Gua 10:Los Nmeros RealesRacionales e Irracionales

Durante el estudio de los Conjuntos Numricos, nos apoyamos en la representacin grfica de estos. Esta representacin consiste en asociar a cada punto de una lnea recta un nmero, creando as una Recta Numrica.

Lo primero que debemos definir es dnde se ubicar el CERO y el largo del segmento unidad.Qu necesitamos para construir una recta numrica?

El primer conjunto numrico que representamos fue el Conjunto de los Nmeros Naturales.

Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas que no pueden ser resueltos slo con los Nmeros Naturales. Entonces ampliamos este conjunto considerando la metfora del Espejo y as asociamos a cada nmero natural un nmero negativo.

Continuando el estudio, nos volvimos a enfrentar con situaciones donde el conjunto numrico tratado, no era suficiente para resolver variados problemas.

Puede ser en :La estrategia entonces fue dividir el segmento unidad en partes iguales.O quizs 10, 20, 100, 1000 el nmero de partes que se necesite!2345

Todos estos nmeros forman parte del conjunto de los Nmeros Racionales.Son los Nmeros Enteros parte del conjunto de lo Nmeros Racionales?

Habremos finalizado la construccin de una recta numrica?Todos los puntos de la recta tendrn asociado un nmero?

Veamos el siguiente caso

En el ao 530 a. C. existi una escuela en Grecia, dedicada al estudio de la filosofa, matemtica y las ciencias naturales. Esta escuela era conocida por el nombre de su fundador como La Escuela Pitagrica.

En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema:

Cunto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1?

Para determinar el valor de x ubicaremos el cuadrado sobre la recta numrica y tambin la diagonal:

Cul crees que es el valor de x?

Si hacemos un acercamiento en la recta numrica, podemos tener una mejor aproximacin. Cunto crees ahora que mide?

Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagrica calcul la medida de la diagonal utilizando el Teorema de Pitgoras Calclalo!

Exactamente! Ese punto en la recta no es nada menos que

= 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 En una calculadora, calculaQu valor obtuviste? Aqu te presentamos su valor con los primeros 65 decimales: Y aun tiene ms decimales

Veamos otra situacin, Consideremos una circunferencia cuyo dimetro mide uno. Cunto mide el permetro de esta circunferencia?Observa la siguiente animacin:

La letra se lee pi y representa el resultado de la pregunta anterior.Segn lo que viste en la animacin, cunto vale ?

= 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 Estos son los primeros 100 decimales de :Y aun tiene ms decimales

Qu caractersticas tienen en comn estos dos nmeros?Notas alguna diferencia o similitud con los nmeros del Conjunto de los Racionales?Y as como estos dos nmeros, hay muchos ms en la recta numrica.

Consideremos un nmero decimal que posee infinitos dgitos despus de la coma. Si en estos dgitos se observa un periodo, entonces decimos que es el resultado de una divisin de dos nmeros enteros y se puede expresa como una fraccin. Hablamos de un Nmero Racional.Podemos pesar as,

Podras dar 3 ejemplos?Escrbelos

Por otra parte, si este desarrollo decimal no posee periodo, no se tratar de un cuociente entre nmeros enteros, es decir, no es un Nmero Racional. Este tipo de nmero recibe el nombre de Nmero Irracional.

Podras dar 3 ejemplos?Escrbelos

Finalmente, todos los problemas que has estudiado hasta el momento tienen solucin en un solo gran conjunto en que se unen el Conjunto de los Nmeros Racionales y el Conjunto de los Nmeros Irracionales y se conoce comoConjunto de los Nmeros RealesIR

De esta manera hemos completado la recta numrica, asociando a cada punto de ella un nmero real.

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