ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Facultad de Ingeniería Electrónica e Informática Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica| Asignatura: Física Docente:

ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL

Facultad de Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería Electrónica e Informáticae Informática

Escuela Profesional de Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica|Ingeniería Mecatrónica|

Asignatura: FísicaDocente: Lic. Jefferson A. Paico Guevara

Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por

un número real y su unidad.

Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres

números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una

número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un

sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también

llamada vector.

Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.

Álgebra vectorial1.1.

A

'A

a

dirección

sentido

módulo


A

'A

a

dirección

sentido

módulo

Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado

caracterizado por:

• Un origen o punto de aplicación. Punto A.

• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo

es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.

• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.

• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

a ó a

aa ó


Suma de vectores.

a

b cd

cbad

a

b

c

Regla del polígono

Regla del paralelogramo

bac

a

b

a

b

c

Fundamentos de Física. FCM.


Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos

opuestos.a

a

Diferencia de vectores.

bacbac

b

a

a

b

c

b

Producto de un vector por un escalar.

aa

0

1

a

0

1


Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

000 :nulo elemento vii)

: vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:producto el para asociativa v)

es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)

0 :suma la para neutro elemento iii)

:suma la para aconmutativ ii)

:suma la para asociativa i)

a

baba

aaa

aa

ababbaba

aa

abba

cbacba


aa

ua

Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección

de será:a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un

vector unitario en dicho sentido.

Proyección de un vector sobre un eje.

eu

a

aPe

coscos aaaPe


Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto

denominado origen del triedro.

X

Y

Z

pulgar

índice

corazón

Levógiro (mano izquierda)

Y

X

Z

pulgar

corazón

índice

Dextrógiro (mano derecha)

i

jk

dextrógiroTriedro cartesiano

kji

, ,vectores unitarios:

Coordenadas cartesianas

Y

X

Z

yx

z

zyxP ,, zrP ,,

Y

X

Z

r

z

Coordenadas cilíndricas

,,P

Y

X

Z

Coordenadas esféricas


Sistemas de coordenadas.


Componentes cartesianas.

xa Y

X

Z

a

ya

za a

Y

X

Z

xk

j yz

i

zyx aaaa

kaa

jaa

iaa

zz

yy

xx

zZz

yYy

xXx

aaPa

aaPa

aaPa

cos

cos

cos

Componentes cartesianas Cosenos directores

aa

aa

aa

zz

yy

xx

/cos

/cos

/cos


Componentes cartesianas.

zzyyxx aaaaaa cos cos cos

kaajaaiaa zzyyxx

zyx aaaa kajaia zyx

kjia zyx

coscoscos


Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

kjia

au zyxa

coscoscos

),,( zyxzyx aaaaaaa


Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

kbajbaibaba zzyyxx

kbajbaibababa zzyyxx

)(

Producto escalar de dos vectores.


cosb

ab

cosabba

Propiedades.

kaajaaiaauaaP

aaaa

ikkjjikkjjii

bababa

baba

bcacbac

abba

zyxee

, , ia,consecuencEn . vii)

vi)

0 ,1 v)

0y 0, si iv)

:escalares a respecto asociativa iii)

:vadistributi ii)

:aconmutativ i)

Producto escalar de dos vectores.

a

cosb

b

cosabba

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.

zzyyxx babababa

Ángulo que forman dos vectores.

ab

bababa

ab

ba zzyyxx

cos



Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

Propiedades.

bababa

bcacbac

bababa

cbacba

abba

|| 0y 0, Si v)

:suma la a respecto vodistributi iv)

:escalarun por producto el para asociativo iii)

:asociativo-no ii)

:ativoanticonmut i)

c

Producto vectorial de dos vectores.



Producto vectorial de dos vectores.


Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

ba zyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

senabbac

c



Producto mixto de tres vectores.


Y

X

Z

a

b

c

ba

cosabcsenbac

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

Propiedades.

acbbaccba

:cíclica i)

Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

zzyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

cbabacbabacbaba

bbb

aaa

ccc

bac

Momento de un vector con respecto a un punto.

r a

d

OM

O

P

araMO

adarMO sen

El momento de un vector con respecto

a un punto no varía al cambiar el punto

de aplicación del vector sobre la recta

soporte.


ja

límia

lím yx

00

Cálculo vectorial1.2.

Función vectorial con respecto a un escalar.

1a

2a

kajaiaaa zyx

12 aaa

a

aaa

2

1

12


Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

a

a

a

a

dad

dad

dad

dad

aalím

alím

d

ad

00

aaa

aaa



j

d

dai

d

daj

alími

alím

jaa

límiaa

lím

aalím

alím

d

ad

yxyx

yyxx

00

00

00


Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

dt

ad

dt

ad

dt

ad

k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

0

k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

0



Propiedades.

dbd

abdad

badd

dbd

abdad

badd

ddf

adad

fafdd

dλbd

dλad

λbλadλd

:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)

:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)

:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)

: vectoresde suma la de Derivada i)



Algunas consecuencias.

auaa

Si iii)

|| Si ii)

general,En i)

aa

aaa

aa

udad

dud

adad

ctea

udad

udda

dad

cteu

dud

audda

dad


Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dad

ba

Propiedades.

1

2

2

1

2

1

2

1

v)

:y Si iv)

:, Si iii)

: Si ii)

:y Si i)

21

dada

dd

dada

dadacte

dadada

dakdakctek

dbdadbabbaa


Integral en función de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kdajdaidada zyx

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dad

ba

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