ALJABAR MATRIKSpertemuan 11

Oleh :L1153

Halim Agung,S.Kom

Himpunan Ortonormal

Definisi :Misalkan v1,v2, … , vn adalah vektor – vektor didalam sebuah ruang hasil kali dalam V.Jika (v1,v2) = 0 bilamana i ≠ j , maka {v1,v2, … , vn} dikatakan sebuah himpunan ortogonal dari vektor – vektor.

Contoh :Himpunan {(1,1,1)T , (2,1,-3)T , (4,-5,1)T} adalah himpunan ortogonal yang berada didalam R3 , karena (1,1,1)(2,1,-3)T = 0

(1,1,1)(4,-5,1)T = 0(2,1,-3)(4,-5,1)T = 0

Teorema :Jika {v1,v2, … , vn} adalah himpunan ortogonal dari vektor – vektor taknol yang berada didalam sebuah ruang hasil kali dalam V , maka v1,v2 , … , vn adalah bebas linear

Definisi :Sebuah himpunan ortonormal dari vektor – vektor adalah sebuah himpunan ortogonal dari vektor – vektor satuan.Himpunan {u1,u2, … , un} akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika ˂ui , uj˃= δij

δij = 1 jika i = j = 0 jika i ≠ j

Jika diberikan himpunan ortogonal dari vektor – vektor taknol {v1,v2, … , vn} maka dimungkinkan untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal dengan mendefinisikan untuk i = 1,2, … , n

Contoh :Jika v1 = (1,1,1)T , v2 = (2,1,-3)T , v3 = (4,-5,1)T maka {v1,v2,v3} adalah sebuah himpunan ortogonal didalam R3.Untuk membentuk sebuah himpunan ortonormal , maka

Tvv

u )1,1,1(3

11

1

11

Tvv

u )3,1,2(3

12

2

12

Tvv

u )1,5,4(3

13

3

13

vivi

ui

1

Teorema :Misalkan {u1,u2, … , un} basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V. jika maka ci = (ui,v)

Bukti :

<ui,v> =

Akibat :Misalkan {u1,u2, … , un} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah hasil kali ruang dalam V, jika u = dan v = maka <u,v> =

Akibat :(Rumus Parseval). Jika {u1,u2, … ,un} adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V dan v =

maka

Contoh :Vektor – vektor dan

Membentuk sebuah basis ortonormal untuk R2 . Jika x ϵ R2 , maka dan berdasarkan teorema

diatas maka dan berdasarkan akibat ke 2 maka

n

i

uiciv1

.

n

j

n

j

n

j

cijcjujuicjujcjui1 11

.,.,

n

i

uiai1

.

n

i

uibi1

.

n

i

biai1

.

n

i

uici1

.

n

i

civ1

22

T

u

2

1,

2

11

T

u

2

1,

2

12

2

211

xxuxT

2

212

xxuxT

22

211

2

21u

xxu

xxx

22

222

212

21

2

21xx

xxxxx

Latihan

1. Yang manakah diantara himpunan vektor – vektor ini yang membentuk sebuah basis ortonormal untuk R2?1. {(1,0)T , (0,1)T}2. {(1,-1)T , (1,1)T}3.

4.

2. Misalkan

1. Perlihatkan bahwa {u1,u2,u3} merupakan basis ortonormal untuk R32. Misalkan x = (1,1,1)T . Tuliskan x sebagai contoh kombinasi linear dari u1,u2 dan u3 dengan menggunakan

teorema sebelumnya dan gunakan rumus parseval untuk menghitung ||x||

TT

13

12,

13

5,

5

4,

5

3

TT

2

3,

2

1,

2

1,

2

3

02

12

1

3,

3

13

23

2

2,

23

423

123

1

1 uuu

Proses Ortogonalisasi Gram – Schmidt

Teorema (Proses Gram – Schmidt)Misalkan {x1,x2, … , xn} adalah basis untuk ruang hasil kali dalam V. Misalkan dan definisikan masing – masing u2, … un secara rekursif dengan

untuk k = 1, … , n-1

Dimana

Adalah proyeksi dari xk+1 pada rentang (u1,u2, … , un).

Himpunan (u1,u2, … , un) adalah basis ortonormal untuk V

Teorema (Faktorisasi QR)Jika A adalah sebuah matriks m x n dengan rank n , maka A dapat difaktorkan ke dalam sebuah hasil kali QR, dimana Q adalah sebuah matriks m x n dengan kolom – kolom ortonormal dan R adalah sebuah matriks m x n yang merupakan matriks segitiga atas dan dapat dibalik (invertible)

vivi

ui

1

kkkk

k pxpx

u

1

11

1

kkkkkk uuxuuxuuxp ,...,, 1221111

BuktiMisalkan p1, … pn-1 adalah vektor – vektor proyeksi yang didefinisikan dalam teorema sebelumnya dan misalkan {q1, q2 ,…, qn} adalah basis ortonormal dai R(A) yang dihasilkan dari proses Gram – Schmidt.

Definisikan

Berdasarkan proses Gram – Schmidt maka

Sistem diatas dapat ditulis kembali dalam bentuk

Jika kita tetapkan Q = (q1,q2, … , qn) mendefinisikan R sebagai matriks segitiga atas

nkdankiuntukaqr

dan

nkuntukpar

ar

kTiik

kkkk

,...,21,...,1,.

,...,2,1

111

nkuntukqrqrqraqr

aqr

kkkkkkkkk ,...,2....

.

1,12211

1111

nnnnn qrqra

qrqra

qra

...

.

.

.

11

2221122

1111

nn

n

n

r

rr

rrr

R

...00

...

...0

...

222

11211

Maka kolom ke-j dari hasil kali QR akan menjadi

Oleh karena itu QR = (a1,a2, … , an) = A

ContohHitunglah faktorisasi QR Gram schmidt dari matriks

PenyelesaianLangkah 1. tetapkan

Langkah 2. tetapkan

njuntukaqrqrqrQr jjjjjjj ,...,1.... 2211

004

242

102

121

A

T

ar

q

ar

5

4,

5

2,

5

2,

5

11

5

111

1

111

T

T

T

par

q

par

pa

qqrp

aqr

5

2,

5

4,

5

1,

5

21

4

5

8,

5

16,

5

4,

5

8

2

2

1222

2

1222

12

11121

2112

Langkah 3. tetapkan

Pada setiap langkah kita telah menentukan sebuah kolom dari Q dan sebuah kolom dari R.Pemfaktoran diberikan oleh

200

140

125

5

1

5

2

5

45

2

5

4

5

25

2

5

1

5

25

4

5

2

5

1

QRA

T

T

T

T

par

q

par

qqqrqrp

aqr

aqr

5

1,

5

2,

5

2,

5

41

2

5

2,

5

4,

5

4,

5

8

1

1

2333

3

2333

212231132

3223

3113

Latihan

Hitunglah matriks ini menggunakan faktorisasi Gram - schmidt

011

241

241

411

A

Polinom ortogonal

Definisi Misalkan po(x) , p1(x), … adalah sebuah barisan polinom dengan derajat p i(x)= i untuk setiap i . Jika [pi(x),pj(x)]=0 kalau i ≠ j , maka [pn(x)] disebut sebagai sebuah barisan polinom ortogonal. Jika ( p i , pj )= δij . Maka [pn(x)] disebut sebagai sebuah barisan polinom ortonormal.

TeoremaJika po,p1 ,… adalah barisan polinom ortogonal , makai. Po , … , pn-1 membentuk sebuah basis untuk pn

ii. pn ϵ pn┴ ( yaitu pn ortogonal ke setiap polinom yang berderajat kurang dari n)

LatihanAda 4 polinom ortogonal yang dikenal secara umum , yaitu polinom legendre , polinom tchebycheff , polinom jacobi , polinom hermite dan polinom laguerre.

Carilah salah satu dari polinom tersebut yang menurut anda mudah dipahami dan buatlah 2 soal dan jawaban dari polinom yang anda temukan