Analisis Matematico en Variable Compleja

Gerardo Rossini

Introduccion

La asignatura Matematicas Especiales I de la Facultad de Ciencias Exactas,UNLP, contiene el estudio del Analisis Matematico en Variable Compleja y algunasde sus aplicaciones. El curso tiene entre sus objetivos

brindar los contenidos tecnicos del analisis de variable compleja, en parti-cular de las llamadas funciones analıticas.establecer un marco integral de los conceptos de analisis matematico, in-cluyendo los cursos correlativos anteriores y proyectandolos hacia casos masgenerales que la variable compleja.establecer un lenguaje logico riguroso para formalizar la demostracion deresultados del analisis matematico.brindar algunas aplicaciones a la solucion de problemas planteados en va-riable real.

El reglamento de cursada y examen final es el siguiente:

Se evalua el curso por temas. Se divide el curso en dos partes, con cuatrotemas cada una. Para aprobar la cursada se deben aprobar al menos trestemas de cada parte.Por cada parte tomamos un pre-parcial (con dos temas), un parcial com-pleto y un recuperatorio. Para cerrar, habra una fecha flotante para quieneshayan aprobado al menos cuatro temas entre los ocho planteados.Finales: durante un ano a partir del flotante se tomara practica solo de lostemas no aprobados durante la cursada, y teorıa. Luego, practica y teorıacompletas.

Bibliografıa

R.V.Churchill, J.W.Brown y R.F.Verhey, Variables complejas y sus aplica-ciones, McGraw Hill, New York, 1970.I. Stewart, D. Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, London,1983.L.V.Alfohrs, Analisis Complejo: introduccion a la teorıa de funciones analıticas,McGraw Hill, New York, 1979.M. R. Spiegel, Variable Compleja, (Serie Schaum), Mc Graw Hill, NewYork.

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Capıtulo 1

El plano complejo

1.1. Numeros complejos

Los numeros complejos se construyen como

(1.1.1) C =(R2,+, ∗

),

es decir pares ordenados de reales (x, y) con una suma y un producto definidos por

(1.1.2) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

(1.1.3) (x1, y1) ∗ (x2, y2) = (x1x2 − y1y2,+x1y2 + y1x2).

La suma y el producto son cerrados en C.La suma es asociativa, conmutativa, existe el elemento neutro (0, 0) y para

cada complejo (x, y) existe y es unico el opuesto −(x, y) = (−x,−y). Por estaspropiedades C =

(R2,+

)forma un grupo abeliano.

El producto es asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma, existeel elemento neutro (1, 0) y para cada complejo (x, y) 6= (0, 0) existe y es unico elinverso multiplicativo (x, y)−1 = (x/(x2 +y2),−y/(x2 +y2)). Por estas propiedadesC =

(R2,+, ∗

)forma un cuerpo. Como en todo cuerpo, la resta se define como la

suma del opuesto, y el cociente se define como la multiplicacion por el inverso.El subconjunto de los numeros complejos

(1.1.4) R = (x, 0) : x ∈ R

es cerrado ante la suma, resta, multiplicacion y division

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),

−(x1, 0) = (−x1, 0),

(x1, 0) ∗ (x2, 0) = (x1x2, 0),

(x1, 0)−1 = (x−11 , 0),

se corresponde biunıvocamente con R y respeta sus operaciones. Por esto se iden-tifica R ≡ R y se considera a los numeros reales como subconjunto de los numeroscomplejos, R ⊂ C. Se anota

x = (x, 0) ∈ R ⊂ C.

En particular, 0 = (0, 0).La multiplicacion de un real α por un complejo (x, y) resulta, segun 1.1.3,

α(x, y) = (αx, αy).

En consecuencia C, con la suma de complejos y el producto por reales, tiene es-tructura de espacio vectorial de dimension 2 sobre R, naturalmente isomorfo a R2.

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1.2. MODULO Y ARGUMENTO 5

La base canonica se anota

1 = (1, 0),

i = (0, 1),

por lo cual todo complejo z = (x, y) puede escribirse en forma binomica

z = x+ iy.

El numero complejo i tiene la conocida particularidad i2 = −1, que permitecalcular raıces cuadradas de reales negativos.

1.1.1. Conjugacion. Se define el conjugado de un complejo z = x+iy como

z = x− iy.

Geometricamente expresa la reflexion respecto del eje real. Permite escribir

Re(z) =1

2(z + z) ,

Im(z) =1

2(z − z) ,

z−1 =z

zz,

donde zz ∈ R.

1.2. Modulo y argumento

Los numeros complejos se grafican en el plano C = R2, y se pueden visualizartanto como puntos como por vectores. La suma y el producto por reales se debenvisualizar como las correspondientes operaciones vectoriales en R².

El modulo de un complejo z se define como su distancia euclıdea al punto 0,origen del plano,

|z| =√x2 + y2 ∈ R.

Notese que |z|2 = zz.Dado z 6= 0, se puede representar en forma polar. Para eso se define el argu-

mento

arg(z) = ϕ ∈ R tal que z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) ,

es decir como el angulo que forma el vector z con el semieje real positivo, siguiendolas convenciones trigonometricas usuales. Es importante notar que arg(z) es unarelacion multivaluada: a cada complejo no nulo le corresponden infinitos argumentosreales, congruentes entre sı modulo 2π. Si φ0 es un argumento de z 6= 0, entonces

ϕk = φ0 + 2kπ : k ∈ R

es el conjunto de todos los argumentos posibles de z. El complejo 0 no tiene argu-mento.

1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 6

1.2.1. Formula de Euler. Se define la exponencial compleja para z = x+iycomo

exp(z) ≡ ez = ex (cos y + i sin y) .

En particular, queda expresado

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ,

expresion conocida como formula de Euler. La notacion polar standard de un com-plejo z 6= 0, llamando r = |z| y ϕ = arg(z), es

(1.2.1) z = r eiϕ.

1.2.2. Producto y cociente en forma polar. El producto y el cocientetienen una expresion compacta en notacion polar,

(1.2.2) r1 eiϕ1 r2 e

iϕ2 = (r1r2) ei(ϕ1+ϕ2),

(1.2.3)r1 e

iϕ1

r2 eiϕ2=

(r1

r2

)ei(ϕ1−ϕ2).

1.2.3. Potencias y raıces. Las potencias naturales se expresan con la formu-la de De Moivre. Dado z = r eiϕ y n ∈ N

zn = rneinϕ.

Las potencias enteras se completan definiendo

z−n ≡ 1

zn= r−ne−inϕ.

La raız n-esima se define como la operacion inversa de la potencia n-esima,

w = n√z ⇐⇒ wn = z.

Si z 6= 0 se escribe z = r eiϕ, resulta w = n√r eiϕ/n. Los infinitos valores de ϕ =

arg(z) dan lugar a n valores distintos

wk = n√r ei(φ0+2kπ)/n, con k ∈ N, 0 ≤ k ≤ n− 1.

Cabe notar que wk = w0eik(2π/n).

1.3. Topologıa metrica del plano complejo

1.3.1. Espacios metricos. Dado un conjunto M , se llama distancia en Ma toda funcion

dist : M ×M → Rtal que se verifican las propiedades

1. positividad: ∀z1, z2 ∈M , dist(z1, z2) ≥ 0, y dist(z1, z2) = 0 =⇒ z1 = z2.2. simetrıa: ∀z1, z2 ∈M , dist(z1, z2) = dist(z2, z1).3. desigualdad triangular: ∀z1, z2, z3 ∈ M , dist(z1, z2) ≤ dist(z1, z3) +dist(z3, z2).

Se llama espacio metrico a un conjunto con una distancia (M, dist).En el plano complejo se define la distancia entre dos numeros z1 = x1 + iy1,

z2 = x2 + iy2 como la distancia euclıdea de los correspondientes puntos (x1, y1),(x2, y2) de R². Es decir,

dist(z1, z2) = |z2 − z1| =√

(x2 − x1) ² + (y2 − y1) ².

1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 7

Como en toda distancia, se verifican las propiedades de positividad, simetrıa ydesigualdad triangular. La correspondencia z = x+ iy ∈ C↔ (x, y) ∈ R2 preservala distancia, por definicion. El plano complejo, con la distancia euclıdea, es entoncesun espacio metrico isometrico a R². En particular, la desigualdad triangular seexpresa

∀z1, z2, z3 ∈ C, |z3 − z1| ≥ |z3 − z2|+ |z2 − z1|En general, en todo espacio vectorial con producto interno la distancia canonica

se define como la norma de la diferencia,

dist(v1, v2) = ||v2 − v1|| =√

(v2, v1).

Tal es el caso de R, Rn y C.

1.3.2. Topologıa metrica. Dado un conjunto M , se llama topologıa a lacaracterizacion de conjuntos abiertos en M . Esto lleva a la caracterizacion de no-ciones como convergencia, continuidad, conectividad, etc. En un espacio metrico,se caracteriza naturalmenbte la topologıa a partir de la distancia.

Manejaremos en general las siguientes definiciones, donde M es un espaciometrico (y en particular nos interesa M = C:

Entorno. Se llama entorno de centro z0 y radio r al conjunto

∆(z0, r) = z ∈M : dist(z, z0) < r

Entorno reducido. Se llama entorno reducido de centro z0 y radio r al con-junto

∆0(z0, r) = z ∈M : 0 < dist(z, z0) < r

Punto interior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂M , se dice que z0 esinterior a A si y solo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ⊂ A

Conjunto abierto. Se dice que A ⊂M es abierto si y solo si

∀z ∈ A, z es interior a A

Punto exterior a un conjunto. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0

es exterior a A si y solo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A = ∅Equivalentemente, z0 es exterior a A si y solo si z0 es interior al complemento

de A en M (que anotaremos Ac).

Punto de frontera. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es punto defrontera de A si y solo si z0 no es interior ni exterior a A.

Equivalentemente, z0 es punto de frontera de A si y solo si

∃r > 0, ∆(z0, r) ∩A 6= ∅ ∧∆(z0, r) ∩Ac 6= ∅

Frontera de un conjunto. Se llama frontera de un conjunto A ⊂M a

∂A = z ∈M : z es punto de frontera de A

Conjunto cerrado. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es cerrado si ysolo si ∂A ⊂ A. Es decir, un conjhunto es cerrado si contiene a todos sus puntos defrontera.

1.3. TOPOLOGIA METRICA DEL PLANO COMPLEJO 8

Entorno cerrado. Se llama entorno cerrado de centro z0 y radio r al conjunto

∆(z0, r) = z ∈M : dist(z, z0) ≤ r

Conjunto acotado. Se dice que A ⊂M es acotado si y solo si

∃z0 ∈M, r > 0 : A ⊂ ∆(z0, r),

es decir si A puede ser encerrado en un entorno cerrado de radio finito.

Clausura de un conjunto. Se llama clausura de un conjunto A ⊂ M a launion del conjunto on su frontera. Se anota

A = A ∪ ∂A

Punto de acumulacion. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que z0 es puntode acumulacion (o de adherencia) de A si y solo si

∀r > 0, ∆0(z0, r) ∩A 6= ∅

Punto aislado. Dado un conjunto A ⊂M y un punto z0 ∈ A, se dice que z0

es un punto aislado de A si y solo si

∃r > 0, ∆(z0, ε) ∩A = z0

Propiedades. Se sugiere demostrar las siguientes propiedades:

Un entorno es un conjunto abiertoUn entorno reducido es un conjunto abiertoUn entorno cerrado es un conjunto cerrado, clausura del correspondienteentorno abierto: ∆(z0, r) = ∆(z0, r) ∪ ∂∆(z0, r)C es abierto en CC es cerrado en Cetc.

Mencionamos otras caracterizaciones topologicas que tienen que ver con curvascontinuas y familias continuas de curvas continuas. La nocion de continuidad serepasa en la Clase 5.

Conjunto conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , se dice que A es conexo porarcos (o conexo) si y solo si

∀z1, z2 ∈ A, ∃ una curva continua γ ⊂ A que comienza en z1y termina en z2

Conjunto simplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂M , conexo, se diceque es simplemente conexo si y solo si todas las curvas que unen dos puntos dadosz1, z2 ∈ A son continuamente deformables entre sı dentro de A

Conjunto multiplemente conexo. Dado un conjunto A ⊂ M , conexo, sedice que es multiplemente conexo si y solo si no es simplemente conexo. Es decir, da-dos z1, z2 ∈ A existen al menos dos curvas que los unen y que no son continuamentedeformables entre sı dentro de A

Capıtulo 2

Sucesiones y funciones complejas

En esta clase presentamos sucesiones de numeros complejos, funciones de varia-ble real a valores complejos y funciones de variable compleja a valores complejos, conel objetivo de familiarizar al alumno con su estructura, notacion y representaciongrafica. En particular se establece su relacion con sucesiones y funciones reales,buscando repasar el manejo de las ultimas.

Las sucesiones y series de numeros o funciones complejas, las funciones de unavariable real a valores complejos y las funciones de una variable compleja a valorescomplejos seran objeto de estudio a lo largo de todo el curso.

Sucesiones a valores complejos

Una sucesion a valores complejos es una funcion de N en C,

z : N→ C

que a cada n ∈ N le hace corresponder un valor zn ∈ C,

n→ zn

Usaremos la notacion zn para referirnos a dicha sucesion. Tambien consideramossucesiones a funciones de n ∈ N : n ≥ n0, es decir que comienzan con ındice n0.

Escribiendo en forma binomica zn = xn + iyn, la sucesion zn determinaunıvocamente dos sucesiones en R,xn y yn. Escribiendo en forma de par or-denado zn = (xn, yn), la sucesion zn determina unıvocamente una sucesion enR2,(xn, yn). En notacion vectorial, ~rn = (xn, yn) y la sucesion se puede anotar~rn

Una sucesion zn compleja se representa como un conjunto infinito de puntosen el plano, manteniendo la nocion del orden con que aparecen en la sucesion.Conviene pensarla como una historia en el tiempo, o un camino que se recorre.

En base a cursos anteriores, podemos estudiar la existencia de los lımites en R

lımn→∞

xn

lımn→∞

yn

y del lımite en R2

lımn→∞

(xn, yn)

Veremos que estos lımites estan ıntimamente relacionados con la nocion de lımn→∞ znen C.

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FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 10

Funciones de variable real y valores complejos

Una funcion de I ⊂ R en C,

z : I ⊂ R→ Casigna a cada valor t ∈ I un valor complejo z(t),

t→ z(t)

En particular manejaremos el caso en que I = [a, b] es un intervalo cerrado.Escribiendo en forma binomica z(t) = x(t) + iy(t), la funcion z(t) determina

unıvocamente dos funciones en R, x(t) y y(t). Escribiendo en forma de par orde-nado z(t) = (x(t) + iy(t)), la funcion z(t) determina unıvocamente una funcion enR2,(x(t), y(t)). En notacion vectorial, ~r(t) = (x(t), y(t)).

Una funcion compleja de variable real z(t) = x(t)+iy(t) se representa como unacurva orientada en el plano. En base a cursos anteriores, podemos estudiar lımite,continuidad y derivada de ~r(t) (en terminos de lımite, continuidad y derivadas dex(t) y y(t). Con estos conceptos sabremos caracterizar direccion tangente, velocidad,longitud de arco, etc. Veremos que estos conceptos estan ıntimamente relacionadoscon sus correspondientes en la funcion z(t).

Funciones de variable compleja y valores complejos

Consideremos un conjunto A ⊂ C y una funcion

f : A→ Cque asigna a cada z ∈ A un y solo un valor w ∈ C,

z → w(z)

La anotaremosw = f(z)

Para visualizar este tipo de funciones, a las cuales dedicaremos este curso,corresponde ir a la nocion basica de funcion, graficando por separado el conjuntodominio, el conjunto codominio, y flechas que describen la asignacion z → w(z). Esdecir, graficar un plano complejo (z) para dibujar el dominio y otro plano complejo(w) para los valores que toma la funcion.

En este sentido, una funcion w = f(z) implementa un mapeo (o transformacion)de una region del plano en otra region del plano.

Como conjunto de puntos representativos del dominio se sugiere considerardistintas curvas parametrizadas

γ : z(t), t ∈ [a, b]

y sus imagenesf(γ) : w(t) = f(z(t)), t ∈ [a, b]

Mejor aun si se considera una familia de curvas γα caracterizada por algun parametroα, como un conjunto de rectas paralelas, un haz de rectas, circunferencias concentri-cas, etc. Se observara que la eleccion mas conveniente de curvas depende de cadafuncion en particular.

Para trabajar en coordenadas reales (es decir, representar los complejos en for-ma binomica o de par ordenado) usaremos las siguientes notaciones para distinguirparte real e imaginaria:

z = x+ iy

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Y VALORES COMPLEJOS 11

w = u+ iv

de forma tal quef(z) = u(x, y) + iv(x, y)

En otras palabras, la funcion w = f(z) determina univocamente dos funciones realesu y v de dos variables reales x y y. El mapeo descripto por w = f(z) se escribe envariables reales como

πf : A ⊂ R2 → R2

dondeπf (x, y) = (u(x, y), v(x, y))

Cabe insistir en que cada punto (x, y) ∈ A en el plano dominio se mapea a un punto(u, v) del plano imagen.

Una vez establecida la correspondencia de w = f(z) con u(x, y), v(x, y), esclaro que los conceptos de Analisis Matematico II seran de utilidad: para cadafuncion u(x, y), v(x, y) se debe recordar lımite en dos variables, diferenciabilidad,derivadas parciales y direccionales, gradiente, curvas de nivel, etc. En particularpara el mapeo πf se debe recordar el significado de la matriz Jacobiana y lascondiciones de invertibilidad (definiendo implıcitamente x y y como funciones de uy v).

Capıtulo 3

Lımite de sucesiones de numeros complejos

Lımite de sucesiones complejas. Unicidad. Relacion con los lımites de parte reale imaginaria. Algebra de lımites.

Lımite infinito. Punto en infinito, plano complejo extendido y entornos de in-finito. Esfera de Riemann.

Sucesion adherente a un conjunto.Sucesiones fundamentales (o de Cauchy). Completitud de R, Rn,C.Anexo - propiedades de R, Rn: existencia de ınfimo y supremo de conjuntos

acotados, principio de encaje de intervalos, existencia de maximo y mınimo defunciones continuas en dominios compactos, lema de separacion entre un conjuntocompacto y la frontera de un abierto que lo incluya.

Lımite de sucesiones

Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , se tiene una nocion intuitivade lımite: se dice que la sucesion tiene lımite l ∈M si se observa que los elementoszn de la sucesion se mantienen arbitrariamente cerca de l cuando sus ındices sonsuficientemente grandes. De esta manera el lımite no se calcula, sino que se intuye.El concepto de lımite se formaliza con la siguiente

Definicion: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M ,

lımn→∞

zn = l ∈M ⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆(l, ε)

Ejemplo: lımn→∞n

1+in = −i.

Propiedad. Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , si el lımiteexiste es unico.

Demostracion en clase. Basta suponer dos lımites distintos yy llegar a un ab-surdo contradiciendo la desigualdad triangular.

Sucesiones en C y en Rm

En C, y en general en Rm usamos la distancia euclıdea dist(z, z′) = |z − z′|.

Propiedad. Dada una sucesion zn en C, con zn = xn + iyn,

lımn→∞

zn = l = lx + ily ∈ C⇐⇒ lımn→∞

xn = lx ∈ R ∧ lımn→∞

yn = ly ∈ R

Demostracion en clase. Basta usar |xn − lx| ≤ |zn − l| y |yn − ly| ≤ |zn − l|,|zn − l| ≤ |xn − lx|+ |yn − ly|. Se hace en C y se comenta en Rm

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LIMITE INFINITO EN C (O EN Rm) 13

Algebra de lımites. Sea que en M esta definida una suma, que forma grupo,y dist(z, z′) = |z−z′| (por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado). Se verificala siguiente propiedad:

Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, entonces la sucesionsuma tiene lımite en M ,

zn + wn → l +m

Sea que en M esta definido ademas un producto, distributivo con respecto a lasuma (por ejemplo un espacio de matrices). Se verifica la siguiente propiedad:

Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, entonces la sucesionproducto tiene lımite en M ,

zn wn → l m

Sea que en M es un cuerpo (Q,R,C). Se verifica la siguiente propiedad:Si dos sucesiones tienen lımite en M , zn → l, wn → m, y m 6= 0, entonces

la sucesion cociente tiene lımite en M ,

zn/wn → l/m

Estas propiedades se demuestran como ejercicios de practica. Basta conocer laprueba en R y repetirla.

Lımite infinito en C (o en Rm)

Dada una sucesion zn en C (o en Rm), se tiene una nocion intuitiva de lımiteinfinito: se dice que la sucesion tiende a infinito si se observa que los elementos zn dela sucesion se mantienen arbitrariamente lejos del origen (0) cuando sus ındices sonsuficientemente grandes. El concepto de lımite infinito se formaliza con la siguiente

Definicion: Dada una sucesion zn en C (o en Rm),

lımn→∞

zn =∞⇐⇒ ∀R > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ dist(zn, 0) > R

Ejemplo: lımn→∞ n2/(n+ i) =∞Debe observarse que en esta definicion no importa el argumento (o la direccion)

de los elementos zn, solo su modulo.

Punto en infinito. Resulta conveniente introducir el punto en infinito co-mo un elemento ∞ /∈ C que funciona como lımite de las sucesiones tales quelimn→∞ zn = ∞. Una vez introducido, se define la distancia entre ese elementoy los puntos del plano complejo

∀z ∈ C, dist(z,∞) = dist(z, 0)−1,

de manera tal que cuanto mas lejos este z del origen, mas cerca esta de infinito.Se llama plano complejo extendido a C = C∪∞. Tomando al plano complejo

como conjunto abierto,∞ ∈ C es un punto de frontera de C ⊂ C, y C es su clausura.Se define un entorno reducido de infinito como

∆0(∞, r) = z ∈ C : dist(z,∞) < r= z ∈ C : dist(z, 0) > 1/r

De esta manera, se puede reescribir la definicion de lımite infinito en el mismolenguaje que la de lımite finito:

lımn→∞

zn =∞⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N : n > N =⇒ zn ∈ ∆0(∞, ε)

SUCESIONES FUNDAMENTALES. COMPLETITUD. 14

Esfera de Riemmann. Es util visualizar el plano complejo extendido comoun plano compatificado: se piensa el plano dentro del espacio (3D) y se lo deformaenvolviendo una esfera. El cero queda en el polo sur, mientras los puntos arbitrari-amente lejanos al origen quedan arbitrariamente cerca del polo norte. Se interpretaque el polo norte representa el punto en infinito.

Tecnicamente, se escribe el mapeo entre puntos del plano con puntos de laesfera mediante una proyeccion estereografica.

Dibujos en clase.

Existencia del lımite, nomenclatura. Dada una sucesion zn en C (o enRm), en este curso diremos que el lımite de la sucesion existe y es finito cuandozn → l ∈ C (ıdem en Rm) y que el lımite de la sucesion existe pero es infinitocuando zn → ∞. En otros textos se dice que el lımite existe solo cuando es finito,mientras que cuandozn → ∞ se dice que no existe pero tiende a infinito.

Diremos ademas (como todos los textos) que la sucesion converge si y solo sitiene lımite finito.

Sucesiones fundamentales. Completitud.

Hemos visto que la definicion formal del concepto de lımite requiere conocer ellımite (antes de definirlo!). El concepto de sucesion fundamental describe la con-vergencia de una sucesion sin referirse al valor del lımite.

Definicion: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M , se dice que lasucesion es fundamental (o de Cauchy) si y solo si

∀ε > 0,∃N ∈ N : n,m > N =⇒ dist(zn, zm) < ε

Es decir, la sucesion es fundamental si basta considerar ındices suficentementealtos para que sus elementos se mantengan arbitrariamente cercanos entre sı.

Propiedad: Dada una sucesion zn en un espacio metrico M ,

zn converge =⇒ zn es fundamental

Demostracion en clase, basta usar la desigualdad triangular.Es importante que no vale la recıproca. En general,

zn fundamental ; zn converge

Ejemplo: Considerar un numero irracional (por ejemplo π) y la sucesion en Qformada por las sucesivas aproximaciones con desarrollo decimal finito al numeroirracional: q0 = 3, q1 = 3,1, q2 = 3,14, · · · Esta sucesion es fundamental en Q perono converge, porque no encuentra lımite dentro de Q.

Por supuesto la misma sucesion es convergente en R. Se observa que la falta deconvergencia no es un problema de la sucesion en sı misma, sino del espacio metricoen que se la considera.

Definicion: Dado un espacio metrico M , se dice que es completo si y solo sitodas las sucesiones fundamentales en M convergen en M .

Comentario: Dado un espacio metrico que no sea completo, se lo puede com-pletar definiendo elementos externos al espacio que funcionen como lımite de aque-llas sucesiones fundamentales que no converjan.

SUCESIONES ADHERENTES 15

Propiedad: R es un conjunto completo.La nocion de completitud es la base de la definicion de R, como union de los

racionales y todos sus huecos. Los huecos se definen tecnicamente como los lımitesde sucesiones racionales fundamentales no convergentes.

Distintos axiomas que caracterizan a R, como la existencia del supremo desucesiones acotadas por encima, etc., son equivalentes a la caraterizacion de com-pletitud. Vale decir, la definicion rigurosa de R permite demostrar dichos axiomas.

No vamos a profundizar en la definicion de R. Usaremos sin demostracion algu-nas caracterizaciones de conjuntos y distancias que se desprenden de la completitud.

Propiedad: C,Rm son conjuntos completos.Demostracion en clase, basta referirse a las componentes reales.

Sucesiones adherentes

Dado un conjunto A ⊂ M, M espacio metrico, y dado z∗ ∈ M , se dice quezn es una sucesion en A adherente a z∗ si y solo si:

1. ∀n, , zn ∈ A2. ∀n, , zn 6= w3. zn → w

Es decir, la sucesion es un camino de puntos de A que se acercan a w sin tocarlo.Mas adelante las usaremos como forma elemental de explorar lımites de funciones,para z tendiendo a z∗.

Definicion: Dado un espacio metrico M y un conjunto A ⊂M , se dice que Aes denso en M si y solo si

∀z ∈M, ∃zn en A adherente a z

Capıtulo 4

Series de numeros complejos

Series de numeros complejos. Convergencia, convergencia absoluta. Criterios decomparacion.

Series numericas

Dada una sucesion an en un espacio metrico M donde haya definida unasuma, con n ≥ n0, se llama sucesion de sumas parciales de an a una sucesionSk en M definida por

Sk =

k∑n=n0

an

La serie numerica simbolizada por∞∑

n=n0

an

se define como el lımite de la sucesion de sumas parciales

lımk→∞

Sk,

que puede existir o no. Mas precisamente, si ∃limk→∞ Sk = S y es finito, se diceque la serie

∑∞n=n0

an converge en M y que su suma es S, y se anota

∞∑n=n0

an = lımk→∞

Sk.

En el caso en que limk→∞ Sk = ∞ se dice que la serie diverge. Nos referiremosformalmente a la serie

∑∞n=n0

an antes de determinar si converge, pero usaremos elsigno = solo cuando hayamos determinado que converge.

Ejemplo importante: series geometricas.

Dado un numero q en R o en C (llamado razon), consideramos la sucesionan = qnn≥0 y sus sumas parciales

Sk =

k∑n=0

qn

Es facil calcular que

qSk − Sk = qk+1 − 1

de donde se despeja, si q 6= 1,

Sk =qk+1 − 1

q − 1

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CRITERIOS DE CONVERGENCIA 17

El lımite de la sucesion de sumas parciales es finito si y solo si |q| < 1, en cuyo caso

∞∑n=0

qn =1

1− q

En la mayorıa de los casos no es posible hallar una expresion cerrada para la sucesionde sumas parciales. Sin embargo, se puede determinar en muchos casos si la serieconverge sin calcular su suma.

Criterios de convergencia

Condicion necesaria de convergencia. Dada la serie∑∞n=n0

zn, para queconverja es necesario que

lımn→∞

an = 0

Demostracion en clase. Basta ver que ∼ (lımn→∞ an = 0) implica que la suce-sion de sumas parciales no es fundamental, luego no puede ser convergente.

Criterio de comparacion e series de terminos no negativos. Dada unaserie

∑∞n=n0

an con an ≥ 0 (serie de terminos reales no negativos), si existe otra

serie de terminos reales no negativos∑∞n=n0

bn, con bn ≥ an , convergente, entonces∑∞n=n0

an converge.

Demostracion en clase. Basta ver que la sucesion de sumas parciales de Sk =∑kn=n0

an es monotonamente creciente y acotada por encima por la suma∑∞n=n0

bn.Luego tiene supremo en R, que resulta ser el lımite buscado.

O bien que la sucesion de sumas parciales de Sk =∑kn=n0

an es fundamen-

tal, con |Sk − Sl| =∑kn=l+1 an ≤

∑kn=l+1 bn < ε para cualquier ε > 0 con solo

tomar k > l suficientemente grandes, ya que∑kn=n0

bn es fundamental por serconvergente.

Convergencia absoluta. Dada una serie∑∞n=n0

an con an ∈ R o an ∈ C, se

puede estudiar la serie de terminos no negativos asociada∑∞n=n0

|an|. Se dice que

la serie∑∞n=n0

an converge absolutamente si y solo si la serie∑∞n=n0

|an| converge.

Propiedad. La convergencia absoluta implica convergencia puntual. Es decir,

∞∑n=n0

|an| converge ⇒∞∑

n=n0

an converge

Demostracion en clase. Basta ver que, dados k ≥ l,

|k∑

n=n0

an −l∑

n=n0

an| = |k∑

n=l+1

an| ≤k∑

n=l+1

|an| < ε

para cualquier ε > 0 con solo tomar k, l suficientemente grandes, ya que∑kn=n0

|an|es fundamental por ser convergente.

Debe notarse que la convergencia absoluta puede ser probada con tecnicas deseries de terminos reales no negativos (como comparacion), y asegura la convergen-cia (sin modulo).

CRITERIOS DE CONVERGENCIA 18

Otros criterios. Se pueden trabajar otros criterios de convergencia, como eldel cociente o el de la raız. Tambien se conocen criterios de convergencia condicional,que prueban el caso en que la serie de modulos no converge pero la serie sin modulossı converge.

Capıtulo 5

Lımites de funciones. Continuidad.

Lımites de funciones (en general). Unicidad. Lımites por caminos (camino=sucesionadherente). Continuidad.

Lımites y continuidad de funciones complejas de variable real. Algebra delımites.

Lımites y continuidad de funciones complejas de variable compleja. Algebra delımites.

Lımite de funciones

Dada f : Ω ⊂ M → M ′, com M,M ′ espacios metricos, y dado z0 punto deacumulacion de Ω, se dice que

lımz→z0

f(z) = l ∈M ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(l, ε)

Se debe notar que z0 puede no pertenecer a Ω, basta con que sea punto de acu-mulacion de Ω para que ∆0(z0, δ)∩Ω 6= ∅. En el mejor de los casos, z0 sera interiora Ω y la interseccion sera ∆0(z0, δ) ∩ Ω = ∆0(z0, δ).

Teorema. Dada f : Ω ⊂M →M ′,

∃ lımz→z0

f(z) = l ∈M ⇔ (∀zn en M adherente a z0)(∃ lımn→∞

f(zn) = l ∈M)

Demostracion en clase.

⇒) dada zn en M adherente a z0, y dado ε > 0, basta que n sea sufi-cientemente grande como para que zn ∈ ∆0(z0, δ).⇐) suponer que ∼ (∃ lımz→z0 f(z) = l ∈M) y construir una zn en M adherente a z0

tal que ∼ (lımn→∞ f(zn) = l). Abs!

Corolario. Dada f : Ω ⊂M →M ′, si existe lımz→z0 f(z) entonces es unico.Demostracion en clase. Se suponen dos lımites l 6= m , luego cada zn en M adherente a z0

tendrıa dos lımites. Abs!

Lımite de funciones a valores complejos. Sea f : Ω ⊂M → C, y llamemosz a los puntos de Ω ⊂M , M espacio metrico. Quedan definidas

u : Ω ⊂M → R,u(z) = Re(f(z))

v : Ω ⊂M → R,v(z) = Im(f(z))

tales que

f(z) = u(z) + iv(z)

19

CONTINUIDAD 20

Teorema. Dada f : Ω ⊂M → C y z0 punto de acumulacion de Ω,

∃ lımz→z0

f(z) = l = a+ ib ∈ C⇔ ∃ lımz→z0

u(z) = a ∈ R ∧ ∃ lımz→z0

v(z) = b ∈ R

Demostracion: basta explorar con sucesiones zn en M adherentes a z0

Lımite infinito. Dada f : Ω ⊂M → C y z0 punto de acumulacion de Ω,

lımz→z0

f(z) =∞⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(z0, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆0(∞, ε)

Algebra de lımites en C. Sean f : Ωf ⊂ M → C y g : Ωg ⊂ M → C, conΩf ∩ Ωg 6= ∅, y sea z0 punto de acumulacion de Ωf ∩ Ωg.

Si ∃ lımz→z0 f(z) = l y ∃ lımz→z0 g(z) = m, entonces

∃ lımz→z0 (f(z) + g(z)) = l +m∃ lımz→z0 (f(z) g(z)) = l msi ademas m 6= 0, ∃ lımz→z0 (f(z)/g(z)) = l/m

Demostracion: basta explorar con sucesiones zn en M adherentes a z0

Lımite de funciones de variable compleja. Dada f : Ω ⊂ C→M ′, con Ωno acotado, se dice que

lımz→∞

f(z) = l⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : z ∈ ∆0(∞, δ) ∩ Ω⇒ f(z) ∈ ∆(l, ε)

En el caso de f : Ω ⊂ C → C, el lımite l puede ser infinito sin cambiar ladefinicion.

Continuidad

Definiciones. Dada f : Ω ⊂ M → M ′, com M,M ′ espacios metricos, y dadoz0 ∈M , se dice que f es continua en z0 si y solo si

1. z0 ∈ Ω2. ∃ lımz→z0 f(z)3. lımz→z0 f(z) = f(z0)

Dado A ∈ M , se dice que f es continua en A si y solo si ∀z ∈ A, f es continua enz.

Se llama dominio de continuidad de f al mayor subconjunto del dominio Ωdonde f sea continua.

Ejemplos. Probar que z : R→ C, dada por z(t) = k es continua en RProbar que z : R→ C, dada por z(t) = t es continua en RProbar que f : C→ C, dada por f(z) = k es continua en CProbar que f : C→ C, dada por f(z) = z es continua en C

Propiedades. Sean f : Ωf ⊂M → C y g : Ωg ⊂M → C, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅.Si f y g son continuas en z0 ∈M , entonces

f + g es continua en z0

f g es continua en z0

si ademas g(z0) 6= 0, f/g es continua en z0

Demostracion: basta revisar que z0 este en el dominio, y asegurar la existencia yvalor de los lımites correspondientes.

CONTINUIDAD 21

Propiedad. Dadas f : Ω ⊂ M → M ′ continua en un punto z0 interior a Ω yzn una sucesion en M ,

∃ lımn→∞

zn ⇒ ∃ lımn→∞

f(zn) = f(z0)

Es decir, en este caso lımn→∞ f(zn) = f(lımn→∞ zn).Demostracion: basta aplicar las definiciones correspondientes. Se debe notar

que si f no es continua en z0 el resultado no se verifica.

Corolario. Sean f : Ωf ⊂M →M ′ y g : Ωg ⊂M ′ →M ′′. Si ∃ lımz→z0 f(z) =l ∈M ′ con l interior a Ωg y si g es continua en l, entonces

∃ lımz→z0

g(f(z)) = g(z0).

Es decir, en este caso lımz→z0 g(f(z)) = g (lımz→z0 f(z)).Demostracion: basta explorar con sucesiones en Ωf adherentes a z0 y utilizar

la propiedad anterior. Se debe notar que si g no es continua en l el resultado no severifica.

Corolario: continuidad de la funcion compuesta. Sean f : Ωf ⊂ M →M ′ y g : Ωg ⊂ M ′ → M ′′. Si f es continua en z0 ∈ M y g es continua en g(z0)interior a Ωg , entonces gof es continua en z0.

Observacion: se llama funcion compuesta gof : Ω ⊂ Ωf → M ′′ a la funciondada por

gof(z) = g(f(z)),

cuyo dominio esΩ = z ∈ Ωf : f(z) ∈ Ωg

Capıtulo 6

Derivada.

Primera parte:Derivada (en general, para funciones de una variable en un cuerpo a un es-

pacio vectorial). Diferenciabilidad y diferenciales. Notacion de Leibnitz y de La-grange/Newton.

Derivada de la suma, del producto y el cociente (donde el producto y cocienteexistan). Derivada de la funcion compuesta.

Segunda parte:Derivada de funciones complejas de variable real. Diferenciabilidad, diferencial

y direccion tangente a curvas.Derivada de funciones complejas de variable compleja. Interpretacion geometri-

ca con diferenciales.

Primera parte

Derivabilidad. La nocion de derivada total se basa en el lımite del cocienteincremental. Para que este cociente tenga sentido se consideran funciones de unavariable independiente z en un cuerpo K y valores en un espacio vectorial V sobreK. Ademas, las distancias en K y en V se definen como el modulo de la diferencia.

Definicion. Dada f : Ω ⊂ K→ V y z0 ∈ Ω punto de acumulacion de Ω, se diceque f es derivable en z0 si y solo si

∃ lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0.

En ese caso se llama derivada de f respecto de z en z0 a dicho lımite.Notacion. La derivada se suele anotar como

f ′(z0) = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

(notacion de Lagrange) o como

df

dz(z0) = lım

z→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

(notacion de Leibnitz) o como

f(z0) = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

(notacion de Newton)

22

PRIMERA PARTE 23

Propiedades. Entre las propiedades mas inmediatas destacamos:

Si existe la derivada f ′(z0) , es unica.Linealidad: si f y g son derivables en z0, punto de acumulacion de la in-terseccion de los dominios de f y g, para todo par de elementos α, β ∈ K,αf + βg es derivable en z0 y

(αf + βg)′(z0) = αf ′(z0) + βg′(z0)

Teorema. Si f es derivable en z0, entonces f es continua en z0.

Diferenciabilidad. Dada f : Ω ⊂ K→ V y z0 ∈ Ω punto de acumulacion deΩ, se dice que f es diferenciable en z0 si y solo si

(∃A ∈ V ) (∀z ∈ Ω, f(z)− f(z0) = A(z − z0) + ε(z)|z − z0|)

con lımz→z0 ε(z) = 0 ∈ V .Se llama diferencial de la variable independiente z en el punto z0 al desplaza-

miento

dz = z − z0

y diferencial de la variable dependiente f en el punto z0 al desplazamiento en Vdado por

df = A(z − z0) = Adz

de manera tal que el diferencial df es la mejor aproximacion lineal al incrementode la funcion

∆f = f(z)− f(z0)

ante un desplazamiento dz de la variable independienteTeorema. f es derivable en z0 si y solo si f es diferenciable en z0.Demostracion

⇒) basta acomodar, para z 6= z0,

f(z)− f(z0) = f ′(z0) (z − z0) +

[f(z)− f(z0)

z − z0− f ′(z0)

](z − z0)

y observar que la expresion entre corchetes tiende a cero cuando z → z0.⇐) basta escribir el cociente incremental como

f(z)− f(z0)

z − z0= A+ ε(z)

|z − z0|z − z0

y observar que el ultimo termino tiende a cero cuando z → z0.

De este resultado se desprende que el vector constante A en la definicion de difer-enciabilidad coincide con la derivada de f en z0, A = f ′(z0)

Teorema.

Sean f : Ωf ⊂ K → V y g : Ωg ⊂ K → V , con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f + g es derivable en z0 y

(f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)

Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg, entonces f g es derivable en z0 y

(f g)′(z0) = f ′(z0) g(z0) + f(z0) g′(z0)

(regla de Leibnitz).

SEGUNDA PARTE: APLICACION 24

Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → K, con Ωf ∩ Ωg 6= ∅. Si f y g sonderivables en z0 ∈ Ωf ∩ Ωg y g(z0) 6= 0, entonces f/g es derivable en z0 y

(f/g)′(z0) =

f ′(z0) g(z0)− f(z0) g′(z0)

(g(z0))2

Teorema. Sean f : Ωf ⊂ K → K y g : Ωg ⊂ K → V , con f derivable en z0

y g derivable en f(z0), con f(z0) interior a Ωg. En este caso la funcion compuesta(g0f) (z0) = g(f(z0) es derivable en z0 y

(g0f)′(z0) = g′(f(z0))f ′(z0)

Demostracion: analizar

h(z) =

g(f(z))−g(f(z0))f(z)−f(z0) si f(z) 6= f(z0)

g′(f(z0)) si f(z) = f(z0)

para probar que es continua en z0. Luego para z 6= z0 es seguro escribir

g(f(z))− g(f(z0))

z − z0= h(z)

f(z)− f(z0)

z − z0

y tomar el lımite para z → z0.

Segunda parte: aplicacion

Funciones complejas de variable real: curvas en el plano complejo.Consideramos

z : [a, b]→ C, dada por z = z(t)

Tomando parte real y parte imaginaria, queda definida

~r : [a, b]→ C, dada por ~r = ~r(t) = (x(t), y(t))

con x(t) = Re(z(t)), y(t) = Im(z(t)). Tanto en complejas como reales, la funcionparametriza una curva γ en el plano.

De acuerdo a los resultados ya probados, se verifica que z(t) es continua ent0 ∈ [a, b] si y solo si ~r(t) es continua en t0 ∈ [a, b].

Tambien se verifica que z(t) es derivable en t0 ∈ [a, b] si y solo si ~r(t) es derivableen t0 ∈ [a, b], siendo

z′(t0) = x′(t0) + iy′(t0)

~r′(t0) = (x′(t0), y′(t0))

La interpretacion geometrica de la derivada en este tipo de funciones representa elvector velocidad con que la parametrizacion recorre la curva. Si z′(t0) 6= 0, la curvaadmite vector tangente, y en particular arg(z′(t0)) da la orientacion del vectortangente.

En terminos de diferenciales, en el punto z(t0) o ~r(t0) tenemos

dz = z′(t0)dt

d~r = ~r′(t0)dt

describiendo la recta tangente a la curva, con identica informacion geometrica en elplano en terminos de coordenadas complejas o en terminos de coordenadas reales.

Definimos el diferencial de longitud de arco en el punto z(t0) cuando z(t) esderivable en t0, como

dl = |z′(t0)|dt ≡ |~r′(t0)|dt

SEGUNDA PARTE: APLICACION 25

Reparametrizacion de curvas. Dada una curva γ con parametrizacion z : [a, b]→C, se puede describir la misma curva con una parametrizacion diferente. Consider-emos una funcion

t : [α, β]→ [a, b], dada por t = t(s)

que sea continua en [α, β] , monotona y suryectiva; la funcion compuesta

z : [α, β]→ C, dada por z(s) = z(t(s))

parametriza la misma la curva γ. Si t(s) es creciente, la parametrizacion conservala orientacion, en tanto que si t(s) es decreciente la curva invierte su orientacion.

La reparametrizacion t(s) es invertible, definiendo

s : [a, b]→ [α, β], dada por s = s(t)

Si existe t′(s) 6= 0 en un punto s0, existe s′(t) 6= 0 en el correspondiente puntot0 = t(s0), con s′(t0) = 1/t′(s0).

Una buena reparametrizacion t(s) deberıa cumplir la existencia y continuidadde t′(s) 6= 0 en [a, b] para no introducir problemas en la descripcionde una curva.

Clasificacion de curvas. Sea una curva γ con parametrizacion z : [a, b] → C,dada por z = z(t). Por simplicidad anotaremos γ : z(t), con t ∈ [a, b].

Decimos que γ es continua si y solo si la parametrizacion z(t) es continua en[a, b] o admite una reparametrizacion que lo sea.

Decimos que γ es suave si y solo si la parametrizacion z(t) es continua en[a, b], con derivada continua en [a, b] y derivada no nula en (a, b), o admite unareparametrizacion que lo sea. En este caso, la curva admite vector tangente en todopunto, y el vector tangente es continuo; se dibuja como una curva sin vertices.

Decimos que γ es suave a trozos si y solo si es continua y el intervalo [a, b] esunion de un numero finito de subintervalos donde la parametrizacion sea suave. Eneste caso, la curva admite vector tangente, excepto en un numero finito de puntos;en principio se dibuja con vertices. Se suele llamar contorno a una curva suave atrozos.

Decimos que γ es simple si la parametrizacion z(t) es continua e inyectiva en[a, b]. En este caso, la curva no pasa dos veces por el mismo punto.

Decimos que γ es simple y cerrada si la parametrizacion z(t) es continua [a, b]e inyectiva en [a, b), con z(b) = z(a). En este caso, la curva no pasa dos veces porel mismo punto excepto el punto inicial y final, que coinciden.

Aceptaremos que una curva simple y cerrada en el plano define un conjuntoInt(γ) (interior de la curva), que es un conjunto abierto, y que la curva es sufrontera, ∂(Int(γ)) = γ. Ademas, la orientacion de la curva se puede caracterizarcomo antihoraria (o positiva) cuando el interior queda a la izquierda del vectortangente, u horaria (o negativa) en el caso contrario. La demostracion de estaspropiedades intuitivas corresponde a un curso de Topologıa.

Se suele llamar curva de Jordan a una curva suave a trozos, simple y cerrada.

Funciones complejas de variable compleja: mapeos en el plano. Con-sideramos f : Ω ⊂ C→ C, dada por una receta

w = f(z)

SEGUNDA PARTE: APLICACION 26

Tomando parte real u = Re(w) y parte imaginaria v = Im(w), con z = x + iy,quedan definidas

u : Ω ⊂ R2 → R , dada por u(x, y) = Re(f(z))

v : Ω ⊂ R2 → R , dada por v(x, y) = Re(f(z))

Tanto en coordenadas complejas como en coordenadas reales, la funcion representaun mapeo del conjunto Ω en el plano en el plano. Se puede pensar como un mapeodel plano en si mismo, o como un mapeo del plano en una segunda copia del plano.

Interpretacion geometrica de la derivada de funciones complejas de variablecompleja. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω. Como f es diferenciable en z0

podemos escribirdw = f ′(z0)dz

donde el producto se hace entre numeros complejos. Si f ′(z0) 6= 0 podemos leer larelacion entre modulos y argumentos del incremento de la variable independientedz y el diferencial dw como

arg(dw) = arg(dz) + arg(f ′(z0))

|dw| = |f ′(z0)||dz|La primer ecuacion indica que dw se halla rotado respecto de dz, con un angulo

de rotacion arg(f ′(z0)). Debe notarse que el angulo de rotacion arg(f ′(z0)) es elmismo para todo dz que se trace a partir de z0.

La segunda ecuacion indica que el desplazamiento dw se halla escaleado respectode dz, con un factor de escala |f ′(z0)|. Si |f ′(z0)| > 0 se trata de una dilatacion,si |f ′(z0)| < 0 se trata de una contraccion. Debe notarse que el factor de escala|f ′(z0)| es el mismo para todo dz que se trace a partir de z0.

Mapeo de curvas diferenciables. Sea f derivable en un punto z0 ∈ Ω y seaγ : z(t) una curva diferenciable en z0 = z(t0). El mapeo w = f(z) induce una curvaf(γ) : w(t) = w(z(t)).

Si ...

Capıtulo 7

Condiciones de Cauchy-Riemann. Analiticidad ysingularidades.

Condiciones de Cauchy-Riemann (como si y solo si, ver por ejemplo Stewart yTall).

Definiciones de analiticidad, funcion entera, singularidades y clasificacion desingularidades.

27

Capıtulo 8

Mapeos. Transformaciones conformes.

Mapeos importantes: funcion lineal como traslacion, rotacion y dilatacion. In-version. Funciones bilineales.

Transformaciones conformes (contenido geometrico y caracterizacion por deriv-abilidad).

28

Capıtulo 9

Funciones trascendentes.

Exponencial, trigonometricas, trigonometricas hiperbolicas.

29

Capıtulo 10

Funciones multivaluadas.

Invertibilidad local. Invertibilidad global. Funciones multivaluadas: cortes ysuperficies de Riemann.

30

Capıtulo 11

Integracion.

Integracion de funciones complejas de variable real sobre intervalos.Integracion de funciones complejas de variable compleja sobre curvas.

31