Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematika, zavrsni ispit, osnovna skola
Citation preview
www.matematiranje.com
1
Средњи ниво
Алгебра и функције
Напомена бр. 19)
РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА
Две линеарне једначине са две непознате чине систем једначина.
систем има облик : ax + by = s
cx + dy = t
где су a,b,c,d коефицијенти, а x и y непознате или променљиве.
1) МЕТОДА СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА
2)
Када су кефицијенти уз једну променљиву супротни бројеви тада препишемо једну једначину
система а другу једначину добијемо сабирањем једначина полазног система.
пример 1. 2x + y = 0
x - y = 3
2x + y = 0 ову једначину смо преписали из полазног система
3x = 3 ову једначину смо добили сабирањем једначина ситема
2x + y = 0
x = 1
2·1 + y = 0
y = -2
2) МЕТОДА ЗАМЕНЕ
Овом методом систем решавамо у два корака :
прво из једне једначине система изразимо једну непознату,
а онда тако изражену непознату заменимо у другу једначину система.
добијемо једначину са једном непознатом коју решавамо.
пример 2. 2x + y = 0
x - y = 3
x = 3 - y изразили смо непознату из друге једначине система
2( 3 - y ) + y = 0 заменили смо изражену непознату у прву једначину
x = 3 - y
6 – 2y + y = 0 решавамо једначине са једном непознатом
x = 3 - y
y = 6______
x = 3 – 6
x = -3
www.matematiranje.com
2
Систем линеарних једначина решавамо методом супротних коефицијената
2 3 4 / 3
3 2 7 / 2
6 9 12
6 4 14
13 26
26
13
2
x y
x y
x y
x y
y
y
y
+ = ⋅
− + = ⋅
+ = +
− + =
=
=
=
Добијену вредност за y заменимо у било коју од једначина полазног система.
2y = → 2 3 4x y+ =
2 3 2 4
2 4 6
2 2
1
x
x
x
x
+ ⋅ =
= −
= −
= −
Решавање система је уређени пар: ( ) ( ), 1, 2x y = −
Тачан одговор је под г)
www.matematiranje.com
3
3 3 7 2
3 5
x xx
+ += −
Целу једначину множимо најмањим заједничким садржаоцем ( НЗС ) за имениоце 3 и 5
НЗС (3,5)=15
3 3 7 2
/ 153 1 5
x x x+ += − ⋅
( ) ( )
5 3
1 1
3 3 7 215 15 15
3 1 5
5 3 3 15 3 7 2
15 15 15 21 6
15 15 21 6 15
21 21
21
21
1
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
+ +⋅ = ⋅ − ⋅
⋅ + = − ⋅ +
+ = − −
− + = − −
= −
= −
= −
Можемо да решимо сваки систем али је једноставније да решење које је дато ( )1, 2− − заменимо у сваки
систем.
а)
1
2
x
y
= −
= −
2 3 0
3
x y
y x
− − =
= −
( )1 2 2 3 1 4 3 0− − − − = − + − = Тачно
2 1 3− = − − Ово није тачно
www.matematiranje.com
4
→ ( )1, 2− − Није решење овог система
б)
2 2 3 0
2 3
x y
x y
− − =
− + =
( ) ( )2 1 2 2 3 2 4 3 1⋅ − − ⋅ − − = − + − = Није тачно
→ ( )1, 2− − Није решење овог система
в)
( )
3
2 3
1 2 3
1 2 3
1 1
x y
y x
= − −
= −
− = − − −
− = −
− = −
( )2 2 1 3
4 1 1
4 4
⋅ − = − −
− = − −
− = −
Решење ( )1, 2− − задовољава обе једначине система па је решење система под в)
Тачан одговор је под в)
( )
( ) ( )
2 2
1 1
2 11 0,5
2 4
2 1 1 1/ 2,4 4
2 1 2 4
2 1 1 14 4 4 4
2 1 2 4
2 2 4 2 1 1
2 4 4 2 1
2 2 1
3 1
1
3
m m
m mНЗС
m m
m m
m m
m m
m
m
+ +− = −
+ +− = − ⋅ =
+ +⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
+ − = − +
+ − = − −
+ = −
=
=
www.matematiranje.com
5
( )
( )
( ) ( )
( )
2 1
1 1
2 3 5 62 / 3,6 6
3 6
2 3 5 66 6 6 2
3 6
2 2 3 1 5 6 12
4 6 5 6 12
12 / 1
12
x xНЗС
x x
x x
x x
x
x
− −− = ⋅ =
− −⋅ − ⋅ = ⋅ −
− − − = −
− − + = −
− = − ⋅ −
=
Решење једначине је између бројева 10 и 20
Тачан одговор је под в)
Напомена бр. 20)
КВАДРАТНИ КОРЕН
Квадратни корен ненегативног броја a , у ознаци a , је број чији је квадрат једнак датом броју a .
Основна својства кореновања:
1) ( )a 2 = a , 0≥a
2) 2a = a
3) ab = a b , 0, ≥ba
4) b
a =
b
a , ba ,0≥ >0
www.matematiranje.com
6
156. Израчунај вредност израза.
Прикажи поступак.
( )
( )
10 5 12
38
2 2 2
2
− ⋅ ⋅
Вредност израза је _____.
( )
( )
2 5 12 10 5 12 10 5 12 2727 24 3
3 8 3 24 248
2 2 2 2 2 2 2 22 2 8
2 2 22
+ +⋅
⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = = =
Вредност израза је 8
157. Израчунај вредност израза.
Прикажи поступак.
а) ( )32 15 5
5− − ⋅ −
Вредност израза је _____.
б) ( )25 54 0,25 2⋅ − −
Вредност израза је _____.
а) ( )32 1 15 5 25
5 5− − ⋅ − = − − 35⋅ − ( ) ( )
2
225 5 25 25 25 25 0
= − − − = − − − = − + =
Вредност израза је 0
б) ( )1
25 5 5 254 0,25 2 4⋅ − − = ⋅
100( )
5
5
2 5 5
4
12 4 4 4
4
− = ⋅ − =
5
5
1
4⋅ 54 1 4 1 4 3− = − = − = −
Вредност израза је -3
158. Заокружи слово испред тачног одговора.
Вредност броја 19 налази се између бројева:
а) 0,1 и 0,9
б) 1,5 и 2,5
в) 2,1 и 3,9
г) 4,1 и 5,1
16 19 25
4 19 5
< <
< <
Тачан одговор је под г)
www.matematiranje.com
7
а)
( )( )
232 0,5
8 0, 25 7,75
− =
− =
б)
( )( )
22 3
2
5 3
25 27
− =
− =
( ) ( )2 22 2 4 ,n na a n− = = → − = −паран
в)
2144 2 81 11
12 2 9 11
12 18 11 19
+ − =
+ ⋅ − =
+ − =
( )( )
( )3 182 2 3 6 18 15 3
152
3
312 212 3 12 6 18
3
55 15 153
22 2 2 2 22
4 2
8 2
2 22 4 2 2 22
8 2 22направимоисте основе
⋅ −
↓ ↓ ↓
= = = =
==
⋅⋅ ⋅= = = =
Тачан одговор је под г)
www.matematiranje.com
8
4 93 1 1
9 16
4 253 1
9 16
2 53 1
3 4
3 2 53
3 3 4
1 5 5 13 1
3 4 4 4
⋅ − ⋅ =
⋅ − ⋅ =
⋅ − ⋅ =
⋅ − ⋅ =
⋅ ⋅ = =
б)
91 : 0,36
25
25 9 36:
25 100
16 9:
25 25
4 3:
5 5
4 5 4 11
5 3 3 3
− =
−=
=
=
⋅ = =
www.matematiranje.com
9
162. Израчинај вредност израза.
Прикажи поступак.
а) ( )223 2 2⋅ − −
б) 9 9
1 : 116 16
+ +
в)
23
2
2 2 4
3 3 81
− −
г) ( )
( )
4 2
22
2 4 164
88 2
− ⋅− ⋅
⋅ −
д) ( ) ( )
3 2 2
3 2 2
5 5 3
53 3
+⋅
− + −
а) ( )223 2 2 3 4 4 12 4 8⋅ − − = ⋅ − = − =
б) 9 9 3 16 9 4 3 25 7 5 7
1 : 1 1 : : :16 16 4 16 16 4 4 16 4 4 4
+ + = + + = + = =
4⋅
7
5 5=
в)
23
2
2 2 4 8 4 2 8 4 2 2
3 3 81 9 9 9 9 9
− − − − = − − = =
г) ( )
( )
44 2
22
2 4 1 1664
88 2
− ⋅− ⋅ =
⋅ −
1
16⋅
464
14⋅
1 4 18 1 1 0
8 4 1− ⋅ = − = − =
д) ( ) ( )
( )( )
23 2 2 2 2
3 2 32 22
5 5 15 5 3 3 5
5 53 3 3 3
++⋅ = ⋅ =
− + − − + 2
6
3
⋅
( )
23
3 1⋅
⋅ − + 25
63
2= = −−
www.matematiranje.com
10
( ) ( )
4 3 4 3 7
4 33 3 4 4 3 4
5 4 5 4 1
5 5 5 5
2 2 2 2
3 :3 3 3 3
9 16 3 4 7
+
⋅ ⋅
−
⋅ = =
= = =
= = =
+ = + =
Напомена бр. 21)
КВАДРАТ БИНОМА
• квадрат збира → ( )BA + 2 = 22 2 BABA ++
• квадрат разлике → ( )BA − 2 = 22 2 BABA +−
РАЗЛИКА КВАДРАТА
22 BA − = ( )BA − ( )BA +
www.matematiranje.com
11
( )2 2 22A B A AB B+ = + +
( )2 22 0, 2 4 0,8 0,04
КВАДРАТБИНОМА
x x x↓
+ = + +
Одавде видимо да је тачан одговор под в)
Најпре одредимо квадрат сваког бинома:
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
22 2 2
22 2 2
2
2 2
2 2
22 2
0, 2 0,4 0, 2 0,4 0,04 0,16 0,16
0, 4 0,2 0, 4 0,2 0,16 0,16 0,04
0,2 0, 4 0,2 0, 4
0, 2 2 0,2 0,4 0,4
0,4 0,16 0,16
0, 2 0, 4 0, 2 0, 4 0,04 0,1
А m n A m n m m n n
B m n B m n m m n n
C m n C m n
m m n n
m m n n
D m n D m n m
= + = + = + ⋅ +
= + = + = + ⋅ +
= − − = − − =
= − − − ⋅ + =
= + ⋅ +
= − = − = − 26 0,16m n n⋅ +
Одавде видимо да је: 2 2A C=
Тачан одговор је под а)
0, 2 0,3
0, 4 0,2
K a b
S a b
= +
= −
а)
www.matematiranje.com
12
( ) ( )0,2 0,3 0, 4 0,2
0,2 0, 4 0,3 0,2
0,6 0,1
K S a b a b
a a b b
a b
+ = + + −
= + + −
= +
б)
( ) ( )0, 2 0,3 0,4 0, 2
0,2 0, 4 0,3 0, 2
0,2 0,4 0,3 0, 2
0, 2 0,5
K S a b a b
a a b b
a a b b
a b
− = + − −
= + − +
= − + +
= − +
в)
( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2
0,2 0,3 0, 4 0,2
0, 2 0,4 0, 2 0, 2 0,3 0,4 0,3 0, 2
0,08 0,04 0,12 0,06
0,08 0,08 0,06
K S a b a b
a a a b b b b b
a ab ab b
a ab b
⋅ = + − −
= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ −
= − + −
= + −
а)
( ) ( ) 22 3 5 3 10 9a a a− + ⋅ − + = + Није тачно, јер је.
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 3 5 3 2 5 2 3 3 5 3 3
10 6 15 9
10 21 9
a a a a a a
a a a
a a
− + ⋅ − + = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
= − − + =
= − +
б)
( )2 22 3 4 12 9x x x− = − + Тачно, јер је.
( )2 22 3 4 12 9x x x− = − +
в)
( ) ( ) 22 3 3 2 6 13 6a a a a− + ⋅ − + = − + Тачно, јер је.
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2
6 4 9 6
6 13 6
a a a a a a
a a a
a a
+ ⋅ − + = − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ⋅
= − − + =
= − +
г)
( )2 22 3 4 9a x+ = + Није тачно, јер је.
( )2 22 3 4 12 9a x x+ = + +
www.matematiranje.com
13
Квадрат бинома: ( )2 2 22A B A AB B− = − +
2
2 2 2 21 1 1 12
2 4 2 4m n m m n n m m n n
− = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ +
Тачан одговор је под б)
Ако за 4 јаја треба 280g шећера, тада за 3 јаја треба х шећера.
Пропорција је:
4 : 3 280 :
4 3 280
3 280
4
3 70
X
x
x
x
=
= ⋅
⋅=
= ⋅
210x g= шећера
За 3 јајета потребно је 210g шећера.
www.matematiranje.com
14
480- Девојчица
х - Дечака
дечаци : девојчице 7 :8=
: 480 7 :8
8 7 480
7 480
8
7 60
420
x
x
x
x
x
=
= ⋅
⋅=
= ⋅
=
Дечаци + Девојчице = 420+480=900
У школи " Радост " укупан број ученика је 900
www.matematiranje.com
15
2
1 4x
y
На графику се види да права пролази кроз тачке ( 0, 0 ) и ( 4, 2 ). Заменимо ове вредности за x и y у
функцију и видимо коју функцију задовољава ова тачка са кординатама x и y.
4 2x y= =
а) 1 1 4
2 4 23 3 3
y x= → = ⋅ → = - Није тачно
б) 1 1
2 4 2 22 2
y x= → = ⋅ → = - Тачно
в) 2 2 2 2 2 4y x= → = ⋅ → = - Није тачно
г) 3 2 3 4 2 12y x= → = ⋅ → = - Није тачно
Тачан одговор је под б)
www.matematiranje.com
16
Означимо х- олово, у- цинк
График функције представља зависност између количине олова (х) и цинка (у) у легури.
Одредимо облик функције:
олово : цинк 2 :1=
: 2 :1
2
x y
x y
=
=
1
2y x= Функција
Сада утврдимо који график одговара овој функцији, тако што заменимо координате тачке ( х, у ) која
припада графику у функцију 1
2y x=
а)
1
( , ) (2,3) 3 22
x y = → = ⋅ Ово није тачно
б)
21( , ) (4,1) 1 4
2x y = → = ⋅ Ово није тачно
в)
1
( , ) (2,1) 1 2 12
x y = → = ⋅ = Ово је тачно,дакле ( , ) (2,1)x y = са графика в)задовољава функцију 1
2y x=
г)
1
( , ) (2, 4) 4 2 42
x y = → = ⋅ = Ово није тачно.
Тачан одговор је под в)
www.matematiranje.com
17
а)
8 2400
12
метара динара
метара хдинара
↑ ↑
↑ ↑
: 2400 12 :8
8 12 2400
12 2400
x
x
x
=
= ⋅
⋅=
300
8
12 300
3600
x
x
= ⋅
=
а) 12m платна кошта 3600 динара.
б)
8 2400
750
метара динара
х метара динара
↑ ↑
↑ ↑
:8 750 : 2400
2400 8 750
8 750
2400
x
x
x
=
= ⋅
⋅=
300
750 75
300 30
2,5
x
x
= =
=
б) За 750 динара може се купити 2,5 метара платна.
www.matematiranje.com
18
Поставимо једначину:
Ј - цена јагода, Т - цена трешања
5 2 300
5 2 300
kg J kg T
J T
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
5 156J⋅ = динара
156 2 300
2 300 156
2 144
144
2
T
T
T
T
+ ⋅ =
= −
=
=
72T =
Килограм трешања кошта 72 динара.
175. У такси удрзжењу „Муња“ почетна цена је 150 динара, а за сваки пређени километар плаћа се још
по 60 динара. У такси удружењу „Минут“ почетна цена вожње је 170 динара, а за сваки пређени
километар плаћа се јос по 55 динара. За колико пређених километара ће путник платити исти износ у
оба удрзжења?
Прикажи поступак.
За __________ километара.
x број пређених километара
Цена вожње у такси удружење „МУЊА“ је:150 60 x+ ⋅
Цена вожње у такси удружењу „МИНУТ“ је:170 55 x+ ⋅ (170 почетна цена) (55 динара по пређеном
километру)
Цене вожње су једнаке:
150 60 170 55
60 55 170 150
5 20
20
5
4
x x
x x
x
x
x
+ ⋅ = + ⋅
⋅ − ⋅ = −
⋅ =
=
=
За пређених 4 километара цена вожње је иста у оба удружења.
www.matematiranje.com
19
176. Обим правоугаоника је 66cm. Ако је једна страница за 3cm већа од двоструке вредности друге
странице, израчунај дужине страница тог правоугаоника.
Прикажи поступак.
Странице су дужине ___ cm и ___ cm.
a и b странице правоугаоника, двострука вредност друге странице је 2 b⋅ ;једна страница је за 3cm
већа од двоструке вредности друге странице, ово записујемо: 2 3a b= + имамо да је обим 66O cm=
( )
�
( )( )( )( )
2
2 2 3
2 3 3
2 3 1
6 1
66 6 1
661
6
1 11
11 1
10
2 10 3 23
a
O a b
O b b
O b
O b
O b
b
b
b
b
b cm
a cm
= +
= + +
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
= ⋅ +
+ =
+ =
= −
=
= ⋅ + =
Странице су дужине 23cm и 10cm .
177. Ученици осмог разреда једне школе договорили су се да купе слаткише за новогодишњу журку. Ако
свако од њих да по 75 динара, недостајаче им 440 динара. Ако свако од њих, да по 80 динара, остаће им
440 динара. Колико има ученика у осмом разреду те школе?
Прикажи поступак.
У осмом разреду те школе има _____ ученика.
Означимо :
X - Број ученика у осмом разреду
Y - Новац који су ученици прикупили
Ако сваки ученик да по 75 динара да би сакупили потребан новац недостајаће им још 440 динара, ово
записујемо као једначину: 75 440X Y⋅ = −
Ако сваки ученик да по 80 динара сакупиће потребан новац и остаће им 440 динара, ово записујемо као
једначину: 80 440X Y⋅ = +
www.matematiranje.com
20
Сада имамо две једначине:
75 440X Y⋅ = −
80 440X Y⋅ = +
Одавде је:
75 440
80 440
75 440 80 440
440 440 80 75
880 5
880
5
176
Y X
Y X
X X
X X
X
X
X
= ⋅ +
= ⋅ −
⋅ + = ⋅ −
+ = ⋅ − ⋅
= ⋅
=
=
У осмом разреду има 176 ученика.
