Kordamine eksamiks aines

Algebra I

Sisukord

1. Algebralised põhistruktuurid

2. Kompleksarvud

3. Vektorruumid

4. Maatriksid

5. Polünoomid

6. Lineaarteisendused

7. Skalaarkorrutis

1. ALGEBRALISED PÕHISTRUKTUURID

2.1. Ühe tehtega algebralised struktuurid

Def. 2.1.1. Olgu hulk ja . Kujutust nimetatakse -aarseks ehk -kohaliseks

algebraliseks tehteks hulgal .

2.1.2. Rühmoid

Def. 2.1.2. Mittetühja hulka , millel on defineeritud üks kahekohaline algebraline tehe, nimetatakse

rühmoidiks.

Def. 2.1.13. Rühmoidi nimetatakse kommutatiivseks rühmoidiks, kui mistahes

korral.

Def. 2.1.14. Olgu rühmoid korrutamise suhtes. Elementi rühmoidist nimetatakse rühmoidi

ühikelemendiks, kui iga elemendi korral.

Ühikelemendiga mingi arvu korrutamisel see arv ei muutu.

Lause 2.1.25. Rühmoidil võib olla ainult üks ühikelement.

2.1.3. Poolrühm

Def. 2.1.15. Rühmoidi, mille tehe on assotsiatiivne, nimetatakse poolrühmaks.

Kui rühmoidil vaadeldav tehe on korrutamine, siis tähendab tehte assotsiatiivsus seda, et mistahes

elementide , ja korral vaadeldavast rühmoidist .

Lause 2.1.28. Tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest.

Def. 2.1.29. Olgu poolrühm korrutamise suhtes. Defineerime mistahes elemendi astmed järgmiselt:

mistahes naturaalarvu korral.

Kui poolrühma tehteks on liitmine, siis defineerime mistahes elemendi kordsed järgmiselt:

mistahes naturaalarvu korral.

Def. 2.1.32. Poolrühma, milles leidub ühikelement, nimetatakse monoidiks.

Def. 2.1.35. Olgu monoid korrutamise suhtes. Loeme, et mistahes elemendi korral.

Lause 2.1.36. Olgu monoid ja . Siis ja mistahes mittenegatiivsete

täisarvude ja korral.

2.1.4. Rühm

Def. 2.1.37. Olgu monoid korrutamise suhtes ning tema ühikelement. Elemendi pöördelemendiks

nimetatakse niisugust elementi , mille korral .

Elementi, millel leidub pöördelement, nimetatakse pööratavaks elemendiks.

Kui monoidi tehteks on liitmine, siis nimetatakse pöördelementi vastandelemendiks.

Lause 2.1.38. Mistahes elemendil monoidis leidub ülimalt üks pöördelement.

Lemma 2.1.39. Monoidi pööratava elemendi pöördelement on pööratav element ja .

Monoidi pööratavate elementide ja korrutis on pööratav element ja .

Def. 2.1.40. Rühmaks nimetatakse monoidi, mille igal elemendil on olemas pöördelement.

Def. 2.1.45. Olgu rühm korrutamise suhtes. Defineerime mistahes elemendi negatiivse astendajaga

astmed järgmiselt: mistahes naturaalarvu korral.

Lause 2.1.46. Olgu rühm ja , siis ja mistahes täisarvude ja

korral.

2.1.5. Abeli rühm

Def. 2.1.47. Rühma nimetatakse kommutatiivseks rühmaks ehk Abeli rühmaks, kui tema tehe on

kommutatiivne.

Lause 2.1.48. Hulk on Abeli rühm, kui temal on defineeritud kahekohaline algebraline tehe, mida me

nimetame liitmiseks, ning mis rahuldab järgmisi tingimusi:

1. (Liitmise assotsiatiivsus)

2. (Nullelemendi olemasolu)

3. (Vastandelementide olemasolu)

Def. 2.1.50. Mistahes Abeli rühmas defineeritakse liitmise pöörtehe lahutamine järgmiselt:

, kus element, mis saadakse elemendi lahutamisel elemendist on

tähistatud . Nagu tavalisel arvude juhulgi, nimetatakse ülalpool defineeritud elementi

elementide ja vaheks.

Lause 2.1.51. Olgu Abeli rühm ja selline element, et . Siis .

Lause 2.1.53. Olgu Abeli rühm. Siis

1. mistahes täisarvu ja mistahes elementide , korral,

2. mistahes täisarvude , ja mistahes elemendi korral,

3. mistahes täisarvude , ja mistahes elemendi korral,

4. mistahes elemendi korral.

Ühe tehtega algebralised struktuurid:

Rühmoid

Assotsiatiivne

Poolrühm

Leidub ühikelement

Monoid

Igal elemendil on olemas pöördelement

Rühm

Kommutatiivne

Abeli rühm

Näiteid: N

r

Näi

de

Teh

te s

uh

tes

kin

nin

e

Ass

ots

ia-

tiiv

ne

Le

idu

b ü

hik

-

elem

en

t Ig

a e

lem

en

t

on

pö

öra

tav

Ko

mm

uta

-

tiiv

ne

Rü

hm

oid

Po

olr

üh

m

Mo

no

id

Rü

hm

Ab

eli r

üh

m

2.1.3 + + + - + + + + - -

2.1.4 + + - ---- + + + - - -

2.1.5 + + - ---- + + + - - -

2.1.6 + + + - + + + + - -

2.1.7 + + + - + + + + - -

2.1.8 + + + - + + + + - -

2.1.9 + + + - + + + + - -

2.1.10 + + + + + + + + + +

2.1.11 + + + - + + + + - -

2.1.12 + + + + + + + + + +

2.1.14 , , + + - ---- - + + - - -

2.1.15 , on skalaarkorrutamine - ---- ---- ---- + - - - - -

2.1.16 , on vektorkorrutamine + - - ---- - + - - - -

2.1.17 + + + + + + + + + +

2.1.18 + + + - - + + + - -

2.1.19 + + + + - + + + + -

on suvaline mittetühi hulk.

on hulga kõikide teisenduste hulk.

on hulga üks-üheste pealeteisenduste hulk.

2.2. Kahe tehtega algebralised struktuurid

2.2.1. Ring

Def. 2.2.1. Hulka nimetatakse ringiks, kui temas on defineeritud kaks kahekohalist algebralist tehet,

liitmine ja korrutamine, nii et

1. Hulk on liitmise suhtes Abeli rühm,

2. Liitmine ja korrutamine hulgal on seotud distributiivsuse seadustega, see tähendab, et

ja mistahes , , korral.

Lause 2.2.2. Mistahes ringis kehtivad järgmised arvutusreeglid:

1. mistahes korral;

2. mistahes , korral;

3. mistahes , , korral;

4. mistahes , , korral.

Def. 2.2.4. Ringi nimetatakse assotsiatiivseks ringiks, kui on korrutamise suhtes poolrühm.

Ringi nimetatakse kommutatiivseks ringiks, kui korrutamine ringis on kommutatiivne.

Ringi nimetatakse ühikelemendiga ringiks, kui ringis on korrutamise suhtes olemas ühikelement.

2.2.2. Korpus

Def. 2.2.11. Ringi, mille nullist erinevad elemendid moodustavad korrutamise suhtes rühma, nimetatakse

korpuseks. Korpust, mille korrutamine on kommutatiivne, nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Kui

korpus ei ole kommutatiivne nimetatakse teda ka kaldkorpuseks.

Korpuse kõik nullist erinevad elemendid on pööratavad.

Lause 2.2.12. Olgu korpus ühikelemendiga ja nullelemendiga . Siis .

Lause 2.2.13. Vähemalt kahte elemendi sisaldav assotsiatiivne ühikelemendiga ring on korpus siis ja ainult

siis, kui tema igal nullist erineval elemendil on olemas pöördelement.

Def. 2.2.15. Mistahes kommutatiivses korpuses defineeritakse jagamine nullist erinevate elementidega

järgmiselt: .

Def. 3.2.20. Olgu ring. Nullist erinevat elementi , mille korral leidub kas nullist erinev element

või nullist erinev element nii, et kas või , nimetatakse nulliteguriks.

Lause 3.2.21. Korpuses ei leidu nullitegureid.

Tõestus. Kui on ringi pööratav element ja ( ), , siis annab selle võrduse korrutamine

vasakult (paremalt) elemendiga võrduse , mistõttu pööratav element ei saa olla nullitegur.

Ring, milles ei leidu nullitegureid, ei pruugi olla veel korpus.

TODO korpuste näited

2. KOMPLEKSARVUD

6.6. Kompleksarvude korpus

Def. Olgu , see tähendab ringi alamhulk, mis koosneb kõikvõimalikest

maatriksitest, millel on kuju , kus ja on suvalised reaalarvud. Korpust nimetatakse

kompleksarvude korpuseks ning tema elemente kompleksarvudeks.

Def. Kompleksarvu esitust kujul nimetatakse kompleksarvu algebraliseks kujuks. Reaalarvu

nimetatakse kompleksarvu reaalosaks, reaalarvu imaginaarosa kordajaks, elementi aga

imaginaarosaks. Kompleksarvu kutsutakse tihti ka imaginaarühikuks.

6.7. Kompleksarvude geomeetriline tõlgendus

Teoreem 6.7.1. Olgu kõikide tasandil asetsevate vektorite vektorruum. Vektorruumid ja on

isomorfsed.

Def. Tasandit mille punktideks on kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks.

Komplekstasandil antud ortonormeeritud reeperile vastava koordinaatteljestiku telgi nimetatakse vastavalt

reaalteljeks ja imaginaarteljeks. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu mooduliks .

Def. Kompleksarvu kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu .

Def. Olgu komplekstasandil antud polaarkoordinaadistik nii, et polaartelg langeb kokku reaalteljega, poolus

aga koordinaatide alguspunktiga. Kompleksarvu polaarnurka nimetatakse antud kompleksarvu

argumendiks.

Def. Kompleksarvu esitust kujul nimetatakse kompleksarvu trigonomeetriliseks

kujuks.

Kahe trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutise moodul võrdub tegurite moodulite

korrutisega ja argument tegurite argumentide summaga: .

3. VEKTORRUUMID

2.3. Vektorruum üle korpuse

Def. 2.3.1. Olgu kommutatiivne korpus ning selle korpuse ühikelement. Hulka nimetatakse

vektorruumiks üle korpuse , kui temas on defineeritud liitmine, nii et hulk on liitmise suhtes Abeli rühm,

ning igale paarile on üheselt vastavusse seatud element , nii et

1. mistahes elemendi ja mistahes elementide korral,

2. mistahes elementide ja mistahes elemendi korral,

3. mistahes elementide ja mistahes elemendi korral,

4. mistahes elemendi korral.

Asjaolu, et on vektorruum üle korpuse tähistatakse järgmiselt: .

Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks, elemente korpusest aga tihti ka skalaarideks. Vektorit

, mis on vektorruumis vastavasusse seatud paarile , nimetatakse skalaari ja vektori korrutiseks.

Lause 2.3.3. Hulk on vektorruum üle kommutatiivse korpuse , kui temal on defineeritud liitmine ning

igale skalaarile ja elemendile on üheselt vastavusse seatud element , nii et

1. mistahes elementide korral,

2. Leidub selline element , et iga elemendi korral,

3. Mistahes elemendi korral leidub element – nii, et ,

4. mistahes elementide korral,

5. mistahes skalaari ja mistahes elementide , korral,

6. mistahes skalaaride , ja mistahes elemendi korral,

7. mistahes skalaaride , ja mistahes elemendi korral,

8. mistahes elemendi korral.

Lause 2.3.9. Mistahes vektorruumis üle suvalise korpuse kehtivad järgmised arvutusreeglid:

1. mistahes vektori korral,

2. mistahes skalaari korral,

3. mistahes vektori korral,

4. mistahes skalaari ja vektori korral,

5. mistahes vektorite , korral,

6. mistahes skalaaride , korral.

2.4. Alamstruktuurid

Def. 2.4.4. Olgu algebralise struktuuri mingi mittetühi alamhulk. Hulga poolt moodustatud

alamstruktuuriks nimetatakse algebralise struktuuri kõikide nende alamstruktuuride lõiget, mis

sisaldavad hulka .

Def. 2.4.5. Kui algebralise struktuuri mittetühja alamhulga korral , siis alamhulka

nimetatakse algebralise struktuuri moodustajate süsteemiks.

Def. 2.4.22. Olgu vektorruum üle kommutatiivse korpuse . Vektorruumi mittetühja alamhulka

nimetatakse vektorruumi alamruumiks, kui

1. mistahes , korral,

2. mistahes ja korral.

Def 2.4.25. Vektorruumi mittetühja alamhulga poolt moodustatud alamruumi nimetatakse alamhulga

lineaarseks katteks.

Def. 2.4.26. Olgu vektorruum üle korpuse ja olgu . Mistahes avaldist, millel on kuju

, kus , aga ka selle avaldise poolt määratud vektorruumi

vektorit nimetatakse vektorite lineaarkombinatsiooniks. Korpuse elemente

nimetatakse lineaarkombinatsiooni kordajateks.

3.1. Lineaarse sõltuvuse mõiste ja omadused

Def. 3.1.1. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, see

tähendab, et .

Def. 3.1.2. Olgu vektorruum üle korpuse . Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt

sõltuvaks, kui vektorite mingi mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdub nullvektoriga.

Vastasel juhul nimetatakse vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatuks.

Lause 3.1.3. Olgu vektorruum üle korpuse . Ühestainsast vektorist koosnev süsteem on lineaarselt

sõltuv siis ja ainult siis, kui .

Lause 3.1.4. Kui lõpliku vektorite süsteemi mingi alamsüsteem on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv

ka esialgne terve süsteem.

Järeldus 3.1.5. Mistahes nullvektorit sisaldav vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Lause 3.1.6. Olgu vektorruum üle korpuse . Nullist erinevate vektorite süsteem on

lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui süsteemi vektorite mistahes järjestamise korral leidub vektor, mis

avaldub eelnevate lineaarkombinatsioonina.

Lause 3.1.7. Vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui selles

süsteemis leidub vektor, mis avaldub selle süsteemi kõigi ülejäänud vektorite lineaarkombinatsioonina.

3.2. Vektorruumi baas

Def. 3.2.2. Vektorruumi lineaarselt sõltumatut moodustajate süsteemi nimetatakse selle vektorruumi

baasiks.

Teoreem 3.2.3. Kui vektorruumis on olemas vähemalt kaks vektorit, siis on selles vektorruumis olemas baas.

Def. 3.2.9. Olgu mingi vektorite süsteem vektorruumis ning tema alamsüsteem. Süsteemi

nimetatakse süsteemi maksimaalseks lineaarselt sõltumatuks alamsüsteemiks, kui süsteem on

lineaarselt sõltumatu, iga süsteem aga, mis saadakse süsteemist mistahes süsteemi kuuluva vektori

juurdelisamisel, on lineaarselt sõltuv.

Teoreem 3.2.10. Olgu vektorruum üle korpuse . Vektorite süsteem on baas

vektorruumis siis ja ainult siis, kui süsteem on maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem

vektorruumis .

Vektorite süsteemi astak

Def. 3.3.9. Olgu selline vektorite süsteem vektorruumis , mille mingi maksimaalne lineaarselt sõltumatu

alamsüsteem koosneb lõplikust arvust vektoritest. Süsteemi astakuks nimetatakse siis vektorite arvu tema

mistahes maksimaalses lineaarselt sõltumatus alamsüsteemis. Süsteemi astakut tähistatakse .

Vektorruumi dimensioon

Def. 3.4.1. Vektorruumi dimensiooniks ehk mõõtmeks nimetatakse vektorite arvu vektorruumi mingis

baasis. Vektorruumi dimensiooni tähistatakse järgmiselt: .

TODO Vektorruum , kus on suvaline kommutatiivne korpus ja on suvaline naturaalarv

TODO Tõestada, et Vektorruumi mõõde on

4. MAATRIKSID

4.1. Maatriksite vektorruum

Def. 4.1.1. Olgu kommutatiivne korpus ja . -indat järku maatriksiks üle korpuse

nimetatakse reast ja veerust koosnevat tabelit, mille iga rea ja iga veeru lõikekohal seisab mingi element

korpusest .

Def. 4.1.2. Olgu . Maatriksit, mille esimeseks reaks on maatriksi esimene veerg,

teiseks reaks maatriksi teine veerg jne., nimetatakse maatriksi transponeeritud maatriksiks ning

tähistatakse .

4.4. Determinandid

Def. 4.4.2. -dat järku determinandiks üle korpuse nimetatakse kujutust

,

mis rahuldab järgmisi tingimusi:

1. Kui maatriks saadakse maatriksist mingi rea korrutamisel elemendiga

, siis .

2. Kui maatriks saadakse maatriksi mingile reale mingi teise rea liitmisel

(kusjuures muutub ainult rida, millele juurde liidetakse), siis .

3. .

Edaspidi nimetame maatriksi kujutist kujutuse korral maatriksi

determinandiks ning tähistame tihti järgmiselt:

4.5. Laplace’i teoreem

Def. 4.5.1. Olgu ning . Valime maatriksis välja mingid rida ja

veergu. Väljavalitud rea ja veeru elementidest (ilma elementide vastastikust asendit muutmata)

moodustatud -ndat järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse maatriksi -ndat järku miinoriks.

Def. 4.5.2. Olgu ning olgu maatriksi -ndat järku miinor, , mis

asetseb maatriksi ridades numbritega ja veergudes numbritega . Miinorit , mis

asetseb maatriksi nendes ridades ja veergudes, mis jäävad alles pärast ridade numbritega ja

veergude numbritega mahatõmbamist, nimetatakse miinori täiendusmiinoriks. Miinori

algebraliseks täiendiks nimetatakse korrutist

,

kus ning on miinori täiendusmiinor.

Teoreem 4.5.4 (Laplace’i teoreem). Olgu ning olgu maatriksis välja valitud

mingid rida, . Maatriksi determinant võrdub siis summaga, mille liidetavateks on

kõikide meie poolt valitud -s reas asetsevate -ndat järku miinorite ja nende algevraliste täiendite

korrutised.

Def. 4.7.2. Maatriksit nimetatakse regulaarseks, kui .

4.6 Astak

Def. 4.6.1. Maatriksi astakuks nimetatakse maatriksi reavektorite süsteemi astakut.

Maatriksi astakut tähistamine järgmiselt: .

Teoreem 4.6.2 (Teoreem maatriksi astakust). Maatriksi astak võrdub maatriksi nullist erinevate miinorite

kõrgeima järguga.

Lause 4.6.5. Kui vektorruumi vektorite süsteemi iga vektor avaldub vektorite süsteemi vektorite

lineaarkombinatsioonina, siis .

Lause 4.6.6. Maatriksite korrutise astak on väiksem või võrdne tegurite astakuga.

TODO Teades, et alati tõestage võrratus ning näidake, et

regulaarse maatriksi korral kehtib võrdus

4.7 Pöördmaatriks

Def. 4.7.1. Maatriksi pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit , mille

korral .

Teoreem 4.7.9. Maatriksil on pöördmaatriks olemas siis ja ainult siis, kui maatriks

on regulaarne.

Teoreem 4.7.10. Kui on regulaarne, siis

,

kus on maatriksi -nda reale ja -ndale veerule vastav algebraline täiend.

5. POLÜNOOMID

6.10. Polünoomide ring

Olgu kommutatiivne ring. Vaatleme kõikvõimalikke ühes suunas lõpmatuid jadasid, mille

komponentideks on ringi elemendid ja mille komponendid teatud kohast alates on kõik võrdsed ringi

nullelemendiga , see tähendab, et kui jada kõik komponendid ei ole nullid, siis on tal kuju

,

kus ning on vaadeldava jada viimane nullist erinev komponent. Tähistame kõigi selliste

jadade hulga tähisega .

Def. 6.10.1. Olgu sellised jadad, et , . Loeme, et

siis ja ainult siis, kui jadade ja vastavad komponendid on võrdsed (see tähendab iga

korral).

Jadade ja summaks loetakse jada , mille komponent , iga

korral.

Lemma 6.10.2. Hulk on eespool defineeritud liitmise suhtes Abeli rühm.

Def. 6.10.3. Jadade , kus , , korrutiseks nimetatakse

jada , mille komponent , iga korral.

Lemma 6.10.4. Hulk on eespool defineeritud korrutamise suhtes monoid.

Teoreem 6.10.5. Jadade hulk on kommutatiivne ring.

Def. 6.10.6. Ringi nimetatakse polünoomide ringiks üle ringi ning tema elemente polünoomideks.

7.1. Definitsioon ja põhiomadused

Def. 7.1.1. Olgu polünoom ringist , kus on kommutatiivne

nulliteguriteta ring, ja . Elementi ringist nimetatakse polünoomi

väärtuseks kohal ja tähistatakse .

Elementi nimetatakse polünoomi juureks, kui .

Def. 7.1.3. Võrrandit , kus nimetatakse -inda astme

algebraliseks võrrandiks (kordajatega ringist ). Kui , siis nimetatakse sellist võrrandit

lineaarvõrrandiks, kui , siis ruutvõrrandiks, ja kui , siis kuupvõrrandiks.

Teoreem 7.1.4 (Bezout’ teoreem). Jääk, mis tekib polünoomi jagamisel polünoomiga

võrdub polünoomi väärtusega kohal .

Järeldus 7.1.5. Element on polünoomi juur parajasti siis, kui .

Def. 7.1.7. Elementi nimetatakse polünoomi -kordseks juureks, kui , aga

.

Lause 7.1.8. Olgu , kus on nulliteguriteta kommutatiivne ring. Olgu polünoomi

vastavalt -kordsed juured, mis on paarikaupa erinevad. Siis

kusjuures ükski elementidest ei ole polünoomi juureks.

Lause 7.1.9. Olgu , kus on nulliteguriteta kommutatiivne ring. Polünoomi juurte

koguarv (kordsust arvestades) ei ületa selle polünoomi astet.

TODO Bezout’ teoreemi polünoomi kohta järelduse abil näidake, et -nda astme polünoomil on

maksimaalselt erienvat juurt

6. LINEAARTEISENDUSED

Def. 1.5.8. Kujutust nimetatakse kujutuse pöördkujutuseks, kui ja .

2.5. Homomorfismid

Def. 2.5.1. Olgu ja ühte tüüpi algebralised struktuurid. Kujutust nimetatakse homomorfismiks,

kui mistahes neil struktuuridel defineeritud -kohalise tehte , ja mistahes elementide

korral

ning

Homomorfismi algebralisest struktuurist samasse algebralisse struktuuri nimetatakse selle struktuuri

endomorfismiks.

Def. 2.5.19. Olgu korpus ja vektorruumid üle . Kujutust nimetatakse (vektorruumide)

homomorfismiks ehk lineaarkujutuseks, kui

1. mistahes korral,

2. mistahes , korral.

Vektorruumi endomorfismi nimetatakse tavaliselt vaadeldava vektorruumi lineaarteisenduseks.

2.6. Isomorfism

Def. 2.6.1. Olgu ja ühte tüüpi algebralised struktuurid. Homomorfismi nimetatakse

isomorfismiks, kui on üks-ühene pealekujutus.

Isomorfismi algebralisest struktuurist samasse algebralisse struktuuri nimetatakse selle struktuuri

automorfismiks.

Def. 2.6.2. Olgu ja ühte tüüpi algebralised struktuurid. Kui leidub mingi isomorfism , siis

öeldakse, et algebralised struktuurid ja on isomorfsed.

8.3. Omavektorid ja omaväärtused

Def. 8.3.1. Olgu vektorruum üle korpuse ja vektorruumi lineaarteisendus. Vektorit

nimetatakse lineaarteisenduse omavektoriks, kui leidub selline , et . Elementi

nimetatakse sel juhul omavektorile vastavaks omaväärtuseks.

TODO Kuidas omaväärtusi ja omavektoreid leitakse

TODO Kuidas näeb välja lineaarteisenduse maatriks selle teisenduse omavektoritest koosneval baasil?

Põhjendage viimast vastust

7. SKALAARKORRUTIS

9.1. Mõiste ja põhiomadused

Def. 9.1.1. Olgu vektorruum üle reaalarvude korpuse . Kui igale kahele vektorile on vastavusse

seatud reaalarv niiviisi, et on täidetud järgmised tingimused:

1. mistahes korral,

2. mistahes korral,

3. mistahes ja korral,

4. mistahes korral,

siis öeldakse, et vektorruumil on antud skalaarkorrutamine. Reaalarvu nimetatakse sel juhul

vektorite ja skalaarkorrutiseks, skalaarkorrutist aga vektori skalaarruuduks. Vektorruumi

üle reaalarvude korpuse, milles on defineeritud skalaarkorrutamine, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks.

Def. 9.1.3. Eukleidilise ruumi vektori pikkuseks nimetatakse reaalarvu

kus tähistab aritmeetilist juurt.

Def. 9.1.6. Öeldakse, et eukleidilise ruumi vektorid ja on ortogonaalsed (tähis ), kui nende

skalaarkorrutis .

Eukleidilise ruumi vektorite süsteemi nimetatakse ortogonaalseks, kui sellesse kuuluvad

vektorid on paarikaupa ortogonaalsed, see tähendab, et iga korral .

Lause 9.1.8. Nullist erinevate vektorite ortogonaalne süsteem on lineaarselt sõltumatu.

TODO Tõestage, et nullist erinevatest vektoritest koosnev ortogonaalne vektorite süsteem on lineaarselt

sõltumatu

Def. 9.1.9. Eukleidilise ruumi baasi, mis kujutab endast ortogonaalset vektorite süsteemi, nimetatakse

ortogonaalseks baasiks.

Ortogonaalset baasi, mille vektorid on ühikvektorid (see tähendab vektorid pikkusega ), nimetatakse

ortonormeeritud baasiks.