SEISMOLOGI TEORITIS

Bab 3. Teori Elastisitas (tensor, stress, strain, dsb)3.1. Aljabar Tensor3.1.1 Skalar

Skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai satu nilai saja. Sebagai contoh adalah massa, panjang, waktu, volume, luas, dsb yang semuanya hanya mempunyai besar saja. Skalar dinotasikan dengan huruf tanpa indeks yang berupa huruf (kalau angka boleh) misalnya m untuk massa, L untuk panjang, v0 untuk kecepatan awal, dan v2 untuk kecepatan pada saat 2 sekon (indeks berupa angka), dsb.3.1.2. Vektor

Vektor adalah besaran yang nilainya dinyatakan dengan set 3 nilai atau angka (triad number) yang independent satu sama lain. Dengan kata lain vektor mempunyai besar dan arah, yang dalam koordinat kartesian dapat diuraikan menjadi 3 komponen nilai ke tiga arah yang berbeda. Sebagai contoh besaran vektor adalah perpindahan atau pergeseran (displacement), kecepatan, dan percepatan, yang kesemuanya mempunyai besar dan arah.

Vektor dinotasikan dengan huruf dengan indeks berupa 1 huruf, misalnya ui untuk perpindahan, vj untuk kecepatan, akuntuk percepatan, dsb.

Secara matematis vektor ui dapat dinyatakan sebagai:

,

dengan u1, u2, dan u3 adalah komponen-komponen ui pada sumbu 1, sumbu 2, dan sumbu 3 (atau sb x, sb y, dan sb z, tapi ini tidak dipakai karena tidak sesuai dengan simbul vektor).3.1.3. Tensor

Tensor adalah besaran yang nilainya ditentukan dengan set 9 nilai yang indipendent satu sama lain. Contoh yang paling mudah untuk besaran tensor adalah stress. Stres adalah gaya yang bekerja pada suatu bidang per satuan luas. Gaya tersebut dapat bekerja secara tegak lurus bidang (gaya normal) atau sejajar bidang (gaya geser). Dalam suatu sistem koordinat, bidang sebarang dapat diuraikan menjadi 3 komponen bidang, misal bidang 1, 2, dan 3 (yz, xz dan xy). Sementara itu gaya dapat diuraikan menjadi 3 komponen, misal f1, f2, dan f3. Oleh karena itu setiap stress dapat diuraikan menjadi 9 komponen yang independen satu sama lain. Dengan demikian tensor dapat dinotasikan sebagai 1 huruf dengan dengan 2 indeks berupa huruf yang berbeda, misalnya pij dan bersama komponen-komponenya dapat dituliskan sebagai:

(1)

Dalam hal ini indeks depan menunjukkan arah gaya penyebab stress dan indeks belakang menunjukkan bidang dimana p bekerja. Jadi p21 berarti komponen p kearah sumbu 2 (atau sumbu y) pada bidang 1 (bidang yang tegak lurus sumbu 1 atau bidang yz).

3.1.4. Orde suatu tensor

Istilah tensor biasanya dihubungkan dengan besaran yang nilainya ditentukan set 9 data independen seperti halnya stress, yang dinotasikan dengan pij (huruf dengan indeks 2 huruf yang biasanya dipakai untuk simbul bilangan bulat, seperti: i, j, k, l, m, dan n).

Tetapi, besaran-besaran skalar, vektor dan tensor nampaknya mempunyai urutan orde tertentu, sehingga semua besaran tersebut dapat disebut sebagai tensor dengan orde tertentu, yaitu:

Skalar a adalah tensor orde 0, Vektor ai adalah tensor orde 1, Tensor aij adalah tensor orde 2,

Tensor aijk adalah tensor orde 3, dst.

Jadi tensor orde 3 aijk adalah besaran yang nilainya ditentukan oleh set 27 nilai yang independent satu sama lain, yang sulit dituliskan diatas 1 lembar kertas (2 dimensi), tapi masih dapat dituliskan diatas susunan 3 lembar kertas (3 dimensi).

Tensor orde 4 aijkl yang besarnya ditentukan oleh set 81 nilai tentu lebih sulit lagi untuk dituliskan karena keterbatasan dimensi ruang yang hanya sampai dengan 3.3.1.5. Indeks bebas dan indeks dummy

Indeks i, j, k, l, dst yang dipakai dalam notasi tensor: ai, aij, aijk, dst disebut sebagai indeks bebas (free indices), karena i, j, k, l independent satu sama lain dan bebas pemilihannya (pemakaiannya). Dengan demikian indeks ini tidak akan muncul 2 kali (misal aiik) untuk menampilkan suatu tensor.

Sedang indeks dummy yang dinotasikan dengan dobel index, misalnya aii, xjj, dsb, dalam aljabar tensor mempunyai arti yang sangat penting, yaitu untuk menyingkat penulisan ekspresi matematis tertentu yang terlalu panjang. Indeks dummy dapat didefinisikan secara lengkap dari persamaan-persamaam matematis berikut:

,

(2)

,

(3)dan

.

(4)Persamaan (2) dan (3) menunjukkan pemakaian index dummy dapat diubah secara bebas dan sembarang.

3.1.6. Rotasi koordinat

Rotasi koordinat adalah transformasi koordinat yang paling sederhana, menjadi koordinat baru arah sumbunya berbeda, namun titik asalnya tetap. Dengan demikian sumbu-sumbu baru adalah sumbu-sumbu lama yang yang berotasi dengan sudut tertentu. Rotasi koordinat akan memberikan komponen-komponen vector maupun tensor pada koordinat baru, yang nilainya dapat ditentukan dari nilai-nilainya pada koordinat lama dan sudut-sudut rotasi masing-masing sumbunya.3.1.6.1. Rotasi koordinat untuk vektor

Contoh yang paling mudah adalah rotasi koordinat vector pergeseran pada suatu bidang datar (vector 2 dimensi), seperti yang terlihat pada gambar 3.1a.2 2

2 2 x2

1

x1

1 x2

1

1

x1

3

3Gambar 3.1. Rotasi koordinat: a). Rotasi koordinat pada 1 bidang datar,dan b). Rotasi koordinat dalam ruang 3 dimensi (yang lebih umum).Pada gambar tersebut, x1 adalah komponen pergeseran kearah sumbu 1 dan x2 adalah pergeseran kearah sumbu 2. Bila sumbu koordinat diputar (rotasi) sesudut tertentu, maka nilai komponen pergeseran ke arah sumbu-sumbu baru adalah:

(5)dan

,

(6)dengan , dst adalah sudut yang oleh sumbu 1 dan, 2 dan, dst.

Untuk selanjutnya digunakan istilah cosinus arah (direction cosinus), yaitu:

(7)

Bila ketentuan pada persamaan (5), (6), dan (7) diterapkan pada rotasi koordinat yang lebih umum yaitu dalam ruang 3 dimensi (gambar 3.1 b), maka komponen vector pada arah sumbu-sumbu baru adalah:

,

(8)

,

(9)dan

.

(10)Tiga persamaan (8), (9), dan (10) dapat disingkat menjadi satu persamaan yang sangat kompak yaitu:

(11)

3.1.6.2. Rotasi koordinat untuk tensor

Andaikan komponen-komponen tensor pij pada suatu sistem koordinat dengan sumbu-sumbu 1, 2, 3, adalah p11, p12, p13, p21, p22, p23, p31, p32, dan p33. Berpakah nilai komponen-komponen tensor tersebut pada sistem koordinat baru dengan sumbu-sumbu , hasil rotasi koordinat dengan sumbu 1, 2, 3. Komponen tensor dalam koordinat dapat dihitung dari nilai komponen tensor pada koordinat lama dan sudut-sudut rotasi sumbu koordinatnya. Sebagai contoh, untuk menghitung komponen tensor yang baru , harus dicari dulu 3 nilai komponen tensor kearah 1' pada bidang yang tegak lurus sumbu 1, 2, dan 3, yaitu:

,

(12)

,

(13)dan

.

(14)Selanjutnya dapat dihitung dari persamaan (12), (13), dan (14), melalui hubungan:

atau:

(15)atau:

(16)

Catatan: Persamaan (16) terdiri dari 9 suku, karena komponen stress pada sumbu lama ada 9 komponen. Untuk memudahkan mengingatnya, setiap suku pada persamaan (16) selalu mengandung 2 cosinus arah a dengan indeks 1' dan 2', sedang indeksnya yang lain sama dengan indeks komponen tensor lamanya.

Persamaan (16) dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan menjadi:

(17)

Pada persamaan (17) indeks i dan j tertulis 2 kali, sedang indeks 1' dan 2' hanya tertulis 1 kali. Oleh karena itu, sesuai dengan perjanjian penggunaan indeks dobel (dummy indeks), maka persamaan (17) dapat ditulis menjadi:

(18)

Secara lebih umum, yaitu untuk komponen tensor baru dengan indeks sembarang k' dan l', berdasar persamaan (18) dapat dituliskan hubungan:

(19)Persamaan (19) adalah persamaan yang sangat kompak, yang melukiskan 9 persamaan untuk untuk komponen-komponen tensor yang baru, yang masing-masing persamaannya terdiri dari 9 suku.

3.1.7. Tensor-tensor khusus

3.1.7.1. Kronecker delta

Kronecker delta, yang dituliskan dengan simbul (ij adalah tensor orde 2 yang nilai komponen-komponennya adalah 0, kecuali komponen diagonalnya yang bernilai 1. Secara matematis, (ij dapat dituliskan sebagai:

(20)atau dalam ekspresi matriks adalah:

(21)

Sifat-sifat substitusi kronecker delta yang berkaitan dengan vektor dan tensor antara lain adalah:

(22)

dan

,

(23)

3.1.7.2. Alternating tensor

Ini adalah tensor order 3, yang disimbolkan dengan (ijk, dengan nilai komponen-komponennya adalah (1, 0, dan 1, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai:

(24)3.1.7.3. Tensor simetris dan antisimetris

Dalam hal ini hanya khusus untuk tensor orde 2. Yang dimaksud dengan tensor simetris adalah tensor yang nilai-nilai komponennya, Tij simetris terhadap diagonalnya, atau secara matematis berlaku relasi:

(25)

Contoh tensor simetris adalah:

(26)

Tensor antisimetris tensor yang nilai-nilai komponennya antisimetris terhadap diagonalnya, sehingga berlaku relasi:

,

(27)

yang berarti komponen diagonalnya harus sama dengan 0. Contoh tensor antisimetris adalah:

(28)

3.1.7.4. Theorema

Theorema 1: Setiap tensor orde 2 sembarang, Tij dapat diuraikan/dituliskan menjadi sebuah tensor simetris dan sebuah tensor antisimetris, yaitu:

(29) Theorema 2: Jika tensor Tij adalah simetris pada suatu sistem koordinat, maka tensor tersebut akan tetap simetris dalam rotasi sistem koordinat baru oleh rotasi koordinat, atau:

(30)

Kontraksi tensor: Sebuah tensor dikatakan dikontraksi, jika salah satu indeks bebasnya diset sama dengan yang lain. Sebagai contohnya Tij menjadi Tii, yang dapat dituliskan sebagai:

,

(31)

yang berupa suatu skalar. Jadi kontraksi sebuah tensor akan mengurangi orde tensor tersebut dengan 2 (misal dari tensor orde 2 menjadi vektor).

_1266388406.unknown

_1266398918.unknown

_1266460900.unknown

_1266463924.unknown

_1266805578.unknown

_1266806575.unknown

_1266807210.unknown

_1266807793.unknown

_1266805849.unknown

_1266464715.unknown

_1266464560.unknown

_1266463448.unknown

_1266463524.unknown

_1266462291.unknown

_1266400731.unknown

_1266460511.unknown

_1266399639.unknown

_1266394828.unknown

_1266395100.unknown

_1266395501.unknown

_1266394892.unknown

_1266394709.unknown

_1266394793.unknown

_1266389498.unknown

_1266390698.unknown

_1266377825.unknown

_1266378896.unknown

_1266379737.unknown

_1266380152.unknown

_1266379637.unknown

_1266378308.unknown

_1266378358.unknown

_1266378100.unknown

_1266321488.unknown

_1266321643.unknown

_1266377620.unknown

_1266321576.unknown

_1265856501.unknown

_1265856646.unknown

_1265567789.unknown