables (F'l ). Describie-
ron de manera verballa variaci6n conjunta CF4)y calcularon los
valores solicitados (F2); sin embargo, s610 seis de ellos simboli-zaron la relaci6n (F6) (cuatro en forma correcta). Unicamente
cuatro alumnos interpretaron bien los datos de la tabla y cons-truyeron la grafica de 1a relaci6n. De nuevo, en las respuestasse advierte la capacidad de los estudiantes para interpretar la
correspondencia entre variables (F1) y la presencia de ideas in-
tuitivas de la variacion conjunta de las variables (F4). Asirnis-
rna, son capaces de calcular valores para las variables (F2) utili-
zando procedimientos aritmeticos y pueden describir la relaci6nentre ellas en terminos de su variaci6n; sin embargo, muestran
dificultades para simbolizar aun expresiones muy simples.
CONCLUSIONES
En este capitulo hernos visto, una vez mas. c6mo la idea devariable no es un concepto monolltico, sino que tiene multiples
facetas, dentro de las que destacan las concepciones de la va-
riable como inc6gnita, como numero general y como parte de
una relaci6nfuncional. La comprension integral del conceptode variable requiere el entendimiento y el manejo adecuados deesas distintas facetas, ademas de la posibilidad de pasar de una
a otra de manera dinamica y flexible.
El Modelo 3UV proporciona elementos te6ricos que tomanen consideracion estas multiples formas de usa de la variable enel algebra elemental y, por ello, permite un diseno eficaz de pre-guntas destinadas a la evaluaci6n diagnostica de los alumnos,
tanto en el caso en que el in teres se centre en las posibilidadesde los estudiantes de diferenciar entre los diferentes usos de la
1 5 4
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en la que los estudiantes resuelven problemas algebraico mas
:omplejos, en los que se haee necesario el manejo flexible del
:oncepto de variable.
Con base en las caracterfsticas de cada una de las preguntas
disefiadas para una evaluaci6n especffica, el Modelo 3UVpuede
ser empleado con exito para analizar con detalle la forma en la
que los estudiantes abordan los problemas algebraicos, E1mo-
delo es una herrarnienta de gran utilidad -como 10 muestran losejemplos de este capitulo- para interpretar las respuestas de los
estudiantes, y poder asl proporcionarles ayuda especffica que
permita que superen sus dificultades y avanzar hacia una com-
prensi6n mas profunda del algebra.
Como pudo verse, los estudiantes cuyas respuestas a los
cuestionarios fueron analizadas en este capitulo, manejan con
flexibilidad los distintos usos de la variable en aquellos proble-
mas que requieren un tratamiento mas cercano aJ pensamiento
aritrnetico. Podemos concluir que esos alumnos aun no han des-
arrollado un pensarniento verdaderamente algebraico, a pesar
de que dan evidencia de poder lograrlo. Una posible recomen-daei6n a sus maestros, basada en el uso del Modelo 3UV,seria
proporcionar a menudo oportunidades a sus alurnnos, que les
permitan profundizar en el concepto de variable. El uso de pro-
blemas un poco mas cornplejos, que representan un reto para
cllos, puede permitir la diseu i6n de la forma en la que las va-
riables se presentan y la reflexion acerca de los distintos aspec-
tos de la variable, asf como entre las distintas facetas de su com-
prensi6n relaeionadas con cada uno de sus usos.
Una gran ventaja que brinda el usa del Modelo 3UV es que,
independientemente de] nivel de complejidad de las preguntas
de una posible evaluaci6n, se ponen enjuego los comportarnien-tos previ tos por los distintos aspectos del modelo. Este pennite
uo acercamiento muy detallado a la forma en Ia que los alum-
nos comprenden y manejan los di tintos usos de la variable en
el algebra, y posibilita el disefio y el analisis de instrumentos
de evaluaci6n que hacen posible evidenciar las habilidades y las
dificultades especfficas de cada alumno,
omentario final
El Modelo 3UVha demostrado ser una herramienta muy iitil
en el disefio de estrategias de ensefianza, en el analisis de los
libros de texto. en el analisis de los requerimienios involucrados
en la soluci6n de diversos problemas algebraicos yen el disefto
y analisis de instrumentos de evaluaci6n diagn6stiea. Asimismo,se constituye como un solido apoyo ala tarea del maestro de al-gebra, pues propicia la reflexion acerca de las posibles dificulta-
des de los alumnos, y las virtudes y defeetos de los materiales de
apoyo, ademas de que permite el desarrollo de estrategias para
lograr un aprendizaje mas significativo.
Los ejemplos que se presentaron en este volumen han sido
utilizado exitosamente en elaula con alurnnos de los tres grados
de secundaria (e incluso con estudiantes de niveles mas avanza-
dos). Los alumnos han demostrado la capacidad de aprender eI
algebra cuando se les ensefia poniendo enfasis en la diferencia-
cion e integraci6n de los usos de la variable.Sinceramente, esperamos que esta obra proporcione almaes-
tro elementos de reflexi6n para revitalizar su practica docente.
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Actividades
con calculadorade bolsillo, 108-109
grafi cadora, 110- 1 J 9
can hoja electr6nica de
calculo, 102-107
can Logo, 120-127
de evaluaci6n, 129
de integracion, 59-69, 85-87,
95-99
de variable
como incognita, 83-87,
92-93
como nurnero general,76-83,87-92
en relaci6n funcional, 70-
76,94-97
didacticas, disefio de, con base
en el Modelo 3uv,
69-100
para el primer grado, 78-86
para el segundo grade,87-96
analitico
el papel del profesor en Ia
ensenanza del, 40escolar, Ij -22
de que trata, 1]-15
prop6si los de la ensenanzadel, 35
propuestas de acercamiento al,
20-21
propuestas para mejorar su
aprendizaje, 20-22
uso de la variable en el, 9
usos de las letras 0variables
eo el, 12
y simbolos li terates, 11Aprendizaje, crear un concepto
de, 42
Areas, 81-83
Asociaci6n Nacional de
Profesores de
Maternaticas, 5Autoritarismo de] profesor, 41
Bloque de instrucciones, 121-
1601ndlcr 'Hlltlirico
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graficadora, actividades con,
110-119
n·92 Plus, 110
Cob b . M. V., 1 57Coeficiente, dificultades para
Interpreter una letra
cuando aparece
acompafiada de un,
18-19
Constante de proporcionalidad,
63
Conversion, idea de, 62
Correspondencia entre variables.
34,37.55·56,58,62,
66,71,111.126
Cuestionarios
respuestas a los, 142-150
analisis global de las, 151-
153
uso de los, usanda el Modelo
3UV, 141-152
y examenes, disefio de.130·140
Desarrollo
potencial, nivel de, 41
pr6ximo, zona de, 41-42
real, nivel de, 41
y diseiio de estrategias de
ensenanza, 101
Descomposicion y
recomposici6n,
procedimientos de, 83
Diagnostico, importancia del.
129
Disefio
. de actividades didacticas can
base en el Modelo 3UV,
69-100
para el primer grade, 70-86
para el segundo grade,
87-96
para el tercer grade, 97-100
de cuestionarios y examenes,
130-140
de instrumentos de
diagn6stico, el Modelo
3UV en el, 129-154
de preguntas para medir
la cornprension del
concepto de variable,
131-136
la flexibilidad para pasar
entre los distintos usos
de la variable, 136-138
y desarrollo de estrategias de
ensenanza, 101
Ecuacionfes)
can decimales, planteo y
resolucion de una, 93
con parentesis, planteo y
resolucion de una, 92
derivar,67
generales, 31resolucion de, 25-26
sistemas de. 14
tecnicas para resolver, 16
tipos de, 12
uso de. para. resolver
situaciones
problernaticas, 84
Ensefianza
de la variaci6n lineal. 102
de las Matematicas can
Tecnologfa, 102
en espiral, 39
estrategias de. diseiio y
desarrollo de, 101
Modelo 3UV aplicado a la,
39-43
Equivalencia, idea de, 62
Errores mas comunes,
16-22
dificult.ad para reconocer la
variacion conjunla
de dos variables
relacionadas, 20
dificultades para aceptar una
expresi6n abierta
como respuesta valida,
19
dificultades para diferenciar
entre los dislinto usos
de Ia variable, 16-18dificultades para interpretar la
letra cuando aparece
acornpanada de un
coeficiente 0 tiene un
exponente, 18-19
tendencia a ignorar la letra
cuando representa
un paramctro 0a
asignarle un valor,
19-20
Escritura algebraic a, 80
Estrategias de ensenanza, diseno
y desarrollo de, 101
Evaluaci6n
actividades de, 129
continua y de la planificaci6n
de la ensefianza,
procesos de la, 69
irnportancia de la, 129
Exarnenes y cuestionarios. diseiio
de, 130-140
Exponente, dificultades para
interpretar una letra
cuando aparece
acompaiiada de un,18-] 9
Expresiones
abiertas, 31. 76
dificultades para aceptarlas
como una respuesta
valida, 19
algebraieas
equivalentes.89interpretacion de. 92
161
polinomiales: manipulaci6n
de, 87
simb6licas. l l l·119
Factorizar, 31
F6rmulas generales. 3L,76
Funcionfes), 20
decreciente, 127
graficaci6n de. 140lineal, 102
Garcia Pena, S o . 10
Generalizaciones, 20, 88-89, 123
Geometrta de la Tortuga. t20
Graficas, 116-119
de Iunciones, 140
Hoja electronica de calculo.
actividades can.
102-107
Incognita
determinar el valor de la, 68
a traves de procedimientos
maternaticos, 53
especffica, 1 2
variable como, 24-26. 49-52
interpretacion de lao 51
representacion de la, 53
simbolizaci6n de la,S 1
variable como, 1.5.23.40.
49-50,60. 83-87. 92-93
disefio de actividades,
83-87, 92-93Instrucciones, bloque de,
121-122
Instrurnentos de diagnostico,
elModelo 3UV en el
disefio de. 129·154
Integraci6n
actividades de, 69. 85-87,
95-99
momenta de, 69
162 fm{)cr IWfi{ftico 163
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Interpretaci6n de variables, 69
Intervalos
de valores, 58
de variacion, 34-35, 55-56, 111
J u dr e s ; L O pe z , J. A. , 131, 157
Kuchemann, D., 1 L, t 57
Lenguaje
algebraico, 123
usa del, 43
matematico.Ae
Letras °variables, usos de las, en
el algebra, 12
Literales. usa de las, 16
Logo, actividades con, 120-127
Lopez : Pineda, A., 131, 157
Lozano, M. D., 10,131,158
M alara , N .• 11, 157
Manipulaci6nde expresiones polinomiales,
87
de variables, 69, 76
simbolicas, 37, 89
reglas de. 12. J 6
Ma tZ o ,M . , 11-12, 157
Menger, K., 11, 157
Metodos generales, 65
deduccion de, 31, 36
identificacion de, 36
simbolizaci6n de, 37
Mochon, S., 102, 157Modelo(s)
geometric os, 89
matematicos, 105
Modelo 3uv, 45
actividades disenadas con base
en el, 45-68
analisis de las preguntas
utilizando el, 133-136,
138-14J
aplicado ala ensenanza, 39-43
como herramienta de
diagn6stico, 131
construyendo el, 23-37
diseno de actividades
didacticas con base en
el, 69-100
para el primer grade, 70-86
para el segundo grade,
87-96
para el tercer grade, 97-100
disefio de cuestionarios y
exarnenes en el,
130-140
en el diseno de instrumentos
de diagnostico,
129-154
uso de la tecnologia con el
actividades can calculadorade bolsillo, 108-J09
graficadora, l10-119
actividades con hojaelectronica de calculo,
102-107
actividades con Logo,
l20-127
Monomios, 14
Montes Heredia, M . D.• 157
Nava r ra , G o, 1 1, 157
Nivel de desarrollo
potencial, 41
real,41
Numerofs)
general
a incognita especffica, paso
del, 125-126trabajo con, 123-124
variable como, 15,23,
27-31,40,45-48,50,
54, 60, 64-65, 76-83,
87-92,95-96,98, 105,
10B-l10, 135, 138-139
representacion de, con un
sfmbolo, 48
secuencia de, 47,50.70
Orleans, J. S., 157
Papel del profesor, 40-43
Parafraseo de las respuestas de
los alumnos, 43, 65
Parametres. 31
Patron numerico, 70, 77,108-110
reconocimiento de, 13-14, 20,
31,36,47, 121-123
Perfrnetros, 80-81, 85-86
Philip p, R . A., 11. 157
Planificacion de la ensefianza
y de la evaluaci6n
continua del
aprendizaje, procesos
de,69
Polinomlos, 14. 87
Practica en el salon de clases, deIa investigacion a la,
46-68
Problemas
planteamiento de, 16
resoluci6n de, 21, 26-28, 30-34
Procedirnientos de
descomposicion y
recomposici6n,83
Procesos de planificaci6n de
la ensefianza y de la
evaluaci6n continua
del aprendizaje, 69
Profesor, papel del. 40-43
Programas generales para
dibujar poltgonos, 124
Proporcionalidad, constante de,
63
Proyecto EMAT, 102
Recomposici6n y
descornposicion,
procedimientos de, 83
Reconocimiento de patrones,
121-123
Reglas generales, 49, 105
de manipulacion, 12,16
deducci6n de, 29, 36hallar, 31
idenlificaci6n de, 36
sirnbolizaci6n de, 29, 37
Relacion funcional, 13, 15,23,
60,66-67.111-119,
126-127,133-135, 139entre variables, 102
la variable en, 70-76, 94-97
representaci6n sirnbolica de
una, 73
representaciones tabulares,
analfticas y verbalcs de
una, 74
simbolizar la, 72
variable en una, 32-34, 53-58
Respuestas a los cuestionarios,142-150
analisis global de las, 151-153
usando el Modelo 3UV,
141-152
Roiano, T., 120, lS7~J58
Salon de clases, de la
investigaci6n a la
practica en el, 46-68
Secuencias
numericas, 47, 50, 70, 76-77, 91
reglas de, 78
figurativas, 77-78, 80
reglas de, 78
Simbolizaci 6n
de la relacion funcional, 72
de variables. 65, 69, 76. 78
Sfmbolos
literales en el algebra. 11. 16
matematicos, introducci6n de
la variable como, 49