Fundamentos MatemticosFundamentos Matemticos

Como e porque Algoritmos Como e porque Algoritmos Genticos funcionam?Genticos funcionam?

Teoria de Schema (John Holland 1975)Schema um padro gentico que descreve um conjunto de cromossomas do espao de busca com similaridades

em certas posies

SchemaSchema Buscando padres de jogadores de seleo

Masculino

Gostam de Futebol

Feminino> 30 anos

Mdico

Sexo ProfissoGostoIdade

Jogadores Jogadores da Seleoda Seleo

Aptido dos PadresAptido dos Padres

Masculino XXI>30

Sexo ProfissoGostoIdade

Masculino XXI 30 anos

MdicoAptido

Representao de um Representao de um SchemaSchema

Utiliza-se um smbolo adicional: = dont= dont carecare

Exemplo: H= 1 1 H= 1 1

H um padro que descreve todos os cromossomas do espao 23 , cujos os dois primeiros bits so iguais a 1, no importando os demais.

InterpretaoInterpretao f(x) = x2 , x 23

Seja o Seja o schemaschema: : H= 1 1 H= 1 1 H refere-se a conjectura que a razo pela qual 111 e

110 so bons cromossomas (ou no), so os dois bits mais significativos iguais a 1, no importando os demais.

Para esta conjectura podem existir numa determinada populao dois representantes: 110 e 111.

110 e 111 pertencem a H= 1 1 110 e 111 pertencem a H= 1 1

Nmero de Nmero de SchemataSchemata Seja o espao de busca KL onde:

K nmero de elementos do alfabeto de representaoL comprimento do cromossoma

Total de Schemata = (K+1) L

Exemplo: K=2; L=3

23 = 8 pontosTotal de Schemata = 27

Ordem de umOrdem de um SchemaSchema Ordem ou Especificidade O(H)O(H) nmero de posies fixas (diferentes de *)

presentes no schema

H= 0 1 1 H= 0 1 1 1 1 O(H) =4O(H) =4

H= 0 H= 0 O(H) =1O(H) =1

Comprimento de um Comprimento de um SchemaSchema (H) distncia entre a primeira e a ltima posies

especficas (diferentes de *) no schema.

H= 0 1 1 H= 0 1 1 1 1 (H) =4(H) =4

H= 0 H= 0 (H) =0(H) =0

Representao GeomtricaRepresentao GeomtricaSchemata Schemata de Ordem 3: Pontosde Ordem 3: Pontos

010

101

111

001000

110

100

011

Representao GeomtricaRepresentao GeomtricaSchemata Schemata de Ordem 2: Linhasde Ordem 2: Linhas

010

101

111

001000

110

100

00

0 0

00

1 1

11

01

10

11 10

1 00 1

01

011

Representao GeomtricaRepresentao GeomtricaSchemataSchemata de Ordem 1: Planosde Ordem 1: Planos

010

101

111

001000

110

100

0

0 1

1

011 1

0

Indivduos Pertencentes ao Indivduos Pertencentes ao um um SchemaSchema

Um indivduo pertence a um schema se para todas as L posies o smbolo do indivduo igual ao smbolo do schema, exceto nas posies onde o smbolo do schema dont care ().

Um schema possui 2L-O(H) indivduos. Exemplo: 1 possui 23-1 indivduos

0 1 00 1 11 1 01 1 1

Indivduos Pertencentes ao Indivduos Pertencentes ao SchemaSchema

Sch ema Indivdu os1 0 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 13 0 0 * 0 0 0 0 0 14 0 1 0 0 1 05 0 1 1 0 1 16 0 1 * 0 1 0 0 1 17 0 * 0 0 0 0 0 1 08 0 * 1 0 0 1 0 1 19 0 * * 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 110 1 0 0 1 0 011 1 0 1 1 0 112 1 0 * 1 0 0 1 0 113 1 1 0 1 1 014 1 1 1 1 1 115 1 1 * 1 1 0 1 1 116 1 * 0 1 0 0 1 1 017 1 * 1 1 0 1 1 1 118 1 * * 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 119 * 0 0 0 0 0 1 0 020 * 0 1 0 0 1 1 0 121 * 0 * 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 122 * 1 0 0 1 0 1 1 023 * 1 1 0 1 1 1 1 124 * 1 * 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 125 * * 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 026 * * 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 127 * * * 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Schemata Schemata representados por representados por um indivduoum indivduo

Um indivduo representa 2L schemata. Para cada uma das L posies de um indivduo, define-se

um schema diferente, usando o smbolo presente no indivduo ou o smbolo .

Exemplo: 0 1 0 representa os seguintes schemata:0 1 0 1 00 00 1 0 1 0

Porque utilizar Porque utilizar schemaschema?? Porque considerar (K+1) L ao invs de considerar apenas KL

indivduos? John Holland procurou mostrar com schemata, o paralelismo da

busca atravs do espao de solues. H mais informaes nos schemata para guiar a busca do que

simplesmente nos indivduos. Numa populao de n indivduos, onde cada indivduo representa 2L

schemata, h entre 2L e n.2L schemata, dependendo da diversidade da populao.

J. Holland mostrou que o nmero de schemata processados a cada gerao proporcional a n3

Paralelismo Implcito um GA processa n3 schemata em paralelo, enquanto avalia n indivduos.

Teorema Fundamental de GATeorema Fundamental de GA

Schemata permitem analizar o efeito global da reproduo e dos operadores genticos.

Efeito da SeleoEfeito da Seleo

Efeito do Efeito do CrossoverCrossover

Efeito da MutaoEfeito da Mutao

Efeito da SeleoEfeito da Seleo

Seja m(H,t)m(H,t) o nmero de representantes do schema H na populao no ciclo t.

Sabemos que, ppi i = = ffii / / ffjj a probabilidade do cromossoma i ser escolhido.

Ento, o nmero esperado de representantes de H no ciclo seguinte (t+1) :

m(H, t+1) = n . m(H, t+1) = n . iiHH

ffii / / nn

ffjj

Definindo a aptido mdia do schema H, como

f(H) = f(H) = iiH H

ffii / m(H,t) / m(H,t) ento,

m(H, t+1) = m(H, t) . n . f(H)m(H, t+1) = m(H, t) . n . f(H) / / nn

ffjj

Como ffmdiomdio = = nn

ffjj / n / n ento,

m(H, t+1) = m(H, t) . f(H)/ m(H, t+1) = m(H, t) . f(H)/ ffmdiomdio

Analisando podemos dizer que:

1- Schemata com aptido acima da mdia proliferam;

2- Schemata com aptido abaixo da mdia tendem a

desaparecer.

m(H, t+1) = n . m(H, t+1) = n . iiHH

ffii / / nn

ffjj

Taxa de EvoluoTaxa de Evoluo Supondo H acima da mdia de um fator constante C

estacionrio, a partir de t=0:m(H, t+1) = m(H, t) . (m(H, t+1) = m(H, t) . (ffmdiomdio + C.+ C.ffmdiomdio) / ) / ffmdiomdio

m(H, t+1) = m(H, t) . (1+C)m(H, t+1) = m(H, t) . (1+C)

Assim,para qualquer t temos:

m(H, t+1) = m(H, 0) . (1+C)m(H, t+1) = m(H, 0) . (1+C)tt

O nmero ocorrncias nas geraes sucessivas de bons (maus) schemata, cresce (decresce) exponencialmente.

Efeito do Efeito do CrossoverCrossover Ex: AA vai cruzar com outro genitor; o que acontece a HH11 e HH22?

0 1 1 1 0 0 0

* 1 * * * * 0

* * * 1 0 * *

AA

HH11HH22

Ponto de crossover

HH11 ser destrudo e padro no ser transmitido aos descendentes a no ser que par genitor de A possa recuperar padro.

HH22 sobrev iv er e ser transmitido a um dos descendentes.

Probabilidade de DestruioProbabilidade de Destruio

ppdd = = (H) (H) //////// (L(L--1)1) A probabilidade de sobrevivncia de H ,

ppss = 1 = 1 -- (H) (H) //////// (L(L--1)1) Ento, considerando a probabilidade do crossover e

a recuperao de H aps o crossover temos,

ppss 1 1 -- ppcc ..(H) (H) //////// (L(L--1)1) Portanto,

m(H, t+1) m(H, t+1) m(H, t) . f(H) m(H, t) . f(H) //////// ffmdiomdio [1 [1 -- ppcc ..(H) (H) //////// (L(L--1)]1)]

Efeito da MutaoEfeito da Mutao Seja, ppm m a probabilidade de uma posio sofrer

mutao. 11-- ppm m a probabilidade de sobrevivncia. H tem O(H) posies fixas Assim, a probabilidade de sobrevivncia do schema :

(1(1-- ppmm))O(H)O(H)

Sabendo que ppm m 1, ento

(1(1-- ppmm))O(H)O(H) 1 1 -- O(H) . O(H) . ppmm

Teorema Fundamental de GATeorema Fundamental de GA

m(H, t+1) m(H, t+1) m(H, t).f(H) m(H, t).f(H) //////// ffmdiomdio [1[1-- ppcc ..(H) (H) //////// (L(L--1)].[1)].[1 1 --

O(H).O(H).ppmm ]]

Schemata curtos, de baixa ordem e com alta aptido tendem a proliferar nas geraes sucessivas, a uma taxa

exponencial.

Hiptese dos Blocos Hiptese dos Blocos ConstrutoresConstrutores

Assim como uma criana cria grandes castelos empilhando pequenos blocos, um algoritmo gentico

busca desempenho prximo do timo atravs da

justaposio de schemata curtos, de baixa ordem e de alta aptido, ou blocos construtores.

Processando Processando SchemataSchemataNmero P opulao x f(x) P rob. Nmero Result . Pares de Geni tores e Nova Populao x f(x )

I nic ial Inteiro x2 S el eo Descen.Roleta Pontos de Corte Inteiro x2

1 0 1 1 0 1 13 169 0,14 0,58 1 0 1 1 0 | 1 0 1 1 0 0 12 1442 1 1 0 0 0 24 576 0,49 1,97 2 1 1 0 0 | 0 1 1 0 0 1 25 6253 0 1 0 0 0 8 64 0,05 0,22 0 1 1 | 0 0 0 1 1 0 1 1 27 7294 1 0 0 1 1 19 361 0,31 1,23 1 1 0 | 0 1 1 1 0 0 0 0 16 256

S oma 1170 1,00 4,00 4 1754Mdia 293 0,25 1 1 439Mximo 576 0,49 1,97 2 729

P rocessamento de Schemata

Aps ApsSeleo Crossover

com p(H) O(H) Repres. f(H) m(H,t+1) real Repres. m(Ht+1) real Repres.

H1 1 * * * * 0 1 2,4 469 3,2 3 2,3,4 3,2 3 2,3,4H2 * 1 0 * * 1 2 2,3 320 2,18 2 2,3 1,64 2 2,3H3 1 * * * 0 4 2 2 576 1,97 2 2,3 0 1 4

= iH

fi / m(H,t) = m(H, t) . f(H)/ fmdio= m(H, t) . f(H) / fmdio[1 -pc .(H) / (L-1)]

Processando Processando SchemataSchemataNmero P opulao x f(x) P rob. Nmero Result . Pares de Geni tores e Nova Populao x f(x )

I nic ial Inteiro x2 S el eo Descen.Roleta Pontos de Corte Inteiro x2

1 0 1 1 0 1 13 169 0,14 0,58 1 0 1 1 0 | 1 0 1 1 0 0 12 1442 1 1 0 0 0 24 576 0,49 1,97 2 1 1 0 0 | 0 1 1 0 0 1 25 6253 0 1 0 0 0 8 64 0,05 0,22 0 1 1 | 0 0 0 1 1 0 1 1 27 7294 1 0 0 1 1 19 361 0,31 1,23 1 1 0 | 0 1 1 1 0 0 0 0 16 256

S oma 1170 1,00 4,00 4 1754Mdia 293 0,25 1 1 439Mximo 576 0,49 1,97 2 729

P rocessamento de Schemata

Aps ApsSeleo Crossover

com p(H) O(H) Repres. f(H) m(H,t+1) real Repres. m(Ht+1) real Repres.

H1 1 * * * * 0 1 2,4 469 3,2 3 2,3,4 3,2 3 2,3,4H2 * 1 0 * * 1 2 2,3 320 2,18 2 2,3 1,64 2 2,3H3 1 * * * 0 4 2 2 576 1,97 2 2,3 0 1 4

= iH

fi / m(H,t) = m(H, t) . f(H)/ fmdio= m(H, t) . f(H) / fmdio [1 - pc .(H) / (L-1)]

Planilha Fundamentos de GAPlanilha Fundamentos de GA

1 1 1 1 0 0 28 784 0,0953539 0,953539 2 1 1 1 0 0 52 1 1 1 0 0 28 784 0,0953539 0,953539 0 1 1 1 0 0 53 1 1 1 1 0 30 900 0,1094624 1,094624 3 1 1 1 1 0 24 1 1 1 0 1 29 841 0,1022865 1,022865 3 1 1 1 0 0 25 1 1 1 1 0 30 900 0,1094624 1,094624 1 1 1 1 1 0 16 1 1 1 1 0 30 900 0,1094624 1,094624 0 1 1 1 1 0 17 1 1 1 1 0 30 900 0,1094624 1,094624 0 1 1 1 1 0 58 1 1 1 1 0 30 900 0,1094624 1,094624 0 1 1 1 1 0 59 1 0 1 1 1 23 529 0,0643396 0,643396 1 1 1 1 1 0 510 1 1 1 0 0 28 784 0,0953539 0,953539 0 1 1 1 0 0 5

10 10S oma 286 8222 1 10 10Mdia 28,6 822,2 0,1 1 1Mximo 30 900 0,1094624 1,094624 3

P rocessamento de SchemPopulao 10 (at 10)Crossover 0,6 (0 a 1)Mutao 0,08 (0 a 1)Geraes 20

Aps S eleoReal

comp(H) O(H) Representa f(H) m(H,t+1) RepresentantesH1 1 * * * * 0 1 10 {1,2,3,4, 822,2 10,0000001 10 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}H2 * 1 0 * * 1 2 0 {} 0 0 0 {}H3 1 * * * 0 4 2 8 {1,2,3,5,6 856,5 8,33373875 10 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}H4 4 0 0 {} 0 0 0 {}H5 4 0 0 {} 0 0 0 {}

S chemata

NmResult . Roleta

Nm. Descende

Prob. Seleo

Execuo A utomt icax i nteiroP opulao Ini cial f(x ) = x^ 2

Configuraes

Pares de Genitores e P ontos de Corte

Executar

Gerar Pop ulao

No va Ge rao

Crossover

Seleo

Mu tao

Evo lu ir Gera es

Efeito da CardinalidadeEfeito da Cardinalidadex Binrio N o Binrio Aptido

0 0 0 0 0 A 01 0 0 0 1 B 12 0 0 1 0 C 43 0 0 1 1 D 94 0 1 0 0 E 165 0 1 0 1 F 256 0 1 1 0 G 367 0 1 1 1 H 498 1 0 0 0 I 649 1 0 0 1 J 8110 1 0 1 0 K 10011 1 0 1 1 L 12112 1 1 0 0 M 14413 1 1 0 1 N 16914 1 1 1 0 O 19615 1 1 1 1 P 225

Espa o 16 16Cardinalida de 2 16Sche mata 81 17

ConclusesConcluses

GA explora similaridades em codificaes arbitrrias atravs de schema.

A codificao binria simples e eficiente, oferecendo o nmero mximo de schemata, porm nem sempre adequada.

A representao de cromossomas fundamental para o desempenho de um GA.

Princpios de Escolha da Princpios de Escolha da RepresentaoRepresentao

Representatividade deve representar todo o espao de busca relevante ao

problema Schemata

deve prestigiar a formao de schemata curtos e de baixa ordem

Alfabeto deve util izar um alfabeto mnimo que permita a expresso

natural do problema