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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 7 8
TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CONCEPTOSon aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son sólo
las de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicaciónentre sus variables en un número limitado de veces.Ejemplos:
z y x x z y x R
y y x
y x Q
y x x x P
..
2log42,,
424
,
42
Son expresiones algebraicas
......1
..
log23,,'
1
1
2
2
x x x A
z y x
x x z y x R
x x T
x Senx R
x x
Son expresiones algebraicas
TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica en la que no se enlaza a las variables
mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con elcoeficiente y la parte literal (parte variable)Ejemplo:
TÉRMINOS SEMEJANTES Se llaman términos semejantes de una expresión algebraica a aquellos
que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismosexponentes. Difieren, entre sí en los coeficientes.
Ejemplos:a) 3xyz2; - 3xzy2; –6xyz2 Son términos semejantes
b) 2a2b; –3a2b; 7a2b; –a2b Son términos semejantesc) np3; np3, –np3 Son términos semejantesd) –3a3b; 6ab3 No Son términos semejantes
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.
I) Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos:
. 3x; 7x2 y; xy3; 0,7 ab; x2 yz3 .
II) Polinomios: Es la expresión algebraica de dos o más términos. Ejemplos:
. 4x – 3y ; 5x2 – 3y + xy; 3xy + 5y – 3x + 6 .
Binomio:Es la expresión algebraica que consta de dos términos.Son binomios:
. 3x2 – y; 8x2 y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 .
Trinomio:Es la expresión algebraica que consta de tres términosSon trinomios:
. 3x2 – 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 – 2x2 + 6 .
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 9 10
GRADO DE UNA VARIABLE El grado de una variable es el exponente de dicha variable.Ejemplo::En el término: 7x2 y3
La variable “x” es de grado 2, o segundo grado. La variable “y” es de grado 3, o tercer grado.
GRADO DE UN MONOMIO El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable está dado por elexponente de dicha letra.Así:9x3 y2 ...... es de tercer grado con respecto a “x”; y de segundo grado conrespecto a “y”. Grado Relativo con respecto a “x” es 3 y Grado Relativo con respecto a
“y” es 2. Grado Absoluto de un término algebraico está dado por la suma de los
exponentes de la parte literal.Así:El grado absoluto de: 9x3 y2 es: 3 + 2 = 5El grado absoluto de: 5x8 y5z–6 es: 8 + 5 – 6 = 7
GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.
El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayorexponente de dicha letra o variable en el polinomio.Así:Dado el polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3
- Grado relativo con respecto a “x” es 5. - Grado relativo con respecto a “y” es 4.
Otro ejemplo:Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2 y3z – 2x3 y4z2
- Grado relativo con respecto a “x” es: 3. - Grado relativo con respecto a “y” es: 4. - Grado relativo con respecto a “z” es: 3.
El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su término demayor grado absoluto.Así:Dado el polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3
El grado absoluto del monomio 3x2 y3 es: 2 + 3 = 5El grado absoluto del monomio 5x3 y4 es: 3 + 4 = 7El grado absoluto del monomio 7x5 y3 es: 5 + 3 = 8
Luego; el grado absoluto del polinomio:3x2 y3 – 5x3 y4 + 7x5 y3 es de octavo grado o de grado 8.
Otro ejemplo:Dado el polinomio:6xy2z – 5x2 y + 10xy4z2 – 7xy5
G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4G.A. del monomio 5x2 y = 2 + 1 = 3
G.A. del monomio 10xy4
z2
= 1 + 4 + 2 = 7G.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6
Luego; el polinomio:6xy2z – 5x2 y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto 7 ó el polinomioes de séptimo grado.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 11 12
VALOR NUMÉRICO Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar
cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar lasoperaciones indicadas.
Ejemplo 1:¿Cuál es el valor numérico de 5ab; si: a = 3; b = 4?
Resolución:Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresión:
5ab = 5 x 3 x 4 = 60 . 5ab = 60 .
La aplicación del valor numérico tiene un campo amplísimo en eldesarrollo de toda clase de fórmulas aritméticas, geométricas, físicasquímicas, etc.
Orden de OperacionesEs de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para eldesarrollo de los ejercicios o problemas.Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operacionesque se ha de seguir es el siguiente:1. Se desarrollan las potencias o se extraen las raíces si las hay.2. Se efectúan las multiplicaciones o divisiones indicadas.3. Se hacen las sumas o restas de los términos.
Ejemplo 2:
Hallar el valor numérico del polinomio 3x2 + 5x – 6; cuando x = –2.
Resolución:Reemplazando el valor de “x” en la expresión dada, obtenemos: 3x2 + 5x – 6 = 3(–2)2 + 5 (–2) – 6
= 3(4) – 10 – 6 = 12 – 10 – 6 = –4 . 3x2 + 5x – 6 = –4 .
Ejemplo 3:
Hallar el valor numérico de la expresión:2
3
x5
6x2 Si: x = 3
Resolución:Reemplazamos el valor de “x” en la expresión dada y obtenemos:
15
16
45
48
45
654
95
6272
35
632
x5
6x22
3
2
3
. 15
16
x5
6x22
3
.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan
sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de losmonomios semejantes dados.Ejemplos: Sumar:a) 3xy2 + 7xy2 – 2xy2 = (3 + 7 – 2)xy2 = 8xy2
b) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3
c) axn ym + bxn ym – cxn ym = (
cba )xn ym
Para sumar o restar dos o más monomios no semejantes, sólo se indicala suma o diferencia de ellos.Ejemplos: Sumar:a) 3xy + xz = 3xy + 3xz.b) 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 + 8ab – 5b2a
= 7ab2
– 5ab2
+ 8ab = 2ab2
+ 8ab
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes
de ellos. A continuación de este producto se escriben en orden alfabético,
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Álgebra Álgebra 13 14
todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponenteigual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
Ejemplo 1:Hallar el producto de: 3x3 por 2x2
Resolución: 3x2 . 2x2 = (3 . 2) (x3 . x2)(3 . 2) Multiplicamos los coeficientes(x3 . x2) Multiplicamos las partes literales
3x3 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5 3x3 . 2x2 = 6x5
Ejemplo 2:Hallar el producto de: 8x4 por –9x2 y3
Resolución:
8x4
. (–9x2
y3
) = 8(–9) (x4
. x2
. y3
)8x4 . (–9x2 y3) = –72x4 + 2 . y3
= - 72x6 y3
. 8x4 . (–9x2 y3) = –72x6 y3 .
RECUERDA QUE:
an . am = an+m
POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios en un caso particular de la multiplicación de
monomios. Es una multiplicación de factores monomios iguales.
Ejemplo 1:(2x3)2 = 2x3 . 2x3 = 2 . 2 . x3 . x3 = . 4x6 .
Ejemplo 2:(5a2)3 = 5a2 . 5a2 . 5a2 = 5 . 5 . 5 . a2 .a2. a2 . = . 125a6 .
NOTA:P ARA HALLAR LA POTENCIA DE UN MONOMIO SE APLICAN LAS PROPIEDADES
SIGUIENTES :
. (a . b) n = a n . b n . ; . (a n ) m = a n . m .
Ejemplos:
a) (5a2b)3 = 53 . (a2)3 . b3 = 125a6z . b3 b) (–3xy2)5 = (–3)5 . x5(y2)5 = 35x5 y10 = . 243x5 y10 c) (–4x2z)2 = (–4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2 d) (–3x2)3 . (2x)2 = (–3)3 . (x2)3 . 22 . x2 = –33 . x6 . 4 . x2 = –7 . 4x8 = –108x8.
DIVISIÓN DE MONOMIOSPara hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del
dividendo entre el divisor y a continuación se escriben las letras en ordenalfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre elexponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor.
Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir: 16x4 8x2
Resolución:
24
2
4
2
4
x2x
x
8
16
x8
x16
. 2x2 .
RECUERDA QUE:
nm
n
m
nm
aa
aaa
Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir: (–28x4 y6) (7x3 y2)
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 15 16
Resolución:
36
3
6
3
6
x6x
x
4
24
x4
x24 . –6x3 .
USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En álgebra los signos de agrupación: paréntesis ( ); corchetes [ ];llaves { }; barras ___; se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Si un signo de agrupación es precedido por un signo positivo, éste sepuede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro delsigno de agrupación, veamos:
a + (+ b) = a + b ; a + (–b) = a – b
Ejemplo: 16x + (–8x + 9y) – 10y
= 16x – 8x + 9y – 10y= 8x – ySe suprimen los paréntesis y no cambian los signos de los términos
comprendidos entre ellos.
Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, lopodemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentrodel signo de agrupación, veamos:
a – (+ b) = a + (–b) a – (–b) = a + (+b)= a – b = a + b
Ejemplo: 10a – (6a - 7b) + 4b
=a6a10 +
b4b7
= 4a + 11bSe suprimen los paréntesis y se cambian los signos de todos los
términos comprendidos entre ellos
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar:8x – (2x - 3) – (–x + 6)
Rpta.
2. Reducir:a – (2,3b – 5,2a) – (–3,5a + 4,2b)
Rpta.
3. Simplificar:(6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x)+ x – y + z
Rpta.
4. Efectuar:
4
1 p – (p – 0,2q) + (0,222.....q –
6
3 p) + q
Rpta.
5. Reducir:12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26
Rpta.
6. Reducir: y – {– y – [– y – {– y – (– y + x)– x} + x ]} – x
Rpta.
7. Efectuar:– [ – 0,2x –[0,4x2 + (0,05x2 +0,7x)]] – x
Rpta.
8. Efectuar:{[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – (3p + q) – p}
Rpta.
9. Efectuar
4
3
a –
c7
3
b4
2
+
a4
1b
3
2c
5
4
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 17 18
10. Simplificar:–(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y)
Rpta.
11. Reducir:–b – {– c – [– d – {– c –(–
bd ) +a} – d] – a}
Rpta.
12. Simplificar:
–{–q + [–p +3
4 q – (– 3p – 6q) +
2
1
p] – 0,3333....q}
Rpta.
13. Reducir:8x2 y + 16x2 y – 10x2 y
Rpta.
14. Reducir:17x4 y3z2 + 16x4 y3z2 – 28x4 y3z2
Rpta.
15. Reducir:10x2 y + 12xy2 + 2x2 y – 6xy2 – 8x2 y
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el grado absoluto delpolinomio:P(x;y;z) = 5x2 y3z4 + 7x4 y7z9 +9x5 y2z7
A) 14 B) 9 C) 20D) 18 E) 15
2. El monomio: 3xa+b–5 yb–3 Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2Entonces “a” vale:
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
3.
En el polinomioP(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7El grado absoluto es 10,entonces el valor de “m” es:
A) 6 B) 7 C) 4D) 5 E) 9
4. Si: x = 2, y = –1, el valor de laexpresión 2x2 y – 3xy2 + xy, es:
A) –16 B) –3 C) –12
D) –7 E) –4
5.
Los 3/2 de:
3
22
a2
1
x y3 ; Cuando:
1a
3 y
2x
Es:
A) 69 B) –46 C) –69
D) 60 E) –63
6. Si los términos 6xyb–3; 2xy10 son semejantes, calcular elvalor de “b”
A) 12 B) 11 C) 13D) 14 E) 10
EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ESSÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ESLA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPOENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LAVISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....
D YALAY – AL– D IN – R UMI
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 19 20
7. Hallar m N, sabiendo que elpolinomio P(x) es de grado 36.P(x) = 0,2[x5m+3]2 + 7 [xm+1]3
A) 3 B) 6 C) 2D) 5 E) 8
8.
La expresión:
0,2x +4
3 y +5
3 x – 0,25 y
equivale a:
A) y4
1x
5
2 B) 0,8x – 0,5y
C) 5
4 x – y D) 5
4 x + 0,5y
E) 0,6x – 0,5y
9. Al resolver:x – [x – {y – (2x – y)} + x – (– y)]Se obtiene:
A) 3x – y B) x – 3y C) x + yD) x + y E) y – x
10. Si: a = 2; b = – 4; c = – 3; d = 9;entonces el valor de
db2c
d
a
b es:
A) –67 B) –71 C) –72
D) –73 E) –77
CLAVES
1. C
2. E
3. B
4. A
5. C
6. C
7. A
8. D
9. C
10. B
TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES
CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que
existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.
POTENCIACIÓNEs la operación que consiste en repetir un número denominado base,
tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente,el resultado de esto se le denomina potencia.
Representación:
.
veces nBase
nAx x Ax Ax AA
""
.......
.
Ejemplos:1. 8133333
4
4
veces
x x x
2. 6422222226
6
veces
x x x x x
3.
veces n
n
nx nx nx nx nn .......
4.
veces
x x x x
5
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
5.
veces
x x x x x x 7
7
33333333
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 21 22
LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de Igual Base
. xa . xb = xa+b .
Ejemplos:1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
. baba
x x
x
. x 0
Ejemplos:
1.
4
8
2
2 = 28–4 = 4
2.
5
6
2
2
= 2–6–(–5) = 2–1
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. xa . ya = (x . y)a .
Ejemplos:1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2. 3 . 6 = (3 . 5)
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
. a
a
a
y
x
y
x
. y 0
Ejemplos:1.
3
3
3
3
4
2
4
2. 3
3
3
2
8
2
8
5. Potencia de Potencia
. c ba
c bax x
..
.
OBSERVACIÓN:( X A) B = ( X B) A = X A . B
6.
Exponente Negativo
. aa
x x
1
. . aa
x
y
y
x
. x 0 y 0
Ejemplos:
1.
2
12
1
2.
2
222
2
3
2
3
3
2
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 23 24
7. Exponente Nulo o Cero
. x0 = 1 . x 0
Ejemplos:
1. 13 0
xy
2. 15
y3x2
0
8. Exponente Fraccionario
. b aba
x x . b 0
Ejemplos:
1. 3 232
x x
2. 3 535
x x
9. Producto de Radicales Homogéneos
. aaa
y x y x ..
.
Ejemplos:1.
3333 205.45.4
2. 55556
5
3
5.
2
1
3
5.
2
1
10. Potencia de un Radical
. a cbca b x x . .
11. Raíz de Raíz
. c baa b c x x
..
.
OBSERVACIÓN:b aa b x x
Ejemplos:
1.
243 4x x
2. 123 44 3 101010
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
En cada caso completar:
1. x2 . x3 . x4 = ________ 2.
2
4
x
x = ________
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 25 26
3. 23 . 33 . 53 = ________
4. 44
2
5 = ________
5. 6
6
10
20 = ________
6. 5232 = ________
7. 33 4.2 = ________
8. 2–3 = ________
9. 4
3
2
= ________
10. 0
3
1
2
1
= ________
11. 32
2 = ________
12. 3
4 2
2 = ________
LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN
INDELEBLE
W. S TEKEL
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Luego de operar35 . 24 . 72 . 3–3 . 2–3 . 7–2 Se obtiene
Rpta.
2. Si xn = 3A que es igual x2n
Rpta.
3. Si xx = 2, calcular x–x
Rpta.
4. Reducir
3
3
11.27
2.33
Rpta.
5. Cual es el exponente final de ben:
41323 b.b.b ; b 0
Rpta.
6. Reducir:
10
12
5
10
23
25
3
3
2
2
5
5
Rpta.
7. Reducir: 32111 2236
Rpta.
8. Cual es el exponente de xx enx5x
Rpta.
9. Reducir:3
4
84
1425
52162
Rpta.
10.
Reducir: 2483 24 4
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 27 28
11. Si 92 3x x , hallar x
Rpta.
12. Si x3 = 8, hallar x2
Rpta.
13. Simplificar:
n
n1n
3
33
Rpta.
14. Simplificar:
x
x x
N 5
55 1
Rpta.
15. Simplificar:
x
x x
P 4
44 12
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Después de operar45 . 34 . 82 . 4–3 . 3–3 . 8–2 Se obtiene:
A) 16 B) 24 C) 48D) 8 E) 32
2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n
A)
14 B)
21 C)
49D) 16 E) 1
3.
Si xx = 5, Calcular x–x
A) 2
1 B) 3
1 C) 4
1
D) 5
1 E) 6
1
4. Reducir
3
3
11.16
3.44
A)
10 B)
12 C)
16D) 8 E) 64
5. Cual es el exponente final de“a” en:
51235 .. aaa , a 0
A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14
6. Reducir
13
15
10
12
21
23
5
5
3
3
7
7
A) 11 B) 22 C) 33D) 44 E) 55
7. Reducir 32111 2248
A)
32
27 B)
27
32 C)
27
16
D) 16
27 E) N.A.
8. Reducir3
484
1436
6 3253
A) 1 B) –1 C) 2D)
–2 E) 3
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 29 30
9. Simplificar:
n
nn
P 6
66 1
A) 1 B) 3 C) 5D)
7 E)
9
10. Simplificar
n
nn
Q7
77 12
A) 32 B) 42 C) 49D)
21 E)
7
CLAVES
1. C
2. C
3. D
4. B
5. C
6. C
7. E
8. B
9. C
10. B
SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTEPARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁSDISPUESTO A LUCHAR PARA OBTENERLO, TEASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO . SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NOES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA.
R. B ACH
TEMA: POLINOMIOS
CONCEPTOEs aquella expresión algebraica con 2 o más términos.
GRADO DE UN POLINOMIO1. Grado Relativo (GR)
Es el mayor exponente de la variable en referencia.
Ejemplo: y x xy y x x;y P 10254 254
Luego:GR(x) = 10
GR(y) = 72. Grado Absoluto (GA)
a)
Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los
monomios que lo conforman
POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello son:
1. Polinomio OrdenadoCuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:
Ejemplos:1. P(x;y) = 5x + x2 y + 4x5
Es ordenado creciente respecto a “x” 12635 822; abbaabaR
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 31 32
2. Es ordenado y creciente respecto a “b” Es ordenado y creciente respecto a “a”
2. Polinomio CompletoSi existen todos los grados incluyendo el término independiente, hastaun grado determinado
Ejemplos:1. P(x) = 3x2 – 5x + 7 – 2x3
Es completo de grado 32. Q(x;y) = 3x – 2y2 + 5x2 y + x3 y4 – 2x4 y3
Es completo respecto a “x” e “y” y GR(y) = 4, GR(x) = 4
Propiedad:En todo polinomio completo
Número de términos = G.A. + 13. Polinomio Homogéneo
Es homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G.A.
Ejemplo:P(x;y) = 32x3 y4 + 20x6 y – 10x2 y5
Propiedad:Términos Semejantes:Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en loscoeficientes.
Ejemplo:T 1(x,y) = 21x7 y4
T 2(x,y) = 5 x7 y4
T 3(x,y) = 12 x7 y4
4. Polinomio IdénticosDos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valoresnuméricos para cualquier valor de la variable
Ejemplo:P(x;y) = (x + y)2 – 4xy
Q(x;y) = (x – y)2
a) Polinomio Idénticamente NuloUn polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor de suvariable el polinomio se anula.
b) Polinomio MónicoUn polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1.Ejemplo:A(x) = 1 + x2 + x3
B(x) = 9x4
+ x3
+ x5
Propiedad:1. Cambio de Variable
EjemploSea P(x)=3x + 1 P(x + 1) =
P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1P(x + 1) = 3x + 3 + 1P(x + 1) = 3x + 4
2. Suma de Coeficientes
. 1P coef .
Ejemplo:Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 33 34
116131 2 P coef 101631 P coef
3.
Término Independiente:
. 0.. P I T .
Ejemplo:Sea: P(x) = (5X + 3)2 T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Si R(x,y) = ax2 y3 + bx4 y5
Hallar G.R.(x) = _ _ _ _ _
G.R.(y) = _ _ _ _ _
G.A. = _ _ _ _ _
2. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente.P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4
3. ¿El siguiente polinomio es completo?P(x,y) = 6x3 + 5x2 y+ 4xy2 + -3x3
Con respecto a “x” _ _ _ _ _ Con respecto a “y” _ _ _ _ _
4.
¿Cuál es el coeficiente principal de:Q(x) = 5x2 + 3x4 – 2x + 3
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 35 36
EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DEMATEMÁTICA
1. Calcular: (a – b) si el monomio:M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8
A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3
Resolución M(x;y) = 5x2a +b ya + 2b
G.R.(x) = 82a + b = 8 b = 8 – 2a .... (I)
G.A. = 15(2a + b) + (a + 2b) = 15
3a + 3b = 15 .... (II)
Reemplazamos (I) en (II):3a + 3(8 – 2a) = 153a + 24 – 6a =15
9 = 3a . a = 3 .
Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)b = 8 – 2(3) . b = 2 .
. a – b = 3 – 2 = 1 . Rpta. A
2. Si el grado de: F(x,y) = 2 3a a y x es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xa ya + 5
A)
16 B)
17 C)
18 D)
19 E)
20
Resolución Aplicando la propiedad:
n
p
n
m
n P m BABA ..
En el: F(x;y) = 2 3a a y x ; obtenemos:
F(x;y) = 23
2 aa
a
y x
Por dato: 22
3
2
a a
a
22
3
a
a a + 3 = 2(a – 2)
a + 3 = 2a – 4. 7 = a .
Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:
Q(x;y) = xa
. ya + 5
Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19
. El grado de: Q(x;y), es: 19 . Rpta. D
3. Calcular: “m + n”, si se sabe que el monomio: P(x;y) = 4nxm + n ym + 2n es de:G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
Resolución Por dato:
G.R.(y) = 6m + n2 = 6 m = 6 – 2n .... (I)
G.A. = 10(m + n) + (m + 2n) = 10 .... (II)
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 37 38
Reemplazando (I) en (II); obtenemos:2(6 – 2n) + 3n = 1012 – 4n = 3n = 10
. 2 = n .
Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)
m = 6 – 2(2) m = 2
. m + n = 2 + 2 = 4 . Rpta. B
4. Siendo F(x) = x x 82 2
Determinar: F(98)G.A. = 10; G.R.(Y) = 6
A)
108 B)
102 C)
98 D)
100 E)
1000
Resolución Aplicando: . (A - B)2 = A2 – 2AB + B2 .
Obtenemos:F(x) = x x x 822.2 22
F(x) = 22 244 x x x
F(x) = x + 2 de esta expresión, calculamos:F(98) = 98 + 2 = 100
. F(98) = 100 . Rpta. D
5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:i) f(0) = 5 ii) f(–1) = 3
Según ello determine f(1)A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolución Como f(x) es un polinomio de primer gradoSerá de la forma: f(x) = ax + b
Luego: f(0) = a(0) + b
. 5 = b .
f(–1) = a(–1) + b3 = –a + b3 = –a + 5 . a = 2 .
De la expresión: f(x) = ax + b
f(x) = 2x + 5
Calculamos: f(1) = 2(1) + 5
. f(1) = 7 . Rpta. E
6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xm yn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en “x” a 7, yen “y” a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.
A) 7 B) 13 C) 9 D) 16 E) 14
Resolución G.R.(x) = 7
m + 1 = 7 . m = 6 .
G.R.(y) = 9n + 2 = 9 . n = 7 .
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 39 40
Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xm yn + 5 . yn + 2 . x
Luego el grado absoluto del polinomio es:
. m + n = 6 + 7 = 13 . Rpta. B
7. Si el grado de “A” es 8 y el grado de “B” es 4. Calcular el grado de:7 32 B.A
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Resolución Grado de “A” = 8
Grado de (A2) = 2 x 8 = 16
Grado de “B” = 4
Grado de (B3
) = 3 x 4 = 12
Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28
Grado (A2B3) = 28
Cuando la expresión está afectada por un radical el grado se dividepor el índice radical
Grado 47
28BA
7 32
. Grado 4B.A7 32
. Rpta. C
8. Indicar el grado relativo de “y en el polinomio homogéneo: mnnn y y x x x;y P 5214 42
2
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
Resolución Como el polinomio es homogéneo, el grado de cada monomio debe ser
igual, o sea:n2 + 4 = 2n + 3 = 5 – mi) n2 + 4 = 2n + 3
n2 – 2n + 1 = 0
(n – 1)2
= 0 . n = 1 .
ii) 2n + 3 = 5 – m2(1) + 3 = 5 – m5 = 5 – m . m = 0 .
Luego, calculamos el grado relativo de “y” G.R.(y) = 5 – m = 5 – 0 = 5
. G.R.(y) = 5 . Rpta. D
9.
Determinar “m” si el siguiente polinomio es homogéneo P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución Como el polinomio:
P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2
Es homogéneo:m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2
i) m + n + 4 = 2m + n + 2
. 2 = m . Rpta. B
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 41 42
10.
Si el polinomio P(x;y) es idénticamente nulo, hallar m n 4 P(x;y) = (9 – n)x2 y + mxy2 + 3x2 y – 2xy2
A) 15 B) 14 C) 12 D) 225 E) 144
Resolución En primer lugar agrupamos los términos semejantes de la manera
siguiente:P(x;y) = (9 – n)x2 y + mxy2 + 3x2 y – 2xy2 P(x;y) = (9 – n + 3)x2 y + (m – 2)xy2
P(x;y) = (12 - n)x2 y + (m – 2)xy2
Para que este polinomio:P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2
Sea idénticamente nulo, debe cumplirse que:
i) (12 – n) = 0 . 12 = n .
ii) m – 2 = 0 . m = 2 .
Luego: 144121212 22/42 44 mn
. 1444 m n . Rpta. E
11. Hallar A + B + C en la identidad:
Ax2 + Bx2 – Cx + B =2
1 x2 + 3x – 1
A) –3/2 B) –1/2 C) –582 D) 5/2 E) 3/2
Resolución Agrupamos los témanos de manera la siguiente:
(Ax2 + Bx2) – Cx + B =2
1 x2 + 3x – 1
(A + B)x2 – Cx + B =2
1 x2 + 3x – 1
Identificando:
i) . 2
1BA .
ii) –C = 3 . C = -3 . iii) . B = –1 .
Luego: A +B + C =2
1 + (–3)
. 2
5 c ba . Rpta. C
T U ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO YAMBOS SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO ESPÍRITU SANTO; SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA
TIERRA. ERES MI COMPAÑERO EN EL SENDERO DE LA VIDAY MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA
VERDAD OCULTA. ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUETE AME COMO HERMANO...
K AHIL G IBRÁN
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 43 44
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Sean:R(x,y) = 3x3 y6 H(x,y) = 10xa + 1 y4 Términos semejantes; hallar
a + bRpta.
2. Si el coeficiente principal de:P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + aEs cinco, calcular su términoindependiente.
Rpta.
3.
Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1, unpolinomio de 3er grado,calcular P(2)
Rpta.
4. Sean:P(x) = ax2
Q(x) = 3xa + 2Si P y Q tienen el mismocoeficiente, calcular elexponente “x” en Q
Rpta.
5. Si P(x) = x2001 – 3x2000 + 1.Hallar P(3)
Rpta.
6. SeaP(x) = (a + 3) xa + 3x + 5, unpolinomio cúbico, calcular sucoeficiente principal
Rpta.
7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c; c 0
Además P(1) = 0, hallarc
ba .
Rpta.
8. Sea: P(x) = ax + b ; a 0Además P(2) = a, calcular:a + b
Rpta.
9. Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = bCalcular b – a
Rpta.
10. Si f(x) = 122
x
x
, hallar 3f f
Rpta.
11.
Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4.Hallar n2
Rpta.
12. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3.Hallar P(0) + P(1)
Rpta.
13. Sea P(x) = x2 + x – a2, P(a) = 3.Hallar el términoindependiente de P(x)
Rpta.
14. Sea P(x) = 2x + 3, HallarP(x–2)
Rpta.
15. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x)
Rpta.
ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE; LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ
MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANAPUEDE OFRECERTE.
F RANCISCO J ARAMILLO
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 45 46
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Sean:P(x,y) = 4x4 ym
Q(x,y) = 10xn+2 y5,Hallar m + n,
Si son términos semejantes
A) 2 B) 3 C) 7D)
8 E)
1
2. Si el coeficiente principal de:Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k,es 5, calcular su términoindependiente:
A) 8 B) 6 C) 3D) 1 E) 5
3. Sea: R(x) = xn + nx2 +3
n x + n,
un polinomio de 3er grado,calcular P(3)
A)
30 B)
40 C)
50D) 60 E) 70
4. Sean:A(x) = Kx2
B(x) = 5xk+3
Si A y B tienen el mismo
coeficiente, calcular elexponente de x en “B”
A)
6 B)
7 C)
8D) 16 E) 1
5. Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3.Hallar Q(2)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 6
6. Sea:R(x) = (K + 2) xK–1 + 3x2 + 6
Un polinomio de 5to grado,hallar el coeficiente deltérmino principal.
A) 2 B) 4 C) 6
D)
8 E)
9
CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN , VALE LA PENA HACERLA DESPACIO.
G IPSY R OSE LEE
7. Sea:P(x) = ax3 + bx2 + cx + dAdemás
P(1) = 0, Hallard
c ba
A) 0 B) 1 C) –1D) 5 E) 4
8.
Si P(x) = ax2 + b, a 0 y
además P(3) = a, Calculara
b
A) 5 B) 6 C) –7D) 8 E) –8
9. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1)
A) 3x-2 B) 2x+3 C) 3x+2D) 3x E) 2
10. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x)A) 3x+5 B) 5x+3 C) 3x–5D) 3x E) 5
CLAVES
1. C
2. C
3. D
4. C
5. C
6. D
7. C
8. E
9. C
10. C
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8/18/2019 Algebra jec
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 49 50
3. Si a + b = 16, Simplificar:22
2 babaQ 4. Simplificar
3 33 baab3baN PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Simplificar:22
2 y xy x N
Rpta.
2. Reducir: 2bbabaP
Rpta.
3. Simplificar:
x bax abbx ax
N
2
Rpta.
4. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallara2 + b2
Rpta.
5. Si 31 x
x , hallar2
2
x
1x
Rpta.
6. Sabiendo que:(x + 1)2 =3, Calcular x2 + 2x – 2
Rpta.
7. Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 0.
calcular2
b
a
Rpta.
8. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1,calcular (x + y)2
Rpta.
9. Si a + b = 4 y ab = 3, hallara3 + b3
Rpta.
10. Si: a – b = 2 y ab = 15, Hallara 3 – b3
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 51 52
11. Simplificar:
158
53
2
x x
x x N
Rpta.
12.
Reducir:P = (x + 4) (x + 2) – 6x – 8
Rpta.
13. Si: 4ª2 – 4a + 1 = 0, calcular:4a + 3
Rpta.
14. Reducir(x + 1) (x – 1) + (x + 2)x +(x + 3) (x + 1) – x2
Rpta.
15. SI 31 a
a , hallar3
3 1
a
a
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Simplificar:
22 y x y x N
A)
xy 2
B)
xy 4
C)
4xyD) 5xt E) xy
2.
Reducir: 2y y x y x Q
A) x B) x2 C) xyD) y2 E) y
3. Simplificar:
x x
x x N
9
2054
2
A) 0 B) 1 C) 4D) 8 E) 14
4. Si: x + y = 5 y x . y = 6,Hallar x2 + y2
A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15
5. Si: 4x
x , Hallar
2
2 1
x x
A) 12 B) 13 C) 14D) 15 E) 16
6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36,hallar x2 + 4x – 2
A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50
7. Si (a + 3b) (a – 3b) = 0, b 0,
calcular2
b
a
A) 3 B) 6 C) 9D) 12 E) 15
8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallara3 + b3
A) 36 B) 72 C) 144D) 216 E) 108
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 53 54
9. Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3,hallar (a + b)2
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
10. Si x – y = 4Simplificar:
xy y x N 42
A) 5 B) 3 C) 2D) 1/2 E) 4
CLAVES
1. A
2. A
3. B
4. C
5. C
6. C
7. C
8. B
9. E
10. E
EL ÉXITO CONSISTE EN UNA SERIE DE PEQUEÑOSESFUERZOS DIARIOS.
MAMIE MC C ULLOUGH
TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIOPara dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los
términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:
Ejemplo:
2
25
2
73
2
56
2
257356
7
35
7
21
7
42
7
352142
xy
y x
xy
y x
xy
y x
xy
y x y x y x
= 6x5 y3 – 3x2 y5 + 5x4
DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOSPara dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor según la misma letra, dejandoespacios para los términos que faltasen.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término deldivisor para obtener el primer término del cociente.
3. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y elproducto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada término deeste producto debajo de su semejante cambiando de signo.
4. Se divide el primer término del residuo, entre el primero término deldivisor, para obtener el segundo término del cociente.
5. Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este productose resta del residuo anterior.
6. Se divide el primer término del segundo residuo, entre el primertérmino del divisor para obtener el tercer término del cociente.
7. Se continúa análogamente a los pasos anteriores hasta que el residuosea un polinomio de menor grado que el divisor.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 57 58
Método de HornerPrimeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y
otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la verticalse colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de lavertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propiosigno en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de
coeficientes del divisor con el signo cambiado.
Ejemplo:Dividir: 2x4 – x3 + 4x2 + 5x – 1 entre 2x2 + x – 1
Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre loscoeficientes del dividendo, el número de columnas a contar de derecha aizquierda es igual al grado del divisor, ésta raya servirá para separar elcociente del residuo. Además se traza otra recta horizontal para colocardebajo de ella la respuesta.
En el ejemplo:
Para empezar a dividir 1. Se divide el primer término del dividendo entre el número encerrado en
un círculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal yse multiplica por cada uno de los número que estén a la izquierda, de laraya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productosdebajo de los números que le siguen al primero.
2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el númeroencerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de laraya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.
3. La operación se realiza hasta completar el resultado correspondiente atodas las columnas, después de la 2da raya vertical, luego de esa raya lasuma de las columnas ya no se divide entre el número encerrado en lacircunferencia.
LA DESGRACIA ABRE EL ALMA A UNA LUZ QUE LAPROSPERIDAD NO VE.
LACORDAIRE
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 59 60
Ejemplo:Dividir6x5 + 7x4 – 18x3 + 10x2 + 7x – 9 entre 3x3 + x2 + 2
Q(x ) = _ _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _ _
Método de Ruffini
Este método es aplicable a divisores de la forma: (x a) y con ciertasrestricciones a divisores de la forma (axn b).
1. Divisor de la forma (x a)Para dividir por el Método de Ruffini, se trazan dos rayas que seintersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendocon su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de lavertical se coloca el valor de “x” que anula al divisor.
Ejemplo:Dividir:x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2
Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:
Q(x) = x2 + 1R(x) = –3
Ejemplo:Dividirx5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x – 2
Q(x) = _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _
TEOREMA DEL RESTOEste método se emplea para calcular el residuo en forma directa, sin
necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de laforma ax b o transformable a ella.Procedimiento:1. Se iguala al el divisor a cero encontrándose un valor de la variable.2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo
obteniéndose un resultado el cual será el residuo
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 61 62
Ejemplo:Calcular el residuo del divisor:3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3
Igualamos el divisor a cerox – 3 = 0
. x = 3 . Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo 3x 3 – 5x2 + 7Residuo (R) = 3(3)3 – 5(3)2 + 7
= 3 . 27 + 5 . 9 + 7= 81 – 45 + 7 = 43
Ejemplo:Calcular el residuo de dividir:x3 + +2x2 – x + 2 entre 2x – 1
Igualamos el divisor a cero2x – 1 = 0 . x = _ _ .
ReemplazandoResiduo (R) = _ _ _ _ _
NO SE MIDE EL AMOR POR EL NÚMERO DE CARICIAS, SINO POR LA FRECUENCIA CON QUE UNO Y EL OTRO SECOMPRENDEN
H. S PENCER
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Indicar el residuo de lasiguiente división
2
3242 67
x
x x x
Rpta.
2. Efectuar la siguiente divisiónIndicar el residuo
1
4456 23
x
x x x
Rpta.
3. Indicar el términoindependiente del resto de lasiguiente división
123
6262
23
x x
x x x
Rpta.
4. Indicar la suma de
coeficientes del cociente luegode efectuar:
1x3x2
10x20x3xx22
234
Rpta.
5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
nx
nx nx x
2
42 23
Rpta.
6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entrex + 3, el residuo es:
Rpta.
7. Hallar el cociente en:
13
12623
345
x x
x x x x
Rpta.
8. Cual es el valor que deberá
tener “K” para que al dividir4x5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2,el residuo sea cero
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 63 64
9. El cociente de la siguientedivisión:x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3es:
Rpta.
10. Hallar el residuo en
2
6352 34
x
x x x
Rpta.
11. Hallar el cociente en:
352
276538
2
34
x x
x x
Rpta.
12. Hallar el coeficiente deltérmino cuadrático en:
32
372 34
x
x x x
Rpta.
13. Hallar el cociente aplicandoHorner
5
107272
245
x x
x x x x
Rpta.
14. Hallar el cociente aplicandoRuffinix4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2
Rpta.
15. Hallar el cociente aplicandoHorner
6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3entre 3x3 – 5x2 + 3
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza” V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Indicar el residuo en lasiguiente división:
1
32 23
x
x x
A) 1 B) –1 C) 0D) 2 E) –2
2.
Efectuar la siguiente división:
12
26 2
x
x x
E indicar el cociente
A) x+1 B) 3x–2 C) 3x+2D) 2x+3 E) 2x–3
3. Indicar el términoindependiente del resto en lasiguiente división
9x3
27x9x6 2
A) 1 B) 2 C) –2D) 3 E) 0
4. Calcular la suma decoeficientes del cociente,después de efectuar.
8
56152
x
x x
A) 5 B) –5 C) 6D) –6 E) 7
5. Calcular “n” si el resto de ladivisión es cero
418112
23
x
nx x x
A) 12 B) 36 C) 42D) 6 E) 24
6. Al dividir:
3
1273
36
x
x x
El residuo es:
A)
x3–4 B) X3+4 C) x2–5D) x2–3 E) 2x3+1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 65 66
7. Hallar el cociente en:
3x4x
9x14x10x2
23
A) x+1 B) x–1 C) x+6D) x–6 E) x+7
8. Dividir usando Horner
4 y5 y2 y3
y84 y3 y10 y3 y9 y523
23645
e indicar la suma decoeficientes del cociente
A) 0 B) 1 C) –1D) 2 E) 3
9. Dividir usando Ruffini2x3 – 11x2 + 18x – 24 entrex- 4e indicar el términoindependiente del cociente
A)
1 B)
3 C)
6D) 9 E) –3
10.
Dividir usando Horner
x x
x x x x
27
215831
3
562
e indicar el coeficiente deltérmino cúbico
A) 0 B) 1 C) –1
D) 2 E) –2
CLAVES
1. C
2. B
3.
D
4. D
5. E
6. A
7. D
8.
B
9. C
10. B
TEMA: COCIENTES NOTABLES
CONCEPTOSon ciertos cocientes que se escriben por simple inspección,
sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.
1. Cociente de la diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia elos mismos
. y x y x
y x
22
. . y x y x
y x
22
.
Ejemplos:
1. 11
12
x
x
x
2. 33
92
x
x
x
3. 22
42
x
x
x
4. 8
642
x
x = _ _ _ _ _
5. 4
162
x
x = _ _ _ _ _
6. 5
252
X
x = _ _ _ _ _
2. Cociente dela suma o diferencia de cubos entre la suma o diferenciade los mismos
. 2233
y xy x y x
y x
. . 2233
y xy x y x
y x
.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 67 68
Ejemplos:
1. 422
8 23
x x
x
x
2. 1644
64 23
x x
x
x
3. 9327 23
x x
x x
x
4. 5
1253
x
x = _ _ _ _ _
5. 6
2163
x
x = _ _ _ _ _
6. 10
10003
x
x = _ _ _ _ _
En general: los cocientes notables son de formay x
y x nn
Se presentan 3 casos:1er caso
. 432234 y xy y x y x x y x
y x nn
.
Ejemplos:
1. 43223455
y xy y x y x x y x
y x
2. y x
y x
66
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2do caso
. 1n34n23n2n1nnn
y..... yx yx yxx yx
yx
.
Ejemplos:
1. 5432234566
y xy y x y x y x x y x
y x
2. y x
y x
55 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2do caso
. 1n34n23n2n1nnn
y...... y.x y.x y.xx yx
yx
.
Ejemplos:
3. 5432234566 yxy yx yx yxx yx yx
4. y x
y x
55
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3er caso Se cumple sólo si n es impar
.
1342321......
nnnnnnn
y y x y x y x x y x
y x
.
Ejemplos:
1. 43223455
y xy y x y x x y x
y x
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 69 70
2. y x
y x
77
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
En general
Sea:
y x y x
nn
El número de términos es nn 1
El término de lugar “K” es:
T k = xn–K . yK–1
Para que una expresión de la forma
qn
pm
y x
y x
Sea cociente notable ante todo deberá cumplirse que:
q
p
n
m
NO VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIRÉ, NI ME
SIGAS, NO TE GUIARÉ; SOLO CAMINA A MI LADO YSEAMOS AMIGOS.
E. W HITE
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar
2
325
x
x y hallar la suma de
coeficientes del resultado
Rpta.
2. Calcular el tercer término de:
13
184 4
x
x
Rpta.
3. Calcular el segundo término de
35
27125 3
x
x
Rpta.
4. Desarrollar
x
82xE
3
Rpta.
5. Desarrollar
1
163 4
x
x N
Rpta.
6.
Si:
23
11
y x
y x mm
, es C.. Hallar “m”
Rpta.
7. Hallar el término de lugar 34en
y x
y x
4848
Rpta.
8. Hallar el término de lugar 25
en
a x
a x
4040
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 71 72
9. Hallar el valor de “n” para que:
23
25
y x
y x nn
sea Cociente
Notable
Rpta.
10. Hallar el valor de “P” para que:
44
64
P
P
y x
y x , sea C.N
Rpta.
11. Efectuar:
y x
y x
2
64 66
e indicar el cuartotérmino
Rpta.
12. Cual es el tercer término en elcociente
y x
y x
2
322
510
Rpta.
13. Cual es el quinto término deldesarrollo de:
12
164 6
x
x
Rpta.
14. ¿Cuál es la suma decoeficientes del desarrollo delcociente:
1
17
x
x
Rpta.
15. Hallar el término central deldesarrollo
33
1551
y x
y x
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar la suma de coeficientes
del desarrollo de:
y x
y x
2
32
2
510
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
2. Calcular el cuarto término deldesarrollo de:
y x
y x
99
A) x3 y3 B) –x3 y3 C) x4 y4 D) –x2 y3 E) –x3 y2
3. Calcular el quinto tercer
término del desarrollo de:
x y x y
88
A)
y4x3 B)
y3x4 C) – y3x4
D) – y4x3 E) x4 y4
4. Desarrollar y dar el valornumérico del tercer términopara x = 2 del siguienteCociente Notable
1
163 4
x
x
A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30
5. Si:
43
213
y x
y x nn
, es un Cociente
Notable, hallar “n”
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
6. Hallar el término de lugar 47en
y x
y x
6161
A) x13x15 B) x12 y43 C) x14 y46 D) x11 y51 E) x15 y40
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 75 76
6 - 15 32 5
M.C.D. (6,15) = 3
El menor exponente de x es 2 el factor común es 3x2 Luego3x2 (2x – 5)
3. Factorizar:3x2 y + 6xy2 – 3x2 y2
2. Factor Común PolinomioEl factor común es un polinomio.
Ejemplo:5a(x – y) + 10b2 (x – y)
Se procede de igual forma que en el caos anteriorM.C.D.(5x10) = 5
Factorizando tenemos5(x – y) (a + 2b2)
POR EL BRILLO DE LOS OJOS, DESDE EL COMIENZO DELOS TIEMPOS, LAS PERSONAS RECONOCEN A SUVERDADERO AMOR.
B RIDA
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Factorizar:7x + 7y
Rpta.
2. El factor común de x2 – x2 y es:
Rpta.
3. Factorizar24x3 – 16x2 + 8x
Rpta.
4. Factorizar:18x3 + 6x2 y + 4xy2 – 10xy
Rpta.
5. Al factorizar16z3 + 20z2 + 4z4 + 12z5, seobtiene:
Rpta.
6. Factorizar:
5
1
5
1x
Rpta.
7. Factorizar:–a – b + 2(a + b)
Rpta.
8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar
mx + my
Rpta.
9. Factorizar:1 – x + 2y(1 – x)
Rpta.
10. Factorizar(a + b)x – (a + b)y – a – b
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 77 78
11. Factorizar:(ax – bx + cx) + (ay – by - cy) – a + b – c
Rpta.
12. Factorizar:4x4 y – 2x5 + 6x3 y2 – 2x2 y3
Rpta.
13. Factorizar:12n5m4 – 18n3m7
Rpta.
14. Factorizar:–x2 y – 4x2
Rpta.
15.
Factorizar: y3 + ny3
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la expresión7x2 y3 + 14x3 y2 El factor común es:
A)
x
2
y
2
B)
7xy C)
7x
2
y
2
D) x3 y3 E) 7x3 y3
2. En la siguiente expresiónx2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar,el factor común es
A) m . n B) m2n C) mn2 D) m2 . n2 E) m3n2
3. Si factorizamos9y2 – 81yel factor que no es monomioes:
A)
9 – y B) y2 – 9 C) y – 9D) y + 9 E) 9y
4. Uno de los factores de:
(a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3),es:
A) 2a + 3b + 3 B) 2a + b + 3C) 2a – 4b + 3 D) 2a +bE) 2a – b
5. Después de factorizar(3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)Uno de los factores es:
A) 7x–3 B) 7x+3 C) 7x+1D) 7x–1 E) 7x+5
6. Si a – b = 5 y m = 4, hallar elvalor de ma – mb
A) 10 B) 20 C) 30D) 15 E) 16
7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallarel valor de(p + q)x + (p + q)y
A) 16 B) 3 C) 48D) 16 E) 12 19
8. Si: m + n = 4; a – b = 2, hallar
el valor de:(m + n)a – (m + n)b
A) 10 B) 16 C) 8D) 4 E) 5
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 79 80
9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallarel valor de:(p + q)x2 + (p + q)y2
A) 10 B) 15 C) 17D) 9 E) 5
10. Factorizar(a2 + b2) (x + y) + (a2 + b2)(x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)Uno de los factores es:
A) x(a + b) B) x2(a + b)
C)
x(a + b)
2
D)
– y(a
2
+ b
2
)E) x(a2 – b2)
CLAVES
1. C
2. D
3. C
4.
5. B
6. B
7. C
8. C
9. B
10. D
ÍNDICE
PÁG.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................... 7
T EORÍA DE EXPONENTES ................................................................................................ 20
POLINOMIOS ..................................................................................................................... 30
PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 47
DIVISIÓN ALGEBRAICA ................................................................................................... 54
T EOREMA DEL RESTO ........................................................................................ 58
COCIENTES NOTABLES .................................................................................................... 66
FACTORIZACIÓN (I) ........................................................................................................ 74