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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Algoritmi euristici ed evolutivi perl’ottimizzazione
Marco Baioletti
Dipartimento di Matematica e InformaticaUniversità degli Studi di Perugia
Via Vanvitelli, Perugia
17 febbraio 2009 / GALN 2009
Marco Baioletti Alg. Eurist. ed Evolut. per l’Ottimizzazione
IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
Marco Baioletti Alg. Eurist. ed Evolut. per l’Ottimizzazione
IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Algoritmi ispirati da fenomeni naturali
La Natura offre una vastissima gamma di esempi dicapacità di ottimizzazioneDa un lato i meccanismi evolutivi naturali portano allacreazione di individui particolarmente adatti al loro habitatDall’altro esseri viventi estremamente semplici sono ingrado insieme di svolgere compiti complessi (intelligenza“collettiva”)Molti modelli sono stocastici e danno luogo ad algoritmirandomizzatiOvviamente solo alcuni aspetti naturali sono realmenteinteressanti dal punto di vista algoritmico
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
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Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Cenni Storici
Studiati in maniera approfondita per la prima volta daHolland (1975)Delineati a grandi linee già nell’articolo di TuringComputing Machinery and Intelligence (1950)Molto utilizzati e studiati sia dal punto di vista teorico cheapplicativoUsando una rappresentazione binaria si potrebberoapplicare a qualsiasi problema di ottimizzazioneSi basano sulla teoria darwiniana dell’evoluzione
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Considerazioni finali
Selezione naturale
Principio darwiniano della selezione naturale:sopravvivenza del più adattoRiproduzione: formazione di nuovi individui che ereditano ilpatrimonio genetico dai genitoriMutazioni genetiche casuali: indispensabili per l’evoluzionedella specie”Scopo”: ottenere popolazioni di individui adattiall’ambiente
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Considerazioni finali
Ingredienti per gli algoritmi geneticiRappresentazione
Individui rappresentati mediante il loro patrimonio genetico(genotipo)Cromosoma: stringa di lunghezza fissa LOgni simbolo (gene) è preso da un alfabeto finito dielementi (alleli)Possibile presenza di vincoli: non tutte le stringherappresentano cromosomi validi
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Ingredienti per gli algoritmi geneticiFitness
Definizione di una funzione fitness fIndividui con alta fitness sono i più adatti all’ambiente:hanno maggiori probabilità di sopravvivere e di riprodursiScopo dell’AG: trovare l’individuo (o gli individui) con lafitness maggioreLa fitness potrebbe essere diversa dalla funzione damassimizzare (essere una trasformata monotonacrescente)
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Considerazioni finali
Ingredienti per gli algoritmi geneticiPopolazione
La popolazione viene inizializzata in qualche modo (adesempio con N individui generati a caso)Il numero di individui è mantenuto fissoLa popolazione è manipolata per un certo numero digenerazioni mediante
SelezioneRiproduzioneMutazione
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Ingredienti per gli algoritmi geneticiSelezione
La selezione avviene in modo probabilistico in base allafitnessSi estraggono N elementi secondo la distribuzione diprobabilità
πi =f (i)∑j f (j)
Si creano N2 coppie
Tanti altri possibili schemi di selezione
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Ingredienti per gli algoritmi geneticiRiproduzione/Crossover
Ogni coppia di elementi produce due nuovi “figli”Ogni figlio eredita parte del patrimonio da ognuno dei duegenitoriLo schema più usato e più semplice è il crossover ad unpuntoSi sceglie un punto I a caso tra 1 e LUn figlio prende i geni da 1 a I-1 da un genitore e il restodall’altroL’altro figlio al contrario
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Considerazioni finali
Esempio di crossover ad un punto
Genitore 1=ABBBCDAC Genitore 2=BAAAADDAScelgo il punto 4Genitore 1 ABBBCDAC Genitore 2 BAAAADDAFiglio 1 ABBAADDA Figlio 2 BAABCDAC
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Ingredienti per gli algoritmi geneticiCrossover
Sono possibili molti altri operatori di crossover (a due punti,ecc.)Particolare attenzione nel caso di presenza di vincoliAltro schema diffuso: selezione a caso tra i due genitoriGenitore 1 ABBBCDAC Genitore 2 BAAAADDAFiglio 1 AABAADAA Figlio 2 BBABCDDC
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Ingredienti per gli algoritmi geneticiMutazione
Si sceglie a caso una o più posizioni dei cromosomi “figli” esi alterano casualmenteFiglio 1 AABAADAA Figlio 2 BBABCDDCFiglio 1 ABBCADDA Figlio 2 DAABCDAC
Particolare attenzione nel caso di presenza di vincoli
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Uno schema di algoritmo genetico
init_population()for i:=1 to max_gen
evaluation()selection()crossover()mutation()replacement()
endreturn best element
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Parametri
pc probabilità con cui applicare il crossoverpm probabilità con cui applicare la mutazioneN dimensione popolazionemax_gen numero di generazioni. . .
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Considerazioni finali
Applicazioni
Esistono un numero impressionante di applicazioni deglialgoritmi geneticiSi possono usare sia per l’ottimizzazione di funzioni avariabile reale sia per ottimizzazione combinatoricaGli algoritmi genetici sono anche stati implementati perproblemi decisionali (ad esempio SAT)
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Considerazioni finali
AG e TSP
Un cromosoma è un elenco di L = n città (senza duplicati)La fitness è una qualsiasi funzione monotona decrescentedella lunghezza del percorsoIl problema è come scegliere gli operatori di crossover (emutazione)Dai due genitori (123456) e (532146) si potrebberogenerare i due figli (123146) e (532456) che non sonopermutazioni
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Considerazioni finali
AG e TSPPossibili soluzioni
“Riparare” cromosomi non validi“Eliminare” cromosomi non validiAccettare (ma penalizzare) cromosomi non validiUsare operatori di crossover “ad hoc”Cambiare rappresentazione
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AG per ottimizzazioni numeriche
Per massimizzare una funzione di una o più variabili reali(soggetta a vincoli) non conviene usare unarappresentazione binaria con crossover e mutazione“classici”I cromosomi sono invece numeri in virgola mobileUn operatore di crossover aritmetico è la media pesata deigenitoriUn operatore di mutazione è la mutazione non–uniforme
x ′k = xk + ∆(t , xk )
ove ∆ è un numero casuale chegarantisce che x ′
k cada nell’intervallo di definizioneha maggiore probabilità di assumere valori vicini allo 0
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Giustificazioni teoriche
Esistono giustificazioni teoriche per spiegare il buoncomportamento degli AGLa più semplice giustificazione usa il cosiddetto Teoremadello schemaUno schema per cromosomi binari è una stringa di 0,1, ?(? rappresenta 0 o 1)Il teorema dice che buoni schemi tendono ad esseresempre più presenti nella popolazione
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Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Cenni storici
Ideata da Dorigo nei primi anni ’90 a partire da studi sulcomportamento di colonie di formiche “reali”Utilizzato in molti problemi di ottimizzazione combinatoricaSi basa sul concetto di stigmergia
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Stigmergia
Le formiche quando si muovono rilasciano sul terreno ilferomoneNella ricerca del cibo tendono a seguire percorsi conmaggior quantità di feromoneAvendo trovato il cibo, quando rientrano al nido rilascianouna quantità maggiore di feromoneIl feromone evapora
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Feromone assente
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Considerazioni finali
All’inizio le formiche si muovono a caso
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Considerazioni finali
Quelle che scelgono il percorso più breve arrivano(ovviamente) prima al cibo
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Tornando indietro rinforzano la traccia che sarà seguita da altreformiche
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Considerazioni finali
Formiche artificialiGrafo
Scopo “ideale”: trovare il massimo della funzionef : S → RGli elementi di S sono assimilabili a percorsi in un grafo(N,A)
N è l’insieme degli statiA è l’insieme delle transizioni ammissibili(opzionale) crs è il costo della transizione r → sΩ è l’insieme dei vincoli del problema (restrizioni suipossibili percorsi)
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Formiche artificialiFormiche e terreno
Ogni “formica”parte da uno stato inizialeha una condizione di terminazione del percorsocrea un elemento di S un componente alla voltaha una memoria in cui tiene traccia del proprio percorso
Colonia di m formicheIl “terreno” consiste in una funzione τ : A→ Rτrs è la quantità di feromone depositata sulla transizioner → s
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Formiche artificialiMovimento delle formiche
La formica si muove sul grafo in maniera probabilistica
ps|r =τα
rsηβrs∑
z ταrzη
βrz
ηrs è una funzione euristica: indica quanto è “promettente”passare da r a sα e β sono parametri di importanza
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Formiche artificialiAggiornamento del feromone
Il feromone può essere aggiornato“step–by–step”: durante la costruzione della soluzionein maniera “differita”: una volta costruita la soluzioneτrs ← τrs + ∆τrs (la quantità è proporzionale alla bontàdella soluzione)dal “demone”: si aggiornano solo i feromoni dellecomponenti che partecipano alle migliori soluzioni
Il feromone evapora: τrs ← (1− ρ)τrs
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Considerazioni finali
Descrizione di un semplice algoritmo ACO
init_phero()while not criterion
for i = 1 to minit_ant(i)while not terminate(i)
choose_component(i)update_state(i)update_phero_step(i)
endupdate_phero_delayed(i)
endupdate_phero_daemon()
end
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Applicazioni
TSPQAPJob–shop schedulingAntNetVehicle routingColorazione di grafi. . .
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Considerazioni finali
ACO e TSP
Componenti: archi tra cittàVincolo: ogni formica deve visitare tutte le città una solavoltaηij = 1
dij(dij distanza euclidea)
Aggiornamento del feromone ∆kij = 1
L+
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Varianti
Ant System: prime versioni di ACO, aggiornamento solodifferitoAnt Colony System:
scelta del componente: con probabilità q quello chemassimizza τα
rsηβrs, altrimenti a caso con prob.
proporzionale a ταrsη
βrs
aggiornamento del feromone mediante demone (migliorisoluzioni)aggiornamento del feromone step–by–step condiminuzione (per favorire l’esplorazione)
Max–Min Ant System: feromone limitato in [τmin, τmax ] eaggiornato mediante demone (global best e iteration best)Hypercube Framework: feromone limitato in [0,1]
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Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Cenni storici
Ideata da Kennedy e Eberhart nel 1995Si ispira al comportamento degli stormi di uccelli, banchi dipesci, sciami di insettiModelli inizialmente studiati in ambiti diversidall’ottimizzazione
Computer GraphicsModelli comportamentali di gruppi di animali
Adatto ad ottimizzazione numerica
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Considerazioni finali
Sciami
Il comportamento di uno stormo è molto complessoCoordinamento senza leader, subentrano fattori dicomunicazione e di imitazioneUn modello semplice usa le seguente regole
1 Separazione: evitare collisione con i vicini (repulsione acorto raggio)
2 Allineamento: puntare verso la posizione media dellostormo
3 Coesione: puntare verso la posizione media dei vicini(attrazione a lungo raggio)
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Particelle
La particella i al tempo t assume una posizione X ti ∈ R
D euna velocità V t
i ∈ RD
Esiste una funzione di fitness f : S → R, ove S ⊂ RD, chevaluta la bontà della posizione delle particelleOgni particella ha una memoria in cui tiene traccia dellamigliore posizione raggiuntaOgni particella conosce la migliore posizionecorrentemente assunta dai suoi vicini (comunicazione traparticelle)Perciò è in grado di ricordare la migliore posizioneraggiunta dai suoi vicini
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Considerazioni finali
Aggiornamento velocità e posizione
P ti migliore posizione raggiunta dalla particella i
Bti migliore posizione raggiunta da particelle dai vicini di i
velocità
V t+1ij = V t
ij + φ1r1(P tij − X t
ij ) + φ2r2(Btij − X t
ij )
posizioneX t+1
ij = X tij + V t+1
ij
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Considerazioni finali
Aggiornamento velocità e posizioneInterpretazione
Il termine (P tij − X t
ij ) è chiamato termine cognitivo
Il termine (Btij − X t
ij ) è chiamato termine socialeφ1, φ2 sono parametri di importanza (in letteratura è diffusol’uso di φ1 = φ2 = 2)r1, r2 sono numeri casuali in [0,1]
le velocità sono vincolate nell’intervallo [−Vmax ,Vmax ]
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Considerazioni finali
Vicinato
Esistono vari metodi per definire quando due particellepossono comunicareSi forma un grafo di “vicinanza”Si distinguono topologie statiche e dinamicheTra le topologie statiche troviamo
Global best: grafo completoLocal best: anello (grado K = 2)grafi con grado uniforme K > 2
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Uno schema di algoritmo PSO
init_swarm()for t:= 1 to max_gen
update_best_positions()for i:=1 to m
update_velocity(i)update_position(i)
endendreturn best element
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Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Varianti
Fattore di inerzia su V tij
V t+1ij = ωV t
ij + φ1r1(P tij − X t
ij ) + φ2r2(Btij − X t
ij )
Coefficienti di costrizione
V t+1ij = χ(V t
ij + φ1r1(P tij − X t
ij ) + φ2r2(Btij − X t
ij ))
oveχ =
2
φ− 2 +√φ2 − 4φ
φ = φ1 + φ2 > 4
Fully Informed Particle Swarm: il fattore sociale è la mediadelle posizioni di tutti i vicini
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Considerazioni finali
Applicazioni numeriche
L’ambito naturale di applicazione del PSO èl’ottimizzazione numericaE’ stato applicato in svariati problemi, dall’apprendimentodelle reti neurali, all’analisi di immagini e di video, dallaprogettazione di reti elettriche, al controllo automatico, . . .Esistono versioni in grado di lavorare anche con problemimulti–obiettivo
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Considerazioni finali
Ottimizzazione combinatorica
E’ possibile discretizzare PSODalla velocità V t
ij è possibile calcolare un valore S(V tij ) in
[0,1] che è usato come probabilità che X tij sia 1 (anzichè
0): PSO binarioIn maniera analoga è possibile generare posizioniappartenenti ad insiemi discreti: PSO multivalore
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
Sommario
1 Introduzione
2 Algoritmi genetici
3 Ant Colony Optimization
4 Particle Swarm Optimization
5 Considerazioni finali
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Considerazioni finali
Altri algoritmi euristici ed evolutivi
Programmazione geneticaStrategie evolutiveAlgoritmi memeticiSimulated annealingMetodi di ricerca locale. . .
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Considerazioni finali
Conclusioni
Sono stati presentati tre metodi euristici perl’ottimizzazione
Algoritmi geneticiAnt Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Si tratta di metodi che non garantiscono l’ottimalità dellesoluzioni trovateProducono (spesso) ottime soluzioniSono (sovente) (molto) più efficienti dei metodi classici
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Considerazioni finali
BibliografiaAlgoritmi genetici
Z. Michalewicz, 1999, Genetic Algorithms + DataStructures = Evolution Programs, Springer–Verlag.D. E. Goldberg, 1989, Genetic Algorithms in Search,Optimization and Machine Learning, Kluwer AcademicPublishers, Boston, MA.D. Whitley, A genetic algorithm tutorial. Statistics andComputing 4, 65-85, 1994
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
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Considerazioni finali
BibliografiaAnt Colony Optimization
M. Dorigo, T. Stützle, 2004. Ant Colony Optimization, MITPressM. Dorigo, C. Blum, Ant colony optimization theory: Asurvey. Theoretical Computer Science Volume 344, Issues2-3, Pages 243–278, 2005O. Cordon, F. Herrera, T. Stützle, A Review on the AntColony Optimization Metaheuristic: Basis, Models andNew Trends. Mathware and Soft Computing,9(2–3):141–175, 2002
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IntroduzioneAlgoritmi genetici
Ant Colony OptimizationParticle Swarm Optimization
Considerazioni finali
BibliografiaParticle Swarm Optimization
M. Clerc. Particle Swarm Optimization. ISTE, 2006J. Kennedy and R. C. Eberhart. Swarm Intelligence.Morgan Kaufmann. 2001R. Poli, J. Kennedy, T. Blackwell, Particle SwarmOptimisation: an overview, Invited review paper for the firstissue of the Swarm Intelligence Journal, 1(1):33–57, June,2007
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