Ampliació de Matemàtiques Tema 1. Integrals dobles i triples1.1 Integrals doblesDe nici o d’integral doble Observacions I La integral de nida d’una funci o negativa z= f(x;y)

Ampliacio de MatematiquesTema 1. Integrals dobles i triples

Lali BarriereDepartament de Matematiques - UPC

Enginyeria de Sistemes AeroespacialsEnginyeria d’Aeroports

Enginyeria d’AeronavegacioEETAC

Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 1 / 26

Continguts

Continguts

1.1 Integrals doblesDefinicio d’integral dobleIntegracio iteradaCanvi de variables per a integrals doblesIntegrals dobles en coordenades polars

1.2 Integrals triplesDefinicio d’integral tripleRegions elementals a R3

Canvi de variables per a integrals triplesIntegrals triples en coordenades cilındriquesIntegrals triples en coordenades esferiques


1.1 Integrals dobles Definicio d’integral doble

1.1 Integrals doblesIntegrals definides en dues variablesDefinicio. f : R2 −→ R i un recinte D ⊆ R2, amb f(x, y) ≥ 0 per a(x, y) ∈ D. La integral definida de f sobre D es defineix com el volum dela regio de l’espai entre el pla XY i la superfıcie z = f(x, y) per sobre de D.

D


1.1 Integrals dobles Definicio d’integral doble

Observacions

I La integral definida d’una funcio negativa z = f(x, y) sobre unrecinte D ⊆ R2 es defineix equivalentment i te signe negatiu.

I Si f no mante el signe constant en D, aleshores el resultat de laintegral sobre D ja no es un volum.

I La integral doble d’una funcio sobre un recinte podria no existir. Noes demana tenir en compte els problemes d’existencia o no existenciade les integrals, en aquest curs.

I Les integrals de funcions de dues variables es calculen fent duesintegrals en una variable. Es per aixo que tambe s’anomenen integralsdobles.

I Els lımits d’integracio d’una integral doble han de descriure el recinted’integracio on es calcula la integral. Aquesta es la principal dificultatassociada al calcul d’integrals dobles.


1.1 Integrals dobles Integracio iterada

Intervals de R2

Un interval del pla es un recinte D de la forma:

D = [a, b]× [c, d] es a dir (x, y) ∈ D ⇐⇒{a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d

En la representacio grafica del recinte:

I inclourem l’eix Z, si necessitem veure punts de l’espai,

I o representarem nomes el pla XY , si nomes volem fixar-nos en elrecinte D.

D

x

y

a

c

d

bD

x

y

z

a

c d

b

Les integrals sobre intervals son les mes senzilles de calcular.



Integrals sobre intervals (I)

I El volum es la integral de l’area de les seccions per plans verticalsparal·lels, seguint la direccio de l’eix X o la de l’eix Y .

I L’area es una funcio d’una de les dues variables:I Fent seccio per plans en la direccio de l’eix y, l’area depen de x.I Fent seccio per plans en la direccio de l’eix x, l’area depen de y.

x

a

c

d

b

x

a

c

d

b

y



1. Seccions per plans paral·lels a l’eix y

x

a

c

d

bx

y

V =

∫∫Df(x, y) dx dy =

∫ b

aA(x) dx

∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx

I La primera integral (la de dins) es resol suposant x constant.

I El resultat depen de x, i no conte y.

I Els lımits d’integracio ens diuen: a ≤ x ≤ b i c ≤ y ≤ d.

I L’ordre de les integrals ens indica de quina manera hem cobert totsels punts del recinte.



2. Seccions per plans paral·lels a l’eix x

x

a

c

d

b

y

x

y

V =

∫∫Df(x, y) dx dy =

∫ d

cA(y) dy =

∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy

I La primera integral (la de dins) es resol suposant y constant.

I El resultat depen de y, i no conte x.

I Els lımits d’integracio ens diuen: c ≤ y ≤ d i a ≤ x ≤ b.I L’ordre de les integrals ens indica de quina manera hem cobert tots

els punts del recinte.



Integrals sobre intervals (II)

I Propietat. Si D = [a, b]× [c, d]∫∫Df(x, y) dx dy =

∫ b

aA(x)dx =

∫ b

a

(∫ d

cf(x = ct, y)dy

)dx

=

∫ d

cA(y)dy =

∫ d

c

(∫ b

af(x, y = ct)dx

)dy

I Propietat. Si D = [a, b]× [c, d] i f(x, y) = g(x)h(y), aleshores∫∫Df(x, y)dx dy =

(∫ b

ag(x)dx

)(∫ d

ch(y)dy

)Cal anar molt en compte en aplicar aquesta propietat!!!



Recintes elementals d’integracio: tipus y-simple

(x, y) ∈ D1 ⇐⇒{

a ≤ x ≤ bφ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)

Aleshores:∫∫D1

f(x, y)dx dy =

∫ b

a

(∫ φ2(x)

φ1(x)f(x, y)dy

)dx



Recintes elementals d’integracio: tipus x-simple

(x, y) ∈ D2 ⇐⇒{

c ≤ y ≤ dϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)

Aleshores: ∫∫D2

f(x, y)dx dy =

∫ d

c

(∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)f(x, y)dx

)dy



ObservacionsI Hi ha recintes que son a la vegada de tipus y-simple i x-simple.I Integracio en recintes no elementals: si un recinte D es pot escriure

com D = D1 ∪D2, de tal manera que D1 ∩D2 = ∅ o be nomes estoquen a la frontera, aleshores∫∫

Df(x, y)dx dy =

∫∫D1

f(x, y)dx dy +

∫∫D2

f(x, y)dx dy

I Notacio:∫ b

a

(∫ φ2(x)

φ1(x)f(x, y)dy

)dx =

∫ b

adx

∫ φ2(x)

φ1(x)dy f(x, y)

∫ d

c

(∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)f(x, y)dx

)dy =

∫ d

cdy

∫ ϕ2(y)

ϕ1(y)dx f(x, y)

I Quan s’integra sobre un interval es poden calcular les integrals enqualsevol dels dos ordres.Quan el recinte no es un interval el canvi d’ordre no es immediat!!!



Aplicacions al calcul d’arees i volums

I Area d’un recinteSigui D ⊂ R2. Aleshores:

Area (D) =

∫∫D1 · dx dy u2

I Volum entre dues superfıciesSigui D ⊆ R2 i les superfıcies z = f(x, y) i z = g(x, y), ambf(x, y) ≥ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ D, o be f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x, y) ∈ D.Aleshores, el volum entre f i g sobre D ve donat per:

V =

∣∣∣∣∫∫D(f(x, y)− g(x, y))dx dy

∣∣∣∣ u3

Cal assegurar-se que f(x, y)− g(x, y) no canvia de signe!!!


1.1 Integrals dobles Canvi de variables per a integrals dobles

Teorema del canvi de variables per a integrals dobles

Si D i D∗ son dues regions de R2, i podem transformar D∗ en D per unatransformacio

T : R2 −→ R2

(u, v) −→ (x, y)

C1 i bijectiva, amb jacobia no nul aleshores:∫∫Df(x, y) dx dy =

∫∫D∗f(x(u, v), y(u, v)) · |JT | · du dv

on JT denota el jacobia de T , es a dir, el determinant de la matriu dederivades parcials de T :

JT =∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 14 / 26

1.1 Integrals dobles Canvi de variables per a integrals dobles

Observacions

I Un canvi de variables es una transformacio de R2 a R2, que permetescriure les integrals dobles en funcio de noves variables per tal desimplificar-ne el calcul.

I T es de classe C1 si existeixen les (quatre) derivades parcials de T ison contınues.

I T es bijectiva entre D∗ i D si a cada punt de D li corresponexactament un punt de D∗.

I Es important recordar que en el canvi de variables, el diferencial esmultiplica pel valor absolut del jacobia de T .


1.1 Integrals dobles Integrals dobles en coordenades polars

Coordenades cartesianes i coordenades polars

θ

ry

x{x = r cos θy = r sin θ

}⇔{r =

√x2 + y2 ≥ 0

θ = arctan( yx

)(+π si x < 0)

}Podem expressar corbes del pla tant en cartesianes com en polars:

F (x, y) = 0⇐⇒ F (r cos θ, r sin θ) = 0⇐⇒ G(r, θ) = 0

G(r, θ) = 0⇐⇒ G(√x2 + y2, arctan

(yx

)) = 0⇐⇒ F (x, y) = 0

Donada la funcio f(x, y), es clar que:

f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) = g(r, θ)Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 16 / 26


Calcul d’integrals dobles en coordenades polars

I Si D ve donat en coordenades polars, i f es una funcio de r i θ:∫∫Df(r, θ) dr dθ

es calcula de la mateixa manera que les integrals dobles encoordenades cartesianes.

I En la integral

∫ b

a

∫ d

cf(r, θ) dθ dr el recinte es el conjunt de punts

que compleixen a ≤ r ≤ b i c ≤ θ ≤ d:

r = a r = b

θ = c

θ = d

0



Canvi de cartesianes a polars en integrals dobles (I)

x = r cos θy = r sin θ

}⇒ J =

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣ = r

El producte dels diferencials de x i de y s’anomena diferencial desuperfıcie: dS = dx dy.



Canvi de cartesianes a polars en integrals dobles (II)

I Si DC representa un recinte en coordenades cartesianes DP el mateixrecinte en coordenades polars, aleshores:∫∫

DC

f(x, y)dx dy =

∫∫DP

f(r cos θ, r sin θ) · r · dr dθ

I Aixı, per al calcul d’arees tenim que:

Area(D) =

∫∫DP

r · dr dθ u2

I D’altra banda, el volum entre z = 0 i z = g(r, θ) ≥ 0 per sobre deDP es:

V =

∫∫DP

g(r, θ) · r · dr dθ u3


1.2 Integrals triples Definicio d’integral triple

1.2 Integrals triplesIntegrals definides en tres variables sobre un interval

Definicio. Si f : R3 −→ R i V = [a, b]× [c, d]× [p, q], la integral definidade f sobre V es calcula:∫∫∫

Vf(x, y, z) dx dy dz =

∫ b

a

(∫ d

c

(∫ q

pf(x, y, z)dz

)dy

)dx =

=

∫ b

adx

∫ d

cdy

∫ q

pdz f(x, y, z)

Observacio La integral sobre un rectangle es pot calcular en qualsevolordre.

En les integrals triples, no podem representar graficament la funcio.A mes, els recintes d’integracio son volums, que a vegades son difıcils devisualitzar.


1.2 Integrals triples Definicio d’integral triple

Interpretacio fısica de la integral triple

I Si V ⊂ R3 es una volum qualsevol i f : V ⊂ R3 −→ R es la densitatde massa, aleshores la integral de f sobre V es la massa de V :

M =

∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz

I Si f(x, y, z) = 1, la integral ens dona el volum de V :

vol(V ) =

∫∫∫Vdx dy dz

A vegades ens pot interessar abreviar: dx dy dz = dV , i l’anomenemdiferencial del volum.


1.2 Integrals triples Regions elementals a R3

Regions elementals a R3 (I)

Un volum V es una regio elemental (o simple) si es compleix:

I Una coordenada esta entre dos valors constants.

I Una altra coordenada esta entre dues funcions de la primera.

I La tercera coordenada esta entre dues funcions de les dues primeres.

Exemple: tipus 1. La coordenada z esta entre dues funcions de lescoordenades x i y.

I Cas 1:

V = {(x, y, z)|a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), γ1(x, y) ≤ z ≤ γ2(x, y)}

llavors:∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ γ2(x,y)

γ1(x,y)f(x, y, z) dz dy dx


1.2 Integrals triples Regions elementals a R3

Regions elementals a R3 (II)

I Cas 2:

V = {(x, y, z)|c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y), γ1(x, y) ≤ z ≤ γ2(x, y)}

llavors:∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz =

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

∫ γ2(x,y)

γ1(x,y)f(x, y, z) dz dx dy

I Tipus 2: Analeg al tipus 1, intercanviant x per z.

I Tipus 3: Analeg al tipus 1, intercanviant y per z.

I Tipus 4: Volums que son alhora de tipus 1, 2 i 3.


1.2 Integrals triples Canvi de variables per a integrals triples

Teorema del canvi de variables per a integrals triplesSi V i V ∗ son dues regions de R3, i podem transformar V ∗ en V per T

T : R3 −→ R3

(u, v, w) −→ (x, y, z)

C1 i bijectiva, amb jacobia no nul aleshores:∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz =

=

∫∫∫V ∗f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) · |JT | · du dv dw

on JT denota el jacobia de T , es a dir, el determinant de la matriu dederivades parcials de T :

JT =∂(x, y, z)

∂(u, v, w)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

∂w∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 24 / 26

1.2 Integrals triples Integrals triples en coordenades cilındriques

Integrals triples en coordenades cilındriques

∂(x, y, z)

∂(r, θ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂x

∂z∂y

∂r

∂y

∂θ

∂y

∂z∂z

∂r

∂z

∂θ

∂z

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0

sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= r

∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫Vcil

f(r, θ, z) · r · dr dθ dz

R3 = {(r, θ, ϕ) | r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, −∞ ≤ z ≤ +∞}Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 25 / 26

1.2 Integrals triples Integrals triples en coordenades esferiques

Integrals triples en coordenades esferiques

∂(x, y, z)

∂(r, θ, ϕ)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sinϕ cos θ −r sinϕ sin θ r cosϕ cos θ

sinϕ sin θ r sinϕ cos θ r cosϕ sin θ

cosϕ 0 −r sinϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= r2 sinϕ

∫∫∫Vf(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∫Vesf

f(r, θ, ϕ) · r2 sinϕ · dr dθ dϕ

R3 = {(r, θ, ϕ) | r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π}Ampliacio de Matematiques Tema 1. Integrals dobles i triples 26 / 26

Documents

Ampliació de Matemàtiques Tema 1. Integrals dobles i triples1.1 Integrals doblesDe nici o d’integral doble Observacions I La integral de nida d’una funci o negativa z= f(x;y)