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Eliminacion Gaussiana con pivote parcial
Luis Randez
Dpto. Matematica AplicadaFacultad de Ciencias
Universidad de Zaragoza
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 1 / 7
Ejemplo.-
Considerar el sistema lineal
1.00× 10−4x1 + 1.00x2 = 1.00
1.00x1 + 1.00x2 = 2.00
cuya solucion exacta es x1 = 1.00010001 . . ., x2 = 0.99989998 . . ..Se trata de resolver el sistema lineal anterior con aritmetica de tres dıgitossignificativos utilizando eliminacion Gaussiana con/sin pivote parcial.
ææ
-1 1 2 3
-1
1
2
3
Fig. 1.- Geometrıa inicial del problema
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 2 / 7
Sin pivote
Sea la matriz ampliada A
A =
[1.00× 10−4 1.00 1.00
1.00 1.00 2.00
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 3 / 7
Sin pivote
y ahora construimos la matriz L1
L1 =
[1.00 0.00
−1.00× 104 1.00
]
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 3 / 7
Sin pivote
dando lugar al sistema triangular superior
A =
[1.00× 10−4 1.00 1.00
0.00 1.00− 1.00× 104 2.00− 1.00× 104
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 3 / 7
Sin pivote
y con la aritmetica empleada
A =
[1.00× 10−4 1.00 1.00
0.00 −1.00× 104 −1.00× 104
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 3 / 7
Sin pivote
tiene por solucion x2 = 1.00 y x1 =1.00− 1.00
1.00× 10−4= 0.00
A =
[1.00× 10−4 1.00 1.00
0.00 −1.00× 104 −1.00× 104
],
ææ
-1 1 2 3
-1
1
2
3
Fig. 2.- Geometria final del problema
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 3 / 7
Con pivote
Considerar la matriz ampliada con las filas permutadas A
A =
[1.00 1.00 2.00
1.00× 10−4 1.00 1.00
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 4 / 7
Con pivote
y ahora construimos la matriz L1
L1 =
[1.00 0.00
−1.00× 10−4 1.00
]
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 4 / 7
Con pivote
dando lugar al sistema triangular superior
A =
[1.00 1.00 2.000.00 1.00− 1.00× 10−4 1.00− 2.00× 10−4
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 4 / 7
Con pivote
y con la aritmetica empleada
A =
[1.00 1.00 2.000.00 1.00 1.00
],
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 4 / 7
Con pivote
tiene por solucion x2 = 1.00 y x1 =2.00− 1.00
1.00= 1.00
A =
[1.00 1.00 2.000.00 1.00 1.00
],
ææ
-1 1 2 3
-1
1
2
3
Fig. 2.- Geometrıa final del problema
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 4 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 51 0 1 3 53 1 −4 2 2−4 0 1 1 −2
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 51 0 1 3 53 1 −4 2 2−4 0 1 1 −2
El pivote hay que escogerlo en la primera columna
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
0 2 1 2 51 0 1 3 53 1 −4 2 2−4 0 1 1 −2
Es −4 por lo que se permutan las filas 1 y 4 (1↔ 4)
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
1 0 1 3 53 1 −4 2 20 2 1 2 5
L1 =
1 0 0 0
1/4 1 0 03/4 0 1 0
0 0 0 1
Ya estan permutadas y construimos L1
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 0 5/4 13/4 9/20 1 −13/4 11/4 1/20 2 1 2 5
Quedando tras la primera etapa
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 0 5/4 13/4 9/20 1 −13/4 11/4 1/20 2 1 2 5
El siguiente pivote hay que escogerlo en la segunda columna
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 0 5/4 13/4 9/20 1 −13/4 11/4 1/20 2 1 2 5
Es 2 por lo que se permutan las filas 2 y 4 (2↔ 4)
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 1 −13/4 11/4 1/20 0 5/4 13/4 9/2
L2 =
1 0 0 00 1 0 00 −1/2 1 00 0 0 1
Ya estan permutadas y construimos L2
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 0 −15/4 7/4 −20 0 5/4 13/4 9/2
Quedando tras la segunda etapa
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 0 −15/4 7/4 −20 0 5/4 13/4 9/2
El siguiente pivote hay que escogerlo en la tercera columna
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 0 −15/4 7/4 −20 0 5/4 13/4 9/2
Es −15/4 por lo que no hay que permutar en esta ocasion
Luis Randez (Dpto. Matematica Aplicada) Eliminacion Gaussiana con pivote parcial 5 / 7
Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 0 −15/4 7/4 −20 0 5/4 13/4 9/2
L3 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1/3 1
Construimos L3
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Ejemplo.-
Sea el sistema lineal Ax = b,0 2 1 21 0 1 33 1 −4 2−4 0 1 1
x =
552−2
Consideremos ahora la matriz ampliada:
−4 0 1 1 −2
0 2 1 2 50 0 −15/4 7/4 −20 0 0 23/6 23/6
Obteniendo el sistema lineal triangular superior equivalente
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En ocasiones, la eliminacion Gaussiana con pivote parcial puede no resultarconveniente. Sea la siguiente matriz hueca, cuya estructura viene dada enla figura (1), donde los elementos de la diagonal son pequenos en valorabsoluto, por lo que serıa necesario permutar filas.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
nz = 494
Fig. 1.- Estructura hueca de la matriz
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En la figura (2) se ve que la matriz U se llena completamente deelementos no nulos, por lo que serıa necesario reservar bastante memoriapara su almacenamiento.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
nz = 5050
Fig. 2.- LLenado de la matriz U
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