Algoritmo subespacios

8/16/2019 Algoritmo subespacios

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4,2. Valores propios Informática

FMS contiene subrutinas que son útiles para determinar algunos de los más bajos valores y

vectores propios de los siguientes sistemas:

[A] {X} = [M] {X} []

donde:

[A] = un conocido N-por-N matriz almacenada por FMS,

{X} = un grupo N-por-M de vectores propios que se determinen,

[M] = un conocido N-por-N matriz con la escasez mismo como [A], o es una matriz

diagonal,

[] es una diagonal de M-por-M matriz de valores propios que se determine.

Numerosas tcnicas están disponibles actualmente para la computaci!n {X} y [].

Ninguna tcnica es mejor para todas las matrices posibles [A] y [M]. "or esta raz!n, FMS

o#rece un en#oque modular de los valores propios de computaci!n.

$os de las %erramientas más importantes utilizadas para los valores propios decomputaci!n ya se %an presentado: la #actorizaci!n de la matriz y vector soluci!n. &sted

puede #actorizar las matrices [A] y [M] por s' mismos o calcular los #actores de la matriz

cambi! [A] - c [M]. (a velocidad de procesamiento de la fi!romial"ia le permite llevar a

cabo la #actorizaci!n de la matriz en una base más #recuente que en la actualidad se puedenimplementar en la mayor'a de los programas. &sted puede utilizar el parámetro FMS

N&M)*+ para contar el número de cambios de signo en diagonal durante el proceso de

descomponer en #actores para determinar el número de valores propios por debajo del punto de cambio actual.

&na tcnica que muestra c!mo utilizar FMS para los valores propios de computaci!n de

matrices de gran tamao es la iteraci!n subespacio. n esta tcnica, FMS proyecta el problema original en un subespacio que tiene dimensiones considerablemente más

pequeos.

&sted puede calcular los vectores propios en el subespacio y proyectar de nuevo al espaciodel problema. epita este proceso %asta que los valores propios en el espacio del problemaconvergen. sta tcnica es especialmente útil para grandes sistemas que residan en el

disco.

(a siguiente #igura muestra un diagrama de #lujo del algoritmo de iteraci!n subespacio y el

FMS subrutinas que se puede utilizar en cada etapa del análisis.

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&prev=/search%3Fq%3DSubspace%2BIteration%2BAlgorithms%26start%3D50%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1280%26bih%3D799%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.com.bo&sl=en&u=http://www.fmslib.com/fmsman/par/numscg.html&usg=ALkJrhj1WlIsEugE6oFIOx_3_Jq82tFSgwhttp://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&prev=/search%3Fq%3DSubspace%2BIteration%2BAlgorithms%26start%3D50%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1280%26bih%3D799%26prmd%3Dimvns&rurl=translate.google.com.bo&sl=en&u=http://www.fmslib.com/fmsman/par/numscg.html&usg=ALkJrhj1WlIsEugE6oFIOx_3_Jq82tFSgw


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)e empieza el proceso mediante la selecci!n de los valores iniciales de los vectores {X},

que de#inen el subespacio. l primer conjunto de vectores {#} se calculan a partir {$} =[M] {X}, que el FMS de la matriz de vectores de subrutina se multiplican realiza. (a

matriz [A], que opcionalmente se puede cambiar, es a continuaci!n utilizando el #actor

apropiado subrutina FMS #actoring.

l primer paso en el bucle interactivo es proyectar el problema en el subespacio #ormando

matrices [A %] y [M %]. ste proceso implica la resoluci!n de los nuevos vectores {X} utilizando los vectores {#} como mano derec%a de los lados. FMS vectores de vectores se

multiplican subrutina calcula [A %] {X} = & {$} para obtener la matriz [A %]. (os FMS de

la matriz de vectores se multiplican subrutina calcula {$} = [M] {X} para obtener un nuevo

conjunto de valores de {#}. l FMS vectores de vectores se multiplican subrutina calcula[' %] = {X} {&} $ para obtener la matriz subespacio [M %].

&na caracter'stica importante del proceso anterior es que conserva la escasez y la simetr'a

de las matrices de grandes [A] y [M]. "ara FMS, otra caracter'stica importante es que

puede procesar un gran número de vectores en paralelo.


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l siguiente paso es resolver el problema siguiente para los vectores propios [(] en el

subespacio:

[A] [(] = [M %] [(] []

"uede realizar este cálculo usando la biblioteca estándar de matemáticas subrutinasdiseado para resolver problemas de valores propios de las matrices residentes en memoria

completos.

$espus de calcular los vectores propios en el subespacio, los proyecta de nuevo al espaciodel problema mediante el cálculo de {$} = {$} [(]. &sted puede utilizar el FMS)matri*

de vectores de subrutina se multiplican para llevar a cabo esta tarea.

epita el proceso anterior %asta obtener un conjunto aceptable de vectores propios en el

espacio del problema. *omo una veri#icaci!n #inal y el #actor de cambio de la matriz paradeterminar si todos los valores propios requeridos se %an calculado.

FMS intencionalmente deja el control de este cálculo a su programa de aplicaci!n. )e

debe especi#icar la dimensi!n del subespacio, los valores iniciales, y los criterios de

convergencia. /omar estas decisiones correctamente por lo general implica comprender el problema particular que usted está la soluci!n.

4.2. +omptin" i"en-ales

FMS contains subroutines 0%ic% are use#ul #or determining some o# t%e lo0est eigenvalues

and eigenvectors o# t%e #ollo0ing systems:

[A]{X} = [M]{X}[]

0%ere:

[A] = a 1no0n N-by-N matri2 stored by FMS,

{X} = a N-by-M group o# eigenvectors to be determined,

[M] = a 1no0n N-by-N matri2 0it% t%e same sparsity as [A], or is a diagonal matri2,

[] is a diagonal M-by-M matri2 o# eigenvalues to be determined.

Numerous tec%niques are currently available #or computing {X} and []. No singletec%nique is best #or all possible matrices [A] and [M]. 3or t%is reason, FMS o##ers a

building bloc1 approac% #or computing eigenvalues.

/0o o# t%e most important tools used #or computing eigenvalues %ave already been

presented: matri2 #actoring and vector solution. 4ou can #actor t%e matrices [A] and [M] byt%emselves or compute t%e #actors #or t%e s%i#ted matri2 [A] - c[M]. /%e processing speed


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o# FMS permits you to per#orm matri2 #actoring on a more #requent basis t%an can

currently be implemented in most programs. 4ou can use t%e FMS parameter N&M)*+ tocount t%e number o# diagonal sign c%anges during t%e #actoring process to determine t%e

number o# eigenvalues belo0 t%e current s%i#t point.

5ne tec%nique t%at s%o0s %o0 to use FMS #or computing eigenvalues o# large matrices issubspace iteration. 6n t%is tec%nique, FMS projects t%e original problem into a subspace%aving considerably smaller dimensions.

4ou can easily compute t%e eigenvectors in t%e subspace and project t%em bac1 to t%e

problem space. 4ou repeat t%is process until t%e eigenvalues in t%e problem space converge.

/%is tec%nique is especially use#ul #or large systems t%at are resident on t%e dis1.

/%e #ollo0ing #igure s%o0s a #lo0c%art o# t%e subspace iteration algorit%m and t%e FMS subroutines t%at you can use at eac% stage o# t%e analysis.

4ou begin t%e process by selecting initial values #or t%e {X} vectors, 0%ic% de#ine t%esubspace. /%e #irst set o# {$} vectors are computed #rom {$}=[M]{X}, 0%ic% t%e FMS matri2-vectors multiply subroutine per#orms. /%e matri2 [A], 0%ic% can optionally be

s%i#ted, is t%en #actored using t%e appropriate FMS #actoring subroutine.

http://www.fmslib.com/fmsman/par/numscg.htmlhttp://www.fmslib.com/fmsman/par/numscg.htmlhttp://www.fmslib.com/fmsman/par/numscg.html


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/%e #irst step in t%e interactive loop is to project t%e problem into t%e subspace by #ormingmatrices [A%] and [M%]. /%is process involves solving #or ne0 {X} vectors using t%e {$}

vectors as rig%t-%and sides. FMS vectors-vectors multiply subroutine computes[A%]={X}&{$} to obtain t%e matri2 [A%]. /%e FMS matri2- vectors multiply subroutinet%en computes {$}=[M]{X} to obtain a ne0 set o# {$} values. /%e FMS vectors-vectors

multiply subroutine computes [M%]={X}&{$} to obtain t%e subspace matri2 [M%].

7n important #eature o# t%e above process is t%at it preserves t%e sparsity and symmetry o#t%e large matrices [A] and [M]. 3or FMS, anot%er important #eature is t%at it can process a

large number o# vectors in parallel.

/%e ne2t step is to solve t%e #ollo0ing problem #or t%e eigenvectors [(] in t%e subspace:

[A][(] = [M%][(][]

4ou can per#orm t%is calculation using standard mat% library subroutines designed to solveeigenvalue problems #or #ull memory resident matrices.


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7#ter you compute t%e eigenvectors in t%e subspace, project t%em bac1 to t%e problem

space by computing {$}={$}[(]. 4ou can use t%e FMS vectors-matri2 multiply subroutineto per#orm t%is tas1.

epeat t%e above process until you obtain an acceptable set o# eigenvectors in t%e problem

space. 7s a #inal c%ec1, s%i#t and #actor t%e matri2 to determine i# all required eigenvalues%ave been computed.

FMS intentionally leaves t%e control o# t%is calculation to your application program. 4oumust speci#y t%e dimension o# t%e subspace, t%e initial starting values, and t%e convergence

criteria. Ma1ing t%ese decisions properly usually involves insig%t into t%e particular

problem you are solving.

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