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4to Ao Razonamiento Matemtico 2
PRESENTACIN
El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS VCTOR VALENZUELA
GUARDIA pone a disposicin de nuestros alumnos el presente Mdulo Terico-
Prctico, del curso de lgebra correspondiente al rea de Ciencias, el cual permitir a
nuestros estudiantes la aprehensin de la asignatura con la visin de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educacin del
pas.
Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboracin y coordinacin han podido
lograr la realizacin de este Mdulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el ms ptimo posible.
Estas ltimas lneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparacin, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, est asegurada.
La Direccin
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
3
POTENCIAS Y RADICALES EN
Son
Que consisten en
En potenciacin 1n , n .se tiene:
Propiedades:
1.- Dados ,a n , se tiene: 0 1a
2.- Dados ,a n , 0a , se tiene:
1. . 1n n n n n
na a a a a
a3.-
.....
. . .....
fz
yx x y z fa a
3.- . . .. ....... . ......n
p q m p n q n m na b x a b x
4.- n
n m n m
m
aa a a
a5.- .m n m na a a
Ejemplos
E.1. Encuentre el valor de R si:
3 1
21 15 7 .33 6
R
Solucin
Aplicando las propiedades, obtenemos:
23 1
3 7 6 .35
127 7 18
25
116
25
401
25
R
E.2. Reduce utilizando las definiciones
de potencias, reducir:
89
89 Veces
7 7 7 7 7 ....... 7 7K
Solucin
89
89 Veces
89 89
7 7 7 7 7 ....... 7 7
7 7
0
K
K
En radicacin 2n , n
1
n na a . Propiedades:
1.-
n
m n ma a
2.- . . .... . . .......
. . .....
m m m mn p q n p q
n m p m q m
a b c a b c
a b c
3.- 11
mmm m
mm
a a aa b
b bb
4.-
1
. . .... ( . . .... ).....pm m n p un m n p uu a a a
POTENCIACIN Y
RADICACIN
OPERACIONES INVERSAS
Dados dos nmeros base y exponente, determinar un tercer nmero llamado
potencia
Dados dos nmeros radicando e ndice, determinar un tercer nmero llamado raz
n na b b a
Potenciacin y Radicacin
I Bimestre
ALGEBRA
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
4
EJEMPLOS
1.- Calcule: 6 3 412p x x
Solucin:
6 36 3 412
412
3 63 6 4 12
4 12
3 6 2 6 1 6
6
xp x x p
x
xx
x
x x
x
2.- Reducir: 2 3 4 5 120M x
Solucin:
2 3 4 5 2.3.4.5120 120
120
2.3.4.5 .
M x x
x x M x
3.- Calcular: 2. 2
2. 2. 2M
Solucin
La expresin dada es:
2. 2 4
2
2. 2. 2 2. 2. 2
2. 2. 2 2. 2.2
4.2 2.2 4
4
M
M
4.- Efectuar:
1
11
3 1
3 1
n
nn
K
Solucin:
Transformando el denominador del radicando:
1 1
11 1
1
1 1 1
11 1
1
1
1 1
3 1 3 1
13 11
3
3 1 (3 1)3
3 1 3 1
3
3 3
3
n n
nn n
n
n n n
nn n
n
n
n n
K
K
5.- Simplificar
48 radicales
8 8 8 8
3 3 310
96 radicales
. ....
.......
x x x xN
x x x x x x
Solucin:
48 radicales
8 8 8 8
3 3 310
48 radicales 48 radicales
48 4868 8
40 101048 48 24 1610 3
62
4
2
. ....
........ .......
.
x x x xN
x x x x x x
x x x
xx xx x
xx
x
N x
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1.-En cada caso calcule el valor de x .
5 3
3 2
3 2
325 9
13
53
35 7 11 9
45 2 10
1) 2 2) 4
3) 25 4) 7
5) 0,6 4) 2, 2
42 3 36) 7)
3 3
28) 9)
2
x x
x x
x x
x x
a b a bx x
a b
2.- Simplificar
1 61 2
26
2N f
3.- Reducir 4 2 5m m m
4.-Reduzca la siguiente expresin
5
3 5 20. .L x x x
5.- Completar con la alternativa correcta
1000
2 0 3
2
1. . . . x
mR m m m
m m
para R=m
6.- Al reducir a su mnima expresin
3 5 3034 m mM x x .Obtenemos 2.M x Hallar el
valor de 5
m .
7.- Calcule el valor de
1 16J x x
8.- Si: 5 2n , calcular: 1(25) n
a)4 b)16 c) 6,25 d)12,5 e) 3,125
9.- Indicar el exponente final de x en:
4 38 5
3 3 54
x x
x x
a)1 b)2 c) 4 d)0 e) x
10.- Mostrar el equivalente de:
1 22
x
xx
xxx
a) x b) x2 c) x
3 d) x
-1 e) 1
11.- Simplificar 1
2 4 2 2
20
2 2
mn
mnmn mn
M
a)2 b)4 c) 5 d) 10 e) 12
12.- El equivalente de:
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
5
,b a c b
c aa b b c
a a
a a es:
a)1 b) 1a c) a d) 2a e) 2a
13.- Determinar el exponente final de x en:
42 3 5 3
42 3 5 3
x x x x
x x x x
a)3/2 b)16/7 c) 27/14 d)54/32 e)16/3
14.- Reducir: 1 3 5 7
3 5 7 9
3 3 3 3
3 3 3 3
n n n n
n n n n
a)1/3 b)1/9 c) 1/27 d)1/81 e)3
15.- Mostrar el equivalente de:
1 1 12 .2 .2 ....." "
2 .2 .2 ....." "
n n n
n n n
n factores
n factores
a)1 b)2 c) 2
2n d) 2n e) 22 n
16.- Simplificar:
2 2
2
2
2 1
2 1
2 45(25 )
50
m m
m
m
a) 0,1 b)0,01 c) 0,001 d)1 e)10
17.- Simplificar:
991 1
1
991
5 5 5
5 5 5 52 2 2 2
15
. .
. . .....factores
x x x
x x x x
a)1 b) x c)5/2 d) 2x e) 2
18.-Sabiendo que : a b c abc , se pide determinar
el equivalente de:
a b cb c a c b aab ac bc
x x xx
x x x
a) x b) abx c) bcx d) acx e) 1
19.- Efectuar: 2 1 1 25 5 25 5
5
m m m m
m
a)5 b)31 c)25 d) 1/5 e) 37
20.- Si: 10 10n m n m n mx y x y , calcular el valor
de: x yxy
a)1010
b)1/10 c)(1/10)1/10
d) (1/10)10
e) 1
21.- Calcular: 0,4 0,3 0,2 0,10,5 0,8
0,1 .0,2 .0,3 .0,4
0,5 .0,3
a)1 b)0,06 c) 1,2 d)0,6 e)0,12
22.- Al efectuar : 3 33 3 23 3 .x x x x
Se obtiene:
a) 5x b) 3 x c) 9 x d) 5
9 x e) 2
23.- Luego de simplificar la expresin
3 2 4x x x , el exponente final de x es:
a)19 b)19/24 c) 17/24 d)21/19 e)23/24
ECUACIONES EXPONENCIALES
Definicin.- Se denomina Ecuacin Exponencial a toda
igualdad condicional que se caracteriza por presentar a
su incgnita formando parte de algn exponente.
Ejm: 2 1 3 22 16; 3 81; 2 64
xx x
Propiedades:
1.- ; 0 1x ya a x y a a>
Ejm.Si: 2 86 6 2 8 6x x x
2.- 0; 0 0x xa b x a b a b> >
Ejm.Si: 2 39 3 2 0 2x x x x
TEOREMAS DE CONVERGENCIA (infinitos)
1.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a
2.- 1......... ; / 2n n n na a a a n n a
EJEMPLOS
1.- Evaluar x en: 1
1 22 .4 8x
x x
Solucin
Expresando cada potencia en funcin de la base 2
tenemos:
12 3 1 2
1
2 3 62
12
3 62
2 .(2 ) (2 )
2 .2 2
12 . 2 2 3 6
2
13 8 1 6 16
2
17 7 7 17
xx x
x
x x
xx
x x x x
xx x x
x x
2.- Resolver para cada x : 3 3 3 27x
Solucin
La ecuacin dada es:
1
3 3 33 33 3 3
12
1 2
3 27 3 3 3 3
1 13 9 3 3
3 3 3
1 13 3 2 -
2
x x x
x
x x
x xx
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
6
3.- Calcular el valor de 2x x si se verifica que:
1 2 12 23 9x x
Solucin
1 2 1 1 2 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2.2
1 2 2
3 9 3 (3 ) 3 3
2 2 1 2 2 -3
x x x x x x
x x x x x
4.- Resolver: 1 216 ( 1). 16xx xx x
Solucin
Desarrollando el exponente del segundo miembro y
transponiendo, se obtiene:
2
1 12
1 12
2 116 2 1 16
16 2 16 2
. 16 16
16 16 ( )
x x
x x
x xx xx x
x xx x x x
xx x
x
x x
Elevando al exponente 1xx a ambos miembros
tenemos:
111
1
2
.16 2 16 2
( )16 2
16 16
16
xxx
x
x
xx x x xx x x
xx
x x
x
Comparando
la igualdad, obtenemos:
2 2 2 216 4 2x xx x x
5.- Resolver:
.. .. ..535
.
35
x xx x
x x
Solucin
Para resolver una ecuacin de la forma dada se
recomienda utilizar una variable auxiliar.
.. .. ..535
.
35
x xx x
II
I
x x k
De I :
...5
35.
35
xx
x = k3 5
5 5 3 3
5 3 ...................( )
kk k
k
x k x k x k
x k
De II :
...
22 ............
xx k
k
kk
x k x k x k
x k x k
Igualando
y :
5 2
3
2
2
5 25 2 6
3
3 6 2
:
2 2
k kk k k kk k
k k
Luego
x x
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1.- Si:
2 5 5 3
3 4
x x
a a , hallar x
a)2/17 b) 33/17 c) 32/7 d)1/5 e) 35/17
2.- Calcular x si: 5 2 2 327 243x x
a)-2/5 b)-21/5 c)9/5 d) 21/5 e)-9/5
3.- Evaluar x si: 2 3 2
5 49
7 25
x x
a)1/2 b)-1/2 c)1/4 d) -1/4 e)2
4.- Determinar x si: 3 4 2
x
a)2/3 b)1/3 c)3/2 d) 1/4 e)2/5
5.- Calcular x si: 54 2 18x
a)3/4 b)4/3 c)2/3 d) 1/4 e)2/5
6.- Evaluar x si: 2 2
22 2 2x
a)2 b)1/2 c) 2 d) 1/ 2 e)2 2
7.- Si: 5 0,25;x determinar 16xA
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,2
8.- Si: 39 512;x evaluar 23 x
a) 9 b)1/2 c) 27 d) 1/27 e)1/81
9.- Determinar x si: 23 3 216x x
a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8
10.- Encontrar m si: 11
(8 1 8 ) 10408
mm
a) 1/3 b)2/3 c) 4/3 d) 10/3 e)7/3
11.- Determinar x si: 1 2 33 3 3 351x x x
a) 1 b)2 c) 3 d)4 e)5
12.- Resolver para x si: 1
3 5 25x
x
a) 1/7 b)2/7 c) 3/7 d) 7 e)4/7
13.- Calcular x si:
2 2 4
8 1642 . 8 8 . 16x x x x
a)2/5 b) 5/2 c) 22/5 d) 5/22 e)7/5
14.- Resolver para x si: 2240 9 9x x
a) 1/2 b)1/4 c) 1/8 d)1/3 e)1/5
15.- Determinar x
1 2 3 43 3 3 3 3 360x x x x x
a) 6 b)5 c)4 d)7 e)3
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
7
16.- Evaluar x si:
91
3
9
1 1
27 3
x
a) 1/2 b)2 c) 3 d)1/3 e)1/9
17.- Proporcionar el valor de x que verifica:
2 1255 532 2
xx x
a) 6 b)2 c)4 d)9 e)3
18.- Determinar x si: 16
75 5
55 25
x
x
a) 6 b)7 c)9 d)5 e)8
19.- Calcular el valor de: N+K, si:
6 6 6 6432 32 32......... ; K=64
64
N
a) 6 b)66 c)62 d)10 e)5
20.- Simplificar la expresin:
3 3 3
3 2 3 2 3 ....
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
ECUACIONES TRASCENDENTES
Definicin.- Se denomina ecuacin trascendente a
toda ecuacin no algebraica.
Ejem. 1 22 6; 4; 0,7; 5 6x x xx x senx x x
CRITERIOS DE COMPARACIN
Si: x ax a x a
Si: x bx b x b
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1.- Resolver: ( 1)( 1) 256xx
a) 2 b)3 c) 4 d)5 e)8
2.- Resolver: 3 9 0,3x
x
a) 1/2 b)1/3 c) 1/4 d)1/5 e)1/8
3.- Calcular x , si: 6 2
2xx
a) 12 6 b) 12 8 c) 4 d)2 e)3
4.- Resolver: 3(3 ) 4xx
a) 3/2 b)1/3 c) 2/3 d)1/5 e)1/2
5.- Calcular x , si: 5
5xxx
a) 3 5 b) 5 5 c) 5 d) 5 e)3
6.- Calcular x , si: 3 3
27xxx
a) 3 5 b) 3 3 c) 5 d) 5 e)3
7.- Resolver para x s: 26
4
30x
x-
a) 7 b) 8 c) 5 d)9 e) 10
8.- Encontrar el valor de x en: 4 4
x
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9.- Resolver para x s: 4
xx1
=2
a) 3/2 b)1/8 c) 1/4 d)1/16 e)1/2
10.- Resolver para x s: 21 116. 16
x xxx x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11.- Determinar x si:
95 3
5 3 15
x
x
x
a) 5 15 b) 9 15 c) 3 5 d) 15 3 e) 9 5
12.- Un valor de x en: 211 4x x ; es:
a) 10 b) 4 c) 63 d) 64 e) 62
SEGUNDO BIEMESTRE
UNIDAD I
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
es un
representada por dadas por
TRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
Definicin.- Es la mnima parte de una expresin
algebraica, en el no existen operaciones de adicin o
sustraccin.
EXPRESIN ALGEBRAICA
CONJUNTO DE TRMINOS
QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD
CONSTITUIDA POR
VARIABLES CONSTANTES
LETRAS NMEROS
OPERACIONES
MATEMTICAS ELEMENTALES
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
8
Ejem: 3
22 2 6 35 ; 7 ;
xyx y x y
z
Todo termino algebraico presenta tres partes, las
cuales son:
Exponentes
5 3 77x y
Variables
Coeficiente
TRMINOS SEMEJANTES
Definicin.- Son aquellos trminos que presentan las
mismas variables e iguales exponentes respecto a la
Variable comn.
Ejem: 5 57 4xy xy son semejantes
CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
A.- Segn su Naturaleza
1.- Expresin Algebraica Racional.
Es aquella expresin en donde los exponentes de
las variables son nmeros enteros. Estas a su vez se
dividen en:
1.A Expresin Algebraica Racional Entera
Ejem: 4 27 4 4 2 1xy x y x y
2.A Expresin Algebraica Racional Fraccionaria
Ejem: 2 27 5 1xy xyx
2.- Expresin Algebraica Irracional
Es aquella expresin en donde existe al menos una
variable afectada de algn signo radical o exponente
fraccionario.
Ejem: 2
1 4 4 1 5
2 5 3
2 3 3 2
xy x y x
x y xy x
B.- SEGN EL NMERO DE TRMINOS
Monomio.1 trmino
Binomio2 trminos
Trinomio3 trminos
.
Polinomioms de 3 trminos
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE
Ejem: 2
2 5 5 3
2 cos
yxy x x
x senx x
Ejercicios resueltos
1.- Cuntas de las expresiones son algebraicas?
2 1 3 23 ;3 3;3 5;28; 4 1xxx x x x x
Solucin
Son expresiones algebraicas:
2 1 33 ;3 5;28x x x x
2.- Si los trminos : 3 1 5 24 a b a bx y x y
Son semejantes; calcular a.b
Solucin
Podemos plantear:
3 1 5 24 a b a bx y x y
Donde: 3 5 2 8 4
1 2 1 1
. 4
a a a a
b b b b
a b
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1.- Si: 2 7
5 3 ;
A x y
B x y
Determinar: 5 2A B
a) 9 x b) 9 y c) 41 x d)41 y e)20 x 41 y
2.- Si: 1 5 21 ; 2 . ;b aa x b x a b x
Son trminos semejantes, calcular: 2 2a b
a) 31 b) 33 c) 35 d)47 e)19
3.- Si:
2 3 4
5 2 2
4 ;
A x y xy
B x y xy
C x y xy
Evaluar: A B C
a) 6 7x y xy b) 6x y xy c) 3 4x y xy
d) 2 10 4x y xy e) 6x y
4.- Si: 2 4 5 1n mx y x y ; determinar: m n
a) 4 b) 5 c) 3 d)-4 e) 1
5.- Si: 1 42 5nx x se reduce a un solo trmino, Cul
es valor de n?
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
9
6.- Cuntas de las siguientes:
1 2 1 4 x2 4 ; 2 3; 3; log 2 ; 3xx y x x x no
son expresiones algebraicas?
a)1 b)2 c) 3 d)4 e) 5
7.- Si se divide la suma por la diferencia de los
trminos: 2 3 2 35 3 ,x y x y se obtiene:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) xy
8.- Si los siguientes trminos son semejantes:
22 5 5 43 8m n n mx y x y Proporcionar el mayor
valor de: m n
a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
es un
VALOR NUMRICO DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Definicin.- Es aquel valor que se obtiene al
reemplazar las variables por constantes o variables y
efectuar dichas operaciones.
Ejem: Sea ( ) 5 3P x x . Hallar:
(0); (1); ( 3)P P P x
Solucin
:
0 (0) 5(0) 3 3
1 (1) 5(1) 3 8
3 ( 3) 5( 3) 3 5 18
si
x P
x P
x x P x x x
VALORES NUMERICOS NOTABLES
Si ( )P x es un polinomio, se cumple:
(0)P = trmino independiente
(1)P = suma de coeficientes
Ejem: Si ( 3) 5 16P x x
Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes
Solucion
Se pide (0)P + (1)P
(0)P : ) 3 0 -3i x x . Reemplazando en:
( 3 3) 5( 3) 16 1
(0) 1
P
P
(1)P : ) 3 1 -2i x x . Reemplazando en:
( 2 3) 5( 2) 16 6
(1) 6
P
P
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
VARIABLE X
1 2
0 1 2 1( ) ...................n n n
n nP x a x a x a x a x a
Donde:
; n n grado del polinomio
0 1 2 1, , ,.........., , :n na a a a a son los coeficientes tales
que:
0 0 :a Coeficiente Principal (C.P)
:na Trmino Independiente (T.I)
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogneo.- Es aquel polinomio que
tiene todos sus trminos el mismo grado.
Ejem: 3 2 2 3( , ) 3 4P x y x x y xy y
2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que esta
ordenado con respecto a una variable llamada
ordenatriz, donde los exponentes de la mencionada
variable van aumentando o disminuyendo.
Ejemplos:
5 3 3 2 2 4( , ) 9 2 4 3P x y x y x y x y y
4 3 2 2 3 4( , ) 9 2 4P x y x x y x y xy y
17 12 6( ) 5 2 1Q x x x x x
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el que
el grado de todos sus trminos van desde un mximo
valor hasta el de exponente cero (trmino
independiente)
Ejem: 5 4 3 2( ) 9 2 4 3 5P x x x x x x
4 3 2 2 2( , ) 9 4 10P x y x y x y x xy y
Propiedad
GRADO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A LA EXPRESION ALGEBRAICA
ABSOLUTO SI SE REFIERE A TODAS LAS VARIABLE
RELATIVO SI SE REFIERE A UNA
SOLA VARIABLE
SLO UN TRMINO
TODA LA EXPRESIN
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10
En todo polinomio completo y de una sola variable, el
nmero de trminos es equivalente al grado aumentado
en uno.
Es decir: nmero de trminos = Grado + 1
4.- Polinomios Idnticos.- Dos polinomios de las
mismas variables son idnticos si tienen el mismo valor
numrico para cualquier valor o valores asignados a
sus variables.
Ejemplos: 2 2( ) ( 2) ( ) 2 8P x x Q x x x
3 3 2 2( , ) ( , )P x y x y Q x y x y x xy y
5.- Polinomio Idnticamente Nulo.- Son aquellas
expresiones que son equivalentes a cero. Estando
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a
cero. Notacin: ( ) 0P x
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1.- Determinar el grado de:
4 5 2 6( , ) ( ) ( )P x y x y
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 55
2.- Indicar el grado de:
2 3( ) 1 2 3 ............20N x x x x factores
a) 210 b) 220 c) 410 d)20 e) 100
3.- Para qu valor de n: 2 4( ) nP x x es de 2
grado?.
a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5
4.- Si el trinomio:
2 2 1( ) 1 4 4 4aP x a x x x a
Es de tercer grado. Cul es la suma de sus
coeficientes?
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
5.- Resolver ab si: ( ) 18 ( ) 9GA N GR y
Siendo: 2 2, 5a a b a bN x y x y
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12
6.- Efectuar a+b si el grado del monomio:
2 1 3( , ) ( ) ,a bQ x y a b x y es igual a 17 y su
coeficiente tiene el mismo valor que el grado relativo de
x
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12
7.- Si el monomio
72 3
3
14
.( )
n n
n
x xP x
x
es de grado 2.Calcular el valor de
n
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
8.- Si el monomio 2 4 3 1 5 8( , , ) 5 n n nM x y z x y z el
grado relativo a z es 12, hallar el G.A(M)
a) 13 b) 15 c) 17 d) 29 e) 19
10.- Si el grado absoluto de:
3 1 2 2 2 3 3( , ) 2n n n n n nP x y x y x y x y es 11.
Calcular el valor de n
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
11.- Si el polinomio
2 9( , ) 2 3 (2 4 )b a b aP x y a x y b x y es homogneo
y la suma de coeficientes es 9, hallar el valor de ab.
a) -28 b)-42 c) 28 d) 42 e) 16
12.- Si el polinomio
2 3 6 3 4( , ) 4 2 ( 1)b q a b a b a bP x y a x y b x abx y , es
completo y ordenado con respecto a x en forma
decreciente, hallar la suma de sus coeficientes.
a) 6 b) 16 c) 26 d) 28 e) 32
13.- Si 2 2 8( , ) 15 2m n m n n m n m nP x y x y x y x y
Es un polinomio homogneo, calcular m
a) 8 b) 1/16 c) 64 d) 1/24 e) 32
14.- Sabiendo que:
2 2
( )P x ax b
P p x a x b
Hallar: P(-1)
a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2
15.- Se sabe que: ( ) 4;
9
P x ax
Q x x b
siendo ,a b
Adems: 2P Q x Q P x .Calcular: (a/b)
a) 6 b) 9 c) 3/17 d) 6/9 e) 7
16.- Sea: 3 2
3 2
( ) 3 2 1 3
( ) 3
P x x a b x c x
Q x dx x a b x c
Si la suma de P(x) Y Q(x) da un polinomio
idnticamente nulo. Hallar: a+b+c+d
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1
17.- Calcular el grado absoluto del monomio
2 2 26( , , ) . .
a b b c a cP x y z x y z .Si: 4a b b c
a) 1 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64
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11
18.- Si el polinomio
1 2 2 5( , ) a n m c a b n n aP x y bx cx y ax y ny
es homogneo y la suma de sus coeficientes es 4.
Calcular: 2 2m n
a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25
PRODUCTOS NOTABLES
son
Por ejemplo
2 2 22a b a ab b
2 2 22a b a ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
Definicin.- Se denominan as a todas aquellas
multiplicaciones o potenciaciones cuyos resultados:
Productos o potencias, tienen una frecuencia que las
hace reconocibles en una inspeccin.
Algunos resultados mas:
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
2 2
2 2m n m n m n
a b a b a b
a b a b a b
2.- TRINOMIO AL CUADRADO
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3
3 3
a b a a b ab b
a b a a b ab b
Ejemplo 1
Efectuar: 2 22 3 2 2L x y x y x y
Solucin
Efectuando la multiplicacin:
2 2
2 2 2 2
2
2 3 2 2
3 6 2 2 2
5
L x y x y x y
L x xy xy y x y
L x xy
Ejemplo 2
Calcular: 2 2 25 2 2 6 19M x x x x
Solucin
Desarrollando cada potencia por separado
2 2
2 2
5 10 25
2 4 4
x x x
x x x
. Luego podemos notar:
2 2 2 2
2
5 2 10 25 4 4
2 6 29
x x x x x x
x x
Luego 2 22 6 29 2 6 19
10
M x x x x
M
Ejemplo propuestos para clase 3
Efectuar:
1.- E = (xy)2 (yz)
2 + (zw)
2 (w
x)2 + 2(xz)(yw)
Rpta.
2.-Efectuar:
E = (a+b)2(a
2+2ab-b
2) (ab)
2(a
2
2abb2)
Rpta.
.
PRODUCTOS NOTABLES
RESULTADOS DE DETERMINADAS MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS SIN EFECTUAR LA OPERACIN
BINOMIO SUMA AL CUADRADO
BINOMIO DIFERENCIA AL CUADRADO
BINOMIO SUMA
AL CUBO
BINOMIO DIFERENCIA
AL CUBO
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12
3.-Efectuar:
E = 2(a+b)[(a+b)2 2ab + (a-b)
2] +
+ (ab) [(a+b)2 + 4(a
2+b
2)(ab)
2]
Rpta.
4.- Efectuar:
1563030651M
Rpta.
5.- Calcular el valor de E para 2x E = [(x+1)
2(x
2+2x1)
(x1)2(x
22x1)]
2/3
Rpta.
6.- Calcular el valor numrico de:
E = (a2+b
2)3 + (a
2b
2)3 6b
4(a
2b
2)
Para a3 =2, b
3 = 3
Rpta.
7.- Simplificar:
yx
xyyxxyyE
22222 222
Rpta
8.- Calcular
33
33
721
33
721
Rpta.
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Simplificar: E = (xy)(x+yz) + (yz)(y+zx) +
+ (zx)(z+xy)
a)0 b) x+y+z c) xy+z d) x+yz d) y+zx
2. Simplificar:
1x
1xxxxxxxx1x1xQ
9
36136124
A) x18
+1 B) x91 C) x
9+1
D) 1 E) 1
3. Simplificar:
bab2babaab4E2/1
A) a B) b
C) ba D) a2
E) ba
4. Determinar el valor numrico de: (a+b+3c)(ab+3c)(a3c+b)(a3cb)
12a ; 2b ; 12c
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
5. Si:
3 111972x ;
111969y
Hallar el valor de:
x9 9x
3y
3 y
9
A) 27 B) 72 C) 30
D) 20 E) 25
6. Simplificar:
E = (x1)(x+4)(x+2)(x3) + (x2)(x+5)(x+3)(x4)
2(x2+x10)
2 + 56
A) 5x20 B) x2+3x84
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13
C) 3(x10) D) Cero
E) Uno
7.- Si: a . b1
+ a1
b = 3; hallar el valor de: 3
2
23
2
2
11ab
ba
E
F) 27 G) 81 H) 189
I) 243 J) 486
8.- Si: 1;x y calcular 2 2
2 2x y x y
a) -1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 4
9.- Por cuanto se debe multiplicarse: 33
1x
x
Para obtener: 6
6
1x
x
a) 1x x b) 1x x c) 4 2x x d) 3 3x x
e) 3 3x x
10.- Simplificar 2
2: 4 2 1 2 3E x x x x x x
a) 0 b) 3 c) 2 d) 3x e) 4
11.- Si: 0x y z .Calcular:
3 3 32 2 2x y z y z x z x y
Rxyz
a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81
12.- Si: 5 5 0a c ac calcular:
5
5 5
acA
a c a c
a) 9 b) 27 c) -27 d) 81 e) -81
13.- Si se cumple:
3 3 32 2 2
2 2 23
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
Calcular el valor numrico de:
b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
14.- Simplificar la expresin:
2 2 4 4 2 2 4 4
2 2 4 4 2 2 4 4
m n m n m n m nJ
m n m n m n m n
a) 2m
n b) 2
m
n c)
m
n d) 2
m
n e) 2mn
15.- Si: 3 3
3 3
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
a
b
.Indicar el valor de:
4 2 2 4 2 23 3
64
a a b b a bR
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
EQUIVALENCIAS NOTABLES
1.- Equivalencias de Legendre
2 2 2 2
2 2 2 2
2
4
a b a b a b
a b a b a b
2.- Equivalencias de Steven
2
3 2
x a x b x a b x ab
x a x b x c x a b c x ab ac bc x abc
3.- Equivalencias de Lagrange
2 22 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2 2 2
a b x y ax by ay bx
a b c x y z ax by cz ay bx az cx bz cy
4.- Equivalencias de Argand
4 2 2 4 2 2 2 2m m n m m m n m m m n na a b b a a b b a a b b
Equivalencias Condiconales
Si . a + b + c = 0 . Se verifican:
. a2 + b
2 + c
2 = 2(ab + bc + ac) .
. (ab + bc + ac)2 = (ab)
2 + (bc)
2 + (ac)
2 .
. a3 + b
3 + c
3 = 3abc
Ejemplos
1. Efectuar:
E = (xy)2 (yz)
2 + (zw)
2
(wx)2 + 2(xz)(yw)
Rpta
2. Efectuar:
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14
E = (a+b)2(a
2+2ab-b
2)
(ab)2(a
22abb
2)
Rpta.
3. Efectuar:
E = 2(a+b)[(a+b)2 2ab + (a-b)
2] +
+ (ab) [(a+b)2 + 4(a
2+b
2)(ab)
2]
Rpta.
4. Calcular el valor de E para 2x E = [(x+1)
2(x
2+2x1)
(x1)2(x
22x1)]
2/3
Rpta.
5. Simplificar:
yx
xyyxxyyE
22222 222
Rpta.
6. Calcular
M= 3333
721
33
721
Rpta.
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Simplificar: E = (xy)(x+yz) + (yz)(y+zx) +
+ (zx)(z+xy)
a) 0 b) x+y+z c) xy+z d) x+yz e) y+zx
2. Simplificar:
1x
1xxxxxxxx1x1xQ
9
36136124
a) x18
+1 b) x91 c) x
9+1
d) 1 e) 1
3. Simplificar:
bab2babaab4E2/1
a) a b) b
c) ba d) a2
e) ba
4. Determinar el valor numrico de: (a+b+3c)(ab+3c)(a3c+b)(a3cb)
12a ; 2b ; 12c
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
5. Si:
3 111972x ;
111969y Hallar el valor de: x9 9x3y3 y9
a) 27 b) 72 c) 30
d) 20 e) 25
6. Simplificar:
E = (x1)(x+4)(x+2)(x3) + (x2)(x+5)(x+3)(x4)
2(x2+x10)
2 + 56
a) 5x20 b) x2+3x84
c) 3(x10) d) Cero
e) Uno
7. Si: a . b1
+ a1
b = 3; hallar el valor de: 3
2
23
2
2
11ab
ba
E
a) 27 b) 81 c) 189
d) 243 e) 486
8. Si:
aabcxabcx 88
babcxabcx 88
cabcxabcx 44
Hallar:
abcxabcxR
a) ab b) bc c) 2 d) 2abc e) a
2
9. Si: 33 3232E Hallar el valor numrico de:
3 3 233EEP
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 2 e) 3 3
10. Sabiendo que: a + a1
= 3; determinar el valor de: aaaa aaaaM 1
111
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
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15
41 42
DIVISIN ALGEBRAICA
Definicin.- Operacin que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relacin:
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto
Propiedades de la Divisin
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x))
Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))
Adems: Mximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) 1
PRINCIPALES MTODOS DE DIVISIN
MTODO DE WILLIAM G. HORNER
Pasos a seguir:
1. Coeficiente del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable completo o
completado.
2.- Coeficiente del divisor ordenado
decrecientemente en una variable, completo o
completado, con signo contrario salvo el primero.
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir
la suma de los elementos de cada columna entre el
primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del
cociente se multiplica por los dems coeficientes
del divisor para colocar dichos resultados a partir
de la siguiente columna en forma horizontal.
4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar
la columnas finales una vez obtenidos todos los
coeficientes.
OBSERVACIN:
LA LNEA DIVISORIA SE COLOCAR SEPARANDO TANTOS TRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
MTODO DE PAOLO RUFFINI
Pasos a seguir:
1.-Coeficientes del dividendo ordenado
decrecientemente, completo o completado, con
respecto a una variable.
2.- Valor que se obtiene para la variable cuando el
ALGEBRA
II Bimestre
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
16
divisor se iguala a cero
3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
sumar cada columna, luego que el coeficiente
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en
la siguiente columna.
4.- Resto de la divisin que se obtiene de sumar la
ltima columna
OBSERVACIN:
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE
OBTENIDO SE DEBER DIVIDIR ENTRE ESTE
VALOR.
TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para obtener el resto de una divisin.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la
mayor potencia de la variable, para que sea
reemplazada en el dividendo.
OBSERVACIN:
DESPUS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO
OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.
Ejemplo:
2
1023
xxx
Resolucin:
d(x) = x 2 = 0 x = 2. Reemplazo x en D(x):
R(x) = (2)3 + 2(2) 10 R(x) = 2
Ejemplos para clases
1. Sea R el resto y Q el cociente de la divisin:
32
222323
234
xxxxx
Hallar Q + R
Rpta.
2. Al efectuar la divisin:
3x4x
baxbxaxx2
234
El residuo, es (6x7), hallar: (a.b)
Rpta.
3. En la divisin exacta:
anxxbaxnxx
2
32
23
Hallar: E = a9 + b
6
4. Si al dividir:
132
52522
234
xxmxxx
Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el
resto.
Rpta.
5. El residuo de la divisin:
22
5322345
y3xy3x2
y4yxyx17yx5x6
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17
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Hallar el residuo de la divisin:
24
23552823
2345
xxxxxxx
a) 1 b) x c) x2
d) x + 1 e) x2 + 1
2. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente
divisin sea exacta:
1
5524
2345
kxxaxmxaxxax
a) 5 b) 1 c) 6
d) 2 e) 4
3. El polinomio
P(x) = 2x6x
511x
4+4x
3+ax
2+bx+c
Es divisible separadamente entre los
binomios (x1), (x+1) y (x23); segn esto,
Cunto vale a+2b+3c?
a) 25 b) 17 c) 15
d) 20 e) 18
4. Calcular la suma de coeficientes del polinomio
cociente, que se obtiene de la siguiente divisin:
6 x 5 x
1 x 2 x x2
5273
a) 69 b) 69 c) 65
d) 63 e) 63
5. Sabiendo que el resto de la siguiente divisin:
8x5+4x
3+mx
2+nx+p entre
2x3+x
2+3, es: R(x) = 5x
23x7; calcular el valor de:
(m+np)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Encontrar la relacin entre p y q para que: x3
3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2
a) p = q b) p2 = q c) p
3 = q
2
d) p = 2q e) p = q
7. Dar la suma de coeficientes del cociente de la
siguiente divisin indicada:
321
364914 246
xxxxxx
a) 24 b) 22 c) 20
d) 23 e) 26
8. Al efectuar la divisin indicada: se obtiene
como residuo (x 2). Determinar el resto que
se obtiene al efectuar: 12
3
x
xP
a) x b) x + 1 c) x 2
d) 3x 2 e) 11x 2
9. Calcular: ab ab3 ; sabiendo que al dividir: (ax2
ax 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto 2b y
adems el trmino independiente del cociente es (
4a)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. Al dividir el polinomio:
P(x) = 2x53x
4x
3+1
entre x3+x
2+bx+b
Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir
dicho resto entre x+1
a) 6 b) 1 c) 3
d) 1 e) 4
11. Al efectuar la divisin: 4 3 2
2
6 5
2 1
x Ax Bx Cx
x x
Se obtiene un residuo igual a 3 2x .Si la
suma de coeficientes del cociente entero es 5,
calcular el valor de: /A B A
a) 1 b) -1 c) -2 d) -3 e) 3
12. Calcular el valor de A B si la divisin:
4 3 2
2
6 14 5
2 5
x Ax x Bx
x x deja como residuo:
3 5x
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
18
51
a) 17 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13
COCIENTES NOTABLES
Definicin.- Son aquellos cocientes que se pueden
obtener en forma directa sin necesidad de efectuar
la operacin de divisin.
Condiciones que debe cumplir: yx
yx mm
Donde
x; a bases iguales
m Z+; m 2
CASOS
1. Si: R = 0 xqyxyx nm
cociente entero
o exacto (C.N.)
2. Si: R = 0 yx
xRxq
yxyx nm
cociente completo
Tambin segn la combinacin de signos se puede
analizar 4 casos.
DEDUCCIN DE LOS COCIENTES
DIVISIN
INDICADA
COCIENTES n Z+
yxyx nn
=xn-1
+xn-2
y+xn-3
y2+...+y
n-1+; n (C.N.)
yxyx nn
=x
n-1+x
n-2y+x
n-3y
2+...+y
n-1+
yxy n2
; n (cociente
completo)
yxyx nn
ompletocociente cn par ;
yx
yy...yxyxx
C.N.imparn;y...yxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
yxyx nn
ompletocociente cn impar ;
yx
yy...yxyxx
C.N.parn;...nyyxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA
OBTENER UN C.N.
De: qp
nm
yx
yx se debe cumplir: r
q
n
p
m; r Z
+
FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN C.N.
Es una frmula que nos permite encontrar un
trmino cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin
necesidad de conocer los dems.
De la divisin: yx
yx nn
a) Si d(x) = x y: . tk = xnk
yk1
.
b) Si d(x) = x+y: . tk = (1)k1
xnk
yk1
.
Donde:
tk trmino del lugar k
x 1er. trmino del divisor.
y 2do. trmino del divisor.
n nmero de trminos de q(x)
Ejemplos:
43223455
yxyyxyxxyxyx
(C.N.)
yx
yyxyyxx
yx
yx 4322344 2
(Cociente Completo)
86336633
1212
yyxyxxyx
yx (C.N.)
TAREA DE CLASE
1. Efectuar:
24677
2221
1
1
1xxx
xx
xx
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
19
Rpta.
2. Reducir aplicando cocientes notables,
indicando el nmero de trminos del cociente.
1...
1...4242832
2666870
xxxxxxxx
Rpta
3. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del desarrollo de:
nm
nm
yx
yx42
296148
Es x140
y1416
, si es cociente notable
Rpta.
4. Sabiendo que: n2 31
n + 234 = 0; hallar el nmero
de trminos de la siguiente divisin exacta.
2
1
yxy
yyx nn
Rpta.
5. Hallar el valor numrico del trmino de lugar
29 del C.N.
3x2
x3x 3636, para x = 1
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Hallar el quinto trmino del desarrollo:
3515
73
yx
yx
a) 35 y b) 35 5y c) 15 4y
d) 35 5y e) 15 4x
2. El trmino independiente del desarrollo:
xx
xx
1
2
1
64 6
6
; es:
a) 1 b) No existe c) 3
d) 4 e) 2
3. Simplificar:
1...
1...
1...
1...
8910
54550
34
113344
xxxxxxx
xxxxxx
M
a) 2 b) 3 c) 1
d) 4 e) 5
4. Obtener el 20avo. trmino del desarrollo del
cociente notable.
11
2310
2
x
xx
a) x1 b) 2 c) 3
d) 1 e) 4
5. Qu lugar ocupa dentro del desarrollo del cociente
notable:
52
1090436
yx
yx
El trmino que contiene a x e y con exponentes
iguales.
a) 67 b) 66 c) 65
d) 64 e) 63
6. Si la divisin siguiente:
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
20
59
2
8n
2
6n
22n63n6
ax
ax
Es un cociente notable, hallar el nmero de
trminos de su desarrollo
a) 25 b) 24 c) 26
d) 27 e) 28
7. Se sabe que el resto de la divisin:
nn
mm
zxzx
Es cero, segn esto Cuntos trminos tiene
el cociente?
a) mn b) mn1
c) m1
n
d) nm
e) mn
8. Reconocer el 5to. trmino del siguiente
cociente notable, si se sabe que al 3ero. es
x36
y2
yx
yx nm
2
a) x30
y6 b) x
36y
4 c) x
32y
4
d) x32
y6 e) x
34y
2
9. Efectuar y simplificar:
1
1
1
1
11
23
nnn
n
n
n
xxxx
xx
a) xn+1 b) x
2n1 c) x
n1
d) x2n
+2 e) x2n
+1
10. Hallar n si l dcimo trmino del desarrollo:
5
153
yx
yx nn; tiene grado absoluto: 185
a) 40 b) 27 c) 45
d) 60 e) 50
11. Si la siguiente divisin:
5 12 4n p
n p
x y
x y; genera un
cociente notable, donde uno de los trminos en su
desarrollo es: 24 3x y .Calcular np
a) 12 b) 15 c) 24
d) 36 e) 48
FACTORIZACIN
Definicin.- Proceso inverso de la multiplicacin por
medio del cual una expresin algebraica racional entera
es presentada como el productos de dos o ms
factores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor
de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual
tambin es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos as a aquel
polinomio que no se puede descomponer en otros
factores. Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:
El proceso
x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es una multiplicacin.
En cambio el proceso
x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
es una factorizacin
Donde:
(x + a), (x + b), son factores primos.
MTODO DE FACTORIZACIN
Factor Comn Monomio
Consiste en extraer la parte que se repite en
todos los trminos para lo cual se extrae la
expresin repetida, elevada a su menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar E = 7x5y
5 2x
3y
3 + x
2y
2
El factor comn monomio ser x2y
2. Ahora
dividiremos cada uno de los trminos cada uno de
los trminos entre dicho factor comn, para lo que
queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se
tendr:
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
21
61
Factor Comn Polinomio
Se usa este mtodo cuando el polinomio posee un
factor comn de 2 o ms trminos. Por lo general, se
encuentra luego de agrupar trminos y bajo los
siguientes criterios:
- De acuerdo al nmero de trminos
Ejemplo: si el polinomio tiene 8 trminos podemos
agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.
- De acuerdo a los coeficientes de los trminos:
Ejemplo:
Factorizar
E = x12
+ x8y
4 + x
4y
8 + y
12
Como no hay factor comn monomio podemos agrupar
los 4 trminos de 2 en 2 y en forma ordenada.
En cada uno de los tres grupos:
E = x6(x
4 + y
4) + y
8(x
4 + y
4)
Factor Comn Polinomio (x4 + y
4). Ahora dividamos
cada agrupacin entre el factor comn polinomio.
Los factores primos no se pueden descomponer en
nuevos factores, tiene un nico divisor que es s mismo
Esta expresin tendr 2 factores primos
Mtodo de las Identidades
Aplicacin de identidades notables para estructuras
conocidas.
Recordemos los siguientes:
A) Trinomio Cuadrado Perfecto
A2 2AB + B
2 = (A B)
2
OBSERVACIN:
EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO, SE
CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO
DE LA RAZ DE DOS DE SUS TRMINOS ES IGUAL AL
TERCER TRMINO:
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en
binomio al cuadrado.
B) Diferencia de Cuadrados
A2 B
2 = (A + B) (A B)
Ejemplos:
1. Factorizar: x4 4b
2
solucin:
Se tiene: (x2)2 (2b)
2 = (x
2 + 2b) (x
2 2b)
2. Factorizar: x2 + 2xy + y
2 z
6
solucin:
x2 + 2xy + y
2 z
6 (x + y)
2 (z
3)2 = (x + y + z
3)
(x + y z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos
A3 B
3 = (A B) (A
2 AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar: 27x3 8
solucin:
(3x)3 2
3 = (3x - 2) (9x
2 + 6x + 4)
ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar expresiones trinomios
o aquella que adopten esa forma:
Ax2m
+ Bxmy
n + Cy2
n
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
22
62
Ejemplos:
Factorizar: a2 + b
2 + 3a + 3b + 2ab - 28
(a + b)2 + 3(a + b) 28 (a + b + 7) (a + b 4)
ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la
forma: Ax2 + Bxy + Cy
2 + Dx + Ey + F
Ejemplos:
1. Factorizar:
La expresin factorizada es:
(5x + 3y 7) (4x + 2y 1)
2. Factorizar:
La expresin factorizada es:
(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)
ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la
forma:
Ax4 + Bx
3 + Cx
2 Dx + E.
Regla:
1. Se descompone el trmino de mayor grado y el
trmino independiente, se calcula la suma del
product6o en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresin que
haga falta para ver el trmino central. La expresin
agregada es la que se descompone para
comprobar los otros trminos del polinomio
Ejemplo:
1. Factorizar
MTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Con ste mtodo se busca uno o ms factores
binomios primos
Consideraciones:
1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de
P(x).
2. Los dems factores se encuentran al efectuar:
0xxxP
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden
encontrar:
ceros
Posiblesx Pincipal deCoef. Divisores
xde PT. indep. Divisores x
Pr0
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3 + 6x
2 + 11x 6
1
6
Divisor deDivisores
erosPosibles c
Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
23
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego
un factor es (x . 1)
Luego: P(x) = (x +1) (x2 5 x + 6)
x 3
x 2
P(x) = (x 1) (x 3) (x 2)
TAREA PARA LA CLASE
1. Factorizar e indicar un factor de:
3a2 6ab + 3b
2 12c
2
Rpta.
2. (a2 + b
2) (a1
2 + b1
2)(aa1 + bb1)
2 es
equivalente a:
Rpta.
3. Indicar un factor de:
(x3x
2+x
1) (x+1)(x
4+1) + x
4 + 2 (x
3 x
2 + x
1)
Rpta.
4. Factorizar e indicar la suma de sus factores
primos
2(a + b)2 + c(3c + 5a) + 5bc
Rpta.
5. Cuantos factores admite
25(a4 + b
4)2 16(a
4 b
4)2
Rpta.
6. Si a uno de los factores de:
(x+1)3 + (x+2)
3 + (x+3)
3 (2x+1) (x+9) 21
Se le evala para (x = 2), se obtiene 7; indicar el
valor que arroja este mismo factor para x = 4.
Rpta.
7. Factorizar e indicar el nmero de factores
binmicos:
(2x41)(2x42)+(2x42)(2x43) +
+ (2x43) (2x41) + 1
8. Determinar el nmero de factores binmicos
de:
xn+2
xn + x3 + x2 x 1; n N
Rpta.
9. Cuntos factores primos de primer grado admite:
a2(bc) + b
2(ca) + c
2(ab)
Rpta.
10. Factorizar:
x4 3x
3 7x
2 + 27x - 18
Indicando la suma de sus factores primos.
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
24
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Cuntos divisores admite:
x10
+ x9 + x
6 + 3x
5 + x
4 + x + 1
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
2. Indicar uno de los cuatro factores de:
x8 + x
4 + 1
a) x2x1 b) (x
2 3 x+1)
c) x2+1 d) x+1
e) x1
3. Factorizar
(x+1)(x+3)(x2)(x4) + 24
e indicar la suma de los coeficientes de uno
de los factores
a) 41 b) 5 c) 8
d) 7 e) 6
4. Factorizar:
4x2 15y
2 + 17xy + 12x 9y
e indicar la suma de sus factores primos
a) x5y3 b) x3+3y
c) x+y+1 d) 5x+2y+3
e) 5x2y3
5. Indicar el nmero de factores primos en:
(x2+7x+5)
2 + 3(x
2+1) + 21x + 2
a) 1 b) 3 c) 2
d) 4 e) 5
6. Los polinomios
P(x) = x4 + 2x
3 x 2
Q(x) = x3 + 6x
2 + 11x + 6
Tienen un factor comn. Indicar la suma de
coeficientes de dicho factor comn
a) 1 b) Cero c) 3
d) 4 e) 5
7. Si: A(x) = x2 4x + m + 1
B(x) = x2 (m+1)x + 4
Admiten un factor comn lineal, halle m, si A(x)
B(x) m Z
a) 0 b) 3 c) 2
d) 10 e) 6
8. Un factor primo de:
A(x) = x10
+ x2 + 1; es:
a) x3+x+1 b) x
4-x+1
c) x6x
4+1 d) x
2+x+1
e) x5+x+1
9. Cuantos factores lineales admite:
5 3 24 4P m m m m
a) 5 b) 4
c) 3 d) 2
e) 1
10. Si: 2 2 2
2
x a c b b a c c b a
y c b a ab ac bc
Calcular /x y
a) 2 b) 2(a+b)
c) 1 d) (a-b)
e) -1
11. Uno de los factores primos de:
3 10 7 6 11 2( , ) 626 625P x y x y x y x y es:
a) x+2y b) 5x+2y
c) 2x y d) y+5x
e) x+1
12. La suma de coeficientes de un factor primo
de: 4 2 2( , ) 2 4 50P x y x y x y xy x y
es:
a) 17 b) 11
c) 15 d) 26
e) 10
13. Factorizar: 4 2 2( , ) 3 2P x y x x y y
sealando el termino independiente de un
factor.
a) 1 b) -1
c) 2 d) -2
e) 3
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
25
M.C.D. M.C.M. FRACCIONES
MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)
Definicin.- El Mximo Comn Divisor de 2 o ms
polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica
de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se
obtiene factorizando los polinomios y viene expresado
por la multiplicacin de factores primos comunes
afectado de sus menores exponentes.
MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.)
Definicin.- El Mnimo Comn Mltiplo de 2 o ms
polinomios es otro polinomio que tiene la caracterstica
de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene
factorizando los polinomios y viene expresado por la
multiplicacin de los factores primos comunes y no
comunes afectados de sus mayores exponentes.
Ejemplo:
Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:
A(x) = (x+3)4 (x
2+1)
6 (x2)
2 (x+7)
6
B(x) = (x+7)2 (x
2+1)
3 (x2)
4 (x+5)
8
C(x) = (x+5)4 (x
2+1)
2 (x2)
3 (x+3)
3
Rpta: como ya estn factorizados el:
M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)
2 (x2)
M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)
6 (x2)
4 (x+3)
4 (x+7)
6 (x+5)
6
Propiedad:
Solo para dos polinomios: A(x), B(x).
Se cumple:
M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fraccin Algebraica
Definicin.- Una fraccin algebraica, se obtiene
como la divisin indicada de dos polinomios N(x) y
D(x) siendo D(x) polinomios no constantes.
Denotado: xDxN
Donde:
N(x): polinomio numerador (no nulo).
D(x): polinomio denominador (no constante)
Ejemplo:
2
12
xx
; 2
17
4
x
x;
4
4822
xxx
Signos de una Fraccin
a) Signo del Numerador: +
b) Signo del Denominador:
c) Signo de la fraccin propiamente dicha:
yx
F
ALGEBRA
III Bimestre
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
26
73
OBSERVACIN:
SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN
MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIN NO SE
ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:
yx
yx
yx
yx
F
Tambin:
BA
BA
BA
Ejemplo: Sumar: x 0
yx
y
yx
x
xy
y
yx
xS
1yx
yxS
Ejemplo:
Simplificar
6116
1923
2
xxx
xxF
solucin:
Factorizando y Simplificando:
2
3
321
133
xx
xxxxxx
F
OPERACIONES CON FRACCIONES
1. Adicin o Sustraccin
Se presentan los siguientes casos:
A) Para fracciones homogneas:
Ejemplo:
2222 x
zyx
xz
x
y
xx
B) Para fracciones heterogneas:
Ejemplo:
bdfbdebfcadf
fe
dc
ba
C) Para 2 fracciones
Regla practica:
ywyzwz
wz
yx
2. Multiplicacin
Ejemplo:
fdbeca
fe
dc
ba
..
.....
7
7
7
1.
2.
2
7.
1 xx
xx
xx
xx
xx
3. Divisin
Ejemplo:
c
d.
b
a
d
c
b
a. Invirtiendo
bcad
dcba
TAREA DE CLASE
1. Hallar el M.C.D. de: P = 20x4 + x
2 1
Q = 25x4 + 5x
3 x 1 y R = 25x
4 10x
2 + 1
Rpta.
2. Hallar el M.C.M. de: P = x2 2x 15
Q = x2 25 y R = 4ax
2 + 40ax + 100a
Rpta.
3. Hallar el M.C.D. de los polinomios:
P(x) = x3 + 5x
2 x + 5 , Q(x) = x
4 + 2x
3 2x 1
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
27
4. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
P = 3x3 + x
2 8x + 4 y Q = 3x
3 + 7x
2 4
E indicar el producto de sus factores no comunes
Rpta.
5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:
P(x) = x4 11x
2 18x 8 , Q(x) = x
4 1
R(x) = x3 6x
2 + 32
Rpta.
6. El producto de dos polinomios es:
(x6 2x
3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su
M.C.D. es (x1)2. Hallar el M.C.D.
Rpta.
7. Hallar la suma de los trminos del M.C.D. de
los polinomios:
P(x,y) = x3 xy
2 + x
2y y
3
Q(x,y) = x3 xy
2 x
2y + y
3
R(x,y) = x4 2x
2y
2 + y
4
Rpta.
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = x3 1 y Q(x) = x
4 + x
2 + 1
a) x2+x+1 b) x
2+1
c) x1 d) x2x+1
e) x21
2. Hallar el nmero de factores primos en que se
descompone el M.C.M. de los polinomios
P(x) = x2 3x + 3, Q(x) = x
2 5x + 6 y
R(x) = x2 4x + 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. El M.C.D. de:
x4 + 2x
3 px
2 + qx + r y x
3 + 7x
2 qx + 20
es (x2+3x+5), hallar: pqr.
a) 340 b) 340 c) 680
d) 680 e) 170
4. El producto de dos polinomios es: (x21)
2 y el
cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x1)2. Calcular
el M.C.D.
a) x+1 b) x2+1 c) (x+1)
d) x1 e) (x1)
5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:
x3 + 9x
2 + 24x 24 y x
3 + 2x
2 13x + 10
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Al simplificar:
4 2 2
2 3 2
27 20 100 100.
7 30 3 9 3
a a a a a
a a a a a a
Obtenemos:
a) 10
3
aa
b) 10
3
aa
c) 3
3
aa
d) 10
3
aa
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
28
e) 1
7. Hallar el valor de E en la expresin:
baxbax
bxax
E2
23
Para: 2
bax
a) 1 b) a+b c) ab
d) (ab)3 e) Cero
8. Simplificar:
xybbybxaxya
abxy4baxyyxabM
222
22
a) ax+by b) axby
c) byax
byax d)
byax
byax
e) 1
9. Calcular el valor de la expresin:
M= nana
mama
2
2
2
2 Cuando:
bmmn
a4
a) 1 b) Cero c) 4mn
d) m+n e) 2
10. Si:
bcacb
x2
222
22
22
acb
cbaz
Calcular:; xzzx
E1
a) Cero b) 1 c) a+b+c
d) abc e)
abc1
11. Calcular n-k+c si:
2
22
5 12 13
7 5 37 5 3
x x n kx c
x x xx x x
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
12. Luego de simplificar la fraccin:
22
22
5 36
6 25
x x
x x
sus trminos suman:
a) 2 2x b) 10 x c) 12
d) 10 12x e) 22 10x x
BINOMIO DE NEWTON
FACTORIAL
Definicin.- El factorial es un operador exclusivo de
nmeros naturales. Matemticamente se define:
2n/Nn;xn.....x3x2x1n
22
63x2x13
244x3x2x14
Propiedad:
1. 1nnn
Ejem: 7 6 7 6 6 6 6
2. 1 1
3. 0 1
Observacin: Existen 2 operadores mas ; los cuales son:
)n2(x....x8x6x4x2n2
nx2n2
)xn2(x).....3x2(x)2x2(x)1x2(n2
n
Cofactorial:
)1n2(x.......x7x5x3x11n2
n2
1n21n2
n
Propiedad:
1n1n.n
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
29
NMERO COMBINATORIO
Definicin.- Siendo n y k nmeros naturales, la
notacin n
kC que denota: Combinatorio de n en k y se
define de la manera:
, 0nkn
C n k k nn k k
Propiedades Bsicas:
1) 1C:nC;1Cn
n
n
1
n
0
2) Complemento:
n
kn
n
k CC
3) Degradacin:
1n
1k
n
k Ck
nC
4) Reduccin:
1n
1k
n
1k
n
k CCC
BINOMIO DE NEWTON
Definicin: Es una expresin matemtica que tienen la
forma de una funcin polinomial.
Es un binomio de la forma:
(a+b)n , para n = 0,1,2,3,.......
Sabemos:
nonn
22nn2
1nn1
onno
n
3233
222
1
0
baC....baCbaCbaC)ba(
bab3ba3a)ba(
bab2a)ba(
ba)ba(
1)ba(
.
.
.
en forma polimonial:
Zn
1 2 2
1 2( , ) ( ) .....n n n n n n n n n
o nP x a x a C x C x a C x a C a
Ejm:
44
4
34
3
224
2
134
1
44
0
4 aCxaCaxCaxCxC)ax(
5
a
4
xa4
3
ax6
2
ax4
1
x)ax(
4322344
Para n =4 5ObtuvoSe Trminos
En general:
Un polinomio: P (x + a)n Tiene (n + 1) Trminos
Un binomio: (x + a) n . Tiene (n + 1) Trminos
Ejem:
P (x + a) = (10x + 3a) 5
Tiene 5 + 1 = 6 Trminos
Trmino General:
Contenido de Izquierda a derecha:
kknn
K1K axCT
donde:
T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)
Ejm:
En el desarrollo de P (x,a) = ( x2+a
3) 6
, determine el
tercer termino
Solucin:
686
2
23426
2123 axC)a()x(CTT
Contando de derecha a izquierda:
knkn
K1K axCT
donde:
T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)
Ejm: En el desarrollo de P (x,a) = ( x3+a
2) 5
, determine
el trmino de lugar con respecto al final.
Solucin:
495
3
22335
3134 axC)a()x(CTT
Trmino Central:
El desarrollo del binomio tendr un nico trmino
central en cambio si n es par, luego la posicin que
ocupa este Trmino es:
11
n . 2
n
2
n
n
2
n)1
2
n(
axCTTc ; n es par
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
30
Ejem: En el siguiente problema; Determinar el trmino
Central del desarrollo de:
P(x; a) = (x2 + a)
6
Como : n = 6
n es par la posicin ser 32
n;1
2
n
6 2 3 3 6 6 3
3 31 ( ) ( )2
nTc T C x a Tc C x a
Sabemos:
Propiedades:
1. (a+b) n tiene (n+1) Trminos.
2. Exponente de a van
disminuyendo de n hasta 0
Exponente de b van aumentando de 0 hasta
3. En cada trmino , la suma de exponentes de a y b
es igual a n.
4. Coeficientes del 1 y ltimo Trmino son iguales a
1.
Coeficientes del 2 y penltimo trmino son iguales
a n.
En general: los coeficientes son SIMTRICOS.
Definiciones Previas Combinatorios:
- !nn
nx....x2x1n
- nkosiendoCCn
kn
n
k
- nkC
k
n
TAREA DE CLASE
1. En el desarrollo del Binomio:
14
x
1x
Qu lugar ocupa el trmino de 2do grado?
Rpta.-
2. Seale el trmino independiente de x en el
desarrollo de:
92
5.0
x
x
5.0
Rpta.-
3. Hallar (n+k,) si T3= 405 xk al desarrollar :
n2 )3x(
Rpta.-
4. Calcular (n +m). Si:
14mn
8
Rpta.-
5. Efectuar: 98710
Rpta.-
6. Hallar (k+n) si:
2
n228
3
n43
1k2
2111
k2
227
36
6
3
ax20Tc
201x2x3
4x5x6C
!! 1 1
!
( ) ! ! !
( ) ! ! ! 1 1
a aa b
b b
axb a x b
a b a b a b
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
31
7. Qu valor asume n en : (xn
+ x-2
) 17
de modo
que el producto de los trminos centrales sea
constante?
Rpta.-
8. Al efectuar:
n12n2n2 )x1()1x()xx( Se obtiene 31
trminos. Halle el segundo trmino.
Rpta.-
9. Determine la suma de los coeficientes del
desarrollo de:1n24 )xynx( , sabiendo que uno
de sus trminos admite como parte literal x9y
10
Rpta.-
10. Qu lugar ocupa el Trmino que tiene como
grado absoluto 17 ; en el desarrollo de:
142 )y2x(
Rpta.-
11. Calcular el valor de n para que el dcimo
trmino del desarrollo de:
15
n
2
3 xcontenga,x
1x
Rpta.-
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Reducir:
1xx
1xx
22
22
a) x b) x-1
c) 1 d) xx e) x2
2. Hallar el valor de n
)2n2(99)!n2()!1n2(
)!n2()!1!n2(
a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3
3. Siendo : 42!b!a
!10
Calcular: ab
a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42
4. Si se cumple que:
1
2!x
2
2!x
3
3!x
Calcular : (x + 1)!
a) 60 b) 24 c) 6 d) 20 e) 720
5. Indicar el valor de k en el desarrollo de (x + 1)36
. si
los trminos de lugar k-4 y k2, tienen igual
coeficientes.
a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 10
6. Si el grado absoluto del Trmino en el desarrollo
de:
30es)cba( n2
Hallar el grado absoluto del trmino central.
a) 28 b) 27 c) 26 d) 25 e) 24
7. Dado el binomio (x + a)4.
Calcular: 42 T.T
a) 44ax16 b) 44ax4 c) 33ax16 d) 33ax4 e) 4xa
8. En el desarrollo del binomio (x5+x
3) 10
. Calcular el
sptimo trmino.
a) 32x210 b) 34x210 c) 36x210 d) 38x210
e) 32x200
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
32
5039nn....33221
Radicando
9. Qu lugar ocupa el trmino cuya suma de
exponentes de x e y sea 48 con el desarrollo del
binomio. (x2+ y
3) 18
.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
10. Dado el binomio n14 )xx( .Hallar n para que
el 5to trmino resulte del 1er grado.
a) 12 b) 14 c) 18 d) 20 e) 24
11. Dado el binomio
n
2x
x
1el trmino de lugar 17
es de la forma .xCT2n
1617
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
12. Indicar el valor de m es (x7+ y
m) 25
si el trmino de
lugar 14 es de la forma: .yx 3984
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. Si en el desarrollo del binomio (3x3 + 2x
-1y
2) n existe
un trmino cuyas potencias de x e y son
respectivamente 5 y 8 encontrar el nmero de
trminos del desarrollo.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6
14. Calcular el quinto trminos del desarrollo de:
8
x
4
4
x
a) 59 b) 69 c) 70 d) 71 e) 19
15. Halla el valor de n
a) 7 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9.
16. Dar el nmero de trminos del desarrollo de:
.)zyx( 6
a) 28 b) 56 c) 7 d) 21 e) 30
RADICACIN
Definimos la raz n-sima principal de un nmero real a denotado por :
n a
Sea: 0by0adondebabann Si
n es par y a , b son nmeros reales arbitrarios si n es impar:
El smbolo n a para la raz n sima principal de a se
le llama RADICAL ; el entero n es el INDICE y a
es el RADICANDO.
n a
Propiedades bsicas de los radicales:
Sean n 2 y m 2 enteros positivos y a , b son
nmeros reales, si todos los radicales estn definidos.
Tenemos las siguientes propiedades:
1) nnn baab
2) n
n
n
b
a
b
a
3) mnn m )a(a
4) mnm n aa
Operaciones:
Sea: .Radicalesn
xxxx
211.2
1x2
1
2/1
1
xxxx1n
2212
2x2
n.2x2
4/34 3
2
xxxxxx2n
ndice
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
33
5 4 3 n46n2n
)x( x2x3x4x5M
1X x1xx
xx 1xxx
xA
231.2
2x2x2
12x2x2
8/78 7
3
xxxxxxx3n
.
.
n212
.Radicalesn
n
xx.....xxnn
Si tenemos :
?aaa2 3 4
a a a1 3 1 4 1
X +
(Multiplica y se suma)
(1x3+1) 4+1 = (4x4) +1 = 7
en el denominador : 2 x 3 x 4 = 24
2417
a 3 4 aaaa
TAREA DE CLASE
1. Calcular x 2y si: 2
15 62 8 y 3 81x y x y
Rpta.- 2. Calcular ab si:
14 32 8 y 3 3 9
b a b aa b a b
Rpta.-
3. Si:2aa 32163 . Calcular x en:
1289a1x
1a 2
Rpta.- 4. Calcular x si:
Rpta.-
5. Calcular x si: 63x8x8n3n3
Rpta.- 6. Para que sea el valor de n la expresin: Resulte ser un monomio de 2 grado. Rpta.- 7. Reducir: Rpta.-
8. Reducir: 3 3 3 432 ......xxxxR
Rpta.-
9. Resolver:
22)22
x(2x
2.x
Indicando el valor de:
)1xx)(1xx(22
Rpta.-
10. Efectuar:
2
1
aa
ax ax3x2xx
xx
x....xxxK 2x 3232x
2x2
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
34
6228)2(B;8A
8
Rpta.-
11. Si: 1XXXa Hallar
x 1x axR Rpta.- 12. Si al Reducir
Radicales20
x........xxx
El exponente final de x es de la forma ;
20
20
n
1n; n N. Halle : n
Rpta.- 13. Si se cumple que:
Calcular: 32aa
Rpta.- 14. Si:
2
2x x Calcular: x.)2(2
43 )2()2(
Rpta.-
15. Racionalizar: 33 18122
10
Rpta.-
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Si: m = X
x122x
5P
;5n;5
Hallar x en Pnm 232
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Indicar la mayor solucin al resolver:
5x
5
x21
5
x2
)6(13)2(6)3(2
a) -5 b) -10 c) 10 d) 2 e) 5
3. Calcular x Si:
511x2x2n3n3
a) 1n4 b)
1n8 c) n16 d) 1n2 e)
1n8
4. Calcular: 1b1a
abbaM
Si: 2
1a;5b
ba
a) 57 b) 50 c) 58 d) 62 e) 64
5. Si: Calcular: A
B
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 1/4
6. Evaluar:
122
2 2
2
22
a) 1 b) 2 c) 2 d) 22 e) 4
7. Efectuar:
3 3
3 3
4 )21(
12 )122(
2
2
a) 2 b) 2 c) 3 2 d) 3 4 e) 3 2 +1
8. Si: abba aba.b Halle el equivalente de:
11....66a........55253
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
35
.....xxxxxxX
...
X1X1
b1 a1a.bE
a) 1 b) c) 1/3 d) 2 e) 4
9. Reducir:
1a1a
a1a a
44
44
a) 1 b) 2 c) 4 d) e)
10. Obtener
3 3319 1313 9.3
a) 3 3 b) 3 c) 3 d) 33 e) 3 3 3
11. Resolver:
x
1
x3
4x
1
x
1
3x
1
Siendo: x 1 a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 5 e) 3
12. Hallar x en :
2
4x
1
x xx
1x
2
a) b) - c) d) - e) 1/16
13. Resolver:
a) b) c) 8/27 d) 4/9 e) 2/3
14. Hallar x en:
0x,x39x 34
3
6
3
4
3
a) 3/3 b) 1 c) 3 d) 3 e) 3 3
15. Calcular:
Radicales15
x......xxx
a)15
14
2
12
x b) 16
16
2
12
x
c) 15
15
2
12
x d) 1212
15
15
x e) 15
15
2
12
x 16. Calcular:
2611E
a) 23 b) 223 c) 33 d) 23
e) 223 17. Calcular:
7 333
3 222
XXX
XXXE
a) 2415
x b) 1211
x c) 2419
x d) 1213
x e) 2413
x
18. Hallar x
xxx
x
2
1
x64
16x
a) 2 b) 4
c) 8 d) 16
e) 32 19. Evaluar:
122 2 2 22
2
a) 1 b) 2
c) 2 d) 22
e) 4 20. Hallar a Si:
n......1212a3
Siendo : 3n = .....662 a) 4 b) 3
c) 8 d) 5
e) 6
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
36
2 2 2 3 ( )
2 4 2 3 3 1
3 1 3 1
2 22
L Artificio
L
L
RADICALES DOBLES
Tiene la expresin: Ba (A B +)
es llamado radical doble.
Ejm: 75;32 Son ejemplos de radicales
dobles.
En algunas ocasiones es necesario expresar un radical
doble como la suma de dos radicales simples (es decir
BA ) el proceso mediante la cual esto es llevado a
cabo se llama transformacin de radicales dobles a simples.
Nos preguntamos cuando es posible descomponer un
radical doble en la suma de dos radicales simples, el
siguiente teorema establece para que esto sea posible.
Teorema:
Si BAC2
es un cuadrado perfecto entonces
2
CA
2
CABa
Transformacin de un Radical doble de la forma
B2a en radicales simples
yxB2a ; x y
Donde:
x . y = B x + y = A
Ejm:
271429
15526
32L
TAREA DE CLASE
1. Hallar: x )1x(248216
Rpta.:
2. Si: x63425 . Hallar x
Rpta.:
3. Efectuar: 625
2223E
Rpta.:
4. Calcular M si la expresin:
)1xx(X22M
Siendo x 1
Rpta.:
ALGEBRA
IV Bimestre
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
37
5. Determinar el valor de M
13
M24583
Rpta.:
6. Dada un funcin que depende de x:
1)n(2x;1xx)x(f 2
Hallar la suma de 3 primero trminos, siendo n N.
Rpta.:
7. Si: 5M5M)M30(2
Hallar M
Rpta.:
8. Si C es un cuadrado perfecto BAC 2
Se cumple: 2
7
B
A
Y su radical doble tiene la expresin BA ,
donde A 15. Hallar B.
Rpta.:
9. Si A = 11 y B = 72 de un radical doble, se tiene en la expresin final a simples:
)3x4x
Hallar x:
Rpta.:
10. Simplificar: 333 48216132E
Rpta.:
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. Si: E24621217
Siendo: E un radical simple, donde su radical el
doble tiene la expresin: 2)1N(N
Hallar N:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Se cumple que:
2
n151nn19
2
Hallar n:
a) 6 b) 4 c) 10 d) 8 e) 2
3. Calcular: J= 6363079
a) 4 b) 6 c) 7 d) 5 e) 3
4. Hallar E:
EE21029214512
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6
5. Determinar: x: 34252x
a) 22 b) 23 c) 32 d) 6 e) 5
6. Hallar las soluciones de x:
6)221029(xx
a) 2,4 b) -2,3 c) -2, -4 d) 1,3 e) 2,3
7. Hallar M: 5821
5252461M
a) -1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1 e) 2
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
38
8. Hallar: M= 3
231628
a) 122 b) 322 c) 12 d) 122
e) 342
9. Reducir: 362831028E
a) 26 b) 32 c) 13 d) 34 e) 13
10. Hallar n:
n554)1n2(
a) 3 b) 4 c) 2
d) 6 e) 8
11. Si: 1nn3628
Hallar: 3n24
a) 2 b) 3 c) 1
d) 22 e) 3
12. Si: n53)1n(282
a) 6 b) 1 c) 3
d) 2 e) 32
13. Si: 11CA
2
3
C
A Hallar el radical doble:
a) 223 b) 353
c) 353 d) 659
e) 659
14. Resolver: 4
5352461
a) 2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 1/2
15. Determinar M:
261183M
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4
16. Determinar: H= 32431239
a) 6 b) 5 c) 4 d) 7 e) 8
17. Hallar:
2
2223
a) 1/2 b) c) 1/3 d) 2 e) 1
18. Resolver:
10
24926112
a) 2 b) 1 c) 1/3 d) e)
19. Reducir:
6224
224324
a) 1 b) 1/4 c) 2 d) 1/2 e) 2
2
20. Si:
3nn526 2
Hallar n
a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
39
RACIONALIZACION
Definicin.- Racionalizar un cociente es rescribir este
cociente de modo que el denominador no contenga
radicales. Aqu la idea principal para lograr lo que la
definicin se pide determinar una expresin adecuada
de modo que, al ser multiplicada por el radical en el
denominador, el nuevo denominador no tenga
radicales.
Factor Racionalizante (F.R.): Es el menor nmero
irracional que multiplicado por otro irracional da como
resultado un nmero Racional.
Nmero Irracional x (FR) = Nmero Racional
Ejemplo: ( 22 ) ( 2 ) = 8
FR
Casos:
I) PARA MONOMIO:
m nA FR A A es primo.
Ejemplo: 3 22
N
222 3
3 2
primo F.R.
As concluimos:
n nmAFR ; A un nmero primo
II) PARA BINOMIO: Aqu consideramos como productos notables:
3322
3322
22
babababa
babababa
bababa
OBS: Para denominadores:
* 1n21n2 ba sale: a b
* n2n2 ba no acepta C N
* n2n2 ba sale a b (Por C N)
TAREA DE CLASE
1. Simplificar:
108
126273
Rpta.:
2. Resolver: 7
218
122
9
Rpta.:
3. Hallar: M= 2
20
12
10
Rpta.:
4. Determinar: E2 2. Si:
23
2
23
9E
Rpta.:
5. Hallar x: si x 0
x2 + mx + m = 0
Adems: 13
8
3
12m
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
40
6. Racionalizar:9 25yx
3
Rpta.:
7. Racionalizar: 221217
1
4
Rpta.:
8. Si: 2
a2a
14012
1
. Hallar a
Rpta.:
9. Hallar: E2 + 1
6
12
627
5E
2
Rpta.:
10. Hallar:
1228
4
Rpta.:
11. Resolver m
01mm30211
11
Rpta.:
12. Efectuar:
232323
1
412
Rpta.:
Aprendiendo a resolver..resolviendo
1. El valor Racionalizado de: 22
2 es:
a) 22 b) 224 c) 22 d) 224
e) 2
22
2. La sgte. Expresin:
2
34
23
23
a) Es un nmero entre 3 y 4. b) Igual a 5. c) Igual a 4. d) Es un # comprendido entre 4 y 5. e) Entre 2 y 3.
3. Hallar: a
7
aa27
70430
2
a) 3 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 4
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
41
4. Racionalizar:
325
325
a) 4
517 b)
3
214 c)
2
313
d) 5
214 e)
3
615
5. Calcular x:
348
4
1027
3
x211
1
a) 30 b) 5 c) 20 d) 13 e) 10
6. Racionalizar: 25
3
a) 25 b) 2
25 c)
3
25
d) 5
32 e)
10
25
7. Racionalizar: 33
32
a) 3
93 b)
2
273 c)
3
183 d)
3
163 e)
3
323
8. Simplificar: 85072
2 se obtiene:
a) 1/3 b) 1/9
c) 2/9 d) 4/9
e) 18/99
9. Racionalizar: 33 43
1
a) 33 43 b) 7
43 33 c)
7
12229 333
d) 33 34 e) 3 34 2
10. La expresin:
aba
b
22
2
es:
a) ba b) bba22
c) 22
bab
d) aab e) aba22
11. Efectuar:
23
347
32
23
a) 32 b) 26 c) 26 d) 32
e) 13
12. Efectuar:
1027
3
30211
1
1228
1
a) 0 b) 1 c) 15 d) 32 e) 6
13. Despus de racionalizar el denominador es:
532
532
a) 9 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17
14. Racionalizar:
)52()5b2a5(
)445)(35)(b25a(
a) 1055
4 b) 95 c) 510
5
3
d) 105 e) 5 3 .
15. Racionalizar: 321
3
a) 5
6213 b) 36
4
3 c) 622
9
3
d) 4
262 e) 2 6 2
2
16. Racionalizar: 1x1x
2x1x
a) 11x2
b) x1x2
c) x1x2
d) 1x1x e) x1x2
17. Simplificar: 1x22x1x22x
1
a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 4
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
42
ECUACIONES
Ecuaciones: (Igualdad Condicional)
Es una igualdad que slo se satisface o verifica para
sistemas particulares de valores numricos atributos a
sus letras. Las letras reciben el nombre de incgnitas,
que por lo general se representa con las ltimas letras
del alfabeto.
As: 5x 3 = 3x + 1
2x = x = 2
Ya que: 5(2) 3 = 3 (2) + 1
7 = 7
Clasificacin de las ecuaciones:
Las ecuaciones pueden ser:
1. Ecuacin posible o compatible.- Admite solucin. Pueden ser:
- Determinada.- # limitado de soluciones. - Indeterminada.- # ilimitado de soluciones.
2. Ecuacin Imposible incompatible o absurda.- Aquella que no admite solucin
3. Ecuacin Algebraica.- Pueden ser:
- Racional.- Pueden ser racional entera o fraccionaria.
- Irracional.- Si alguita incgnita, figura bajo radical
Ejm:
(1) 4x + 9 = x2 12 racional entera.
X = (-3) y x =7
(2) 1x
5
4x
1x3racional
fraccionaria.
(3) 31x
1
5
1xIrracional
4. Ecuacin Trascendente.- Son no algebraicas. Ejm:
(1) log 0211x
(2) ax + 1
= 5 (3) Sen 3x + 1 = 0
Ecuaciones Equivalentes: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones.
Ejm:
5x 3 = 2x + 9 4x 1 = x + 11
3x = 12 3x = 12
x = 4 x = 4
Ambas soluciones es x = 4, son iguales.
Ecuaciones de primer grado con una incgnita:
Definicin: Una ecuacin de primer grado o lineal con una incgnita es aquella que puede reducirse a la forma:
ax + b = 0
Siendo:
a y b coeficientes
Resolviendo
ax = -b
Pasando b al segundo miembro con signo cambiado.
. De acuerdo a los valores que tomen a y b pueden suceder:
1) Si a 0 , b 0 tendremos:
a
bx
2) Si a 0 y b 0 tendremos: x = 0
3) Si a = 0 y b = 0 tendremos: 0x = 0
Observamos que x puede tomar cualquier valor.
4) Si a = 0 y b 0 tendremos: 0x = -b
Observamos que esta solucin es absurda.
Ejm:
. Resolver y discutir:
m2 (x 1) = 5 (5x m)
Solucin:
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
43
5m
m
)5m)(5m(
)5m(mx
Efectuando: m2x m
2 = 25x 5m
(m2 25) x = m
2 5m
(m + 5) (m 5) x = m (m 5)
Discusin:
(1) Si m2 25 0
(2) Si m = 5 ; 0x = 0
La ecuacin es compatible indeterminada.
(3) Si: m = -5 ; 0x = 50
La ecuacin es incompatible.
Ecuacin de Segundo Grado:
Forma General: ax2 + bx + c = 0
x incgnita
Hay dos soluciones:
a2
ac4bbx
a2
ac4bbx
2
2
2
1
Discusin de las Races.- Se define como
discriminante de la ecuacin: ax2 + bx + c = 0 ; a 0
D = 2 4b ac
D Discriminante
1) Si D 0 ; las soluciones son nmeros reales diferentes.
2) Si D = 0 ; las soluciones son nmeros reales iguales.
3) Si D 0 ; las soluciones son nmeros complejos conjugados.
Propiedades de las Races:
Sea: x1 , x2 races de ax2 + bx + c = 0 ; a 0
Suma: x1 + x2 = -b/a
producto: x1 + x2 = c/a
Diferencia: x1 + x2 = aD ; x1 x2
TAREA DE CLASE
1. Para que valor de m: las races de la ecuacin:
1m
1m
12x5
x3x2
, sern iguales en magnitud pero de
signo contrario.
Rpta.:
2. Resolver: 14
5x7
3
4x3
2
2x5
Rpta.:
3. Resolver: 6
1x7
2
1x
3
2x5
Rpta.:
4. Resolver:
2
2
2
2x
3x
10x6x
5x4x
Dos formas de resolver una
ecuacin de 2do grado
COCIAP Vctor Valenzuela Guardia
44
Rpta.:
5. Resolver la ecuacin. 721xx 2
Rpta.:
6. Dar los valores de x: 2
5
2x
3x
3x
2x
Rpta.:
7. Dar los valores de X:
09x3x23x3x222
Rpta.:
8. Resolver:
2x14x14
x14x1433
33
Rpta.:
9. Hallar el valor de x:
2 2 24 9 5 7 1 2x x x x x x
Rpta.:
10. Resolver:
3xx2xx2
1