Algebra I (Teora de Grupos), 2007-2008

Hoja 2: Subgrupos, orden, generadores

(1) Consideremos los elementos de GL(2,C) dados por

A =

(i 00 i

), B =

(0 11 0

).

Compruebese que:a) o(A) = 4 = o(B), A2 = B2, B1AB = A1

b) Q8 = A,B = {1, A, A2, A3, B, AB, A2B, A3B} es un subgrupo de GL(2,C).[A Q8 se le llama el grupo cuaternio de orden 8.]

(2) Demuestrese la siguiente afirmacion: para que un subconjunto distinto del vaco de un grupo finitosea subgrupo, basta que sea cerrado para la operacion.

(3) Si H, K G y G = H K, demostrar que o bien G = H o bien G = K. Concluir que la unionde dos subgrupos es un subgrupo solo cuando uno de ellos esta contenido en el otro.

(4) Sean H, K y L tres subgrupos de cierto grupo G. Sabiendo que H K, H L = K L yHL = KL, demuestrese que H = K.

(5) Encontrar todos los ordenes de los subgrupos de Z8, Z9, Z11, Z12 y Z30.

(6) Un grupo G tiene subgrupos H y K. Encontrar todos los posibles ordenes de H K cuando:a) |H| = 4 y |K| = 9;b) |H| = |K| = 11;c) |H| = 12 y |K| = 16.

(7) Si H K G, demostrad que [G : H] = [G : K] [K : H]. Nos referiremos a esta propiedad comoa la transitividad de ndices.

(8) Sea G un grupo de orden 16. Probar que o bien G es cclico, o bien a8 = e para cada a G.

(9) (a) Si en un grupo G dos elementos x e y conmutan: xy = yx y sus ordenes son coprimos:(o(x), o(y)) = 1, entonces o(xy) = o(x)o(y). Demostrar esta afirmacion.

(b) Encontrar un grupo G y elementos a, b G tales que o(a) y o(b) sean coprimos, pero o(ab) 6=o(a)o(b).

(10) SeaG un grupo abeliano y n N no nulo. Decidir justificadamente siGn = {x G|o(x) divide a n}es un subgrupo de G y tambien si ocurre lo mismo si G no es abeliano.

(11) Sean x y g elementos de un grupo G. Demostrar que para todo n N, (x1gx)n = x1gnx.Deducir que los elementos g y x1gx tienen el mismo orden.

(12) Considerando las matrices

A =

(0 11 0

), B =

(0 11 1

).

en GL(2,R), demuestrese que el producto de dos elementos de orden finito no tiene por que tenerorden finito.

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(13) Definamos Z Z = {(m,n) : m,n Z} y la operacion + en Z Z mediante (m,n) + (k, l) =(m+ k, n+ l).

(a) Compruebese que (Z Z,+) es un grupo abeliano. Es cclico? Razonese la respuesta.(b) Obtengase el mnimo numero de generadores de Z Z, mostrando un conjunto concreto de

generadores con esa cardinalidad.

(14) Es el grupo (Q,+) finitamente generado o no? Razonad la respuesta.

(15) Decidir justificadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:i) Todo grupo cclico es abeliano.ii) Todo grupo abeliano es cclico.iii) El grupo aditivo R es cclico.iv) Todo elemento de todo grupo cclico genera el grupo.v) Existe, al menos, un grupo no abeliano para cada orden > 0.vi) Todo grupo de orden 4 es cclico.vii) S3 es un grupo cclico.viii) Todo grupo cclico de orden > 2 tiene, al menos, dos generadores distintos.ix) Si un grupo G tiene orden 12, entonces o bien G es cclico o bien a6 = e para todo a G.

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