Analisis del campo de velocidades alrededor de un

vortice en fluidos viscosos

Francisco Blancofmblanco@live.com.ar

Juan Manuel Perez Ipinajmperezipinia@gmail.com

Sabrina Zacarıassabrinamzacarias@gmail.com

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad de Buenos Aires

7 de julio de 2015

Resumen

En este trabajo se presenta un metodo alternativo al utilizado por grupos anteriores para estudiarel campo de velocidades alrededor de un vortice. Se uso polvo blanco perlado para representar lastrayectorias de las partıculas de fluido y se utilizo la tecnica PIV para recolectar los datos. Serepitio el experimento a distintas viscosidades para ver la aplicabilidad de los modelos de Rankiney Burgers. Se encontro que bajo nuestras limitaciones tecnicas, el modelo de Burgers ajusto conmayor confianza en todos los casos. Tambien se caracterizo el perfil del vortice y se ajusto con unafuncion encontrada en la bibliografıa, obteniendo un R2 = 0, 99.

1. Introduccion

El objetivo del trabajo es presentar una for-ma alternativa para caracterizar un fluido visco-so en presencia de un vortice. Para analizar elcampo de velocidades, grupos anteriores utiliza-ron el siguiente metodo experimental: filmabanuna partıcula de telgopor de aproximadamente0.5 cm de diametro y analizaban los cuadros dela filmacion con un programa escrito por alum-nos del curso en Matlab [1]. Para lograr un buencontraste se pintaba la bola de negro y se mez-claba el agua con leche en polvo.

Se decidio encarar el experimento desde unanueva perspectiva ya que el metodo anteriortenıa algunos problemas. En primer lugar, noera posible analizar el campo de velocidades delas partıculas de fluido sino que se estudiaba elmovimiento de un partıcula fısica de dimensio-nes no despreciables. Es decir que no podıa con-siderarse que los datos obtenidos representaranfielmente el campo de velocidades. Por otro lado,cuando la partıcula se hallaba cerca del vorticeresultaba imposible seguirla por la camara debi-do a la velocidad adquirida en esa zona. Ademas,al llegar al centro del vortice, la partıcula caıadentro de este, por lo que faltaban datos en laszonas de mayor importancia.

Por esto, se busco un metodo de analisis deimagenes alternativo. En la siguiente seccion seexplica como funciona este nuevo acercamientoal estudio de la vorticidad.

1.1. Particle Image Velocimetry

El Particle Image Velocimetry (PIV) es unmetodo capaz de calcular magnitudes tıpicas deun fluido como el campo de velocidades o lavorticidad. Este consiste en filmar el flujo es-tudiado y analizar la evolucion de cada cuadrode la filmacion. Para hacer esto correctamentees necesario utilizar partıculas trazadoras cuyomovimiento se asemeje al de una partıcula defluido. Ademas, es necesario filmar el flujo estu-diado con una velocidad de disparo y resolucionen pıxeles adecuada para obtener datos con pre-cision tanto temporal como espacial. Tambienpuede ser necesario utilizar algun pigmento pa-ra mejorar el contraste entre las partıculas tra-zadoras y el fluido. Es fundamental que todosestos elementos no cambien las propiedades delfluido.

Para analizar las filmaciones se utilizo un pro-grama de Matlab llamado PIVlab [2]. Este pro-grama divide cada cuadro de la filmacion en zo-nas mas pequenas y realiza la correlacion cru-

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zada de cada una de estas con las del cuadroposterior. De esta forma determina la velocidadde las partıculas de fluido. Para mas informacionver el apendice del PIVlab en la seccion 4.

1.2. Vortices

La vorticidad es una magnitud que cuantificala rotacion local de una partıcula de fluido alre-dedor de su propio eje. Formalmente esta defi-nida como

w = ~∇× ~u (1)

donde ~u es el campo de velocidades del flui-do. La ecuacion de Navier-Stokes que describela dinamica de un fluido de viscosidad ν , estadada por

D~w

Dt= ~w.~∇~u+ ν∇2 ~w (2)

En particular seran de interes dos modelos quedescriben el campo de velocidades de un fluido:el modelo de Rankine y el modelo de Burgers.

El modelo de Rankine [3] supone que la vor-ticidad se encuentra uniformemente distribuidaen un cilindro de radio c centrado en el eje delvortice y que el fluido es ideal, es decir, de vis-cosidad nula. Si se utilizan coordenadas polares(r, θ, z) centradas en el eje de rotacion del vorti-ce (eje z), la velocidad tangencial del fluido essolo funcion de la distancia radial a dicho eje yla vorticidad:

vθ(r) =

Ωr si r < cΩc2

r si r > c(3)

Siendo c el radio del vortice y Ω es una cons-tante. Las componentes radiales y azimutalesson nulas.

En este caso, la vorticidad toma la forma deuna funcion escalon

w =

Ω si r < c

0 si r > c(4)

Por otro lado, el modelo de Burgers [4] descri-be fluidos reales (es decir, con viscosidad ν > 0).En este caso, las componentes de las velocidadesestan dadas por:

vr(r) = −2ν

c2r

vθ(r) =Ωc2

r

(1− e−

r2

c2

)vz(z) =

4ν

c2z

(5)

Un grafico de ambas funciones puede verse enla figura 1. Puede observarse que en Burgers(lınea continua) la velocidad varıa mas suave-mente con el radio, mientras que en Rankine(lınea punteada) el cambio es muy abrupto.

Figura 1: Curvas caracterısticas del mode-lo de Rankine y de Burgers

En cuanto a la vorticidad, esta adquiere laforma

w =αΓ

4πνe

−αr24ν ez (6)

Donde α es una constante y Γ = πc2Ω es lacirculacion de la velocidad.

En este trabajo se analizaron las componen-tes tangenciales de la velocidad ajustando conambos modelos para compararlos.

Luego se analizo la forma del vortice, el cualcorresponde a uno libre estacionario [5], el cualpuede modelizarse segun la ecuacion

z(r) = z∞ −w0c

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2gr2(7)

Donde z∞ corresponde a la altura del fluidolejos del eje de rotacion; w0 es la velocidad angu-lar que genera el buzo en el fluido; c es el radiocaracterıstico del vortice y g es la aceleracion dela gravedad.

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2. Dispositivo experimental

Un esquema del dispositivo experimental uti-lizado se puede observar en la figura 2. Se uti-lizo un agitador magnetico Decalab-FBR, el cualactua sobre una barra imantada (buzo) dentrode un recipiente de 14, 5cm de diametro conagua. Cabe destacar que es preferible usar unrecipiente lo mas ancho posible para despreciarlos efectos de borde. La dimension del recipien-te utilizado en nuestra experiencia fue suficientepara considerarlos despreciables.

Luego el buzo comienza a girar con una fre-cuencia regulable con el agitador y esto provocala generacion de un vortice en el fluido. A 30cmde la superficie del fluido se ubico una camaraweb de 24fps con la cual se filmo el experimen-to. Las filmaciones se adquirieron con el progra-ma Image Acquisition de Matlab; luego fuerontransformadas a imagenes utilizando el progra-ma Image J y finalmente estas fueron analizadascon el programa PIVlab para Matlab.

Figura 2: Esquema del dispositivo experi-mental.

Las partıculas de fluido se simularon utilizan-do pigmento perlado blanco marca Van Rossum.Este polvo tiene la particularidad de reflejar laluz de forma tal que, al filmar, hacer un segui-miento de las partıculas resulta muy facil. Paramejorar el contraste entre estas partıculas bri-llantes y el fluido se busco algun pigmento ne-gro que, de acuerdo a lo expresado en la seccion1.1, no alterara las propiedades del sistema. Paraesto se utilizo anilina negra, tambien Van Ros-

sum. Es importante destacar que grupos ante-riores utilizaban tinta china, la cual tiene aceitesen su composicion y puede alterar las propieda-des del fluido, como la tension superficial o lahomogeneidad del lıquido.

Se utilizo agua destilada como lıquido de basey se agrego glicerina para aumentar la viscosi-dad, de acuerdo a lo tabulado en tablas [6]. Estaeleccion se debio a que no se sabıa como se ibaa comportar el agua comun dada su concentra-cion en sales y su mayor viscosidad. Otro aspec-to importante para el montaje experimental esla iluminacion. El polvo utilizado funciona biencomo particula de fluido solo si hay una bue-na iluminacion para detectarlo. Por otro lado,una iluminacion excesiva o mal distribuida pue-de generar reflejos indeseados en el fluido quereducen las zonas de analisis. Por ultimo, en to-do momento se utilizaron frecuencias tales quela superficie libre del fluido pudiera considerarseaproximadamente plana.

Se analizaron imagenes provenientes de flui-dos con diferente viscosidad (en todos los casosse trato de agua mezclada con diferentes propor-ciones de glicerina) y a cada uno de estos fluidosse los sometio a cuatro velocidades diferentes delbuzo. Debido a la baja resolucion temporal dela camara (24fps) y a que la mınima velocidadadquirida por el fluido debido al movimiento delbuzo no era captada correctamente, no se pudorealizar una medicion solo con agua en el reci-piente. Se aconseja utilizar una camara de mayorresolucion para poder trabajar a altas velocida-des y evitar esta clase de inconveniente.

Luego se analizo el perfil de un vortice ubi-cando la camara en la posicion lateral, como seobserva en el esquema. Para esta experiencia seutilizo agua destilada, libre de pigmentos y demicropartıculas. Se tomaron los perfiles de vorti-ces generados a distintas frecuencias del buzo yse los analizo con el programa Grabit [7].

3. Resultados y analisis

3.1. Baja viscosidad

Debido a las limitaciones tecnicas comentadasen la seccion 2 se debio usar una muestra deagua con 30 % de glicerina, como fluido de menor

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viscosidad. Esto corresponde a una viscosidadcinematica de ν = 3, 2mm

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s [6].

Con esta viscosidad, se uso el agitador a lamenor frecuencia apreciable y se filmo el movi-miento de las ’partıculas de fluıdo’. Se analiza-ron los datos en el PIVlab y se extrajeron ciertosgraficos de interes. En la figura 3 se observa lavelocidad tangencial en funcion del radio paraeste regimen.

Figura 3: Ajuste de Rankine para baja vis-cosidad.

Sobre estos datos se ajusto con el modelo deRankine segun la ecuacion 3, devolviendo unR2 = 0, 88. Se tomo la mınima division del dis-positivo experimental como error, es decir, setomo la longitud de un pixel (0,024cm) comoerror para las distancias y el tiempo entre doscuadros contiguos de la filmacion (41,6ms) co-mo error para los tiempos. Estos errores son losque se tomaron para el resto de los graficos. Sedecidio no graficarlos para no dificultar la visua-lizacion de los datos.

Como puede verse en la figura, el ajuste nofue satisfactorio. Por eso se decidio ajustar conBurgers, bajo la hipotesis de que quizas el fluidoera demasiado viscoso para poder utilizar el mo-delo ideal de Rankine. Los resultados se puedenobservar en la figura 4.

Figura 4: Ajuste de Burgers para baja vis-cosidad.

Este ajuste dio un R2 = 0, 95, por lo que setiene mas confianza en este que en el anterior.Esto puede deberse a que Rankine no tiene encuenta la viscosidad, que es un problema ya quese trabajo con un porcentaje de glicerina no des-preciable. Sin embargo, por lo que se explico an-teriormente no se podıa armar una muestra me-nos viscosa para corroborar esta hipotesis.

Tambien se analizaron datos de la vorticidaden el fluido. En la figura 5 se puede ver la vorti-cidad en un esquema de intensidad por colores,y en la figura 6 un grafico de la vorticidad enfuncion del radio.

Figura 5: Vorticidad en el fluido, a bajaviscosidad.

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Figura 6: Vorticidad en funcion del radiopara baja viscosidad.

En la figura 5 se puede ver como la vorticidadesta fuertemente localizada en el centro (la ubi-cacion del vortice) lo cual esta en concordanciacon el modelo teorico de Rankine. Sin embar-go, como puede verse en la figura 6 la vorticidadno se distribuye como una funcion escalon. Poresto, se decidio ajustar por el modelo de Bur-gers (ecuacion 6) obteniendose un R2 = 0, 99 yun ancho de (1, 01± 0, 02)cm. Esto es coherentecon lo dicho anteriormente sobre las limitacionesdel modelo de Rankine.

Por otro lado, se intento caracterizar la de-pendencia de los parametros del flujo con la fre-cuencia de giro del buzo. Para esto se grafico lavelocidad en funcion del radio para distintas fre-cuencias (siempre con la misma viscosidad). Losresultados pueden verse en la figura 7

Figura 7: Velocidad en funcion del ra-dio para distintas frecuencias del agitadormagnetico.

Como puede verse en la figura anterior, tantola velocidad maxima como el radio caracterısticodel vortice crecen a medida que se aumenta lafrecuencia de giro.

3.2. Alta viscosidad

Luego se hizo una medicion a alta viscosi-dad, con 50 % de glicerina, lo que correspondea ν = 7, 3mm

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s [4]. Nuevamente se realizo unamedicion a baja frecuencia para graficar la velo-cidad tangencial en funcion del radio. Los resul-tados se observan en la figura 8.

Figura 8: Ajuste de Burgers para alta vis-cosidad.

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Los datos se ajustaron por el modelo de Bur-gers dando un R2 = 0, 98. En este grafico puedeverse como la velocidad varıa mas suavementeque en el de baja viscosidad. Es decir que el mo-delo de Burgers ajusta mejor a medida que laviscosidad aumenta.

Nuevamente se recolectaron datos de la vor-ticidad en el fluido, y como funcion del radio,como se observa en la figuras 9 y 10.

Figura 9: Vorticidad en el fluido, a altaviscosidad.

Figura 10: Vorticidad en funcion del radiopara alta viscosidad.

En la figura 9 puede verse como la vorticidadse encuentra mucho menos localizada que en elfluido de baja viscosidad. Esto puede deberse,como se vio en la seccion 1.2, al hecho de que en

los fluidos viscosos la vorticidad se distribuye deforma gaussiana alrededor del eje de rotacion.

Se ajusto la vorticidad en funcion del radiopor la ecuacion 6. Los datos ajustaron con unR2 = 0, 98 y un ancho de (1, 98± 0, 03)cm. Esteancho es el doble que en caso de baja viscosidad.Esto puede deberse al hecho de que a medidaque la viscosidad baja, la vorticidad se localizamas dentro del radio predicho por el modelo deRankine.

3.3. Perfil del vortice

Tambien se filmo el perfil del vortice para versi la funcion encontrada en la bibliografıa cita-da ajustaba a la forma encontrada. Se analiza-ron algunos frames individuales con un codigode Matlab [7]. En las figuras 11 y 12 se observauna imagen del video y su respectivo analisis dedatos.

Figura 11: Frame individual de la filma-cion del perfil del vortice.

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Laboratorio 5 • Junio de 2015 • Conclusiones

Figura 12: Analisis del perfil del vortice.

Los datos fueron ajustados con la ecuacion 7.El ajuste devolvio un R2 = 0, 99, por lo que seconcluye que se tiene confianza en que el modelopropuesto ajusta los datos.

4. Conclusiones

Comparando con trabajos anteriores que hi-cieron uso de la tecnica del telgopor, se encontroque este metodo es mucho mas eficiente y ofre-ce resultados mas satisfactorios. Principalmenteporque se pudo analizar el campo de velocidadespara radios pequenos, es decir, cerca del vortice(donde la pelota de telgopor caıa antes de daruna vuelta). Ademas de poder obtener un per-fil de velocidades completo, el uso del progra-ma PIVlab permite extraer informacion sobre lavorticidad del flujo, lo que resultaba imposibleen tecnicas anteriores.

Se pudo analizar el campo de velocidades al-rededor del vortice para distintas viscosidades.Debido a limitaciones tecnicas, se cree que nofueron alcanzadas las condiciones ideales paraaplicar el modelo de Rankine. Por esta razon secree que el modelo de Burgers ajusto ambos ex-perimentos con mayor confianza. Esto se vio tan-to en las velocidades como en las vorticidades.Sin embargo, sı se pudieron ver cualitativamen-te los efectos de haber aumentado la viscosidad.

Principalmente la velocidad en funcion del radiose suavizo y el vortice se deslocalizo.

Se pudo caracterizar el perfil del vortice yajustar por la funcion encontrada en la biblio-grafıa. Este ajuste otorgo un R2 = 0, 99, por loque se tiene confianza en que el modelo ajustalos datos recolectados.

Apendice: PIVlab

PIVlab es un programa de Digital ParticleImage Velocimetry (DPIV). Un Analisis DPIVconsiste principalmente en tres pasos: Pre-procesamiento de imagenes, analisis de imagenesy post-procesamiento.

El Pre-procesamiento consiste en determinarel area de interes de las imagenes. En la figura 13se puede ver como se descartaron las zonas don-de no habıa fluido o simplemente habıa brillosindeseados. En el post-procesamiento, en cam-bio, se filtran los resultados insatisfactorios y sepuede realizar un tratamiento estadıstico de losdatos para obtener valores medios.

Figura 13: Captura del funcionamiento delprograma PIVlab.

La parte mas importante del analisis DPIVes el analisis de las imagenes. Para realizarlose utiliza un algoritmo de correlacion cruzada.Se crean pequenas sub-imagenes en un par deimagenes (dos cuadros contiguos de la filmacion)y se realiza la correlacion entre cada una de ellaspara obtener el desplazamiento mas probable decada partıcula de fluido.

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Laboratorio 5 • Junio de 2015 • REFERENCIAS

La correlacion cruzada es una tecnica es-tadıstica de busqueda de patrones que intentaencontrar la ”forma”de las partıculas en la sub-imagen A de vuelta en la sub-imagen B. Estatecnica es implementada con la funcion de co-rrelacion cruzada discreta:

C(m,n) =∑i

∑j

A(i, j)B(i−m, j − n) (8)

Donde A y B son las sub-imagenes correspon-dientes a las imagenes A y B de la filmacion ylos indices i y j representan a la sub-imagen enla i-esima fila y en la j-esima columna.

La ubicacion del pico en la matriz de corre-lacion resultante C da el desplazamiento masprobable de particulas de A a B.

5. Referencias

[1] Barlari, Martın; Perez Ipina, Ignacio (2015):Medicion del campo de velocidades tangen-cial de un vortice en un medio cilındrico yestudio de su superficie libre. Laboratorio V,FCEN, UBA.

[2] Thielicke, W. and Stamhuis, E.J. (2014):PIVlab – Towards User-friendly, Affordableand Accurate Digital Particle Image Veloci-metry in MATLAB.

[3] James A. Fay (1998): Introduction to fluidmechanics. MIT: segunda edicion. p. 495.

[4] G.K. Batchelor (1973): An introduction tofluid dynamics. Cambridge. p.173.

[5] F.J. Manjon, J.M. Villalba et al (2013):Vortices no estacionarios en un vaso deagua. Revista Brasilera de Ensino de Fısica- vol.35. p. 5. (2013)

[6] J.B. Segur y H.E. Obserstar. Viscosity ofGlycerol and its aqueous solutions Ind. Eng.Chem., 1951, 43 (9)

[7] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/7173-grabit

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