Upload
ita
View
77
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 3
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcic
c
c
c
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
c
c
c
c
adalah 2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 4
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 6
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor dengan arah
Jika k > 0 searah dengan Jika k < 0 berlawanan arah dengan
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 7
Scaling
PP
P’P’
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 8
321 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 9
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 10
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana
: panjang
: panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 11
Ilustrasi dot product vektor A dan B
cosBABA
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 12
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2
182
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
222
21 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 16
Proyeksi Ortogonal
Karena
aproyc b
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bbk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2b
bak
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 17
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
3
4
2
u
4
3
1
v
bb
baaoyb 2Pr
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 18
Jawab :
4
3
1
4
3
1
26
26
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(31
4
3
1
3
4
2
Pr
222
2 vv
vuuoyv
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 19
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBB
AAA
kji
BxAC
kBB
AAj
BB
AAi
BB
AA ˆˆˆ21
21
31
31
32
32
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
BxAC
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 21
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuu
kji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103
221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j)2(31.1 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 22
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c. 2222vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222vuvuvu
222cos vuvu
22222cos vuvu
222cos1 vu
222sin vu
sin, vuvxuJadi
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu2
1segitigaLuas
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 25
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)
AB
AC
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541
223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
10016942
1Luas
2732
1
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 27
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322
223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA2
11001694
2
1
2732
1
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 28
Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut : a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
2
1u
8
6v
7
3
1
u
2
2
8
v
1
2a
2
3b
3
1
2
a
2
2
1
b
21/04/23 00:30 MA-1223 Aljabar Linear 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
2
3u
1
3
7
u
4
0
2
v