Chapter 4

Algorithmic Minimization Techniques

4 Algorithmic Minimization Techniques

4.1 Introduction

4.2 Quine-McCluskey method

4 3 Iterated consensus method4.3 Iterated consensus method

4.4 Prime implicant tables

4.5 Methods for multiple output problems

4.6 Variable-Entered Karnaugh Map

4.1 Introduction

★ 퀸-맥클러스키 방법(Quine-McCluskey method)* 시작항: 최소항* 활용 성질: 인접성(Adjacency property: ab+ab’=a)활용 성질: 인접성(Adjacency property: ab+ab a)

★ 반복적 합의정리 사용법(Iterated consensus method)* 시작항: 함수 내의 임의의 항시작항 함수 내의 임의의 항* 활용 성질: 합의 정리 및 흡수성

(Consensus theorem and absorption property: a+ab=a)

★ 장단점* 장점- 컴퓨터 활용 능력이 좋음- 변수 수가 많은 경우 K-map 방법 보다 효과적

* 단점- 계산량이 많음

4.2 Quine-McCluskey method

★ Quine-McCluskey Method for Generating Prime Implicants

Step 1: 최소항을 ‘0’과 ‘1’을 사용하여 표현

모든 무관항은 ‘1’로 설정* 모든 무관항은 ‘1’로 설정

Step 2: 최소항 내의 ‘1’의 개수를 기준으로최소항을 몇 가지 그룹으로 분류최소항을 몇 가지 그룹으로 분류

Step 3: 인접하는 그룹에 속하는 논리적 인접항들을 인접특성(a b′ + a b = a)을 사용하여 다른 항으 묶어 다

)15,12,11,8,7,5,4,0(),,,( mzyxwf =∑을 사용하여 또 다른 항으로 묶어 다른 줄에 표시

* 이때 없어진 문자는 ‘-’로 표시

* 결합된 항은 끝에 ‘√’로 표시'',,,',''

,,,,),,,,,,,(),,,(

zywyzxyzxzwxywRQPOL

yf

⇔⇔

∑

* 결합된 항은 끝에 √ 로 표시

Step 4: 새롭게 만들어진 목록에 대하여‘Step 3’의 과정을 인접성을 적용할수 없을 때까지 반복 수행

4.2 Quine-McCluskey method

4.2 Quine-McCluskey method

4.3 Iterated consensus method

The iterated consensus algorithm for single functions is as follows:Step 1. Find a list of product terms (implicants) that cover the function. Make sure that Step . d a st o p oduct te s ( p ca ts) t at cove t e u ct o . a e su e t at

no term is equal to or included in any other term on the list. (These terms could be prime implicants or minterms or any other set of implicants. However, the rest of the algorithm proceeds more quickly if we start with prime implicants.)g p q y p p )

Step 2. For each pair of terms, ti and tj (including terms added to the list in step 3), compute ti ¢ tj.

Step 3. If the consensus is defined, and the consensus term is not equal to or included in a term already on the list, add it to the list.

Step 4. Delete all terms that are included in the new term added to the listStep 4. Delete all terms that are included in the new term added to the list.

Step 5. The process ends when all possible consensus operations have been performed. The terms remaining on the list are ALL of the prime implicants.

4.3 Iterated consensus method

4.4 Prime implicant tables

DECf ++= DECf ++=

4.4 Prime implicant tables

4.4 Prime implicant tables

A + C + E + G

A + F + B + D

4.4 Prime implicant tables

Petrick’s Method

(E + F)(F + G)(B + G)(D + E)(C + D)(B + C)

= (F + EG)(B + CG)(D + CE)

= (BF + BEG + CFG + CEG)(D + CE)= (BF + BEG + CFG + CEG)(D + CE)

= BDF + BDEG + CDFG + CDEG + BCEF + BCEG + CEFG + CEG

4.5 Methods for multiple output problems

f(a, b, c) = Σm(2, 3, 7)

g(a b c) = Σm(4 5 7)g(a, b, c) = Σm(4, 5, 7)

a′ b c′ g′ 0 1 0 – 0a′ b c g′ 0 1 1 0a′ b c g′ 0 1 1 – 0a b′ c′ f ′ 1 0 0 0 –a b′ c f ′ 1 0 1 0 –a b c f 1 0 1 0 a b c 1 1 1 – −

4.5 Methods for multiple output problems

4.5 Methods for multiple output problems

f = a′b + abc

g = ab′ + abc

4.5 Methods for multiple output problems

4.5 Methods for multiple output problems

f(a, b, c, d) = Σm(2, 3, 4, 6, 9, 11, 12) + Σd(0, 1, 14, 15)(a, b, c, d) ( , 3, , 6, 9, , ) d(0, , , 5)

g(a, b, c, d) = Σm(2, 6, 10, 11, 12) + Σd(0, 1, 14, 15)

4.5 Methods for multiple output problems

4.5 Methods for multiple output problems

4.5 Methods for multiple output problems

f = b′d + abd′ + a′d′g = ac + abd′ + cd′

4.6 Variable-Entered Karnaugh Map

★ c가 MEV (Map-Entered Variables)일 때의 진리표

10진수 최소항 2진 변수

출력출력PMEV 표준 a b c (MEV)

0 0 0 0 0 10112

1234

0001

0110

1010

10012

233

4567

1111

0011

0101

1101

4.6 Variable-Entered Karnaugh Map

두 변수 변수맵과 세 변수 표준 변수맵

a ab

두 변수 변수맵과 세 변수 표준 변수맵

0 2

0 1

0

ba

1 1b ' 0 2 6 4

00 01 11 10

0

cab

1 1 b '

1 3

1

0 1 1

a (c )1 3 7 5

1

0 1 1

1 1

b

acc 1

(a) MEV 변수맵 (b) 3변수 변수맵

★ 부울 대수만을 사용한 부울식의 간략화법X＼YZ 00 01 11 10

0 1 1

1) 곱항의 합으로 주어진 부울식의 각 항( )을 논리지도에 오른쪽

0 1 1

1 1 1F XY XZ YZ= + +

XY XZ YZ1) 곱항의 합으로 주어진 부울식의 각 항( )을 논리지도에 오른쪽그림과 같이 표시

2) 첨가 혹은 분해하고자 하는 항(YZ;주로 Prime imlicant 임)을 발견하여

, ,XY XZ YZ

2) 첨가 혹은 분해하고자 하는 항(YZ;주로 Prime imlicant 임)을 발견하여간략화하고자 하는 항과 결합

3) 더 이상 결합이 불가능할 때 까지 위의 과정 2)를 반복3) 더 이상 결합이 불가능할 때 까지 위의 과정 2)를 반복

☞ [예]

( )XY XZ YZ XY XZ X X YZXY XYZ XZ XYZ

+ + = + + +

= + + +

항의 분해

결합하고자하는항끼리정리

(1 ) (1 )XY Z XZ YXY XZ

= + + +

= +-

4.7 Summary & Example of Three Simplification Methods

★ 문제 : 다음 부울식을 아래 네 가지 방법을 이용하여 간략화하시오.

F ABC ABD ABCD ABCD= + + +

1) 부울 대수만을 사용2) K-map 사용3) Quine-McCluskey 법 사용4) 大盜의 法則 사용

AB＼CD 00 01 11 10

00

01 1

11 1 1 1 1

10

4.7 Summary & Example of Three Simplification Methods

AB＼CD 00 01 11 10

00

☞ 부울 대수만을 사용!

00

01 1

11 1 1 1 111 1 1 1 1

10

( )F ABC ABD ABCD ABCD

ABC AB C C D ABCD ABCD= + + +

= + + + +

ABC ABCD ABCD ABCD ABCDABC ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD

= + + + +

= + + + + +

(1 ) ( ) ( )( )

ABC D ABC D D BCD A AABC ABC BCD AB C C BCD AB BCD

= + + + + +

= + + = + + = +

F AB BCD= +

4.7 Summary & Example of Three Simplification Methods

AB＼CD 00 01 11 10

00

☞ K-map 사용 풀이 : I,PI,EPI를 구한 후EPI 전체로 구성된 부울식을 작성. 이때 EPI

00

01 1

11 1 1 1 1

에 포함되지 않는 ‘1’의 항이 있으면 PI 중에서 가장 큰 항을 부울식에 포함!

항 항11 1 1 1 1

10

1개항 2개항 4개항

E.P.I - BCD AB

P.I. - BCD AB

A'BCD

ABC'D’

ABC’

ABD F AB BCD= +I ABC’D

ABCD

ABC

ABD’

AB

ABCD’ BCD

4.7 Summary & Example of Three Simplification Methods

AB＼CD 00 01 11 10

00

☞ Quine-McCluskey 법 사용 풀이 : PI를 구한 후 Implicant 표를 작성하여 부울식 구함!

00

01 1

11 1 1 1 111 1 1 1 1

101100 √ 110- √

11-0 √0111 √

P.I. 0111 1100 1101 1111 1110

111 o o

11--0111 √

1101 √

1110 √

-111

11 1 √ -111 o o

11-- o o o o

1110 √ 11-1 √

111- √1111 √

F AB BCDF AB BCD= +

4.7 Summary & Example of Three Simplification Methods

☞풀이 : 大盜의 法則 사용 : 보따리는 크게, 보따리 수는 적게!!!

AB＼CD 00 01 11 10

00

01 1

11 1 1 1 1

1010

F AB BCD= +