ALJABAR LINEAR ELEMENTER –

VEKTOR RUANG N EULIDIS

Kelompok 5Vina Muthmainna Rianto

Ainur Rahmi

Mutiara Saparina

Uun Walyanda

Fahrurrazi

JURUSAN PMIPA PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS TANJUNGPURA

PONTIANAK

2013/2014

RUANG – RUANG VECTOR

RUANG-N EUCLIDIS

Definisi : jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tupel)

adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1,a2,………,an). himpunan semua tupe-n-terorde dinamakan

ruang-n dan dinyatakan dengan Rn .

Bila n=2 atau 3, maka kita biasanya menggunakan istilah pasangan terorde dan tripel terorde

dan bukannya tupelo-2-terorde dan tupelo-3-terorde. Bila n=1, setiap tupel-n-terorde terdiri dari satu

bilangan riil, sehingga R1 dapat ditinjau sebagai himpunan bilangan riil. Kita biasanya menuliskan R

dan bukannya R1 untuk himpunan ini.

Definisi: dua vector u = (u1,u2,…..,un) dan v = (v1,v2,….,vn) pada Rn dinamakan sama jika :

Jumlah u + v didefinisikan oleh:

dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh:

Operasi –operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada definisi ini disebut operasi standar pada Rn.

Vektor nol pada Rn dinotasikan dengan 0 dan didefinisikan sebagai vektor:

Jika u = (u1, u2, ….. ,un) adalah suatu vektor sebarang pada Rn, maka bentuk negatif (atau invers

penjumlahan) dari u dinotasikan dengan –u dan didefinisikan sebagai:

Selisih (difference) dari vektor-vektor pada Rn didefinisikan sebagai:

Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang berdimensi n

Teorema 1. Jika u = (u1,u2,…..,un) , v = (v1,v2,….,vn) dan w = (w1, w2,…..,wn) adalah vector-vektor

pada Rn dan k serta l adalah scalar, maka :

u1 = v1, u2 = v2, …..,un = vn

u + v = (u1 + v1, u2 + v2,….,un + vn)

ku = (ku1, ku2,…..kun)

0 = (0, 0, ........., 0)

-u = (-u1, -u2, ….., -un)

v – u = v + (-u)

v – u = (v1 – u1, v2 – u2, ..., vn - un)

1. u + v = v + u

2. u + (v + w) = (u + v) + w

3. u + 0 = 0 + u = u

4. u + (-u) = 0, yakni u – u = 0

5. k (lu) = (kl) u

6. k(u + v) = ku + kv

7. (k + l)u = ku + lu

8. 1u = u

Bukti:

1. u + v = (u1, u2, ..., un) + (v1, v2, ..., vn)= (u1 + v1), (u2 + v2), ...., (un + vn)= (v1 + u1), (v2 + u2), ...., (vn + un)= (v1, v2, ..., vn) + (u1, u2, ..., un)= v + u(Terbukti)

2. u + (v + w)= (u1, u2, ..., un) + ((v1, v2, ..., vn) + (w1, w2, ..., wn))= (u1, u2, ..., un) + (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)= (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), ..., un + (vn + wn))= ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, ..., (un + vn) + wn)= ((u1, u2, ..., un + v1, v2, ..., vn) + (w1, w2, ..., wn))= (u + v) + w(Terbukti)

3. u + 0 = (u1, u2, ..., un) + (0, 0, ..., 0)= (u1 + 0, u2 + 0, ..., un + 0)= (0 + u1, 0 + u2, ..., 0 + un)= (0, 0, ..., 0) + (u1, u2, ..., un)= 0 + u(Terbukti)

4. u + (-u) = (u1, u2, ..., un) + (-u1, -u2, ..., -un)= (u1 + (-u1), u2 + (-u2), ..., un + (-un))= (u1 - u1, u2 - u2, ..., un - un)= (0, 0, ..., 0)

(-u) + u = (-u1, -u2, ..., -un) + (u1, u2, ..., un)= ((-u1) + u1, (-u2) + u2, ..., (-un) + un)= (u1 + (-u1), u2 + (-u2), ..., un + (-un))= (u1 - u1, u2 - u2, ..., un - un) = (0, 0, ..., 0)(Terbukti)

5. k (lu) = k ( l (u1, u2, ..., un)= k (lu1, lu2, ..., lun)= (kl u1, kl u2, ..., kl un)

= kl (u1, u2, ..., un)= (kl) u(Terbukti)

6. k (u + v) = k ((u1, u2, ..., un) + (v1, v2, ..., vn))= k ((u1 + v1), (u2 + v2), ...., (un + vn))= (k (u1 + v1), k (u2 + v2), ...., k (un + vn))= k (u1, u2, ..., un) + k (v1, v2, ..., vn)= k u + k v(Terbukti)

7. (k + l) u = (k + l) ((u1, u2, ..., un))= ((k + l) u1, (k + l) u2, ..., (k + l) un)= ((k u1 + l u1), (k u2 + l u2), (k un + l un))= k (u1, u2, ..., un) + l (u1, u2, ..., un)= k u + l u(Terbukti)

8. 1 u = 1 ((u1, u2, ..., un))= ((1(u1), (1(u2), ..., (1(un))= (u1, u2, ..., un)= u(Terbukti)