Embed Size (px)
Citation preview
Временная и пространственная сложностьалгоритмов
Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин
10 октября 2008 г.
1 / 16
Теорема об ускорении: упрощение
ТеоремаСуществует разрешимая алгоритмическая задача, для которойвыполнено следующее. Для произвольного алгоритма, решающего этузадачу и имеющего сложность в наихудшем случае t(n), найдетсядругой алгоритм (для этой же задачи) со сложностью t ′(n) такой, что
t ′(n) ≤ log2 t(n)
выполнено для почти всех n (т.е. для всех n, начиная с некоторого).
Теорема об ускорении не позволяет нам определить общеематематическое понятие «оптимального» алгоритма, пригодное длявсех задач, поэтому развитие теории алгоритмов пошло другим путем.Именно, одним из центральных понятий этой теории стало понятиекласса сложности.
2 / 16
Классы временной сложности
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык,и ∀n : timeT (n) ≤ t(n).
Определение
P ≡ ∪c>0DT IME(nc).
Определение
EXPT IME ≡ ∪∞k=0DT IME(2nk).
3 / 16
Классы временной сложности
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык,и ∀n : timeT (n) ≤ t(n).
Определение
P ≡ ∪c>0DT IME(nc).
Определение
EXPT IME ≡ ∪∞k=0DT IME(2nk).
4 / 16
Классы временной сложности
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык,и ∀n : timeT (n) ≤ t(n).
Определение
P ≡ ∪c>0DT IME(nc).
Определение
EXPT IME ≡ ∪∞k=0DT IME(2nk).
5 / 16
Теорема об иерархии (с упрощением)
В теории сложности «полиномиальный алгоритм»=«эффективныйалгоритм», а P представляет собой класс эффективно решаемыхзадач.
ТеоремаПусть g(n) log g(n) = o(t(n)). Тогда существует язык в DTIME [t(n)],который не принадлежит классу DTIME [g(n)].
В частности, существуют сколь угодно сложные разрешимые задачи.
6 / 16
Классы пространственной сложностиОпределениеk-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеетпространственную сложность s(n), если для любого входного словадлины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах(исключая входную ленту).
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственнаясложность T не превосходит s(n).
Определение
PSPACE ≡ ∪c>0DSPACE(nc).
7 / 16
Классы пространственной сложностиОпределениеk-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеетпространственную сложность s(n), если для любого входного словадлины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах(исключая входную ленту).
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственнаясложность T не превосходит s(n).
Определение
PSPACE ≡ ∪c>0DSPACE(nc).
8 / 16
Классы пространственной сложностиОпределениеk-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеетпространственную сложность s(n), если для любого входного словадлины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах(исключая входную ленту).
Определение
Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существуетмашина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственнаясложность T не превосходит s(n).
Определение
PSPACE ≡ ∪c>0DSPACE(nc).
9 / 16
УпражнениеПокажите, что PSPACE ⊆ EXPT IME .
Упражнение
Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованиемO(log n) памяти.Покажите, что LOGSPACE ⊆ P.
Упражнение
Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованиемO(log n) памяти.Рассмотрим язык «правильно вложенных скобок» L:
∈ L (), ()()((())()), (()()(())), . . ./∈ L )(, . . .
Докажите, что L ∈ LOGSPACE .
10 / 16
УпражнениеПокажите, что PSPACE ⊆ EXPT IME .
Упражнение
Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованиемO(log n) памяти.Покажите, что LOGSPACE ⊆ P.
Упражнение
Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованиемO(log n) памяти.Рассмотрим язык «правильно вложенных скобок» L:
∈ L (), ()()((())()), (()()(())), . . ./∈ L )(, . . .
Докажите, что L ∈ LOGSPACE .
11 / 16
УпражнениеПокажите, что одно из вложений строгоеP ⊆ PSPACE ⊆ EXPT IME .
Указание: использовать теорему об иерархии.t(n) = 2nk
, g(n) = nc , где c и k — некоторые константы.
Следствие: P 6= EXPT IME .
12 / 16
УпражнениеПокажите, что одно из вложений строгоеP ⊆ PSPACE ⊆ EXPT IME .
Указание: использовать теорему об иерархии.t(n) = 2nk
, g(n) = nc , где c и k — некоторые константы.
Следствие: P 6= EXPT IME .
13 / 16
УпражнениеПокажите, что одно из вложений строгоеP ⊆ PSPACE ⊆ EXPT IME .
Указание: использовать теорему об иерархии.t(n) = 2nk
, g(n) = nc , где c и k — некоторые константы.
Следствие: P 6= EXPT IME .
14 / 16
�Карта памяти� лекции
15 / 16
