Upload
vubao
View
234
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ALGEBRA ŞCOLARĂ
1. Caracterul fundamental al algebrei 2. Cele trei perioade ale
dezvoltării algebrei 3. Legătura dintre apariţia algebrei şi dezvoltarea
societăţii 4. Formarea algebrei elementare 5. Algebra şi aritmetica
6. Algebra şcolară
1. Caracterul fundamental al algebrei. Printre disciplinele matematice, algebra
elementară joacă un rol fundamental. Metoda algebrică este caracterizată prin faptul
că numerele - apoi şi alte obiecte - se notează prin litere şi operaţiile se fac după legi
bine determinate, dar fără a preciza ce număr reprezintă fiecare literă. Se fac
operaţii cu numere oarecare, nedeterminate (dintr-o anumită mulţime, de exemplu: în
şcoala generală, din mulţimea numerelor raţionale), valabile pentru toate numerele (din
acea mulţime). Operaţiile şi relaţiile, la rândul lor, se notează prin semne (+, —, =, >
etc).
Concepută iniţial ca un fel de stenografie, ca un mijloc de exprimare în scris,
notaţia algebrică s-a transformat treptat într-un instrument de lucru foarte eficace şi
uşor de manevrat. Datorită ei, gândirea nu se mai desfăşoară cu ajutorul cuvintelor din
vorbirea obişnuită, ea lucrează direct cu simbolurile. Dar lucrurile nu se opresc aici.
Treptat, simbolurile algebrice se eliberează de conţinutul lor şi capătă o viaţă proprie,
ele iau locul noţiunilor corespunzătoare şi operaţiile matematice se reduc la operaţii cu
simboluri. Semnele algebrice devin adevărate vehicule ale gândirii, care duc uneori
gândirea dincolo de intenţiile iniţiale ale celor ce le folosesc. Cu drept cuvânt s-a spus,
în legătură cu rolul pe care l-au jucat literele în formarea algebrei, că literele sunt mai
înţelepte decât oamenii.
Aproape toate disciplinele matematice care s-au format începând din sec. al
XVII-lea, în special analiza şi geometria analitică, s-au dezvoltat pe baza algebrei. În
toate disciplinele matematice, notaţia joacă un rol esenţial; când se introduce o noţiune
nouă, o operaţie sau o relaţie nouă, se dă şi simbolul corespunzător. Primul pas spre
matematizarea unei ştiinţe este crearea unui sistem de simboluri adecvat. Toate
acestea se fac după modelul algebrei. Acest fapt se reflectă şi în învăţământ. Nici o
altă disciplină matematică, în afară de geometria elementară (şi aceasta numai în
parte), nu se poate învăţa fără a stăpâni calculul algebric.
2. Cele trei perioade ale dezvoltării algebrei. În decursul dezvoltării sale istorice,
algebra şi-a schimbat de mai multe ori conţinutul principal. În urma unei dezvoltări
discontinue ale cărei momente principale sunt: calculul „hau” al egiptenilor, algebra
geometrică a grecilor, Diofante şi matematica din Asia mijlocie (indo-arabă), la
sfârşitul Evului Mediu şi în timpul Renaşterii algebra se constituie ca ştiinţă, mai ales
datorită lucrărilor matematicienilor italieni (Fibonacci, Tartaglia, Cardano ş.a.). Tot
atunci apare şi numele ei. Începând din acest moment, se pot deosebi în dezvoltarea
algebrei trei perioade. Bineînţeles, nu se pot trasa hotare precise între ele.
2
1) Algebra în spiritul lui Vieté. În prima perioadă se cristalizează notaţiile
literale, se introduc semnele operaţiilor, se dezvoltă calculul algebric, se obţin primele
rezultate în rezolvarea ecuaţiilor şi se inventează logaritmii. Tot acum numerele
negative se încetăţenesc definitiv în matematică. Această parte a algebrei se numeşte
de obicei algebra elementară. Ea a fost sintetizată pentru prima dată de către marele
matematician L.Euler, în cartea sa Introducere în algebră (1767). Această carte a
servit, direct sau indirect, ca model pentru cele mai multe manuale şcolare de algebră
şi prezintă interes şi astăzi din punct de vedere metodic.
2) Algebra ca teoria ecuaţiilor. În a doua jumătate a sec. al XVIII-lea şi în prima
jumătate a sec. al XIX-lea, în centrul algebrei stă rezolvarea ecuaţiilor algebrice, adică
a ecuaţiilor de forma aoxn+ a1x
n-1 + ... + an-1x + an = 0.
Rezolvarea ecuaţiilor de gradul 3 şi 4 a fost un succes imens, prima realizare
prin care a fost depăşită ştiinţa antică. În această perioadă, cei mai de seamă
matematicieni din lume (Descartes, Euler, Lagrange, Gauss ş.a.) au făcut cercetări
menite să ducă la găsirea unor formule de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare
decât 4. Eforturile lor n-au avut succes şi nu puteau să aibă. Cercetările din această
direcţie au fost încheiate prin lucrările lui Abel, care a demonstrat că ecuaţiile de grad
mai mare decât 4 nu pot fi rezolvate prin radicali. Tot în această perioadă s-au
dezvoltat în legătură cu geometria analitică, teoria determinanţilor, a matricilor, a
transformărilor liniare, a invarianţilor. Algebra creată în această etapă se numeşte de
obicei algebră superioară. Partea din algebră corespunzătoare primelor două stadii se
numeşte uneori algebră clasică.
3) Algebra modernă. Datorită mecanicii şi fizicii au fost introduse în matematică
„mărimi” noi, cum ar fi vectorii, tensorii, matricele ş.a., care se notează, ca şi
numerele, prin litere şi cu care se fac operaţii.
Aceste operaţii se definesc pentru fiecare fel de mărimi în parte - într-un fel se
adună două numere complexe şi în altfel se adună două matrici, într-un fel se află
produsul a două numere naturale şi în altfel produsul a două omotetii. Dar aceste
operaţii au multe proprietăţi comune, asemănătoare cu proprietăţile operaţiilor cu
numere. În felul acesta s-a trecut la studiul operaţiilor sub forma generală, în care se
face abstracţie de natura fiecărei operaţii în parte. Apariția semnelor ,, ┬ prin care
se notează operaţiile oarecare corespunde introducerii literelor pentru a nota
numerele oarecare. Algebra modernă are ca obiect studiul sistemelor algebrice, adică
al mulţimilor în care sunt definite anumite operaţii, cum sunt: grupurile, inelele,
corpurile, spaţiile vectoriale ş.a.
Aritmetica, algebra clasică şi algebra abstractă (modernă) pot fi caracterizate
prin schema următoare: aritmetica - operaţii determinate cu elemente determinate;
algebra clasică - operaţii determinate cu elemente nedeterminate; algebra abstractă
operaţii nedeterminate cu elemente nedeterminate.
Într-un anumit sens, algebra modernă este o revenire la algebra în spiritul lui
Vieté, căci ea se ocupă, pe o treaptă superioară, cu calculele literale, având ca obiect
operaţiile, considerate sub forma generală.
Apariţia maşinilor electronice de calcul pune algebrei probleme noi,
automatizarea a dus la crearea unor teorii noi, teoria mecanismelor automate, la care
3
algebriştii din ţara noastră, în frunte cu acad. Gr.C.Moisil, au adus contribuţii
importante. Aplicaţiile cele mai noi ale matematicii în ştiinţele care nu au folosit-o până
acum ţin în mare măsură de algebră.
Cuvântul algebră vine de la titlul tratatului Al-geabr v-al-muca-bala, scris de
Muhamed ibn Musa al Horesmi (sec. IX e.n.). Această carte a influenţat mult
dezvoltarea matematicii în Europa începând de la sec. al XII-lea.
3. Legătura dintre apariţia algebrei şi dezvoltarea societăţii. Pentru a putea
aprecia importanţa algebrei este util să cunoaştem şi cadrul istoric în care s-a format
această ramură a matematicii. Ne vom mărgini la situaţia din Europa.
Începuturile algebrei în Europa datează dintr-o epocă în care apar primele
schimbări în relaţiile de producţie feudale. În timpul Renaşterii, atelierele
meşteşugăreşti încep să se transforme în manufacturi, se pun bazele comerţului
mondial de mai târziu, se formează relaţii de producţie capitaliste. Începe să se
dezvolte gândirea ştiinţifică, laică. Treptat se formează o intelectualitate nouă,
burgheză, care se străduieşte să elaboreze baza teoretică a forțelor de producţie noi,
şi anume cunoaşterea ştiinţifică a lumii. În acest cadru, algebra se răspândeşte în
Europa şi apar primele cercetări. Noile metode de calcul au fost îmbrăţişate cu interes
de negustorimea de atunci. Dar importanţa acestei ramuri noi a matematicii - care
peste câteva secole va depăşi realizările monumentale ale antichităţii elene - nu constă
numai în aplicaţiile ei imediate. Algebra începe să fie predată în universităţi. În unele
dintre aceste instituţii, cursurile de teologie şi de filozofie scolastică sunt eclipsate
de disciplina nouă. În lecţiile lor, algebriştii nu invocau nici o autoritate, ci expuneau
metode de a rezolva probleme bazându-se numai pe puterea spiritului omenesc. Ei nu
făceau apel la credinţă, ci la inteligenţă. În aceste cursuri nu se făcea exegeză, ci se
cerceta lumea obiectivă. Prin aceasta algebra a contribuit la formarea noului mod de a
gândi.
4. Formarea algebrei elementare. În vederea aplicării legii bio-genetice în predarea
algebrei în şcoala generală este util să cunoaștem trăsăturile generale ale dezvoltării
începuturilor algebrei şi legătura dintre algebră şi aritmetică.
În istoria modului de exprimare algebric se deosebesc, în linii mari, trei trepte:
algebra retorică, algebra sincopată şi algebra simbolică.
Pe prima treaptă se foloseau cuvintele din limba obişnuită, nu se utiliza nici un
semn special. Unii autori arabi scriau şi numerele în litere, deşi cunoşteau cifrele. Unii
termeni care intervin mai des capătă treptat caracterul de termeni de specialitate.
Acest fapt duce la treapta a doua: cuvintele care intervin deseori se scriu prescurtat,
se scrie de cele mai multe ori prima literă sau prima silabă a cuvântului corespunzător.
Dar aceste litere încă nu sunt privite ca semne independente. La acelaşi autor
(Diofante), acelaşi cuvânt se scrie uneori prescurtat, alteori complet, iar aceste
cuvinte chiar dacă sunt scrise prescurtat, se declină (într-o oarecare măsură, notaţiile
log, sin, ş.a. au şi acum un caracter intermediar, între scriere prescurtată şi simbol
matematic). Abia începând cu sec. al XV-lea algebriştii îşi dau seama de importanţa
semnelor în algebră, treptat se introduc în mod conştient simboluri, iar printr-o
4
selecţie naturală s-a ajuns la sistemul de simboluri folosit astăzi. Această dezvoltare
s-a încheiat în sec. al XVII-lea. Bineînţeles, ea nu este absolut încheiată. Pe măsură ce
matematica se dezvoltă, se introduc mereu notaţii noi, dar aceasta nu reprezintă nimic
nou din punct de vedere metodologic.
În zilele noastre, elevii îşi însuşesc cu uşurinţă simbolismul algebric în câteva
luni.
5. Algebra şi aritmetica. Despărţirea aritmeticii de algebră are caracter şcolăresc,
din punct de vedere istoric ea este artificială. Astăzi, prin aritmetică se înţelege (în
sens şcolar) numeraţia, operațiile cu numere naturale şi cu fracţii (ordinare şi
zecimale) şi aplicarea lor la unele probleme practice; trecerea la algebră este marcată
prin folosirea literelor, introducerea numerelor negative şi rezolvarea problemelor cu
ajutorul ecuaţiilor. În dezvoltarea istorică a matematicii, această demarcaţie nu
există. Opera principală a lui Diofante, care a jucat un rol important în dezvoltarea
algebrei, se numeşte Aritmetica, iar pe de altă parte Algebra lui L.Euler tratează şi
operaţiile cu numere naturale şi cu fracţii. Folosirea literelor pentru a desemna mărimi
sau numere oarecare nu este rezervată exclusiv algebrei; ea era destul de răspândită
şi în epoca clasică a matematicii eline.
Din moştenirea arabă, care este baza dezvoltării ulterioare a algebrei, face
parte atât scrierea numerelor în sistemul zecimal, cu ajutorul cifrelor „arabe”, şi
calculele cu ele - ceea ce constituie azi aritmetica - cât şi ecuaţiile, care fac parte din
algebră. Mult timp aceste două lucruri erau nedespărţite, ele formau elementul nou,
care se opunea aritmeticii medievale. Din titlul aceleiaşi cărţi Al-geabr ... de al Horesmi
s-a format atât cuvântul algebra cât şi cuvântul algoritm - dintre care cel de al doilea
însemna la început folosirea sistemului zecimal. Astăzi, copiii învaţă „algoritmul” în
clasa întâi, iar ecuaţiile la algebră. Unii consideră că operaţiile cu numere determinate,
calculul numeric fac parte din aritmetică, iar calculul algebric este literal. Nici această
împărţire nu este justă, căci toată lumea este de acord că numerele negative se
introduc abia la algebră, - numerele „cu semn” se numeau uneori „algebrice” - în
opoziţie cu numerele „aritmetice”, deci se recunoaşte că o bună parte din calculul cu
numere determinate face parte din algebră.
Aşadar, separarea aritmeticii de algebră nu este întemeiată din punct de vedere
istoric, cu atât mai puţin din punct de vedere ştiințific. De acest fapt trebuie să se
ţină seama în predarea fiecăreia dintre aceste discipline. În ceea ce priveşte algebra,
ea trebuie predată în strânsă legătură cu aritmetica.
6. Algebra şcolară. Algebra care se predă în şcoala generală şi licee corespunde în
linii mari cu ceea ce a fost numit mai sus algebra în spiritul lui Vieté. În ţara noastră,
algebra ca şi celelalte discipline matematice, a fost introdusă în academiile de la Iaşi,
Bucureşti ş.a. începând; cu sfârşitul sec. al XVIII-lea; în programa şcolii lui Gh.Lazăr
figurează şi un curs de algebră; de asemenea, în şcolile care au fost înfiinţate ulterior;
începând cu 1864, când a fost promulgată prima lege de organizare a învăţământului
public, se predă în licee un curs de algebră care conţine: calcul algebric, ecuaţii liniare,
ecuaţii de gradul 2, binomul, progresii şi logaritmi - adică, în linii mari cam aceeaşi
5
materie care se predă şi acum în şcoala generală şi licee; ceea ce s-a adăugat este doar
o parte din materia care se predă la secţia reală. În legătură cu aceasta, nu poate fi
trecut sub tăcere faptul că programa şcolară de algebră a rămas neschimbată timp de
aproape două secole. Nici pentru viitorul apropiat nu sunt de aşteptat schimbări mari,
dat fiind caracterul fundamental al acestei discipline. Calculul algebric elementar şi
ecuaţiile sunt teme care nu pot lipsi din programa şcolară. În schimb, prinde din ce în
ce mai mult rădăcini ideea de a promova mai mult latura conceptuală şi de a-i subordona
latura algoritmică, cultivată cu precădere în învăţământul tradiţional.
SCOPUL PREDĂRII ALGEBREI ÎN ŞCOALA GENERALĂ
1. Scopul instructiv 2. Cele două trepte de abstractizare 3. Limbajul
algebric 4. Ecuaţiile 5. Studiul funcţiilor 6. Concluzii
Programa de matematică pentru şcoala generală atinge nivelul cel mai înalt prin
elementele de algebră care se predau în ultimele clase ale acestei şcoli. Ca şi în cazul
altor discipline, prin predarea algebrei se urmăreşte un scop instructiv şi unul educativ.
1. Scopul instructiv. Scopul instructiv este definit de programa analitică. Cunoştinţele
de algebră pe care elevii le capătă în clasele a 7-a şi a 8-a reprezintă o introducere în
această disciplină. După ce vor fi revizuite şi adâncite în clasa a 9-a, aceste cunoştinţe
vor constitui prima parte a cursului de algebră din liceu. Un lucru important pentru
elevi constă în faptul că ei au învăţat ce este o formulă: ea dă, sub o formă foarte
scurtă, soluţia unei mulţimi de probleme care diferă între ele numai prin datele
numerice. Soluția fiecărei probleme în parte se obţine dând literelor valorile
corespunzătoare şi efectuând operaţiile indicate. În al doilea rând vine faptul că se
introduc numerele negative. Folosirea numerelor pozitive şi negative pentru a
caracteriza mărimile ce pot fi socotite în două sensuri trebuie să facă parte din
patrimoniul cultural al oricărui om din zilele noastre. Mai greu este de precizat în ce
constă valoarea educativă a algebrei, adică de a arăta ce facultăţi intelectuale şi
morale se dezvoltă la elevi datorită faptului că învaţă algebra. Vom încerca să punem în
evidenţă unele aspecte ale ei.
2. Cele două trepte de abstractizare. Una din trăsăturile principale ale omului, care-
l deosebeşte de animale, este putinţa sa de a-şi forma noţiuni abstracte şi de a le
folosi pentru cercetarea lumii obiective. În matematică, această putinţă a omului se
manifestă într-un mod foarte pregnant. Există, însă, diferite grade de abstractizare şi
generalitate. Pe această scară, ceea ce învaţă elevii la aritmetică se găseşte pe o
anumită treaptă, iar prin cunoştinţele de algebră pe care le capătă în şcoala generală ei
se ridică pe o treaptă superioară. În clasa I, elevii îşi formează noţiunile abstracte de
1, 2, 3 ş.a.m.d. Aceste noţiuni caracterizează din punct de vedere cantitativ mulţimile
finite; se face abstracţie de calitate, de natura obiectelor din care ele sunt compuse.
Datorită acestui fapt, rezultatele operaţiilor cu numere abstracte se aplică tuturor
6
mulţimilor corespunzătoare. Relaţia 5 + 3 = 8 este foarte generală datorită faptului că
este o relaţie între noţiuni abstracte. Ea poate fi aplicată la o infinitate de cazuri
particulare, concrete. Ea arată că, reunind o mulţime de 5 nuci, oameni, cărţi etc. cu o
mulţime de 3 nuci, oameni, cărţi etc. se obţine o mulţime de 8 nuci, oameni, cărţi etc.
Timp de câţiva ani elevii învaţă operaţiile cu numere naturale şi cu fracţii şi le
aplică la rezolvarea unor probleme, dar toate lucrurile acestea se găsesc la acelaşi nivel
de abstractizare. Fracţiile nu sunt mai abstracte decât numerele naturale; 8
5 este tot
atât de abstract ca 13, de exemplu.
După ce elevii şi-au însuşit, cunoştinţele de aritmetică, ei devin apţi să treacă la
o treaptă superioară de abstractizare. În aritmetică elevii se găsesc în faţa unei
multitudini de numere ca 1; 2; 3; ... ...,;38,0...;;13
7;
8
5 dar nu au noţiunea generală de
număr (raţional, pozitiv). De asemenea, ei ştiu să facă operaţii ca 37 + 12; 48 – 15;
2
1:
8
3;
8
5
4
3 ş.a.m.d., oricare ar fi numerele, dar cu condiţia ca aceste numere să fie
date, determinate. Ei se găsesc în situaţia unui om care ştie ce este un brad, un stejar,
un fag, un salcâm ş.a.m.d., dar nu are noţiunea de copac. Acum se poate trece la
noţiunea de număr în general, la operaţii cu numere nedeterminate şi cu expresii
algebrice. Dacă prima abstractizare este trecerea de la 5 bile + 3 bile = 8 bile la 5 + 3
= 8, unde natura obiectelor este nedeterminată, a doua este trecerea de la 5 + 3 la a +
b şi la efectuarea unor operaţii ca (a + b) + (a - b) = 2a, în care a şi b sunt numere
nedeterminate. Prin această a doua abstractizare se creează posibilitatea de a exprima
noţiunea generală de număr, iar noţiunea de operaţie se separă de numerele cu care se
operează. Căci, atunci când spunem sau scriem 5 + 3, numerele 5 şi 3 pe de o parte şi
operaţia (adunarea) pe de altă parte stau pe acelaşi plan, ele sunt prezente în minte în
aceeaşi măsură; în schimb, când scriem a + b, pe primul plan stă operaţia (adunarea), iar
numerele cu care se face operaţia, reprezentate prin literele a şi b, trec pe planul al
doilea, se face abstracţie de ele.
Aşadar, dacă prin trecerea de la numere concrete la numere abstracte elevii se
ridică pe prima treaptă de abstractizare, prin trecerea de la operaţii cu numere
determinate la operaţii cu numere nedeterminate ei se ridică pe treapta a doua.
Datorită acestui fapt, algebra pe care o învaţă copiii în şcoala generală nu reprezintă o
simplă creştere cantitativă a cunoştinţelor lor de matematică, ci o trecere la un alt fel
de matematică, mai abstractă.
3. Limbajul algebric. Strâns legată de formarea noţiunilor este formarea limbajului
corespunzător. Crearea unei noţiuni noi implică şi crearea termenului corespunzător.
Această interdependenţă dintre gândire şi limbaj capătă în matematică o formă cu
totul specifică - dacă luăm termenul de limbaj într-un sens mai larg, ca mijloc de
exprimare şi comunicare. Aici vine în consideraţie ansamblul de semne matematice care
se foloseşte în algebra elementară şi care joacă un rol imens în matematică.
7
Algebra elementară este mai degrabă o metodă decât un ansamblu de cunoştinţe.
Notaţiile folosite în algebră (literele, semnele operaţiilor şi semnele pentru relaţii)
sunt o parte esenţială a acestei discipline. Datorită lor, gândirea însăşi este mult
uşurată, încât unii au crezut chiar că pot defini algebra prin simbolismul pe care îl
foloseşte.
Învăţând să folosească limbajul algebric, elevii învaţă să extragă esenţialul
dintr-o situaţie complexă şi să-l exprime sub o formă concisă.
4. Ecuaţiile. Cunoştinţele de algebră pe care elevii le capătă în şcoala generală se
încheagă prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor. Superioritatea acestei
metode faţă de numeroasele metode folosite în aritmetică constă în faptul următor: se
elaborează un algoritm, ansamblul de reguli după care se rezolvă o ecuaţie, iar
rezolvarea fiecărei probleme în parte se reduce la punerea ei în ecuaţie, prin care
enunţul ei se transformă astfel încât să poată intra în funcțiune algoritmul. Deosebirea
dintre metodele folosite în aritmetică şi cea folosită în algebră poate fi comparată cu
deosebirea dintre munca manuală şi folosirea unei maşini; în primul caz, muncitorul
lucrează piesa în întregime, după procedee variate, iar în cazul al doilea ajunge să
introducă piesa în maşină, restul face maşina. Dar, pentru a putea lucra la maşină, este
nevoie de o pregătire superioară. Tot aşa, rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor
este mai uşoară, dar ea face apel la facultăţi intelectuale superioare, care se dezvoltă
la elevi prin faptul că învaţă algebra.
5. Studiul funcţiilor. Este ştiut că datorită folosirii variabilelor şi funcţiilor a pătruns
dialectica în matematică. Datorită acestor noţiuni matematica devine capabilă să
studieze fenomenele în dezvoltarea lor şi dependenţele dintre ele. Variabila este
expresia mişcării, în sens general, iar funcţia a dependenţei dintre fenomene.
În cadrul algebrei se face un pas înainte în conturarea noţiunii de funcţie. Şi în
cadrul aritmeticii se studiază unele dependenţe funcţionale, în special la mărimile
direct şi invers proporţionale. Dar acolo această dependenţă se exprimă indirect, nu
printr-o lege, ci prin modul în care variază mărimile.
În clasa a 7-a, elevul întâlneşte pentru prima dată funcţii definite prin expresii.
Legătura dintre mărimi, care înainte se descoperea mai greu şi se exprima sub o formă
mai greoaie, devine astfel mai clară şi se exprimă sub o formă mai pregnantă.
6. Concluzii. Faptul că elevii, învăţând algebra, se ridică la ceea ce a fost numit mai sus
cea de-a doua treaptă de abstractizare şi folosesc notaţiile algebrice
corespunzătoare, că învaţă să folosească un instrument matematic cum sunt ecuaţiile,
că-şi formează o idee mai clară despre dependenţa funcţională nu pot rămâne fără
efect asupra formaţiei lor intelectuale. Chiar dacă în viitor nu vor avea nevoie niciodată
să efectueze calcule algebrice sau să rezolve ecuaţii, ei se vor orienta mai bine în
problemele concrete pe care le va pune munca în producţie şi viaţa în general. Prin
faptul că învaţă algebra, gândirea lor devine mai pătrunzătoare, vorbirea lor devine mai
simplă şi mai clară. Deprinderile pe care şi le formează vor fi valorificate sub diferite
forme, oricare ar fi activitatea lor viitoare.
8
LEGĂTURA DINTRE ARITMETICĂ Şl ALGEBRĂ
1. Desprinderea calculelor de schema de rezolvare 2. Utilitatea
formulelor numerice 3. Formulele din geometrie 4. Scrierea
prescurtată a enunţului 5. Metoda figurativă
Elevii au devenit capabili să înveţe algebra datorită unei anumite formaţii pe
care au căpătat-o în clasele anterioare. Este vorba de un anumit mod de a gândi şi de a
lucra pe care elevii şi l-au format, dar nu cu deplină claritate. Iniţierea în algebră
trebuie condusă astfel încât elevii să nu aibă impresia că învaţă un lucru cu totul nou.
Profesorul trebuie să valorifice în mod conştient această formaţie anterioară a
elevilor, ea trebuie dusă mai departe; germenii trebuie să se dezvolte. Vom descrie aici
cele mai importante dintre aceste forme.
1. Desprinderea calculelor de schema de rezolvare. În clasele anterioare, elevii şi-
au dat seama cu oarecare claritate că rezolvarea unei probleme se face în două etape
distincte: a) ce operaţii trebuie făcute cu numerele date sau cu cele obţinute în cursul
rezolvării problemei şi b) efectuarea acestor operaţii. Distincţia dintre aceste două
părţi devine pregnantă prin modul în care se redactează soluţiile problemelor. În multe
şcoli este uzual ca elevii să împartă pagina de caiet printr-o linie verticală în două părţi,
judecata şi lucrări; în prima parte, cea din stânga, se arată în cuvinte, de multe ori sub
formă de întrebare, care sunt paşii succesivi necesari pentru rezolvarea problemei, iar
în partea a doua se efectuează operaţiile. Dacă din soluţia unei probleme astfel
redactată citim numai partea stângă, avem soluţia tuturor problemelor care se obţin
din problema dată schimbând numai datele numerice. Pe măsură ce elevii devin stăpâni
pe tehnica de calcul, se produce în mintea lor o diferenţiere în privinţa importanţei
celor două părţi; partea a doua, efectuarea operaţiilor, devine un lucru uşor, secundar,
partea principală este judecata (începând din clasa a 3a se poate auzi de la elevi: „am
rezolvat bine problema, am greşit numai la o înmulţire”).
Aşadar, în cursul rezolvării problemelor de aritmetică elevul ajunge treptat să
facă abstracţie de datele numerice. Aceste date devin ceva secundar, dar ele nu pot
lipsi. Pentru elev, în această fază de dezvoltare, este indiferent dacă metrul de pânză
din problemă costă 8 lei sau 12 lei, singurul lucru important este că ştie cât costă un
metru de pânză. Prin faptul că elevul îşi dă seama de acest lucru, el poate înţelege o
problemă în care datele sunt exprimate prin litere. Avem aici punctul de plecare pentru
introducerea literelor în calcul.
2. Utilitatea formulelor numerice. Această bază de plecare este mai solidă dacă, la
aritmetică, elevii au învăţat să alcătuiască formule numerice. Fie, de exemplu,
problema:
9
Un camion trebuia să parcurgă o distanţă de 195 km. El a mers timp de 2 1/2 ore
cu o viteză de 48 km/oră, apoi a continuat drumul cu 42 km/oră. În cât timp a parcurs
el tot drumul?
Rezolvarea problemei se face cu ajutorul formulei:
.42
2
1248195
2
12
Formulele de acest fel, care conţin sub o formă mai concentrată ceea ce în
redactarea descrisă mai sus se scrie în jumătatea din stânga a caietului, îi pot face pe
elevi să-şi dea seama care este originea şi rostul expresiilor algebrice.
3. Formulele de geometrie. Un alt element care poate fi folosit pentru a trece
treptat la algebră sunt formulele pentru aflarea ariilor şi volumelor. De la regula
pentru aflarea ariei dreptunghiului: aria = baza x înălţimea, se trece uşor la formula:
.ibA În această formulă, literele b şi i încă nu sunt simboluri, elevul vede în ele
iniţialele cuvintelor respective. Dar, prin folosirea repetată a formulelor şi prin
înlocuirea literelor cu diferite numere, elevii sunt pregătiţi să înţeleagă ce este o
expresie algebrică şi ce este valoarea numerică a unei expresii algebrice.
4. Scrierea prescurtată a enunţului. Un rol important îl are scrierea prescurtată a
enunţului problemelor de aritmetică. Să luăm, de exemplu, problema:
Avem trei plicuri cu bani. În primele două plicuri împreună sunt 325 de lei, în
primul şi al treilea 405 lei, iar într-al doilea şi al treilea 480 de lei. Câţi lei sunt în
fiecare plic?
Enunţul ei se scrie prescurtat astfel: I + II = 325; I + III = 405; II + III =
480. De la această formă până la punerea problemei în ecuaţie (x + y = 325, x + 2 =
405, y + z = 480) nu e decât un pas. Nu are nici o importanţă cum se notează
necunoscutele, cu I, II, III sau x, y, z.
5. Metoda figurativă. Într-o ordine de idei apropiată trebuie menţionată şi metoda
figurativă care se foloseşte la rezolvarea unor probleme de aritmetică. Să luăm, de
exemplu, problema următoare:
O fermă cultivă grâu pe 1/3, iar porumb pe 1/5 din pământul de care dispune.
Partea însămânţată cu grâu este cu 256 ha mai mare decât cea însămânţată cu porumb.
De câte hectare de pământ dispune gospodăria?
În vederea rezolvării pe cale aritmetică, se face o schiţă ca cea care urmează;
segmentul întreg AB, respectiv A’B’, reprezintă întinderea de pământ de care dispune
gospodăria, partea îngroşată, AC, reprezintă partea însămânţată cu grâu, iar A’D’ - cea
însămânţată cu porumb.
10
Deoarece se dă diferenţa dintre aceste întinderi de pământ, o reprezentăm pe
figură. Ea este:
.15
2
5
1
3
1'''''' DACACD
Ştiind că 15
2 din toată întinderea de pământ au 256 ha, se află apoi de câte
hectare este toată întinderea de pământ.
Analogia dintre acest procedeu de rezolvare a problemei şi punerea problemei în
ecuaţie se vede din tabloul de mai jos.
Reprezentăm toată întinderea de pământ
prin segmentul AB Notăm aria lotului întreg cu x
Împărţim AB în trei părţi egale şi luăm una
din ele, AC Împărţim x prin 3 şi luăm câtul,
3
x
Împărţim acelaşi segment A’B’ în cinci
părţi egale şi luăm una din ele, A’D’
Împărţim acelaşi număr x prin 5 şi luăm
câtul, 5
x
Scădem A’D’ din A’C’ (care este tot una cu
AC) şi obţinem diferenţa D’C’
Scădem 5
x din
3
x şi obţinem diferenţa
3 5
x x
Ţinem seama de faptul că această
diferenţă este de 256 ha şi găsim soluţia
problemei
Scriem ecuaţia 25653
xx şi aflăm
valoarea lui x
Şi într-un caz şi în celălalt se consideră de la început problema rezolvată şi
necunoscuta se reprezintă într-un anumit fel. Presupunem că pământul de care dispune
ferma ar fi un dreptunghi cu baza AB, respectiv: presupunem că ştim câte hectare de
pământ are ferma şi notăm numărul respectiv cu x. Apoi se operează cu mărimea
necunoscută, respectiv cu numărul necunoscut, ca şi cum ar fi cunoscut. Singura
deosebire este că în primul caz se operează cu un obiect vizibil, segmentul AB, iar în
celălalt cu necunoscuta x. De aceea folosirea metodei figurative în rezolvarea
11
problemelor de aritmetică este, într-o oarecare măsură, o pregătire pentru punerea
problemelor în ecuaţie.
Acestea sunt elementele principale din formaţia pe care o au elevii în momentul
în care încep să înveţe algebra şi care urmează să fie valorificate în predarea algebrei.
Desigur, ele nu sunt singurele. Ne-am ocupat aici numai de acele elemente care sunt
necesare pentru a înţelege ce este o expresie algebrică şi a putea pune problemele în
ecuaţie - elementele esenţiale ale algebrei care se învaţă în şcoala generală.
Nu am arătat datorită cărui fapt elevii devin capabili să înţeleagă numerele
negative, calculul algebric şi rezolvarea ecuaţiilor. Până în prezent, psihologia nu a dat,
în această chestiune, rezultate care să poată fi folosite în învăţământ.
CARACTERISTICILE METODEI ALGEBRICE DE REZOLVARE
A PROBLEMELOR
1. Cele două trăsături ale metodei algebrice 2. Comparaţie cu
aritmetica 3. Exemplu 4. Notă istorică
Pentru a simplifica expunerea, ne mărginim la cazul problemelor cu o singură
necunoscută, dar cele ce urmează rămân valabile, cu modificări neesenţiale, şi pentru
probleme cu mai multe necunoscute.
1. Cele două trăsături ale metodei algebrice. Metoda algebrică este caracterizată
prin: 1) folosirea unui simbol, x, pentru necunoscută şi 2) folosirea unui algoritm pentru
rezolvarea ecuaţiilor.
1) În rezolvarea problemelor prin algebră se porneşte nu de la datele problemei,
ci de la necunoscută, care se notează cu un simbol. În rezolvarea oricărei probleme se
începe cu: „Notăm cu x numărul care arată...” şi se trece la punerea problemei în
ecuaţie. Această etapă este caracterizată prin două fapte. În primul rând, poziţia
noastră faţă de problemă se schimbă. Nu mai trebuie să facem calcule din care
răspunsul la problemă să rezulte abia la sfârşit. Acum, problema se consideră de la
început ca rezolvată. Introducând simbolul x, ne punem în situaţia că avem răspunsul la
întrebarea din problemă, căci acest simbol stă pe picior de egalitate cu numerele date;
cu numărul x se fac operaţii ca şi cum ar fi un număr cunoscut
În al doilea rând, se fac operaţiile necesare pentru a rezolva nu problema
propusă, ci o problemă inversă, faţă de cea dată. Cu alte cuvinte, se lucrează ca şi cum
s-ar cunoaşte valoarea mărimii necunoscute şi s-ar căuta una dintre mărimile date în
problemă, iar ecuaţia se obţine scriind că expresia obţinută are valoarea dată. În
cazurile mai complicate se construiesc două expresii care după datele problemei
trebuie să fie egale şi se scrie că ele sunt egale. Se pot ivi şi alte forme, esenţial este
că se lucrează cu numărul x ca şi cum ar fi cunoscut şi se scrie ecuaţia problemei.
Ecuaţia nu mai conţine nici o întrebare („cât...?”) şi nici o poruncă („să se afle...”). Ea
12
este o propoziţie afirmativă - ce-i drept, o propoziţie deosebită; ea afirmă că cele
două expresii scrise de o parte şi de alta a semnului „=” sunt egale.
2) Calculul algebric şi regulile după care o ecuaţie se transformă într-o altă
ecuaţie echivalentă cu ea ne dau un mijloc sigur de a pune ecuaţia sub forma cea mai
simplă (canonică). În cazurile care se tratează în şcoală, ecuaţia se rezolvă apoi după
reguli bine stabilite; în cazul când ecuaţia este de grad mai mare decât doi sau este
transcendentă, când nu există formule de rezolvare sau cele existente nu sunt
practice, există diferite metode de a calcula valori aproximative ale rădăcinilor. La
aceasta se adaugă faptul că se folosesc, ca în general în algebră, numere abstracte.
Datorită acestui fapt, ecuaţiile sunt un instrument foarte puternic de rezolvare a
problemelor, căci fiecare ecuaţie corespunde unei mulţimi foarte numeroase de
probleme. Ecuaţia ne permite să punem în evidenţă sub forma cea mai convenabilă
natura dependenţei dintre mărimile care intervin în problemă şi să clasificăm
problemele în mod corespunzător (probleme de gradul 1, de gradul 2 ş.a.m.d.).
2. Comparaţie cu aritmetica. Alta este situaţia în aritmetică. Aici se porneşte de la
datele problemei, se află pe rând valorile unor mărimi din problemă şi, în cele din urmă,
se obţine răspunsul la întrebarea din problemă. În cursul rezolvării, raţionamentele se
fac pe numere „concrete”, o dată cu numărul gândim şi natura obiectelor respective.
Din cauza aceasta, schema matematică a problemei nu este destul de bine pusă în
evidenţă. Problemele se clasifică de obicei după natura mărimilor respective şi, în
mintea celor mai mulţi, soluţia unei probleme rămâne legată de natura acestor mărimi.
Se vorbeşte despre „problema cu bazinul”, despre „problema celor doi curieri” ş.a.m.d.
Aşa se şi explică faptul că unele probleme s-au transmis de-a lungul secolelor sau
chiar de-a lungul mileniilor cu acelaşi conţinut, dacă nu chiar cu aceleaşi date numerice.
Din cauză că, fără ecuaţii, nu există o metodă generală de rezolvare a problemelor, s-
au elaborat numeroase „metode” (metoda comparaţiei, ipotezelor ş.a.), dar aceste
metode au două dezavantaje. Pe de o parte, fiecare din ele se poate aplica numai la o
clasă foarte restrânsă de probleme, iar pe de altă parte, dat fiind că există multe
metode, când ne găsim în faţa unei probleme propuse, se naşte o problemă nouă: care
metodă se potriveşte aici? Experienţa din şcolile pedagogice, în care se cultivau mult
aceste probleme, confirmă acest lucru. Deseori, elevii stau nedumeriţi în faţa unei
probleme, dar o rezolvă cu uşurinţă dacă li se dă o indicaţie ca: „încearcă metoda
comparaţiei”.
3. Exemplu. Vom ilustra aceste idei pe un exemplu: A are 290 de lei, iar B are 14 lei.
Cât trebuie să-i dea A lui B pentru ca A să aibă de 7 ori mai mult decât B?
Pentru a pune problema în ecuaţie se judecă de obicei astfel:
- notăm cu x numărul care arată câţi lei trebuie să dea 4 lui B. Dacă A dă lui B x
lei, atunci lui A îi rămân (290 – x) lei, iar B are (14 + x) lei. Se dă că A are acum de 7 ori
mai mult decât B, deci:
.714
290
x
x
13
Aceasta este ecuaţia problemei. Rezolvând-o, se obţine x = 24. Raţionamentele
care se fac pentru a obţine ecuaţia problemei se văd în schema următoare:
În momentul în care am spus „Notăm cu x....”, am considerat că problema este
rezolvată; răspunsul la întrebarea din problemă este: A trebuie să dea lui B x lei; acum
x este privit ca un număr cunoscut. Raţionamentele care au urmat sunt cele necesare
pentru a rezolva nu problema propusă, ci problema următoare: A are 290 de lei, B are
14 lei şi A dă lui B x lei (de exemplu 24 de lei). De câte ori are acum mai mulţi bani A
decât B?
După ce expresia algebrică ,14
290
x
x
care dă răspunsul la această problemă a
fost formată, am revenit la problema iniţială şi n-am mai făcut nici o operaţie, ci am
scris pur şi simplu că această expresie are valoarea 7. Prin aceasta am afirmat că x
îndeplineşte condiţia din problemă.
Subliniem că problema iniţială a fost înlocuită cu o problemă uşoară de
aritmetică, potrivită unui elev de clasa a 3-a. Soluția ei este dată de schema alăturată,
care se obţine din cea precedentă, punând în locul lui x numărul 24 şi suprimându-l pe 7:
Dacă ecuaţia se scrie sub forma 290 – x = 7(14 + x), schema suferă o modificare
uşoară, dar metoda rămâne aceeaşi. Şi acum expresiile 290 – x şi 14 + x, în care x este
considerat ca un număr cunoscut, reprezintă soluţiile la următoarele probleme simple:
14
cât îi rămâne lui A după ce dă x lei? Cât are B după ce primeşte x lei? Apoi ecuaţia se
scrie afirmând că x îndeplineşte condiţia din problemă (prima expresie este de 7 ori
mai mare decât a doua).
După ce ecuaţia a fost scrisă, am intrat într-o fază nouă. Prin trasformări
elementare se ajunge la ecuaţia 8x = 192, a cărei soluţie este imediată, x = 24. Dăm şi
soluţia aritmetică a aceleiaşi probleme.
Când una dintre cele două persoane dă celeilalte o sumă oarecare de bani, suma
totală pe care o au ei împreună rămâne neschimbată. Această sumă este de 290 + 14 =
304 lei. Ea trebuie împărţită între cele două persoane A şi B, astfel ca A să capete de
7 ori mai mult decât B. Pentru aceasta, împărţim cei 304 lei în 7 + 1 = 8 părţi egale. O
parte este de 304 : 8 = 38 de lei, deci în cele din urmă B are 38 de lei. Iniţial B a avut
14 lei, deci urmează să primească 38 – 14 = 24 de lei.
Se verifică pe acest exemplu cele spuse mai sus despre metoda aritmetică. Ca
metodă generală, se observă că, pornind de la datele problemei, am aflat întâi cât au
cele două persoane împreună (290 + 14 = 304), apoi în câte părţi trebuie împărţită suma
(7 + 1 = 8 părţi) ş.a.m.d. Ne-am pus un şir de întrebări la care putem răspunde pe baza
datelor din problemă sau pe baza răspunsurilor la întrebările anterioare, iar soluţia
problemei s-a obţinut ca răspuns la ultima întrebare.
În special, pentru a rezolva această problemă, au fost necesare două lucruri.
Întâi să ne dăm seama că, prin faptul că A dă lui B o parte din banii săi, suma totală
rămâne neschimbată. Această idee nu vine oricui, folosirea ei trebuie considerată ca un
artificiu. În al doilea rând, problema se reduce la împărţirea unui număr în două părţi
care să fie într-un raport dat. Aceasta este o problemă „tip”, care se rezolvă printr-o
„metodă” specială (dacă numărul este s, iar raportul este a : b, se împarte s prin (a + b),
iar câtul se înmulţeşte cu a şi cu b). Trebuie să cunoşti această „metodă” sau să refaci
raţionamentul pe acest caz.
Singura generalizare pe care o putem face este următoarea: după acest model se
poate rezolva orice problemă în care se dau două numere a şi b (a > b) şi un factor n, şi
se cere să găsim un număr x astfel încât, scăzându-l din a şi adunându-l cu b, raportul
dintre diferenţă şi sumă să fie egal cu n. Cu alte cuvinte, am învăţat să rezolvăm
probleme care duc la o ecuaţie de forma: ,nxb
xa
deci la o ecuaţie liniară de un tip
special, şi pentru fiecare problemă în parte trebuie să refacem raţionamentul de mai
sus (observăm în treacăt că raţionamentul duce la formula ,1b
n
bax
eventual la
1
n
nbaax (dacă se află cât îi rămâne lui B), pe când ecuaţia dă soluţia
,1
n
nbax care are o altă formă). În schimb, când se foloseşte metoda algebrică nu
este nevoie de nici un artificiu, nu trebuie să cunoşti nici o „metodă” specială, iar
problema se încadrează într-o clasă cu mult mai vastă, în clasa problemelor de gradul 1
cu o necunoscută.
15
4. Notă istorică. Este interesant de observat că şi creatorii algebrei au privit una sau
alta dintre trăsăturile indicate mai sus ca fiind caracteristică pentru metoda algebrică.
Aceasta se vede din numele pe care l-au dat pe rând acestei ramuri a matematicii. După
cum s-a mai arătat, cuvântul algebră vine de la titlul lucrării Al-geabr v-al-mucabala.
Al-geabr (lat.=restauratio), înseamnă întregire, iar mucabala (lat.=oppositio) înseamnă
egalare. Prima dintre aceste transformări se face pentru a trece termenii de scăzut
dintr-o parte a ecuaţiei în cealaltă, astfel ca ecuaţia să conţină numai termeni de
adunat, iar a doua constă în aceea că se reduc termenii asemenea şi se egalează
„excesele” din cele două părţi ale ecuaţiei.
Iată cum foloseşte al Horesmi această metodă pentru a rezolva ecuaţia:
13x – 5 = 7x + 4.
Deoarece în partea stângă a ecuaţiei figurează un termen „lipsă”, se face „al-
geabr”, adică această parte se „întregeşte” prin adăugarea termenului 5, care se
adaugă şi în partea dreaptă; se obţine astfel ecuaţia: 13x = 7x + 9. Acum se face „al-
mucabala”. Partea dreaptă conţine „excesul” 9, iar partea stângă conţine „excesul” 6x
(deoarece în partea dreaptă figurează termenul 7x, partea stângă se consideră ca fiind
formată din 7x + 6x); aceste excese se egalează şi se obţine 6x = 9, de unde x = 1,5. În
cazul ecuaţiei x2 + (10 – x)2 = 58, adică: 2x2 + 100 – 20x = 58, transformarea „al-
geabr” dă 2x2 + 100 = 20x + 58, iar „al-mucabala” dă 2x2 + 42 = 20x (100 se consideră
ca 58 + 42); această ecuaţie se simplifică cu 2 iar ecuaţia x2 + 21 = 20x se rezolvă
„conform regulii”.
Aşadar, pentru arabi, algebra era un ansamblu de reguli formale de
transformare a ecuaţiilor, adică ei considerau ca trăsătură esenţială a algebrei a doua
dintre trăsăturile indicate mai sus. Şi primii algebrişti europeni vedeau în regulile de
transformare a ecuaţiilor esenţa acestei discipline. Astfel, Leonardo din Pisa, autorul
primei cărţi (Cartea abacului, 1228) prin care devine cunoscută în Europa această parte
a matematicii, când rezolvă probleme cu ajutorul ecuaţiilor spune că le rezolvă „după
modul algebrei şi al mucabatei”.
Începând cu sec. al XV-lea apar primele elemente ale algebrei simbolice. În
special în Europa Centrală, această metodă nouă se numeşte coss. Cuvântul coss vine de
la cuvântul italian cosa, care înseamnă necunoscută (ca şi cuvintele latine res şi rodit).
Aceasta dovedeşte că, în această epocă, ca trăsătură cea mai caracteristică a algebrei
a fost considerat faptul că se foloseşte un simbol pentru necunoscută - bineînţeles, cu
toate avantajele pe care le prezintă acest lucru - adică prima din cele două trăsături
de mai sus.
16
NOŢIUNEA DE ECUAŢIE
1. Importanţa definiţiei ecuaţiei 2. Critica definiţiilor uzuale
3. Ecuaţia ca propoziţie de un tip deosebit 4. Cum procedează Euler
5. Ecuaţii şi identităţi 6. Ecuaţia ca formă propoziţională
1. Importanţa definiţiei ecuaţiei. În fond, chestiunea nu prezintă prea mult interes
pentru învăţământ. Noţiunea de ecuaţie are alt caracter decât au, de exemplu, noţiunile
de cerc, număr prim, derivată ş.a. Pentru fiecare dintre aceste noţiuni se poate da o
definiţie precisă, din care să decurgă toate proprietăţile ei. În cazul noţiunii de
ecuaţie, însă, situaţia este alta. Aici definiţia nu joacă aproape nici un rol. Oricine a
învăţat puţină algebră ştie ce este o ecuaţie, dar nu datorită unei definiţii, ci din modul
în care se foloseşte în mod curent acest termen. Definiţia ecuaţiei variază de la un
manual la altul şi, cu toate acestea, toată lumea atribuie cuvântului ecuaţie acelaşi sens;
acest fapt singur dovedeşte cu prisosinţă cât de lipsită de importanţă este definiţia.
Totuşi, consacrăm un paragraf acestei chestiuni din două motive. În primul rând,
fiindcă în unele cărţi de metodică se discută care ar fi definiţia ecuaţiei cea mai
potrivită pentru şcoală. Al doilea motiv, mai important, este următorul: dând elevilor o
definiţie obscură, care nu se foloseşte în deducţiile ulterioare, le dăm o idee greşită
despre rolul pe care-l joacă definiţiile în matematică - şi acest lucru trebuie evitat.
2. Critica definiţiilor uzuale. Definiţiile uzuale sunt nesatisfăcătoare. Pentru a dovedi
aceasta vom analiza următoarea definiţie care se găseşte - poate cu modificări
neînsemnate - în foarte multe manuale:
O ecuaţie este o egalitate care este adevărată numai pentru anumite valori ale
literelor pe care le conţine. În mod analog se defineşte identitatea, ca egalitate
adevărată pentru toate valorile literelor pe care le conţine. Nu ne vom opri asupra unor
detalii, ca de exemplu chestiunea de a şti dacă în loc de literelor nu este mai bine să se
spună necunoscutelor sau dacă nu trebuie precizat în definiţie ce reprezintă aceste
litere - pe ce mulţime se consideră ecuaţia. Vom face numai două obiecţiuni: 1) se
porneşte de la noţiunea de egalitate şi 2) se include în definiţie faptul că ecuaţia este
satisfăcută numai de unele valori ale necunoscutelor, nu de toate.
1) Se ia ca gen proxim noţiunea de egalitate. Dar ce este o egalitate? În şcoală,
elevii au folosit acest cuvânt numai la geometrie, la cazurile de egalitate a
triunghiurilor. Dar acolo cuvântul egalitate era atribut, nu nume predicativ, („o
egalitate care... se numeşte ecuaţie”) sau subiect. Aici substantivul egalitate se
foloseşte ca o prescurtare, pentru a denumi o propoziţie prin care se afirmă că două
lucruri sunt egale. Astfel de prescurtări sunt rare în matematică. De exemplu,
propoziţia Δ ABC ~ Δ A’B’C’ nu se numeşte o asemănare, AB CD nu se numeşte un
paralelism, iar AB CD nu se numeşte o perpendicularitate. Din cauza aceasta, elevii
manifestă o oarecare reţinere faţă de cuvântul egalitate; numai elevii prea zeloşi să
repete fără prea mult discernământ cuvintele profesorului îl pronunţă cu o uşurinţă
suspectă.
17
2) Dacă prima obiecţiune are un caracter mai mult gramatical şi pedagogic, cea
de-a doua este de natură logică. După ce s-a luat ca gen proxim noţiunea de egalitate,
se dă ca diferenţă specifică faptul că ea este satisfăcută numai de unele valori ale
necunoscutei (ne referim la ecuaţiile cu o singură necunoscută). Ar însemna ca toate
proprietăţile ecuaţiilor să poată fi deduse din aceste două însuşiri ale ecuaţiei: că ea
este o egalitate şi că nu este satisfăcută de orice valoare a necunoscutei. Realitatea
este alta. În demonstraţiile teoremelor despre echivalenţa ecuaţiilor - şi aceste
teoreme sunt esenţiale pentru rezolvarea ecuaţiilor - proprietatea a două nu intervine;
în nici o etapă a demonstraţiei nu se invocă faptul că există şi valori ale lui x care nu
satisfac ecuaţia, dimpotrivă se presupune că există cel puţin o valoare a lui x care o
satisface. Dacă proprietatea a doua este de prisos, urmează să ştergem din definiţie
cuvintele corespunzătoare. Atunci, ce rămâne? O ecuaţie este o egalitate. E prea puţin!
Ar urma ca 2 + 3 = 5 să fie o ecuaţie. La aceasta se adaugă faptul următor. Şi
identităţile condiţionate sunt satisfăcute numai de unele valori ale literelor. Totuşi, ele
se numesc identităţi, nu ecuaţii.
Unii propun definiţia: „o ecuaţie este o egalitate care conţine o necunoscută”.
Această definiţie este foarte aproape de adevăr, dar nici ea nu scoate în evidenţă cu
destulă claritate trăsătura esenţială a ecuaţiei. Câtă vreme măcar una dintre expresii
legate prin semnul „=” conţine o necunoscută, afirmaţia că cele două expresii sunt egale
nu are sens. Ce poate să însemne, de exemplu, că 3x + 1 este egal cu 7? Expresia 3x + 1
nu este nici egală cu 7, nici diferită de 7; totul depinde de valoarea lui x. Aceeaşi
obiecţiune se poate face împotriva definiţiei ecuaţiei ca egalitate a două funcţii.
Relaţia f(x) = g(x) nu este nici adevărată, nici falsă câtă vreme nu se spune ce valoare
are x.
3. Ecuaţia ca propoziţie de un tip deosebit. O ecuaţie nu este pur şi simplu o
propoziţie afirmativă. Datorită faptului că intervine necunoscuta, ea este o propoziţie
de un tip deosebit. Ea exprimă o condiţie pe care trebuie să o îndeplinească
necunoscuta, ceea ce îi dă un caracter virtual, nerealizat. În acest sens este o
deosebire între propoziţiile 5 + 3 = 8 şi x + 3 = 8. Prima ar trebui citită: „5 + 3 este
egal cu 8”, iar a doua: „x + 3 trebuie să fie egal cu 8”. Prima exprimă un fapt real, iar a
doua o cerinţă. Caracterul deosebit al aserţiunilor care se exprimă prin ecuaţii nu
poate fi pus în evidenţă cu ajutorul elementelor din matematica clasică. De aceea este
mai bine ca, în condiţiile actuale, să nu se dea o definiţie precisă a noţiunii de ecuaţie.
Să-i lăsăm pe elevi să înţeleagă prin exemple ce este o ecuaţie.
Întemeietorii algebrei au simţit mai profund lucrurile, ei şi-au dat seama de
caracterul deosebit al propoziţiilor care au formă de ecuaţie. Înainte de introducerea
semnului „=”, relaţia de egalitate se exprima printr-un cuvânt. La calculele cu numere
determinate se folosea cuvântul facit (face) sau surgit (iese); la ecuaţii, însă, Fr.Vieté
(sec. XVII) foloseşte cuvântul aequabitur (va fi făcut egal). De exemplu (folosim în
parte semnele noastre): 5 + 3 facit 8, dar x + 3 aequabitur 8. Viitorul şi modul pasiv dau
propoziţiei un caracter virtual, condiţionat. Prin introducerea semnului „=” s-a
simplificat scrisul, dar s-au pierdut nuanţele.
18
În legătură cu faptul că o ecuaţie nu este o simplă propoziţie afirmativă, merită
să relatăm următoarea întâmplare: ne găsim în clasa a 9a, la discuţia ecuaţiei de gradul
II. La tablă este un elev foarte bun şi i se cere să afle valorile lui m astfel ca o anumită
ecuație, cum ar fi X2 – (m + 1)x + 1 = 0, să aibă o rădăcină dublă. Elevul scrie corect
determinantul, m2 + 2m – 3 şi se opreşte. Profesorul, pentru a-l ajuta, îl întreabă care
este condiţia ca o ecuaţie să aibă o rădăcină dublă. Elevul răspunde corect:
„Determinantul trebuie să fie nul”. Profesorul spune: „Scrie aceasta!”. Elevul ezită.
Profesorul insistă: „Scrie că determinantul este zero”. Elevul, după o nouă ezitare,
protestează: „Nu este, trebuie să fie”. În ce constă dificultatea? Elevul gândeşte că
determinantul trebuie să fie nul şi profesorul îi cere să scrie că determinantul este nul.
Acest lucru i se pare anormal.
4. Cum procedează Euler. În sprijinul tezei că în şcoală nu trebuie dată o definiţie
precisă a ecuaţiei, reproducem mai jos un fragment din Introducere în algebră a lui
Euler (partea a 2-a, secţiunea a 2-a). Fără a considera că tot ce s-a scris cu 200 de ani
în urmă este valabil şi astăzi, este totuşi interesant de ştiut cum introduce noţiunea de
ecuaţie un matematician de talia lui Euler.
Euler face întâi câteva consideraţii generale despre rezolvarea problemelor, apoi
continuă:
„Acestea vor deveni mai clare printr-un exemplu. Să punem problema următoare:
20 de persoane, bărbaţi şi femei, se duc la un restaurant. Fiecare bărbat
cheltuieşte 8 groşeni, iar fiecare femeie 7 groşeni şi toată masa costă 6 taleri. Se
pune întrebarea câţi bărbaţi şi câte femei au fost.
Pentru a rezolva problema, punem numărul bărbaţilor = x şi îl privim ca un număr
cunoscut sau procedăm cu el ca şi cum am vrea să facem proba dacă satisface
problema. Deoarece numărul bărbaţilor = x, şi au fost, bărbaţi şi femei împreună, 20 de
persoane, se poate deduce de aici numărul femeilor, care se află scăzând din 20
numărul bărbaţilor. Deci, numărul femeilor = 20 – x. Deoarece un bărbat cheltuieşte 8
groşeni, cei x bărbaţi vor cheltui 8x groşeni. Şi, deoarece o femeie cheltuieşte 7
groşeni, cele 20 – x femei vor cheltui 140 – 7x groşeni.
Deci bărbaţii şi femeile împreună cheltuiesc 140 + x groşeni. Dar ştim cât au
cheltuit, şi anume 6 taleri, care, transformaţi în groşeni, dau 144 de groșeni. De aceea
obţinem ecuaţia următoare 140 + x = 144, de unde se vede că x = 4. De aceea au fost la
restaurant 4 bărbaţi şi 16 femei.”
Urmează încă un exemplu, câteva consideraţii generale, apoi: „O ecuaţie se
compune deci din două expresii, dintre care care una se egalează cu cealaltă. Pentru a
scoate de aici numărul necunoscut, trebuie să se facă adeseori foarte multe
transformări...”.
Aici, Euler vorbeşte pentru prima oară despre ecuaţii. După cum se vede, el nu
dă nici o definiţie; cuvântul „ecuaţie” apare în contextul: „De aceea obţinem ecuaţia
următoare”, fără nici o explicaţie. Observăm, de asemenea, că şi la Euler apare
caracterul virtual ai egalităţii, căci în scurta explicaţie pe care o dă pe urmă: „O
ecuaţie se compune din două părţi, dintre care una se egalează cu cealaltă”, el nu spune
că cele două părţi sunt egale; ele „se egalează”, adică noi le facem egale.
19
5. Ecuaţii şi identităţi. Este cazul să facem aici câteva observaţii despre noţiunea de
identitate şi despre locul ei în predarea algebrei. În mod obişnuit se introduce noţiunea
de identitate în acelaşi timp cu cea de ecuaţie. Pentru aceasta, se face, mai mult sau
mai puţin explicit, o clasificare a egalităţilor, şi anume: în ecuaţii, egalităţi care sunt
satisfăcute numai de unele valori ale literelor, şi identităţi, care sunt satisfăcute de
toate valorile literelor pe care le conţin.
Considerăm că acest procedeu nu este bun. În primul rând, această clasificare nu
este completă, căci se lasă afară egalităţile numerice, ca 2 + 3 = 5, care nu sunt nici
ecuaţii, nici identităţi. Dar mai important este faptul că se pun una lângă alta două
feluri de propoziţii care diferă prin natura lor şi care joacă roluri diferite în
matematică.
Întradevăr, ceea ce s-a spus mai sus despre caracterul virtual al ecuaţiilor nu se
aplică identităţilor. O identitate exprimă că obiectele respective sunt egale, nu că ele
trebuie să fie egale. O identitate se deosebeşte de o egalitate numerică numai prin
faptul că se referă la două mulţimi de obiecte, pe când egalitatea numerică se referă la
două obiecte individuale. De exemplu, egalitatea (3+ 1)2 = 32 + 32 + 12 arată că
numărul din stânga semnului egal este egal cu cel din dreapta lui, în timp ce identitatea
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 arată că, dacă facem cu un număr oarecare x operațiile indicate de
expresia (x + 1)2, obţinem acelaşi rezultat ca atunci când facem cu acelaşi număr
operaţiile indicate de expresia x2 + 2x + 1; deci: când x parcurge o mulţime oarecare de
numere, (x + 1)2 dă o mulţime de numere M, x2 + 2x + 1 dă o mulţime de N şi cele două
mulţimi coincid: M = N. O identitate este ceea ce în logică se numeşte o judecată
universală, ca: orice om este muritor. Ea nu are nimic virtual, ea nu exprimă nici o
cerinţă.
Pe de altă parte, identităţile joacă în matematică un alt rol decât ecuaţiile. O
ecuaţie comportă totdeauna - dacă nu direct, cel puţin indirect - o problemă, şi anume
de a afla valoarea necunoscutei care o satisface. În schimb, identităţile au de cele mai
multe ori ca scop să prezinte o expresie dată sub o altă formă, echivalentă cu cea dată,
care poate fi mai convenabilă dintr-un anumit punct de vedere. Ele servesc de cele mai
multe ori ca reguli de calcul. Menţionăm cu această ocazie că în şcoală se spune uneori
formulă sau proprietate în loc de identitate. De exemplu, (a + b)n = an + 1nC an-1b + ... + bn
se numeşte, prin tradiţie, formula binomului, iar logAB = logA + logB este o proprietate
a logaritmilor. Numele de identitate este rezervat numai pentru unele identităţi -
curios! - mai rareori întrebuinţate, ca identitatea lui Lagrange. Acest fapt nu este spre
avantajul învăţământului, căci se maschează întrucâtva sensul real al propoziţiilor
respective.
Este adevărat că cele două noţiuni se întâlnesc, şi anume: în unele cazuri, când
facem toate calculele pentru a reduce o ecuație dată la forma canonică, obţinem 0 = 0,
ceea ce dovedeşte că expresia de la care am plecat (ecuaţia dată) este o identitate.
Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în cazul ecuaţiei x(x + 1) = (x + 1)2 – x – 1. Dar
acest punct de contact între cele două noţiuni este prea puţin important, el nu ne dă
dreptul să punem ecuaţiile şi identităţile pe acelaşi plan.
Considerăm că noţiunea de identitate trebuie dată la începutul calculului
algebric, nu la sfârşitul cursului de algebră din şcoala generală, când se trece la
20
predarea ecuaţiilor. Elevii trebuie să fie deplin conştienţi de faptul că orice calcul
algebric duce la o identitate. Să nu-i aducem în situaţia burghezului din Le bourgeois
gentilhomtne a lui Moliére, care spune că de 40 de ani vorbeşte în proză fără să ştie că
aceasta se numeşte proză; caietele elevilor sunt pline de identităţi, dar ei nu ştiu că
acestea sunt identităţi. Aceasta nu ne împiedică să arătăm la momentul potrivit că
există şi ecuaţii care sunt satisfăcute de orice valoare a necunoscutei şi că aceste
ecuaţii sunt, în fond, indentităţi.
6. Ecuaţia ca formă propoziţională. Sensul real al noţiunii de ecuaţie se dezvăluie cu
ajutorul noţiunii mai largi de formă propoziţională. În cadrul încercărilor de a
moderniza învăţământul matematic începând cu treapta cea mai elementară, a apărut
propunerea de a se adopta acest punct de vedere, propunere care s-a bucurat de o
foarte bună primire. Arătăm, pe scurt, despre ce este vorba.
Orice propoziţie care are sens este sau adevărată sau falsă. De exemplu,
propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decâ oraşul Ploeşti”, „18 este divizibil cu
2” sunt adevărate; propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decât oraşul Paris”, „18
este divizibil cu 5” sunt false. Dacă o propoziţie este adevărată, negaţia ei este falsă şi
invers - ceea ce se verifică uşor pe exemplele de mai sus.
Numai o propoziţie care are sens este adevărată sau falsă. Există şi propoziţii
care nu sunt nici adevărate, nici false; acestea sunt propoziţiile care nu au sens. De
exemplu, propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decât oraşul Alfa”. „Un cerc cu
raza de 18 cm este divizibil printr-un cerc cu raza de 2 cm” nu sunt nici adevărate, nici
false, pentru că nu există un oraş cu numele Alfa, iar între cercuri nu este definită
relaţia de divizibilitate.
Aşadar, există propoziţii care au sens şi propoziţii care nu au sens, iar orice
propoziţie care are sens este adevărată sau falsă. Iată alte exemple de propoziţii fără
sens: funcţia lgx este simetrică - în mulţimea funcţiilor nu este definită noţiunea de
simetrie; unghiul A este egal cu produsul unghiurilor B şi C - în mulţimea unghiurilor nu
este definită operaţia de înmulţire; funcţia sinx este asemenea cu funcţia cosx - în
mulţimea funcţiilor nu este definită o relaţie de asemănare; 3 + 2i > 3 – 2i - în mulţimea
numerelor complexe nu este definită o relaţie de ordine.
În afară de aceasta există expresii care au aspectul de propoziţie, dar nu sunt
propoziţii pentru că conţin unul sau mai multe elemente nedeterminate sau „locuri
goale”.
Exemple:
1) „Triunghiul acesta este isoscel” ceea ce se mai poate scrie: „Triunghiul
|_____| este isoscel”. Aici cuvintele „triunghiul acesta” (căsuţa goală) reprezintă un
obiect nedeterminat, căci nu se ştie despre care triunghi este vorba.
2) „El s-a născut în luna cutare”, ceea ce se mai scrie: „|_____| s-a născut în
luna |_____|”. Această expresie conţine două obiecte nedeterminate sau două locuri
goale.
Astfel de expresii se numesc forme propoziţionale sau propoziţii deschise.
O formă prepoziţională se transformă îrrtr-o propoziţie cu sens, deci într-o
propoziţie adevărată sau falsă, dacă înlocuim elementul nedeterminat printr-un
21
element dintr-o mulţime care se dă o dată cu forma prepoziţională. Astfel, în primul din
cele două exemple de mai sus, o dată cu propoziţia „acest triunghi este isoscel”, se dă
şi o anumită figură în care punctele sunt notate prin litere A, B, C, M, N...; dacă
introducem în căsuţa goală grupul de litere ABC, obţinem propoziţia „Triunghiul ABC
este isoscel”, care poate fi adevărată sau falsă. În exemplul al doilea, în prima căsuţă
trebuie introdus numele unui om care există (sau a existat), iar în căsuţa a doua numele
sau numărul de ordine al unei luni.
Dacă obiectul nedeterminat se înlocuieşte cu un element care nu face parte din
mulţimea respectivă, se obţine o propoziţie fără sens. Aeest lucru se întâmplă, în
primul exemplu, dacă scriem în căsuţă ABC şi măcar una dintre literele A, B, C
reprezintă un punct care nu face parte din figura considerată sau dacă în propoziţia a
doua înlocuim cuvântul „el” prin „creionul”, sau cuvântul „cutare” prin „a 13-a”. În
matematică sunt foarte frecvente propoziţiile prin care se afirmă că între două
obiecte există o anumită relaţie. De exemplu: 5 > 3, Δ ABC = Δ DEF (A, B,..., F fiind
puncte bine determinate ale unei figuri), 3N (N fiind mulţimea numerelor naturale). O
propoziţie prin care se afirmă că între două obiecte are loc relaţia de egalitate se
numeşte, scurt, egalitate. În mod analog se defineşte inegalitatea. De exemplu, 2 + 3 =
5 este o egalitate. Ca orice propoziţie, o egalitate care are sens poate fi adevărată sau
falsă; de exemplu, 2 + 3 = 5 este o egalitate adevărată, iar 2 + 3 = 6 este o egalitate
falsă. Pe baza acestor noţiuni: propoziţie cu (şi fără) sens, egalitate şi formă
prepoziţională, se poate da o definiţie a ecuaţiei, care s-ar putea formula astfel: O
ecuaţie, considerată pe o mulţime dată M, este o formă propoziţională care se
transformă într-o egalitate dacă înlocuim elementul nedeterminat printr-un element
din M.
Orice element al mulţimii M care transformă ecuaţia într-o egalitate adevărată
se numeşte rădăcină a ecuaţiei. A rezolva o ecuaţie înseamnă a determina soluţiile ei.
Soluţia sau soluţiile unei ecuaţii formează o submulţime S a mulţimii M. De obicei, S
este o submulţime propriu-zisă a lui M; când S este mulţimea vidă, ecuaţia este
imposibilă, iar când S = M, ea este o identitate.
De exemplu, expresia 2x + 1 = 6, cu precizarea xQ, unde Q este mulţimea
numerelor raţionale, nu este o propoziţie, ci o formă propoziţională. Ea conţine
elementul nedeterminat („necunoscuta”) x; dacă înlocuim litera x prin r, ea se
transformă în egalitatea adevărată 6 = 6; dacă înlocuim x prin 3, obţinem egalitatea
falsă 7 = 6, iar dacă înlocuim x prin A, unde A reprezintă un punct determinat, obţinem
o propoziţie fără sens. Mulţimea soluţiilor acestei ecuaţii este S = .2
5
Când se dă o ecuaţie, trebuie totdeauna indicată şi mulţimea din care trebuie să
facă parte soluţiile ei. În cazul ecuaţiei de mai sus, aceasta se indică scriind:
Să se afle: 612| xsiQxx , care înseamnă: să se afle mulţimea numerelor
x care fac parte din Q (mulţimea numerelor raţionale) şi îndeplinesc condiţia
2x + 1 = 6. Soluţia se scrie ca o egalitate între două mulţimi:
.2
5612|
xsiQxx Un număr care satisface ecuaţia, dar nu face parte din
22
mulţimea considerată nu este o soluţie a ecuaţiei. Fie, de exemplu, de aflat (N fiind
mulţimea numerelor naturale): .612| xsiNxx Calculul dă x = .2
5 Dacă se dă
răspunsul sub forma ,2
5612|
xsiNxx apare clar absurditatea: numărul
natural x care îndeplineşte condiţia 2x + 1 = 6 este x = ,2
5 dar
2
5 nu este un număr
natural!
În mod analog se definesc ecuaţiile cu mai multe necunoscute şi inecuaţiile.
Cu ajutorul noţiunii de formă propoziţională se dezvăluie sensul adevărat al
noţiunii de ecuaţie. Am arătat mai sus că o ecuaţie are în ea ceva virtual, nerealizat.
Datorită noţiunii de formă propoziţională, aceste lucruri devin clare. O ecuaţie nu este
o egalitate de un anumit fel, ci o expresie de un tip deosebit, şi anume o propoziţie
deschisă. Faptul că în ecuaţie intervine ideea de egalitate este secundar. Nu are
importanţă dacă într-o popoziţie este vorba de o anumită relaţie între două obiecte sau
de faptul că un obiect are o anumită însuşire ş.a.m.d.; nu conţinutul propoziţiei are
importanţă aici; important este dacă obiectul despre care se vorbeşte este bine
determinat sau nu, dacă avem de-a face cu o propoziţie propriu-zisă sau cu o propoziţie
deschisă. Datorită noţiunii de propoziţie deschisă putem reuni în aceeaşi clasă de
expresii ecuaţiile, inecuaţiile şi congruenţele, care sunt toate de acelaşi tip. Această
clasificare are mai mult sens decât clasificarea egalităţilor în ecuaţii şi identităţi,
pentru că se face după un criteriu esenţial.
Dintre definiţiile existente, cea mai apropiată de adevăr est după cum am spus:
„o ecuaţie este o egalitate care conţine o necunoscută”, căci prin faptul că se
menţionează prezenţa necunoscutei se arată că ecuaţia este o propoziţie care conţine
ceva nedeterminat, deci este o propoziţie deschisă.
Cum am arătat la început, modul de a prezenta ecuaţiile, clar şi accesibil, ca
formă prepoziţională descrisă în cele ce precedă, prinde din ce în ce mai mult teren.
Există dări de seamă amănunţite despre lecţii ţinute în şcoala generală pe această
bază, cu rezultate cât se poate de satisfăcătoare. Totuşi, în cadrul acest lucrări, vom
merge pe calea tradiţională.
FORMALISMUL ÎN CUNOŞTINŢELE DE ALGEBRĂ
ALE ELEVILOR
23
1. Ce este formalismul 2. Cunoaşterea insuficientă a sensului literelor
3. Interpretarea calculului algebric 4. Justificarea regulilor de calcul
6. Caracterul absolut al regulilor 7. Semnificaţia concretă a operaţiilor
8. Semnificaţia numerelor negative 9. Originea acestor deficienţe
10. Critica modului uzual de predare 11. Mijloace de preîntâmpinare a
lipsurilor
1. Ce este formalismul. Modul tradiţional de predare al algebrei elementare dă într-o
anumită privinţă rezultate nesatisfăcătoare. Nu este vorba aici de faptul că elevii nu
ştiu destul de bine chestiune sau alta din programă, ci de unele deficienţe care
afectează cunoştinţele de algebră ale elevilor luate în ansamblu şi care pot fi grupate
la un loc sub numele de formalism.
Se spune că un elev are cunoştinţele formale când vorbirea şi acţiunile lui sunt
aceleaşi ca ale unui elev care are cunoştinţe reale, adevărate, dar el nu asociază cu
aceste cuvinte şi acţiuni sensul corespunzător. Un asemenea elev foloseşte unele
cuvinte pe care nu le înţelege destul de bine, efectuează calcule în mod mecanic ş.a.m.d.
El nu-şi dă destul de bine seama de legătura cunoştinţelor sale de algebră cu celelalte
părţi din matematică şi cu lumea real ceea ce are drept urmare greutatea de a aplica
cunoştinţele în cadrul matematicii şi la probleme concrete.
Descoperirea şi înlăturarea acestor lipsuri ar fi un lucru uşor dacă ar exista
numai două extreme, cunoştinţe adevărate şi formale, a înţelege şi a nu înţelege. În
realitate există diferite grade de înţelegere, cum există diferite grade de
luminozitate. Unele lucruri le înţelegem cu deplină claritate, despre altele avem o idee
vagă, iar altele nu le înţelegem deloc; de aceea nu se pot trage, în general, un hotar
precis între cunoştinţele adevărate şi cele formale la algebră, lucrurile sunt şi mai
delicate datorită faptului că - după cum vom arăta îndată -, într-un anumit sens,
algebra este formală.
Vom deosebi mai multe aspecte ale formalismului în cunoştinţele de algebră ale
elevilor. În realitate, ele nu sunt cu totul distincte, ele împietează unul asupra celuilalt.
2. Cunoaşterea insuficientă a sensului literelor. Lucrul cel mai important este că
elevii învaţă să efectueze calcule cu expresii algebrice fără să-şi dea destul de bine
seama că literele pe care le folosesc reprezintă numere deocamdată numere raţionale.
Din cauza aceasta, ei nu înţeleg bine că orice calcul algebric este o transformare
identică. Un elev face corect înmulţirea 5213 xx şi obţine rezultatul .5136 2 xx
La întrebarea „Ce operaţie ai făcut?”, va răspunde: „Am înmulţit cele două binoame”.
Dacă continuăm: „Ce înseamnă a înmulţi două binoame?” sau: „Ştii ce reprezintă
semnele 3, 1, 2, 5, dar ce reprezintă x?” - la aceste întrebări nu vom căpăta un răspuns
cât de cât satisfăcător. De asemenea, el nu ştie să răspundă la următoarea întrebare:
„Înlocuind în expresia dată x prin 3 şi efectuând calculele, se obţine rezultatul 10; ce
rezultat se obţine dacă se face aceeaşi substituţie în expresia obţinută?”. Ce dovedesc
aceste fapte? Că acest elev, deşi face calculele corect, nu cunoaşte sensul lor. Mai
mult, din cauza aceasta el nu ştie nici ce sens are în acest caz semnul „=”. El nu ştie că,
24
aici, acest semn are un sens întrucâtva deosebit de cel din aritmetică, el arată că
expresia dată şi cea obţinută au aceeaşi valoare numerică oricare ar fi valoarea lui x.
Extremele se ating. Atât matematicianul care face algebră abstractă, cât şi
elevul care cunoaşte superficial calculul algebric nu atribuie simbolului x nici un
conţinut. Dar, ce deosebire! Matematicianul nu-i atribuie nici un sens, pentru că îşi
rezervă dreptul de a-i atribui orice sens convenabil, iar pentru elevul nostru simbolul
este pur şi simplu lipsit de sens. Abstract nu înseamnă gol, dimpotrivă.
Este cazul să observăm cu aceasta ocazie că, dacă simbolismul algebric a dus la o
uşurare foarte mare a calculelor, el a generat şi pericolul acestui aspect al
formalismului. Cât de grea de conţinut, dar în acelaşi timp cât de greoaie este, de
exemplu, fraza: „de 3 ori necunoscuta mărit cu 1, înmulţit cu de 2 ori necunoscuta,
micşorat cu 5 face de 6 ori pătratul necunoscutei...” prin care un algebrist din sec. al
XV-lea ar fi exprimat ceea ce noi exprimăm prin identitatea
5213 xx = .5136 2 xx Folosind mereu cuvântul necunoscuta (cosa, res),
pentru un şcolar din acea epocă nu exista pericolul să uite despre ce este vorba.
Copiilor din zilele noastre, li se dă de la început în mână un instrument perfecţionat,
stenografia algebrică, ceea ce este foarte bine, dar în acelaşi timp apare pericolul ca
acest instrument, tocmai datorită faptului că este foarte simplu, să degenereze.
3. Interpretarea calculului algebric. În aceeaşi ordine de idei trebuie semnalat faptul
că elevilor le vine foarte greu să interpreteze în sensul teoriei numerelor o identitate
oricât de simplă sau să deducă dintr-un calcul algebric o regulă de calcul aritmetic. O
problemă ca: să se demonstreze că, dacă diferenţa a două numere este 1, diferenţa
dintre pătratele lor este egală cu suma lor - o asemenea problemă este considerată ca
o „problemă de demonstraţie” grea. Când a – b = 1, identitatea a2 - b2 = (a - b)(a+b)
devine a2 – b2 = a + b. Întrebări ca: „Ce este mai mare, (a + b)2 sau a2 + b2?” sau:
„Efectuând înmulţirea x(x+2), obţinem x2 + 2x; este posibil să dăm lui x o valoare astfel
ca valoarea numerică a expresiei ei x2 + 2x să fie un număr prim?” - astfel de întrebări
produc uimire.
Un exemplu frumos, care arată că această deficienţă apare şi în pregătirea
multor absolvenţi de liceu, a dat binecunoscutul matematician D.Pompei, într-o
conferinţă ţinută în 1946. La un examen s-a cerut să se demonstreze că două numere
naturale consecutive nu pot fi, amândouă, pătrate perfecte. Fie n şi n + 1 două numere
naturale consecutive, unde n=m2, m fiind un număr natural. Dacă şi n + 1 este un pătrat
perfect, el este cel puţin egal cu pătratul lui m + 1, adică n + 1 (m + 1)2, de unde n +
1m2 + 2m + 1. Dar n = m2. Făcând reducerile, obţinem 02m ceea ce este absurd, căci
m este un număr natural. Nici un student nu a fost în stare să facă demonstraţia.
Există o regulă simplă de a ridica la pătrat un număr de două cifre în care cifra
unităţilor este 5, care se deduc din identitatea .2510015102
aaa
De exemplu: 352 = ? Spunem: 3(3+1) = 12. La dreapta acestui număr se scrie 25 şi
obţinem rezultatul căutat: 1225. Elevii învaţă uşor, chiar cu plăcere, această regulă,
dar le vine foarte greu să o justifice, pentru că ei nu-şi dau seama că a şi a + 1 sunt
25
două numere întregi consecutive şi că numărul a(a+ 1)100 se scrie adăugând la dreapta
lui a(a+ 1) două zerouri.
Elevii ştiu destul de bine, mulţi dintre ei chiar foarte bine, să efectueze calcule,
dar le vine foarte greu să şi gândească; îi obișnuim să efectueze calcule în neştire;
pentru ei rezultatul oricărui calcul este o anumită expresie şi nimic mai mult.
4. Justificarea regulilor de calcul. În al treilea rând vine faptul că, pentru mulţi
elevi, ansamblul de reguli care stau la baza calculului algebric apare ca un lucru impus.
„Ca să înmulţim două monoame, procedăm aşa...”. „Ca să înmulţim două polinoame,
procedăm aşa...”. Uneori aceste reguli apar ca articole ale unui regulament în care se
spune ce este permis şi ce este interzis: în fracţia ,bx
ax „avem voie” să-l suprimăm pe x,
în fracţia xb
xa
- nu; în expresia ,22ba „avem voie” să suprimăm radicalul şi pătratele,
în expresia 22 ba - nu. Numai în puţine cazuri elevii ştiu de unde vin aceste reguli.
Avem aici un alt aspect al formalismului, care constă în faptul că elevii, deşi cunosc
regulile de calcul algebric, nu ştiu care este originea lor.
5. Regulile de rezolvare a ecuaţiilor. Un fapt aproape identic cu cel semnalat la
punctul precedent se observă la rezolvarea ecuaţiilor. Regula cea mai deseori
întrebuinţată aici este regula de transpoziție a termenilor („avem voie să trecem un
termen dintr-o parte a unei ecuaţii în cealaltă schimbându-i semnul”). Această regulă
face parte din bagajul minim de cunoştinţe pe care-l are orice elev la terminarea clasei
a 7-a. Totuşi, numărul elevilor care pot răspunde la întrebarea de ce „avem voie” să
facem acest lucru este mic. Am înregistrat separat acest aspect al formalismului,
fiindcă, pentru a evita apariţia lui, trebuie luate alte măsuri decât cele preconizate la
punctul precedent (asigurarea legăturii cu aritmetica). Aici este vorba de modul în care
se predau ecuaţiile. Vom reveni asupra acestei chestiuni pentru a o discuta mai pe larg.
6. Caracterul absolut al regulilor. Regulile de calcul algebric o dată dezrădăcinate,
smulse din baza lor, care este aritmetica, devin în mintea elevilor legi absolute. Nu mai
rămâne loc pentru bunul simţ. Chiar dacă există şi o altă cale, mai convenabilă într-un
anumit caz particular, elevul nu ştie decât să aplice regula. Sunt frecvente cazurile
când elevii nu ştiu să calculeze, de exemplu (3x + 5y)2, altfel decât aplicând formula (a
+ b)2 = ...; dacă la examenul de absolvire a şcolii generale se cere să se calculeze (x +
2)4, chiar profesorul va protesta: programa prevede numa binomul la pătrat şi la cub, nu
şi la puterea a patra; mulţi elevi când au de calculat, de exemplu, (8 + 3)2, aplică aceeaşi
formulă 22 38328 şi nu văd că este cu mult mai simplu să spună 8 + 3 = 11, 112 =
121. Elevul ştie că pentru a rezolva un sistem din două ecuaţii cu două necunoscute
trebuie să elimine întâi una dintre ele, dar rămâne derutat în faţa unui sistem ca 7x –
3y = 18, 2(x +1) = 3(x – 2), în care ecuaţia a doua nu-l conţine pe y.
Regula se instaurează ca stăpân absolut al algebrei.
Acest lucru se observă şi la clasele superioare. Când are de rezolvat ecuaţia:
26
(x + 1)2 = 9, elevul mijlociu efectuează toate calculele şi aplică formule de
rezolvare a ecuaţiei de gradul 2, în loc să deducă imediat că x + 1 = ± 3, deci x1 = 2, x2 =
-4; pentru a rezolva ecuaţia ,2
12
1
xx el aplică toate regulile artei, în loc să observe
că ,2
12
2
12 partea dreaptă a ecuaţiei are aceeaşi formă cu partea stângă, deci x
= 2 este o soluţie, iar 2
1x este cealaltă soluţie.
7. Semnificaţia concretă a operaţiilor. Predarea calculului algebric rupt de
aritmetică aduce după sine un alt aspect al formalismului: greutatea de a aplica calculul
algebric în probleme cu conţinut concret. De la aritmetică elevul vine cu idei foarte
clare despre semnificaţia concretă a operaţiilor. „+” înseamnă a strânge la un loc, „-”
înseamnă a scoate ş.a.m.d. Lucrurile sunt ceva mai puţin clare la înmulţirea şi împărţirea
cu o fracţie. Când se trece la algebră, obscuritatea în care sunt învăluite literele trece,
prin contagiune, şi asupra operaţiilor. Oare 3x+ 5y arată cât face 3x şi 5y la un loc?
Oare yxx 532 este o înmulţire ca 1528 ? De aici vine în bună măsură greutatea de
a pune probleme în ecuaţie; tot acestui fapt i se datoresc cele mai multe plângeri ale
profesorilor de fizică, justificate din punctul lor de vedere, că elevii nu ştiu
matematică.
Este drept că lucrurile se schimbă radical din cauză că, în algebră, literele pot
reprezenta şi numere negative şi, în acest caz, operaţiile nu mai au aceeaşi semnificaţie
concretă ca în aritmetică. Dar, în cazul când literele reprezintă numere pozitive,
operaţiile au aceeaşi semnificaţie ca în aritmetică şi elevii nu trebuie să piardă acest
lucru din vedere din cauza faptului că numerele se notează prin litere.
8. Semnificaţia numerelor negative. În sfârşit, trebuie menţionat faptul că elevii nu
au, în general, idei destul de clare despre semnificaţia concretă a numerelor negative şi
despre aplicaţiile lor. Această deficienţă iese mai puţin la iveală, deoarece, în mod
obişnuit, elevii au rareori ocazia să facă astfel de aplicaţii; ei cunosc bine partea
formală, calculul. Mai mult nici nu li se cere. Modul tradiţional de predare a algebrei
elementare este, în această privinţă, inconsecvent. Numerele relative se introduc la
începutul cursului de algebră, se arată care este semnificaţia lor concretă şi se predă
calculul cu ele, dar interpretarea soluţiilor negative ale ecuaţiilor se lasă de obicei
pentru liceu - probabil pe considerentul că aceste chestiuni ar fi prea grele pentru
începători. Aceasta înseamnă a fi inconsecvent. Căci, din două una: sau se porneşte de
la ideea că elevii de 14-15 ani nu pot înţelege numerele negative, şi atunci predarea lor
trebuie lăsată pentru liceu sau se porneşte de la ideea contrară, şi atunci nu există nici
un motiv de a amâna pentru liceu interpretarea soluţiilor negative. În realitate, elevii
sunt capabili să înţeleagă aceste lucruri; de aceea n-are nici un sens să lăsăm în
părăsire interpretările concrete ale numerelor relative care se dau la început şi să ne
limităm numai la tehnica de calcul. Predarea trebuie condusă astfel încât elevii să-şi
însuşească temeinic şi definitiv cunoştinţele despre semnificaţia concretă a numerelor
27
negative şi să le folosească ori de câte ori se iveşte ocazia - şi să creăm asemenea
ocazii.
Procedând astfel, se contribuie şi la evidenţierea caracterului practic al
algebrei.
9. Originea acestor deficienţe. Se naşte întrebarea: cum este posibil ca metoda de
predare tradiţională, verificată de-a lungul vremii - mai bine de un secol - să lase
poarta deschisă acestor deficienţe? Acest fenomen se poate explica prin caracterul
formal al algebrei şi necesitatea formării unor automatisme. Algebra este, prin esenţa
ei, formală. Prin faptul că se întrebuinţează simbolurile a, b, x, y, ... pentru a nota
numere oarecare, arbitrare şi se stabilesc reguli după care se fac operaţii cu numere
arbitrare - se ştie doar atât: că simbolul a, de exemplu, reprezintă un număr, dar nu se
ştie ce număr reprezintă - , aritmetica s-a formalizat. Conţinutul, sensul concret al
simbolului a dispărut sau cel puţin a trecut pe planul al doilea; au rămas operaţiile şi
relaţiile sub forma pură.
Faptul că algebra este, prin esenţa ei, formală nu rămâne fără efect asupra
învăţământului. Oricât de surprinzătoare ar părea această afirmaţie, elevul din şcoala
generală, când învaţă calculul algebric, face într-o anumită măsură algebră abstractă -
fără voia noastră şi fără să-şi dea seama. Comparaţia răutăcioasă făcută mai sus între
matematicianul care face algebră abstractă şi elevul care face calculul algebric în mod
mecanic are un sens profund. Elevul simte ce este esenţial în algebră - operaţiile, nu
sensul simbolurilor cu care se operează - şi-l reţine. Nu se ştie care sunt resorturile
psihice ale acestui fapt, dar este o realitate că elevului mijlociu îi plac calculele, el se
lasă antrenat în această activitate dinamică, spectaculoasă şi nu simte nevoia să ştie
care este conţinutul ei. Elevul poate învăţa formal calculul algebric pentru că algebra
este formală şi, datorită acestui fapt, uşoară.
De exemplu, este foarte uşor să efectueze adunarea:
.4957434356 323232 xxxxxxxxx
Pentru a face acest calcul, nu este necesar să ştii ce înseamnă -5x, +3x2 ş.a.m.d.
Elevul, adunând coeficienţii corespunzători şi scriind frumos, caligrafic, după fiecare
coeficient calculat x, x2 ş.a.m.d. - procedând astfel, elevul foloseşte, fără să-şi dea
seama, definiţia modernă a polinomului ca şir (a0, a1, ..., an, 0, 0,...) în care numai un
număr finit de coeficienţi sunt diferiţi de zero, precum şi definiţiile formale, ale
operaţiilor cu polinoame -, are sentimentul că a realizat ceva, pentru el operaţia are
conţinut prin ea însăşi şi el nu se mai întreabă ce reprezintă obiectele cu care
operează. Astfel, faptul că algebra este formală generează formalismul în cunoştinţele
de algebră ale elevilor.
În al doilea rând vine, după cum am spus, necesitatea de a forma la elevi unele
automatisme. Una dintre caracteristicile metodei matematice constă în aceea că
foloseşte algoritmii. Un algoritm este un şir de operaţii simple care duce în mod sigur
la rezultat. Regula după care se adună două numere naturale de mai multe cifre este un
algoritm; procedeul după care se află integrala generală a unei ecuaţii diferenţiale de
un anumit tip integrabilă prin cuadraturi este de asemenea un algoritm - dintr-un
domeniu al matematicii foarte diferit ca nivel de primul. Algoritmul este un instrument
28
foarte important în matematică. Datorită lor, gândirea noastră se organizează mai
bine, ea se poate desfăşura pe mai multe etaje, etajele superioare sunt rezervate
operaţiilor mintale mai complexe, reflecţiei, gândirii creatoare, iar operaţiile mintale,
simple, care nu prezintă nici un fel de greutate, se execută la primul etaj. În felul
acesta munca de concepţie se desparte de munca de execuţie. De exemplu, un elev de
clasa a 8a, când rezolvă o problemă cu ajutorul ecuațiilor, trebuie să se gândească bine
cum să pună problema în ecuaţie; o dată ce a scris ecuaţia, rezolvarea problemei se
reduce la o chestiune de pură tehnică, căci există un algoritm prin care se rezolvă orice
ecuaţie de gradul 1 cu o necunoscută.
Or, ca algoritmul să fie util, elevul trebuie să-l stăpânească bine. El trebuie să
fie în stare să efectueze operaţiile rapid şi sigur, fără să stea să se gândească. Este
necesar să formăm la elevi unele automatisme.
10. Critica modului uzual de predare. Văzute în lumina aceasta, diferitele aspecte
ale formalismului descrise mai sus nu sunt prea grave. Elevul X ştie să efectueze
corect calcule algebrice, dar nu are o idee clară despre noţiunea de identitate, sau ştie
să rezolve ecuaţia pe baza anumitor reguli, dar nu poate motiva aceste reguli. I-am
face acestui elev o nedreptate dacă am spune că el nu ştie nimic. El are cunoştinţe,
cunoştinţele lui sunt utile, dar incomplete.
Modul uzual de predare a algebrei nu este fundamental greşit. I se poate
reproşa doar atât: că este într-o oarecare măsură unilateral, că, îndreptându-şi tot
efortul asupra părţii formale şi asupra automatismelor, neglijează conţinutul. Această
orientare a învăţământului duce la supraîncărcarea elevilor cu exerciţii de calcul prea
lungi şi complicate: înmulţiri de polinoame la care coeficienţii sunt numere zecimale,
fracţii etajate şi supraetajate ş.a.m.d. Se spune deseori că aceste calcule sunt
necesare în practică. Acest lucru nu este adevărat. Culegerile de probleme conţin
pentru fiecare clasă multe exerciţii destul de ingenios compuse, dar cele mai multe din
ele sunt artificiale. Numai rareori apar astfel de calcule în clasele următoare sau în
învăţământul superior. Artificiile de calcul îşi au frumuseţea lor, câte un exemplu izolat
este bine venit, dar trebuie să păstrăm proporţiile. Să nu transformăm calculul algebric
în acrobaţie.
De altfel, ar fi o greşeală să credem că cel mai bun lucru pentru a învăţa calculul
algebric este să faci cât mai multe exerciţii. Nu cantitatea exerciţiilor este
hotărâtoare, ci calitatea lor, cât de bine înţeleg elevii ceea ce fac. Un elev care a făcut
numai calcule scurte, dar le-a înţeles bine, se va orienta uşor şi în cazuri complicate. Să
nu uităm că tehnica de calcul se formează treptat, în decursul anilor. În cadrul mişcării
de modernizare a învăţământului matematic, a apărut, printre altele, tendinţa de a pune
mai mult accent pe latura conceptuală, nu pe cea algoritmică. S-a constatat că elevii din
clasele la care s-a predat astfel nu sunt cu nimic mai prejos în privinţa calculelor decât
colegii lor din clasele obişnuite.
11. Mijloace de preîntâmpinare a lipsurilor. Pentru a preîntâmpina lipsurile semnalate
în cele ce precedă, nu se cere o schimbare radicală a modului de predare. Nu este
necesar să transformăm cursul de algebră într-un curs de fundamentele matematicii.
29
Este suficient ca algebra să fie predată în strânsă legătură cu aritmetica. Ca să
motivăm regulile de calcul algebric, este suficient să ne bazăm pe cunoştinţele de
aritmetică ale elevilor, căci în aritmetică regulile sunt mai mult sau mai puţin
justificate. De fapt, acest lucru se face. Când se predă o temă nouă (reducerea
termenilor asemenea, înmulţirea polinoamelor, operaţiile cu fracţiile algebrice ş.a.),
profesorul se bazează pe cunoştinţele de aritmetică ale elevilor, dar explicarea unei
lecţii noi durează câteva minute, apoi se fac multe ore numai exerciţii de calcul şi, din
cauza acestei disproporţii, conţinutul dispare din mintea elevilor.
Un fenomen analog se produce la rezolvarea ecuaţiilor: regulile se explică într-o
singură lecţie, apoi se fac nenumărate exerciţii în care elevii le aplică, dar nu se mai
revine asupra provenienţei lor. O recomandare foarte importantă este: să încredinţăm
automatismului numai lucrurile bine asimilate. În concluzie, se impune o revizuire a
sistemului de probleme şi exerciţii. Mai multe probleme cu text, mai multe exerciţii de
interpretare a calculului algebric şi mai puţine calcule propriu-zise, iar cele care se fac
să nu fie prea complicate.
Cele mai multe din ele trebuie compuse de acum înainte; ele se găsesc cu greu în
culegerile obișnuite. Aici ne mărginim să parcurgem capitolele din programă şi să
arătăm la fiecare din ele, în linii mari, cum poate fi tradus în fapt dezideratul de mai
sus.
1) Expresiile algebrice trebuie introduse cu ajutorul unor probleme cu date în
litere, de asemenea şi valoarea numerică a unei expresii algebrice.
2) Îndată după operaţiile cu numere relative se pot rezolva probleme simple care
au soluţii negative, cu interpretarea soluţiei. Aceasta în ipoteza că ecuaţiile se introduc
la începutul cursului de algebră.
Exemplu: Cu cât trebuie să mărim numărătorul fracţiei 20
7 ca să obţinem o
fracţie egală cu ?4
1 R: ;2,
4
1
20
7
x
x numărătorul trebuie micşorat cu 2.
3) Polinomul de o singură variabilă ordonat după puterile descrescătoare ale
variabilei, deşi din punct de vedere istoric are o altă origine, poate fi privit ca o
generalizare a scrierii sistematice a numerelor. Dacă în polinomul ,7852 23 xxx
de exemplu, punem x = 10, obţinem numărul 2587, care are ca cifre coeficienţii
polinomului. Dacă, în cadrul operaţiilor cu polinoame, se subliniază acest lucru, se obţine
un avantaj dublu. Pe de o parte, noţiunea de polinom devine mai apropiată elevilor, căci
ei văd că lucrează de mult cu anumite polinoame particulare, iar pe de altă parte, după
ce au învăţat operaţiile cu polinoame, ei înţeleg mai bine tehnica de calcul cu numere
naturale.
4) Orice calcul algebric duce la o identitate. Pentru a ţine acest fapt prezent în
mintea elevilor, este util să se facă cât mai des aşa-numita probă prin substituţie. Se
înlocuiesc în expresia dată şi în rezultat literele prin numere luate la întâmplare;
enunţul şi rezultatul trebuie să aibă aceeaşi valoare numerică. Prin faptul că putem
face proba cu orice număr, elevii îşi dau bine seama că au de-a face cu identităţi.
Faptul că enunţul şi rezultatul au aceeaşi valoare numerică, oricare ar fi valoarea
numerică atribuită literelor, devine deosebit de pregnant când partea dreaptă a
30
identităţii este o constantă, căci în acest caz se ştie dinainte care va fi valoarea
numerică a expresiei din stânga. Se pot face unele jocuri bazate pe acest fapt. Un mic
divertisment de acest fel valorează mai mult decât unele explicaţii pretenţioase.
5) Orice identitate exprimă o anumită proprietate a operaţiilor algebrice.
Identitatea (a + b)m = am + bm exprimă că, dacă înmulțim suma a două numere cu un al
treilea număr, obţinem o sumă care are ca termeni produsele primelor două numere cu
cel de-al treilea, iar identitatea ab
ba
a
b
b
a 22 exprimă că, dacă adunăm o fracţie cu
inversa ei, obţinem o fracţie care are ca numărător suma pătratelor termenilor acelor
fracţii, iar ca numitor produsul termenilor. Din punctul de vedere al conţinutului nu
există nici o deosebire între aceste identităţi. Totuşi, prima este prezentată ca regulă
de calcul, iar a doua nu. Este util să-i facem pe elevi să înţeleagă că orice identitate ar
putea deveni o regulă de calcul dacă proprietatea operaţiilor pe care o exprimă ar
interveni deseori în practică. Practica hotărăşte. De exemplu, .11 3 xxxxx
Dacă într-un anumit domeniu al algebrei acest calcul ar interveni deseori, ar fi util să
ştim regula următoare: produsul a trei numere întregi consecutive este egal cu
diferenţa dintre cubul numărului mijlociu şi numărul mijlociu (formulele care dau suma
unei progresii, aritmetice sau geometrice, sunt astfel de identităţi).
Pentru ca elevii să înţeleagă aceasta, este suficient să le cerem din când în când
să exprime în cuvinte rezultatul unui calcul algebric oarecare - aşa cum am procedat
mai sus în cazurile ab
ba
a
b
b
a 22 şi .11 3 xxxxx Progresele algebrei se
datorează în bună măsură faptului că s-a creat un limbaj simbolic foarte condensat,
trecerii de la algebra „retorică” la cea „simbolică”. Ca acest limbaj să-şi păstreze
înţelesul să nu degenereze într-un formalism gol, este util să facem în şcoală câţiva
paşi în sensul opus dezvoltării istorice, să facem retroversiuni din algebra simbolică în
cea retorică. Experienţa arată că la exerciţiile de acest fel apar unele formulări care
lasă foarte mult de dorit din punct de vedere gramatical, dar aceasta n-are
importanţă.
6) Aceluiaşi scop - ca elevii să înţeleagă cât mai bine care este sensul calculului
algebric - îi serveşte un alt gen de exerciţii în care calculul algebric se foloseşte
pentru a demonstra unele proprietăţi ale numerelor. Aici sunt luate în considerare mai
ales calcule foarte simple, presupunându-se că literele reprezintă numere naturale,
precum şi unele identităţi care dau reguli de calcul prescurtat.
7) După metoda tradiţională de predare a algebrei, calculul algebric se aplică la
lucruri concrete numai când se pun probleme în ecuaţie. Există posibilitatea de a face
acest lucru în cadrul fiecărei teme de calcul algebric. Iată un exemplu: „Pentru
ambalarea merelor se folosesc trei feluri de lăzi: mici, mijlocii şi mari într-o ladă
mijlocie încape cât în două lăzi mici şi încă 5 kg; într-o ladă mare încape cu 10 kg mai
puţin decât în două lăzi mijlocii. Avem câte o ladă de fiecare fel. Câte lăzi mici sunt
necesare pentru a ambala toate merele pe care le avem?
31
Dacă se notează cu x capacitatea unei lăzi mici exprimată în kg, calculul arată că
toate merele cântăresc (7x + 5) kg, ceea ce înseamnă că sunt necesare 7 lăzi şi mai
rămân 5 kg.
8) Elevii au tendinţa de a exagera rostul formulelor de calcul prescurtat. Pentru
ca elevii să-şi dea seama că aceste reguli nu sunt indispensabile, este util ca, după
predarea acestei teme, să dăm câteva exerciţii în care să se calculeze expresii ca
222 2,72 xayx ş.a., fără a aplica regula respectivă. De asemenea, să efectueze
calcule ca ,2,142
axba pentru care nu cunosc reguli speciale.
9) La ecuaţii, după ce elevii stăpânesc bine regula după care se trece un termen
dintr-o parte a unei ecuaţii în cealaltă, este util să-i obligăm din când în când să rezolve
o ecuaţie fără a folosi această regulă (se adaugă la ambele părţi acelaşi termen).
Exerciţiile şi problemele de acest tip nu încarcă elevii. Dimpotrivă, datorită lor
algebra devine mai uşoară, căci elevii o înţeleg mai bine. Ele nu cer mult timp şi
învăţământul are numai de câştigat dacă o parte din exerciţiile de calcul se înlocuiesc
cu exerciţii de acest tip. Ele aduc o schimbare a atmosferei în clasă. Introducând în
lecţiile de algebră, în care se fac calcule şi iar calcule, câteva reflecţii de altă natură,
activitatea elevilor devine mai variată, lecţiile devin mai interesante şi mai plăcute.
LEGĂTURA CU PRACTICA ÎN PREDAREA ALGEBREI
1. Legătura dintre matematică şi practică 2. Legătura dintre algebra
elementară şi practică 3. Mijloace de realizare
1. Legătura dintre matematică şi practică. În general, legătura cu practica se
realizează în matematică pe două căi: o cale directă şi una indirectă. Calea directă
constă în aceea că se folosesc metode matematice pentru a rezolva probleme concrete
din fizică, tehnică, economie ş.a. Matematicianul care face calculele legate de lansarea
unei rachete cosmice, inginerul care foloseşte matematica la proiectarea unei maşini
sau a unei clădiri, economistul care foloseşte metode moderne de matematică pentru a
găsi cea mai bună organizare a producţiei aplică matematica direct în practică.
Dar, pentru a putea rezolva problemele puse de practică, matematica le
transformă în probleme generale, abstracte. În cercetarea acestor probleme apar
probleme noi, cu aspect pur teoretic, de a căror rezolvare depinde uneori rezolvarea
unor probleme practice. Această parte a matematicii nu se mai aplică direct în
practică, ci indirect.
Mai mult, pe măsură ce matematica se dezvoltă, se creează teorii matematice,
care, iniţial, nu au nici o legătură cu practica, dar îşi găsesc mai târziu, aplicaţii pe care
creatorii lor nici nu le-au bănuit. Există şi cercetări pur teoretice, care nu se fac în
vederea unei aplicaţii, dar care răspund la probleme ce se pun în mod firesc în cursul
dezvoltării matematicii.
Legătura indirectă dintre teorie şi practică se poate ilustra printr-un exemplu
luat chiar din algebra elementară.
32
Din cele mai vechi timpuri s-au elaborat metode, pe cât de ingenioase, pe atât de
complicate, de a rezolva unele probleme considerate azi ca probleme de artimetică.
Algebra s-a impus prin faptul că a adus o metodă unitară: ecuaţiile. Cu timpul,
matematica a ieşit din cadrul îngust al ecuaţiilor, care se obţin din probleme concrete,
şi s-a trecut la studiul ecuaţiilor ca atare, indiferent dacă există sau nu probleme
practice care duc la fiecare tip de ecuaţie. În felul acesta s-a constituit teoria
ecuaţiilor. Unele părţi din această teorie par, la prima vedere, a avea un caracter pur
teoretic, dar de fapt ele îşi au originea în practică, căci sunt legate de rezolvarea
ecuaţiilor, iar ecuaţiile, la rândul lor, de rezolvarea unor probleme puse de practică.
Dezvoltarea a mers mai departe. În cadrul teoriei ecuaţiilor a apărut noţiunea de grup;
cu timpul, teoria grupurilor s-a dezvoltat ca disciplină independentă care joacă un rol
important în mai multe ramuri ale matematicii şi se aplică, de exemplu, în cristalografie.
Un fenomen asemănător se poate observa în cadrul mai restrâns al calculului
algebric. Iniţial, literele au fost folosite numai pentru a exprima sub o formă concisă
rezultatul unor raţionamente care se făceau ca în aritmetică. Cu timpul s-a trecut la
mici calcule cu litere şi au început să se formeze regulile de calcul algebric. Din acest
moment au început să apară probleme noi, specifice acestei discipline, cum ar fi:
operaţii cu polinoame, formulele pentru (a+b)2, (a+b)3 şi, în general, (a+b)n,
descompunerea în factori ş.a. Dacă privim aceste reguli izolat, avem impresia că ele nu
au nimic comun cu practica. În realitate, ele îşi au rostul practic în cadrul dezvoltării
generale a algebrei elementare.
2. Legătura dintre algebra elementară şi practică. Din aceste consideraţii generale
rezultă cum trebuie înţeleasă legătura cu practica în predarea algebrei. Ar fi o
denaturare a algebrei să căutăm aplicaţii practice pentru fiecare temă în parte: pentru
pătratul binomului, pentru descompunerile în factori ş.a.m.d. (asemenea tendinţe s-au
manifestat în şcoala noastră). Legătura cu practica nu se realizează prin aplicaţii
forţate, ci prin modul în care se predă algebra în ansamblul ei.
Dat fiind că, la origine, calculul algebric nu este decât calculul aritmetic sub
forma generală, mijlocul cel mai important este de a preda calculul algebric în strânsă
legătură cu aritmetica. Procedând în felul acesta, problema dacă calculul algebric are
vreo valoare practică nici nu se pune, căci de caracterul practic al aritmeticii şcolare
nu se îndoieşte nimeni. Mai mult, problema legăturii cu practica nici nu se pune, căci
elevii simt tot timpul sub picioare pământul, pe care-l reprezintă aritmetica. Însuşi
termenul „legătura cu practica” devine impropriu; nu este vorba de a lega între ele două
lucruri diferite, ci de a pune în evidenţă unitatea lor.
Acest mod de a preda algebra nu se impune în virtutea vreunui principiu
utilitarist sau politic, ci derivă din însăşi esenţa şi originea algebrei; punând mereu în
evidenţă unitatea dintre aritmetică şi algebră, îi putem face pe elevi să înţeleagă
algebra.
3. Mijloace de realizare. O bună parte din cele spuse la paragrafele precedente
despre spiritul în care trebuie predată algebra în şcoala generală se referă în acelaşi
timp şi la asigurarea acestei unităţi. Enumerarea de mai jos, care este în parte o
33
repetare, se face cu scopul de a scoate în relief mijloacele prin care se poate evita
ruperea teoriei de practică şi de a arăta că indicaţiile respective, care se găsesc
risipite la diferite capitole, sunt date pe baza unei idei diriguitoare şi servesc acestui
scop.
a) Expresiile algebrice nu se introduc formal, ci ca soluţii ale unor probleme
concrete cu date literale.
b) La aflarea valorii numerice a unei expresii algebrice se folosesc formule care
se aplică efectiv.
c) Introducerea numerelor negative se justifică prin nevoia de a măsura mărimile
care pot fi socotite în două sensuri, iar operaţiile cu numere relative se stabilesc,
măcar în parte, pe baza semnificaţiilor lor concrete.
d) Calculul algebric se predă în strânsă legătură cu aritmetica, punându-se mereu
în evidenţă faptul că literele reprezintă numere, deci calculul algebric reprezintă un
calcul cu numere sub forma generală.
e) Calculul algebric se subordonează ecuaţiilor. Datorită acestui fapt, elevii
aplică în practică aceste cunoştinţe pe măsură ce le dobândesc.
f) În cadrul calculului algebric se rezolvă unele probleme concrete şi se
interpretează rezultatele.