Aljabar Linier Nilai Eigen

7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen

1/14

MODUL VII

NILAI EGIEN DAN

VEKTOR EIGEN

Prayudi STT

PLN

1


2/14

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2

Nilai Eigen dan Vektor EigenAndaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol xdi dalam n

dikatakan vektor eigen A, jika teda!at skalar taknol

sedemikian ru!a

se"ingga,

Ax#

x

disebut dengan nilai eigen dari A dan xdisebut vektor eigen dari A yangbersesuaian dengan

$

%onto" &

Vektor x# '(,)* adala" vektor eigen dari &

=

(+

-A

yang bersesuaian dengan nilai eigen, # -, karena &

=

=

)

(-

.

-

)

(

(+

-


3/14

Prayudi STT PLN3

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)/ntuk meng"itung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulisla" Ax# x

sebagai,

Ax#

Ix

0

I 1 A2x#

=

$$$

$$$

$$$

$$$$$$$$$$$$

$$$

$$$

$$$

-

)

(

-)(

----)-(

))-)))(

((-()((

nnnnnn

ij

n

n

n

x

x

x

x

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

Agar su!aya

menjadi nilai eigen, maka !enyelesaian sistem

!ersamaan linier diatas "arusla" non trivial, dimana syaratnya adala" &

$$$

2det0

((

( =

=

nnnn ccc

AI


4/14


Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terak"ir adala" !olinomial berderajad n yangdisebut dengan !ersamaan karakteritik A, sedangkan nilai

eigen matrik A adala" akar3akar !ersamaan karakteristik A

0akar3akar !olinomial dalam 2$

Langka"3langka" menentukan nilai eigen dan vektor eigen

matrik A adala" &

0(2 4entuk matrik 0I 1 A20)2 5itung determinan, det0I 1 A2#0-2 Tentukan !ersamaan karakteristik dari, 0I 1 A2 # 062 5itung akar3akar !ersamaan karakteristik 0nilai lamda2

072 5itung vektor eigen dari SPL, 0I 1 A2x#


5/14


%onto"

%arila" nilai eigen dan vektor eigen dari, A #

((

7-

8a9ab

4entuk, I 1 A yaitu &

0I 1 A2 #

+

((

7-

Persamaan karakteristiknya adala" &

det0

I 1 A2 #

21 )

1 + #

Akar3akar !ersamaan karakteristiknya

adala" & 1# 6, dan 2# 1), dan inila"

nilai eigen matrik A$

Vektoreigen xdari A di!erole" dari &

0I 1 A2x#

+

((

7-

=

)

(

x

x

/ntuk # 6, di!erole" SPL

7(

7(=

)

(

x

x

Solusi SPL diatas adala" &

=

=

(

7t

t

t7

x

x

)

(

8adi vektor eigen untuk # 6,

adala" x# '7,(*$ Sedangkan

vektor eigen yang bersesuaiandengan # 1) adala", x# '(,1(*$


6/14


%onto"

%arila" nilai eigen dan vektor eigen dari, A #

-(-

6-

)6(

8a9ab

4entuk, I 1 A yaitu &

0

I 1 A2 #

+

-(-

6-

)6(

Persamaan karakteristiknya adala" &det0I 1 A2 # 31 .2: ((1 . #

Akar3akar !ersamaan karakteristiknya

adala" & 1# (, 2# ), dan 3# -

Vektoreigen xdari A di!erole" dari &

0

I 1 A2x#

+

-(-

6-

)6(

/ntuk # (, di!erole" SPL

)(-

--

)6)

=

x

x

x

-

)

(

=

x

x

x

-

)

(

Solusi SPL diatas adala" &

=

=

(

(

(

t

t

t

t

x

x

x

-

)

(

8adi vektor eigen yang

bersesuaian dengan &

# ( adala" x# '(,(,(* ;

# ) adala" x# '),-,-* ;

# - adala" x# '(,-,6*$


7/14


Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan da!at didiagonalisasi jika terda!at matrik P

yang mem!unyai invers sedemikian ru!a se"ingga, P1AP adala" matrik

diagonal$ Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A$Langka"3langka" menentukan matrik P dan < adala" sebagai berikut &

0(2$ 5itung !ersamaan karakteristik A nilai eigen

0)2$ %arila" n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, !1,!2, $$$ , !n"

0-2$ 4antukla" matrik P # '!1!2# !n* dan "itungla" P

1

062$ 5itung, < # P1AP dengan diagonal utama,1,2, = ,n

%onto" &

=

-(-

6-

)6(

A

Vektor eigen dan nilai eigennya &

# ( adala" x# '(,(,(* ;

# ) adala" x# '),-,-* ;

# - adala" x# '(,-,6*$

=

6-(

--(

()(

P

=

((

)-(

-7-

P (

< # P1AP #

-

)

(


8/14

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen$

%onto"

%arila" nilai eigen, vektor eigen dan matrik

P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

=

7)(

)7(

)))

A

8a9ab

Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen$ Persamaan karakteristik A

di!erole" dari &

det0

I 1 A2 #

Persamaan karakteristiknya adala" & 31 ()2: 671 76 # $ dan akar3

akarnya adala" & 1# 2# -, dan3# .$ Vektoreigen xdari A di!erole" dari

& 0I 1 A2x#

7)(

)7(

)))

=

/ntuk # -, SPL3nya

=

x

x

x

-

)

(

))(

))(

))(

+

=

(

)

s

(

)

t

x

x

x

-

)

(

Solusi SPL3nya adala" & Vektor eigen

!1 # '1) ,(,*

!2# '1) ,,(*


9/14

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen%

/ntuk # ., SPL3nya Solusi SPL3nya adala" & Vektor eigen

()(

)((

))6

=

x

x

x

-

)

(

=

=

(

(

(

t

t

t

t

x

x

x

-

)

(

!3# '1(,(,(*

Matrik P yang mendiagonalisasi A adala" &

P # '!1!2!3* #

((

((

())

=

->)->)->(

->(->)->(

->)->(->(

P (

< # P1AP #

Matrik diagonal

->)->)->(

->(->)->(

->)->(->(

7)(

)7(

)))

((

((

())

=

.

-

-


10/14

Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen1&

Diagonalisasi 'rtogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan da!at didiagonalisasi se?ara ortogonal

jika terda!at matrik P yang ortogonal sedemikian ru!a se"ingga, P1AP

0#PTAP2 adala" matrik diagonal 0elemen matrik < adla" nilai eigen matrikA2$ Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A se?ara ortogonal$

8ika A adala" matrik nxn, maka !ernyataan berikut ekivalen yakni &

0(2$ A da!at didiagonalisasi se?ara ortogonal,

0)2$ A matrik simetris,

0-2$ A mem!unyai "im!unan ortonormal n vektor eigen$

Langka"3langka" menentukan matrik P adala" sebagai berikut &

0(2$ %arila" n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, $$$ , xn$

0)2$ Tera!kan !roses @ram3S?"midt untuk membentuk basis ortonormal,

dari vektor basis !ada langka" 0(2$

0-2$ 4entuk matrik P dari langka" 0)2, yakni P # '!1!2= !n*


11/14


%onto"

%arila" matrik P yang mendiagonalisasikan

matrik A, se?ara ortogonal bilamana

=

())

))(

)()

A

8a9abMenentukan nilai eigen dan vktor eigen A$ Persamaan karakteristik A

di!erole" dari &

det0

I 1 A2 #

())

))(

)()

=

+

Persamaan karakteristiknya adala" & 31 -21 : )B # $ dan akar3akar

atau nilai eigennya adala" & 1# 2# -, dan3# 1-$

Vektoreigen xdari A di!erole" dari & 0

I 1 A2x#

/ntuk # -, SPL3nya

6))

)((

)((

=

x

x

x

-

)

(

Solusi SPL3nya adala" &

+

=

(

)

s

(

(

t

x

x

x

-

)

(

Vektor eigen

x1 # '(,(,*

x2# '1) ,,(*


12/14


/ntuk # ., SPL3nya

)))

)7(

)(7

Solusi SPL3nya adala" &

=

=

)

(

(

t

t)

t

t

x

x

x

-

)

(

=

x

x

x

-

)

(

Vektor eigen

x3# '(,1(,)*

Menentukan P # '!1!2!3*

Meng"itung !1

=== ,)

(,)

()

*,(,('(

((x

x!

Meng"itung !2

!2# 2>C2C, dengan 2# x21 'x2,!1*!1

'x2,!1* # )),

)(,

)(*(,,)' =

'x2,!1*!1# *,(,(',)

(,

)

(

)

)=

2# x21 'x2,!1*!1

# '1),,(* 1 '1(,1(,* # '1(,(,(*

==-

(,-(,

-(

-*(,(,('

)!

Meng"itung !3

!3# 3>C3C, dengan &

3# x31 'x3,!1*!11 'x3,!2*!2

'x3,!1* # ,)

(,

)

(*),(,(' =


13/14


'x3,!1*!1# ',,*

'x3,!2* #

'x3,!2*!2# ',,*

-

(,

-

(,

-

(*),(,(' =

Se"ingga" 3# x3# '(,1(,)*

=

=

.

),

.

(,

.

(

.

*),(,(')!


14/14


=

baaa

abaa

aaba

A

((

((

((

=

(

(

(

baaa

abaa

aaba

A

SDAL3SDAL LATI5ANa$ Tentukan !ersamaan karakteristik, nilai eigen matrik A

b$ Tentukan ve?tor eigen A yang membentuk yang sesuai

dengan nilai eigen A$?$ %arila" matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan

rumus P# 'x1x2# xn*, dan

Documents

Aljabar Linier Nilai Eigen