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Algebraische Strukturen
8. Algebraische Strukturen - Themenubersicht
Mengen mit einer Operation
Halbgruppen
Monoide
Gruppen
Mengen mit zwei Operationen
Korper
Ringe
Strukturerhaltende Abbildungen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 210 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Halbgruppen
Definition 8.1
Eine Menge G mit Verknupfung ⊕ : G × G → G heißt Halbgruppe g.d.w.sich ⊕ auf G assoziativ verhalt:
∀a, b, c ∈ G : (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b ⊕ c)
Beispiel
Halbgruppe?
〈Z,−〉 Nein, da (−3− 4)− 5 6= −3− (4− 5).
〈Z,+〉 Ja, Addition in Z assoziativ.
〈A+, ·〉 Ja, Konkatenation ist assoziativ.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 211 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Eindeutigkeit von neutralen Elementen
Definition (Neutrales Element)
Sei G mit ⊕ eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G heißt neutrales Elementg.d.w. fur alle a ∈ G
a⊕ e = e ⊕ a = a.
Lemma 8.2
Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt.
Proof.
Seien e, e ′ neutrale Elemente. Dann gilt:
e = e ⊕ e ′ = e ′
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 212 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Monoid
Definition
Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid.
Beispiel 8.3
Monoid?
〈A+, ·〉 Nein, ε 6∈ A+.
〈Z,+〉 Ja, 0 ∈ Z.
〈A∗, ·〉 Ja, ε ∈ A∗ neutrales Element (A∗ =df A+ ∪ {ε}).
〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A→ A,Komposition) Ja, identischeAbbildung idM ist neutrales Element.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 213 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Gruppen
Definition 8.4 (Inverses Element)
Sei G mit ⊕ ein Monoid und a ∈ G . Ein Element a−1 ∈ G mit
a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e
heißt inverses Element zu a.
Definition 8.5 (Gruppe)
Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inverses Elementa−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 214 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Gruppen: Beispiele
Beispiel 8.6
Gruppen?
〈R\{0}, ·〉 Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x−1
zu x .
〈R,+〉, 〈Z,+〉 Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element−x zu x .
〈R−, ·〉 Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit.
〈A+, ·〉 Nein, da Elemente in A+ keine inversen Elemente besitzen.
〈Z, ·〉 Nein, da Elemente in Z i.A. keine inversen Elemente besitzen.
〈{−1, 1}, ·〉 Ja, da alle Eigenschaften erfullt.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 215 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Strukturtafeln
+n 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 0
2 2 3. . .
3 3 44 4 55 5 0
∗n 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5
2 0 2. . .
3 0 34 0 45 0 5
Figure : Additions- und Multiplikationstafeln fur Z6
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 216 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Rechenregeln in Gruppen
Lemma 8.8
Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt:
1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c,
2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1
Proof.
1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Pramisse:
a(Neu.)
= a⊕ e(Def . Inv .)
= a⊕ (b ⊕ b−1)
(Assoz.)= (a⊕ b)⊕ b−1 (Vor .)
= (c ⊕ b)⊕ b−1
(Assoz.)= c ⊕ (b ⊕ b−1)
(Def . Inv .)= c ⊕ e
(Neu.)= c
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 217 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Rechenregeln in Gruppen
Lemma 8.8
Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt:
1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c,
2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1
Proof.
2 Ubungen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 218 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Untergruppen
Definition 8.9
Ist 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass 〈H,⊕〉auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G ,⊕〉.
Analog fur Halbgruppen und Monoide
Unterstrukturen mussen insbesondere mit der gleichen Operationdefiniert sein, so ist z.B. die Gruppe 〈Z,−〉 keine Untergruppe derGruppe 〈R,+〉, obwohl Z ⊆ R.
Beispiel 8.10
Die Gruppe 〈R,+〉 hat als Untergruppe 〈Z,+〉.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 219 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Neutrale Elemente in Untergruppen
Beispiel 8.11
Bei einem Monoid mit Untermonoid mussen die neutralen Elemente nichtdie gleichen sein. Gegeben sei das Monoid 〈G ,⊕〉 gemaß der folgendenVerknupfungstabelle:
⊕ a b
a a bb b b
〈G ,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid 〈{b},⊕〉 hatjedoch neutrales Element b.
Satz 8.12
Eine Untergruppe 〈H,⊕〉 von 〈G ,⊕〉 besitzt das gleiche neutrale Elementewie 〈G ,⊕〉.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 220 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Symmetrische Gruppe
Definition 8.13
Sn = {f | f ist Bijektion von {1, . . . , n} auf {1, . . . , n}} mit derKomposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn konnenals Permutation angesehen werden.
S3 ={( 1 2 3
1 2 3
),
(1 2 31 3 2
),
(1 2 32 1 3
),(
1 2 32 3 1
),
(1 2 33 1 2
),
(1 2 33 2 1
)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 221 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Symmetrische Gruppe
Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. fur f ◦ g wendetman zuerst die Permutation g und dann f an.
f ◦ g =
(1 2 33 2 1
)◦(
1 2 32 1 3
)=
(1 2 32 3 1
)
Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f ◦ g = (1, 2, 3).Dabei steht (c1, c2, c3 . . . , ck−1, ck) fur c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck ,ck 7→ c1. Kommt ein ci nicht vor so bedeutet dies, dass ci 7→ ci .
S3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 222 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Nebenklassen
Definition 8.14
Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉 und a ∈ G . Dann bezeichne
aH =df {a⊕ h | h ∈ H}Ha =df {h ⊕ a | h ∈ H}
die Links- und Rechtsnebenklassen von a.
Beispiel 8.15
Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id , (1, 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und dasElement a = (23) ∈ G . Dann gilt:
aH = {(23) ◦ id , (23) ◦ (12)} = {(23), (132)}Ha = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} = {(23), (123)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 223 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Satz von Lagrange
Satz 8.16
Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von G. Esgilt
|H|∣∣∣ |G |
Proof.
Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mitgleichgroßen Klassen. Im Detail:
1⋃g∈G
gH = G
2 gH paarweise disjunkt
3 |gH| = |H|
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 224 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
1⋃a∈G
aH = G
Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 225 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
2 ∀a, a′ ∈ G . aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H.Beweis:Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mita⊕ h = a′ ⊕ h′, also
a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (2.1)
Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ∈ aH.Dann gibt es ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:
g = a⊕ h′′(1)=
a︷ ︸︸ ︷a′a′⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸ ︷︷ ︸
∈H
∈ a′H
Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 226 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
3 ∀a, a′ ∈ G . |aH| = |a′H|.Beweis:Sei f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b. Zu zeigen
1 ∀b ∈ aH. f (b) ∈ a′H2 f ist injektiv
Zu 1) Wegen b ∈ aH gibt es ein h ∈ H mit b = a⊕ h ∈ aH. Es gilt:
f (b) = f (a⊕ h)
= a′ ⊕ a−1 ⊕ a︸ ︷︷ ︸e
⊕h
= a′ ⊕ h ∈ a′H.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 227 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
Es gelte: f (b1) = f (b2). Zu zeigen: b1 = b2.
b1 = a⊕ h1
b2 = a⊕ h2
f (b) = a′ ⊕ a−1 ⊕ b
b1 = a⊕ h1
= a⊕
e︷ ︸︸ ︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸ ︷︷ ︸
e
⊕b1︷ ︸︸ ︷
a⊕ h1
= a⊕ a′−1 ⊕ a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h1︸ ︷︷ ︸f (b1)
Vor .= a⊕ a′−1 ⊕ f (b2)
= a⊕ a′−1 ⊕
f (b2)︷ ︸︸ ︷a′ ⊕ a−1 ⊕ a⊕ h2
= a⊕
e︷ ︸︸ ︷a′−1 ⊕ a′⊕a−1︸ ︷︷ ︸
e
⊕b2︷ ︸︸ ︷
a⊕ h2
= a⊕ h2
= b2Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 228 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Normalteiler
Definition 8.17
Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉. Wenn die Rechts- undLinksnebenklassen fur alle a ∈ G ubereinstimmen (Ha = aH), wird H einNormalteiler von G genannt (Notation: H / G ).
Beispiel 8.18
〈{id , (123), (132)}, ◦〉 / 〈S3, ◦〉
Wahle z.B. a = (23) ∈ S3. Dann gilt
(23) ◦ N = {(23) ◦ id , (23) ◦ (123), (23) ◦ (132)}= {(23), (13), (12)}
N ◦ (23) = {id ◦ (23), (123) ◦ (23), (132) ◦ (23)}= {(23), (12), (13)} = (23) ◦ N
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 229 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Normalteiler
Definition 8.17
Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉. Wenn die Rechts- undLinksnebenklassen fur alle a ∈ G ubereinstimmen (Ha = aH), wird H einNormalteiler von G genannt (Notation: H / G ).
Beispiel 8.18
〈{id , (123), (132)}, ◦〉 / 〈S3, ◦〉
〈{id , (123), (132)}, ◦〉 wird auch als A3 (alternierende Gruppe) bezeichnet.〈A3, ◦〉 ∼= 〈Z3,+3〉 (Isomorphie: spater formal)
◦ id 123 132
id id 123 132123 123 132 id132 132 id 123
+3 0 1 2
0 0 1 21 1 2 02 2 0 1
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 230 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Faktorgruppen
Lemma 8.19
Sei 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und N ein Normalteiler von G . Dann ist〈G/N,⊕N〉 mit
G/N =df {aN | a ∈ G}
eine Gruppe, wobei ⊕N wie folgt definiert ist:
aN ⊕N bN = (a⊕ b)N
Wir nennen 〈G/N,⊕N〉 die Faktorgruppe von G bezuglich N.
Zu zeigen:1 Wohldefiniertheit (Representantenunabhangigkeit)2 G/N hat ein neutrales Element eN .3 ∀a ∈ G .∃a−1 ∈ G . aN ⊕ a−1N = eN
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 231 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Die Faktorgruppe ist eine Gruppe
1 Wohldefiniertheit, d.h.∀a, a′, b, b′ ∈ G .aN = a′N ∧ bN = b′N ⇒ aN ⊕N bN = a′N ⊕N b′N
Beweis:Seien a, a′, b, b′ gegeben mit aN = a′N ∧ bN = b′N. Zu zeigen:
a′N ⊕ b′N = aN ⊕N bNZunachst gilt: ∃n, n′, n′′ ∈ N. mit a′ = a⊕ n, b′ = b ⊕ n′ undn ⊕ b = b ⊕ n′′. Dann gilt:
a′N ⊕N b′N = (a′ ⊕ b′)N
= ((a⊕ n)⊕ (b ⊕ n′))N
= (a⊕ (n ⊕ b)⊕ n′)N = (a⊕ (b ⊕ n′′)⊕ n′)N
= ((a⊕ b)⊕ n′′ ⊕ n′︸ ︷︷ ︸n′′′
)N
= (a⊕ b)N = aN ⊕N bN
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 232 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Die Faktorgruppe ist eine Gruppe
2 G/N hat ein neutrales Element eN .Behauptung:
eGN = N = NeG ist neutrales Element.Sei a ∈ G . Dann gilt:
aN ⊕N eGN = (a⊕ eG )N = aN
3 G/N hat inverse Elemente:
∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G . aN ⊕ a−1N = eN
Sei N ′ ∈ G/N.Dann ist zu zeigen: ∃N ′′.N ′ ⊕N N ′′ = N. Zunachst gilt∃a ∈ G .N ′ = aNund damit:
aN ⊕ a−1N = (a⊕ a−1)N = eGN
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 233 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Korollar zum Satz von Lagrange
Lemma 8.20
Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und H ein Normalteiler von G . Es gilt
|G | = |H| · |G/H|
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 234 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Homomorphismen
Definition 8.21
Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen und
f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉
eine Abbildung. f heißt (Gruppen-)Homomorphismus gdw.
∀a, b ∈ G1. f (a⊕1 b) = f (a)⊕2 f (b)
Die Abbildung heißtMonomorphismus, wenn f zusatzlich injektiv ist.
Epimorphismus, wenn f zusatzlich surjektiv ist.
Isomorphismus, wenn f zusatzlich bijektiv ist.
Bei Gleichheit der beiden Gruppen nennt man f ferner
Endomorphismus
Automorphismus, wenn f auch Isomorphismus ist.Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 235 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Homomorphismen - Eigenschaften
Lemma 8.22
Seien 〈G1,⊕1〉 und 〈G2,⊕2〉 Gruppen mit neutralen Elementen e1 und e2.Ferner sei
f : 〈G1,⊕1〉 → 〈G2,⊕2〉
ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:
1 f (e1) = e2
2 ∀a ∈ G1. f (a−1) = (f (a))−1
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 236 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beispiele fur Homomorphismen
Beispiel 8.23
1 ϕ : 〈A∗, ·〉 → 〈N,+〉 mit w 7→ |w | bildet einen Monoidepimorphismus,denn es gilt ϕ(ε) = |ε| = 0 und
ϕ(w1 · w2) = ϕ(w1w2) = |w1w2| = |w1|+ |w2| = ϕ(w1) + ϕ(w2)
Surjektiv: Sei a ∈ A. ∀n ∈ N : ϕ(an) = n.
Nicht injektiv: ϕ(ab) = ϕ(ba) = 2.
2 ϕ : 〈Z,+〉 → 〈N,+〉 mit f (x) = x2 bildet keinen Homomorphismus,denn
ϕ(x + y) = (x + y)2 6= x2 + y2 = ϕ(x) + ϕ(y)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 237 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beispiele fur Homomorphismen
Beispiel 8.23
3 Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G . Dann ist
f : G → G/N mit f (g) = gN
ein Gruppenepimorphismus.
4 Sei G eine Gruppe und b ∈ G . Dann ist
Ab : G → G mit Ab(g) = b−1gb
ein Gruppenautomorphismus.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 238 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Kern eines Homomorphismus
Definition 8.24
Fur einen Homomorphismus
ϕ : 〈G1,⊕〉 → 〈G2,⊕2〉
mit neutralem Element e1 und e2, ist der Kern von ϕ die Menge derElemente die auf das neutrale Element in G2 abgebildet werden:
kern(ϕ) = {x ∈ G1 | ϕ(x) = e2}
Beispiel 8.25
ϕ : 〈Z6,+6〉 → 〈Z6,+6〉 mit ϕ(x) = 2x ist ein Homomorphismus. Es gilt:
Kern(ϕ) = {0, 3}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 239 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Gruppenstruktur und Morphismen
Satz 8.27
Sei ϕ ein Gruppenhomomorphismus.
1 Kern(ϕ) bildet einen Normalteiler von G1,
2 Bild(ϕ) = {y ∈ G2 | ∃x ∈ G1. ϕ(x) = y} bildet eine Untergruppe vonG2.
Homomorphiesatz
G/Kern(ϕ) ist isomorph zu Bild(ϕ).
Satz 8.28
Die Menge aller Automorphismen einer Gruppe ist zusammen mit derKomposition selbst eine Gruppe.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 240 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Konstruktionsmuster fur Gruppen
Lemma 8.31 (Schnitte von Unter(halb)gruppen)
Sei 〈G ,⊕〉 eine Gruppe (Halbgruppe) und 〈H1,⊕〉, 〈H2,⊕〉 Untergruppen(Unterhalbgruppen) von G . Dann gilt: Der Schnitt 〈H1 ∩ H2,⊕〉 istebenfalls eine Untergruppe (Unterhalbgruppe) von G.
Achtung: Gilt nicht fur Monoide (siehe Beispiel 8.11 mit Untermonoiden{a} und {b}. )
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 241 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Konstruktionsmuster fur Gruppen
Analog zu Produktverbanden definiert man:
Produktstruktur
Fur Halbgruppen (Monoiden, Gruppen) 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉 definierenwir das Produkt als Struktur 〈A× B,⊕〉, wobei die Verknupfung wie folgtdefiniert ist:
(a1, b1)⊕ (a2, b2) =df (a1 ⊕A a2, b1 ⊕B b2).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 242 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Konstruktionsmuster fur Gruppen
Lemma 8.32 (Produkte von (Halb)gruppen)
Seien 〈A,⊕A〉 und 〈B,⊕B〉 Halbgruppen (Monoide, Gruppen). Dann gilt:Das Produkt 〈A× B,⊕〉 ist ebenfalls eine Halbgruppe (ein Monoid, eineGruppe).
Sind A und B (mindestens) Monoide, und sind eA bzw. eB die neutralenElemente in A bzw. B, so ist (eA, eB) das neutrale Element desProduktmonoids.
Sind A und B Gruppen, und sind zu a ∈ A, b ∈ B die inversen Elementejeweils a−1 und b−1, so ist (a−1, b−1) in der Produktgruppe das zu (a, b)inverse Element.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 243 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Konstruktionsmuster fur Gruppen
Lemma (Erweiterte Produkte von (Halb)gruppen)
Sei 〈A,⊕A〉 Halbgruppe (Monoid, Gruppe) und M eine Menge. Dann gilt:Das erweiterte Produkt 〈AM ,⊕〉 ist ebenfalls eine Halbgruppe (einMonoid, eine Gruppe). Dabei ist die Verknupfung ⊕ komponentenweisewie folgt definiert:
(f ⊕ g)(m) =df f (m)⊕A g(m).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 244 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Konstruktionsmuster fur Gruppen
Lemma 8.33 (Produkthomorphismen)
Seien 〈A1,⊕A1〉, 〈B1,⊕B1〉, 〈A2,⊕A2〉 sowie 〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen(Monoide, Gruppen), und seien ferner hA : 〈A1,⊕A1〉 → 〈A2,⊕A2〉 sowiehB : 〈B1,⊕B1〉 → 〈B2,⊕B2〉 Halbgruppen- (Monoid-,Gruppen-)Homomorphismen. Dann ist h : A1 × B1 → A2 × B2 mit
h((a, b)) =df (hA(a), hB(b))
ein Halbgruppen- (Monoid-, Gruppen-)Homomorphismus von〈A1 × B1,⊕1〉 nach 〈A2 × B2,⊕2〉, wobei ⊕1 und ⊕2 wie ublich durchkomponentenweise Anwendung von ⊕A1 und ⊕B1 bzw. ⊕A2 und ⊕B2
definiert sind.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 245 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Themenubersicht
Mengen mit einer Operation
Halbgruppen√
Monoide√
Gruppen√
Mengen mit zwei Operationen
Korper
Ringe
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 246 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Mengen mit zwei Operationen
Mengen mit zwei Operationen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 247 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ruckblick
Bisher: Mengen mit einer Operation
• Halbgruppen√
• Monoide√
• Gruppen√
Halbgruppe
+Neutrales Element bezuglich ⊕
Monoid
+ Inverses Element bezuglich ⊕
Gruppe
Jetzt: Weitere Operation � : G × G → G definiert.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 248 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ringe
Definition 8.34
Eine Menge R mit Operationen ⊕ und � heißt Ring gdw.
〈R,⊕〉 bildet eine kommutative Gruppe,
〈R,�〉 bildet eine Halbgruppe,
Es gelten die Distributivgesetze:
∀a, b, c ∈ R. a� (b ⊕ c) = (a� b)⊕ (a� c)
∀a, b, c ∈ R. (a⊕ b)� c = (a� c)⊕ (b � c)
Ein Ring 〈R,⊕,�〉 heißt kommutativ gdw. auch 〈R,�〉 kommutativ ist.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 249 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ringe
Beispiel 8.35
Ringe?
〈Z,+, ·〉Ja, kommutativer Ring mit neutralem Element 0 (bzgl. +) undneutralem Element 1 (bzgl. ·).
〈mZ,+, ·〉 Unterring von 〈Z,+, ·〉Ja.
〈P(M),∆,∩〉 (Potenzmenge, symmetrische Differenz, Schnittmenge)Ja.
〈{∑n
i=0 aixi | n ∈ N ∧ ai ∈ R},+, ·〉 (Menge aller Polynome mit
reellen Koeffizienten). Ja.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 250 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Unterringe
Definition
Analog zum Begriff der Untergruppe bildet eine nichtleere TeilmengeR ′ ⊆ R eines Ringes 〈R,⊕,�〉 einen Unterring, wenn 〈R ′,⊕,�〉 ein Ringist.
Bemerkungen:
Ein Unterring eines kommutativen Ringes ist kommutativ.
Ein Unterring eines Ringes mit Einselement hat nicht notwendig selbstein Einselement. Beispiel: 2Z ⊆ Z.
Triviale Unterringe von 〈R,⊕,�〉:〈R,⊕,�〉 und 〈{0},⊕,�〉.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 251 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Unterringe von Z8
Beispiel 8.36
Ring Z8 mit Unterring {[0], [2], [4], [6]}.
[0]8[1]8
[2]8
[3]8[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
Weitere Unterringe: Z8 selbst und {[0]} und {[0], [4]}.
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ideale
Definition 8.37
Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. I ⊆ R heißt Linksideal gdw.
1 〈I ,⊕〉 ist Untergruppe von 〈R,⊕〉2 ∀a ∈ I , r ∈ R. r � a ∈ I
(Mit ∀a ∈ I , r ∈ R. a� r ∈ I analog Rechtsideal)I ⊆ R heißt Ideal gdw. I Links- und Rechtsideal. Notation: I / R.
Bemerkungen
Wegen 1) gilt I 6= ∅Falls R kommutativ ist gilt:
I Linksideal ⇔ I Rechtsideal ⇔ I Ideal
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ideale
Bemerkungen
2 · Z ist Ideal in ZSowohl 0 als auch R sind Ideale in jedem Ring. Triviale Ideale.
Ein Ring heißt einfach gdw. nur triviale Ideale.
Beispiel 8.38
Unterringe mZ von Z mit m ∈ N\{0} sind Ideale.
Endlichen oder co-endlichen Teilmengen von N sind Unterring von〈P(N),∆,∩〉. Kein Ideal.
Polynome p(x) mit p(1) = 0 sind Ideal der Menge der Polynome mitreellen Koeffizienten.
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Abgeschlossenheitseigenschaften
Satz 8.39
Es gilt fur beliebige Ideale I , J / R, auch, dass
I ∩ J / R (Infimum)
I + J =df {a⊕ b | a ∈ I , b ∈ J} / R (Supremum !)
Ideale sind.
Satz 8.40 (Verband der Ideale)
Die Menge aller Ideale eines Rings bildet einen algebraischen Verband.
({I | I / R},+,∩)
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Faktorringe
Lemma 8.41
Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring. und I ein Ideal von R. Dann bezeichne
R/I =df {a + I | a ∈ R} mit a⊕ I =df {a⊕ i | i ∈ I}
und(a⊕ I )⊕F (b ⊕ I ) = (a⊕ b)⊕ I
(a⊕ I )�F (b ⊕ I ) = (a� b)⊕ I
den Faktorring 〈R/I ,⊕F ,�F 〉 von R bezuglich I .
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ringhomomorphismen
Definition 8.42
Eine Funktionf : 〈R,⊕R ,�R〉 → 〈S ,⊕S ,�S〉
heißt Ringhomomorphismus gdw. ∀a, b ∈ R:
1 f (a⊕R b) = f (a)⊕S f (b)
2 f (a�R b) = f (a)�S f (b)
Sind R und S Ringe mit Einselement, also solche, fur die 1R und 1Sexistieren, so gilt zusatzlich:a
3) f (1R) = 1S .
aDiese Bedingung ist ohnehin erfullt, wenn f surjektiv ist.
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ringhomomorphismen
Beispiel 8.43
ϕn : Z→ Z\nZ mit z 7→ (z mod n)Zαr : 〈{
∑ni=0 aix
i | n ∈ N, ai ∈ R},+, ·〉 → 〈R,+, ·〉 mit∑ni=0 aix
i 7→∑n
i=0 ai ri
Satz 8.44
Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und I ein Ideal von R. Dann bildet die Funktion
f : R → R/I mit a 7→ a⊕ I
einen Ringepimomorphismus mit Kern(f ) = I .
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Ringhomomorphismen
Satz 8.45
Sei f ein Ringhomomomorphismus. Dann gilt:
Kern(f ) =df {a ∈ R | f (a) = 0}
bildet ein Ideal
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Verbandshomomorphismen
Lemma 8.46
Die Abbildung
f : 〈{nZ | n ∈ N\{0}},⊇〉 → 〈N, |〉, nZ 7→ n
aller Ideale nZ ⊆ Z nach 〈N, |〉 ist ein Ordnungshomomorphismus aufVerbanden.
1 · Z
2 · Z 3 · Z 5 · Z
4 · Z 6 · Z
...
1
2 3 5
4 6
...
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Nullteiler
Definition 8.47
Ein Element 0 6= a ∈ R in einem Ring 〈R,⊕,�〉 heißt Nullteiler gdw.
∃b 6= 0 ∈ R. a� b = 0 ∨ b � a = 0.
Existieren keine Nullteiler in einem Ring, so heißt er nullteilerfrei.
Beispiel 8.48
Nullteilerfrei?
〈Z,+, ·〉, 〈Z7,+7, ·7〉 Ja, nullteilerfrei.
〈Z6,+6, ·6〉 Nicht nullteilerfrei. Nullteiler sind 2, 3 und 4, denn2 ·6 3 = 0 und 3 ·6 4 = 0.
Rn×m (n ×m-Matrizen uber R). Nicht nullteilerfrei(Sogar unendlich viele Nullteiler)
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Nullteiler
Lemma
Ist 〈G ,⊕,�〉 ein Ring und a ∈ R Nullteiler, so hat a kein multiplikativInverses.
Beweis
O.B.d.A sei a� b = 0 fur a, b 6= 0.
Annahme es gabe multiplikativ inverses Element zu a. Dann gilt:b = 1� b
= (a−1 � a)� b= a−1 � (a� b) (Assoziativitat)= a−1 � 0 (Voraussetzung)= 0 (Widerspuch!)
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Integritatsbereich
Definition 8.49
Ist 〈G ,⊕,�〉 ein nullteilerfreier kommutativer Ring, so heißt 〈G ,⊕,�〉Integritatsbereich.
Definition 8.50
Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring und P ⊂ R ein Ideal von R, so heißtP Primideal genau dann, wenn
∀a, b ∈ R. a� b ∈ P ⇒ a ∈ P ∨ b ∈ P
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Integritatsbereich
Satz 8.51
Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring. Dann gilt
R/P nullteilerfrei ⇔ P Primideal
Korollar 8.52
Ist 〈R,⊕,�〉 ein kommutativer Ring mit 1. Dann gilt:
R/P Integritatsbereich ⇔ P Primideal
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Konstruktionsmuster fur Ringe
Schnitte von Unterringen
Sei 〈R,⊕,�〉 ein Ring und 〈R1,⊕1,�1〉, 〈R2,⊕2,�2〉 Unterringe von R.Dann gilt: Der Schnitt 〈R1 ∩ R2,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Unterring von R.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 265 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Konstruktionsmuster fur Ringe
Produkte von Ringen
Seien 〈A,⊕A,�A〉 und 〈B,⊕B ,⊕B〉 Ringe. Dann gilt: Das Produkt〈A× B,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Ring, wobei
(a1, b1)� (a2, b2) =df (a1 �A a2, b1 �B b2).
Das Nullelement ist (0A, 0B).
Sind sowohl A als B Ringe mit 1, so ist (1A, 1B) Einselement von A× B.
Achtung: Das Produkt erhalt nicht die Nullteilerfreiheit.
Beispiel Z2 × Z2: (0, 1) · (1, 0) = (0, 0).
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Korper
Definition 8.53
Ein Integritatsbereich 〈R,⊕,�〉 heißt Korper, falls 〈G\{0},�〉 ebenfallseine Gruppe ist.
Beispiel 8.54
Korper?
〈Z,+, ·〉 Nein, bzgl. Multiplikation i.A. keine Inverse.
〈Zp,+p, ·p〉, p Primzahl. Ja (siehe folgenden Satz 8.50).
〈Q,+, ·〉 Ja.
〈R,+, ·〉 Ja.
Bemerkung: Ist die multiplikative Gruppe nicht kommutativ, liegt einsogenannter Schiefkorper vor.
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Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Korper
Satz 8.55
Ein endlicher Integritatsbereich 〈R,⊕,�〉 ist bereits schon ein Korper.
Beweisidee
Zu zeigen ist die Existenz der multiplikativ Inversen fur R\{0}.
Sei r ∈ R\{0}. Betrachte (wg. Nullteilerfreiheit):
fr :R\{0} → R\{0}s 7→ r � s
fr ist injektiv. Weil R endlich ist folgt, dass fr auch surjekiv ist.Also existiert ein s ∈ R\{0} mit r � s = 1.
Wegen der Kommutativitat von � gilt dann auch: r � s = s � r = 1.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 268 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Unterkorper
Definition (Unterkorper)
Analog zum Begriff des Unterringes bildet eine nichtleere TeilmengeK ′ ⊆ K eines Korpers 〈K ,⊕,�〉 einen Unterkorper, wenn 〈K ′,⊕,�〉 einKorper ist.
Beispiele:
Q ist Unterkorper von RR ist Unterkorper von C
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 269 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Korper und Ideale
Satz 8.56
Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0. Dann gilt:R ist Korper ⇔ R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale).
Beweis:
“⇒”: Sei I ⊆ K Ideal mit I 6= {0}.
Dann existiert a ∈ I , so dass a 6= 0.
Weil K Korper ist, gilt a� a−1 = 1 ∈ I .
Wegen 1 ∈ I gilt I = K .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 270 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Korper und Ideale
Satz 8.56
Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0. Dann gilt:R ist Korper ⇔ R ist einfach (d.h. hat nur die trivialen Ideale)
Beweis:
“⇐”: Per Kontraposition. Wenn R nicht Korper ist, existiert a ∈ R/{0}ohne multiplikativ Inverses. Dieses gilt insbesondere, wenn R Nullteilerbesitzt (Lemma auf Folie 251).
Betrachte Ideal (a) =df a� R (Hauptideal zu a).
Wegen 1 /∈ (a) gilt: {0} ⊂ (a) ⊂ R.
Also ist R nicht einfach.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 271 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Faktorstrukturen
Satz 8.57
Sei 〈R,⊕,�〉 kommutativer Ring mit 1 6= 0 und {0} ⊂ I ⊂ R nichttrivialesIdeal. Dann:
R/I ist Korper ⇔ I ist maximal.
Beweis:
I maximal ⇔ 6 ∃ Ideal J. I ⊂ J ⊂ R⇔ R/I ist einfach (*)⇔ R/I ist Korper (Satz 8.56)
Zu (*): Einem Ideal {0} ⊂ J ⊂ R ordne das Ideal {0} ⊂ J/I ⊂ R/I zu.Einem Ideal {0} ⊂ J ⊂ R/I ordne das Ideal {r ∈ R | (r) ∈ J} zu.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 272 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Korperhomomorphismen
Satz 8.59
Korperhomomorphismen sind injektiv, also stets Korpermonomorphismen.
Beweis:
Sei h : K → K ′ Korperhomomorphismus.
Weil h insbesondere Ringhomomorphismus ist, folgt dass Kern(h) Ideal ist(analog Satz 8.27).
Weil K nach Satz 8.56 nur triviale Ideale besitzt, kommen nurKern(h) = {0} oder Kern(h) = K in Frage.
Kern(h) = K scheidet aus wegen h(1K ) = 1K ′ 6= 0K ′ .
Aus Kern(h) = {0} folgt, dass h injektiv ist . (→ Ubungen)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 273 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Konstruktionsmuster fur Korper
Schnitte von Unterkorpern
Sei 〈K ,⊕,�〉 ein Korper und 〈K1,⊕,�〉, 〈K2,⊕,�〉 Unterkorper von K .Dann gilt: Der Schnitt 〈K1∩K2,⊕,�〉 ist ebenfalls ein Unterkorper von K .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 274 / 669
Algebraische Strukturen 8.2 Mengen mit zwei Operationen
Konstruktionsmuster fur Korper
Produkte von Korpern
Seien 〈A,⊕A,�A〉 und 〈B,⊕B ,⊕B〉 Korper. Dann gilt: Das Produkt〈A× B,⊕,�〉 ist ein kommutativer Ring mit 1, i.A. aber kein Korper(siehe Produkte von Integritatsbereichen).
Veralleinerte Produkte
Sei M eine Menge und 〈K ,⊕K ,�K 〉 ein Korper. Dann ist das erweiterteProdukt 〈KM ,⊕〉 eine kommutative Gruppe. Definiert man eine außere(skalare) Multiplikation · : K × KM durch
(k · v)(m) =df k �K v(m) fur alle m ∈ M
so erhalt man einen K -Vektorraum (→ naheres im Teil “Lineare Algebra”).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 275 / 669
Zusammenfassung Aussagen und Mengen
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Aussagenlogik /Pradikatenlogik
Semantische Aquivalenz
Beweisprinzipien(semantisch / syntaktisch)
Mengengesetze
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 276 / 669
Zusammenfassung Relationen und Funktionen
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Kartesische Produkte /Bitvektoren
Funktionen und derenEigenschaften
Beweisprinzipien( Direkter Beweis
Kontraposition /
Widerspruchsbeweis /
Quantoren Auflosung /
Diagonalverfahren )
Machtigkeiten
Aquivalenzrelationen /Partitionen
. . .Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 277 / 669
Zusammenfassung Induktives Definieren
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Peano-Axiome
Induktive Mengen,Algorithmen undOperationen
Boolesche Terme
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 278 / 669
Zusammenfassung Darstellung und deren Bedeutung
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Zeichenreihen
Semantikschemata
Backus Naur Form
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 279 / 669
Zusammenfassung Induktives Beweisen
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Partielle Ordnungen /Hasse-Diagramme
Noethersche Induktion
Strukturelle Induktion
Vollstandige Induktion
VerallgemeinerteInduktion
Ringschluss(AntisymmetrieBeweisprinzip)
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 280 / 669
Zusammenfassung Euklidischer Algorithmus
Was bisher geschah...
Euklid, ca. 360 - 280 v. Chr.
EUKLID (a, b)
wenn b = 0
dann return a
sonst wenn a = 0
dann return b
sonst wenn a > b
dann EUKLID (a− b, b)
sonst return EUKLID (a, b − a)
Kern: InvarianteGGT(a,b) = GGT(a,a-b)= GGT(b,b-a)
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 281 / 669
Zusammenfassung Ordnungsstrukturen
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Algebraische Verbande
OrdnungsstrukturelleVerbande
Vollstandige Verbande
Boolesche Verbande
Homomorphismen
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 282 / 669
Zusammenfassung Algebraische Strukturen
Was bisher geschah...
2 Aussagen und Mengen
3 Relationen undFunktionen
4 Induktives Definieren
5 Darstellung und derenBedeutung
6 Induktives Beweisen
7 Ordnungsstrukturen
8 Algebraische Strukturen
Halbgruppen, Monoide,Gruppen
Untergruppen
Normalteiler
Satz von Lagrange
Homomorphismen
Faktorstrukturen
Ringe, Korper
Ideale
Schubfachprinzip
. . .
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 283 / 669
Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
”Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwartigenErwerbstatigkeit gefordert?”
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 284 / 669
Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
”Inwieweit werden die folgenden Kompetenzen in Ihrer gegenwartigenErwerbstatigkeit gefordert?”
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 285 / 669
Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
”Warum haben Sie langer studiert, als in der Regelstudienzeitvorgesehen?”
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 286 / 669
Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
”Warum haben Sie langer studiert, als in der Regelstudienzeitvorgesehen?”
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 287 / 669
Zusammenfassung Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
Absolventenbefragung WS 08/09 und 10/11
”Ergebnisse der Absolventenbefragung des Prufungsjahrgangs 2008/09 imWS 2010/11”
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 288 / 669
Zusammenfassung Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Halbgruppe
Monoid
Gruppe
Ring
Korper
︷︸︸
︷
〈G ,⊕〉
︷︸︸
︷
〈G ,⊕,�〉
Normalteiler
Ideale
HG ⊇ M ⊇ G ⊇ R ⊇ K
〈N\{0}, +〉6∈∈
〈A∗, ·〉∈ 6∈
〈Z, +,−〉6∈∈
〈Z, +, ·〉∈ 6∈
〈R, +, ·〉∈
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 289 / 669
Zusammenfassung Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Halbgruppe
Monoid
Gruppe
Ring
Integritatsbereich
Korper
Vektorraum
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 290 / 669
Zusammenfassung Algebraische Strukturen
Algebraische Strukturen
Gruppe
1 Operation ⊕Assoziativitat, Neutrales und Inverses Element
Untergruppen
FaktorgruppenNormalteiler
Ring
2 Operationen ⊕,�Keine inv. bzgl. �Unterringe, Ideale
Faktorringe
(endl.) Korper
Existenz von e�
Nullteilerfreiheit
Existenz von Inversen
Vektorraum
Lineare Abbildungen
Matrizen
DeterminantenEigenvektoren
u.v.m . . .
und: H o m o m o r p h i s m e nProf. Dr. Bernhard Steffen Mathematik fur Informatiker 1 - 2012 291 / 669
Zusammenfassung Teil1/Teil2-Schnittstelle
Teil1/Teil2-Schnittstelle
StrukturenGruppe/Ringe/Korper VektorraumeNormalteiler/Ideal/Unterkorper UntervektorraumeFaktor-Gruppe/-Ringe Faktorraume
LosungsansatzHomomorphismen Lineare Abbildung / Matrizen(Nebenklassen des ) Kerns LosungsraumIsomorphismen Determinante 6= 0
Damit eindeutige Losbarkeit deszug. lin. Gleichungssystems.
EngineeringFinden geeigneter Reprasentationen BasistransformationenInduktiv definierte Strukturen Basis aus Eigenvektoren
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