Algebra - Ing Civil - jrossel.files.wordpress.com · Modo DEG 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360 ... graficar un ciclo de la curva. Como Cx + E ... Instituto de Ciencias Básicas

Universidad Diego Portales - Instituto de Ciencias Básicas 1

ALGEBRA

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

Profesora: Isabel Arratia Z.

Instituto de Ciencias BásicasCarrera: Ingeniería Civil


TRIGONOMETRÍA PLANA


La palabra trigonometría proviene del griego: trigom que significa triángulo y metraque significa medida. De ahí que la trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, es decir, medidas de los triángulos.

La trigonometría se desarrolló a partir de los esfuerzos hechos por avanzar en el campo de la astronomía. El matemático y astrónomo Hiparco (180-125 a.C.) es considerado el padre de la trigonometría, pues encontró algunas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Contribuyeron también en el tema Ptolomeo y Aristarco de Samos.


En el año 1600, Pitiscus (1561-1613) publica en la Universidad de Heidelberg, Alemania, un texto con el título Trigonometría en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. Los cálculos trigonométricos tuvieron un mayor desarrollo gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617) quien inventó los logarítmos. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía.


Originalmente, la trigonometría desarrolló la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Se definen las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0°, 180°].

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos, sino que también responde al interés de describir ciertos fenómenos físicos: el movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, la elasticidad. Para lograr esto, es necesario ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de variable real, que es lo que haremos en esta unidad.


Ángulos y sistemas de mediciónUn ángulo está formado por un rayo OA fijo y un rayo OB

móvil que gira alrededor de O. En cada posición de giro, se determina el ángulo AOB. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la medida del ángulo se considera positiva; si el giro es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida del ángulo es negativa.


Las unidades habitualmente usadas para medir los ángulos son los grados sexagesimales y los radianes.

Un grado es la medida del ángulo AOB que se genera cuando la rotación, en el sentido de las manecillas del reloj, es

de la vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 segundos.

3601

Un radián es la medida del ángulo AOB que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

En consecuencia, una rotación completa subtiende un arco igual en longitud a . r2π


rad2360 π=°

1° = rad 1 rad = o

π180

180π

Consecuencia de la igualdad son las siguientes Fórmulas de conversión:

Ejercicio: a) Convierta a grados los ángulos dados en radianes

b) Convierta a radianes los ángulos dados en grados 4

7 , 6

11 π=β

π=α

°=ϑ°=γ 390 , 165


Recuerde que cuando se trabaja con calculadora hay que poner atención a la configuración de ella. Si se trata de ClassPad 300, se procede así: En el Menú escoger Principal y tocar Settings, Configuración y Formato Básico.


Las funciones circulares o trigonométricas

Se llama círculo unitario (o círculo trigonométrico o círculo goniométrico) a aquel cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio es la unidad. En este círculo denotemos por C a la circunferencia unitaria.

Si t es un número real, consideremos el ángulo de t radianes en posición normal, esto significa que su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su vértice está en el origen.


Para cada número real t, existe un único punto P(x, y) que es la intersección de la circunferencia unitaria C con el lado terminal del ángulo de t radianes. En estas condiciones se definen las coordenadas de P como,

x = cos t, y = sen t

C


Una consecuencia inmediata de la definición anterior es el Teorema de Pitágoras:

πsen 0 = 0, cos 0 = 1 sen = 0, cos = -1

¿Cuál es el valor de seno y coseno para ?23

2 y ππ

π

1tcostsen 22 =+

Además, surgen de inmediato los valores de seno y coseno de ciertos ángulos, por ejemplo,


Ejercicio: Usando el Teorema de Pitágoras y con la ayuda de las siguientes figuras, complete los valores de la tabla:

Modo RADcos tsin t

360°270°180°90°60°45°30°0°Modo DEG

t =30° t =45° t =60°

Verifique lo anterior con su calculadora


Las funciones seno y cosenoHemos visto que para cada número real t, existen únicos valores(x, y) = (cos t, sen t) en la circunferencia unitaria C. Este hecho nos permite definir las funciones seno y coseno, ambas con dominio el conjunto de los números reales. Además, como

, ellas tienen recorrido [-1, 1].ℜ

1tcos1- y 1tsen1 ≤≤≤≤−

Gráfico de la función seno

Observe que,

sen t = 0 , con k número entero

π=⇔ kt


El gráfico lo puede obtener con su calculadora:

El gráfico se apreciará mejor al escoger Resize o Zoom


Gráfico de la función coseno

Observe que,

cos t = 0 , con k número entero

π+=⇔ π kt 2

La periodicidad: Las funciones seno y coseno son periódicas de período , esto significa que para k número entero,π2

tcos)k2t(costsen)k2t(sen

=π+=π+


La paridad:

La función seno es una función impar, esto significa que

sen(-t) = -sen t.

La función coseno es una función par, esto significa que

cos(-t) = cos t.

¿Y si los ángulos difieren sólo en el

signo?

-t

t P(x, y)

P(x, -y)


Tangente: Cotangente:

Secante: Cosecante:

¿Hay más funcionestrigonométricas?

xcosxsenxtan =

Las funciones trigonométricas son seis. Hasta ahora hemos mencionado sólo dos; las otras se definen a partir de seno y coseno, a saber,

xsenxcosxcot =

xcos1xsec =

xsen1xcsc =

Ejercicio: Si es un ángulo agudo y , determine los valores de las restantes funciones trigonométricas de .

α257sen =α

α


Gráfico de la función tangente

y = f(x) = tan x

Dom f =

=

Rec f =

} Zk / k { 2 ∈π+−ℜ π

} 0 x cos / x{ ≠ℜ∈

ℜ

Zk con ,kx 0xtan ∈π=⇔=

x tanxtan xcos xsen

)xcos()x(sen −=== −

−−

Tangente es periódica, es un período.π2


Ejercicio: Use una calculadora o computadora para graficar las funciones cotangente, secante y cosecante. Determine el dominio y el recorrido de cada una de ellas y si se trata de funciones periódicas, funciones pares o impares.

Ejercicio: Determine el dominio de la función y = senx + tan x y los valores de x tales que y = 0 (ceros de la función). Con su calculadora o computadora grafique esta función y compare los resultados obtenidos de manera gráfica y de modo algebraico.

Ejercicio: ¿Por qué se obtiene un mensaje de error en la calculadora cuando se trata de evaluar ?

°°−°+°

55tan35tan155tan35tan


Propiedades adicionales

Ángulos complementarios: Dos ángulos se dicen complementarios si suman (90°).

t = α−π2

t = α

2π

La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

α=α−

α=α−

π

π

sen)cos(

cos)(sen

2

2

Ejercicio: Deduzca a qué es igual tangente, cotangente, secante y cosecante de α−π2


Ángulos suplementarios: Dos ángulos se dicen suplementarios si suman (180°).

t = α−π

t = α

π

La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

α−=α−πα=α−π cos)cos(

sen)(sen

Ejercicio: Haga la deducción para tangente, cotangente, secante y cosecante de α−π


Gráficos de ondas sinusoidalesSe llaman ondas o curvas sinusoidales a aquellas que resultan de trasladar, defasar, ampliar o reducir las curvas seno y coseno. Estas curvas tienen una expresión general,

y = A + B sen(Cx + E) o y = A + B cos(Cx + E)

Para graficar las curvas antes mencionadas, basta hacer el gráfico de una parte que se extienda por una longitud horizontaligual al período, es decir, graficar un ciclo de la curva.

Como Cx + E = C(x + ), analizaremos las curvas

y = f(x) = A + B sen C(x + D) o y = f(x) = A + B cos C(x + D)

y de ellas, aquellas con C>0, puesto que si C<0 usamos la paridad de coseno y el hecho que seno es impar.

CE


(1) La curva y tiene período puesto que, C2π

( ) ( )( ) )x(fD)C(xBsen A

2)Dx(CBsenA)Dx(CBsenA)x(f C2

C2

=++=

π+++=+++=+ ππ

y = sen(x)

y = sen(4x), (período )2

π


(2) El gráfico de y = f(x) es |B| veces más grande (o pequeño) verticalmente que el de la función seno o coseno, es decir, la onda tiene un alto vertical total de 2|B|. Por esta razón se llama a |B| la amplitud de la onda.

y = sen(x)

y = 3sen(x), (amplitud 3)


(3) El gráfico de la curva está desfasado D unidades a la izquierda si D>0 y D unidades a la derecha si D<0. Por estarazón, el número real D se llama cambio de fase.

y = sen(x+Pi/2), (defasado izq.)

y = sen(x)

2π

Observe que y = sen(x+ ) = cos(x) 2π


(4) El gráfico de la curva y = f(x) está trasladado verticalmente A unidades.

y = 1 + sen(x)

y = sen(x)


Ejercicio: Grafique, indicando período, amplitud y desfacede las curvas y = 2sen(x + Pi) e y = 1 + cos(x – Pi).

Ejemplo: Gráfico de y = 1 + sen(x + ) 2π

21

Período =

Amplitud =

Desfase izq.

π2

21

2π


Solución con Class Pad 300


Problema: En un circuito de corriente alterna la intensidad A medida en amperes debe satisfacer

, donde t es el tiempo medido en segundos. ¿Cuántos ciclos hay en un segundo? ¿Cuál es la máxima intensidad en la corriente? Con su calculadora grafique dos ciclos de A.

t120sen20A π=

Problema: Las funciones de la forma , endonde a, b, w, t0 son constantes reales, se usan con frecuencia para simular la variación en la temperatura. Suponga que para

proporciona la temperatura en grados Celsius de F a t horas después de la medianoche de cierto día. ¿Cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.? ¿A qué hora la temperatura es 23°C? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima y a qué hora se alcanzan? Con su calculadora grafique F.

)tt(wsenbay o−+=

)8t(sen723F(t) ,24t0 12 −+=≤≤ π


α

β

El arco de P(cos , sen ) a Q(cos , sen ) es igual al arco de A(1, 0) a B(cos , sen ); luego . Entonces,

)(sen)1)(cos()sensen()cos(cos 2222 β−α+−β−α=β−α+β−α

Funciones de dos ángulosFórmulas de sustracción: Pretendemos deducir expresiones para seno y coseno de , para ello consideremos las figuras β−α

PQ

A

B β−α

ββ α α)( β−α )( β−α ABPQ=


)cos(22sen 2sen-cos cos22 β−α−=βαβα−

Elevando al cuadrado, desarrollando los binomios al cuadrado y usando el teorema de Pitágoras obtenemos,

Y de aquí, βα+βα=β−α sen sencos cos)cos(

Usando el hecho que sen t = cos , tenemos que)t( 2π−

βα+βα=

+βα++βα=

+β−α=−β−α=β−α

ππ

ππ

cos sensen cos-

)sen( sen)cos( cos

))(cos()cos()(sen

22

22

αβ−βα=β−α cos sen cos sen)(sen

Ejercicio: Demuestre que βα+β−α

=β−αtantan1tantan)tan(


Fórmulas de adiciónEscribiendo y usando las fórmulas de sustracción podemos determinar las fórmulas de adición:

)( β−−α=β+α

βα−β+α

=β+α

βαβα=β+ααβ+βα=β+α

tan tan1tantan)tan(

sen sen-cos cos)cos(cos sen cos sen)(sen

Fórmulas de ángulo dobleComo ; usamos las fórmulas de adición para obtener: α+α=α2

α−

α=α

αα=α

αα=α

2

22

tan12tan)tan(2

sen-cos)2cos(

cos sen2)2(sen


Fórmulas de ángulo medioDeduciremos una fórmula para seno de . Se procede de manera análoga para coseno de . 2

α

α=β⇔=β α 2 2

2 cos1

2sen

2)2cos(1sen

2sen-1)cos(2 sen-cos)2cos(

2

2

222

α−=

α⇒

β−=β⇒

β=β⇒ββ=β

Por lo tanto,

2α

α+α−

±=αα+

±=αα−

±=α

cos1cos1

2tan ,

2cos1

2cos ,

2cos1

2sen

En estas igualdades la elección del signo dependerá del cuadrante en el que esté situado el punto terminal del ángulo .

2α


Ejemplo: Determinemos el valor exacto de: )tan( c) )sen( b) )cos( )a 1212

73

13 πππ

321313

11

1....)tan()tan( c)

cossencossen)(sen)sen( b)

)cos()4cos()cos( )a

31

31

6412

426

21

22

22

23

344343127

21

33313

−=+−

=⋅+

−==−=

=+=

+=+=

==+π=

πππ

+

πππππππ

πππ

Ejercicio: Verifique con su calculadora los valores obtenidos en el ejemplo precedente.


Ejercicio: En ciertas condiciones, la ecuación del movimiento de una cuerda en vibración estirada entre dos puntos sobre el eje X esdonde t es el tiempo y A, w, k son constantes. Demuestre que y puede ser representada de la forma equivalente .

)kxwt(senA)kxwt(senAy +−−=

senkxwtcosA2y −=

Ejercicio: Considere un rayo de luz que pasa de un medio (como el aire) a otro (como el cristal). Sea el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción. Según la ley de Snell, hay una constante c que depende de los dos medios como

. Suponga que para que la luz pase del aire al cristal, c = 1,326 para determinar de modo que .

αϑ

ccossen =

ϑα

ϑα y ϑ=α 2

α

ϑ


Identidades trigonométricas

1tcostsen 22 =+Ya mencionamos una identidad fundamental, el Teorema de Pitágoras, . De aquí,

Y realizando sencillas operaciones se obtienen las

tsen1tcos

tcos1tsen22

22

−=

−=

Una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra funciones trigonométricas y que se verifica para cualquier valor de las variables en el dominio de esas funciones.

xcscxcot1

xsecxtan122

22

=+

=+Identidades Pitagóricas:


La expresión

Frecuentemente es aconsejable transformar o reducir una expresión trigonométrica dada, originando de este modo otra identidad trigonométrica. Por ejemplo, de las fórmulas de ángulo medio se obtienen las identidades

22cos1 cos ,

22cos1sen 22 α+

=αα−

=α

22 )cos(cos )sensen( β+α+β+α se reduce a

))cos(1(2)coscos sensen1(2 β−α+=βα+βα+

dando origen a la identidad,

))cos(1(2)cos(cos )sensen( 22 β−α+=β+α+β+α


Una calculadora gráfica o una computadora es muy útil para verificar gráficamente una identidad. Las gráficas siguientes verifican en la identidad

(1 – cos x)(1 + sec x) cot x = sen x

] [2/,0 π

¿Es esta una identidad en los reales? ¿Qué dice su calculadora al respecto?


¿Cómo demostrar unaidentidad trigonométrica?

No hay un método general para demostrar que una igualdad es una identidad trigonométrica. Mostraremos algunos ejemplos.

Demostremos la identidad: θ+θ

=θθcottan

1cos sen

θθ=θθ

θ+θ=

θθ

+θθ

=θ+θ

cossen cossencossen

1

sencos

cossen

1cottan

1

22

En las demostraciones está implícito el supuesto que la identidad es válida sólo para aquellos valores de para los cuales las funciones que aparecen estén definidas.

θ


Demostremos la identidad: ααα=αα+α seccsccoscot sensen 2

α=

αα=

α+α=αα+α

sen1

)(cscsen

)cot1(sencot sensen2

22

Por otra parte, α

=

α

αα=ααα

sen1

cos1

sen1 cosseccsccos

Por lo tanto se trata de una identidad trigonométrica.

No es correcto tratar la identidad planteada como si fuese una ecuación, es decir, realizar las misma operaciones algebraicas a ambos lados. Recuerde que la igualdad será tal después que usted la demuestre.


)](sen)(sen[sen cos

)](sen)(sen[cos sen

)]cos()[cos(sco cos

)]cos()[cos(sen sen

21212121

β−α−β+α=βα

β−α+β+α=βα

β+α+β−α=βα

β+α−β−α=βα

Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades conocidas como Fórmulas de productos.

Si encontramos un valor en el dominio de la funciones para el cual la igualdad es falsa, habremos probado que esta no es una identidad trigonométrica. En ese caso estamos frente a una ecuación trigonométrica.


Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades conocidas como Fórmulas de sumas.

)(sen)(sen2coscos

)cos()cos(2coscos

)(sen)cos(2sensen

)cos()(sen2sensen

22

22

22

22

β−αβ+α

β−αβ+α

β−αβ+α

β−αβ+α

−=β−α

=β+α

=β−α

=β+α

Ejercicio: Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

ϑ=ϑϑ

ϑϑ

θ−θ+

=θ+θ

α+α=αα

tan2 cossen-1-

sen-1cos 3.

sen1sen1)sec(tan 2.

)cot(tancsc sec .1

2

222


Ecuaciones trigonométricasUna ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas; la incógnita es elángulo común de las funciones trigonométricas. No existe un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, mostraremos algunos procedimientos a través de ejemplos.

Ejemplo 1: Determinemos las soluciones en de la ecuación .

]2 [0, π

21sen =α

Según lo aprendido, los valores del ángulo los podemos determinar utilizando el círculo unitario:

65

6 ππ =α∨=α


ℜ

Pero ¿cómo proceder si la ecuación es: = 0,669 ? Con la experiencia en la resolución de ecuaciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas surge la idea de obtener el valor de x usando la función “inversa de seno”, aquella función que la calculadora denota y que se llama arcoseno.1sen −

La función arcosenoLa función seno con dominio no posee inversa; sin embargo, si consideramos su restricción obtenemos una biyección y por lo tanto una función que posee inversa. Esa inversa es arcoseno:

1] [-1, ] ,[ :sen 22 - →ππ

] ,[ 1] [-1, :sen 22 -1 ππ− →

xsen )x(sen 1 =α⇔α=−

αsen

Es decir, arcoseno de x es el número (ángulo medido en radianes) cuyo seno es x.

22 - y entre ππα


Y debemos deducir la solución . Más aún, por la periodicidad de seno, podemos afirmar que esta ecuación tiene múltiples soluciones en ; estas se expresan así,

ℜ∈π+=α∨π+=α ππ k con ,k2 k2 65

6

Una solución de la ecuación la obtenemos con la calculadora:

669.0 sen =α

3071 42)669,0(sen π− =°≈=α

Pero también es una solución que debe ser deducida por nosotros.

Del mismo modo para la calculadora entregará sólo

3023138 π=°=α

21sen =α

.30 6π=°=α

65π=α

ℜ


Las funciones arcocoseno y arcotangenteLas funciones

son biyectivas; sus inversas se llaman arcocoseno y arcotangenterespectivamente y se describen a continuación.

] [ ℜ→

→πππ ,- :tan

1] [-1, ] [0, :cos

22

] [ β=⇔β=−→ℜ

α=⇔α=π→ππ−

−

tan x )x(tan ; , :tan

cos x )x(cos ; ] ,[0 1] [-1, :cos1-

221

-11

]2 ,0[ πEjercicio: Encuentre todas las soluciones i) en ii) en

de a) b) c) ℜ

23xcos = 1xtan =2

7xsec −=

Compruebe sus resultados con la calculadora gráfica o computadora.


Ejemplo 2: Resolvamos en la ecuación sen 2x = sen x]2 [0, π

35

3 y , 0, x ππ π=

Usando la identidad del ángulo doble, la ecuación se transforma en

2 sen x cos x = sen x

sen x (2 cos x - 1) = 0

Y de aquí, sen x = 0 o cos x = ; luego las soluciones son: 21

Hay que considerar que cuando el lado terminal de un ángulo realiza cierto giro, se genera otro ángulo cuyo seno también es cero o cuyo coseno también es . En consecuencia, existen múltiples soluciones, en el conjunto de los números reales, para la ecuación planteada que se expresan,

, con k número entero.

21

ℜ

π+±=π= π k2 xo k x 35


Ejemplo 3: Resolvamos en y luego en la ecuacióncosec x + cotan x = 1

]2 [0, π ℜ

La ecuación es equivalente a 1+cosx = sen x.

Elevando al cuadrado queda, , de donde

cos x ( cos x + 1) = 0

Y de aquí, cos x = 0 o cos x = -1 ; luego las soluciones serían:

1senx

xcos xsen

1=+

0xcos2xcos2 2 =+

23

2 y , x ππ π=

Sin embargo, hay que descartar a puesto que este número no está ni en el dominio de cosec ni en el de cotan. Además, las operaciones algebraicas muchas veces conducen a seudo-soluciones; en este caso no satisface la ecuación. Por lo tanto, la única solución en es y las soluciones en el conjunto de los números reales son

π

23π

]2 [0, π 2π

Z.k ,k2x 2 ∈π+= π


Ejemplo 4: Resolvamos en ,]2 [0, π

Factorizando tenemos o bien,

Y de aquí, cos t = 0 o y las soluciones son

tcostcossent2 232 −=

35

65

32

23

2 y , , , x πππππ=

Es común proceder a simplificar la ecuación por cost; esto es posible siempre que se verifiquen como posibles soluciones los valores de t para los cuales cost = 0. En caso contrario, habríamos perdido las soluciones . y 2

32

ππ

0)tcossent2(tcos 23 =+

0)t2sen(tcos 23 =+

23t2sen −=

¿Cuáles son las soluciones en de la ecuación del ejemplo 3?ℜ


Problema: Un generador de corriente alterna produce corriente dada por la ecuación

, donde t es el tiempo en segundos y E está dada en amperes. Encuentre el menor valor de t, con cuatro cifras decimales, de modo que se produzcan 25 amperes.

t120 sen 30E π=

RAD

Ejercicio: Resuelva i) en ii) en las siguientes ecuaciones,

a)

b)

c)

d)

]2 [0, πℜ

0senx3xcos2 2 =+

ecxcos5anxcotxtan3 =+

anxcotxtanxsec2 +=

0x2cos3x4sen =−Verifique con


Ejercicio: Calcule el valor de

Ejercicio: Encuentre que satisfagan,

)arccossen(arcsenA 54

21 +=

Problema: Demuestre que para a, b números reales,

-1ab con ,ab1b-aarctanb arctan - a arctan ≠

+=

βα y

1)tan( 23)sen(

=β−α

=β+α


Resolución de triángulos

Si el triángulo es rectángulo, es posible resolverlo siempre que se conozcan dos de sus cinco elementos: a, b, c, , excepto que esos dos sean los dos ángulos agudos.

Muchas de las aplicaciones de la trigonometría requieren “resolver” un triángulo. Esto significa determinar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del triángulo.

Triángulos rectángulos

A

B

Cα

β

Γb

c aβα y


El triángulo ABC y el triángulo APQ, dentro del círculo unitario, son semejantes; luego sus lados son proporcionales, es decir,

P

Q C

B

Aα

, , AQPQ

ACBC

APAQ

ABAC

APPQ

ABBC ===

, , cossen

ba

1cos

cb

1sen

ca

αααα ===O equivalente

Y de aquí la definición,

tan ,cos

,sen

adyacente catetoopuesto cateto

hipotenusaadyacente cateto

hipotenusaopuesto cateto

=α=α

=α


Ejemplo: Resolvamos el triángulo rectángulo ABC si c = 27cm y .

Como Por otra parte,

luego a 20,683. Finalmente, y b 17,355

°=α 50

.40 ,90 °=β°=β+α ,50sen 27a=°

50cos 27b=°

Problema: Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el árbol formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. Calcule la anchura del río.

Ancho x = 100tan30° 57,735 m.

≈ ≈

≈


Ángulos de elevación y de depresión

El ángulo entre la línea con la que un observador mira un objeto y la horizontal tiene un nombre especial.

Si el observador está mirando hacia abajo, el ángulo visto desde la horizontal hacia la línea de visión se denomina ángulo de depresión.

Si el observador está mirando hacia arriba, el ángulo desde la horizontal hacia la línea de visión se denomina ángulo de elevación.


Problema: Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

Problema: La siguiente figura muestra la demarcación de estacionamientos en un mall. Calcule la distancia d. Estacionamientos


Problema: Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 metros del nivel del mar. Descubre a una persona que necesita su ayuda con un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona.

Si en el problema anterior el ángulo de depresión varía según lasiguiente tabla, con la ayuda de su calculadora, determine cómo va variando la distancia.

dist

42°40°39°37°31°27°20°Ángulo


Resolución de un triángulo cualquiera

γβα , ,Consideremos el triángulo ABC con ángulos y con lados opuestos a, b y c. Si se conoce la longitud de un lado y otros dos elementos del triángulo, entonces es posible resolverlo. Esto se realiza a través de la Ley del seno y de laLey del coseno.

Teorema del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir,

csen

bsen

asen γβα == A

C

b

c

a

Bβα

γ

h


Demostración del teorema del seno: Consideramos la altura h que se indica en la figura; entonces

sen a sen b

sen y sen

bsen

asen

ah

bh

βα =⇒

β=α⇒

=β=α

Procediendo con las otras alturas se obtienen las otras relaciones.

Ejercicio: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado AB mide 72 cms., y . °=α 28 °=β 17

°=°−°−°=γ 1351728180

770,29b y 803,47a 135sen17sen72

135sen28sen72 ≈=≈=

°°

°°

Se tiene que . Por otra parte,


Problema: Los árboles más grandes del mundo crecen en el Parque Nacional de Redwood en California, EE.UU. Estos árboles (sequoia semprevirens) son más grandes que el largo de un campo de fútbol. Calcule la altura de uno de esos árboles, a partir de la información que se entrega en la figura.

'1037° °44−−−−−− 100

pies


Teorema del coseno: En el triángulo ABC se tiene que:

γ−+=

β−+=

α−+=

cos ab2bac

cos ac2cab

cos bc2cba

222

222

222

A

C

b

c

a

Bβα

γ

h

Demostración del teorema del seno: Consideramos la altura h = CD; entonces . De aquí,

D

222222 )AD(hb y )DB(ha +=+=

)cosb(c2cb

)AD(ADc2c)AD(b

(DB))AD(ba

22

2222

2222

α−+=

+−+−=

+−=

Por “rotación” se obtienen las otras relaciones.


Problema: Dos coches, con velocidades respectivas de 60km/h y 90km/h, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 70º ¿Cuál será la distancia entre ellos a los 10 minutos de viaje?

Ejercicio: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado AB mide 12 cms., AC mide 9 cms., y BC mide 7 cms.

En 10 minutos, el primer móvil habrá recorrido un sexto de 60, es decir, 10Km. El segundo móvil habrá recorrido un sexto de 90, es decir, 15Km.

El teorema del coseno nos permite calcular x,

Km. 14,912 x70 cos 300225100x2

≈°−+=


Problema: Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a los puntos A y B que distan 1,5 m. La deformación de la goma es proporcional al peso que soporta. Del centro C de la goma se cuelga un peso y el centro pasa a ocupar la posición D. Si se aplica el doble del peso el centro, éste pasa a ocupar la posición E. Si se sabe que el ángulo a = 19º, determine el ángulo b.

Peso


Problema: Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1 km, la segunda de la tercera 1,5 km y ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas? ¿Qué superficie tiene el lago, si ésta es los 5/3 de la superficie del triángulo que se forma con las 3 personas?

C

B

A

1

1,5

2


ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA


El plano cartesiano

Se llama plano cartesiano o plano rectangular al conjunto de pares ordenados de números reales. El sistema de

ejes se conoce como sistema de coordenadas rectangular, por estar formado por dos rectas reales que se cruzan en ángulo recto en el origen 0 de cada una, o sistema cartesiano en honor del matemático francés René Descartes (1596-1650)

ℜ×ℜ

eje X

eje Y

Origen 0


Los ejes dividen el plano cartesiano en cuatro regiones que se llaman cuadrantes y se numeran I, II, III y IV.

Los puntos P sobre este plano se localizan según la distancia que hay desde P a los ejes coordenados.

El punto P(x, y) se dice que tiene coordenadas (x, y); el número x, del eje X, se llama abscisa de P y el número y, en el eje Y, es la ordenada de P.


Ejercicio: Grafique en el plano cartesiano los puntos dados:

) (1, ),3 ,5( 4), ,2( 7), ,( 3),- ,0( 4-3

25 −−−

Ejercicio: Suponga que (a, b) es un punto del cuadrante II, determine el cuadrante en el cual se localiza: (-a, -b), (-a, b), (a, -a), (b, a) y (-b, a).

Ejercicio: Describa y grafique los siguientes conjuntos del plano cartesiano:

} 2y3- 4x1 / y),x( {E} 0 / xy y),x( {D} 2|y| / y),x( {C

} 5 / x y),x( {B} 0 / x y),x( {A

<≤∧≤<=≤=≤=

==≤=


Distancia entre dos puntos

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos del plano cartesiano. La distancia entre P y Q se calcula mediante la expresión

que se deduce del teorema de Pitágoras, como se aprecia en la figura.

212

212 )yy()x(xQ) ,P(d −+−=

P

Q|x2-x1|

|y2-y1|


Por ejemplo, la distancia entre P(4, -1) y Q(-2, 6) es

853649)42())1((6Q) ,P(d 22 =+=−−+−−=

Ejercicio: ¿Cuál de los puntos A(-7, 2) o B(4, 6) está más cerca de P(1, -2)?

Se puede demostrar que para puntos P, Q, R cualesquiera,

Q) d(R, R) d(P, Q) d(P,P) d(Q, Q) d(P,

Q P 0 Q) d(P,0Q) ,P(d

+≤=

=⇔=≥

Cuando d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q), se dice que los puntos P, Q y R son colineales.


Ejercicio: Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-1, 1) y B(3, 1). Encuentre las coordenadas del tercer vértice.

Ejercicio: Encuentre un punto P equidistante de A(1, 7), B(8, 6) y C(7, -1).

Por ejemplo, A(3, 5), B(1, -1) y C(-4, -16) son colineales.

Ejercicio: Escriba la ecuación algebraica que expresa el hecho que el punto P(x, y) equidista de A(-2, 4) y B(9, -5).


División de un segmento en una razón dada

Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos del plano cartesiano y consideremos el segmentoque los une. Se dice que un punto P(x, y) divide al segmento

en la razón r si .

21PP

21PP rPP

PP2

1 =

Teorema: En las condiciones anteriores, las coordenadas de P son

++

++

r1ryy ,

r1rxx 2121

P1

P

P2


En efecto, los triángulos P1MP y PNP2 son semejantes; luego

2

1

22

11PP

PPNPMP y

PPPP

PNMP

==

Corolario: Si P es el punto medio de P1P2, entonces r = 1 y por tanto,

++

=2

yy ,2

xxP 2121

P1

P N

P2

M

y -

x|

ryy

yy y rxx

xx 2

1

2

1 =−

−=

−−

⇒

r1ryy ye

r1rxx x 2121

++

=++

=⇒

| |x2x1

y2-

y1-


Algunas observaciones

(1) r = -1

(2) Para segmentos el signo tiene relevancia en el sentido que(segmentos dirigidos). BAAB −=

21

2121

212

1

PP 0PP 0PPPP

PPPP 1PP

PP

=⇔=⇔=+⇔

−=⇔−=⇔

(3) Cuando el punto P divide el segmento en una razón negativa, P se encuentra en la prolongación del segmento .

21PP

21PP

Ejercicio: Muestre que el punto P(-4, 17) divide al segmento P1(1, 7) a P2(6, -3) en la razón r = -1/2.


Ejercicio: Determine el punto P que divide al segmento A(-2, 1) a B(3, -4) en la razón r = -8 /3.

Ejercicio: Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6, encuentre la ordenada.

Ejercicio: Los vértices de un triángulo son A(-1, 3), B(3, 5) y C(7, -1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demuestre que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC.


Usando calculadora

Escojamos en el Menú de la Class Pad 300

La barra de menú nos proporciona múltiples opciones. Dibujamos el segmento de extremos A(-5, -2) y B(10, 10) así:

Y ubicamos los puntos


Construir

Determinemos el punto medio del segmento de extremos A y B.

Escogemos Dibujo en la barra menú, tocamos Construir y finalmente Punto medio.

Punto medio


Rectas en el planoUna línea recta está representada por una ecuación de primer

grado en dos variables,

Ax + By + C = 0,

con A, B, C números reales, A y B no ambos nulos. Y recíprocamente, la ecuación representa una recta.)(∗

)(∗

Si A = 0, la recta es paralela al eje X.

Si B = 0, la recta es paralela al eje Y.

Si C = 0, la recta pasa por el origen (0, 0).

Por ejemplo, las ecuaciones 5x – 2y = 3, x + y = 0, y – 5 = 0, x = 2 representan rectas.


La recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) tiene ecuación:

(Ecuación punto-punto de una recta)

)xx(xxyyyy 1

12

121 −

−−

=−

El número se llama pendiente de la recta.

Este número m es positivo si y sólo si la recta asciende de izquierda a derecha, m es negativo si y sólo si la recta desciende de izquierda a derecha y m = 0 si y sólo si la recta es paralela al eje X. Las rectas paralelas al eje Y tienen pendiente .

12

12xxyym

−−

=

∞


elevación

| | x2x1

y2-

y1-

desplazamiento

desplazamelevación

xxyym

12

12 =−−

=

La pendiente de la recta corresponde a la inclinación que ella tiene y está determinada por la rapidez con que la recta sube o baja conforme nos movemos de izquierda a derecha. En consecuencia, la pendiente de una recta es la razón entre la elevación (lo que sube o baja la recta) y el desplazamiento (lo que recorre hacia la derecha).


La ecuación punto-punto de una recta la podemos reformular en los siguientes términos:

La recta que pasa por el punto P1(x1, y1) con pendiente m tiene ecuación:

(Ecuación punto-pendiente de una recta)

)xx(myy 11 −=−

Observe que esta ecuación es del tipo:

y = m x + b

pendiente Intersección eje Y u ordenada al origen


1) La recta que pasa por P(5, -2) y Q(-3, 4) tiene ecuación:

Ejemplos:

)5x(432 y )5x(

53)2(4)2(y −−=+⇔−

−−−−

=−−

Su ecuación general es 3x + 4y – 7 = 0, que equivale también a

47x

43y +−=

2) La recta de ecuación general 6x + 3y – 15 = 0 tiene pendiente m = -2 y ordenada al origen igual a 5, puesto que equivale a y = -2x + 5.

)(∗

)(∗

Ejercicio: Determine la ecuación de la recta que intercepta al eje X en el número a y al eje Y en el número b.


Existen múltiples problemas de la vida real cuya solución utiliza rectas.

Problema: Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la temperatura C en grados Celsius con la temperatura F en grados Fahrenheit, sabiendo que el agua se hiela a 0ºC, 32ºF y hierve a 100ºC, 212ºF. Grafique la recta encontrada.

La recta pedida pasa por los puntos (0, 32) y (100, 212); luego su pendiente es .

Su ecuación es o bien, para una mejor comprensión,

59m =

32xy 59 +=

.32CF 59 +=


Problema: Una industria textil adquiere maquinarias por un valor de $825 millones. Se estima que tendrán una vida útil de 25 años tras los cuales su valor será de $75 millones. Encuentre la ecuación de la recta que representa la depreciación lineal de las maquinarias en estos 25 años. ¿Cuál será el valor de las maquinarias transcurridos 5 años desde su adquisición?

El ejercicio anterior corresponde a efectuar una interpolación lineal, esto es, se pide determinar un punto de la recta ubicado entre los dos puntos dados. Cuando se encuentra un punto de la recta que está fuera de los dos puntos dados, se trata de una extrapolación lineal.


Problema: Un fabricante de cobertores encuentra que si produce x de estos artículos en un mes, su costo total de producción está dado por y = 6,5 x + 180 (en miles de pesos). Grafique la recta determinada por esta ecuación. ¿En términos del problema qué representa la pendiente de esta recta y el valor 180.000?

Ejercicio: Muestre dos problemas de la vida real cuya solución se obtenga a través de rectas.


Ejercicio: Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -4) y tal que la suma de sus interceptos es 3.

Dos rectas se dicen paralelas si tienen igual pendiente y se dicen perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1.

Ejercicio: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P(2, -3) y es perpendicular a la recta que pasa por A(4, 1) y B(-2, 2).

Ejercicio: Determine el valor del número k de manera que la recta de ecuación 3x – ky - 7 = 0 sea paralela a la recta cuya ecuación es 5x + 2y – 9 = 0.


Distancia entre un punto y una recta

l

Q

P

Consideremos la recta de ecuación l : Ax + By + C = 0 y el punto P(x1, y1).

La recta l tiene pendientey la recta l’ perpendicular a lque pasa por P tiene ecuación:

BAm −=

1AB

1AB xyxy −+=

Sea Q(x2, y2) el punto de intersección de las rectas l y l’ ; entonces Q satisface el sistema:

1AB

12AB

2BC

2BA

2 xyx y xy −+=∧−−=


Resolviendo este sistema obtenemos las coordenadas de Q:

2211

2

2211

2

BABCABxyA

2BAACAByxB

2 y x+

+−

+

−− =∧=

Finalmente, 22

211

BA)CBy(Ax Q) d(P, P) ,(d

+

++==l

de donde obtenemos,

2211

BA

| CBy Ax| P) ,(d+

++=l

Ejercicio: Determine la distancia entre el punto P(4, 6) y la recta de ecuación 5 – 2y = x.


Ángulo entre dos rectas

El ángulo que se aprecia en la figura se llama ángulo de inclinación de la recta L.

α

α

La tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje X es la pendiente o coeficiente angular de la recta:

P

Q

x1 x2

y2-

y1-

α=αα

=−−

= tancos rsen r

xxyym

12

12

α

Por ejemplo, si = 0º, m = tan0º = 0 y si = 90º, m = tan 90º=α α ∞


Queremos determinar el ángulo entre las rectas L1 y L2 que se aprecian en la siguiente figura:

θ

L1

L2

θ

2α1α

Observe que

lo que implica,,21 α=α+θ

.12 α−α=θ

Luego, 21

12

12

1212 mm1

mmtantan1tantan)tan(tan

+−

=αα+α−α

=α−α=θ

+

−=θ⇒ −

21

121

mm1mmtan


Por lo tanto, podemos enunciar: El ángulo entre las rectas L1 y L2 está dado por:

donde m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2respectivamente.

+

−=θ −

21

121

mm1mmtan

θ

Por ejemplo, consideremos las rectas L1 y L2, cuyas ecuaciones son x + 7y – 14 = 0 y 3x – 4y + 3 = 0 respectivamente. Entonces las pendientes son m1= y m2= ; luego el ángulo entre estas rectas es:

7 1−

43

º45)1(tan)(1)(

tan 1

71

43

71

43

1 ==

+

−=θ −

−

−−


Ejercicios(1) Encuentre la ecuación de la recta paralela a 12x – 5y - 15 = 0 a una distancia igual a 4.

(2) Calcule la distancia entre las rectas paralelas de ecuaciones 3x – 4y + 8 = 0 y 6x – 8y + 9 = 0.

(3) Determine el valor de k de modo que la distancia del origen a la recta de ecuación x + ky – 7 = 0 sea igual a 2.

(4) Calcule el ángulo entre las rectas de ecuaciones 6x + 3y =1 y x + y = 3.


Secciones cónicasLas secciones cónicas, o simplemente cónicas, son curvas que se forman al intersectar un plano con un par de conos circulares. Estas curvas tienen cuatro formas básicas llamadas circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

Parábola HipérbolaElipseCircunferencia


Dicho corte también puede ser un punto, una recta o dos rectas en el caso especial que el plano esté en contacto con los vértices de los conos.


Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas; Apolonio (262-190 a.C.) escribió una obra de 8 volúmenes sobre el tema. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665), en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, las trayectorias de proyectiles lanzados hacia arriba formando ángulo con la horizontal son parábolas, la construcción de un telescopio reflector se basa en las propiedades de parábolas e hipérbolas. En los últimos tiempos se han aplicado las cónicas en la radionavegación, medicina, mecánica, ingeniería, entre otras.


El estudio que haremos de las cónicas comenzará con la definición geométrica de ellas y de ahí se llegará a la expresión algebraica que las representa.

Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. Posteriormente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describecomo curvas cuadráticas.

Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia.


La circunferenciaEs el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano

(lugar geométrico) que están a una misma distancia r, llamada radio de la circunferencia, de un punto dado C(h, k), que es el centro de la circunferencia.

Observe que 222

22

r)ky()hx(

r)ky()hx( r C) P,(d

=−+−⇔

=−+−⇔=

,(h, k)


Por ejemplo, es la ecuación de la circunferencia centrada en C(5, -2) y con radio r = .Observe que De manera más general se puede enunciar,

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro C(h, k) y radio r, es:,r +ℜ∈

222 r)ky()hx( =−+−

Si el centro de la circunferencia es C(0, 0), su ecuación es 222 ryx =+

6)2y()5x( 22 =++−6

023y4x10y x 6)2y()5x( 2222 =++−+⇔=++−

Teorema: Una circunferencia está representada por una ecuación de segundo grado en dos variables de la forma

0FEyDxyx 22 =++++


No, sin embargo se tiene lo siguiente,

Teorema: Consideremos a) Si D2+E2 - 4F , representa una circunferencia.b) Si D2+E2 - 4F = 0 , representa un punto.a) Si D2+E2 - 4F , no representa una circunferencia.

¿Toda ecuación de la forma x2+y2+Dx+Ey+F representa

a una circunferencia?

0FEyDxy x)( 22 =++++∗

> 0 )(∗)(∗)(∗< 0

Ejemplo: ¿La ecuación x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 representa una circunferencia? Esta ecuación equivale a:

x2 + 2x +1 + y2 – 4y + 4 = 11 + 1 + 4que es (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Por lo tanto, se trata de la circunferencia centrada en (-1, 2) con radio 4.


Ejercicio: Demuestre el teorema precedente. Además determine el centro y el radio de las circunferencias,

a) x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0b) x2 + y2 - 8x + 6y + 22 = 0

Observación: La circunferencia cuyo centro está en el eje X tiene ecuación general de la forma x2 + y2 + Dx + F = 0. Si el centro está en el eje Y, esta ecuación toma la forma x2 + y2 + Ey+ F = 0.

Ejercicio: Determine la ecuación de la circunferenciaa) Centrada en C(5, -2) y que pasa por el punto P(2, 1). b) Centrada en C(-4, 2) y tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0.


(2) Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por A(-2, 1) y es tangente a la recta 3x - 2y - 6 = 0 en el punto B(4, 3).

(3) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5, 3), B(6, 2) y C(3, -1).

¡Más ejercicios!(1) Determine la ecuación de la circunferencia

que pasa por A(2, 3) y B(-1, 1) y tiene su centro en la recta L de ecuación x – 3y = 11.

Problema: Un punto se mueve de tal modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y (-1, 0) es siempre igual a 5. Identificar el lugar geométrico que estodescribe.


Recta tangente a una circunferencia

Mostraremos, a través de ejemplos, cómo encontrar la recta tangente a una circunferencia

a) en un punto de ella, b) con una pendiente dadac) que pase por un punto exterior dado.

Ejemplo 1: Hallemos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 8x – 6y + 20 = 0 en el punto P(3, 5).

La recta que pasa por P tiene ecuación y – 5 = m(x – 3). Reemplazamos y = m(x - 3) + 5 en la ecuación de la circunferencia y reordenamos para obtener:

x2(1 + m) – (6m2 + 4m + 8)x + (9m2 – 12m + 15) = 0


Esta ecuación cuadrática debe tener una solución real, es decir su discriminante D debe ser cero; resolvemos D = 0 para obtener m = ½. Luego la recta tangente pedida es y – 5 = ½(x – 3).

Ejemplo 2: Hallemos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 13 con pendiente .

La recta con pendiente tiene ecuación . Reemplazando y en la ecuación x2 + y2 = 13 y reordenando, obtenemos la ecuación cuadrática que debe tener discriminante D = 0 para que tenga una solución real para x. Resolvemos D = 0 y obtenemos ; luego el problema tiene las soluciones

32m −=

bxy 32 +−=3

2m −=

0)13b(xx 23b42

913 =−+−

313b ±=

.xy 313

32 ±−=


Ejemplo 3: Encontremos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 que pasa por .

La recta que pasa por P tiene ecuación .Siguiendo el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores llegamos a obtener ; luego las rectas tangentes son dos:

0) ,8(P

)8x(my −=

1m ±=)8x(y −±=

Ejercicio: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación 2x2 + 2y2 - 8x - 4y -15 = 0 que pasa por P(6, -4) .


La parábolaEs el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) que equidistan de un punto fijo y de una recta fija.

El punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama directriz de la parábola. La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje de simetría. El eje corta la parábola en un punto V llamado vértice y que está a la misma distancia del foco y de la directriz.


La cuerda con extremos en la parábola, que pasa por el focoy es perpendicular al eje se llama lado recto y su longitud (diámetro focal) es 4 veces la distancia entre el vértice y el foco.

Para encontrar una expresión algebraica que represente a una parábola P, escogeremos aquellas cuyo vértice es el origen (0, 0).

xp4 y

ppx2xyppx2 x

|px|y)px(

2

22222

22

=⇔

++=++−⇔

+=+−⇔

Si F(p, 0) es el foco y x = -p es la ecuación de la directriz,

P(x, y) P d(P, F) = d(P, d) ∈ ⇔

Por lo tanto,


La ecuación de la parábola con vértice en (0, 0) y eje coincidiendo con el eje X es de la forma

El foco está en F(p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha y si p < 0 abre hacia la izquierda. El lado recto tiene longitud 4|p|

xp4y2 =

directriz

foco


Si el vértice de la parábola está en (0, 0) y el eje coincide con el eje Y, la ecuación de ella es de la forma

El foco está en F(0, p) y la ecuación de la directriz es y = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia arriba y si p < 0, abre hacia abajo. El lado recto tiene longitud 4|p|

yp4x2 =

= -p

, p)


Ejemplos: (1) La ecuación representa una parábola con vértice V(0, 0) que abre hacia la derecha. Su foco es , la ecuación de la directriz es y el lado recto tiene longitud .

x)(4 y x8y3 3222 =⇔=

)0 ,(F 32

32x −=

38

El gráfico de la parábola está realizado con calculadora:


(2) Encontremos la ecuación de la parábola que abre hacia la izquierda, con vértice V(0, 0) y cuya directriz es la recta x = 3. En este caso, |p| = d(V, d) = 3; como la parábola abre hacia la izquierda, p = -3. Luego la ecuación de la parábola es:

x12y x)3(4y 22 −=⇔−=

Confirma los puntos de interés de la parábola con Resolución G


Cuando el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje de simetría es paralelo al eje X, la ecuación de ella es de la forma:

, con |p| = d(V, F).)hx(p4)ky( 2 −=−

Si el vértice de la parábola es V(h, k) y su eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación de ella es de la forma:

, con |p| = d(V, F).)ky(p4)hx( 2 −=−

Ejercicio: Procediendo como en el caso V(0, 0), demuestre las afirmaciones anteriores.


Ejemplos:

(1) La ecuación representa una parábola.Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:

041x8y6y2 =++−

)4x)(2(43)-(y

941x89y6 y 041x8y6y3

22

+−=⇔

+−−=+−⇔=++−

En consecuencia, la parábola abre hacia la izquierda, p = -2 y tiene vértice V(-4, 3). El eje de simetría es y = 3, el foco está en F(-6, 3), la directriz tiene ecuación x = -2.


(2) ¿Cuál es la ecuación de la parábola cuyo foco es F(6, -2) y tiene a la recta x = 2 como directriz? Los puntos P(x, y) de la parábola satisfacen:

d(P, F) = d(P, d)

)4x)(2(42)(y

0368x-4y y

4x4x4y4y36x12 x

|2x| )2y(6)-(x

2

2

222

22

−=+⇔

=++⇔

+−=++++−⇔

−=++⇔


Ejercicio: Determine el vértice, foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto y grafique cada una de las siguientes parábolas.

Ejercicio: En cada caso, encuentre la ecuación de la parábola que satisface lo pedido.

12x8y4 y)d

0y128x )c

0yxy )b

4y8x )a

2

2

2

2

=++

=+

=++

=−

a) Vértice V(-2, 1) y directriz de ecuación x = 1.b) Foco F(2, 2) y directriz de ecuación x = -2.c) Vértice V(0, 2), eje de simetría el eje Y y pasa por P(4, 1).d) Directriz la recta y = 1, eje de simetría el eje Y, abre hacia

abajo y tiene lado recto de longitud 8.


Problema: Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta de ecuación x – 2y + 3 = 0. Calcule la longitud de la cuerda.

Ejercicio: Encuentre la ecuación de la tangente a la parábola y2 – 8x = 0 cuya pendiente es -1.

Problema: Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola x2 = 4py en el punto (a, b) es

bxp2

ay −=


Problema: El arco de una ventana de una iglesia tiene forma parabólica. La altura del arco por el punto medio es de 16 pies y el ancho en la base es de 7 pies. Se quiere deslizar a través de esta ventana una caja rectangular. Si la caja tiene una altura de 12 pies, ¿cuál es el máximo ancho que puede tener la caja?

Problema: La trayectoria de un proyectil disparado hacia arriba desde el suelo es una parábola que logra una altura máxima de 80 metros y su alcance horizontal es de 640 metros. Si una persona está en el suelo a 200 metros del punto donde fue lanzado el proyectil y en su dirección, ¿a qué altura de la persona pasa el proyectil?


La elipseEs el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano es constante.

Los puntos fijos F1 y F2 son los focos de la elipse y el punto medio del segmento es el centro C de la elipse. La recta que contiene a los focos F1 y F2 corta la elipse en dos puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento es el eje mayor y el segmentodeterminado por la perpendicular a

que pasa por C es el eje menor.

21FF

21VV21BB

21FF


Elipse


La elipse se puede definir también como el conjunto de puntos tales que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es igual al número e < 1 llamado excentricidad de la elipse. El punto fijo es un foco y la recta d1 o d2 son las directrices de la elipse. El concepto de excentricidad lo abordaremos más adelante.

Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más sencilla que represente a una elipse E. Para este objetivo escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.


Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la elipse es C(0, 0). Por comodidad llamaremos a la (constante) suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos como2a. Entonces tenemos que:

P(x, y) E d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ∈ ⇔

2222

2222

y)cx(-2ay)cx(

a2y)cx(y)cx(

++=+−⇔

=+−+++⇔

Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos

)c(aayax)c(a

cx)(a]y)cx[(a

cxay)cx(a

22222222

22222

222

−=+−⇔

+=++⇔

+=++⇔


Como necesariamente a > c, tenemos que a2 - c2 > 0; luego podemos dividir por a2(a2 – c2) la última igualdad para obtener:

1ca

yax

22

2

2

2=

−+

Llamemos b2 = a2 – c2; entonces b > 0, b2 < a2, b < a y la ecuación precedente se reescribe como:

b a con , 1by

ax

2

2

2

2>=+

Por lo tanto estamos en condiciones de enunciar lo siguiente:


(1) La ecuación de la elipse con centro en (0, 0) y eje mayor en el eje X es

(2) Si el eje mayor está sobre el eje Y, la ecuación de la elipse es

En el caso (1) los vértices son V1(-a, 0) y V2(a, 0) y el eje mayor tiene longitud 2a. El eje menor tiene extremos B1(0, -b) y B2(0, b), y por tanto longitud 2b. Los focos están sobre el eje mayor en F1(-c, 0) y F2(c, 0), donde .

b a con , 1by

ax

2

2

2

2>=+

b a con , 1ay

bx

2

2

2

2>=+

22 bac −=


En el caso (2) los vértices son V1(0, -a) y V2(0, -a), el eje mayor tiene longitud 2a y el eje menor tiene longitud 2b. Los focosestán sobre el eje mayor en F1(0, -c) y F2(0, c), donde c es siempre .22 ba −

La elipse será más ancha o se

aproximará a una circunferencia

dependiendo de cuan cerca esté c

de a. Esta desviación de la elipse se

mide por la razón llamada

excentricidad. Observe que 0< e < 1.ace =

e = 0,5

e = 0,85


.Tanto en el caso (1) como en el (2), la

cuerda perpendicular al eje mayor en los

focos tiene longitud , la excentricidad

es la razón , siempre menor que 1, y

las directrices son perpendiculares al eje

mayor a distancias o, lo que es lo

mismo, a distancias del centro.

ab2 2

ace =

ca 2

ea


x = d1 x = d2


Ejemplo

La ecuación representa una elipse con centro en

el origen (0, 0). En este caso a = 5 (denominador mayor) y la

elipse tiene eje mayor en el eje Y, es decir, es larga

verticalmente. Además b = 2 y por tanto .

125y

4x 22

=+

21425c =−=

La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 4. Los focos

son y los vértices .

La excentricidad es .

Como , las directrices tienen ecuación

)21 ,0(F ± 0) 2,B( 5), ,0(V ±±

916,0521e ≈=

455,521

25ca2

≈=21

25y ±=


El gráfico de la elipse está realizado concalculadora:

125y

4x 22

=+


Cuando el centro de la elipse está en el punto C(h, k), la ecuación de ella toma la forma

con a > b si el eje mayor es paralelo al eje X, y será

con a > b cuando el eje mayor sea paralelo al eje Y.

, 1b

)ky(a

h)-(x2

2

2

2=

−+

, 1a

)ky(b

h)-(x2

2

2

2=

−+

La longitud del eje mayor sigue siendo 2a y la del eje menor 2b. Los focos se encuentran a distancia c del centro, donde . 22 bac −=


Ejemplo

La ecuación representa una elipse con

centro en el punto (4, -2). En este caso a = 5 (denominador

mayor) y la elipse tiene eje mayor paralelo al eje X, es decir, es

larga horizontalmente. Además b = 3 y de ahí .

19

)2y(25

)4x( 22=

++

−

4925c =−=

La longitud del eje mayor es 10 y del eje menor es 6.

Los focos están a distancia 4 del centro; por lo tanto ellos son

F1(0, -2) y F2(8, -2). Los vértices son V1(-1, -2) y V2(9, -2) y

el eje menor tiene extremos B1(4, -5) y B2(4, 1).

La excentricidad es y las directrices están a

distancias del centro; luego sus ecuaciones son

8,054e ≈=

425

ca2

=

.4 9- x e

441x ==


El gráfico de la elipse está realizado con calculadora:

19

)2y(25

)4x( 22=

++

−


Ejemplo 031y18x10y9x5 22 =−+−+

15

)1y(91)-(x

9531)1y(91)-5(x 031)y2y(9)x2x(522

2222

=+

+⇔

++=++⇔=−++−

Por lo tanto la elipse tiene centro en C(1, -1) y continuamos su análisis como se hizo en el ejemplo anterior. Verificamos con la calculadora escogiendo Análisis y luego Resolución G.

La ecuación representa una elipse. Con el fin de describirla, modificamos esta ecuación así:


7b 7b b-163 22 =⇒=⇒=

Ejemplo Determinemos la ecuación de la elipse cuyo centro es C(3, 1), unfoco en F(0, 1) y un vértice en V(-1, 1).Como los focos están siempre en el eje mayor y dada la posición del vértice V (o del centro C), la elipse tiene eje mayor paralelo al eje X y de longitud 2a = 8 puesto que a = 4 es la distancia que separa C de V. Además la distancia entre F y C es c = 3; luego

Por lo tanto la ecuación de la elipse es:

17

)1y(16

)3x( 22=

−+

−

Ejercicio: Grafique la elipse encontrada antes.


Ejercicio: Determine el centro, vértices, focos, longitud de los ejes, excentricidad, ecuación de las directrices y grafique cadauna de las siguientes elipses.

Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la elipse que satisface lo siguiente,

01x4y244x12y )d 1)1y(43)(x )c

0y72y36x3216x b) 48yx12 )a

2222

2222

=+−++=+++

=++−=+

a) Centro C(0, 0), un foco en F(2, 0) y eje menor de longitud 6.b) Focos en y longitud del eje mayor igual a 4.c) Extremos del eje mayor en (4, 2), (4, 13) y un foco en (4, 4).d) Excentricidad y focos en

)3 ,0(F ±

).2 ,0(F91


Ejercicio: Demuestre que todas las elipses representadas por la ecuación

con k > 0, tienen los mismos focos, independientemente del valor de k.

Ejercicio: Un punto se mueve y es tal que la suma de sus distancias a los puntos A(4, 2) y B(-2, 2) es constante 8. Encuentre la ecuación y el tipo de cónica que esta situación determina.

Ejercicio: Determine el lugar geométrico de un punto en movimiento tal que su distancia al punto A(4, 0) es siempre lamitad de su distancia a la recta x – 16 = 0.

14k

yk

x 22=

++


Problema: Desarrolle una técnica para dibujar elipses sobre una tabla de madera, usando 2 tachuelas, una cuerda y un lápiz. ¿Qué longitud debe tener la cuerda?

Problema: Un carpintero desea cortar una pieza de madera rectangular en forma elíptica con el fin de confeccionar la cubierta de una mesa de comedor con esa forma. Si la pieza de madera rectangular mide 5 pies por 4 y quiere utilizar toda la longitud y el ancho disponible, cuál debería ser la longitud de la cuerda que utilice y donde debería situar las tachuelas para dibujar la elipse según la técnica desarrollada en el problema precedente?


Problema: La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol tiene forma elíptica. Si la longitud del eje mayor es de 186 millones de millas y la excentricidad es e = 0,017, estime la distancia más cercana de la Tierra al Sol.

Problema: El arco de un puente es semielíptico con eje mayor horizontal. Si la base del arco abarca los 20 metros de ancho que tiene la carretera y la parte más alta del puente está a 8 metros sobre la carretera, calcule la altura del arco a cuatro metros del centro de la carretera.


La hipérbolaEs el conjunto de todos los puntos P(x, y) del plano (lugar geométrico) tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante.

Los puntos fijos F1 y F2 son los focos de la hipérbola y el punto medio del segmento es el centro C de la hipérbola. El segmento corta la hipérbola en dos puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento se llama eje transverso.

21FF

21VV

21FF


Hipérbola


También se puede definir la hipérbola como el conjunto de puntos tales que la razón de sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es igual al número e > 1 llamado excentricidad de la hipérbola. El punto fijo es un foco y la recta d1 o d2 son las directrices de la elipse.

Pretendemos ahora encontrar la expresión algebraica más sencilla que represente a una hipérbola H, para ello escogeremos aquella cuyos focos están en el eje X.


Sean F1(-c, 0) y F2(c, 0) los focos; entonces el centro de la hipérbola es el punto medio de , es decir, C(0, 0). Llamemos a la diferencia (constante) de las distancias a los focos 2a. Sea P(x, y) un punto de la rama derecha de la hipérbola; entonces

P(x, y) H d(P, F1) - d(P, F2) = 2a ∈ ⇔

2222

2222

y)cx(2ay)cx(

a2y)cx(y)cx(

+−+=++⇔

=+−−++⇔

Elevando al cuadrado esta igualdad y simplificando obtenemos

)a(cayax)a(c

acxy)cx(a 22222222

222

−=−−⇔

−=+−⇔

21FF


Del triángulo que se aprecia en la figura concluimos que

d(P, F2) + d(F1, F2) > d(P, F1), es decir,

d(F1, F2) > d(P, F1) - d(P, F2) Luego 2c > 2a y de aquí, c > a, c2 > a2 y c2 – a2 > 0. Dividiendo por a2(c2 - a2) la última igualdad obtenemos:

1ac

yax

22

2

2

2=

−−

Llamemos b2 = c2 – a2; entonces la última ecuación queda:

, 1by

ax

2

2

2

2=−


(1) La ecuación de la hipérbola con centro en (0, 0) y eje transverso sobre el eje X es

(2) Si el eje transverso está sobre el eje Y, la ecuación de la hipérbola es

En el caso (1) los vértices son V1(-a, 0) y V2(a, 0) y el eje transverso tiene longitud 2a. Los focos están en F1(-c, 0) y F2(c, 0), donde .

, 1by

ax

2

2

2

2=−

, 1bx

ay

2

2

2

2=−

22 bac +=

Por lo tanto podemos enunciar lo siguiente:


El segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola, perpendicular al eje transverso y con extremos B1(0, -b) y B2(0, b) se llama eje conjugado. Los extremos del eje conjugado no están sobre la hipérbola pero son útiles cuando se quiere graficarla.

En el caso (2) los vértices son V1(0, -a) y V2(0, -a), el eje transverso está en el eje Y y tiene longitud 2a. Los focos son F1(0, -c) y F2(0, c), donde c es siempre .

La excentricidad de una hipérbola se define

como la razón , es decir, distancia

entre los focos es a distancia entre los vértices y

ella es siempre mayor que 1.

ac

a2c2e ==

22 bac +=


.

Tanto en el caso (1) eje transverso en el eje X, como en

el caso (2) en que el eje transverso está en el eje Y, la

cuerda perpendicular a la recta que contiene al eje

transverso y que pasa por los focos (ancho focal) tiene

longitud , la excentricidad es mayor que

1 y las directrices son perpendiculares al eje transverso

a distancias del centro.

ab2 2

ace =

ea

ca 2

=

¿Qué relación hay entre los valores cercanos a 1 o lejanos a 1 que alcance la excentricidad con la forma que adquieren sus ramas (gráfica)?

¿ ?


Las rectas son las asíntotas de la hipérbola centrada

en el origen con eje transverso en el eje X.

xaby ±=

Si el eje transverso está en

el eje Y, las asíntotas de la

hipérbola son .yabx ±=


Ejemplo

La ecuación representa

una hipérbola con centro en el origen (0, 0). En este caso el eje

transverso está en el eje Y, tiene longitud 2a = 6 (a = 3) y los

vértices de la hipérbola son . Como b = 5, el eje

conjugado tiene extremos . Los focos están en eje Y a

distancias del centro; ellos son

.

125x

9y 225x9y25

2222 =−⇔=−

34259c =+=

La excentricidad es .

Las directrices tienen ecuación o bien

)3 ,0(V ±

0) ,5B(±

943,1334e ≈=

y35x ±=

)34 ,0(F ±

x53y ±=


El gráfico de la hipérbola está realizado con calculadora:

125x

9y 22

=−


Cuando el centro de la hipérbola está en el punto C(h, k), la ecuación de ella toma la forma

si el eje transverso es paralelo al eje X, y será

cuando el eje transverso sea paralelo al eje Y.

, 1b

)ky(a

h)-(x2

2

2

2=

−−

, 1b

)hx(a

k)-(y2

2

2

2=

−−

La longitud del eje transverso será 2a y la del eje conjugado 2b. Los focos se encuentran a distancia c del centro, donde . 22 bac +=


Ejemplo La ecuación , que podemos darle

la forma, representa una hipérbola con

centro en el punto (-3, 1) y eje transverso paralelo al eje X de

longitud 2a = 6; luego los vértices de la hipérbola son V1(-6, 1) y

V2(0, 1). .

116

)1y(9

)3x( 22=

−−

+

El eje conjugado tiene longitud 2b = 8 y extremos B1(-3, -3) y

B2(-3, 5). Los focos están a distancia del centro;

por lo tanto ellos son F1(-8, 1) y F2(2, 1). La excentricidad es

y las directrices están a distancias del

centro; luego sus ecuaciones son y

666,135e ≈=

59

ca2

=

5 6- x =

09y18x96y9x16 22 =−++−

5 24- x =

5169c =+=

Las asíntotas son las rectas ).3x(341-y +±=


El gráfico de la hipérbola está realizado con calculadora:

116

)1y(9

)3x( 22=

−−

+


Ejercicio: Determine el centro, los vértices, los focos, la excentricidad, y las asíntotas de cada una de las siguientes hipérbolas. Además grafíquelas.

Ejercicio: Encuentre, en cada caso, la ecuación de la hipérbola que satisface lo siguiente,

124

)3y(12

1)(x )d 1x25

)2(y )c

016y20x12y56x b) 8x16 y)a22

22

2222

=+

−+

=−+

=−−+−=−

a) Centro C(0, 0), un foco en F(5, 0) y un vértice en V(3, 0).b) Focos en (2, -4) y (2, 2) y un vértice en (2, -3)c) Vértices en y asíntotas d) Centro C(-2, 3), eje transverso vertical de longitud 6 y foco

en F(-2, 7).

)0 ,4(V ± .xy ±=


Ejercicio: Se dice que dos hipérbolas son conjugadas si el eje transverso de cada hipérbola es el eje conjugado de la otra. Encuentre la ecuación de la hipérbola que es conjugada de 9x2 – 4 y2 = 324 . Grafique ambas hipérbolas.

Ejercicio: Se dice que una hipérbola es rectangular si sus asíntotas son perpendiculares. Demuestre que la hipérbola de ecuación x2 – y2 +5x – 3y – 1 = 0 es rectangular.


Problema: Algunos cometas, como el Halley, son parte permanente del sistema solar y describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Otros atraviesan el sistema solar sólo una vez y describen una trayectoria hiperbólica, con el Sol en uno de sus focos. Si la trayectoria de uno de esos cometas es la rama de la hipérbola que se muestra en la gráfica, deduzca la ecuación de ella suponiendo que lo máximo que se acerca el cometa al Sol es de 2 x 109 mi y que la trayectoria que traía antes de acercarse al sistema solar forma ángulo recto con la trayectoria con que continúa después de dejar ese sistema.


Problema: El sonido de una explosión se oye a diferentes horas en dos puntos A y B. De esto se deduce que la explosión ocurrió 1.000 metros más cerca de A que de B. Si A y B están a 2.600 metros de distancia el uno del otro, muestre que la ubicación de la explosión está en una rama particular de una hipérbola y encuentre la ecuación de ella.

P(x, y)

(1300, 0) (-1300, 0)


La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si se une cualquier punto P de la hipérbola con sus focos el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. Esta propiedad es usada en la construcción de espejos de luz y sonido.

La emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta que une el otro foco con el punto.


Tangente en P

La elipse también tiene la propiedad: Si se une cualquier punto P de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales. Este hecho también se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.


LENGUAJES SIMBÓLICOS YNÚMEROS NATURALES


La lógica es la rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas con el fin de determinar si un argumento dado es válido.

En este curso, nos ocuparemos de la lógica usada en matemática que, además de servirnos de base al razonamiento matemático, contribuirá a mejorar nuestra expresión escrita y oral. Los elementos básicos con que trabaja la lógica son las proposiciones.

Una proposición es una oración gramatical (enunciado), con sentido en un lenguaje, de la cual se puede afirmar que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Lógica de proposiciones


Por ejemplo, son proposiciones,• Mario Toral es un diputado chileno.• El IPC del mes recién pasado fue de 0,8.• 13 es un número primo.

No son proposiciones:• Me das un dulce.• La dinámica rotacional de un cuerpo rígido. • 5x + 3

Se acostumbra denotar a las proposiciones con las letras p, q, r. Si p es una proposición verdadera, se dice que p tiene el valor de verdad V. Cuando p es falsa, su valor de verdad es F.


Observe que la frase correspondiente a la negación de una proposición p, también es una proposición, que será denotada Np, y ella será verdadera cuando p sea falsa.

En el lenguaje común y, en particular, en el lenguaje matemático es habitual encontrar expresiones como las siguientes:• Los ingenieros estudian matemática y física.• Galileo Galilei hizo contribuciones a la Física y a la Astronomía.• Si el objeto es más pesado, entonces caerá más aprisa• Si x es un número negativo, entonces log(x) no existe.

Estos enunciados están conformados por dos proposiciones unidas por “y” , “o”, o condicionadas “si ……, entonces ……”


Los conectivos son símbolos que conectan dos proposiciones dando origen a las llamadas proposiciones compuestas. Los conectivos más usados se simbolizan:

y los describimos en la siguiente tabla: ⇔⇒∨∧

Conectivos y su álgebra

p equivalente a q p si y sólo si q

Equivalencia

p implica q Si p entonces q

Implicaciónp o qDisyunciónp y qConjunciónSe leeNotaciónSímboloNombre

∧

∨

⇒

⇔

qp∧

qp∨

qp ⇒

qp ⇔


La conjunción es verdadera sólo cuando ambas proposiciones p y q lo son. En cambio, basta que una de las proposiciones p o q sea verdadera para que la disyunción

también lo sea.

qp∧

qp∨

En la proposición , p se llama antecedente y q se llama consecuente. La proposición es falsa sólo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.

La equivalencia es verdadera cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.

qp ⇒

qp ⇔

qp ⇒


Ejercicio: Considere las proposicionesp: 245 es un múltiplo de 7q: 2 + 3 = 6 5 + 9 es un número par

¿Cuál es el valor de verdad de ? ⇒

q ] )pq(Np [ ∧∨⇒

Ejercicio: Si p es una proposición verdadera, q es falsa y r es falsa, determine el valor de verdad de la proposición compuesta

Ejercicio: Muestre que las proposiciones y tienen los mismos valores de verdad. Concluya que la proposición es siempre verdadera.

)]Nrp(q[)]rNq(p[ ∨⇔⇒∧⇒

qp ⇒qNp∨

)qNp()qp( ∨⇔⇒


Una proposición que es siempre verdadera, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la forman se llamatautología. Por ejemplo, es una tautología. )qNp()qp( ∨⇔⇒

En cambio, una proposición que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen se llama contradicción o absurdo. Por ejemplo, es un absurdo. Npp∧

De la gran cantidad de tautologías que existen, algunas de ellas se distinguen por la incidencia que tienen en temas posteriores; entre ellas están las leyes del álgebra proposicional.

Dos proposiciones compuestas P, Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, en cuyo caso se anota QP⇔ .QP ≡


vas)distributi (Leyes r)](pq)p[(r)]q([p , r)]p(q)p[(r)]q([p 8.

s)asociativa (Leyes r)](qp[r]q)[(p , r)](qp[r]q)[(p 7.

as)conmutativ (Leyes p)q(q)(p , p)q()q(p 6.es)idempotent (Leyes pp)(p , pp)(p .5

)Nqp()qp(N .4)]pq()qp[()qp( .3

)qNp()qp( .2negación) (Doble ,p)Np(N .1

∨∧∨≡∧∨∧∨∧≡∨∧

∨∨≡∨∨∧∧≡∧∧

∨≡∨∧≡∧⇔∨⇔∧

∧≡⇒⇒∧⇒≡⇔

∨≡⇒⇔

Se recomienda que las siguientes tautologías sean analizadas hasta lograr reconocerlas positivamente como elementos propios del razonamiento y lenguaje cotidianos.


r)](qr)p[(r)]q)[(p 16. , r)]p(q)p[(r)]q([p 15.

idad)(Transitiv r)p(r)]q(q)[(p , r)]p(r)]q(q)[(p 14.

absorción) de (Leyes pq)](p[p , p)]q(p[p 13.ción)simplifica y (Adición p)q(p , q)p(p .12

)NqNp()qp( .11tivo)contraposi del(Ley )NpNq()qp( .10

Morgan) De de (Leyes )NqNp()qp(N )NqNp()qp(N .9

⇒∧⇒≡⇒∨⇒∧⇒≡∧⇒

⇔≡⇔∧⇔⇒≡⇒∧⇒

≡∧∨≡∨∧⇒∧∨⇒

⇔≡⇔⇒≡⇒∧≡∨∨≡∧


Si denotamos por T a una tautología y por C a una contradicción, entonces

absurdo) al (Reducción C]q)Np[()q(p 21.(Absurdo) pN)C(p .20

T)Npp( .19C)Npp( .18

identidad) de (Leyes pC)(p , C)Cp( TT)(p , p)Tp( .17

⇒∧≡⇒⇒⇒≡∨≡∧

≡∨≡∧≡∨≡∧

Ejercicio: Exprese en términos de y/o negación.⇒

qp y qp ,qp ⇔∨∧


Ejercicio: Se define el conectivo & mediante la siguiente tabla,

Ejercicio: Demuestre usando las leyes del “álgebra proposicional” que,

VFFFVFFFVFVV

p&qqp a) Demuestre que (p&p) Np. b) Demuestre que

c) Exprese sólo en términos de & y negación.

⇔

)q&p(&)q&p()qp( ⇔∨)rq(p ∨⇒

]Nq)Nrp[()]rq([p .4)qp()]NqNp()qp(N[ .3)]rp()qp[()]rq([p .2

r)(qr)[(p ]r)qp([ .1

⇒∧⇔⇒⇒∨⇔∧⇒∨⇒∨⇒⇔∨⇒⇒∨⇒⇔⇒∧


Lógica de cuantificadoresUn término es una expresión con la que se nombra o designa

un objeto, por ejemplo, 1, A U B, 5x - 9xy. Cuando las letras se utilizan como términos pero sin que representen objetos particulares, se denominan variables.

Si x es una variable y p es una proposición que depende de la variable x, se escribe

cuando exactamente todos los elementos x del conjunto A satisfacen la proposición p. El símbolo se llama cuantificador universal y se lee, indistintamente, todo o para todo, cada o para cada, cualquier o para cualquier.

)x(p,Ax∈∀

∀


Si solamente algunos elementos x del conjunto A satisfacen laproposición p se escribe . El símbolo se llama cuantificador existencial y se lee existe, hay, algún (a).

)x(p,Ax∈∃ ∃

Ejemplos:1. La proposición “Algunas ingenieros crean sus propias

empresas” tiene una expresión simbólica 2. La proposición es verdadera.3. La proposición es falsa.

)x(p,Ax∈∃52 =ℜ∈∃ x,x52 =∈∃ x,INx

Ejemplos:1. La proposición “Todos los científicos estiman la edad del

Universo en años” admite la simbología2. La proposición es verdadera.3. La proposición es falsa.

).x(p,Ax∈∀02 ≥ℜ∈∀ x,xx2x,INx >−∈∀

910x4


¿Cómo negar unaproposición que

tiene cuantificador?

NegaciónProposición

)x(p,Ax∈∀

La respuesta la entregan la “Leyes de De Morgan”que enunciamos a continuación.

)x(p,Ax∈∃

)x(Np,Ax∈∃

)x(Np,Ax∈∀

Ejercicio: Extraiga de titulares de los periódicos de la semana dos proposiciones que contengan cuantificador.


Ejercicio: Escriba la frase que corresponde a la negación de las siguientes proposiciones:

1. Todos los chilenos están alfabetizados.2. Algunas universidades están en proceso de acreditación.3. Ningún Ministro de Estado es ingeniero.4. Existen números complejos que tienen parte real cero.5. Todas las ecuaciones de segundo grado tienen

soluciones reales.

Ejercicio: La proposición “Algunas empresas se dedican a las importaciones” tiene una expresión simbólica , donde A es el conjunto de empresas y p es la “función proposicional” o “proposición abierta”, p = dedicarse a las importaciones. Su negación, en símbolos, es que se lee “Todas las empresas no se dedican a las exportaciones”

)x(p,Ax∈∃

),x(Np,Ax∈∀


Consideraciones finales – Reglas de deducciónLas proposiciones relativas a los objetos o términos de una

teoría matemática deben encadenarse de acuerdo a reglas que constituyen un proceso de deducción. Es común que las proposiciones verdaderas de una teoría reciban el nombre de teorema.

Si t es una teorema, se entiende por demostración de t a una sucesión a, b, c, …., t de proposiciones donde cada una de ellas es un axioma o un teorema ya demostrado o se obtiene de una proposición que la precede en la sucesión usando alguna regla de deducción.

Mencionamos a continuación algunas Reglas de deducción:

1. Modus ponens: q)]qp(p[ ⇒⇒∧

2. Reducción al absurdo: , donde C es una contradicción.

]C)Nqp[()qp( ⇒∧⇔⇒


)rp()]rq()qp[( ⇒⇒⇒∧⇒3. Transitividad de la implicación:

4. Contrarecíproco o contrapositivo: )NpNq()qp( ⇒⇔⇒

5. Hipótesis auxiliar:

6. Descomposición en casos:

)]pq()qp[()qp( ⇒∧⇒⇔⇔

)]rq()rp[()]r)qp[( ⇒∧⇒⇔⇒∨

Los contraejemplos: Cuando se quiere establecer que la proposición es falsa, basta encontrar un x en A que cumpla Np; este elemento x constituye el contraejemplo.

)x(p,Ax∈∀

Ejercicio: Demuestre, a través de un contraejemplo, que la siguiente afirmación es falsa: “Todos los cuerpos en movimiento están en equilibrio”.


Ejemplos:1. Las vocales2. Los números reales positivos3. Las chilenos menores de 18 años

Conjunto es un concepto primitivo, no se define, pero admitiremos que colección es un sinónimo de conjunto.

¿Qué es un conjunto?

Ejercicio: Muestre tres ejemplos de conjuntos.

Elementos de la Teoría de conjuntos


¿Cómo anotamos los conjuntos?

{ }{ }vocal es x/x B

u,o,i e, a, B==

Las componentes individuales de un conjunto constituyen los elementos del conjunto.

{ } 2 1, c, b, a, A =Nombre del conjunto

Elementos del conjunto

Conjunto definido por extensión

Conjunto definido por comprensión


Es habitual llamar a los conjuntos con las letras mayúsculas A, B, C, ……. Y a sus elementos con letras minúsculas. Si x es un elemento del conjunto A se escribe y si x no pertenece al conjunto A se anota

Ax∈Ax∉

Ejercicio: Muestre un ejemplo de un conjuntoa) Que se escriba por extensión pero que sea imposible

expresarlo por comprensión.b) Que se exprese por comprensión y no se pueda expresar

por extensión.

V o FEjercicio: Si A = { a, b, {c} }, indique si es verdadero o falso que:

A{a} A,{c} A,c ,Ab ∈∈∉∈


Existen conjuntos que no tienen elementos, por ejemplo,

Tales conjuntos se dicen vacíos y se denotan

}0x/x{A 2 <ℜ∈=

}{bien o∅

El conjunto vacío

El conjunto universalEl conjunto universal es aquel que contiene a todos los conjuntos que se consideran en un análisis dado; lo denotaremos U.

Por ejemplo, el conjunto de los números reales se puede considerar como conjunto universal para aquellos problemas relacionados con conjuntos de números.

ℜ


Igualdad e inclusión de conjuntosDos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. En símbolos esto se expresa así:

)BxAx)(x(BA ∈⇔∈∀⇔=

Por ejemplo, los conjuntosson iguales.

} 1 ,1 ,0{By} 0xx / x{A 3 −==−ℜ∈=

Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:

A = A

A = B B = A

(A = B B = C) A = C

⇒

⇒∧


Se dice que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B (o que A esta contenido en B o que B contiene a A) si y sólo si todos los elementos de A pertenecen a B. En símbolos esto se expresa así:

C A )CB BAB A )AB BA

⊆⇒⊆∧⊆=⇒⊆∧⊆

Por ejemplo, el conjunto A = { x IN / x < 9 } está contenido en el conjunto B = { / x es dígito }.

∈

Si A, B y C son conjuntos de un universo U, entonces:

A A

(

(

(

)BxAx)(x(BA ∈⇒∈∀⇔⊆

conjunto A , )A ∀⊆∅

INx∈

⊆


¿Cuándo usamos la notación

?BA ⊂

B Apero B Aque significa BA ≠⊆⊂

Ejercicio: Si A = { 2, 3, 6, 8, 9 }, B = { x / x es entero positivo} y C = { x / x divisible por tres y 0 < x < 12 } , indique si es verdadero o falso que:

C AB,B A,C C, A,BA ⊂⊂⊆=⊂

Y se dice que A es un subconjunto propio de B.

Ejercicio: Escriba todos los subconjuntos de A = { a, b, c }


Diagramas de Venn-EulerMuchos de los conceptos relacionados con los conjuntos se pueden representar mediante ciertos diagramas. En ellos se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal y dentro de él, los conjuntos como figuras planas (círculos, elipses, rectángulos). Estos diagramas se denominan Diagramas de Venn- Euler.

U

BA A BA B

UBA ≠ BA ⊆


Ejercicio: Construya conjuntos A, B, C, D que verifiquen el siguiente diagrama:

U

AB

C D

Si el número de elementos de un conjunto se puede determinar, el conjunto se dice finito.

Si un conjunto finito A posee n elementos, se dice que A tiene cardinalidad n y, en este caso, se anota card (A) = n o bien #(A) = n.


La unión de A y B es el conjunto

La intersección de A y B es el conjunto

Uniones e intersecciones

} B xA / xUx{BA ∈∨∈∈=∪

} B xA / xUx{BA ∈∧∈∈=∩

B) x Ax(BAxB) x Ax(BAx

∈∧∈⇔∩∈∈∨∈⇔∪∈Por lo tanto,

Ejemplo: Consideremos los conjuntos A y B siguientesA = { x IN / x es par y x <10 }, B = { x }Entonces A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8 } y A B = { 6 } ∩

Con los conjuntos A y B de un universo U se pueden realizarciertas operaciones dando origen a nuevos conjuntos, a saber,

0x6x7x / 23 =+−ℜ∈∈


Ejercicio: Forme la unión y la intersección de los conjuntos A y B siguientes:

}08x6x / x{By}04x / x{A 22 =+−ℜ∈==−ℜ∈=

La unión de dos conjuntos se representa en

diagramas de Venn así:

U

A B AA B

B

U U

BA∪ BA∪ BA∪


Representaremos ahora la intersección

de dos conjuntos

U

A BA

A BB

U U

BA∩ BA∩ BA∩

Aquí y los conjuntos se dicen disjuntos

∅=∩BA


Entregamos una lista de teoremas, relativos a la unión e intersección de conjuntos, que es conveniente analizarlos hasta lograr comprenderlos.

1. A ∪ A = A; A ∩ A = A 2. A Φ∪ = A; A Φ=Φ∩ 3. A UU =∪ ; A U∩ = A 4. A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A 5. (A∪B)∪C = A∪(B∪C); (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 6. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C); A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)7. A ∩ B ⊆ A ∪ B 8. A ⊆ A ∪ B; A ∩ B ⊆ A


Además:

)ABABBA(BA =∩∧=∪⇒⊆

Y si A y B son finitos, entonces

card(B)card(A) y finitoA finito) B BA( ≤⇒∧⊆

)BA(card)B(card)A(card)BA(card ∩−+=∪

Problema: Una librería puso en liquidación los best seller y la literatura infantil. Al término del día se encontró que 48 personas habían comprado best seller, 27 literatura infantil y 6 ambos productos. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?

Con las uniones e intersecciones podemos resolver los siguientes problemas


Problema: Se encuestó a 250 personas sobre lo que consumían al desayuno y el resultado fue el siguiente: 30 personas toman té con leche, 40 toman café con leche, 80 toman leche, 130 toman té o leche y 150 toman café o leche.

a) ¿Cuántas personas toman té puro?

b) ¿Cuántas toman leche pura?

c) De las encuestadas, ¿cuántas personas no consumían ni té ni leche ni café al desayuno?


Complemento y diferencia

Si A es un conjunto contenido en un universo U, el complemento de A en U es el conjunto:

}A / xU x{Ac ∉∈=

A’

A

El complemento de A se denota también A’ y se puede establecer que:

ccc

ccc

cc

cc

cc

BAB)(A

BA)BA(

)A(A ,U)AA(

A)A(

U ,U

∪=∩

∩=∪

∅=∩=∪

=

∅==∅


Si A y B son conjuntos de un universo U, la diferencia A menos B es el conjunto:

} B xA / xU x{BA ∉∧∈∈=−

AA A

BBB

UUU

A - BA - BA - B

AB- A BAB- A BA

AB- AA,-B B- A,BABA c

=⇒∅=∩∅=⇒⊆

⊆≠∩=−Observe que,


¿Qué conjuntorepresenta la región

coloreada?

U

A B

BA ∆

BA ∆ corresponde a)AB()BA()BA()BA(

−∪−∩−∪

o lo que es lo mismo, BA ∆ se llama diferencia simétrica de A y B.


V o FEjercicio: Indique si es verdadero o falso que:

Ejercicio: En el universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} considere los conjuntos A = {2, 3, 4, 8, 9, 10}, B = {1, 4, 7, 8} y C = {3, 4, 5, 7, 10, 12}. Determine las operaciones que hay que realizar con los conjuntos A, B y C para obtener

a) {5, 6, 11, 12} b) {3, 4, 7, 10}

C)(A-B)(AC)-(BAC)-(AB)-A()CB(A

B- AB)-(A-AU- AA,- A,AA

∩∩=∩∪=∩−

=∅==∅∅=−


Problema: En una encuesta realizada a 180 estudiantes universitarios se encontró que 52 practican fútbol y 42 básquetbol. Además, 18 practican fútbol y básquetbol, 21 fútbol y natación, 86 fútbol o natación y finalmente, 16 básquetbol y natación. Si 82 estudiantes no practicaban ninguno de los tres deportes mencionados, determine,

a) ¿Cuántos estudiantes practican sólo fútbol?

b) ¿Cuántos practican básquetbol pero no natación?

c) ¿Cuántos encuestados practican los tres deportes mencionados?


Problema: La automotriz RUN S.A. vendió 40 automóviles la semana pasada. Todos los que contaban con CD también tenían cierre centralizado (CC) de puertas. 16 que tenían aire acondicionado (AA) no tenían CD, 11 con CC no contaban ni con CD ni AA, 22 no tenían AA, 8 contaban con AA y con CC. Finalmente 16 automóviles que tenían CC eran sin AA. Determine cuántos automóviles se vendieron,

a) con alguno de estos equipamientos (CD, CC, AA).

b) con CD y AA.

c) con AA pero sin CC.


Problema: Suponga que hay cuatro grupos de personas que llamaremos G1, G2, G3 y G4, cada uno con 1000 integrantes. Dos grupos cualesquiera de ellos tienen 100 personas en común, tres grupos cualesquiera de ellos tienen 10 personas en común. Si hay una persona que pertenece a los cuatro grupos, determine cuántas personas,

a) hay en total.

b) pertenecen a un único grupo, por ejemplo el grupo G1.

c) pertenecen a G1 o G2, ambos inclusive.


Por ejemplo, Lunes, Martes, Miércoles, ………., Domingo3, 5, 7, 9, ……………….

son ejemplos de sucesiones.

La mayoría de las personas hemos escuchado frases como “una sucesión de acontecimientos”, “una sucesión de pedidos”, “una sucesión de valores” . Intuituvamente usamos el término sucesión para describir una lista de eventos, objetos o números que vienen ordenadamente uno después de otro.

¿Qué es unasucesión?

Sumatorias: Introducción - Sucesiones


Cada objeto de la lista se llama término de la sucesión.

El primer ejemplo trata de una sucesión finita. En el segundo caso, no se indica el último término y decimos que estamos frente a una sucesión infinita.

En esta unidad nos interesa estudiar las sucesiones infinitas denúmeros las que llamaremos simplemente sucesiones.

Una sucesión en es un conjunto ordenado de números reales:

formados de acuerdo con una determinada ley.

. . . . . . . ,a ,a ,a 321

Primer términoSegundo término

Tercer término

ℜ


Ejercicio: Escriba los diez primeros términos de la sucesión cuyo término general es:

1kk

ii

10n41

n

k

2n

na)e1

)1(a)d

a c)2n

na b)

na )a

−

+

=

−=

=+

=

=

Por ejemplo, es el término general de la sucesión: 3, 5, 7, 9, …….

El décimo término de esta sucesión es

1n2an +=

21a10 =


Explicit

anE= 2n

Resolvamos con calculadora


En algunos casos una sucesión admite más de una expresión para su término general. Por ejemplo,

-1, 1, -1, 1, -1, . . . . .

se describe mediante nn )1(a −=

−

=impar es n si1

par es n si1any también

incluso

∈−=−=

+ INna)1(a1a

n1n

1

Esta última forma de expresar la sucesión se llama fórmula de recurrencia puesto que para describir un término se recurre al anterior.


V o F

Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que

a) El 9° término de la sucesión es 16

b) El 12° término de la sucesión es

c) Los números 25 y 120 corresponden al tercer y cuarto término de la sucesión definida por recurrencia así

2n2an +−=

k)1(

kk

a −= 121

+==

+ n1n

1a)2n(a

2a

Ejercicio: Determine el término general de la sucesióna) 0, 3, 8, 15, 24, . . . . b) 28, 32, 36, 40, 44, . . . .c) 1 - 1/2, 1 - 1/3, 1 - 1/4, 1 – 1/5 , . . . .


Ejercicio: Con la ayuda de su calculadora complete la siguiente tabla:

10000500010005001005010n

( )nn1

n 1a +=

Cuanto mayor sea el valor asignado a n, tanto más cerca se está del número irracional e ( e es aprox. 2, 7182 ) base de los logaritmos naturales.


SumatoriasConsideremos la sucesión de números reales

La suma de los n primeros términos de esta sucesión se denota por

y se lee “sumatoria de los , con i variando desde 1 hasta n”.

INnn )a( ∈

ia

∑=

n

1iia

Por ejemplo,

301.........

51

41

31

211 ++−+−+−

∑=

+++++=21

1i

84.......161284i4

La suma se escribe ∑=

−30

1k

k

k)1(


Observaciones:1. En la letra i es “muda”, esto significa que

2. Si k < n,

3. Si C es una constante real,

∑=

n

1iia

∑∑∑===

==n

1jj

n

1kk

n

1ii aaa

∑∑∑+===

+=n

1kii

k

1ii

n

1ii aaa

∑=

=n

1inCC

Ejercicio: Determine si es verdadero o falso que:

∑∑==

+=+100

1i

100

1i

i3)i3( ∑∑==

=71

1k

370

0k

3 kk


Propiedades de la sumatoria:

1. es aditiva:

2. es homogénea:

3. Propiedad telescópica:

∑

∑

∑∑∑===

+=+n

1ii

n

1ii

n

1iii ba)ba(

constante C , aCaCn

1ii

n

1ii ∑∑

===

∑=

− −=−n

1ion1ii aa)aa(

Ejercicio: Si ∑ ∑= =

=−===36

1i3837

36

1ii

2i 5a y 3a ,92a , 589a

determine el valor de ∑=

+38

1i

2i )1a2(


Algunas sumatorias importantes

1 + 2 + 3 + ……………. + 98 + 99 + 100 = 50 (101)

101

101

101

Fórmula de Gauss: INn , 2

)1n(nin

1i∈∀

+=∑

=

Ejercicio: Encuentre una expresión para la suma de los n primeros números impares. Además calcule el valor de 43 + 45 + 47 + 49 + . . . . . . . + 373


Otras sumatorias: Para cualquier número natural n,

1.

2.

3.

6)1n2)(1n(ni

n

1i

2 ++=∑

=

222n

1i

32

1)n(n4

)1n(ni

+

=+

=∑=

)12(22 nn

1i

i −=∑=

Ejercicio: Encuentre una expresión para la suma de los n primeros términos de la sucesión:

2(10), 4(11), 6(12), 8(13), . . . . . . . . Con su calculadora, determine los valores de los términos 800° y 804°


Ejercicio: Calcule el valor de n de modo que se cumpla que:

∑=

n

1kkx

n1

2055)3i(n

1i

2 =−∑=

El promedio de los datos es x, . . . . . . , x, x,x n321

Ejercicio: Calcule el promedio de los valores en los casos siguientes: 160 n ,1k2x .1 k =−=

70 n , x .2 3k

k ==


Sumatorias dobles

∑ ∑= =

n

1i

m

1jjia

∑ ∑= =

n

1i

m

1jjia ∑ ∑

= =

m

1j

n

1ijia

Si n = m, ∑ ∑= =

n

1i

m

1jjia se puede escribir ∑

=

n

1j,ijia

Ejercicio: Muestre que ∑ ∑= =

=−15

1i

30

1j325.17)ij3(

La sumatoria doble corresponde a

o, lo que es lo mismo,


El Principio de Inducción Matemática

El Principio (o axioma) de Inducción Matemática se puede enunciar de varias formas; escogemos una muy simple:

Sea P una proposición (enunciado), que depende de la variable n, con n número natural.

Si i) 1 satisface la proposición P y

ii) k satisface P (k + 1) satisface P,

entonces todos los números naturales satisfacen P.,INk∈ ⇒

La suposición que k satisface P, hecha en ii), se acostumbra llamar “Hipótesis de inducción”.


El Principio de Inducción Matemática se usa para demostrar proposiciones que dependen de una variable n, donde n es una número natural.

Si se quiere establecer que cierto enunciado es verdadero para todos los números naturales, se procede a verificarlo para el número 1 y luego, supuesta su validez para un número natural arbitrario k, se demuestra el enunciado para el número k+1.

En una demostración por inducción, la hipótesis de inducción juega un papel fundamental.

Mostraremos algunos ejemplos:

¿Cómo realizar una demostración

por inducción?


Ejemplo 1: Demostremos que . 2

)1n(ni ,INnn

1i

+=∈∀ ∑

=

El número 1 verifica lo planteado puesto que . 2

)11(11i 1

1i

+==∑

=

Supongamos que para el número natural k se tiene la igualdad

2)1k(ki

k

1i

+=∑

=

Se tiene, 2

2k3k1k2

)1k(ki ii 21k

1ki

k

1i

1k

1i

++=++

+=+= ∑∑∑

+

+==

+

=

En virtud del Principio de Inducción Matemática, la igualdad enunciada es válida para todos los números naturales.

2)2k)(1k(i

1k

1i

++=∑

+

=y k+1 también satisface lo planteado.

; es decir,

y demostremos que .2

)2k)(1k(i 1k

1i

++=∑

+

=


Ejemplo 2: Demostremos quees múltiplo de 3 (o es divisible por 3).

n2n ,INn 3 +∈∀

Para n = 1, n3+ 2n = 3, que es un múltiplo de 3; luego 1 verifica el planteamiento.

Supongamos que para el número natural j, j3+2j es un múltiplo de 3 (Hipótesis de inducción), y demostremos que (j+1)3+2(j+1) también es un múltiplo de 3.

En efecto,

Por lo tanto, el enunciado es válido para todos los números naturales.

Es decir, (j+1)3 + 2(j+1) es un múltiplo de 3.

IN.q ,q3)1jj3(p)1jj3(3p

)1jj(3)j2j(2j21j3j3j)1j(2)1j(22

23233

∈=+++=+++=

++++=+++++=+++


Ejemplo 3: El planteamiento no lo verifican todos los números naturales; sin embargo, podemos demostrar que

22 n21)n( ≤+

3.n ,n21)n( 22 ≥∀≤+

Procedemos a usar la Inducción Matemática de la siguiente manera: Para n = 3, (n+1)2 = 16, que es menor que 2n2 = 18; luego el número 3 verifica el planteamiento.

Supongamos que para el número natural k,

(Hipótesis de inducción), y demostremos que

22 k21)k( ≤+

.)1k(2)2k( 22 +≤+

2

2

22

222

1)2(k

2k42k

3k2k23k21)(k

3k2)1k2k(4k4k)2k(

+=

++≤

++≤+++=

++++=++=+

¡demuestre que ! 2k43k2 +≤+


Ejercicio: Demuestre, usando el Principio de Inducción Matemática, que:

INn ,2a que demuestre ,a2a ,2a Si 6)

INn ,nx1x)(1 1,- que mayor es x Si 5)

INn ,y xde factor un es y)-(x 4)

INn 8, por divisible es 13 )3

INn par, número es 2)1)(nn(n )2

INn , 2)1n(22k 1)

nn1n1

n

nn

2n

1nn

1k

k

∈∀≤==

∈∀+≥+

∈∀−

∈∀−

∈∀++

∈∀−+=

+

+

=∑


En una demostración por inducción es importante el primer paso i) y él no se puede omitir. Por ejemplo, considere el enunciado

7n)1i2( 2n

1i+=−∑

=

Si suponemos que para n = k se tiene esta igualdad, es posible demostrar que también ella es válida para n = k+1; efectivamente,

7)1k(1)1k(27k)1i2( )1i2()1i2( 221k

1ki

k

1i

1k

1i++=−+++=−+−=− ∑∑∑

+

+==

+

=

Sin embargo, el enunciado es absolutamente falso, más aún,

INn ,n)1i2( 2n

1i∈∀=−∑

=


Tampoco es posible sacar conclusiones apresuradas derivadas solamente de verificar cierto hecho para los primeros números naturales. Por ejemplo, considere el enunciado

n2 + n + 41 es número primo, INn∈∀

Use su calculadora para listar los valores de esta expresión para n variando desde 1 hasta 50. Observará que los primeros 39 valores son números primos, lo que podría conducirlo a afirmar algo que es falso puesto que para n = 40, n2 + n + 41 = 1681 = 41 x 41.


ProgresionesSe dice que la sucesión de números reales está o forma una progresión aritmética (P. A.) si existe tal que para todo n > 1.

. . . . . . . ,a ,a ,a 321ℜ∈d

El número real d se llama diferencia de la progresión aritmética puesto que Observe que en la P. A. .aad 1nn −−=

d3adaad2adaa

daa

134

123

12

+=+=+=+=

+=

Lo cual sugiere la siguiente expresión para el término general de la P. A.:

d)1n(aa 1n −+=

, daa 1nn += −


Ejemplo: Los 6 primeros términos de la P. A. cuyo primertérmino es -5 y diferencia d = 4 son -5, -1, 3, 7, 11, 15.El término general de esta P. A. es

Con la expresión del término general podemos calcular cualquier término de la progresión; por ejemplo, el término 83° de esta P. A. es

9n44)1n(5an −=−+−=

3234)82(5a83 =+−=

46n 1759n4 175a n =⇒=−⇒=

Ocupa el lugar 46°

O simplemente, 3239)83(4a83 =−=

¿Qué lugar ocupa el número 175 en esta progresión?


Es posible obtener una expresión para la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética

. . . . . . . ,d3a ,d2a ,da ,a 1111 +++

En efecto,

Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente teorema

]d)1n(a2[dna

1)-(i dna]d)1i(a[S

12n

2)1n(n

1

n

1i

n

1i11n

−+=+=

+=−+=

−= =∑ ∑

]d)1n(a2[S 12n

n −+=

]aa[S n12n

n +=

Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresiónAritmética, cuyo primer término es y con diferencia d, es:1a


Ejercicio: ¿Cuántos términos de la progresión -2, -0.5, 1, . . . . . . deben considerarse para que la suma sea 2712.5?

Ejercicio: Calcule la suma dea) Los primeros 72 números pares positivos.b) Los 48 primeros múltiplos positivos de 6 .c) Los primeros 35 términos de la progresión 13, 4, -5, -14 . . .

Problema: Un padre ofrece a su pequeño hijo ahorrar en su alcancía $10 el 1° de enero, $11 el 2 de enero, $12 el 3 de enero, y asísucesivamente hasta llegar al 31 de diciembre. ¿Cuánto dinero reunirá el hijo al completar el año?


Se dice que la sucesión de números reales está o forma una progresión geométrica (P. G.) si existe

tal que para todo n > 1.

. . . . . . . ,a ,a ,a 321ℜ∈r

0r ≠ , raa 1nn ⋅= −

El número real r se llama razón de la progresión geométrica ya que Observe que en la P. G. .

aar

1n

n

−=

3134

2123

12

raraa

raraa

raa

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

Esto sugiere la siguiente expresión para el término general de la P. G.: 1n

1n raa −⋅=


Si el tercer término de una P. G. es 3 y el séptimo es 3/16, ¿cuál es el noveno término de esta progresión?

Ejercicio: Determine el valor de k de modo que los números 2k + 2, 5k - 11, 7k – 13 estén en progresión geométrica.

163

7

3

a

3a

=

=

=⋅=⋅

1636

1

21

ra3ra

⇒⇒

21

1634 r r3 ±=⇒=

12a 1 =⇒

( ) 6438

218

19 12raa ==⋅=Entonces el noveno término es


Teorema: La suma de los n primeros términos de la progresión

geométrica cuyo primer término es y razón es:

r1)r1(aS

n1

n −−

=

1r ≠1a

Ejercicio: Demuestre el teorema anterior. ¿Cuál es el valor de la suma Sn si la razón es r = 1?

Ejercicio: En una progresión geométrica la suma de los 10 primeros términos es 244 veces la suma de los 5 primeros términos. ¿Cuál es la razón de esta progresión?


Con ayuda de la calculadora resuelva

Ejercicio: En cada caso, determine la razón, el décimo término y la suma de los diez primeros términos de las progresiones geométricas,

. . . . . ,2 ,2 ,2 2, c)

. . . . . ,22 2, ,2 1, b)

. . . . . , , , 7, )a

1,31,21,1

2756

928

314

Entregue los resultados en su expresión exacta y, si corresponde, con una aproximación decimal con 4 cifras decimales.


Problema: Un paciente es víctima de una infección que esta afectando su motricidad. Se ha encontrado una colonia bacteriana con 8 x 107 bacterias. Se ha determinado que con un tratamiento adecuado se eliminan 800.000 bacterias por día devorándose entre sí. ¿Cuántos días habráque tratar la infección con el fin de eliminarla?

Problema: Un cuerpo al caer recorre 4 metros en el primer segundo. Si en cada segundo la distancia recorrida aumenta en 1,6 veces. ¿De qué altura cae este cuerpo si demoró 10 segundos en tocar el suelo?


Los términos ubicados entre dos términos de una progresión aritmética (respectivamente progresión geométrica) se llaman medios aritméticos (respectivamente medios geométricos).

Problema: Interpolar 5 medios aritméticos entre 43 y 79.

Es común el siguiente problema:

Se trata de completar la siguiente progresión aritmética:43, ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , 79

Como el primer término es 43 y el séptimo es 79, se tiene que 43 + 6 d = 79, de donde 6d = 36 y d =6 .

Luego, los 5 medios aritméticos buscados son 49, 55, 61, 67 y 73.


Cuando se interpola un medio aritmético M entre los números a y b, este M se llama promedio o media aritmética.

Cuando se interpola un medio geométrico P entre los números a y b, este P se llama media geométrica o media proporcional.

Si a, M, b están en progresión aritmética, b – M = M – a, de aquí, a + b = 2M; luego es la media aritmética.

abP=

2baM +

=

Interpolar 3 medios geométricos entre 27/8 y 2/3.

De manera análoga resuelva lo siguiente,

Problema: Muestre que es la media geométrica entre a y b.


Una progresión armónica es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética.

Entonces resulta evidente que los problemas que tratan de progresiones armónicas se pueden resolver considerando la progresión aritmética correspondiente.Por ejemplo, 1/3, 3/8, y 3/7 son los tres primeros términos de una progresión armónica. ¿Cuál es el 15° término?En este caso, la progresión aritmética correspondiente tiene como primeros términos a 3, 8/3 y 7/3; su diferencia es -1/3 y el término 15° de ella es -5/3. Por lo tanto, el 15° término de la progresión armónica es -3/5.

Problema:a) Interpolar 4 medios armónicos entre -1/2 y 1/13.b) ¿Cuál es la media armónica entre los números a y b?


Factoriales y números combinatorios

El producto de los n primeros números naturales se llama n factorial o factorial de n y se anota n!

Por ejemplo,

n . . . . . . 3 2 1!n ⋅⋅⋅⋅=

244321!46321!3

221!21!1

=⋅⋅⋅==⋅⋅=

=⋅==

Observe que , igualdad que para n = 1 nos dan!)1n(!n ⋅−=

1!0 =


Para se definen los números

(se lee “n sobre k”) llamados números combinatorios.

kncon ,INk ,n 0 ≥∈

)!kn(!k!n

kn

−=

El número n sobre k indica, justamente, el número de combinaciones que se pueden realizar con n elementos tomados de a k. Por ejemplo, si queremos saber cuántos grupos de 5 alumnos se pueden formar en un curso de 20 alumnos, calculamos:

504.15)!15(!5

!20520

==


Comúnmente, las calculadoras científicas traen a la vista el botón n!. En la Class Pad 300, usted encontrará n!, y también el cálculo directo de “n sobre r”, al escoger Principal en el Menú, abrir el teclado y luego tocar CALC.

Escribir directamente n!

Tocar y escribir (valor de n, valor de r)


Se puede demostrar que:

1k1n

1kn

kn

6. kn

nkn

.5

n1-n

n 4. n

1n

.3

1nn

2. 10n

.1

++

=

+

+

−

=

=

=

=

=

Los números combinatorios también son llamados coeficientes binomiales; la razón quedará establecida al observar los desarrollos de las potencias del binomio .n)ba( +

Ejercicio: Simplifique k! 1)!-(nk n!

5!7! 6!

5! 12! 7! !9 , , +

⋅⋅


4322344

32233

222

1

bab4ba6ba4a)ba(

bab3ba3a)ba(

bab2a)ba(

ba)ba(

++++=+

+++=+

++=+

+=+

Si en cada línea rescatamos los coeficientes, podemos ordenar estos de la siguiente manera:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

Triángulo de Pascal


Los valores que aparecen en el Triángulo de Pascal, corresponden a los números combinatorios:

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00


En consecuencia, no debería sorprendernos lo que nos asegura el Teorema siguiente respecto al desarrollo de :

• Tiene n+1 sumandos.

• El primer término es an y el último es bn.

• La suma de los exponentes de a y de b en cada término es n.

n)ba( +

El Teorema del Binomio de Newton

Para n número natural se tiene que:

∑=

−

=+

n

0k

kknn bakn

)ba(


Además, el término

ocupa el lugar (k+1)-ésimo en este desarrollo.

kkn1k ba

kn

T −+

=

Como el desarrollo de tiene n+1 términos, cuando n

es un número par, el término central es .

Cuando n es impar, los términos centrales son y .

n)ba( +

12nT +

21nT +

Ejemplo: El 8° término en el desarrollo de es 17)yx2( −

7101077178 yx)2(19448)y()x2(

717

T −=−

= −

121nT ++


Ejercicio: Determine el término central del desarrollo de

28316

2 )y2(x dey a3a −

+

Ejercicio: Determine el término independiente de x y el término que contiene a en el desarrollo de

Ejercicio: Obtenga el coeficiente de en el desarrollo de

15

24

x21x2

−

112

x31x

23

−

10x

12x



NÚMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS


Números complejos

La ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los números reales. Las soluciones de esta ecuación se encuentran en el conjunto de los números complejos que presentamos a continuación.

01x2 =+

ℜ

El término se llama unidad imaginaria, se le representa con el símbolo i y tiene la propiedad .

1−

12 −=i

Un número complejo es una expresión de la forma a + bi

donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.

El conjunto de todos los números complejos lo denotaremos por C.


Si z = a+bi C, el número real a se llama parte real de z y, el número real b, es la parte imaginaria del número complejo z; anotaremos Re(z) = a y Im(z) = b. En consecuencia,

z = Re(z) + i Im(z)

∈

Por ejemplo, los números complejos z = 7–2i, w = 4i, u = 5

son tales que Re(z) = 7, Im(z) = -2, Re(w) = 0, Im(w) = 4, Re(u) = 5 y Im(u) = 0.

Observe que el número complejo i es una solución de la ecuación ; la otra es -i.

Más aún, todas las ecuaciones cuadráticas tienen sus dos soluciones en C.

01x2 =+


Se han usado las palabras “imaginaria” e “imaginario” para referirse a ciertos números complejos, pero no en el sentido literal de ellas. Es momento de comentar que todos los números son creaciones (“imaginados”) de la mente humana.

Los números complejos se justifican no sólo por su utilidad en matemática, a saber, en el estudio de las ecuaciones polinomiales en el álgebra, sino también en otras ciencias, como la física, en ingeniería eléctrica y aeroespacial.

La calculadora Class Pad 300 tiene la unidad imaginaria en su teclado:


Configuremos la calculadora en Formato complejo. En el Menú de su calculadora elija el íconoPrincipal, escoja Acción, Complejo y encontrará los comandos re e im:

Parte real: re(a + bi)

Parte imaginaria: im(a + bi)


Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

a + bi = c + di (a = c b = d) ⇔ ∧

Sea z = a + bi C.

El conjugado de z es el número complejo .El módulo de z es el número real .Por ejemplo, si z = 9 – 2i, = 9 + 2i y

∈

biaz −=22 ba | z | +=

Ejercicio: Use su calculadora para determinar la parte real, la parte imaginaria, el conjugado y el módulo de los números complejos z = 7 – 5i, z = -2 y z = 3i.

z .85481 | z | =+=


Operaciones en el conjunto CLos números complejos se suman (restan) y se multiplican (dividen) del mismo modo que se suman y multiplican las expresiones algebraicas a +bx con c + dx, sólo hay que tener presente que .

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)ipor reducción de términos semejantes

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bd i2= ac + (ad + bc)i – bd= (ac – bd) + (ad + bc)i

agrupando términos semejantes y recordando que .

12 −=i

12 −=i


La suma de números complejos es asociativa y conmutativa, posee elemento neutro (cero) 0 = 0 + 0i y cada elemento z = a + bi posee inverso aditivo -z = -a – bi.

La multiplicación de números complejos es asociativa y conmutativa, posee elemento neutro (unidad) 1 = 1 + 0i y cada elemento, no cero, z = a + bi, posee inverso multiplicativo

Sean z = a+bi, w = c+di dos elementos de C.La suma de z y w es el número complejo

z + w = (a+c) + (b+d)iLa multiplicación de z y w es el número complejo

i bc)(ad )bdac(wz ++−=⋅

z1i

bab

baaz 2222

1 =

++

+=−


Además se verifica la ley distributiva, es decir, C, z· (u + v) = zu + zv.

En consecuencia, C es un cuerpo. A diferencia de los números reales, el cuerpo de los números complejos no es ordenado.

Ejercicio: Realice las operaciones indicadas; para ello tenga presente que

(2 + 7i) – 3i + (-4 + 12i), 3(3 + 2i) - (5 – i)2,

(6 + 5i)(6 – 5i) + 2i2 y (5 + i) : (4 - 3i).

u1zuz

uz y )u(zuz 1 ⋅=⋅=−+=− −

Problema: Determine las primeras nueve potencias enteras positivas de i. ¿Descubre algún patrón de comportamiento? Calcule i23, i57 e (-i)94.

vu z ∈∀ ,,


Existe una manera bastante cómoda de realizar la división de dos números complejos; la mostraremos al dividir 5 - 2i con 4 + 3i.

i2523

2514

25i2314

i916i6i8i1520

i34i34

i34i25

3i42i-5

2

2−=

−=

−

+−−=

−−

⋅+−

=+

En ciertos problemas ni siquiera es necesario realizar una división; por ejemplo,Problema: Si z es el número complejo , muestre que

i23

21z −=

.1z1

1z3

=−+

Tenemos que 01zz1)1z(z

1z21z1

1z3 2 =+−⇔=

+−

⇔=−+

01i23

21

43i

23

411i

23

21i

23

21

2

=++−−−=+

−−

−Entonces


Se puede demostrar que si z y u son elementos de C,

2| z | zz 6)

|u| |z| |u z| y |u| |z| |uz| )5|z| |z| 4)

0 z 0 |z| y 0 |z| 3)

)zIm(2i

z-z y )zRe(2

zz )2

uzuz y uzuz )1

=⋅

⋅=+≤+=

=⇔=≥

==+

⋅=+=+

Por ejemplo, demostremos 6)Sea z = a + bi un elementos de C, entonces

222222 | z |baiba)bia()bia(zz =+=−=−⋅+=⋅


Ejercicio: Demuestre las siguientes afirmaciones,

∈∀ℜ∈+

∈∀=

u z, , w z w z b)

z , 1 1-zz-1 a) C

C

Problema: Determinemos los números complejos z que verifican .|z1|

|z|1| z| −==

Sea z = a + bi un elementos de C, entonces

1ba ba

1ba |z|

1 | z| 2222

22 =+⇔+

=+⇔=

Por otra parte, 21a b)a1(ba |z-1| | z| 2222 =⇔+−=+⇔=

Reemplazando tenemos y la solución es . i23

21z ±=

23b ±=


Representación gráfica de CUn número complejo queda determinado por dos números reales: su parte real y su parte imaginaria. Entonces podemos definir una correspondencia biunívoca entre C y

Ca+bi (a, b)

,2 ℜ×ℜ=ℜ2ℜ

Y además, esto nos sugiere representar a C en un sistema rectangular XY, donde las partes reales se indicarán en el eje X, que pasará a llamarse eje real, y en el eje Y estarán las partes imaginarias por lo que será llamado eje imaginario. El plano determinado por estos dos ejes se conoce como plano complejo.


El plano complejo:

Eje real

Eje imaginario

· z=a+bi

a

b

Ejercicio: Escriba con notación cartesiana y normal, y luego grafique, en un mismo plano los números z, 2z, -z y el conjugado de z, si

a) z = i b) z = (-5, 0) c) 2 – 3i d) z = (-6, 2)

La expresión z = (a, b) para el número complejo z = a + bi se llama notación cartesiana de z. Recuerde que en este par ordenado, la primera componente es siempre la parte real de z y, la segunda componente, es la parte imaginaria de z.


Subconjuntos del plano complejo:Grafiquemos el subconjunto de C, S = { z / }. |z| 1≤ < 3

S = { a + bi / } = { (a, b) / }22 ba 1 +≤ < 3 2222 ba ba 1 +∧+≤ < 9

En la desigualdad reconocemos el complemento del círculo abierto centrado en el origen con radio 1. Endistinguimos el círculo abierto con centro en el origen de radio 3. Realizando la intersección podemos concluir que la representación gráfica de S es:

22 ba 1 +≤22 ba + < 9

31


Ejercicio: Grafique, en el plano complejo, los siguientes subconjuntos de C:

} |1-z| |iz| / z { D )d

} 5a21-b / biaz { C )c

} 23|3z| / z { B )b

} 4|z| / z { A )a

≤+=

≤+==

=−=

==

Existen otras maneras de representar a los números complejos, a saber, la forma polar o forma trigonométrica que estudiaremos a continuación.


Forma polar o trigonométrica de los números complejos

Sea z = a + bi = (a, b) un número complejo y |z| su módulo, que corresponde a la distancia entre z y el origen. Si es un ángulo en posición normal como se muestra en la figura, entonces

La expresión , que también será denotada , se llama forma polar o trigonométrica del número complejo z.

|z|· z b

a θ

|z|bsen

|z|acos =θ∧=θ

θ+θ=⇒

θ=∧θ=⇒

sen |z| i cos |z| z

sen|z| b cos|z| a

)sen i (cos|z| z θ+θ=θ= ie |z|z

θ


El ángulo se llama amplitud o argumento de z.

=

=θ

|z|bsen

|z|acos 1-1-

Forma polar de un número complejo


Ejemplos:1) Sea z = 1 + i; entonces

o45rad cos y 2 |z| 4211 ==

=θ= π−

Luego, 4 i44 e 2 )sen i (cos 2 z

π=+= ππ es la forma polar de z.

2) Sea u = -2 – 2 i; observe que z está en el tercer cuadrante y entonces su argumento es un ángulo entre 180º y 270º. En este caso,

º225radcos y 228 |z| 45

211 ==

=θ== π−−

45 i

45

45 e 22 )sen i (cos 22 z y

π=+= ππ

es la forma polar de z.


La expresión en forma polar o trigonométrica de un número complejo z no es única. En efecto, si , entonces , con k número entero, son otras representaciones de z.

)sen i (cos|z| z θ+θ=

))k2sen( i )2k (cos(|z| z π+θ+π+θ=

Ejercicio: Exprese en forma polar o trigonométrica, con argumento entre 0º y 360º, los siguientes números complejos:

i 22 )e

i232 d) 6i )c

i434 b) 4i3- )a

−

−

−+


La calculadora Class Pad 300 tiene comandos que nos entregan el argumento, la forma polar y la forma trigonométrica de un número complejo.

Argumento: arg( )

Escoja Principal en el Menú. Toque Acción, Complejo y encontrará los comandos.

F. polar: compToPol( )

F. trigon: compToTrig( )


Las operaciones multiplicación y división de números complejos tienen su expresión en forma polar o trigonométrica:Si y , entonces

y))sen( i )(cos(|u||z| u z µ+θ+µ+θ=

))sen( i )(cos(|u||z|

uz

µ−θ+µ−θ=

µ= ie |u|uθ= ie |z|z

)-( i)( i e|u||z|

uz y e |u||z|uz µθµ+θ ==

O equivalente, si y , entonces

)sen i (cos|z| z θ+θ= )sen i (cos|u| u µ+µ=


Potencias de números complejos

Sea un número complejo, expresado en su formapolar; entonces

θ= ie |z|z

θθθ == 2 i2 i i2 e |z|)e |z)(|e |z(|z

Usando un razonamiento inductivo se demuestra el siguiente teorema:

Teorema (Fórmula de De Moivre)Sea un número complejo y ; entonces

En particular, si z es tal que |z| = 1,

θ= ie |z|z INn∈

θ= n inn e |z|z

θ= n in ez


La forma trigonométrica de la Fórmula de De Moivre es:

)n sen i n (cos |z|z nn θ+θ=

toda vez que z es el número .

Ejercicio: Use inducción matemática para demostrar la Fórmula de De Moivre en su forma trigonométrica.

Ejemplo: Consideremos y calculemos z6. i3z −=

Como |z| = 2 y , entonces 330º rad )(sen 611

2 11 ===θ π−−

642e 2e 2e 2z y e 2z 6 i6)(11 i6)( i66)( i 666

611

====== ππππ

) sen i (cos |z|z θ+θ=


Ejercicio: Calcule z7 y z9 si

i 22z y iz 21

23 −=−= −

Problema: Determine los valores de los números p y q de modo que el número complejo z = 1 + i sea una raíz de la ecuación z5 + pz3 + q = 0.Compruebe su respuesta con la calculadora.

El Teorema de De Moivre es válido para cualquier exponente n real o complejo. Sin embargo, su demostración no es fácil para exponente . Qn∉

Ejercicio: Calcule 78 )i 23(2 y )i1( −− +−


Raíces de números complejos

Examinaremos el caso zp con p exponente racional. Para ello basta estudiar , es decir, raíces de números complejos.

Teorema: Todo número complejo tiene exactamente n raíces enésimas diferentes. Si , entonces

es una raíz enésima de z. Las n raíces enésimas de z están dadas por

donde es la raíz enésima principal de z y k = 0,1,2,..., n -1.

0z ≠

) sen i (cos |z|e |z|z i θ+θ== θ

) sen i (cos |z|e |z|z nn)( i n

1nn

1n

1 θθ +==θ

))( sen i )( (cos |z|e |z| nk2

nk2)( i n

1n2k

n1 π+θπ+θ +=

π+θ

n1

|z|

INn ,zz nn1

∈=


i 388z +−=

Gráficamente, estas raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen (0, 0) y de radio (raíz enésima principal de |z|). n

1|z|

Ejemplo: Calculemos las 4 raíces cuartas de La expresión trigonométrica del número z es

z = 16(cos 120º + i sen 120º) Las 4 raíces cuartas de z están dadas por

con k = 0, 1, 2 y 3. Reemplazando los valores de k obtenemos:

))( sen i )( (cos 16 4kº360º120

4kº360º1204 ⋅+⋅+ +

i 31)300º sen i 300º (cos 2r

i3)210º sen i 210º (cos 2r

i 31)120º sen i 120º (cos 2r

i3)30º sen i 30º (cos 2r

4

3

2

1

−=+=

−−=+=

+−=+=

+=+=


La representación gráfica de estas raíces es:

Se aprecia que las cuatro raíces son los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia centrada en el origen con radio 2.


Las raíces quintas del número)3/(sen i)3/cos(z π+π=


Las raíces quintas del número

Visión geométrica

)3/(sen i)3/cos(z π+π=


Ejercicio: Calcule las 6 raíces sextas del número complejo . i 31z +=

Ejercicio: Calcule las 5 raíces quintas de la unidad z = 1, es decir, las 5 raíces que la ecuación x5 = 1 tiene en el cuerpo C de los números complejos.

Ejercicio: Calcule las raíces cúbicas del número complejo .

)( i 23

e 8zπ

=

Ejercicio: Si n es un número natural, demuestre que

)cos( 2)i1()i 1( 4n1nn 2

nπ+

=−++


Un polinomio sobre en la indeterminada x es una expresión algebraica de la forma

donde son números reales llamados coeficientes del polinomio y

nn

2210 xa........xaxaa ++++

n210 a, ........ ,a ,a ,a

Si entonces se dice que n es el grado del polinomio. Los polinomios de grado 0 se llaman polinomios constantes, los de grado 1 son los polinomios lineales y los polinomios de grado 2 son llamados cuadráticos.

,0a ,ni y 0a in =>∀≠

oINn∈

ℜ

Polinomios


El conjunto de todos los polinomios en x con coeficientes reales lo denotaremos por

¿Qué operaciones se pueden realizar con los

polinomios?

Por ejemplo, es un polinomio cuadrático y 5x +1 es un polinomio lineal.

231 x4x5 −−

]x[ℜ

Los polinomios se suman (restan) y se multiplican (dividen).


mm

2210

nn

2210

xb........xbxbb q(x)

yxa........xaxaa)x(p Si

++++=

++++=

son dos elementos de , entonces la suma de p(x) y q(x) es el polinomio:

]x[ℜ

kkk

2221100 x)ba(........x)ba(x)ba(ba)x(q)x(p ++++++++=+

Y ¿cuál es el grado de p(x) + q(x)? El grado de p(x) + q(x) es menor o igual al máximo entre n y m.


Ejemplo: Sean p(x), q(x) y r(x) los polinomios

entonces 32

72

432

3724332

x5xx6)x(r)x(p

x3x6xx1)x(q)x(p

9x-x5r(x) ,x3x2xq(x) ,4xx1)x(p

−−+=+

++−+=+

+=++=+−=

Ejercicio: Demuestre que la suma en el conjunto R[x] es asociativa y conmutativa. Compruebe que el polinomio cero,

es el elemento neutro y que, cada polinomio

posee inverso aditivo

nn

2210 xa........xaxaa)x(p ++++=

nn

2210 xa........xaxaa)x(p −−−−−=−

...x0.......x0x00O n2 +++++=


Los polinomios también se multiplican

mm

2210

nn

2210

xb........xbxbb q(x)

yxa........xaxaa)x(p

++++=

++++=

La multiplicación de los polinomios

es kk

2210 xc........xcxcc)x(q)x(p ++++=⋅

donde se forma sumando todos los productos tales que i + j = t. El grado de p(x) q(x) es la suma de los grados de p(x) y de q(x).

tc ji ba

Ejercicio: Aplique la definición anterior para multiplicar los polinomios

¿Es conmutativa la multiplicación de polinomios?

4332 x5x-x4 y 8xx3x72 +++−+


La multiplicación de polinomios es asociativa, conmutativa y distributiva con la suma; además posee elemento unidad.

¿Los polinomios tienen lasmismas propiedades

algebraicas que los númerosreales?

No, no es un cuerpo; los únicos elementos que poseen inverso multiplicativo son los polinomios constantes no nulos.

]x[ℜ


El algoritmo de la división

Si p(x) y s(x) , s(x) 0, entonces existen únicos polinomios q(x) y r(x) en tales que

p(x) = s(x) q(x) + r(x)donde r(x) = 0, o bien, el grado de r(x) es menor que el grado de s(x).

≠

El polinomio q(x) se llama cuociente y r(x) es el resto o residuo.

Ejercicio: Determine el cuociente y el resto realizando la división algebraica entre los polinomios p(x) y q(x) siguientes: 3xx2q(x) y 12x-x7x4x)x(p 3245 +−=++−=

]x[ℜ∈]x[ℜ


División sintéticaSi se quiere dividir un polinomio p(x) por un binomio, la operaciónpuede resultar larga al utilizar la división algebraica ordinaria. Existe un método para realizar, de manera más rápida, esta división conocido como división sintética. Mostraremos este método realizando la división de por s(x) = x – 3.

43x-x5x7x2)x(p 234 −+−=

2 -7 5 -3 -43 6 -3 6 9

2 -1 2 3 5

32xxx2)x(q 23 ++−=

resto

r(x) =5

coeficientes de p(x)

coeficientes de q(x)


Ejercicio: Obtenga el cuociente y el resto realizando división sintética entre los polinomios p(x) y q(x) dados.

2123

235

234

23

-xq(x) y 8x5x7xx2)x(pc)

3xq(x) y 9x6x9x7x)x(pb)

2-xq(x) y 10x15x2x5)x(p)a

=+−−+=

+=+−++=

=+−−=

Consideremos el polinomio Para cada número real a, podemos evaluar el polinomio p(x) en x = a; por ejemplo, si , p(0) = -2 y p(3) = 34.

nn

2210 xa........xaxaa)x(p ++++=

2-x9x4x)x(p 23 −+=

Un número real a se llama cero o raízdel polinomio p(x) si p(a) = 0

Por ejemplo, a = 1 es una raíz del polinomio 5-xx5x)x(p 34 −+=


El siguiente teorema es de mucha utilidad puesto que nos permite conocer el resto de ciertas divisiones sin necesidad de realizar la división.

Teorema del Resto:Si se divide el polinomio p(x) por (x – a), con a número real, el resto es igual a p(a).

Ejercicio: Obtenga el resto de la división entre los polinomios p(x) y q(x) dados, usando el Teorema precedente.

Por ejemplo, el resto que se obtiene al dividir el polinomiopor x – 2 es p(2) = -6.21x15x10x3x)x(p 234 ++−−=

212345

24

-xq(x) y 9x6x14x8x5x2)x(pb)

2xq(x) y 5-x2x3x)x(pa)

=++−−+=

+=+−=


Ahora que conocemos el Teorema del Resto, con la ayuda de la calculadora, podemos determinar rápidamente el resto que se produce al realizar ciertas divisiones. Repitamos el ejemploanterior con la calculadora:

En el Menú escogemos Principal e ingresamos el polinomio. Activamos mth, OPC, tocamos

| (tal que) y escribimos x = 2; Ejecutamos y obtenemos la evaluación p(2) = -6.

21x15x10x3x)x(p 234 ++−−=

| x = 2

Resto -6


Ejercicio: Determine el valor de k de modo que el resto de la división entre los polinomiosy q(x) = x +1 sea cero. Hágalo con lápiz y papel y después con su calculadora.

2x3x4kxx2)x(p 234 +−−+=

El teorema del resto nos permite establecer otro importante resultado matemático de gran utilidad, el teorema del factor.

Teorema del factor:El número a es una raíz del polinomio p(x) si y sólo si (x – a) es un factor de p(x).

En consecuencia, el binomio (x – a) es un factor del polinomio p(x) si y sólo si p(a) = 0.


Ejercicio: Determine si el binomio dado es un factor del polinomio p(x).

5x4x12x3x4x)x(p , 4xb)

8-x6x7x6x)x(p , 2xa)2345

234

+−+−−=−

−++=+

Ejercicio: Demuestre que el binomio x – 3 es un factor del polinomio y encuentre los factores restantes.

12x4x3x)x(p 23 +−−=

Ejercicio: Muestre que x = 2 y x = -4 son raíces del polinomio y encuentre las raíces restantes.

48x4x16xx)x(p 234 +−−+=


Teoría de factorización y ecuaciones polinomiales

Un problema importante del álgebra y que constituye un objetivo fundamental de dicha materia es determinar las raíces de la ecuación p(x) = 0, donde p(x) es un polinomio de .

En lo que sigue, p(x) será un polinomio de de grado n,

Y nos referiremos indistintamente a las raíces de p(x) o a las raíces de la ecuación p(x) = 0.

Para n = 1, la ecuación p(x) = 0 toma la forma ax + b = 0,

ecuación lineal, cuya solución única es .

nn

2210 xa........xaxaa)x(p ++++=

abx −=

]x[ℜ

]x[ℜ


Para n = 2, la ecuación p(x) = 0 corresponde a la ecuación cuadrática y sus soluciones se obtienen

mediante .

0cbxax2 =++

a2ac4bbx

2 −±−=

La naturaleza de estas soluciones dependen del discriminante .

• Son reales y distintas cuando D > 0.

• Son complejas conjugadas si D < 0.

• Cuando D = 0, las dos soluciones son realesiguales.

ac4bD 2 −=


Entonces es natural preguntarse ¿existe algún modo de resolver ciertas ecuaciones p(x) = 0 de grado mayor que 2? Buscaremos responder a esta interrogante.

No siempre es posible expresar las soluciones de p(x) = 0 mediante una fórmula algebraica que involucre a los coeficientes del polinomio p(x).

Debemos observar que esto es factible para la ecuación p(x) = 0, con n = 3 y n = 4, pero estas son poco prácticas para las aplicaciones y además laboriosas de obtener. Sin embargo, se ha demostrado que esto no es posible para n > 4.


El teorema fundamental del álgebra

El hecho que una ecuación lineal tenga una raíz real y que una ecuación cuadrática tenga dos raíces reales o complejas son casos particulares de un teorema general que señala exactamente cuantos ceros existen para un polinomio de determinado grado.

Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio p(x) de grado tiene por lo menos una raíz, ya sea real o compleja.

Usando un razonamiento inductivo se puede demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Todo polinomio p(x) de grado n, con , tiene exactamente n raíces en el

conjunto C de los números complejos.

1n ≥

1n ≥


Las raíces de p(x), o de la ecuación p(x) = 0, a las que se refiere el teorema anterior pueden ser reales o complejas y además pueden estar repetidas.

Si en la factorización de p(x) aparece el factor (x – ) repetido k veces, se dice que es una raíz de multiplicidad k y se cuenta como k raíces.

Ejercicio: Determine una ecuación polinomialque tenga como raíces a -2 de multiplicidad 2, a 1-2i y a 1+2i.

Ejercicio: Sabiendo que 2 es una raíz de multiplicidad 2 de , factorice el polinomio p(x).

Verifique esta factorización con su calculadora. 20-x4x15x8x)x(p 234 ++−=

αα α


Ejercicio: Muestre que a = 4 y a = - 1 son raíces de y encuentre las raíces restantes. Grafique en su calculadora y = p(x), en un rectángulo de visualización apropiado, con el fin de comprobar lo obtenido.

Ejercicio: Determine los valores que deben tener los números reales a y b de modo que x = 2 y x = - 3 sean raíces de .030xbaxxx 234 =++++

Ejercicio: Determine el número que debe sumarse al polinomio para que sea divisible por x + 4.

x5x3x2)x(p 23 −+=

12x5x14x5x2)x(p 234 ++−−=


Continuamos buscando información acerca de las raíces de p(x) = 0. El siguiente teorema se

refiere a las raíces complejas.

Teorema: Si el número complejo a + bi es raíz de p(x) = 0, entonces su conjugado a – bi también es raíz de esta ecuación.

El teorema anterior asegura que las raíces complejas de p(x) = 0 se presentan de a pares. En consecuencia tenemos lo siguiente:

Teorema: Si el grado de p(x) es un número impar, entonces p(x) = 0 tiene por lo menos una raíz real.


Combinando los dos últimos teoremas

tenemos que:

Todo polinomio p(x) puede expresarse como el producto de factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales, correspondiendo cada factor lineal a una raíz real y cada factor cuadrático a un par de raíces complejas conjugadas.

Ejercicio: Suponga que a = 1 + 2i es raíz del polinomio . Determine las raíces

restantes de p(x) y exprese este polinomio como un producto de factores lineales y/o cuadráticos.

20x7x7x5x)x(p 234 −−+−=

]x[ℜ∈


¿Podemos aislar los ceros reales de un

polinomio?

Si p(x) es tal que p(a) y p(b) tienen signos distintos, entonces p(x) tiene por lo menos una raíz real entre a y b.

Por ejemplo, el polinomiotiene al menos un cero real en el intervalo [ 1, 2 ].

9x6x6x2x)x(p 234 ++−−=

Ejercicio: Muestre que el polinomio tiene al menos una raíz real en el intervalo [ 2, 3 ]; verifique esto con su calculadora.

4x3x3x2)x(p 34 −−−=

]x[ℜ∈


Si es un polinomio con coeficientes enteros y si el número racional , con a y b primos entre si, es una raíz de p(x), entonces a es un factor del término constante y b es un factor del coeficiente principal .

nn

2210 xa........xaxaa)x(p ++++=

ba

0a

na

Este teorema no asegura que un polinomio con coeficientes enteros tiene ceros racionales; simplemente establece que si esto sucede, entonces estos deben satisfacer ciertas condiciones.

Localización de los ceros racionales de ciertos polinomios


¿Cómo utilizamos el teorema de los ceros

racionales?

Los posibles ceros racionales de p(x) son , donde a es un factor de 4 y b es un factor de 2. En consecuencia, los posibles ceros de p(x) son:

Evaluando p(x) en estos puntos se concluye que – 2, yson los ceros racionales de p(x).

4x20x31x15x2)x(p 234 ++++=

21 , 4 , 2 , 1 ±±±±

21-

ba

Consideremos el polinomio


Ejercicio: Determine las raíces racionales de la ecuación 020x4x15x8x 234 =−++−

Ejercicio: Encuentre las cuatro raíces de la ecuación 06x3xxx 234 =−−+−

La Regla de los signos de DescartesEl siguiente teorema, conocido como Regla de los signos de Descartes, nos ayuda a determinar el número posible de raíces reales de un polinomio p(x) .

Si es un polinomio de escrito en la forma de potencias descendentes de x y omitiendo las potencias x0, excepto el término constante, entonces diremos que ocurre una variación en el signo siempre que coeficientes adyacentes tengan signos opuestos. Por ejemplo, tiene 3 variaciones en el signo.

]x[ℜ∈

012

21n

1nn

n axaxa........xaxa)x(p +++++= −−

]x[ℜ

5-x3x9xx2)x(p 246 ++−=


Teorema: Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales.

a) El número de ceros reales positivos de p(x) es igual al número de variaciones en el signo de p(x) o es menor, en un entero par, que éste.

b) El número de ceros reales negativos de p(x) es igual al número de variaciones en el signo de p(-x) o es menor, en un entero par, que éste.

Por ejemplo, tiene 2 variaciones en el signo; usando el teorema precedente, podemos afirmar que p(x) tiene dos o ninguna raíz real positiva. Como tiene 2 variaciones en el signo, p(x) tiene dos o ninguna raíz negativa. Por lo tanto, p(x) tiene o 4 o 2 o ninguna raíz real.

5x3xx2)x(p 46 ++−=

5x3xx2)x(p 46 +−−=−


Ejercicio: Use la Regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros positivos y negativos que puede tener cada uno de los siguientes polinomios.

Verifique la respuesta, utilizando su calculadora para graficar y = p(x) e y = q(x).

5x2x3xx5x3x4)x(q

2x5xx6)x(p23457

45

−+−++−=

−−−=

Problema: En cada caso, proporcione un ejemplo de,• Un polinomio de grado 4 que no tenga ceros reales.• Un polinomio de grado 3 que tenga tres ceros reales, con sólo uno de ellos racional.• Un polinomio de grado 4 que tenga 4 ceros reales, ninguno de ellos racional.


¿Se pueden acotar las raíces de p(x)=0?

Teorema: Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales. • Si al dividir p(x) por (x - a), usando división sintética, la fila de los coeficientes del cuociente y del resto tiene valores que son alternadamente no positivos y no negativos, entonces a es una cota inferior para las raíces reales de p(x) = 0.• Si al dividir p(x) por (x - b), usando división sintética, la fila de los coeficientes del cuociente y del resto no tiene ningún valor negativo, entonces b es una cota superior para las raíces reales de p(x) = 0.

Sí, y para ello es de utilidad el siguiente teorema:


Por ejemplo, a = -3 y b = 5 son, respectivamente, cotas inferior y superior para las raíces de En efecto, realizamos la división sintética de p(x) por (x+3) y (x-5).

.08x2x9x2x)x(p 234 =++−−=

1 -2 -9 2 85 5 15 30 160

1 3 6 32 168

1 -2 -9 2 8-3 -3 15 -18 48

1 -5 6 -16 56Fila con signos alternados; luego -3 es cota inferior para las raíces de p(x) = 0.

Fila con valores positivos; luego 5 es cota superior para las raíces de p(x) = 0.


Bibliografía

Lehmann Ch., Álgebra, Editorial Limusa, 1990Lehmann Ch., Geometría Analítica, Editorial Limusa, 1990Stewart, J., Precálculo, Internacional Thomson editores, 2001Zill D. & Dewar J., Älgebra y Trigonometría, Mc Graw Hill, 1999

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