Algoritmi su array - Moreno Marzolla Home Page · 2019-04-08 · Algoritmi su Array 28 Una applicazione della ricerca lineare Il sindaco di Paperopoli ha deciso di tassare i residenti

Algoritmi su ArrayAlgoritmi su Array

Moreno MarzollaDipartimento di Informatica—Scienza e Ingegneria (DISI)

Università di Bolognahttp://www.moreno.marzolla.name/

Algoritmi su Array 2


Ringraziamenti

● prof. Stefano Mizzaro, Università di Udine– http://users.dimi.uniud.it/~stefano.mizzaro/

http://users.dimi.uniud.it/~stefano.mizzaro/


Esempi classici con array

● Inversione● Ricerca lineare● Ricerca binaria● Ordinamento


Inversione


Inversione di un array

● Scambiare di posto gli elementi di un array a[] di n elementi– Scambiare il primo con l’ultimo... – ...Il secondo con il penultimo...– ...

7 12 3 -1 8 2 1 3 2 15

15 2 3 1 2 8 -1 3 12 7

Prima

Dopo


Come (non) scambiare il valore di due variabili

● Quale è il risultato del frammento di codice sopra?

int a = 3, b = 5;/* modo SBAGLIATO di scambiare tra loro i valori di a e b */a = b;b = a;


Come scambiare il valore di due variabili

● 3 bicchieri, a, b e tmp ("temporaneo")● In a c’è acqua, in b c’è vino, tmp è vuoto● Voglio “scambiare” a e b (mettere il vino in a e l’acqua

in b). Come faccio?

a b

tmp

/* modo CORRETTO di scambiare a e b */

int a = 3, b = 5, tmp;




in b). Come faccio?

a b

tmp


int a = 3, b = 5, tmp;

tmp = a; /* copia a in tmp */




in b). Come faccio?

a b

tmp


int a = 3, b = 5, tmp;

tmp = a; /* copia a in tmp */a = b; /* copia b in a */




in b). Come faccio?

a b

tmp


int a = 3, b = 5, tmp;

tmp = a; /* copia a in tmp */a = b; /* copia b in a */b = tmp; /* copia tmp in a */


Inversione di un arrayint i, tmp;for (i=0; i<n; i++) {

tmp = a[n-1-i];a[n-1-i] = a[i];a[i] = tmp;

}

SBAGLIATO

9 10 11 12 13

i=0




}

SBAGLIATO

910 11 1213

i=1




}

SBAGLIATO

910111213

i=2




}

SBAGLIATO

910111213

i=3




}

SBAGLIATO

910 11 1213

i=4




}

SBAGLIATO

1310 11 129

Alla fine riotteniamo l'array di partenza!


L’algoritmo

● Scambio il primo con l'ultimo...● ...il secondo con il penultimo...● ...fino a metà array!

i = 0;while ("non sono arrivato a metà") {

"scambia a[i] con a[n-1-i]"i = i + 1;

}


L’algoritmo (meglio)

● Scambio il primo con l'ultimo...● ...il secondo con il penultimo...● ...fino a metà array!

i = 0;j = n-1;while ("non sono arrivato a metà") {

"scambia a[i] con a[j]"i = i + 1;j = j – 1;

}


L'algoritmo

● Come decido se non sono ancora arrivato a metà?

7 12 3 -1 8 2 1 3 2 15

i j

7 12 3 -1 8 2 1 3 2 15

i j

i = 0;j = n-1;while (i < j) {

"scambia a[i] con a[j]"i = i + 1;j = j – 1;

}


Inversione di un array/* inversione.c : inverte il contenuto di un array */#include <stdio.h>

void inverti(int a[], int n){ int i = 0, j = n-1, tmp; while ( i < j ) { tmp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = tmp; i = i + 1; j = j – 1; }}

#define N 10

int main( void ){ int a[N], i; printf("Digita %d valori\n", N); for (i = 0; i < N; i++) { /* Lettura dell'array */ scanf("%d", &a[i]); }

inverti(a, N); for (i = 0; i < N; i++) { /* Stampa l'array dopo l'inversione */ printf("%d\n", a[i]); } return 0;}


Comunicazioni di servizio

● Secondo turno del lab di domani si svolgerà giovedì dalle 15:00 alle 17:30

● Questionario "informale" sulla pagina del corso● Il questionario "formale" verrà compilato lunedì 15

aprile ad inizio lezione


Ricerca lineare


Ricerca lineare

● Dati – Un array a[] di int di lunghezza n– Un intero k

● int ricerca(int a[], int n, int k)– Restituisce la posizione di una occorrenza (la prima?) di k in a[]– Se k non compare in a, restituisce -1

● Procedimento– Scorro l’array partendo dall’inizio– Fermandomi se trovo un elemento il cui valore è uguale a k, oppure

se arrivo in fondo all'array

7 12 3 -1 8 2 1 3 2 15a[]

3k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Ricerca lineare

int ricerca(int a[], int n, int k){

int i;for (i = 0; i < n; i++) {

if (a[i] == k) {return i; /* trovato */

}}return -1; /* non trovato */

}

7 12 3 -1 8 2 1 3 2 15a[]

3k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


/* ricerca-lineare.c */#include <stdio.h>

int ricerca(int a[], int n, int k){

int i;for (i = 0; i < n; i++) {

if (a[i] == k) {return i;

}}return -1;

}

#define N 10

int main( void ){

int a[N] = {7, 12, 3, -1, 8, 2, 1, 3, 2, 15};printf("ricerca 7 = %d\n", ricerca(a, N, 7));printf("ricerca 15 = %d\n", ricerca(a, N, 15));printf("ricerca 3 = %d\n", ricerca(a, N, 3));printf("ricerca 17 = %d\n", ricerca(a, N, 17));return 0;

}

Ricordare che l'istruzione return termina immediatamente

l'esecuzione della funzione, restituendo il valore indicato

Ricerca lineare


Una applicazione della ricerca lineare

● Il sindaco di Paperopoli ha deciso di tassare i residenti in base al reddito.

● Detto R il reddito lordo annuo, l'importo dovuto in tasse è (R ´ x), dove x dipende da R secondo la seguente tabella– Se 0 ≤ R < 10000 → x = 0.05– Se 10000 ≤ R < 22000 → x = 0.11– Se 22000 ≤ R → x = 0.15

● Scrivere un programma in C che chiede all'utente di inserire il reddito R (tipo double; se l'utente inserisce un valore negativo, richiederlo), e stampa l'importo dovuto in tasse


/* tasse-1.c */#include <stdio.h>

int main( void ){

double R, x;do {

printf("Inserire reddito R\n");scanf("%lf", &R);

} while (R < 0);if ( R < 10000.0) {

x = 0.05;} else {

if ( R < 22000.0 ) {x = 0.11;

} else {x = 0.15;

}}printf("Le tasse dovute ammontano a %f\n", R*x);return 0;

}

Primo tentativo: funziona, ma...


Un bel giorno...

● Vista la situazione disastrata delle finanze di Paperopoli, il sindaco decide di introdurre nuovi scaglioni:– Se 0 ≤ R < 10000 → x = 0.05– Se 10000 ≤ R < 22000 → x = 0.11– Se 22000 ≤ R < 35000 → x = 0.15– Se 35000 ≤ R < 45000 → x = 0.17– Se 45000 ≤ R < 57000 → x = 0.20– Se 57000 ≤ R → x = 0.25

● Modificare il programma precedente per funzionare correttamente nella nuova situazione



int main( void ){

double R, x;do {

printf("Inserire reddito R\n");scanf("%lf", &R);

} while (R < 0);if ( R < 10000.0) {

x = 0.05;} else {

if ( R < 22000.0 ) {x = 0.11;

} else {if ( R < 35000.0 ) {

x = 0.15;} else {

if ( R < 45000.0 ) {x = 0.17;

} else {if ( R < 57000.0 ) {

x = 0.20;} else {

x = 0.25;}

}}

}}printf("Le tasse dovute ammontano a %f\n", R*x);return 0;

}


Idea

● Memorizzo gli scaglioni e le relative percentuali in una tabella– cioè in un array

● Dato il reddito R, cerco nell'array lo scaglione corrispondente e da questo ricava la percentuale

● Se gli estremi degli scaglioni e/o le percentuali cambiano, devo cambiare solo l'array e non il programma che fa la ricerca!



#define N 6

int main( void ){ double scaglioni[N]={ 0.0, 10000.0, 22000.0, 35000.0, 45000.0, 57000.0}; double imposta[N] ={0.05, 0.11, 0.15, 0.17, 0.20, 0.25}; double R, x; int i;

do { printf("Inserire reddito R\n"); scanf("%lf", &R); } while (R < 0);

for (i=N-1; R < scaglioni[i]; i--) ; x = imposta[i];

printf("Le tasse dovute ammontano a %f (imposta=%f%%)\n", R*x, x*100); return 0;}

Nuova soluzione

scaglioni[i] è il limite inferiore dello scaglione i-esimo (inizio

a contare da i = 0).

imposta[i] è la percentuale di tasse per i redditi appartenenti

allo scaglione i-esimo

Corpo del ciclo "for" vuoto!


Ricerca Binaria


Ricerca binaria

● Dati:– Un array di valori interi distinti v[0], v[1], … v[n-1] ordinati in

senso crescente (v[0] < v[1] < … < v[n-1])– Un valore intero k (arbitrario)

● Determinare la posizione di k nell'array (se presente)– Cioè determinare l'indice i, se esiste, tale che v[i] == k– Se k non compare nell'array, restituire -1

● Es:

2 3 7 12 21 27

v[0] v[1] v[2] v[3] v[4] v[5]Cerchiamok = 7

La funzione restituisce 2


Esempio

● Ricerca di k = 7

2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27

Trovato!


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27


Esempio


2 3 7 12 18 21 27

Non trovato!


Domande

● Dato un array ordinato di n elementi (con n "grande"):– Quanti elementi bisogna esaminare nel caso migliore?– Quanti elementi bisogna esaminare nel caso peggiore?


Funzionamento dell'algoritmo

● Usiamo due valori interi i (inizio) e f (fine) per rappresentare la posizione (indice) del primo e dell'ultimo elemento della porzione di array in cui potrebbe trovarsi il valore cercato

● Indichiamo con m (mezzo) l'indice dell'elemento che occupa la posizione centrale nel sottovettore v[i] … v[f]

2 3 7 12 18 21 27

v[0] v[1] v[2] v[3] v[4] v[5] v[6]

i=0 m=3 f=6


Schema di soluzione

int ricbinaria(int v[], int n, int k){ int i = 0, f = n-1, m; while (“sottovettore non vuoto”) { m = “posizione centrale nel sottovettore v[i..f]”; if (v[m] == k) { return m; /* trovato in posizione m */ } else { “aggiorna gli estremi i e f” } } return -1; /* non trovato */}


Primo raffinamento

● Come facciamo a "calcolare la posizione centrale nel sottovettore v[i..f]" ?

i fm

(f – i + 1) elementi

Circa (f – i)/2 elementi Circa (f – i)/2 elementi

m = i + (f – i) / 2 = (i + f) / 2

......


Attenzione...

● Controlliamo se funziona anche in casi particolari

i = 1 f = 2

m = (1 + 2) / 2 = 1

i = 4 f = 4

m = (4 + 4) / 2 = 4


Primo raffinamento

int ricbinaria(int v[], int n, int k){ int i = 0, f = n-1, m; while (“sottovettore non vuoto”) { m = (i + f)/2; if (v[m] == k) { return m; /* trovato in posizione m */ } else { “aggiorna gli estremi i e f” } } return -1; /* non trovato */}


Secondo raffinamento

● Se il valore centrale non è quello cercato, come aggiornare il valore di i ed f ?– Caso 1: il valore centrale è troppo grande (es., cerchiamo 3,

valore centrale è 12)

2 3 7 12 18 21 27

i m f

2 3 7 12 18 21 27

i f


Secondo raffinamento

● Se il valore centrale non è quello cercato, come aggiornare il valore di i ed f ?– Caso 2: il valore centrale è troppo piccolo (es., cerchiamo

21, valore centrale è 12)

2 3 7 12 18 21 27

i m f

2 3 7 12 18 21 27

i f


Secondo raffinamentoint ricbinaria(int v[], int n, int k){ int i = 0, f = n-1, m; while (“sottovettore non vuoto”) { m = (i + f)/2; if (v[m] == k) { return m; /* trovato in posizione m */ } else { if (v[m] > k) { f = m - 1; } else { i = m + 1; } } } return -1; /* non trovato */}

i fm


Raffinamento finale

● L'algoritmo termina quando non ci sono più elementi da esaminare

● Es: cerchiamo k = 13

2 12 15

2 12 15

2 12 15

i = 0 f = 2m = 1

i = 2 f = 2m = 2

f = 1 i = 2

int ricbinaria(int v[], int n, int k){ int i = 0, f = n-1, m; while (i <= f) { m = (i + f)/2; if (v[m] == k) { return m; } else { if (v[m] > k) { f = m - 1; } else { i = m + 1; } } } return -1; }


/* ricerca-binaria.c */#include <stdio.h>

int ricbinaria(int v[], int n, int k){ int i = 0, f = n-1, m; while (i <= f) { m = (i + f) / 2; if (v[m] == k) { return m; /* trovato in posizione m */ } else { if (v[m] > k) { f = m - 1; } else { i = m + 1; } } } return -1; /* non trovato */}#define N 10int main( void ){ int a[N] = {-1, 1, 2, 3, 7, 15, 16, 18, 20, 21}; printf("ricerca 7 = %d\n", ricbinaria(a, N, 7)); printf("ricerca -1 = %d\n", ricbinaria(a, N, -1)); printf("ricerca 17 = %d\n", ricbinaria(a, N, 17)); printf("ricerca -2 = %d\n", ricbinaria(a, N, -2)); return 0;}

Cosa succede se la funzione ricbinaria() viene invocata su un array vuoto (n = 0)?

Cosa succede se l'array contiene valori duplicati?

.


Ordinamento


Ordinamento

● Ordinare un array, ad es., in ordine crescente– Problema classico– Capita spesso in moltissime applicazioni

● Vari algoritmi● Ne vediamo uno (Selection Sort)

– Semplice da capire– Non molto efficiente


Selection Sort

● Cerco il minimo in a[0]...a[n-1] e lo scambio con a[0]

● Cerco il minimo in a[1]...a[n-1] e lo scambio con a[1]

● ...● Cerco il minimo in a[i]...a[n-1] e lo scambio con a[i]

● ...

12 7 3 2 14 22 1 3

37 3 2 14 22 121

32 3 7 14 22 121

32 3 7 14 22 121

72 3 3 14 22 121

142 3 3 7 22 121

142 3 3 7 12 221

222 3 3 7 12 141


Schema di soluzione

void selectionsort(int a[], int n) {

int i, ...;for (i=0; i<n-1; i++) {

"Trova la posizione imin del valore minimo nel sottovettore a[i..n-1]"

"Scambia a[i] con a[imin]"}

}


Esempio

12 7 3 2 14 22 1 3

i imin


Esempio

127 3 2 14 221 3

i imin


Esempio

12732 14 221 3

i

imin


Esempio

12732 14 221 3

i imin


Esempio

12 732 14 221 3

i imin


Esempio

12732 14221 3

i imin


Esempio

12732 14221 3

i imin


Esempio

12732 14 221 3

i


Esempio

12732 14 221 3


/* selection-sort2.c */#include <stdio.h>

void selectionsort(int a[], int n){

int i, j, tmp;for (i = 0; i < n - 1; i++) {

/* cerca la posizione del minimo in a[i..n-1] */int imin = i;for (j = i + 1; j < n; j++) {

if (a[j] < a[imin]) { imin = j; }}tmp = a[i]; /* scambio a[i] con a[imin] */a[i] = a[imin];a[imin] = tmp;/* qui a[0..i] contiene i primi (i+1) elementi ordinati di a[] */

}}

#define N 10int main( void ) {

int a[N], i;for (i = 0; i < N; i++) { scanf(“%d”, &a[i]); }selectionsort(a, N);for (i = 0; i < N; i++) { printf(“%d\n”, a[i]); }return 0;

}

Implementazione


Soluzione alternativa


int i, j;for (i=0; i<n-1; i++) { /* per ogni i=0, … n-2 */

for (j=i+1; j<n; j++) { /* per ogni j=i+1, … n-1 */if (a[i] > a[j]) {

"scambia a[i] con a[j]"}

}}

}


Esempio

12 7 3 2 14 22 1 3

i j


Esempio

127 3 2 14 22 1 3

i j


Esempio

12 73 2 14 22 1 3

i j


Esempio

12 7 32 14 22 1 3

i j


Esempio

12 7 32 14 22 1 3

i j


Esempio

12 7 32 14 22 1 3

i j


Esempio

12 7 3 214 221 3

i j


Esempio

12 7 3 214 221 3

i j


Costo computazionale

● Quante volte viene eseguito il blocco di codice evidenziato?


int i, j;for (i=0; i<n-1; i++) { /* per ogni i=0, … n-2 */

for (j=i+1; j<n; j++) { /* per ogni j=i+1, … n-1 */if (a[i] > a[j]) {

"scambia a[i] con a[j]"}

}}

}


0 1 2 3 4 n-2i →

n - 1

= una iterazione del ciclo "for" interno (quello con indice j)


0 1 2 3 4 n-2i →

n - 1



0 1 2 3 4 n-2i →

n - 1

n - 1

n


1+2+…+(n−1)=parte grigia=n(n−1)

2


Il codice/* selection-sort.c */#include <stdio.h>

void selectionsort(int a[], int n){

int i, j, tmp;for (i = 0; i < n - 1; i++) {

for (j = i + 1; j < n; j++) {if (a[i] > a[j]) {

tmp = a[i]; /* scambio a[i] con a[j] */a[i] = a[j];a[j] = tmp;

}}/* qui si ha che a[0..i] contiene i primi (i+1) elementi ordinati di a[] /*

}}

#define N 10int main( void ) {

int a[N], i;for (i = 0; i < N; i++) { scanf(“%d”, &a[i]); }selectionsort(a, N);for (i = 0; i < N; i++) { printf(“%d\n”, a[i]); }return 0;

}

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