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SME0812 Modelos Lineares
Algumas distribuições de probabilidade úteis
Prof. Cibele Russo
23 de abril de 2015 1 / 21
Distribuições de probabilidade centrais
23 de abril de 2015 2 / 21
Distribuição qui-quadrado
A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado com n graus deliberdade (n � 1 inteiro) se sua função densidade de probabilidades édada por
f (u) =1
Γ(n2 )2n=2
u(n�2)=2e�u=2; 0 < u <1;
com Γ(a) =
∫1
0xa�1e�xdx , a > 0 e Γ(a + 1) = aΓ(a).
Para n inteiro, Γ(n + 1) = n!
Notação: U � �2n.
23 de abril de 2015 3 / 21
Distribuição qui-quadrado
Função geradora de momentos: mu(t) = E(etu) = (1� 2t)�n=2.
Momentos:E(U) = n Var(U) = 2n
E(U2) = n(n + 2) E(
1U
)=
1n � 2
; n > 2
E(U1=2) = 212 Γ(n+1
2 )Γ(n2 ) E
(1
U2
)=
1(n � 2)(n � 4)
; n > 4
E(U�1=2) =Γ(n�1
2 )p
2Γ(n2 )
23 de abril de 2015 4 / 21
Distribuição qui-quadrado
Exemplo: Função densidade de probabilidade de U � �23:
>curve(dchisq(x, df = 3),0,20)
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
x
dchi
sq(x
, df =
3)
23 de abril de 2015 5 / 21
Distribuição t-Student
Se Z � N(0; 1) e U � �2n são variáveis aleatórias independentes,
entãoT =
Z√Un
tem distribuição t-Student com n graus de liberdade. A funçãodensidade de probabilidades de T é dada por
f (t) =Γ(n+1
2 )
Γ(n2 )p
n�
(1 +
t2
n
)�( n+12 )
; �1 < t <1:
Notação: T � tn.
23 de abril de 2015 6 / 21
Distribuição t-Student
Função geradora de momentos: não existe.
Momentos:E(T ) = 0 para n > 1
Var(T ) =n
n � 2para n > 2
23 de abril de 2015 7 / 21
Distribuição t-Student
Exemplo: Função densidade de probabilidade de T � t4:>curve(dt(x, df=4),-4,4)
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
x
dt(x
, df =
4)
23 de abril de 2015 8 / 21
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais que U1 � �2n1
eU2 � �2
n2. Então
W =
U1
n1U2
n2
tem distribuição F de Snedecor,
com n1 graus de liberdade no numerador e n2 graus de liberdade nodenominador. A função densidade de probabilidades de W é dada por
f (w) =Γ(n1+n2
2 )
Γ(n12 )Γ(n2
2 )
nn1=21 nn2=2
2 w (n1�2)=2
(n2 + wn1)(n1+n2)=2; w > 0:
Notação: W � Fn1;n2 .
23 de abril de 2015 9 / 21
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Função geradora de momentos: não existe.
Momentos:E(W ) =
n2
n2 � 2para n2 > 2.
Var(W ) =2n2
2(n1 + n2 � 2)
n1(n2 � 2)2(n2 � 4)para n2 > 4.
E(W 2) =n2
2(n1 + 2)
n1(n2 � 2)(n2 � 4)para n2 > 4.
23 de abril de 2015 10 / 21
Distribuição F de Fisher-Snedecor
Exemplo: Função densidade de probabilidade de W � F3;4:>curve(df(x, 3, 4),0,10)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
df(x
, 3, 4
)
23 de abril de 2015 11 / 21
Distribuições de probabilidade não centrais
23 de abril de 2015 12 / 21
Distribuição qui-quadrado não central
A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado não central com ngraus de liberdade (n � 1 inteiro) e parâmetro de não centralidade �se sua função densidade de probabilidades é dada por
f (u) = e��1∑
k=0
�k
k !
u(n+2k�2)=2e�u=2
Γ(n+2k2 )2(n+2k)=2
; 0 < u <1
Notação: U � �2n;�.
Obs: Define-se �k = 1 para � = 0; k = 0. Para � = 0, esta densidadese reduz à da variável aleatória com distribuição �2
n.
23 de abril de 2015 13 / 21
Distribuição qui-quadrado não central
Função geradora de momentos:mu(t) = E(etu) = (1� 2t)�n=2e��[1�(1�2t)�1].
Momentos:E(U) = n + 2�.Var(U) = 2(n + 4�).
Resultado: Se U1 e U2 são variáveis aleatórias independentes, comU1 � �2
n1;�1e U2 � �2
n2;�2então U1 + U2 � �2
n1+n2;�1+�2.
23 de abril de 2015 14 / 21
Distribuição qui-quadrado não central
Função geradora de momentos:mu(t) = E(etu) = (1� 2t)�n=2e��[1�(1�2t)�1].
Momentos:E(U) = n + 2�.Var(U) = 2(n + 4�).
Resultado: Se U1 e U2 são variáveis aleatórias independentes, comU1 � �2
n1;�1e U2 � �2
n2;�2então U1 + U2 � �2
n1+n2;�1+�2.
23 de abril de 2015 14 / 21
Distribuição qui-quadrado não central
Exemplo: Função densidade de probabilidade de U � �23;2:
>curve(dchisq(x, df=3, ncp = 2),0,20)
0 5 10 15 20
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
x
dchi
sq(x
, df =
3, n
cp =
2)
23 de abril de 2015 15 / 21
Distribuição F não central
Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais que U1 � �2n1;�
e U2 � �2n2
. Então
W =
U1
n1U2
n2
tem distribuição F não central,
com n1 graus de liberdade no numerador, n2 graus de liberdade nodenominador e parâmetro de não centralidade �. A função densidadede probabilidades de W é dada por
f (w) =
1∑k=0
e���k
k !
Γ(n1+n2+2k2 )
Γ(n1+2k2 )Γ(n2
2 )
n(n1+2k)=21 nn2=2
2 w (n1+2k�2)=2
(n2 + wn1)(n1+n2+2k)=2; w > 0:
Notação: W � Fn1;n2;�.23 de abril de 2015 16 / 21
Distribuição F não central
Obs: Para � = 0, esta densidade se reduz à da variável aleatória comdistribuição Fn1;n2 .
Momentos:E(W ) =
n2
n2 � 2
(1 +
2�n1
)para n2 > 2.
Var(W ) =2n2
2
n21(n2 � 2)
[(n1 + 2�)2
(n2 � 2)(n2 � 4)+
(n1 + 4�)
(n2 � 4)
]para n2 > 4.
23 de abril de 2015 17 / 21
Distribuição F não-central
Exemplo: Função densidade de probabilidade de W � F3;4;2:>curve(df(x, 3, 4, ncp=2),0,10)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
x
df(x
, 3, 4
, ncp
= 2
)
23 de abril de 2015 18 / 21
Distribuição t-Student não central
Se X � N(�; 1) e U � �2n são variáveis aleatórias independentes,
entãoT � =
X√Un
tem distribuição t de Student não central, com n graus de liberdade eparâmetro de não centralidade �. A função densidade deprobabilidades de T � é dada por
f (t) =nn=2e��2=2
Γ(n2 )(n + t2)(n+1)=2
1∑k=0
Γ(n+k+12 )�k2k=2tk
k !(n + t2)k=2:
Notação: T � � tn;�.
23 de abril de 2015 19 / 21
Distribuição t-Student não-central
Exemplo: Função densidade de probabilidade de T � t4;2:>curve(dt(x, df=1, ncp=2),-4,4)
−4 −2 0 2 4
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
x
dt(x
, df =
1, n
cp =
2)
23 de abril de 2015 20 / 21
Distribuição F não central dupla
Sejam U1 e U2 variáveis aleatórias independentes tais queU1 � �2
n1;�1e U2 � �2
n2;�2. Então
W =
U1
n1U2
n2
tem distribuição F não central dupla,
com n1 graus de liberdade no numerador, n2 graus de liberdade nodenominador e parâmetros de não centralidade �1 e �2. A funçãodensidade de probabilidades de W pode ser consultada em [?].Notação: W � Fn1;n2;�1;�2 .
23 de abril de 2015 21 / 21