Algoritmo de pivote

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Los algoritmos de pivote (o algoritmos de cambio de base) son algoritmos de la optimización matemática, y en especial de la Programación Lineal. Dado un sistema de ecuaciones lineales cuyas variables deben adoptar valores no-negativos (esencialmente

lo mismo que un sistema de inecuaciones lineales), se busca la mejor de entre muchas soluciones alternativas, es decir, una solución óptima del sistema. En cada paso de tal búsqueda, el algoritmo transforma el sistema sin alterar su conjunto de soluciones.

Algoritmos de pivote importantes son los diversos algoritmos simplex1 2 y los algoritmos criss-cross3 .

Los algoritmos de pivote son de gran importancia para el tratamiento de inecuaciones

lineales, donde juegan un papel análogo al de la eliminación de Gauss para ecuaciones lineales. Se encuentran numerosas aplicaciones2 de sistemas de inecuaciones en áreas tan diversas como la investigación de operaciones industriales, el transporte y

distribución de bienes, en carteras de inversiones, la ingeniería estructural, la estadística, y la teoría de juegos. Frecuentemente se abordan sistemas con decenas de miles de

variables4 .

Índice

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1 Procedimiento general o 1.1 El problema normalizado

o 1.2 Condiciones de optimalidad o 1.3 Transformación de las ecuaciones

o 1.4 Pivotes admisibles 2 Implementación y ejemplo

o 2.1 Problemas con muchas variables

o 2.2 Una implementación directa o 2.3 Ejemplo de elección de pivotes

3 Dualidad o 3.1 Problemas duales o 3.2 Transformaciones sucesivas

o 3.3 Tratamiento conjunto 4 Herramienta interactiva

5 Literatura complementaria 6 Referencias

Procedimiento general[editar · editar código]

El problema normalizado[editar · editar código]

Todo algoritmo de pivote parte de un sistema especialmente arreglado de ecuaciones

lineales, cuyas variables todas, excepto tal vez una, deben tomar valores no-negativos. De hecho, cualquier sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales, así como todo

problema de Programación Lineal, puede siempre reducirse a la siguiente forma diccionario1 2 :

donde los son números reales (en la práctica casi siempre números racionales). Este formato especifica que se busca valores para las incógnitas

, que satisfagan las ecuaciones e inecuaciones del sistema anterior de modo tal que la variable objetivo tome el mayor valor posible. Definiendo los conjuntos de índices

se escribirá ésto en lo que sigue de la forma más compacta

En cada iteracion de un algoritmo de pivote se destaca un conjunto de variables independientes, mientras que las restantes son variables dependientes y se expresan

como funciones lineales de las primeras. Al pasar de una iteración a la siguiente se intercambia una variable independiente por una dependiente; tales pares de variables se

denominan pivotes.

Condiciones de optimalidad[editar · editar código]

En caso de que se cumplan las siguientes dos condiciones de optimalidad,

para todo (sistema factible) y

para todo (sistema acotado),

podemos obtener una solución al problema anterior, asignando a las variables

independientes del sistema los valores . Por un lado, esto logra

que las variables dependientes adopten valores

nonegativos, tal como se pedía. Por otro lado, toda solución alternativa al problema

debe satisfacer la relación , ya que en ella las variables independientes también

deben tomar valores nonegativos.

( Por ejemplo, en el siguiente sistema,

las condiciones de optimalidad son violadas en dos lugares, ya

que y . Por un lado, los valores obtenidos al anular

las variables independientes, , no constiuyen una solución admisible

porque contienen un valor negativo, . Por otro lado, no podemos descartar la posibilidad de aumentar el valor que adopta la variable

objetivo eligiendo conjuntos de variables independientes con

. )

Transformación de las ecuaciones[editar · editar código]

En el caso habitual de que las condiciones de optimalidad no se cumplan, puede

reformularse el sistema de ecuaciones, eligiendo adecuadamente un nuevo subconjunto de entre las incógnitas, y expresando las incógnitas elegidas en función de las

incógnitas restantes. Sea un reordenamiento de las variables, es decir una función de los índices que cumpla

A partir de la partición con

,

que divide las variables del sistema en variables independientes con y las

llamadas variables básicas con , se construye entonces el sistema:

Nótese que los coeficientes existen sólo para pares de subíndices con y

con . En cada iteración, los coeficientes del sistema así modificado vuelven a examinarse para ver si satisfacen las condiciones de optimalidad

para todo (sistema factible) y

para todo (sistema acotado),

y de este modo generan una posible solución al problema. Un resultado estándar de la

Programación Lineal establece que todo problema que tiene soluciones también posee un conjunto de variables básicas que conduce a una de ellas1 2 . Si los coeficientes del

sistema satisfacen las condiciones de optimalidad, se dice que las variables básicas forman una base optimal del problema.

Pivotes admisibles[editar · editar código]

Un coeficiente no nulo del sistema de ecuaciones se llama elemento pivote,

porque permite despejar la variable independiente en lugar de la variable básica para así seguir buscando una solución al problema. Sin embargo, los algoritmos de

pivote no eligen un elemento pivote cualquiera, sino solamente los llamados pivotes

admisibles , que deben satisfacer:

O se cumple simultáneamente y (pivote de

restricción),

ó se cumple simultáneamente y (pivote de

objetivo).

( En el ejemplo anterior,

el coeficiente no optimal permite seleccionar el elemento

pivote correspondiente a un pivote admisible con intercambio de

ó también el elemento pivote correspondiente al pivote

admisible Alternativamente, el coeficiente no optimal permite

también seleccionar el elemento pivote correspodiente al pivote

admisible ó el elemento pivote con el pivote admisible

. )

La restricción a pivotes admisibles impide que en dos iteraciones sucesivas se elija el

mismo pivote. Las reglas según las cuales el pivote es elegido dependen del algoritmo de pivote particular. No obstante, debe imponerse que el algoritmo termine en un número finito de pasos, lo que no sucede con una elección de pivotes inadecuada.

Fukuda & Terlaky demostraron5 en 1999 que para todo problema con solución y para toda base inicial existe una secuencia de a lo más pivotes admisibles que

conduce a una base optimal. Lamentablemente, esa demostración no es constructiva en el sentido de que indique cuál pivote deba elegirse en cada paso.

Como se puede observar de las definiciones anteriores, una base optimal no tiene

pivotes admisibles, por lo que el algoritmo no puede ser continuado a partir de una base optimal. Por otro lado, es fácil demostrar con argumentos similares a los expuestos que

una base no optimal sin pivotes admisibles siempre pertenece a un problema sin solución; sea esto, porque el sistema de ecuaciones e inecuaciones no tiene solución alguna (problema infactible), o porque existen soluciones con un valor objetivo

arbitrariamente grande (problema no acotado).

Implementación y ejemplo[editar · editar código]

Problemas con muchas variables[editar · editar código]

La implementación computacional de problemas prácticos a menudo dista mucho de ser trivial6 . Los coeficientes de sistemas con decenas de miles de variables siempre presentan una u otra estructura, la cual debe ser aprovechada para determinar los

sistemas de iteraciones subsecuentes de manera relativamente rápida y numéricamente estable (sin mayores errores de redondeo):

Los sistemas iniciales de problemas grandes (no los sistemas transformados)

contienen una inmensa mayoría de coeficientes iguales a cero (el sistema es disperso), lo que permite ahorrar muchas operaciones aritméticas si se recurre al sistema de partida.

Muchos procedimientos se basan en una evaluación retardada, donde se calcula sólo aquellos coeficientes de un sistema que sean necesarios para determinar un

pivote, y ésto solamente en el instante en que se ocupan. Para evitar la evaluación de coeficientes superfluos tales procedimientos emplean permutaciones de las variables en el sistema de partida, factorizaciones de las

inversas de matrices básicas, una factorización de la matriz de coeficientes, y otras técnicas más. En todos estos casos suele ser necesario referirse a sistemas

de iteraciones previas a la última, por lo que las transformaciones adoptan formas bastante más complejas que la directa.

A menudo se encuentran insertas en la estructura del sistema diversas estructuras

especiales, por ejemplo de flujos en redes1 7 , y para tales estructuras especiales se ha desarrollado implementaciones particularmente eficientes.

No obstante lo anterior, hay también muchas aplicaciones que dan origen a problemas

de tamaño moderado, problemas para los cuales basta una implementación simple.

Una implementación directa[editar · editar código]

Para evitar errores de redondeo se trabaja en lo que sigue con números racionales,

eligiendo un único denominador común para todo el sistema de ecuaciones. Para encontrar un denominador así en cada paso del algoritmo no hace falta analizar los coeficientes del sistema; en caso de un sistema inicial con coeficientes enteros, en cada

iteración se cumplirá que

El numerador del elemento pivote es un denominador común para el

sistema de ecuaciones siguiente.

Al evaluar los coeficientes de un nuevo sistema el denominador común del sistema anterior quedará obsoleto, por lo que se procede a dividir los coeficientes del sistema

nuevo por el denominador antiguo, con resultados que siempre serán enteros.8

Un arreglo matricial que contiene los coeficientes de un sistema de pivote suele

llamarse tabla de pivoteo o cuadro de pivoteo. El siguiente esquema muestra cómo cambian los coeficientes del sistema de pivoteo al pasar de una iteración a la que sigue:

En ese esquema, el símbolo designa al denominador común del sistema de ecuaciones,

el símbolo designa al numerador del elemento pivote, designa cualquier coeficiente

restante en la misma fila del elemento pivote, designa cualquier coeficiente restante en la misma columna del elemento pivote, y cualquier coeficiente ajeno a la fila y a la

columna del pivote. Los coeficientes de la variable a maximizar ( ) y los

coeficientes de la columna de valores ( ) se transforman de acuerdo a las mismas reglas.

Las ilustraciones en cada paso del ejemplo siguiente muestran todas el mismo sistema de ecuaciones graficado en distintos sistemas de coordenadas. En estos gráficos,

el área bordeada de verde es el conjunto de soluciones factibles, para el

cual todas las variables toman valores no-negativos,

los ejes de coordenadas corresponden a ecuaciones de variables independientes, las demás rectas a ecuaciones de variables básicas,

la recta en rojo recorre los puntos donde la variable objetivo adopta su valor máximo,

las intersecciones de rectas correspondientes a pivotes admisibles llevan puntos rojos, el pivote seleccionado va bordeado de negro, y

el área anaranjada corresponde al ortante no-negativo de la iteración

siguiente.

Ejemplo de elección de pivotes[editar · editar código]

La siguiente estrategia de elección de pivote corresponde al algoritmo criss-cross con

pivoteo en los índices mínimos (minimal index criss-cross-algorithm). En cada paso, el pivote admisible se elegirá de acuerdo a la siguiente regla (el mínimo de un conjunto

vacío se considera igual a infinito):

1. Determinar los índices

y . 2. Si se tiene , elegir el pivote

donde . 3. Si se tiene , elegir el pivote

donde .

Se puede demostrar3 que este criterio simple (aunque no siempre eficiente) conduce siempre a una base optimal en un sistema que tenga solución.

En el siguiente ejemplo se busca valores no negativos para las variables

que maximicen la variable adicional satisfaciendo el siguiente conjunto de ecuaciones lineales:

En el sistema inicial del ejemplo, los coeficientes no optimales son , , y

todos los pivotes son admisibles. El criterio de selección, sin embargo, prescribe que despejemos en lugar de :

Cambio de la base 0 a la base 1

(para animar con Firefox, pulsar aquí y luego en la imágen, manteniendo presionado)

Con ello obtenemos:

Ahora los coeficientes no optimales son con los pivotes admisibles

, , y el coeficiente con los pivotes admisibles

, . En consecuencia, despejamos en lugar de :

Cambio de la base 1 a la base 2

(animado)

Se obtiene el sistema

El único coeficiente no optimal en este sistema es con los pivotes admisibles

, ; despejamos en lugar de :

Cambio de la base 2 a la base 3

(animado)

El sistema final es

Como este sistema satisface las condiciones de optimalidad, hemos obtenido la solución

Dualidad[editar · editar código]

Problemas duales[editar · editar código]

A todo problema de programación lineal llevado a la forma básica arriba descrita se le

puede asociar un problema dual de programación lineal. Con respecto a esa forma básica, la matriz de coeficientes del problema dual es la matriz negativa traspuesta de la

matriz de coeficientes del problema original, lo que muestra de paso que el dual del problema dual es el problema original, llamado problema primal en ese contexto.

ó, en notación compacta,

(Precaución: Al usar la forma diccionario para escribir el problema dual, no es lícito

sustituir por !)

Transformaciones sucesivas[editar · editar código]

La relación anterior entre los coeficientes de un par de problemas duales no se cumple

solamente para el sistema de partida, sino que persiste paso a paso a través de un algoritmo de pivotes, siempre y cuando el pivote elegido en cada iteración sea el mismo

en ambos problemas:

La relación de dualidad es particularmente fácil de observar en un sistema de pivoteo que tiene sólo dos variables independientes y dos variables despejadas. El sistema obtenido es el mismo si se intercambia el estado de dos de las variables y a continuación

se construye el problema dual, o si se realiza estas operaciones en orden inverso:

De esta relación de dualidad se concluye que toda base optimal para el problema primal provee también una base optimal para el problema dual. Al ejemplo anteriormente desarrollado le corresponde el problema dual

El sistema optimal de este problema es entonces

En el problema original, la variable a maximizarse toma el valor óptimo ; el valor óptimo del problema dual es el negativo de este valor: el mayor valor posible que

su variable objetivo puede adoptar es . Una posible solución óptima para el problema dual es

.

Tratamiento conjunto[editar · editar código]

Una importante consecuencia teórica de la dualidad es la siguiente: para resolver problemas de optimización lineal no se requiere un algoritmo que maximice (o minimice) una de las variables, basta para ello cualquier algoritmo capaz de resolver

sistemas de desigualdades lineales. Esto es así porque las relaciones de dualidad implican que toda base optimal para el problema primal también provee una base

optimal para el problema dual, donde el valor óptimo de la variable del problema dual es el negativo del valor óptimo de la variable del problema original. Por tanto, para pares de soluciones óptimas se tiene

Por otro lado, para pares de soluciones factibles de las cuales al menos una no es óptima se cumple

De ahí podemos concluir que las soluciones óptimas para un par de problemas duales

son exactamente las soluciones del siguiente sistema de desigualdades

donde las variables , , se hayan sustituido por las expresiones lineales correspondientes. En el caso de aplicaciones prácticas, sin embargo, esta forma de proceder sólo es competitiva si se logra aprovechar adecuadamente la estructura de datos común a los sistemas primal y dual.

Herramienta interactiva[editar · editar código]

El applet de pivoteo interactivo de Robert Vanderbei, programado en 1997, permite definir un sistema de ecuaciones lineales de tamaño reducido y realizar en ese sistema

pivoteos sobre pares arbitrarios de variables. La herramienta (en inglés) se autodenomina «Simplex Pivot Tool», pero está orientada a algoritmos de pivote totalmente arbitrarios. Para evitar redondeo, los coeficientes del sistema pueden también

verse en forma de fracciones, aunque éstas no adoptan un denominador común.

Literatura complementaria[editar · editar código]

George Dantzig (1963): Linear Programming and Extensions, Princeton

University Press, archivo pdf Vašek Chvátal (1983): Linear Programming, Freeman and Company, New York

NY, ISBN 0-7167-1587-2

Robert Vanderbei (2007): Linear Programming. Foundations and Extensions, 3a ed., Springer, ISBN 978-0-387-74387-5, archivo pdf

Referencias[editar · editar código]

1. ↑ a b c d Vašek Chvátal (1983): Linear Programming., Freeman and Company, ISBN 0-

716-71587-2 2. ↑

a b c d Robert Vanderbei (1996/2007): Linear Programming; Foundations and

Extensions, 3.ed. Springer, ISBN 978-0-387-74385-5, archivo pdf, (edición alternativa: Linear Programming; Foundations and Extensions, Kluwer, 1996, ISBN 0-7923-9804-1)

3. ↑ a b Komei Fukuda & Tamás Terlaky (1997): Criss-cross methods: A fresh view on

pivot algorithms, Mathematical Programming, 79, 369-395, archivo ps 4. ↑ Robert Vanderbei: Linear Programming. Foundations and Extensions, Kluwer, ISBN

978-0-7923-9804-2}}, capítulo 21.4: Simplex Method vs Interior-Point Methods.

5. ↑ Komei Fukuda & Tamás Terlaky (1999): On the Existence of a Short Admissible Pivot Sequences for Feasibility and Linear Optimization Problems, Pure Mathematics and Applications, vol.10, 431-447, archivo ps

6. ↑ Robert Vanderbei: Linear Programming. Foundations and Extensions (= International Series in Operations Research & Management Science. Bd. 114). 3rd edition. Springer, New York NY 2007, ISBN 978-0-387-74387-5, Kapitel 8: Implementation Issues.

7. ↑ Robert Vanderbei: Linear Programming. Foundations and Extensions (= International Series in Operations Research & Management Science. Bd. 114). 3rd edition. Springer, New York NY 2007, ISBN 978-0-387-74387-5, Kapitel 13: Network Flow Problems.

8. ↑ Erwin Bareiss (1968): Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination, Mathematics of Computation, vol.22 (102), 565-578, archivo pdf

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Algoritmos Optimización Álgebra lineal numérica

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Álgebra lineal

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El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más formal,

espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las

matemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William

Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre

(La teoría lineal de extensión)

Índice

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1 Contexto general 2 Espacios vectoriales de uso común

o 2.1 Vectores en Rn o 2.2 Matrices

o 2.3 Espacio vectorial de polinomios en una misma variable 3 Generalización y temas relacionados 4 Véase también

5 Enlaces externos

Contexto general[editar · editar código]

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares

(que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que

la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos).

Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto

cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).

Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más

frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un

par de los mismos...

Espacios vectoriales de uso común[editar · editar

código]

Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos

siguientes de espacios vectoriales:

Vectores en Rn[editar · editar código]

Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir

con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...

Matrices [editar · editar código]

Artículo principal: Matriz (matemática)

Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son

bastantes usados en las ciencias e ingeniería.

Espacio vectorial de polinomios en una misma variable[editar · editar

código]

Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.

Ejemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no

excede a 2:

El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar

un número por un polinomio:

donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).

Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada

polinomio el resultado de derivarlo:

El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible

demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:

y por otro lado:

Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto

especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

Generalización y temas relacionados[editar · editar

código]

Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por

otras áreas de la matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el álgebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en

un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es

puramente algebraica. En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Véase también[editar · editar código]

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

Enlaces externos[editar · editar código]

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra lineal. Álgebra lineal por Elmer G. Wiens (en inglés)

Álgebra Lineal: Conceptos Básicos Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto

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