7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
1/14
MODUL VII
NILAI EGIEN DAN
VEKTOR EIGEN
Prayudi STT
PLN
1
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
2/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen2
Nilai Eigen dan Vektor EigenAndaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol xdi dalam n
dikatakan vektor eigen A, jika teda!at skalar taknol
sedemikian ru!a
se"ingga,
Ax#
x
disebut dengan nilai eigen dari A dan xdisebut vektor eigen dari A yangbersesuaian dengan
$
%onto" &
Vektor x# '(,)* adala" vektor eigen dari &
=
(+
-A
yang bersesuaian dengan nilai eigen, # -, karena &
=
=
)
(-
.
-
)
(
(+
-
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
3/14
Prayudi STT PLN3
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)/ntuk meng"itung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulisla" Ax# x
sebagai,
Ax#
Ix
0
I 1 A2x#
=
$$$
$$$
$$$
$$$$$$$$$$$$
$$$
$$$
$$$
-
)
(
-)(
----)-(
))-)))(
((-()((
nnnnnn
ij
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa
Agar su!aya
menjadi nilai eigen, maka !enyelesaian sistem
!ersamaan linier diatas "arusla" non trivial, dimana syaratnya adala" &
$$$
2det0
((
( =
=
nnnn ccc
AI
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
4/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen4
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terak"ir adala" !olinomial berderajad n yangdisebut dengan !ersamaan karakteritik A, sedangkan nilai
eigen matrik A adala" akar3akar !ersamaan karakteristik A
0akar3akar !olinomial dalam 2$
Langka"3langka" menentukan nilai eigen dan vektor eigen
matrik A adala" &
0(2 4entuk matrik 0I 1 A20)2 5itung determinan, det0I 1 A2#0-2 Tentukan !ersamaan karakteristik dari, 0I 1 A2 # 062 5itung akar3akar !ersamaan karakteristik 0nilai lamda2
072 5itung vektor eigen dari SPL, 0I 1 A2x#
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
5/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen5
%onto"
%arila" nilai eigen dan vektor eigen dari, A #
((
7-
8a9ab
4entuk, I 1 A yaitu &
0I 1 A2 #
+
((
7-
Persamaan karakteristiknya adala" &
det0
I 1 A2 #
21 )
1 + #
Akar3akar !ersamaan karakteristiknya
adala" & 1# 6, dan 2# 1), dan inila"
nilai eigen matrik A$
Vektoreigen xdari A di!erole" dari &
0I 1 A2x#
+
((
7-
=
)
(
x
x
/ntuk # 6, di!erole" SPL
7(
7(=
)
(
x
x
Solusi SPL diatas adala" &
=
=
(
7t
t
t7
x
x
)
(
8adi vektor eigen untuk # 6,
adala" x# '7,(*$ Sedangkan
vektor eigen yang bersesuaiandengan # 1) adala", x# '(,1(*$
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
6/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen6
%onto"
%arila" nilai eigen dan vektor eigen dari, A #
-(-
6-
)6(
8a9ab
4entuk, I 1 A yaitu &
0
I 1 A2 #
+
-(-
6-
)6(
Persamaan karakteristiknya adala" &det0I 1 A2 # 31 .2: ((1 . #
Akar3akar !ersamaan karakteristiknya
adala" & 1# (, 2# ), dan 3# -
Vektoreigen xdari A di!erole" dari &
0
I 1 A2x#
+
-(-
6-
)6(
/ntuk # (, di!erole" SPL
)(-
--
)6)
=
x
x
x
-
)
(
=
x
x
x
-
)
(
Solusi SPL diatas adala" &
=
=
(
(
(
t
t
t
t
x
x
x
-
)
(
8adi vektor eigen yang
bersesuaian dengan &
# ( adala" x# '(,(,(* ;
# ) adala" x# '),-,-* ;
# - adala" x# '(,-,6*$
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
7/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen7
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar A dikatakan da!at didiagonalisasi jika terda!at matrik P
yang mem!unyai invers sedemikian ru!a se"ingga, P1AP adala" matrik
diagonal$ Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A$Langka"3langka" menentukan matrik P dan < adala" sebagai berikut &
0(2$ 5itung !ersamaan karakteristik A nilai eigen
0)2$ %arila" n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, !1,!2, $$$ , !n"
0-2$ 4antukla" matrik P # '!1!2# !n* dan "itungla" P
1
062$ 5itung, < # P1AP dengan diagonal utama,1,2, = ,n
%onto" &
=
-(-
6-
)6(
A
Vektor eigen dan nilai eigennya &
# ( adala" x# '(,(,(* ;
# ) adala" x# '),-,-* ;
# - adala" x# '(,-,6*$
=
6-(
--(
()(
P
=
((
)-(
-7-
P (
< # P1AP #
-
)
(
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
8/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen$
%onto"
%arila" nilai eigen, vektor eigen dan matrik
P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana
=
7)(
)7(
)))
A
8a9ab
Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen$ Persamaan karakteristik A
di!erole" dari &
det0
I 1 A2 #
Persamaan karakteristiknya adala" & 31 ()2: 671 76 # $ dan akar3
akarnya adala" & 1# 2# -, dan3# .$ Vektoreigen xdari A di!erole" dari
& 0I 1 A2x#
7)(
)7(
)))
=
/ntuk # -, SPL3nya
=
x
x
x
-
)
(
))(
))(
))(
+
=
(
)
s
(
)
t
x
x
x
-
)
(
Solusi SPL3nya adala" & Vektor eigen
!1 # '1) ,(,*
!2# '1) ,,(*
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
9/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen%
/ntuk # ., SPL3nya Solusi SPL3nya adala" & Vektor eigen
()(
)((
))6
=
x
x
x
-
)
(
=
=
(
(
(
t
t
t
t
x
x
x
-
)
(
!3# '1(,(,(*
Matrik P yang mendiagonalisasi A adala" &
P # '!1!2!3* #
((
((
())
=
->)->)->(
->(->)->(
->)->(->(
P (
< # P1AP #
Matrik diagonal
->)->)->(
->(->)->(
->)->(->(
7)(
)7(
)))
((
((
())
=
.
-
-
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
10/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen1&
Diagonalisasi 'rtogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan da!at didiagonalisasi se?ara ortogonal
jika terda!at matrik P yang ortogonal sedemikian ru!a se"ingga, P1AP
0#PTAP2 adala" matrik diagonal 0elemen matrik < adla" nilai eigen matrikA2$ Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A se?ara ortogonal$
8ika A adala" matrik nxn, maka !ernyataan berikut ekivalen yakni &
0(2$ A da!at didiagonalisasi se?ara ortogonal,
0)2$ A matrik simetris,
0-2$ A mem!unyai "im!unan ortonormal n vektor eigen$
Langka"3langka" menentukan matrik P adala" sebagai berikut &
0(2$ %arila" n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, $$$ , xn$
0)2$ Tera!kan !roses @ram3S?"midt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis !ada langka" 0(2$
0-2$ 4entuk matrik P dari langka" 0)2, yakni P # '!1!2= !n*
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
11/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen11
%onto"
%arila" matrik P yang mendiagonalisasikan
matrik A, se?ara ortogonal bilamana
=
())
))(
)()
A
8a9abMenentukan nilai eigen dan vktor eigen A$ Persamaan karakteristik A
di!erole" dari &
det0
I 1 A2 #
())
))(
)()
=
+
Persamaan karakteristiknya adala" & 31 -21 : )B # $ dan akar3akar
atau nilai eigennya adala" & 1# 2# -, dan3# 1-$
Vektoreigen xdari A di!erole" dari & 0
I 1 A2x#
/ntuk # -, SPL3nya
6))
)((
)((
=
x
x
x
-
)
(
Solusi SPL3nya adala" &
+
=
(
)
s
(
(
t
x
x
x
-
)
(
Vektor eigen
x1 # '(,(,*
x2# '1) ,,(*
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
12/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen12
/ntuk # ., SPL3nya
)))
)7(
)(7
Solusi SPL3nya adala" &
=
=
)
(
(
t
t)
t
t
x
x
x
-
)
(
=
x
x
x
-
)
(
Vektor eigen
x3# '(,1(,)*
Menentukan P # '!1!2!3*
Meng"itung !1
=== ,)
(,)
()
*,(,('(
((x
x!
Meng"itung !2
!2# 2>C2C, dengan 2# x21 'x2,!1*!1
'x2,!1* # )),
)(,
)(*(,,)' =
'x2,!1*!1# *,(,(',)
(,
)
(
)
)=
2# x21 'x2,!1*!1
# '1),,(* 1 '1(,1(,* # '1(,(,(*
==-
(,-(,
-(
-*(,(,('
)!
Meng"itung !3
!3# 3>C3C, dengan &
3# x31 'x3,!1*!11 'x3,!2*!2
'x3,!1* # ,)
(,
)
(*),(,(' =
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
13/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen13
'x3,!1*!1# ',,*
'x3,!2* #
'x3,!2*!2# ',,*
-
(,
-
(,
-
(*),(,(' =
Se"ingga" 3# x3# '(,1(,)*
=
=
.
),
.
(,
.
(
.
*),(,(')!
7/25/2019 Aljabar Linier Nilai Eigen
14/14
Prayudi STT PLNModul VIII Nilai dan Vektor Eigen14
=
baaa
abaa
aaba
A
((
((
((
=
(
(
(
baaa
abaa
aaba
A
SDAL3SDAL LATI5ANa$ Tentukan !ersamaan karakteristik, nilai eigen matrik A
b$ Tentukan ve?tor eigen A yang membentuk yang sesuai
dengan nilai eigen A$?$ %arila" matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan
rumus P# 'x1x2# xn*, dan