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�Álgebra en los números reales
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico se basa en el uso de letras y relaciones matemáticas para generalizar diferentes situaciones.
Ejemplos:
• El perímetro P de un cuadrado de lado a P = 4a.
• El área A de un cuadrado de lado a A = a2.
• El área A de un triángulo de base b y altura h
Cada una de las letras involucradas en las fórmulas anteriores es una variable; a cada variable se le pueden asignar diferentes valores.
En general, una variable es cualquier letra involucrada en una expresión algebraica.
Expresemos en lenguaje algebraico:
1. El doble de un número 2a, 2x, 2m, ...2. El triple de un número 3x, 3y, 3b, ...
3. La mitad de un número p2
, q2
, z2
, ...
4. El cuadrado de p p2
5. a aumentado en b a + b6. a disminuido en b a – b�. El producto entre a y b a • b
Si en alguna expresión no está especificado el término, podemos asignar cualquier variable para representar el enunciado, como se puede ver en los ejemplos 1, 2, 3 y 4.
CAPÍTULO 1
Algebraen los
números reales
A = b • h 2
1.1
Álgebra en los números reales�
En general,• Son múltiplos de a:
el doble 2ael triple 3ael cuádruple 4ael quíntuple 5a : :
• Son fracciones de a:
un medio (o la mitad)
un tercio (o la tercera parte)
un cuarto (o la cuarta parte)
un quinto (o la quinta parte) : :
• Son potencias de a:
el cuadrado a2
el cubo a3
la cuarta potencia (o a la cuarta) a4
la quinta potencia (o a la quinta) a5
: :
• Otras expresiones algebraicas:un número par 2nun número impar 2n – 1
Expresemos en lenguaje algebraico:
1. El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número.
Aquí el “número” no está determinado; asignémosle la variable x; nos queda:
2.El doble de a, aumentado en b 2a + b
3.El doble de a aumentado en b 2 (a + b)
Observe los ejemplos 2 y 3. ¿Cuál es la diferencia?
x2
2x +
a2
12
• a
a3
13
• a
a4
14
• a
a5
15
• a
o
o
o
o
Ejercicios resueltos
�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
4. La mitad de a más el triple de b. Aquí ya están asignadas las variables, son a y b. Nos queda:
5. El doble del cuadrado de a. 2 a2
6. El cuadrado del doble de a. (2a)2
Observe la diferencia entre los ejercicios 5 y 6.
7. La cuarta parte del triple del cuadrado de b. 3 b2
4
8. El triple de la cuarta parte del cuadrado de b.
3 ( )9. El cuadrado de la cuarta parte del triple de b.
( ) Observe las diferencias entre los ejercicios 7, 8 y 9.
10. La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y.
11. La suma de tres números pares consecutivos. (2n) + (2n +2) + (2n + 4) o (2n – 2) + (2n) + (2n + 2)
Observe la diferencia entre ambas.
12. Tres impares consecutivos. 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5
Observe la diferencia entre ambas y exprese esos tres números de una manera distinta.
13. La semisuma entre a y b.
14. La semidiferencia entre a y b.
15. El producto entre un número y su antecesor. x (x – 1)16. El producto entre un número y su sucesor. x (x + 1)
a2
+ 3b
b2
4
3b 2 4
y2
5x –
a + b 2
a – b 2
Álgebra en los números reales10
Asigne variables y exprese en lenguaje algebraico:
1. La mitad de un número.
2. El triple de a, aumentado en el doble de b.
3. El doble del cociente entre a y b.
4. El cubo de la diferencia entre x e y.
5. La diferencia entre el cubo de x y el cuadrado de y.
6. El cuadrado de a equivale a la suma entre el cuadrado de x y el cuadrado de y.
7. La suma de tres números consecutivos es 213.
8. La suma de tres pares consecutivos es 16�.
9. El cubo del cuadrado de la diferencia entre x e y.
10. La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b.
11. El triple de un número equivale al doble del mismo número aumentado en 15.
12. El volumen de una esfera de radio r equivale al producto entre cuatro tercios de p y el cubo del radio.
13. La superficie de un rectángulo cuyos lados miden (a + 3) y (a – 3).
14. El volumen de un cubo de arista 2a – 1.
15. El volumen del paralelepípedo de la figura:
16. La superficie lateral del paralelepípedo de la figura.
17. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos.
18. El cuadrado de la suma de tres números consecutivos.
Ejercicios
I.
11Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
1.
2. 3a + 2b
3. 2
4. (x – y)3
5. x3– y2
6. a2 = x2 + y2
7. (a – 1) + a + (a + 1) = 213 a + (a + 1) + (a + 2) = 213
8. (2n – 2) + 2n + (2n + 2) = 16�
9. [(x – y)2]3
Definición: Se llama término (algebraico) a un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división.
Ejemplo: 2a2b , 3ap , – 5
�x2y2z.
El término algebraico consta de un FACTOR NUMÉRICO, un FACTOR LITERAL y un GRADO.
El grado es la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.
Ejemplo: En el término – 121� a6b4c2 el coeficiente numérico es
– 121�
; el factor literal es a6b4c2 y el grado es 12 (6+4+2).
Observación 1: Si el coeficiente numérico no está escrito, enton-ces es 1.
Observación 2: Si el grado no está escrito, entonces es 1.
Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de térmi-nos algebraicos. Si la expresión tiene dos términos, entonces es un binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más, hablamos de polinomios. (El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.)
a2
ab
10.
11. 3x = 2x + 15
12. V = p • r3
13. S = (a + 3) (a – 3)
14. V = (2a – 1)3
15. V = 2a(2a + 3)(2a + 1)
16. S = 2(2a (2a + 3) + 2a(2a + 1))
17. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2
18. [x + (x + 1) + (x + 2)]2
a2 • b3
4
43
Soluciones
Álgebra en los números reales12
I. Determine coeficiente numérico, factor literal y grado de los siguientes términos algebraicos:
Las expresiones algebraicas no representan valores en sí, sino que pueden ser evaluadas para distintos valores que se les asignen a las letras que las componen.
1. 3 ab
2. – 25
a
3. 0,02 a2b2
4. 17 p2q3z8
5. – 0,3 c
6. a
1. 3 ab
2. – 25
a
3. 0,02 a2b2
4. 17 p2q3z8
5. – 0,3 c
6. a
7. a2b
8. 3a2 b4
5
9. m12 n9
10. – x11 y4
Ejercicios resueltos
1. El valor del monomio a2b cuando a = 2 y b = 5 es 22 • 5 = 20.
Reemplazamos directamente las letras a y b por los valores asignados; en este caso, 2 y 5, y realizamos las operaciones indicadas.
2. El valor del mismo monomio a2b cuando a = 3 y b = – 4 es:
32 • (– 4) = � • – 4 = – 36
3. Si x = – 2; y = 5 y z = 4, el valor de
2x + 3y – z es:
2 • – 2 + 3 • 5 – 4 =
– 4 + 15 – 4 = �
4. Si m es el doble de n, n es el cuadrado de p y p = 3, determinemos m y n:
Aquí tenemos: m = 2n; n = p2 y p = 3, entonces n = 32 = �
y m = 2n = 2 • � = 1�.
Así; n = � y m = 1�.
Ejercicios
1.2 Valorización deexpresiones algebraicas
13Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Si m = –2 y n = + 3,determine el valor de:
1. Si m + n = 3 y n = – 1, determine m.
2. Si m – 3 = 2p y p = – 2 determine m.
3. p + q – r = 12 , r – q = 5, determine p.
4. 2a – � = b y a = – 3, determine b.
5. 1 + 2a = b – 2 y a = – 2, determine b.
6. Si a es el doble de b, b es un tercio de c y c = 12, determine a y b.
7. Si m es la cuarta parte de p y p es el cuadrado de 2, determine m.
8. La mitad de a es 1. ¿Cuál es el valor de a?
9. La tercera parte del doble de m es 4. ¿Cuál es el valor de m?
10. Si p + q = 2r, q es el triple que p y p = 5, ¿cuál es el valor de r?
Si a = 3 y b = 2,determine el valor de:
Si x = 4, y = –2 y z = 5, determineel valor de:
1. 2 ab
2. a2 – b2
3. b2 – a2
4. a2 + ab + b2
5. – 2ab
6. a3 – b3
7. – b5
8. 1 + a + b + ab
9. a2 + b2 – a – b
10. a – b3
4– 6
1. 2 x + y + z
2. x – y – 2z
3. x + y – x + z
4. x x2 + y2 + z2
5. 1x
– 1y
6. 2 x2y – 2x z2
7. x2 – 1
8. z2 – 2 + z2 – 3
9. 3 – x yz + 2 – x yz
10. x2 – y4 + z5
1. 2 m – 3n
2. m – m2 – 2n
3. 1 + m
4. m2 – n2
5. m + n m – n
6. m2 + 2 mn+ n2
7. – 5 mn
8. 1m
– 1n
9. 1m– n
10. –1mn
II.
III.
IV.
V. Determine el valor de:
Álgebra en los números reales14
Reducción de términos semejantes y uso de paréntesis
Ejemplo 1. Son términos semejantes:
Ejemplo 2. No son términos semejantes:
Vemos que en el ejemplo 1, el factor literal de todos ellos es a2; por esta razón son todos semejantes.
En el ejemplo 2, en cambio, tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí.
En una expresión algebraica sólo podemos reducir aquellos tér-minos que son semejantes y esto se efectúa sumando (o restando) los coeficientes numéricos y manteniendo el factor literal.
El uso de paréntesis es frecuente en álgebra. Sirve para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo con las siguientes reglas:
1. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio.
2. Si está precedido de un signo – se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del interior del paréntesis. (Es impor-
II. 1. 12 2. 5 3. – 5 4. 1� 5. – 12 6. 1� 7. –32 8. 12 9. � 10. –5
III. 1. – 13 2. – 12 3. – 1 4. – 5 5. –5 6. 1 7. 30 8. – 56
9. – 15
10. 16
IV. 1. 11 2. – 4 3. – � 4. 1�0 5. 34
6. – 264 7. 15 8. 45 9. �5 10. 1
V. 1. m = 4 2. m = – 1 3. p = 1� 4. b = – 15 5. b = – 1 6. a = � b = 4 7. m = 1
8. a = 2 9. m = 6 10. r = 10
a2, 2a2, –3a2, 0,5a2, a2
4
a2 b y ab2, –a y –a2, 2ab y ab2,
I. Coeficiente numérico
Factor literal
Grado
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
3. – 25
0,02 1� – 0,3 1 1 35
1�
– 14
ab a a2b2 p2q3z� c a a2b a2b4 m12n x11y
2 1 4 13 1 1 3 6 13 12
Soluciones
Definición: Se llaman términos semejantes aquellos que tienen el mismo factor literal (y por consiguiente el mismo grado); sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
1.3
15Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
tante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el signo – que lo antecede.)
Si una expresión algebraica contiene paréntesis, es conveniente eliminarlo antes de proceder a reducir los términos semejantes.
1. a + 2a + 3a
Los tres términos de la expresión son semejantes; por lo tanto, suma-mos sus coeficientes numéricos y conservamos el factor literal:
a + 2a + 3a = 6a
2. 2a + 3b – 5a + 6b
Aquí los términos 2a y – 5a son semejantes entre sí y lo mismo ocurre con 3b y 6b; entonces los podemos agrupar entre sí y obtenemos:
2a + 3b – 5a + 6b = (2a – 5a) + (3b + 6b) = – 3a + �b
3. 3x6y – 5xy6 – �x6y – x6y + 11xy6
Agrupamos los términos según su semejanza y obtenemos:
(3x6y – �x6y – x6y) + (– 5xy6 + 11x y6) = – 5x6y + 6xy6
4. 5m + (3m – �n) – 2n
Antes de proceder a la reducción de términos es necesario eliminar el paréntesis; como éste está precedido de un signo +, lo eliminamos sin hacer cambios y obtenemos:
5m + 3m – �n – 2n = �m – �n
5. 3x2y – (x2y – 2xy2) + 3x2y
En este caso, al eliminar el paréntesis (y el signo que lo precede) debemos cambiar los signos de los términos del interior; nos queda:
3x2y – x2y + 2xy2 + 3x2y
(3x2y – x2y + 3x2y) + 2xy2 = 5x2y + 2xy2
6. a + a2 + a3 + a4
Aquí no es posible hacer ninguna reducción pues no existen términos semejantes.
Si en una expresión nos encontramos con paréntesis dentro de otros paréntesis, procedemos a eliminarlos desde dentro hacia afuera atendiendo a la misma regla.
Álgebra en los números reales16
11. a2
+ a3
+ a4
12. a2b5
– 2ab2
3+ 3ab2
2– 6a2b
5
13. m – m2
+ 2m3
– m4
14. 3a – b2
+ 3a – b5
15. 2p + 34
q – �p + 32
q
7. 2ab – [3a – (–2ab + 3a) – ab]
Eliminamos primero el paréntesis interior:
2ab –[3a + 2ab – 3a – ab]
Ahora eliminamos el exterior:
2ab – 3a – 2ab + 3a + ab
(2ab – 2ab + ab) + (– 3a + 3a) = ab
Reduzca las siguientes expresiones:
1. m + 2m
2. a + 2a + �a
3. m2 – 2m2 – �m2
4. 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2
5. 3a – 2b – 5b + �a
6. a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2
7. x2yz + 3xy2z – 2xyz2 – 3xy2z + xyz2 – x2yz
8. 2pq + 3p – 12q – 15q + �pq – 13p
9. 2x – 6y – 2x – 3y – 5y
10. 15a + 13a – 12b – 11a – 4b – b
11.
12.
13.
14.
15. 2p +
34
q – �p +
32
q
16. a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
17. 0,2 m – 0,02n + 1,0�m – 1,03n – m – n
18. 0,5x2y – 0,4xy2 + 0,3x2y – 0,2xy2 + x2y
19. 1,1�a – 2,15a – 3,25a + 4,141a
11. a2
+ a3
+ a4
12. a2b5
– 2ab2
3+ 3ab2
2– 6a2b
5
13. m – m2
+ 2m3
– m4
14. 3a – b2
+ 3a – b5
15. 2p + 34
q – �p + 32
q
11. a2
+ a3
+ a4
12. a2b5
– 2ab2
3+ 3ab2
2– 6a2b
5
13. m – m2
+ 2m3
– m4
14. 3a – b2
+ 3a – b5
15. 2p + 34
q – �p + 32
q
11. a2
+ a3
+ a4
12. a2b5
– 2ab2
3+ 3ab2
2– 6a2b
5
13. m – m2
+ 2m3
– m4
14. 3a – b2
+ 3a – b5
15. 2p + 34
q – �p + 32
q
Ejercicios
I.
1�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Elimine paréntesis y reduzca los términos semejantes:
1. a + b + a – b
2. a + b + b – a
3. a – b + a + b
4. a – b – a + b
5. 2a – 2a – 3b – b
6. 3x + 2y – x – x – y
11. 3x + 2y – 2x – 3x – 2y – 3x – 2x – y
12. 3y – 2z – 3x – x – y – z – x – 2x
13. 12
a – 23
b – 34
a – 43
b
14. 15
a – 12
a – 23
a – a
7. 2m – 3n – – 2m + n – m – n
8. – a + b – c – – a – b + c + a – b + c
9. – x2 – y2 + 2x2 – 3y2 – x2 – 2x2 – 3y2
10. – – a – 2b – a + 2b – – a – 3b
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
II.
20 . 1 + x + xy – 2 + 2 x – 3 xy – 3 + 2 xy – 3 x
21 .15
m2n– 23
mn– 32
m2n +3
10m2 n –
83
mn
22 .274
p –356
q +14
p –16
q
23 . u2 + u v + v 2 – 2 u2 + 3 uv – v 2
24 .113
s–34
t+23
s–13
s–53
s+ t+14
t
25 . 0,117 a – 0 ,3 5b – 2 ,2 5b – 1 ,1b + 3,04 a
26 . 10 a + 5a2 – 1 3a3 – 2 a – 9 a3 + 1 6a2 + a
27 .16
pt –25
p –34
t+23
pt –35
p +74
t+16
pt
28 . x2yz – x y2z2 + x y2z2 – x 2y2z2
29 .34
a2 b –23
ab2 – a2 b – 3a b2 +12
ab2
30 . 0,7m –17
p – 0,04 m + 0,3p –34
p
Álgebra en los números reales1�
20. Si P = x2 + 3x – 2 y Q = 2x2 – 5x + �, obtenga P + Q.
21. Si P = 3x – x2 y Q = 3x2 – x, obtenga Q – P y P – Q.
22. Si M = 2a2 + 3a3 + a4 y N = a4 – 3a2 + 2a, obtenga M + N y M – N.
23. Si P = x3 – 5x2 – 1; Q = 2x2 – �x + 3 y R = 3x3 – 2x + 2, obtenga P + Q – R y P – (Q – R).
24. Si P = m6 + m3 – m; Q = m5 + 2m4 – 3m3 + 2m y N = m6 + m5 – 2m3 + m, obtenga P + Q – N y N – P.
25. Si A = ab + 2b; B = a – ab y C = a + b + ab, encuentre A + B + C ; A + B – C y A – (B + C).
26. Si P = a + b
2 y Q = a – b
2 , entonces encuentre el valor de P + Q.
27. Si P = 12
a – 13
b – 24
c y Q = 23
a + 32
b + 24
c, encuentre Q – P.
28. Si A = 2x3 + 3x2 – 2x + 5 y A + B = x3 – 3x2 + x – 4, encuentre B.
29. Si A = 3x3 – 2x2 + 5x – 1; B = 2x3 – 3x – 3 y A – B + C = x3 – 2x2 – 3x – 2, encuentre C.
30. Si P = 1 – x3; Q = 1 – x2; R = 1 – x, determine P – (Q + R + 3).
I. 1. 3m 2. 12a 3. – �m2 4. – 5x2y2 5. 12a – �b 6. – 3a2 7. – xyz2
8. �pq – 10p – 2�q 9. – 14y 10. 1�a – 1�b 11. 13a12
12. – a2b + 56
ab2
13. 11m12
14. �10
3a – b 15. – 5p + �4 q 16. – a2 + 4a3 – 3a4 17. 0,2�m – 2,05n
18. 1,�x2y – 0,6xy2 19. – 0.0�� a 20. – 4 21. – m2n – 103
mn 22. �p – 6q
23. – u2 + 4uv 24. �3
s + 12 t 25. 3,15�a – 3,�b 26. �a + 21a2 – 22a3
27. pt – p + t 28. x2yz – x2y2z2 29. – 14
a2b – 1�6
ab2 30. 3350
m –�3
140p
17. a – b – a2
– b2
+ a + b
18. 1 + a + b – 12
+ a3
+ b4
19. 114
x2 – 325
y2 – 154
x2 – 34
x2 – 125
y2 – 1225
y2 – �25
y2
15. 34
x + 25
y – x – 2y – 15
y – 23
x
16. a – a2
– b2
– b
17. a – b – a2
– b2
+ a + b
18.
19.
Soluciones
1�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Multiplicación de potencias.
La expresión an se llama potencia de base “a” y exponente “n”. Se cumple:
an • am = an + m
(an)m = an • m
a0 = 1 con a 0
(ab)n = an • bn
Multiplicación de 2 o más monomios.Multiplicamos los coeficientes numéricos y los factores literales
entre sí (hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación).
Multiplicación de un monomio por un polinomio.Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (hace-
mos uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición).
Multiplicación de dos polinomios.Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término
del segundo. Siempre que sea posible, es necesario reducir términos semejantes.
1. 2a 2. 2b 3. 2a 4. – 2b 5. 2b 6. 3x + y
7. 5m – 5n 8. a – b + c 9. 2x2+ y2 10. a – 3b 11. 5x + y 12. 4y – 3z – x
13. – 14
a + 23
b 14. –1�a30
15. 135
y – 1112
x 16. a2
+ b2
17. 3a2
+ b2
18. 12
+ 23
a + 34
b 19. – �4
x2 – y2 20. 3x2 – 2x + 5
21. Q – P = 4x2 – 4x
P – Q = 4x – 4x2
22. M + N = 2a4 + 3a3 – a2 + 2a
M – N = 5a2 + 3a3 – 2a
23. P + Q – R = -2x3 – 3x2 – 5x
P – (Q – R) = 4x3 – �x2 + 5x – 2
24. P + Q – N = 2m4
N – P = m5 – 3m3 + 2m
25. A + B + C = 2a + 3b + ab
A + B – C = b – ab
A – (B + C) = ab + b – 2a
26. P + Q = a
27. Q – P = 16
a + 116
b + c
28. B = – x3 – 6x2 + 3x – �
29. C = – 11x – 4
30. P – (Q + R + 3) = –x3 + x2 + x – 4
Multiplicación algebraica
II.
1.4
Álgebra en los números reales20
Ejercicios resueltos
Efectúe las siguientes operaciones:
1. a6 • a� = a6 + � = a13
2. (ab)4 = a4 • b4
3. x5 • x� • x4 = x5 + � + 4 = x1�
4. 2a2 • 3ab = 2 • 3 • a2 • a • b = 6a3b
5. – 5x2 y4 • – 3x6 • – 2y6 = – 5 • – 3 • – 2 • x2 • x6 • y4 • y6 = – 30x� y10
6. – 4a2b (a2 + ab – b) = – 4a2b • a2 – 4a2b • ab – 4a2b • (– b)
= – 4a4b – 4a3b2 + 4a2b2
7. (3m5 – 2m4 – mp) • – 3m = 3m5 • (– 3m) – 2m4 • (– 3m) – mp • (– 3m)
= – �m6 + 6m5 +3m2p
8. (2x + y) (3x + 2y) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)
= 2x • 3x + 2x • 2y + y • 3x + y • 2y
= 6x2 + 4xy + 3yx + 2y2
= 6x2 + �xy + 2y2
1. a2 • a3
2. m3 • m4 • m5
3. x2 • x3 • x3
4. a • ab
5. xy • x2y
6. a • a2b • a3b2
7. 2a • ab6
8. 3xy2 • 5x2y3
9. 2m • 5n
10. ax • – axy
11. – 2x • 3xy • – 2x
12. – 3a2b • – 5abc • c4
13. �abc • – 2a2bc�
14. m2p • – m
15. abc • 2abc
16. 3x2y • x3y6 • – y
17. – 4abc • – 3a2b2 • 12ab5c�
18. 2pr • 3pr5 • pr2 • �p3r4
19. – 6x3 • – 6x3
20. – 2ax4 • – 3ax5 • – 3a2x4
21. an • an + 1
22. 2am • 3an
23. xp + 1 • xp – 1
24. p2x • p3x – 2 • px + �
25. 2a • 2a – 3 • – 2a – �
26. a2n – 3 • a3n – 2 • a2 – 3n
27. a2x – 5 • bx + 1 • a2x + 2 • bx – 1
(los términos 4xy y 3yx son semejantes, por lo tanto deben reducirse).
Ejercicios
I.
21Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
28. pa • pa + 2 • q2a – 3 • q5 – 3a
29. ax – 4 • bx + 4 • c2x • ax • b2x • cx + 2
30. (ab)5 • a4 • b2
31. (mp)3 • (mp)2 • mp
32. (2x)x + 1 • (2x)x + 2 • (2x)x – 3
33. (m2n)5 • m5 • n6
34. (a2)3 • (a3)4 • a6
35. 2x • (2x)6a – 2 • (2x)3a + 4
36. 12
a3 • 13
a2 • 5a6
Monomio por polinomio:
1. 3a (a – 2b)
2. – 5x (2 – 3x2 – 5x)
3. �b (2a – b)
4. 3x2 (3x6 – 2x4 + x3 – 2x + 3)
5. – 6x5y3 (3x2y – 4xy4 – 2x2 y2)
6. (4xy – 5xy4) • – 6xy
7. (3m2 – 2mn + n6) • 13m4n2
8. – 15m2np4 (mn6p2 – m4n4p2 + mnp)
9. 6m2(2m – 5n) – 3m(6m2 + 4n)
10. p2q4(2pq – pq3 – 1) + 3p3q2 (q3 – q5 + p2)
11. – 3a6 b2(– ab3 + ab + a4b6) – 3a�b3(b2 – 1)
12. 20 abc(a + b – c)
13. a5b2 – a5(a2 – ab + b2)
14. 3x6y4(x2 + xy + y2)
15. – 3b(2ab + b2 + 5bc)
16. �a6b�c�(2abc – 5a2b + 4ab2c2 – abc3)
17. (x6y21 – 4xy11 – �x10y2) • – 3x6y2
18. 12
x 34
x – 23
y
19. – 13
a2 12
ab + 35
ab2
20. 34
x2y6 25
xy4 + 4xy2 – 1
36.
37. – 125
a4b2c� – 54
a2bc – 10 abc11 – 4ab2
– �3
x2y4 x2y3 – xy4 + y11
37. 23
b4 • 3�
b� • – 43
b4
38. –65
x3y2 • 154
x6y5
39. –��
a6b4 • 25
ab2c3 • – 34
a2b5c11
40. 0,1a6b�c4 • 0,02abc4 • 0,1a2b
41. 0,03a5b4 • 1,3a4b� • 2,�ab6
42. 0,5xyz4 • 2,1x2yz • – 3,1x6
43. 1,03a4b • – 1,3a3b4
44. 0,06m2n6p2 • 0,6mn6p4
45. 25
a6 • b12 • – 3a4b5 • 0,5a2b4
21. �3
p2q 14
pq – 15
pq3 + 2pq
22. – 1�
a2b3c6 abc – �a2b2c2
23. – 35
x6y2z4 1 – xyz4 + 23
x4y2z6
24. – 34
m�n2 14m6n – 23
mn4 – 2�
m6n2
25. 25
x2y x2y – xy2
26. – 12
a6b4c3 45
ab2 – 4�
a3b2 – 14
a
27. 0,03a6b2 (1 – a2b2 – 0,03ab3)
28. – 0,5m4n2 (– 0,5m6n – 2mn3 + 3,5mn3)
29. 0,0�a4b2 (100ab4 – 10ab3 – 2ab)
30. 1,2x6y11 (2,1xy� –1,1x2y2 + 2,1xy�)
31. 0,5abc (a2 – b2 – c2) + 4,�abc (a2 – b2 – c2)
32. – 2,2x6y3z (1,1xyz – 1,2x2y2z2 + 3xyz3)
33. 34
p2qr12 – 35
p2qr3 + 34
pqr6
34. – 25
m11n10p 10m2n – 35�
m6n2 + 2
35. – 1��
x�y6 1 – 34
x6y11 – 2�34
x6y�
II.
Álgebra en los números reales22
1. (x + y) ( x2 + y2) 18. (2p – 4) (2p + �)
2. (2a + b ) (3a – 2b) 19. (2x – 3y – 4z) (x + y + z)
3. (1 – x) (1 – y) 20. (x2 + y2 – z2)(2x – 3y – 4z)
4. (2x – 6y) (x2 – 2xy) 21. (a + 1) (an + an + 1 + an + 2)
5. (x2 + 3x2y) (– 3xy2 + 4xy3) 22. (a – 1) (an – 1 + an + an + 1)
6. (4x + y) (– 2x – 5xy) 23. (u – v) (u2 – 3uv + v2)
7. (6a – 5b) (2b + �a) 24. (x + y) (x2 + 2xy + y2)
8. (a + b + 1) (a – b) 25. (– 3x + y2) (x2 – xy – y)
9. (2a – 3ab + b2) (b – b2) 26. (2y + 3x) (x2 – xy + 2y2)
10. (5x2y + 2xy2 – 3xy) (x – y2) 27. (– 3x – 2y + z) (x + y – 3z)
11. (m2 + n2 – mn) (2m – 3n) 28. (x – y) (x2 + xy + y2)
12. (– 3xy – 2xy2) (xy2 – 5xy) 29. (x + y) (x2 – xy + y2)
13. (2p2q + 3pq11 – 5pq4) (– 3pq + 2p) 30. (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
14. (x2 + 1) (x2 – 1) 31. (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3)
15. (a + b) (a – b) 32. (x + y) (xn – 1 + xn – 2 + xn – 3)
16. (x + 4) (x – 6) 33. (p2 – q2) (pn – pnqn – qn)
17. (a2 + 5) (a2 + �)
I. 1. a5 2. m12 3. x� 4. a2b 5. x3y2 6. a6b3
7. 2a2b6 8. 15x3y5 9. 10 mn 10. – a2x2y 11. 12x3y 12. 15a3b2c5
13. – 14a3b2c� 14. – m3p 15. 2a2b2c2 16. – 3x5y� 17. 144a4b�c�
18. 42p6r12 19. 36x6 20. –1�a4x13 21. a2n + 1 22. 6am + n 23. x2p
24. p6x + � 25. – 23a – 12 26. a2n – 3 27. a4x – 3 b2x 28. p2a + 2 q2 – a
29. a2x – 4b3x + 4c3x + 2 30. a�b�
Efectúe las siguientes operaciones:III.
Soluciones
23Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
III. 1. x3 + xy2 + x2y + y3 2. 6a2 – ab – 2b2 3. 1 – x – y + xy
4. 2x3 – 10x2y + 12xy2 5. – 3x3y2 – 5x3y3 + 12x3y4 6. – �x2 – 20x2y – 2xy – 5xy2
7. 42a2 – 23ab – 10b2 8. a2 – b2 + a – b 9. 2ab – 5ab2 + 3ab3 + b3 – b4
10. 5x3y – 5x2y3 + 2x2y2 – 2xy4 – 3x2y + 3xy3 11. 2m3 – 5m2n + 5mn2 – 3n3
12. �x2y3 + 15x2 y2 – 2x2y4 13. – 6p3q2 + 4p3q – �p2q12 + 6p2q11 + 15p2q5 – 10p2q4
14. x4 – 1 15. a2 – b2 16.x2 – 2x – 24 17. a4 + 12a2 + 35 18. 4p2 + 6p – 2�
19. 2x2 – xy – 3y2 – 2xz – �yz – 4z2
20. 2x3 – 3x2y – 4x2z + 2xy2 – 3y3 – 4y2z – 2xz2 + 3yz2 + 4z3
21. an + 2an+1 + 2an+2 + an+3 22. an+2 – an–1 23. u3 – 4u2v + 4uv2 – v3
24. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 25 . – 3x3 + 3x2y + 3xy + x2y2 – xy3 – y3
26. 3x3 – x2y + 4xy2 + 4y3 27. – 3x2 – 5xy + 10xz – 2y2 + �yz – 3z2 28. x3 – y3
29. x3 + y3 30. a5 + b5 31. a4 – b4 32. xn + xn–1 + xn–2 + yxn–1 + yxn-2 + yxn–3
33. pn+2 – pn+2qn – p2qn – q2pn + qn+2pn + qn+2
31. m6p6 32. (2x)3x 33. m15n11 34. a24 35. (2x)�a + 3 36. 56
a11
37. – 13
b15 38. – �2
x�yy � x� y� 39. 4
15 a�b11c14 40. 0,0002a�b�c� 41. 0,1053a10 b1�
42. – 3,255x�y2z5 43. – 1,33�a�b5 44. 0,036m3n12p6 45. – 35 a12b21
II. 1. 3a2 – 6ab 2. –10x + 15x3 + 25x2 3. 14ab – �b2
4. �x� – 6x6 + 3x5 – 6x3 + �x2 5. –1�x�y4 + 24x6y� + 12x�y5
6. – 24x2y2 + 30x2y5 7. 3�m6n2 – 26m5n3 + 13m4n�
8. – 15m3n�p6 + 15m6n5p6 – 15m3n2p5 9. – 6m3 – 30m2n – 12mn
10. 5p3q5 – 4p3q� – p2q4 + 3p5 q2 11. – 3a10b� 12. 20a2bc + 20ab2c – 20abc2
13. – a� + a6b 14. 3x�y4 + 3x�y5 + 3x6y6 15. – 6ab2 – 3b3 – 15b2c
16. 14a�b�c10 – 35a�b�c� + 2�a�b10c11 – �a�b�c12
17. – 3x12y23 + 12x� y13 + 2�x16y4 18. 3�
x2 – 13
xy 19. – 16
a3b – 15
a3b2
20. 310
x3y10 + 3x3y�– 34
x2 y6 21. 23
p3q2 – �15
p3q4 + 163
p3q2
22. – 1�
a3b4c� + a4b5c� 23. 35
x6y2z4 – 35
x�y3z� + 25
x10y4z10
24. – 212
m13n3 + 12
m�n6 + 16
m13n4 25. 25
x4y2 – 25
x3y3
26. – 25
a�b6c3 + 2�
a�b6c3 + 1�
a�b4c3 27. 0,03a6b2 – 0,03a�b4 – 0,000�a�b5
28. 14
m10n3 + m5n5 – �4
m�n3 29. �a5b6 – 0,�a5b5 – 0,14a5b3
30. 2,52x�y20 – 1,32x�y13 + 2,52x�y1� 31. 5,3a3bc – 5,3ab3c – 5,3abc3
32. – 2,42x�y4z2 + 2,64x�y5z3 – 6,6x�y4z4 33. –�20
p4q2r15 + �16
p3q2r1�
34. – 4m13n11p + �4
m1�n12p – 45
m11n10p 35. –1��
x�y6 + 1�12
x14y1� + 32
x14y14
36. – �3
x4y� + �3
x3y� – �3
x2y15 37. 3a6b3c� + 24a5b3c1� + 4�5
a5b4c�
Álgebra en los números reales24
Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar término a término primero, y luego reducir. Éstos son:
Cuadrado de un binomio.El desarrollo de este producto corresponde al cuadrado del primer
término, más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Suma por diferencia.Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Producto de binomios con un término común.
Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea:
(x + a) (x + b) = x2 + x • (a + b) + ab
Cubo de un binomio.Corresponde al cubo del primer término, más (o menos) el triple
del cuadrado del primer término multiplicado por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo y más (o menos) el cubo del segundo. Así:
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
Para obtener otras potencias de un binomio podemos determinar los coeficientes mediante el triángulo de Pascal, que se obtiene de la siguiente manera:
• Comienza y termina con 1.
• Cada coeficiente se obtiene sumando los dos correspondientes según el orden en la fila anterior.
• La primera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)0
• La segunda fila corresponde a los coeficientes de (a + b)1
• La tercera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)2
Así, la fila n-ésima nos entrega los coeficientes de (a + b)n – 1.Los factores literales se obtienen de la siguiente manera:
En (a + b)n debe haber (n + 1) términos.
El primer factor literal es an ; el segundo es an – 1 • b1 ; el tercero es an – 2 • b2 y así sucesivamente. El grado del término “a” decrece a medida que el grado de “b” aumenta hasta terminar en bn.
(Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor literal señalado más arriba).
Productos notables1.5
25Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
1. (2 + x)2 = 22 + 2 • 2 • x + x2
= 4 + 4x + x2
2. (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2 • 3a • 5b + (5b)2 = �a2 – 30ab + 25b2
3. (2x – y) (2x + y) = (2x)2 – y2
= 4x2 – y2
4. a2
+ 5y a2
– 5y = a2
2– 5y 2
= a2
4– 25y2
5. (x + �) (x + 5) = x2 + (5 + �)x + 5 • � = x2 + 13x + 40
6. (2a + 3) (2a – �) = (2a)2 + (3 – �) • 2a + 3 • – � = 4a2 – 4 • 2a – 21 = 4a2 – �a – 21
7. (p + 2)3 = p3 + 3 • p2 • 2 + 3 • p • 22 + 23
= p3 + 6p2 + 3p • 4 + � = p3 + 6p2 + 12p + �
8. (2t – r)3 = (2t)3 – 3(2t)2 • r + 3(2t) • r2 – r3 = �t3 – 3 • 4t2 • r + 6t • r2 – r3
= �t3 – 12t2r + 6tr2 – r3
9. (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
10. (2a + y)5 = 1(2a)5 + 5(2a)4 • y + 10 • (2a)3 • y2 + 10(2a)2 • y3 + 5(2a)y4 + 1 • y5
= (2a)5 + 5 • 16a4y + 10 • �a3y2 + 10 • 4a2y3 + 10ay4 + y5
= 32a5 + �0a4y + �0a3y2 + 40a2y3 + 10ay4 + y5
Representación geométrica de expresiones algebraicas.
A(ABCD) = (a+b) (a–b)
Tenemos A(EFGA) = A(HBCI)
\ A(ABCD) = A(EFGHIDA) que es a2 – b2
a•b
D
A
C
Bb
a
D
A
H
C
B
I
J
K
a•b b2
a•ba2a
b
a b
D
A
E F J
H B
CIa b
a–b
b
a–b b
b2
aG
a2
+ 5y a2
– 5y = a2
2– 5y 2
= a2
4– 25y2
a) La expresión a•b representa el área del rectángulo de lados a y b.
b) Observemos el cuadrado del binomio (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
c) Observemos el producto de una suma por su diferencia:
Álgebra en los números reales26
1. (u – v) (u + v)
2. (x + 2y) (x – 2y)
3. (3a – b) (3a + b)
4. (5x2 – 3y) (5x2 + 3y)
5. (2x – 3xy) (2x + 3xy)
6. (6a + 1) (6a – 1)
7. (�m2 – 3n) (�m2 + 3n)
8. (– 4a2b + 5b) (4a2b + 5b)
9. (– 6m2n3 – �m) (– 6m2n3 + �m)
10. (10a2 – 1) (10a2 + 1)
11. b2 – 12
b2 + 12
12. 2a3
– 5b 2a3
+ 5b
13. (2a + b) (2a – b) – (2a + b)2
Suma por diferencia.
14. (a + 5x) (a – 5x)
15. (– �x2 + 5xy) ( – �x2 – 5xy)
16. (–13n5p2 + 1) (13n5p2 + 1)
17. (1 – a) (1 + a) – (1 – 2a) (1 + 2a)
18. (x2 – 2xy) (x2 + 2xy) + (x2 + 2xy)2
19. (1 – w5) (1 + w5)
20. 34
p� – 25
q4 34
p� + 25
q4
21. abc2x
+ 4x abc2x
– 4x
22. (0,05x12 – 2) (0,05x12 + 2)
23. (6x5y2z3 – 1) (6x5y2z3 + 1)
24. 2p +q
42p –
q
4
25. (0,3x2y – 2z) (0,3x2y + 2z)
Cuadrado de binomio.
1. (x + y)2
2. (p – q)2
3. (2p + q)2
4. (3a + b)2
5. (2a – 3b)2
6. (x + 1)2
7. (a – 6)2
8. (x + �)2
9. (3p – 1)2
10. (x + 5)2
11. (6x – 5y)2
12. (2m – 1)2
13. (6x2y + 2x)2
14. (4pq – 3q)2
15. (�x2 – �y2)2
16. (�a2b + �ab6)2
17. (15x2y – 3xy2z6)2
18. (2a – 3b)2 + (3a – 5b)2
19. (11x – 5y)2 – (13x + 3y)2 + (x – 2y)2
20. a2
+ 2b2
+ 2a – b2
2
21. 3a – b5
2
22. 23
x2 – 35
yz2
23. (0,1a2 – 0,2abc)2
24. (1,5xy2 + 2,5x2y)2
25. 34
a2b3 – 35
ab62
Ejercicios
I.
II.
2�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
1. (a + b)3 10. (1 – 3y)3
2. (p – q)3 11. (2 + 3t)3
3. (x + 2)3 12. (3a – 2x)3
4. (a – 3)3 13. (5a – 1)3
5. (t + 4)3 14. (3a2 – 2a)3
6. (2 – a)3 15. (t2 + t3)3
7. (2a – b)3 16. (1 + x4)3
8. (3a – 5b)3 17. (2t – 3a2)3
9. (2x + 3y)3 18. (u2 + 5v)3
Cubo de un binomio.
19. (3a2 – 2b) (3a2 – 5b)
20. (�a – 4) (�a + 11)
21. (6x2 – 2y) (6x2 – �y)
22. (4a2b – 3a) (4a2b + �a)
23. a4
– 2b a4
– 6b
24. 3a5
– 5b 3a5
+ �b
25. 3p
4+ 3q
3p
4+ q
1. (2a + b)4
2. (x – 2y)5
3. (a + b)6
4. (2a – 1)�
5. (3a + 2)6
6. x2
+y
2
4
7. (3a + 4)4
Otras potencias de binomios.
8. 12
+ a5
9. 2a3
– 3a4
10. (x + 1)5
19. 12
– a3
20. 12
x + 2y3
21. 23
a – 13
b3
22. 52
p + 32
q3
23. 110
m – 15
n3
24. a – a3
3
25. 12
t + 2t23
Producto de binomios con término común.
1. (a + 2) (a + 3)
2. (x + 5) (x + 4)
3. (t + 2 ) (t – 3)
4. (a + 5 ) (a – �)
5. (x – �) (x – 1)
6. (a – �) (a – �)
7. (x + 2) (x – 12)
8. (x + 3) (x + �)
9. (x – 4) (x – 6)
10. (x + 6) (x – 2)
11. (x – 3) (x – �)
12. (x – 13) (x + 2)
13. (a – �) (a + 12)
14. (x2 + 5) (x2 + 3)
15. (a2 – 3) (a2 + 4)
16. (2b + 5) (2b + �)
17. (6x – 3) (6x + 5)
18. (2a + 3b) (2a + 5b)
Representación geométrica de expresiones algebraicas.Investigar de qué manera se pueden representar como suma o resta de áreas los siguientes productos.
1. (a–b)2 = a2 – 2ab + b2
2. (x+a) (x+b) = x2 + (a+b)x + ab
3. (x–a) (x+b) = x2 + (b–a)x – ab
4. (x–a) (x–b) = x2 – (a+b)x + ab
5. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
4
5
4
III.
IV.
V.
VI.
Álgebra en los números reales2�
I. 1. x2 + 2xy + y2 2. p2 – 2pq + q2 3. 4p2 + 4pq + q2 4. �a2 + 6ab + b2
5. 4a2 – 12ab + �b2 6. x2 + 2x + 1 7. a2 – 12a + 36 8. x2 + 1�x + �1
9. �p2 – 6p + 1 10. x2 + 10x + 25 11. 36x2 – 60xy + 25y2
12. 4m2 – 4m + 1 13. 36x4y2 + 24x3y + 4x2 14. 16p2q2 – 24pq2 + �q2
15. �1x4 – 126x2y2 + 4�y4 16. 64a4b2 + 112a3b�+ 4�a2b12
17. 225x4y2 – �0x3y3z6 + �x2y4z12 18. 13a2 – 42ab + 34b2
19. – 4�x2 – 1�2xy + 20y2 20. 1�a2
4+ 1�b2
4 21. �a2 – 6
5ab + b2
25
22. 4�
x 4 – 45
x2yz + �25
y2 z2 23. 0,01a4 – 0,04a3bc + 0,04a2b2c2
24. 2,25x2y4 + �,5x3y3 + 6,25x4y2 25. �16
a4b6 – �10
a3b � + �25
a2 b12
II. 1. u2 – v2 2. x2 – 4y2 3. �a2 – b2 4. 25x4 – �y2 5. 4x2 – �x2y2
6. 36a2 – 1 7. �1m4 – �n2 8. 25b2 – 16a4b2 9. 36m4n6 – 4�m2
10. 100a4 – 1 11. b4 – 14
12. 4a2
�– 25b2 13. – 4ab – 2b2 14. a2 – 25x2
15. �1x4 – 25x2y2 16. 1 – 16�n10p4 17. 3a2 18. 2x4 + 4x3y 19. 1 – w10
20. �16
p14 – 425
q� 21. a2b2c2
4x2 – 16x2 22. 0,0025 x24 – 4 23. 36x10y4z6 – 1
24. 4p2 – q2
16 25. 0,0� x4y2 – 4z2
III. 1. a2 + 5a + 6 2. x2 + �x + 20 3. t2 – t – 6 4. a2 – 4a – 45
5. x2 – �x + � 6. a2 – 16a + 63 7. x2 – 10x – 24 8. x2 + 11x + 24
9. x2 – 10x + 24 10. x2 + 4x – 12 11. x2 – 11x + 24 12. x2 – 11x – 26
13. a2 + 5a – �4 14. x4 + �x2 + 15 15. a4 + a2 – 12 16. 4b2 + 2�b + 45
17. 36x2 + 12x – 15 18. 4a2 + 16ab + 15b2 19. �a4 – 21a2b + 10b2
20. �1a2 + 63a – 44 21. 36x4 – 54x2y + 14y2 22. 16a4b2 + 24a3b – 2�a2
23. a2
16 – 2ab + 12b2 24. �a2
25+ �ab
5 – 40b2 25.
�p2
16 + 3pq + 3q2
IV. 1. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2. p3 – 3p2q + 3pq2 – q3 3. x3 + 6x2 + 12x + �
4. a3 – �a2 + 2�a – 2� 5. t3 + 12t2 + 4�t + 64 6. � – 12a + 6a2 – a3
7. �a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 8. 2�a3 – 135a2b + 225ab2 – 125b3
9. �x3 + 36x2y + 54xy2 + 2�y3 10. 1 – �y + 2�y2 – 2�y3
11. � + 36t + 54t2 + 2�t3 12. 2�a3 – 54a2x + 36ax2 – �x3
Soluciones
2�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
13. 125a3 – �5a2 + 15a – 1 14. 2�a6 – 54a5 + 36a4 – �a3
15. t6 + 3t� + 3t� + t� 16. 1 + 3x4 + 3x� + x12 17. �t3 – 36t2a2 + 54ta4 – 2�a6
18. u6 + 15u4v + �5u2v2 + 125v3 19. 1�
– 34
a + 32
a2 – a3
20. 1�
x3 + 32
x2y + 6xy2 + �y3 21. �2�
a3 – 4�
a2 b + 2�
ab2 – 12�
b3
22. 125�
p3 + 225�
p2 q + 135�
pq2 + 2��
q3 23. 11.000
m3 – 3500
m2 n + 3250
mn2 – 1125
n3
24. �2�
a3 25. 1�
t3 + 32
t4 + 6 t5 + � t6
V. 1. 16a4 + 32a3b + 24a2b2 + �ab3 + b4
2. x5 – 10x4y + 40x3y2 – �0x2y3 + �0xy4 – 32y5
3. a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
4. 12�a� – 44�a6 + 6�2a5 – 560a4 + 2�0a3 – �4a2 + 14a – 1
5. �2�a6 + 2.�16a5 + 4.�60a4 + 4.320a3 + 2.160a2 + 5�6a + 64
6. x4
16+
x3 y
4+
3x2 y2
�+
xy3
4+
y 4
167. �1a4 + 432a3 + �64a2 + �6�a + 256
8. 132
+ 516
a + 54
a2 + 52
a3 + 52
a4 + a5
9. 2.401
�1a4
10. x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1
Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguien-tes casos:
1.6.1 Factor común (monomio y polinomio)
Aquí, todos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.
Factorización1.6
Álgebra en los números reales30
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos la expresión 2a + 6a2
Vemos que el término 2a está contenido en ambos términos del binomio que queremos factorizar; por lo tanto, 2a es el factor común y escribimos 2a + 6a2 = 2a (1 + 3a).
El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales hay que multiplicar el factor común (2a) para obtener los términos de la expresión original.
2. Factoricemos la expresión 6xy2 – 15x2 y + 21x2 y2
El coeficiente numérico contenido en los tres términos de la expre-sión es el tres y el factor literal es xy; por lo tanto, el factor común es 3xy. Y escribimos:
6xy2 – 15x2y + 21x2y2 = 3xy (2y – 5x + �xy).
3. Factoricemos la expresión 5a6
3b2– 10a2
21b– 20a3
�b4
El término o factor común de los numeradores es 5a2 y el de los denominadores es 3b; por lo tanto, el factor común de la expresión
es: 5a2
3b y escribimos:
5a6
3b2– 10a2
21b– 20a3
�b4= 5a2
3b a4
b– 2
�– 4a
3b3
4. Factoricemos la expresión m (2a + b) – 3n (2a + b).
Aquí podemos considerar el paréntesis (2a + b) como un solo tér-mino y podemos factorizar por él. Entonces nos queda:
m (2a + b) – 3n (2a + b) = (2a + b) (m – 3n)
5. Factoricemos la expresión a (p – q) – p + q
Aquí no encontramos un término común en forma inmediata, pero podemos hacer una asociación adecuada y nos queda:
a (p – q) – p + q = a (p – q) – (p – q) = (p – q) (a – 1)
Observación 1: El proceso está completo si no es posible seguir facto-rizando dentro de los paréntesis (o factores) obtenidos.
Observación 2: Por la propiedad conmutativa de la multiplicación no importa el orden en que se entregue el resultado.
31Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Factorice las siguientes expresiones:
1. m2 + 3m
2. a2 + ab
3. 3a – 12ab
4. a2b2 + a3b3 – ab
5. 2pq2 – 3p2q
6. 6x2y5 – 12x2y6 – 1�x3y4
7. 2ab + 2ac + 2ad
8. 26x2y6 – 13x6y2
9. x2y2 – xy
10. 21a6 – 14a5 + 56a�
11. a + a2 + a3 + a4
12. 3a2b – 6a3b – 12ab3
13. 15mn – 10m
14. 2q + 2q2 + 2q6
15. 10q5 – 30pq5 – 15pq6
16. 1�gh5 – 4g2h2 – �g3h3
17. �y6x2 – 35yx4 – 2�y4
18. 2 – 2x
19. a + a2
20. a6 – �a5 – 5a4
21. 4m5r6 – 6m4r5 – 16m5r3
22. a2b2c6 – a3b5c2 + a�b3c2
23. x2 – x2y2 – x2y3 + x2y4
24. 2xyz – 2xy
25. 6a + 36a6
26. t� + t� + t5
27. 12ab6 – 12ab5
28. x6y�z12 + x6y�z6 + x5y�z10
29. a2
2– a3
2– a4
2
30. 3a
b+ 12a
b2– 21a
b3
31. p2q2
2ab+ pq
2ac+ p3q3
2abc
32. c5
5– c4
10– c3
15
33. a2b2
x+ a3b3
x2– a2b2
x3
34. m20
20+ m10
10– m5
5
35. – p2q + 2pq2
36. 3 (a – 2) – a (a – 2)
37. a (x + 4) + b (x + 4) + c (x + 4)
38. x (z2 + a2) + 2 (z2 + a2)
39. m (a – c) + a – c
40. m (a – c) – a + c
41. a (x2 + y2 + z2) – x2 – y2 – z2
42. 2a – b + 3a (2a – b)
43. a + ax + ax2
44. c (3 – 5c) – 2d (3 – 5c)
45. a2 + c2
2b– a2 + c2
2q– a2 – c2
46. 3x (2x – y) – 2x + y
47. (a + b) (a + c) – (a + b ) (a + d)
48. (1 + a) (x – y) – (x – y)2
49. (a2 + 6) (a2 + b) + a (a2 + b)
50. (2 + a + c) (a – c) + (2 + a + c) (b – d)
51. x2 + y2 + z2 + 2a (x2 + y2 + z2)
52. a (b + x) + b (b + x) + c (b + x)
53. 2
15a – 4
5ab – 16
25abc
54. m (x + y – z) – n (x + y – z) – p (x + y –z)
55. 34
a2b – 32
a2 b2 – 3�
a2 b3
56. x2 + y2
�a– x2 – y2
Ejercicios
Álgebra en los números reales32
Ejercicios resueltos
38. (x + 2) (z2 + a2)
39. (a – c) (m + 1)
40. (a – c) (m – 1)
41. (x2 + y2 + z2) (a – 1)
42. (1 + 3a) (2a – b)
43. a (1 + x + x2)44. (3 – 5c) (c – 2d)
45. a2 + c2 12b
– 12q
– 1
46. (2x – y) (3x – 1)
47. (a + b) (c – d)
48. (x – y) (1 + a – x + y)
49. (a2 + b) (a2 + 6 + a)
50. (2 + a + c) (a – c + b – d)
51. (x2 + y2 + z2) (1 + 2a)52. (b + x) (a + b + c)
53. 25
a 13
– 2b – �bc5
54. (x + y – z) (m – n – p)
55. 32
a2 b 12
– b – 14
b2
56. x2 + y2 1�a
– 1
1. m (m + 3)
2. a (a + b)
3. 3a (1 – 4b)
4. ab (ab + a2b2 – 1)
5. pq (2q – 3p)
6. 6x2y4 (y – 2y2 – 3x)
7. 2a (b + c + d)
8. 13x2y2 (2y4 – x4)
9. xy (xy – 1)
10. �a5 (3a – 2 + �a2)
11. a (1 + a + a2 + a3)
12. 3ab (a – 2a2 – 4b2)
13. 5m (3n – 2)
14. 2q (1 + q + q5)
15. 5q5 (2 – 6p – 3pq)
16. 2gh2 (�h3 – 2g – 4g2h)
17. �y (y5x2 – 5x4 – 4y3)
18. 2 (1 – x)
19. a (1 + a)
20. a4 (a2 – �a – 5)
21. 2m4r3 (2mr3 – 3r2 – �m)
22. a2b2c2 (c4 – ab3 + a5b)
23. x2 (1 – y2 – y3 + y4)
24. 2xy (z – 1)
25. 6a (1 + 6a5)
26. t5 (t4 + t3 + 1)
27. 12ab5 (b – 1)
28. x5y�z6 (xyz6 + x + z4)
29. a2
21 – a – a2
30. 3ab
1 + 4
b– �
b2
31. pq2a
pqb
+ 1c
+ p2 q2
bc
32. pq
2a
pq
b+
1
c+
p2 q2
bc
33. a2 b2
x 1 + abx
– 1x2
34. m5
5m15
4+ m5
2– 1
35. pq (–p + 2q)
36. (a – 2) (3 – a)
37. (x + 4) (a + b + c)
1. Factoricemos: ac + ad + bc + bd
Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el factor común “a” y el tercer y el cuarto término tienen “b” como factor común. Asociamos y factorizamos por parte:
ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d)
1.6.2 Factor común compuesto
Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos, con ejemplos, cómo procederemos en estos casos.
Soluciones
33Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ahora nos queda (c + d) como factor común, por lo tanto, la expre-sión original queda factorizada como sigue:
ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b)
2. Factoricemos: ax + bx + cx – ay – by – cy
Aquí podemos asociar el primer y el cuarto término, el segundo y el quinto, el tercero y el sexto y nos queda:
ax + bx + cx – ay – by – cy = (ax – ay) + (bx – by) + (cx – cy)
= a(x – y) + b(x – y) + c(x – y)
= (a + b + c) (x – y)
3. Factoricemos: ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz
Asociemos en el orden natural los tres primeros, los tres siguientes y los tres últimos:
ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz = (ax + bx + cx) + (ay + by + cy) – (az + bz + cz) = x(a + b + c) + y (a + b + c) – z(a + b + c) = (a + b + c) (x + y – z)
• Observación: La forma de asociar no es única, pero la factorización sí lo es.
En el primer ejemplo podríamos haber asociado el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto y el resultado habría sido el mismo.
12. 3 + 15z + 4y + 20yz
13. a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
14. 3ax3 – 2bx3 – 3ay3 + 2by3
15. 1 + b + a + ab
16. a2x2y2 + b2x2y2 – 2a2 – 2b2
17. abc – 2abcz – xy + 2xyz
18. bd – 3bf + 2cd – 6cf
19. xp + 2xq – 2yp – 4yq + 4zp + �zq
20. 4 + 2c + 2d + 2a + ac + ad + 2b + bc + bd
21. a2x2 + x2y2 – x2b + a2y2 + y4 – y2b – a2 – y2 + b
Factorice las siguientes expresiones:
1. ac + ad + bc + bd
2. ax – ay + bx – by + cx – cy
3. pc + qc + pd + qd
4. rt + rv – st – sv
5. 2ac – ad + 2bc – bd
6. xu – xv – yu + yv
7. 2au + 2av – 3bu – 3bv
8. 3a2x + 3a2y + b2x + b2y
9. 2ac – 2ad + 3bc – 3bd
10. x + y + ax + ay
11. 2a – 2b + ax – bx
Ejercicios
Álgebra en los números reales34
1.6.3 Diferencia de cuadrados
Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su dife-rencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.
Aplicamos este resultado en las factorizaciones de la página siguiente:
1. (a + b) (c + d)2. (a + b + c) (x – y)3. (p + q) (c + d)4. (r – s) (t + v)5. (a + b) (2c – d)6. (x – y) (u – v)7. (2a – 3b) (u + v)8. (3a2 + b2) (x + y)9. (2a + 3b) (c – d)
10. (1 + a) (x + y)11. (2 + x) (a – b)12. (3 + 4y) (1 + 5z)13. (a2 + b2) (c2 + d2)14. (x3 – y3) (3a – 2b)15. (1 + a) (1 + b)16. (x2y2 – 2) (a2 + b2)17. (abc – xy) (1 – 2z)
22. a2x2 + b2x2 + c2x2 + a2y2 + b2y2 + c2y2
23. 12ac – 6ad – 2bc + bd
24. aq – ar + bq – br
25. u + au – v – av – w – aw
26. 2ax – 2ay – bx + by
27. 3am2 – 3at2 – 5b2m2 + 5b2t2
28. x – y + 2ax – 2ay + 3bx – 3by
18. (b + 2c) (d – 3f)19. (x – 2y + 4z) (p + 2q)20. (2 + a + b) (2 + c + d)21. (x2 + y2 – 1) (a2 + y2 – b)22. (x2 + y2) (a2 + b2 + c2)23. (6a – b) (2c – d)24. (a + b) (q – r)25. (u – v – w) (1 + a)26. (2a – b) (x – y)27. (3a – 5b2) (m2 – t2)28. (1 + 2a + 3b) (x – y)29. (p2 + 2q + r) (p2 + q2 + r2)30. (x + 2y – z) (a – b – c)31. (a2 + b2 + 1) (u – v)32. (2 + x + y) (2 – a – b)33. xy (xy – 1) (w2 – z2)34. (a + 2b + 3c) (x – y)35. (2x – y – z) (a + b)
NOTA:Los ejercicios señalados con * son posibles de factorizar aún más con los métodos que veremos a continuación.
29. p4 + p2q2 + p2r2 + 2p2q + 2q3 + 2qr2 + p2r + q2r + r3
30. ax – bx – cx + 2ay – 2by – 2cy – az + bz + cz
31. a2u – a2v + b2u – b2v + u – v
32. 4 – 2a – 2b + 2x – ax – bx + 2y – ay – by
33. x2y2w2 – x2y2z2 – xyw2 + xyz2
34. ax + 2bx + 3cx – ay – 2by – 3cy
35. 2ax + 2bx – ay – by – az – bz
*
*
*
Soluciones
35Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
1. Factoricemos a2 – b2
Observamos que a2 y b2 son los cuadrados de a y b, respectiva-mente.
Así: a2 – b2 = (a + b) (a – b)
2. Factoricemos �m2 – 16p2
�m2 es el cuadrado de 3m y 16p2 es el cuadrado de 4p.
Entonces : �m2 – 16p2 = (3m + 4p) (3m – 4p)
3. Factoricemos 1
a2– 25
4b2
Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión
se factoriza: 1
a2– 25
4b2= 1
a+ 5
2b1a
– 52b
4. Factoricemos 6a2 – 24m4
En este ejemplo podemos factorizar primero por 6 (factor común monomio).
6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4)
y ahora, el término (a2 – 4m4) es exactamente una diferencia de cuadrados y por lo tanto la factorización correspondiente es:
6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4) = 6 (a – 2m2) (a + 2m2)
• Observación: No es importante el orden en que uno presente los factores, puesto que la multiplicación es conmutativa, es decir:
(a + b) (a – b) = (a – b) (a + b)
Factorice las siguientes expresiones:
1. x2 – y2
2. a2 – 4b2
3. �m2 – 16n2
4. �a2 – 25p2
5. x2 – 0,01y2
6. 100a2 – 64b6
7. m2n2 – p2
8. m4n6 – z2
9. a2b2 – c2d2
10. 1 – x10
11. – b6 + a4
12. – 1 + a2
13. a5 – a3
14. �a4 – 2b2
15. p2q3 – q
16. 4�a2b4c6 – 121m6n10
17. 12a6 – �5b�
18. 45m6 – �0p�
19. 2�x4 – 4�y2
20. x2a – y2b
21. m2an2b – 1
22. 25n16 – 16m4
23. 40 – �0a4
24. – 24m2 + 54n12
25. m6n4p12 – a2b2c2
26. 2x2 – �y2z6
27. a10 – 100b10
28. 144b10 – 121c6
29. �1c4 – �d4
30. 225 – a2
Ejercicios
Álgebra en los números reales36
1. (x + y) (x – y) 2. (a + 2b) (a – 2b) 3. (3m + 4n) (3m – 4n)
4. (3a – 5p) (3a + 5p) 5. (x – 0,1y) (x + 0,1y) 6. (10a – �b3) (10a + �b3)
7. (mn + p) (mn – p) 8. (m2n3 – z) (m2n3 + z) 9. (ab – cd) (ab + cd)
10. (1 – x5) (1 + x5) 11. (a2 – b3) (a2 + b3) 12. (a – 1) (a + 1)
13. a3(a – 1) (a + 1) 14. 2 (2a2 – b) (2a2 + b) 15. q (pq – 1) (pq + 1)
16. (�ab2c3 – 11m3n5) (�ab2c3 + 11m3n5) 17. 3 (2a3 – 5b4) (2a3 + 5b4)
18. 5 (3m3 – 4p4) (3m3 + 4p4) 19. 3 (3x2 – 4y) (3x2 + 4y) 20. (xa – yb) (xa + yb)
21. (manb – 1) (manb + 1) 22. (5n� – 4m2) (5n� + 4m2) 23. 10 (2 – 3a2) (2 + 3a2)
24. 6 (3n6 – 2m) (3n6 + 2m) 25. (m3n2p6 – abc) (m3n2p6 + abc)
26. 2 (x – 2yz3) (x + 2yz3) 27. (a5 – 10b5) (a5 + 10b5)
28. (12b5 – 11c3) (12b5 + 11c3) 29. � (3c2 – d2) (3c2 + d2) 30. (15 – a) (15 + a)
31. 1y + 11 1
y – 11 32. (x4y – �ab2c3) (x4y + �ab2c3)
33. 4 (2x2 – y�) (2x2 + y�) 34. 12ab
– 53xy
12ab
+ 53xy
35. 6 (2x4 – 1) (2x4 + 1)
36. 35m3
2– 3n
5
5m3
2+ 3n
5 37. 1a
– 1b
1a
+ 1b
38. 25
2a2
3b– 1 2a2
3b+ 1
39. 2 (4m5 – 3p2q3) (4m5 + 3p2q3) 40. 1ab
– ab 1ab
+ ab 41. (x – y) (x + y –a)
42. 5x2 – 15
5x2 + 15
43. m6
c– n5
d2
m6
c+ n5
d2 44. a6 + 1
3b3a6 – 1
3b3
45. 2x3
– 5y3
2x3
+ 5y3 46. (a + b) (a – b – 2) 47. (p – q) (p + q – r)
48. (a – b) (a+ b + c) 49. (m + n) (m – n – p) 50. q (r – qs) (r + qs)
44.
45. 4
x6– 25
y6
46. a2 – b2 – 2a – 2b
47. p2 – q2 – rp + rq
48. a2 + ac – b2 – bc
49. m2 – n2 – pm – pn
50. qr2 – q3s2
38. �a4
45b2– 2
5
39. 32m10 – 1�p4q6
40. 1
a2 b2– a2 b2
41. x2 – y2 – ax + ay
42. 25x4 – 125
43. m12
c2– n10
d4
31. – 121+ 1
y2
32. – 64a2b4c6 + x�y2
33. 16x4 – 4y16
34. 1
4a2 b2– 25
�x2y2
35. 24x� – 6
36. �5m6
4– 2�n2
25
37. 1
a2– 1
b2
a12 – 1�b6
Soluciones
3�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
1.6.4 Trinomios ordenados
En general, los trinomios pueden proceder:
• De la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio); por ejemplo:
(a + �)2 = a2 + 14a + 4�
• De la multiplicación de dos binomios con un término común; por ejemplo:
(a + 2) (a + 6) = a2 + �a + 12
• O de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes:
(2x + 1) (x + 2) = 2x2 + 5x + 2
Con estas consideraciones, resolvamos los ejercicios presentados a continuación:
1. Factoricemos x2 + 10x + 25
Observamos que el primer término (x2) y el último (25) son los cuadrados de x y 5, respectivamente, y además el término central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresión es un cuadrado de binomio y así:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
2. Factoricemos a2 – �a + 16
Usando el mismo razonamiento anterior, observamos que el trino-mio corresponde al cuadrado del binomio (a – 4) y escribimos:
a2 – �a + 16 = (a – 4)2
El signo del término central del trinomio indica el signo que corres-ponde al segundo término del binomio.
3. Factoricemos y2 + 13y + 36
Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero correspon-den a cuadrados exactos (de “y” y de 6, respectivamente), pero el término central (13y) no corresponde al doble del producto entre “y” y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede corres-ponder al producto de dos binomios con un término común, que sería “y”.
Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c, y x representan números reales.
Álgebra en los números reales3�
Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el último término del binomio) y el producto del término común (y) por la suma de estos números sea igual al término central (13y). Los números son + � y + 4.
En efecto: + � • + 4 = 36 y � + 4 = 13
Entonces: y2 + 13y + 36 = (y + �) (y + 4).
4. Factoricemos a2 – 2a – 4�
Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio pues el último término (– 4�) no es cuadrado de ningún número.
Buscamos dos números cuyo producto sea – 4�, y cuya “suma” sea – 2, la que al multiplicarla por el término común “a” nos da el término central – 2a.
Los números son – � y + 6 y la factorización correspondiente es:
a2 – 2a – 4� = (a – �) (a + 6).
5. Factoricemos x2 – 5x + 6
No es cuadrado de binomio por la misma razón anterior (el + 6 no es cuadrado de un número entero). Corresponde entonces al producto de dos binomios con un término común, que en este caso es x. Buscamos dos números cuyo producto sea + 6 y cuya suma sea – 5.
Los números son – 2 y – 3. Por lo tanto, la factorización corres-pondiente es:
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3).
6. Factoricemos la expresión 2x2 – 3x – 2
En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado exacto de un término entero.
Amplifiquemos por el coeficiente de x2 (en este caso, por 2) para obtener un primer término como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto.
2x2 – 3x – 24x2 – 6x – 4
2
/ •
Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios con un término común que en este caso es 2x.
Buscamos dos números que multiplicados sean igual a – 4 y cuya suma sea igual a – 3 (pues al multiplicar la suma por el término común 2x se debe obtener – 6x).
Los números son – 4 y 1 y así, la factorización de la expre- sión amplificada es:
4x2 – 6x – 4
2=
2x – 4 2x + 1
2
22
3�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
(x – 1) (3x – 2)
3 (x – 1) (3x – 2)3
(3x – 3) (3x – 2)3
�x2 – 15x + 63
3 x2 – 5x + 2 /• 33
2x2 – 3x – 2 = (x – 2) (2x + 1)
2x2 – 3x – 2 =2 (x – 2) (2x + 1)
2
2x2 – 3x – 2 =(2x – 4) (2x + 1)
2
Factorice las siguientes expresiones:
12. 4x2 + 20x + 25
13. �x2 – 6x + 1
14. a2 – 4ab + 4b2
15. y2 + 6xy + �x2
16. 4t2 + 12t + �
17. 4x2 + 12xy + �y2
18. �x2 – 30xy + 25y2
19. x2 + 14xy + 4�y2
20. x4 + 2x2 + 1
21. x2 + 5x + 6
22. x2 + x – 6
23. x2 – x – 6
24. x2 – 5x + 6
25. a2 – 5a – 36
26. a2 + a – 30
27. a2 + �a + �
28. y2 + y – 56
29. x4 – 6x2 + �
30. 4 + 20y2 + 25y4
31. x4 + 2x2y2 + y4
32. x6 + 2x3 + 1
33. a4 – 4a2b2 + 4b4
1. x2 + 14x + 4�
2. x2 + �x + 16
3. a2 + 1�a + �1
4. a2 – 6a + �
5. y2 – 24y + 144
6. x2 + 10x + 25
7. t2 – 2t + 1
8. z2 + 16z + 64
9. x2 – 22x + 121
10. a2 – 12a + 36
11. 1 + 6a + �a2
Podemos factorizar el primer término por dos y luego simplificarlo por el denominador, obteniendo:
7. Factoricemos 3x2 – 5x + 2
Siguiendo los pasos anteriores, obtenemos:
33
/·
Ejercicios
Álgebra en los números reales40
46. 2x2 + 5x – 3
47. 3x2 + 14x + �
48. 3x2 + 11x – 4
49. 6x2 – 13x + 5
50. 2x2 +15x + 2�
51. �x2 – �x + 1
52. 6x2 + 5x – 4
53. �x2 – 2x –1
54. 5x2 – 1�x + �
55. 2x2 + 3x – 14
56. 3a2 – �a + 2
57. 5a2 + 3a – 2
58. 6a2 + 13a + 6
59. 12a2 – 23a + 5
60. �a2 – 2a – 15
61. 5x2 – 26x + 5
62. 1�a2 – 1�a + 4
63. a4 + 5a3 + 6a2
64. x3 – 3x2 – 40x
65. x4 – 3x2 + 2
66. 2a3 + 6a2 + 4a
67. m3 – m2 – 30m
68. n4 + n2 – 2
69. p4 + 2p2 + 1
70. p3 – p2 – p + 1
34. �m4 – 30m2p2 + 25p4
35. �m2 – 30mp2 + 25p4
36. x2
4– x + 1
37. a2 + a + 14
38. a2
4+ ab + b2
39. a2 – 23a + 132
40. a2 – 3a – 40
41. a4 + 5a2 + 6
42. 4x2 – 22x + 30
43. �x2 – �x – 2�
44. 25x2 – 15x + 2
45. 2x2 + 5x + 2
1. (x + �)2 2. (x + 4)2 3. (a + �)2 4. (a – 3)2 5. (y – 12)2 6. (x + 5)2
7. (t – 1)2 8. (z + �)2 9. (x – 11)2 10. (a – 6)2 11. (1 + 3a)2 12. (2x + 5)2
13. (3x – 1)2 14. (a – 2b)2 15. (y + 3x)2 16. (2t + 3)2 17. (2x + 3y)2
18. (3x – 5y)2 19. (x + �y)2 20. (x2 + 1)2 21. (x + 3) (x + 2) 22. (x + 3) (x – 2)
23. (x – 3) (x + 2) 24. (x – 3) (x – 2) 25. (a – �) (a + 4) 26. (a + 6) (a – 5)
27. (a + �) (a + 1) 28. (y – �) (y + �) 29. (x2 – 3)2 30. (2 + 5y2)2 31. (x2 + y2)2
32. (x3 + 1)2 33. (a2 – 2b2)2 34. (3m2 – 5p2)2 35. (3m – 5p2)2 36. x2
– 12
37. a + 12
2 38. a
2+ b
2 39. (a – 12) (a – 11) 40. (a + 5) (a – �)
41. (a2 + 2) (a2 + 3) 42. 2(2x – 5) (x – 3) 43. (3x + 4) (3x – �) 44. (5x – 1) (5x – 2)
45. (2x + 1) (x + 2) 46. (2x – 1) (x + 3) 47. (3x + 2) (x + 4) 48. (3x – 1) (x + 4)
49. (3x – 5) (2x – 1) 50. (2x + �) (x + 4) 51. (�x – 1) (x – 1) 52. (3x + 4) (2x – 1)
53. (4x + 1) (2x – 1) 54. (5x – 3) (x – 3) 55. (2x + �) (x – 2) 56. (3a – 1) (a – 2)
57. (5a – 2) (a + 1) 58. (2a + 3) (3a + 2) 59. (3a – 5) (4a – 1) 60. (2a – 3) (4a + 5)
61. (x – 5) ( 5x – 1) 62. 2(3a – 2) (3a – 1) 63. a2(a + 2) (a + 3) 64. x(x + 5) (x – �)
65. (x – 1) (x + 1) (x2 – 2) 66. 2a(a + 1) (a + 2) 67. m(m – 6) (m + 5)
68. (n – 1) (n + 1) (n2 + 2) 69. (p2 + 1)2 70. (p – 1)2 (p + 1)
Soluciones
41Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
1.6.5 Sumas o diferencias de cubos Los factores de una diferencia de cubos son:
x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Los factores de una suma de cubos son:
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
1. m6 – n3
2. x3 + p3
3. a3 – � b3
Factoricemos las siguientes expresiones:
10. 216 a3 – 2� b3
11. �
z3– 2�
y3
12. 125 – 1
�a3
7. 1 – 125 a3
8. 1
x3+ 1
y3
9. 16 x3 – 54 y3
4. t3 – 64 v3
5. 2� x3 + y3
6. �m3 – n6
�
1. Factoricemos a3 – �
Observamos que a3 es el cubo de a y que � es el cubo de 2. Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto:
a3 – � = (a – 2) (a2+ 2a + 4)
2. Factoricemos x3 + 2�
El término x3 es el cubo de x y 2� es el cubo de 3. Aquí tenemos una suma de cubos y por lo tanto:
x3 + 2� = (x + 3) (x2 – 3x + �)
3. Factoricemos 2�a3 – 125b3
El primer término es el cubo de 3a y el segundo término es el cubo de 5b, entonces escribimos:
2�a3 – 125b3 = (3a – 5b) (�a2 + 15ab + 25b2)
4. Factoricemos a6 – b6
Aquí tenemos primero una diferencia de cuadrados, la cual factorizamos como una suma por su diferencia. Luego, cada uno de los factores corresponde a una suma o diferencia de cubos. Procedamos por pasos:
a6 – b6 = (a3 + b3) (a3 – b3)
= (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)
y ésa es la factorización requerida.
Ejercicios
Álgebra en los números reales42
1. (m2 – n) (m4 + m2 n + n2)
3. (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2)
5. (3x + y) (�x2 – 3xy + y2)
7. (1 – 5a) (1 + 5a + 25a2)
9. 2(2x – 3y) (4x2 + 6xy + �y2)
11. 2z – 3
y4z2
+ 6yz
+ �y2
13. 3(a – 3b) (a2 + 3ab + �b2)
15. (mx + 1) (m2x2 – mx + 1)
17. (x – y) (x + y) (x2 + y2) (x4+ x2 y2+ y4) (x4– x2 y2+ y4)
19. (ab4 – 3) (a2 b� + 3ab4 + �)
21. �(3a + b) (�a2 – 3 ab + b2)
23. 5t – 1z 25t2 + 5t
z+ 1
z2
25. 2a + 1b
4a2 – 2ab
+ 1b2
27. (a – 1) (a + 1) (a4 + a2 + 1)
29. 1t3
2t
– 3 4t2
+ 6t
+ �
31. (m4 + 1) (m� – m4 + 1)33. (1 – a) (1 + a + a2) (1 + a3 + a6)
35. 0,1 –a2
b0,01 +
0,1a2
b+
a4
b2
37. 15
+ 1z
1
25– 1
5z+ 1
z2
39. (mnp2 – 2a) (m2n2p4 + 2a mnp2 + 4a2)
13. 3 a3 – �1 b3
14. a2 b3 c6 + a2 d3
15. m3 x3 + 1
16. a3 b6 c� + �
17. x12 – y12
18. m� – 1
19. a3 b12 – 2�
34. x3
y3– 1
35. 0,001 – a6
b3
36. 216 – a3
b3
37. 1
125+ 1
z3
38. 64a3 – 1216
39. m3 n3 p6 – �a3
40. 1�z3
+ 12� y3
20. 3 t3 – 3
21. 216 a3 + � b3
22. � t3 + 64
23. 125 t3 – 1z3
24. 2t3
– 16y3
25. � a3 + 1b3
26. –1 + a3
27. a6 – 1
28. –1 – b3
29. �t6
– 2�t3
30. p3 + q�
31. m12 + 1
32. a2� + b2�
33. 1 – a�
2. (x + p) (x2 – px + p2)4. (t – 4v) (t2 + 4tv + 16v2)
6. 2m – n2
24m2 + mn2 + n4
4
8. 1x + 1
y 1
x2– 1
xy+ 1
y2
10. 2�(2a – b) (4a2 + 2 ab + b2)12. 5 – 1
2a25 + 5
2a+ 1
4a2
14. a2(bc2 + d) (b2c4 – bc2d + d2)
16. (ab2c3 + 2) (a2b4c6 – 2ab2c3 + 4)18. (m –1) (m2 + m + 1) (m6 + m3 + 1)
20. 3(t – 1) (t2 + t + 1)22. �(t + 2) (t2 – 2t + 4)
24. 2 1t
– 2y
1t2
+ 2ty
+ 4y2
26. (a – 1) (a2 + a + 1)
28. – (1 + b) (1 – b + b2)
30. (p + q3) (p2 – pq3 + q6)32. (a + b) (a2 – ab + b2) (a6 – a3b3 + b6) (a 1� – a�b� + b1�)
34. xy – 1
x2
y2+
xy
+ 1
36. 6 + ab
36 –6a
b+
a2
b2
38. 4a – 16
16a2 + 2a3
+ 136
40. 12z
+ 13y
14z2
– 16yz
+ 1�y2
Soluciones
43Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
Ejercicios resueltos
Fracciones algebraicas1.7.1 Simplificación
Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común.
En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar.
1.7
Ejercicios resueltos
1. Simplifiquemos 2a2
3ab Aquí tanto el numerador (2a2) como el denominador (3ab) contienen
el término “a” como factor. Simplificamos, pues, por él y obtenemos:
2a2
3ab= 2a
3b
2. Simplifiquemos 6m2p2q
2� mp3 q2
En este ejemplo, el término 3mp2q está contenido en el numerador y en el denominador. Simplificando, nos queda:
6m2p2q
2�mp3 q2=
2m
� p q
3. Simplifiquemos 2a2 + 24a
En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el numerador hay un binomio (recordemos que no podemos simplificar términos que se suman o restan).
Debemos entonces factorizar primero y después simplificar:
2a2 + 24a
= 2(a2 + 1)4a
= a2 + 12a
Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar más.
4. Simplifiquemos a2 + aba + b
Usando el mismo razonamiento anterior, factorizamos primero y luego simplificamos:
a2 + aba + b
= a(a + b)a + b
= a
5. Simplifiquemos x2 + 5x + 6
x2+ 3x + 2 Factorizando y luego simplificando obtenemos:
x2 + 5x + 6x2 + 3x + 2
=(x + 2) (x + 3)(x + 2) (x + 1)
= x + 3x + 1
Álgebra en los números reales44
6. Simplifiquemos x2 – �x2 + 6x + �
Procediendo como antes:
x2 – �
x2 + 6x + �=
(x + 3) (x – 3)(x + 3) (x + 3)
= x – 3x + 3
7. Simplifiquemos 3x3 – 3x y2
x2 y – xy2
3x3 – 3xy2
x2 y – xy2=
3x (x2 – y2)xy (x – y)
=3x (x – y) (x + y)
xy (x – y)=
3 (x + y)y
Simplifique las siguientes expresiones:
1. 2a5ab
2. 3a6b
3. a2 b
ab2
4. 6m16pm
5. 5ad10d
6. 25 p2q
15 pq3
7. 2 m2 np1�mn2 p
8. 30 a6 b
21 a6 b2
9. – 125 x6 y5 z4
5 x y z
10. 2ab
� a6 b6
11. a4 b4
4ab
12. 6 a12
12 a6
37. ab + ac + xb + xc
b2 – c2
38. x2 + �x + 12x2 + 5x + 6
39. x4 – y2
x2 + y
40. x2 – �x + 12x2 – 4x – 12
41. 2 a2 b – � a b2
4 a2 b – 16 a b2
42. ax + bx – ay – by
x2 – y2
43. 10x2 – 15xy
4x2 – �y2
44. 3a3 – 3a2 – 6a2a3 + 6a2 + 4a
45. x4 – x2
x3 + 2 x2 + x
46. x2 – 11x + 30x2 – 25
47. x3 – 3xy2
x 4 – �y4
48. x� – �y4
x4 – 3y2
25. a2 + ab2a
26. a2 b2 – a ba b – 1
27. x2 – 25x + 5
28. 1 – a2
1 + a
29. ab2 – ac2
b + c
30. x + 4x2 + �x + 16
31. xy
x2 y2 – xy3
32. 3 abc
6 a2 bc – � ab2c
33. 6x2 – 3xy
4x2 – y2
34. 2 pq
p2 q – pq2
35. 5xy + 10x
y2 – 4
36. m2 – 2mn + n2
m2 – n2
13. 3 p q3
2 p q2
14. – 15 c� d�
35 ab c�
15. – 1� m6 n11
51 m4 n�
16. (a + b)2
(a + b)
17. (p2 + 1)3
(p2 + 1)4
18. a2 + b2
(a2 + b2)4
19. 32 z4 y3
�6 z3 y4
20. a
144a
21. 121 a11 ac
22. m4 n4
4mn
23. 12 a12 b12
6 a6 b6
24. (a3 b2 )2
5a6 b�
Ejercicios
45Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
1.7.2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí y hacemos todas las simplificaciones posibles.
En el caso de los monomios las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar; en el caso de los polinomios (expresiones con dos términos o más) es conveniente hacer todas las simplificaciones primero (factorizando por supuesto) y luego las multiplicaciones.
Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recíproco de la segunda.
49. 5ab25a2 – 5ab
50. x2 + x – 2ax + 2a – x – 2
51. x3 – x2 + x – 1x2 – 1
55. ac – ad – bc + bd
c2 – d2
56. 2p2 x + 2px2
p2 – pq + xp – xq
57. x2 + 10x – 11x2 + �x – 10
58. x2 – �x + 15x2 – �
59. 4p2 – 4p + 1
4p2 – 1
60. 2m3 – 1�m2m2 – 6
52. x2 – �x + 6x2 – 1
53. 2a2 b – 2ab2
a2 – 2ab + b2
54. 6 p2 q – 2 pq2
3p2 q – p q 2
1. 25b
2. a2b
3. ab
4. 3�p
5. a2
6. 5p
3q2
7. m�n
8. 10�b
9. – 25x5y4z3 10. 14a5 b5
11. a3 b3
4 12. a
6
2
13. 3q
2 14. – 3d�
�ab 15. – m2 n2
3 16. a + b 17. 1
p2 + 1 18. 1
(a2 + b2 )3
19. z3y
20. 1144
21. 11c
22. m3 n3
4 23. 2a6b6 24. 1
5b4
25. a + b2
26. a b 27. x – 5 28. 1 – a 29. ab – ac 30. 1x + 4
31. 1xy – y2
32. 12a – 3b
33. 3x
2x + y 34. 2p – q 35. 5x
y – 2 36. m – n
m + n
37. a + xb – c
38. x + 4x + 2
39. x2 – y 40. x – 2x + 2
41. 12
42. a + bx + y
43. 5x
2x + 3y 44. 3a – 6
2a + 4 45. x2 – x
x + 1 46. x – 6
x + 5 47. x
x2 + 3y2 48. x4 + 3y2
49. b5a – b
50. x – 1a – 1
51. x2 + 1x + 1
52. x – 6x + 1
53. 2aba – b
54. 2
55. a – bc + d
56. 2pxp – q 57. x + 11
x + 10 58. x – 5
x + 3 59.
2p – 1
2p + 1 60. m3 – �m
m2 – 3
Soluciones
Álgebra en los números reales46
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos1. Efectuemos el siguiente producto:
3ab2a
•2b3a2
Multiplicando en forma directa obtenemos:
3ab2a
•2b3a2
= 3ab • 2b2a • 3a2
= 6 ab2
6 a3= b2
a2
2. Efectuemos el producto:
3xy
2a•
6ab
3xz•
–5z2
10b2 x Multiplicando en forma directa obtenemos:
3xy • 6ab • – 5z2
2a • 3xz • 10b2 x=
–�0 x y a b z2
60 a x2 z b2=
– 3 y z
2 x b
3. Efectuemos el producto:
a + b
ax – bx•
a2 – 2ab + b2
a2 – b2=
Aquí debemos simplificar antes de multiplicar (de lo contrario com-plicamos mucho el ejercicio). Como sabemos, factorizamos primero, obteniendo:
a + b
ax – bx•
a2 – 2ab + b2
a2 – b2=
a + b
x a – b•
a – b a – b
a + b a – b=
1
x Una vez hechas las factorizaciones podemos simplificar un factor de
cualquier numerador con un factor igual de cualquier denominador.
4. a + 1a + 2
•a2 – 4
a2 + 4a + 3•
a2 – �a2 – 4a + 4
Factoricemos primero:
a + 1
a + 2•
a2 – 4
a2 + 4a + 3•
a2 – �
a2 – 4a + 4=
a + 1
a + 2•
a + 2 a – 2
a + 1 a + 3•
a + 3 a – 3
a – 2 a – 2
el resultado es a – 3a – 2
5. Multipliquemos:
5a + b2a – b
•ab
a – b•
a5
Aquí no es posible efectuar ninguna simplificación; por lo tanto, pro-cedemos a multiplicar directamente.
5a + b • ab • a
2a – b a – b • 5=
5a + b a2 b
2a – b 5a – 5b=
5a3 b – a2 b2
10a2 – 10ab – 5ab + 5b2
Reduciendo términos semejantes obtenemos finalmente:
5 a3 b – a2 b2
10 a2 – 15 a b + 5 b 2
6. Efectuemos la siguiente división:
2ab3x : 2a
3xy
Cambiamos el signo de división (:) por el de multiplicación (•) e inver-timos la segunda fracción. Nos queda:
4�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
2ab
3x :2a
3xy=
2ab
3x•
3xy
2a
Hacemos las simplificaciones adecuadas y obtenemos:2ab
3x•
3xy
2a= by
7. Efectuemos la siguiente división:a + b2ab
: a2 – b2
6a2 b
Procediendo como en el ejemplo anterior:a + b2ab
: a2 – b2
6a2 b= a + b
2ab•
6a2 b
a2 – b2
= a + b
2ab•
6a2 ba + b a –b
= 3a
a – b
(Aquí fue necesario factorizar el término a2 – b2 antes de simplificar).
12. 12x6 y10
– 4x5 y11
13. a + b 2
a + b 3
14. p – q
2p – 2q
15. 3a + 3ab1 + b
16. 3x + 155x + 25
17. a2 + a2a + 2
18. 20x2 – 5xy
4x – y
19. 3x2 y – 3xy2
2x2 – 2xy
20. x2 – y2
x – y
21. a2 – b2
a + b
22. 3a – 3b
a2 – b2
1. 3ab�a
2. ax2
bx
3. 2ab5ab
4. 3a1�a2 b
5. – 16m2
1�n2
6. b
a2 b2
7. 6m2 n15mn2
8. �p2 qr 6
3pq2 r5
9. – 3p6 q3
24p6 q2
10. a2 b2 c2
2abc
11. �x2 y� z11
x2 y6 z10
23. 6p + 12q
p + 2q
24. 1 – a1 – a2
25. 12x – 3x3
3x
26. 4 – x2
2 + x
27. 2xy
x2 y – xy2
28. �x2 – 16y2
3x + 4y
29. a2 – �b2
3a + �b
30. m – n 2
m2 – n2
31. a2 – 5a + 6a2 – 4
32. 2 a2 – 2 b2
a2 + 2 a b + b2
33. 1� a2 b + 2�a b2
4 a2 + 12 a b + � b2
34. x2 + 5x – 14x2 + �x + 14
35. x4 – 2 x2 y2 + y4
x4 – y4
36. ac + ad + bc + bdac – ad + bc – bd
37. 2 a2 b + 6 a b2
a2 + a b – 6 b2
38. 2bx2 + 2bxy – axy – ay2
6abx2 – 3a2 xy
39. a4 + 3a3 + 2a2
a3 – a
40. 2t2 – 2t – 124t2 – 16t + 12
41. 50 – 2y2
4y2 + 44y + 120
42. ab – ay – bx + xy
b2 – by + bx – xy
43. 2a2 – 10a + 12a2 + a – 6
44. 4u2 – v2
6u2 v – 3uv2
Simplifique las siguientes expresiones:Ejercicios I.
Álgebra en los números reales4�
1. a2b
∑abb
2. 2xy • 1
x
3. 2m3n
•3mn
4
4. a2
b•
aba
5. 3x
5y•
10y
6x
6. 3u2 v2 u
•2uv1� v 2
7. 10a2 bc
4b3•
2b
5ac
8. �xy
2m•
m
14x2 y•
10m2
2x
9. ab
•2 b3 c
•4 ca
10. x – y
x •x2
x – y
1. a2 : a
3
2. 1a : 2
a
3. x2
y : xy
4. max : n
ax
11. x2 + 2xy + y2 •1
x + y
12. 2a3
a – 1•
a2 – 1a2
13. �x2 – 1
x2•
2x
3x – 1
14. m – n
m2 – n2•
m + n
m – n 2
15. a2 + aa2
•3a
a2 + 2a + 1
16. 2x2 + 6x
3y•
2xy
x + 3
17. x2 + 5x + 6
x2 – 4•
x – 2x2 – �
18. 1 + x
1 – x•
1 – x2
1 + x 2
19. a2 – ab
2ab•
a + b
a2 – b2
20. 3x – 62x – 6
•x2 – �x2 – 4
•13
21. 2a + 43a – 12
•a + 4
a2 – 16•
a2 – �a + 16a + 2
22. x2 – 6x + 5x + 2
•x2 – 4x2 – 1
23. x – 6x – 2
•x2 – x – 2
x2 – �x + 1�•
2xx + 1
24. m2 – mp
2p2•
4p
m2 – p2•
1
2m
25. a2 – 3a – 1�a2 – 2a – �
•a2 – 16
a2 – 5a – 6•
a + 2a + 3
26. 1
2x•
x3 – y3
3y•
3xy
x2 + xy + y2
27. a + b
a2 – b2•
ab
a + b•
a2 – 2ab + b2
3ab
28. a2 – 25b2
a – 3b•
a2 – �b + 12b2
a – 5b
29. 2a – 46 a
•a2 – 5 a + 6a2 – 4 a + 3
•a
a – 2
30. a3 + 2a2 + aa2 + �a + 10
•a2 – 25a + 1
•1
2a2
5. 2ab3b
: 6a2ab
6. x – 15 : x – 1
10
7. 2axy
3a :2x
3y
8. a + ba – b
: a2 – b2
13. 15a3 bc
3ab2 : 25a2 b2 c2
bc
14. x3 – x2 y
2xy :x2 – y2
x + y
15. 2ab�b2
: 2xx – 1
: 3bx2x – 2
16. 2x – 63x2 y
: x2 – 5x + 66xy
9. 15n2 p
2nz :3np2
4z
10. a2 – 1a + 2 : a – 1
a + 2
11. x – 1a – 1
: x2 – xa2 – a
12. a2 – b2
a3 – b3 : a + b
a – b
45. p2 x + px2
p2 + 3px + 2x2
46. a3 – a2 – 30aa4 – 11a3 + 30a2
47. 2a2 b2 c2
4 a2 b c + 2ab2 c + 2abc2
48. x3 – y3
x2 + xy + y2
49. x3 – y3
x2 – y2
50. m2 – 4p2
m2 – 4mp + 4p2
Efectúe las siguientes operaciones (divisiones):
Efectúe las operaciones indicadas (multiplicaciones):II.
III.
4�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
24. 1x
: 1x: 1
x
25. 22x2y�
:11 x y14
:2x
26. a3 + 3a2
a2 – �: a2 + 2a
a2 – 5a + 6
27. 1
x3 – 6x2 : 1
x2 – 12 x + 36
28. ac – ad– bc + bd
a2 – b2 : c2 – d2
a2 + 2ab+ b2
29. x2 + �x + 10
x2 + 2x – 3:x + 2x + 3
•x2 + 3x – 4
x2 – 25
30. 2xx – 2
•x2 – 4
x2 + x: x + 2
x2 – 1
I.
1. b3
2. a xb
3. 25
4. 16ab
5. – �m2
�n2 6. 1
a2b 7. 2m
5n 8. �pr
3q 9. – q
�
10. abc2
11. �yz 12. – 3xy
13. 1a + b
14. 12
15. 3a 16. 35
17. a2
18. 5x
19. 3y2
20. x + y 21. a – b 22. 3a + b
23. 6 24. 11+ a
25. 4 – x2 26. 2 – x
27. 2x – y
28. 3x – 4y 29. a – 3b3
30. m– nm+ n 31. a – 3
a + 2 32. 2a – 2b
a + b
33. �ab2a + 3b
34. x – 2x + 2
35. x2 – y2
x2 + y2 36. c + d
c – d 37. 2ab
a – 2b 38. x + y
3a x 39. a
2 + 2aa – 1
40. t+ 22t– 2
41. 5– y12 + 2y
42. a – xb+ x
43. 2a – 6a + 3
44. 2u+ v3uv
45. pxp+ 2x
46. a + 5
a2 – 5a 47. a bc
2a + b+ c 48. x – y 49. x
2 + x y + y2
x + y 50.
m+ 2pm– 2p
1. a2
2b 2. 2
y 3. m
2
2 4. a2 5. 1 6. u
2
6 7. a
b 8. 5m2
4x2 9. �
3 10. x
11. x + y 12. 2a2 + 2a 13. 6x + 2x
14. 1
m– n 2 15. 3
a + 1 16. 4x2
3 17. 1
x – 3
18. 1 19. 12b
20. x + 3
2x + 4 21. 23
22. x2 – �x + 10
x + 1 23. 2x
x – 3 24.
25. a + 4a + 1
26. x – y2
27. a – b3a + 3b
28. a2 + ab – 20b2 29. a – 23a – 3
30. a2 – 4 a – 52 a2 + 4 a
II.
17. 1a2 – 4�
: 1a2 – �a + �
18. 1a
: 2a2
: a2
19. a – 1
a – 2: a2 – 1
a2 – 4
20. a – 3
a – 5: a2 – �a + 15
a2 – 11a + 30
21. 2a + �
3a – 3: a2 + 2a – �
6a2 – 6
22. a3 – 5a2 + 6a
a2 + �a + 12: a3 – 3a2
a2 – 16
23. a
b2 : a2
b
1mp + p2
Soluciones
Álgebra en los números reales50
1.7.3 Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador.
Si los denominadores son diferentes, entonces debemos buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos y amplificar cada fracción por el factor necesario, de modo que todas queden reducidas a un denomi-nador común.
El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella que las contiene, como factores, a todas.
III.
1. 32
2. 12
3. x 4. mn
5. 2ab�
6. 2
7. y2 8. 1
a2 – 2ab+ b2 9. 10
p 10. a + 1 11. a
x 12. a – b
a2 + ab+ b2
13. 1
5b2 14. x
2y 15. 3a
16 16. 4
x2 – 2x 17. a – 1
a + � 18. 1
19. a + 2a + 1
20. a – 6a – 5
21. 4a + 4a – 2
22. a2 – 6a + �
a2 + 3a 23. 1
ab 24. 1
x
25. 2 26. a2 – 2aa + 2
27. x – 6
x2 28. a + b
c + d 29. x + 4
x – 5 30. 2x – 2
1. Encontremos el m.c.m. entre a y 2a.
Vemos que a está contenido (como factor) en 2a, por lo tanto, el m.c.m. es 2a.
2. Encontremos el m.c.m. entre a, 2a y a2. Aquí ninguno de los tres términos contiene a los otros dos. Buscamos
el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, en este caso es 2, y entre los factores literales, en este caso, como se trata de monomios de la misma base, es el término que tiene el exponente más alto.
Así, el m.c.m. es 2a2.
3. Encontremos el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2.
Usando el razonamiento anterior, determinamos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, que es el 6, y entre los factores literales, que es x2 y. Así, el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2 es 6x2y.
4. Encontremos el m.c.m. entre a – b y a2 – b2.
Como sabemos, la factorización correspondiente de a2 – b2 es (a – b) (a + b); por lo tanto, a – b está contenido en a2 – b2 y así el m.c.m. es a2 – b2.
Ejercicios resueltos
51Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
5. Encontremos el m.c.m. entre a + 2 y a + 3.
Aquí ningún término está contenido en el otro; por lo tanto, el m. c. m. es el producto de los dos, es decir, a2 + 5a + 6.
6. Efectuemos las operaciones indicadas.
a + 2
3+ 2a + 5
3
Se trata de una suma con igual denominador, así es que suma-mos los numeradores y conservamos el denominador.
a + 2
3+ 2a + 5
3= a + 2+ 2a + 5
3= 3a + �
3
7. Efectuemos las operaciones indicadas:
4
x+ 5
2x– 3
5x2
Los denominadores son diferentes; por lo tanto, debemos deter-minar el m.c.m. entre ellos, que será el denominador común. Este es 10x2. Luego amplificamos cada fracción por el término adecuado para obtener el m.c.m.
4
x+ 5
2x– 3
5x2= 4• 10x + 5• 5x – 3• 2
10x2
= 40x + 25x – 6
10x2
= 65x – 6
10x2
8. Efectuemos las operaciones siguientes:
m+ 1
2m2 + 4m– m+ 1
m2 – 4+ 1
m– 2
Factoricemos los denominadores para encontrar el m.c.m.
m+ 1
2m m+ 2– m+ 1
m– 2 m+ 2+ 1
m– 2
El m.c.m. es 2m (m + 2) (m - 2) Es conveniente mantener el m.c.m. factorizado, pues así facilita el
proceso de amplificación de cada fracción y el de simplificación, si es posible, al final.
m+ 1
2m m+ 2– m+ 1
m– 2 m+ 2+ 1
m– 2=
m– 2 m+ 1 – 2m m+ 1 + 2m m+ 2
2m m+ 2 m– 2=
m2 + m– 2m– 2– 2m2 – 2m+ 2m2 + 4m
2m m+ 2 m– 2= m2 + m– 2
2m m+ 2 m– 2
Factorizamos el numerador y hacemos la simplificación corres-pondiente:
m+ 2 m– 12m m+ 2 m– 2
= m– 12m m–2
= m– 1
2m2 – 4m
Álgebra en los números reales52
1. 2, 3, 5
2. 2, 2a, 3a
3. 3x, 3xy
4. 2x, 3xy, 2y
5. m2, n2
6. m, mn, n
7. x2, y2, xy
8. 1, a, a2
9. x2yz, xy2z
10. xy2z, xyz2
11. 4p2q, 5pq2
12. 5p6q6, 6p5q5
13. a + b, a – b
14. 2a + 4, a + 2
15. 3a + 6, a2 – 4
16. 6m, 3m + 1, 6m + 2
17. x + a, x2 – a2, x – a
18. 1, x + 1, x + 2
19. a, b, a + b
20. a2 – b2, a2 – 2ab + b2
21. x + 3, x2 + 5x + 6, x + 2
22. x – 3, 2x – 4, x2 – 5x + 6
23. a2 + a, a2 – 1, a2 + 2a + 1
24. a + 2, a2 + 4a + 4, a2 – 4
25. x2 + �x + 14, x2 – 4, x2 + 5x –14
26. a – 1, a2 – 1, 3a2 – 3a
27. p, p + 5, p3 – 25p
28. 2x + 2, 4x + 4, x2 + 2x + 1
29. t – 5p, t2 – 25p2, 5t – 25p
30. x + y, x2 + 2xy + y2, x2 – y2
Efectúe las operaciones indicadas:
Determine el mínimo común múltiplo entre:
1. 311
– 411
+ 1511
2. 316
+ 516
+ 2116
+ 316
3. 2a
– 6a
+ �a
– 12a
4. 3a – 15
+ 2a – �5
– 25
5. �3x – 4
+ 23x – 4
+ 13x – 4
6. a + 5ba + 3b
– 2a + ba + 3b
+ 4a + 5ba + 3b
7. 2x – 2x + 6
+ 3x – 1x + 6
– 4x – 4x + 6
8. 3x + 52x – 3
+ 5x + �2x – 3
– x – 42x – 3
9. a2
a2 – 4– 4a
a2 – 4+ 4
a2 – 4
10. �p– 3q
p2 + 1– 6p– 4q
p2 + 1+ 2p
p2 + 1
11. 2a a + 4
a2 – 20a–
3a a + 6
a2 – 20a+
2a a – 5
a2 – 20a
12. 3a2
3a – 4b–
3a a + 43a – 4b
+4a ∞4b3a – 4b
13. x2 – �x + 1
x2 + 5x + 6–
2x x –3
x2 + 5x + 6+
x2 + x + 2
x2 + 5x + 6
14. 5x2 – �x – 1
x2 + 3x+ 2x2 + 4x – 1
x2 + 3x– 3x2 – 6x – 2
x2 + 3x
15. 2x2 + 3x + 6
x2 – 121+ x2 – 6x + �
x2 – 121– 3x2 – 4x + 3
x2 – 121
Ejercicios
I.
II.
53Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
16. 23
+ 45
– 12
34. 2a + b3a
– 2a – b3b
– ab
17. a + a2 35.
2a – 1
3(a – 2)– 2a – 2
a2 – 4– a
3
18. a2
+ a3
+ a4
36. 2x
x + y– 3x – y
x – y+ 2x – 4y
x2 – 2xy + y2
19. 2b3
– b 37. a + �
a – 6– a – 6
a – 5+ 2a – 4
a2 – 25
20. 2x5
– x�
+ x35
38. 2x
x2 + 3x + 2+ x + 4
x2 – 4+ 2x – 3
x2 – x – 2
21. a2
+ a3
+ a3
39. x + 1
x2 – 1+ x – 2
x2 – �– x – 3
x2 + 5x + 6+ x + 4
x2 – 4x + 3
22. a + a2
– a3
40. 3x – 2
2x + �– 1
x2 – 16– 2x
x2 + 5x + 4– 6– 3x
x2 – 1
23. 3x5
– 2x5
+ x10
41. 2x – 1
x + 3+ 3x + 1
x + 5– 5x2 + 1�x – 2
x2 + �x + 15
24. a�
– 2 42. m
m+ m2– 1
m2 + m3– 3m
m2 – 1
25. 1x
+ x 43. m+ 1
m– 4+ m+ 2
m– 5+ 2m
m2 – �m+20
26. 1x
+ x2
44. x
2x + 3– 2x
2x – 3+ x – 2
4x2 – �
27. a – �a4
– 2a3
45. 2
x2 + �x + 12+ 1
x2 – 16– 3
x2 – �
28. 32a
+ 43a
+ 56a
46. x – 4
3x2 + 12x– 2x – 4
x2 + x – 12– 4– 2x
2x2 – 6x
29. x – 14
+ x – 23
+ x2
47. 3x
3x2 + 15x+ 4x
x2 + �x + 15+ 2x2 – 3x
3x2 + �x
30. 1
a2– 1
a– 2
a3 48. 1
x + 2+ 2+ x
x2 + 4x + 4– 2– x
x2 – 4
31. 3xx – 3
+ 2x2x – 6
– 11x2
49. 2x
x2 – 2x – 24– x – 2
x2 – 36+ x – 5
x2 – 16
32. 1
z+ 1
z2– 1
z2 – 1 50. 2x
3x + 15– x – 3
x2 – 25– x – 12
6x+ 3x
x – 5
33. 3x – 5
x – 1+ 2x – �
x2 – 1+ x – 1
x + 1
Efectúe las siguientes operaciones:
1. 2aa – 3
– 6a
a2 – 9•
a + 32a
2. 1 + 1
x: 1 – 1
x 3. a + ab
a + b•
12
+ b2a
III.
Álgebra en los números reales54
1. 30 2. 6a 3. 3xy 4. 6xy 5. m2n2
6. mn 7. x2y2 8. a2 9. x2y2z 10. xy2z2
11. 20p2q2 12. 30p6q6 13. a2 – b2 14. 2a + 4 15. 3a2 – 12
16. 1�m2 + 6m 17. x2 – a2 18. x2 + 3x + 2
19. a2b + ab2 20. (a – b)2 (a + b) 21. x2 + 5x + 6
22. 2 (x – 2) (x – 3) 23. a (a – 1) (a + 1)2 24. (a – 2) (a + 2)2
25. (x + 2) (x – 2) (x + �) 26. 3a (a2 – 1) 27. p (p2 – 25)28. 4 (x + 1)2 29. 5 (t2 – 25p2) 30. (x – y) (x + y)2
4. 1x
+ 1 : 1x
– 1
5. x – yx + y
– 1 ∞1– x2y
6. aa + x
+ xa + x
:a + x
a2 + 2ax + x2
7. a – b : 1 – 1a + b
8. 1 – 1x – 1
: 1 + 1x + 1
9. a2 + ab2a
: 1– 1a
10. m2 + mnm
: 1+ 1m
11. 2a5b
– 3bb– 1
∞b2 – 1
2
12. 2a2+ c
∞4 – c2
4b: 2+ c
2c– 1
13. a + bb
– a – ba
∞2ab
a2 + b2
14. ba
+ ab
– 2 : a – ba
2
15. xx + 1
+ xx – 1
– 1 ∞ x2 – 1
16.
12
– 14
12
+ 14
17.
32
+ 55
215
18.
a2
– a3
a2
+ a3
19.
x – 1x + 1
– 1
x – 1x + 1
+ 1
20.
1x – 2
– 1x + 2
1
x2 – 4
21.
ab – b
a1a
– 1b
22. 1 + 1
1+ 1x
23. 1
1– 1
1– 1x
24. 2+ 3x2 – x
5
3– x2 – 110
25. a – ab
a + b
1 – ba + b
26.
1x
– y
1x
+ y
27.
1
1+ 1
1+ 1x
28.
a – ba
– a + ba
1a
29. 2– x
2
3– x3
30. 1 –
1x2 – 1
1+ 1x + 1
I.
II.
Soluciones
14 � 121. —– 2. 2 3. – — 4. a – 2 5. —–— 11 a 3x – 4
55Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
a x + 1 a + 2b 1 + x 1. —— 2. —— 3. ——— 4. —— a – 3 x – 1 2 1 – x
x – 1 a2 – b2 x2 – x – 2 5. —— 6. a + x 7. ———– 8. ———— x + y a + b – 1 x2 + x – 2
a2 + ab m2 + mn 4a – 15b3 – 15b2 ac 9. ——— 10. ———— 11. ——————— 12. —– 2a – 2 m + 1 10b b
1 113. 2 14. —– 15. x2 + 1 16. — b 3
�5 1 117. —– 18. —– 19. – — 20. 4
4
5
x
2x + 1 6x2 – 2x + 2021. – a – b 22. ——— 23. – x 24. —————– x + 1 31 – x2
1 – xy x + 125. a 26. ——– 27. ——– 28. –2b 1 + xy 2x + 1
12 – 3x x2 – 2 29. ——— 30. ———— 1� – 2x x2 + x –2
6. 3 7. x + 1x + 6
8. �x + 1�2x – 3
9. a – 2a + 2
10. 3p+ q
p2 + 1
11. 1 12. – 4 13. 3(x + 2) (x + 3)
14. 4x + 3x + 3
15. 1x – 11
16. 2�30
17. 3a2
18. 13a12
19. – b3
20. 2x�
21. �a6
22. �a6
23. 3x10
24. a – 1��
25. 1+ x2
x
26. 2+ x2
2x 27. – 1�a
12 28. 11
3a 29. 13x – 11
12 30. – a2 + a – 2
a3
31. 41x – 11x2
2x – 6 32. z3 – z – 1
z2(z2 – 1) 33. 4x2 – 2x – 11
x2 – 1
34. 3ab+ b2 – 5a2
3ab 35. – a3 + 2a2 + a + 4
3(a2 – 4) 36. – x3 – 3x2y + 5xy2 – 2xy + 2x2 – 4y2 – y3
(x + y) (x – y)2
37. 16a2 – 1�a – 331
(a2 – 25) (a – 6) 38.
5x2 + 2x – 2
x3 + x2 – 4x – 4 39. 2x3 + 1�x2 – 2x + 1�
(x – 1) (x2 – �) (x + 2)
40. 3x4 – 12x3 + 11x2 – ��x + 1�6
2(x2 – 16)(x2 – 1) 41. 0
42. – 2m3 – m2 – m+ 1
m2 (m2 – 1) 43. 2m2 – 4m– 13
(m– 4) (m– 5) 44. – 2x2 – �x – 2
4x2 – �
45. – 14x + 63
x2 – 16 x2 – � 46. – 2x2 + 11x – 12
3x (x + 4) (x – 3) 47. 2x3 + 22x2 – 6x
3x (x + 3) (x + 5)
48. 3x + 2
49. 2x3 + x2 – 6�x +14�
(x2 – 36)(x2 – 16) 50. 21x3 + �6x2 + 43x – 300
6x (x2 – 25)
III.
Álgebra en los números reales56
5. –3p • 2pq =
A. – 5p2q
B. 6p2q
C. – 6pq
D. – 6p2q
E. 6pq2
6. Si p = 1 y q = – 1 entonces p + q + pq es:
A. – 1
B. 1
C. 0
D. 2
E. – 2
7. Si p + q = – 6 y q = 2 entonces el valor de p es:
A. 6
B. �
C. – �
D. – 4
E. 4
8. Si m + 5n = 5 y n = – 2 entonces el valor de m es:
A. 15
B. – 05
C. 0 5
D. – 15
E. – 10
9. Si a = – 5 y a + b = 5 entonces el valor
de b es:
A. 0
B. 10
C. 5
D. – 5
E. – 10
Marque la alternativa correcta.
1. Si a = – 1 y b = – 2 el valor de a – ab es:
A. – 1
B. – 2
C. 1
D. – 3
E. 2
2. Al reducir la expresión
a2
– a se obtiene:
A. a2
B. – a2
C. – a
D. 0
E. – 12
3. Al reducir 2a – a – a2
se obtiene:
A. – a2
B. 12
C. a2
D. 3a2
E. – 12
4. Si m = 2 y p = 3 entonces m2 – p2 es:
A. 5
B. – 5
C. 13
D. – 13
E. – 2
Prueba de selección múltiple
5�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
10. Si m = n2
y n = – 16
entonces el valor de m es:
A. 32
B. – 32
C. �
D. – �
E. – 4
11. Si q = – 2r, r = s2
y
s = � entonces el valor de
q es:
A. �
B. – �
C. �2
D. 1�
E. – �2
12. La expresión “el doble del cuadrado de a” corres-
ponde a:
A. (2a)2
B. 2 (a2)2
C. 2a2
D. (2a2)2
E. a2
13. La expresión “el cubo de la mitad de a” corres-ponde a:
A. 3a3
2
B. a3
2
C. a2
3
D. a2
3
E. 3a2
14. La expresión “el cuadrado de la diferencia entre a y b” es:
A. (a – b)2
B. a2 – b2
C. a – b2
D. 2(a – b)
E. a – b2
15. “El doble del producto entre
a y b” corresponde a:
A. 2a2b
B. 2ab2
C. 2a2b2
D. a2b2
E. 2ab
16. Al reducir 2a – [ a – (a – 2a) ]
se obtiene:
A. 2a
B. 0
C. a
D. 4a
E. – 4a
17. Al reducir
(a + b) – (a – b) se
obtiene:
A. 2b B. – 2b
C. 2a
D. – 2a E. 0
18. Al reducir
(a – b) – (a + b) se
obtiene:
A. 2a
B. – 2a
C. 2b
D. – 2b
E. 0
19. Al reducir 3m – [2m – (3p + m) – p] se obtiene:
A. 2m – 4p
B. m + 2p
C. 2m + 4p
D. 2m + 2p
E. – 4p
20.
es igual a:
A. a6
B. – a6
C. – a2
D. a2
E. – a3
21. a • a2 • a– 2 =
A. a B. a– 3
C. a– 4
D. a3
E. a5
22. ab2 • – ab2 =
A. 0
B. – a2b2
C. – a2b4
D. a2b4
E. – 2a2b4
12
a + a – a – a23
13
Álgebra en los números reales5�
23. 2m • – 3m • – 4mp2 =
A. 24m3p3
B. – 24m3p3
C. 24m3p2
D. – 24m3p2
E. – �m3p3
24. x – [2x – 3y + (3y – 2x)] =
A. 3x – 6y
B. 4x – 6y
C. 4x + 6y
D. – x
E. x
25. a (a2 + a3) =
A. a6
B. 2a6
C. a�
D. a2 + a3
E. a3 + a4
26. m(1 + m) – m(1 – m) =
A. – m2
B. 2m2
C. m – m2
D. m + m2
E. 0
27. a(1 + a + a2) – a =
A. a + a2
B. a + a3
C. a + a2 + a3
D. a2 + a3
E. 1 + a + a2
28. xy (x + 2y) – 2xy2 =
A. x2y + xy2
B. xy2
C. x2y
D. 2xy2
E. – 2xy2
29. Al factorizar m2–mn se
obtiene:
A. mn(m –1) B. m2(m – n)
C. m(m – n)
D. m(1 – n) E. m2 (1 – n)
30. Al factorizar 4 – p2 se
obtiene:
A. (2 – p)2
B. (2 – p) (2 + p)
C. (p – 2) (p + 2)
D. (4 – p)2
E. 2p (2 – p)
31. La expresión 1 – p6 es equivalente a:
A. (1 – p3) (1 – p2)
B. p3 (1 – p2)
C. (1 – p3) (1 + p3)
D. (1 – p3)2
E. (1 – p2)3
32. Factorice:
m2 – n2 – m – n =
A. (m – n) (m2 + n2)
B. (m + n) (m – n – 1)
C. (m – n) (m – n – 1)
D. (m + n) (m – n + 1)
E. (m – n) (m – n + 1)
33. (a + b) + (a + b)2 =
A. 3(a + b) B. 3(a + b)2
C. 3(a2 + b2)
D. a(a + b + 1) E. (a + b) (a + b + 1)
34. Para que la expresión
�a2 + 12ab + .....
sea un cuadrado de
binomio falta:
A. 4b2
B. 4b
C. 4
D. b2
E. �
35. a b c2
abc =
A. 1c
B. c
C. 1
D. abc
E. 1abc
36. a+ abab
=
A. ab
B. a
C. a + 1a
D. b+ 1b
E. b
37. m2 – n2
m– n =
A. m – n
B. 1m– n
C. m + n
D. 1m+ n
E. m+ nm– n
5�Álgebra en los números reales
CAPÍTULO 1
38. a – 1a
: a –1a
=
A. a + 1
B. a – 1
C. 1a +1
D. 1a – 1
E. 1
a2
39. 3xy2 – 3x2y3xy
=
A. 3 ( x – y) B. 3 (y – x) C. y – x
D. x – y
E. y – 3x
40. a2 – b2
a4 – b4=
A. 1
a2 – b2
B. 1
a2 + b2
C. a2 – b2
D. a2 + b2
E. 1a – b
41. x2 – 11x + 2�x – �
=
A. x – 4x – �
B. x – �
C. x – 4
D. x + 4
E. x + �
42. x + 5
x2 – 25=
A. x + 5
B. x – 5
C. 1x + 5
D. 1x – 5
E. 1
x2 – 5
43. a2 – 4
a2 + 3a + 2=
A. a – 2a + 1
B. a + 1a – 2
C. – 2
D. – 12
E. a – 2
44. x3 + y3
x2 – xy + y2=
A. x + y
B. 1x + y
C. x – y
D. 1x – y
E. x + yxy
45. aa + b
+ ba + b
=
A. a
B. (a + b)
C. (a + b)2
D. 1
E. a + b
a2 + b2
46. m2n
– 2mn
=
A. – 3m2n
B. – 3mn
C. 3mn
D. 3m2n
E. –3m2
47. an+ 1 + an
an=
A. an
B. a
C. a + 1
D. an+1
E. an–1
48. 56 + 56 + 56 + 56 + 56 =
A. 530
B. 5�
C. 256
D. 2530
49. 3 ∞ 4n – 4n+ 1
4n=
A. 3 – 4n+1
B. 2
C. 1
D. –1
E. 0
1. D 8. A 15. E 22. C 29. C 36. D 43. A
2. B 9. B 16. B 23. C 30. B 37. C 44. A
3. C 10. D 17. A 24. E 31. C 38. A 45. D
4. B 11. B 18. D 25. E 32. B 39. C 46. A
5. D 12. C 19. C 26. B 33. E 40. B 47. C
6. A 13. D 20. B 27. D 34. A 41. C 48. B
7. C 14. A 21. A 28. C 35. B 42. D 49. D
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