An alisis Matem atico. Grupo D. Test 1marjim/testAM.pdfAn alisis Matem atico. Grupo D. Test 2 Apellidos, Nombre y Firma: ||||| 1. Los argumentos y m odulos de los numeros complejos

Analisis Matematico. Grupo D. Test 1

Apellidos, Nombre y Firma:———————————————————————————————————————————

1. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es FALSA?

(a) Si a, b ∈ Q, entonces a + b ∈ Q.

(b) Si a, b, c, d ∈ R, a < b y c < d entonces ac < bd.

(c)√

a2 = |a|, para todo a ∈ R.

(d) Si a, b, c ∈ R y a < b, entonces a + c < b + c.

(e) Si a, b, c ∈ R, a < b, y c < 0, entonces ac > bc.

2. El ınfimo y el supremo del conjunto A = {2− 1n

: n ∈ N} son:

(a) ınf A = 1 y sup A = 2.

(b) El ınfimo de A es cualquier numero menor que 0 y el supremo de A cualquier numeromayor o igual que 2.

(c) Tiene ınfimo y es 1 pero no tiene supremo porque n varıa entre todos los numerosnaturales N, el cual no es un conjunto acotado.

(d) ınf A = 1 y no tiene supremo porque 2 6∈ A.

(e) ınf A = 0 y sup A = 1.

3. El conjunto de los numeros reales x que verifican x+1x−1≥ 3 es:

(a) (2,∞).

(b) (−∞, 1) ∪ [2,∞).

(c) (−∞, 1) ∪ (2,∞).

(d)[2,∞).

(e) Ninguna de las anteriores.

4. El conjunto de los puntos x reales que verifican |3x + 1| < 2 es:

(a) (−2, 2)

(b) (−∞,−1) ∪ (13,∞).

(c) (−1, 13).

(d) (−∞, 13).

(e) (−1,∞).

5. El conjunto de los puntos x reales que verifican |2x− 3| ≥ 4 es:

(a) [72,∞).

(b) No hay ningun numero real que verifique la desigualdad.

(c) (−∞,−12].

(d) (−∞,−12] ∪ [7

2,∞).


(CONTINUA DETRAS)

6. El conjunto de los puntos x reales que verifican |2x− 5| < |x− 4| es:

(a) (−∞, 1).

(b) (1, 3)

(c) [52, 3)

(d) (1, 52]




1. Los argumentos y modulos de los numeros complejos z ∈ C que verifican z4 = −2√

3 + 2i son

(a) Modulos:√

2. Argumentos: 5π24

, 17π24

, 29π24

, 41π24

.

(b) Modulos:√

2. Argumentos: −π24

, 11π24

, 23π24

, 35π24

.

(c) Modulos:√

2. Argumentos: π24

, 13π24

, 25π24

, 37π24

.

(d) Solo hay un numero complejo que verifica la ecuacion y tiene modulo 44 y argumento −2π3

.

(e) No existen numeros complejos z que verifiquen la ecuacion.

(f) Ninguna de las anteriores.

2. Del polinomio en C, p(z) = z20 + (1− 2i)z17 + iz13 + (√

2− 3i)z4 + (2− i) podemos decir:

(a) p(z) es un numero imaginario puro para todo z ∈ C.

(b) Las raices del polinomio p(z) (es decir, los puntos z tales que p(z) = 0) son las raices complejas20-esimas de −(2− i).

(c) p(z) es un numero real para todo z ∈ C.

(d) La ecuacion polinomica p(z) = 0 no tiene soluciones.

(e) Existen w1, w2, ..., w19, w20 ∈ C (no necesariamente distintos) tales quep(z) = (z − w1)× (z − w2)× · · · × (z − w19)× (z − w20).


3. Considera el numero complejo (2 + 3i)(1− i) + 3+ii

. Indica la afirmacion correcta:

(a) Re(z) = 8, Im(z) = 2.

(b) Re(z) = (2 + 3i)(1− i), Im(z) = 3+ii

.

(c) No es un numero complejo, y por tanto no tiene ni parte real ni parte imaginaria.

(d) Re(z) = 6, Im(z) = −2.

(e) Re(z) = 2, Im(z) = 6.


4. Considera el numero complejo z = −√

2 +√

2 i. Entonces z15 es:

(a) 215(−√

2−√

2 i).

(b) 215(− 1√2

+ 1√2i).

(c)215(+ 1√2− 1√

2i).

(d) 215( 1√2

+ 1√2i).

(e) 215(− 1√2− 1√

2i).


5. Los numeros complejos z que verifican z2 + (1− i)z − i = 0 son

(a) La ecuacion no tiene solucion.

(b) i, −1.

(c) 1− i, −i.

(d) 1, 1− i, −i.

(e) 0, 1, 1− i, −i.




1. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es la correcta definicion de lımx→a f(x) = b?

(a) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(b) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < ε entonces |f(x)− b| < δ.

(c) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(d) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(e) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− b| < ε, entonces 0 < |x− a| < δ.


2. Considera la funcion f : R→ R, f(x) =

x3 si x < 1

−2 si x = 11x

si x > 1


(a) No existe el lımx→1 f(x).

(b) lımx→1 f(x) = −2

(c) f es continua en x = 1.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− 1| < δ entonces |f(x)− 1| < ε.

(e) lımx→1+ f(x) 6= lımx→1− f(x).


3. De la funcion f(x) =

{log x, si x > 0

esin x, si x ≤ 0podemos decir:

(a) Existe el lımx→0 f(x) y es un numero real.

(b) f es continua por la izquierda en 0.

(c) f es continua por la derecha en 0.

(d) f es continua en 0.

(e) lımx→−∞ f(x) = 0.


4. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es la correcta definicion de continuidad de f(x) en el punto a?

(a) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(b) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < ε entonces |f(x)− f(a)| < δ.

(c) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− f(a)| < ε, entonces |x− a| < δ.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(e) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.


5. Considera la funcion f(x) = 11+log(x2+1)+sin3 x

. Indica la afirmacion correcta.

(a) Existe c ∈ (0,∞) tal que f(c) = 1200

.

(b) f no es continua en x = 0.

(c) lımx→−∞ f(x) =∞.

(d) lımx→∞ f(x) =∞.

(e) No existe c ∈ [0, 1] tal que f(c) = max{f(x) : x ∈ [0, 1]}.(f) Ninguna de las anteriores.


{1

(x−1)3, x > 1

x2 + 1, x ≤ 1podemos decir:

(a) Para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que si 0 < x− 1 < δ entonces f(x) > M .

(b) f es continua en 1.

(c) Para todo M ∈ R existe δ > 0 tal que si 0 < |x− 1| < δ entonces f(x) > M .

(d) Existe el lımx→1 f(x).

(e) Existe c ∈ [0, 2] tal que f(c) = max{f(x) : x ∈ [0, 2]}.(f) Ninguna de las anteriores.


{x2 si x 6= 2

−1 si x = 2. Indica la afirmacion correcta:


(b) Para todo ε > 0, se cumple: si 0 < |x− 2| < mın{ ε4, 2}, entonces |f(x)− 4| < ε.

(c) lımx→2+ f(x) 6= lımx→2− f(x).

(d) lımx→2 f(x) = −1

(e) Existe c ∈ [0, 4] tal que f(c) = −12.




1. Considera la ecuacion x4 + ex = 7. ¿Cuantas soluciones tiene en R?

(a) 0.

(b) 1.

(c) 2.

(d) 3.

(e) Infinitas.

(f) Niguna de las anteriores.

2. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es la correcta definicion de derivada de f(x) en el punto a?

(a) Definimos la derivada f ′(a) como aquella que verifica: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)−f(a)x−a

− f ′(a)| < ε.

(b) Definimos la derivada f ′(a) como aquella que verifica: para todo ε > 0 existe δ > 0 tal quesi |x− a| < δ, entonces |f ′(x)− f ′(a)| < ε.

(c) Definimos la derivada f ′(a) como la pendiente de cualquier recta que pase por el punto(a, f(a)).

(d) Definimos la derivada f ′(a) como el lımite lımx→a

f ′(x).

(e) Definimos la derivada f ′(a) como el valor del lımite lımh→∞

f(h)− f(a)

h− a.


3. Si n,m son numeros naturales, ¿cual es el lımx→0+

xn log(xm)?

(a) −∞.

(b) nm

.

(c) n ·m.

(d) n + m.

(e) 0.



{sin x, x > πx−πx−4

, x ≤ πpodemos decir:

(a) f es continua y derivable en π.

(b) f es derivable en π, pero no es continua en π.

(c) Existe lımx→π f ′(x).

(d) f es continua en π, pero no es derivable en π.

(e) f ′(π) = lımx→π− f ′(x).


(CONTINUA DETRAS)

5. Considera la funcion definida en R, f(x) = sin(2x) cos(3x). Indica la afirmacion correcta:

(a) f es decreciente en (0, π6).

(b) Todos los puntos de la forma π2

+ kπ (con k numero entero) son puntos de inflexion de f .

(c) |f(x)− f(y)| ≤ 5|x− y|, para todo x, y ∈ R.

(d) f es convexa en R.

(e) f es concava en R.


6. Las graficas siguientes se corresponden a una funcion f , su derivada f ′ y su derivada segunda f ′′,pero no sabemos si estan colocadas en ese orden. Enumera las graficas en el orden correcto.

(a)

(b)

(c)

(a) a,b,c.

(b) a,c,b.

(c) b,a,c.

(d) b,c,a.

(e) c,a,b.

(f) c,b,a.



1. Considera la funcion f(t) =

{e−1/(1−t)2 t 6= 1

0 t = 1. Si definimos F (x) =

∫ x

0f(t) dt, para todo x ∈ R.

Senala la afirmacion correcta.

(a) F es concava en R.

(b) F no es derivable en R.

(c) F es creciente en R.

(d) F no es una funcion.

(e) f es una primitiva de F .


2. Considera funciones f, g acotadas e integrables en [a, b] ¿Cual de las siguientes afirmaciones esINCORRECTA?

(a) |∫ b

af(x) dx| ≤

∫ b

a|f(x)| dx.

(b) Si g es integrable en [a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

(c) rf + sg es integrable en [a, b] y∫ b

a(rf + sg)(x) dx = r

∫ b

af(x) dx + s

∫ b

ag(x) dx, para todo

r, s ∈ R.

(d) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x) dx ≥ 0.

(e) Si m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], entonces m(b− a) ≤∫ b

af(x) dx ≤M(b− a).


3. Consideremos una funcion acotada definida en [a, b] e integrable. La suma de Riemann de la funcionf correspondiente a una particion P = {x0, · · · , xn} del intervalo [a, b] y puntos intermedios tk ∈[xk−1, xk] (previamente elegidos), k = 1, . . . , n, se define como:

(a) sup{L(P, f) : P particion de [a, b]}, siendo L(P, f) la suma inferior de Riemann correspon-diente a la particion P .

(b) ınf{U(P, f) : P particion de [a, b]}, siendo U(P, f) la suma superior de Riemann correspon-diente a la particion P .

(c)∑n

k=1 f(tk)(xk − xk−1).

(d) La integral∫ b

af(x)dx.

(e)∑n

k=1mk(xk − xk−1), siendo mk = ınf{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}.(f)∑n

k=1Mk(xk − xk−1), siendo Mk = sup{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}.4. Considera la funcion f(x) = x. Indica la afirmacion INCORRECTA.

(a)∫ 2

1x dx = lımn→∞[ 1

n(1 + 1

n) + 1

n(1 + 2

n) + · · ·+ 1

n(1 + n−1

n) + 1

n(1 + n

n)].

(b)∫ 2


n(1 + 0

n) + 1

n(1 + 1

n) + · · ·+ 1

n(1 + n−2

n) + 1

n(1 + n−1

n)].

(c)∫ 2

1x dx = lımn→∞

(1n

(1+0+1+ 1

n

2

)+ 1

n

(1+ 1

n+1+ 2

n

2

)+ · · ·+ 1

n

(1+n−2

n+1+n−1

n

2

)+ 1

n

(1+n−1

n+1+n

n

2

))=

= lımn→∞( 1n(1 + 1

2n) + 1

n(1 + 3

2n) + · · ·+ 1

n(1 + 2n−3

2n) + 1

n(1 + 2n−1

2n)).

(d)∫ 2


2n(1 + 1

2n) + 1

2n(1 + 2

2n) + · · ·+ 1

2n(1 + 2n−1

2n) + 1

2n(1 + 2n

2n)].

(e)∫ 2


2n(1 + 0

2n) + 1

2n(1 + 1

2n) + · · ·+ 1

2n(1 + 2n−2

2n) + 1

2n(1 + 2n−1

2n)].


5. Decimos que una funcion f : [a, b]→ R es integrable si f es acotada y

(a) sup{L(P, f) : P particion de [a, b]} = ınf{U(P, f) : P particion de [a, b]} (siendo L(P, f) yU(P, f) la suma inferior y superior, respectivamente, de f correspondiente a la particion P ).

(b) tiene sumas inferiores y sumas superiores para cualquier particion del intervalo [a, b] (es decir,existen L(P, f) y U(P, f) para cualquier particion P del intervalo [a, b]).

(c) cualquier suma inferior coincide con cualquier suma superior para toda particion P (es decir,L(P, f) = U(P, f) para toda P particion del intervalo [a, b]).

(d) existe una suma inferior que coincide con una suma superior para alguna particion P (esdecir, existe P particion del intervalo [a, b] tal que L(P, f) = U(P, f)).

(e) tiene alguna suma inferior o superior para alguna particion del intervalo [a, b] (es decir, existealguna particion P del intervalo [a, b] tal que L(P, f) o U(P, f) existe).

(f) existe alguna suma superior que es menor extrictamente que su correspondiente suma superiorpara alguna particion P (es decir, existe P particion del intervalo [a, b] tal que U(P, f) < L(P, f)).

6. El area de la region limitada por las funciones f(x) = x2 − 1, g(x) = x− 1 entre x = 0 y x = 2 es:

(a)∫ 2

0π(x2 − x)2 dx.

(b)∫ 2

0π(x4 − x2) dx.

(c)∫ 2

−1(y −

√y + 1) dy.

(d)∫ 1

0(x2 − x) dx+

∫ 2

1(x− x2) dx.

(e)∫ 1

0(x− x2) dx+

∫ 2

1(x2 − x) dx.




1. ¿Cual de las siguientes integrales es impropia?

(a)∫ 1

01

1+sen2 xdx.

(b)∫ 1

01

1+log2 xdx.

(c)∫ π/2

π/41

senxdx.

(d)∫ 1

e−11

1+log xdx.

(e)∫ 2

01

(4−x)5 dx.


2. ¿Cual de las siguientes integrales impropias es convergente?

(a)∫∞

1

√x+2

x3/2+1dx.

(b)∫ 2

1x4+2

(2−x)3/4 dx.

(c)∫∞

1x+2

x2+x+7dx.

(d)∫ 4

1x+2

16−x2 dx.

(e)∫∞−∞

|5−x|x2+1

dx


3. ¿Cual de las siguientes integrales impropias es divergente?

(a)∫∞−∞

senx3

x4+17dx.

(b)∫∞

01√

x(x+1)dx.

(c)∫∞

01

x4+3x2+1dx.

(d)∫∞

01

3√x(x2+7)dx.

(e)∫ 5

01√

x 4√5−x dx.



(a)∫∞

04−senxx+1

dx

(b)∫∞−∞

sen( 1x2+1

)

3√x2+3dx.

(c)∫∞

1sin2 xx4+1

dx.

(d)∫ π/4

0log(cosx)

xdx.

(e)∫∞−1

3√x(x2+1)2/3 dx.


5. Se tiene un cırculo de radio r y centro (0, R) con R > r. Si se le hace girar alrededor del eje x se

obtiene un solido llamado toro, con la forma de una rosquilla. El AREA de la superficie del toro es:

(a)∫ r

−r 2π(R +√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx+∫ r

−r 2π(R−√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx.

(b)∫ r

−r π(R +√r2 − x2)2 dx−

∫ r

−r π(R−√r2 − x2)2 dx.

(c)∫ r

−r π(R +√r2 − x2)2 dx+

∫ r

−r π(R−√r2 − x2)2 dx.

(d)∫ r

−r 2π(R +√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx−∫ r

−r 2π(R−√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx.

(e)∫ r

−r 2π(√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx.


6. El volumen del solido generado al girar alrededor del eje y la region limitada por las funcionesf(x) = 10− x2 y g(x) = x2 entre x = 1 y x = 3 es:

(a)∫ 3

12πx(10− 2x2) dx.

(b)∫ 3

12πx(2x2 − 10)dx.

(c)∫ 3

1π(10− 2x2)2 dx.

(d)∫ √5

1(10− 2x2) dx+

∫ 3√5(2x2 − 10)dx.

(e)∫ √5

12πx(10− 2x2) dx+

∫ 3√5

2πx(2x2 − 10)dx.




1. Considera una sucesion de numeros reales {an}∞n=1 . Indica la afirmacion INCORRECTA:

(a) Decimos que lımn→∞ an = ` (siendo ` un numero real) si para todo ε > 0 existe un numeroN natural tal que |an − `| < ε siempre que n ≥ N .

(b) Decimos que lımn an = ∞ si para todo M numero real, existe N natural tal que an > Msiempre que n ≥ N .

(c) Decimos que lımn an = −∞ si para todo M numero real, existe N natural tal que an < Msiempre que n ≥ N .

(d) Decimos que {an}∞n=1 esta acotada si existe un numero real M > 0 tal que |an| < M paratodo n ∈ N.

(e) Si {an}∞n=1 es convergente, entonces esta acotada.

(f) Si {an}∞n=1 esta acotada, entonces es convergente.

2. Considera sucesiones de numeros reales {an}∞n=1, {bn}∞n=1 y {cn}∞n=1. Indica la afirmacion INCO-RRECTA :

(a) Si existe n0 ∈ N tal que an ≥ 0 para todo n ≥ n0 y la sucesion {an} tiene lımite, entonceslımn an ≥ 0.

(b) lımn an = 0 si y solo si lımn |an| = 0.

(c) Si {an}∞n=1 y {bn}∞n=1 son sucesiones convergentes y existe n0 ∈ N tal que an ≥ bn para todon ≥ n0, entonces lımn an ≥ lımn bn.

(d) Si {an} es una sucesion cualquiera y lımn bn = 0, entonces lımn anbn = 0.

(e) Si lımn an = lımn cn = ` y existe n0 ∈ N tal que an ≥ bn ≥ cn para todo n ≥ n0, entonceslımn bn = `.

(f) lımn an = ` (siendo ` un numero real) si y solo si lımn |an − `| = 0.

3. Indica la afirmacion CORRECTA:

(a) Si 0 < b < 1 entonces lımn bn =∞.

(b) Si 0 < b < 1 entonces lımnn√

b = 0.

(c) Si b > 1 entonces la sucesion {bn}∞n=1 es estrictamente creciente y tiene lımite infinito.

(d) lımn n log(1 + 1n2 ) = 1.

(e) lımn n log(1 + 1√n) = 1.


4. Si {an}n es una sucesion monotona, ¿Cual de las siguientes afirmaciones es la CORRECTA?

(a) Si {an}n esta acotada, entonces es convergente.

(b) Si {an}n es estrictamente creciente, entonces su lımite es ∞.

(c) Si {an}n es estrictamente decreciente, entonces su lımite es −∞.

(d) {an}n es convergente.

(e) {an}n esta acotada.


(CONTINUA DETRAS)

5. ¿Cual de las siguientes sucesiones es DIVERGENTE?

(a) { lognn}n

(b) {n2

en }n(c) {(1 + 1

n)n}n

(d) {√

n2 + n− n}n(e) {( cos(πn)

n)}n


6. ¿Cual de las siguientes sucesiones es CONVERGENTE?

(a) {an}n si definimos an =

{1 si n es par1n

si n es impar

(b) {(−1)n√

n}n(c) {n3−n2+n+1

n2+n+1}n

(d) {an}n si definimos a1 = 2 y an+1 = 2an para n ≥ 1.

(e) { logn√n}n




1. Considera una serie de numeros reales∑∞

n=1 an . Indica la afirmacion correcta:

(a) Si∑∞

n=1 an es convergente, entonces lımn→∞ an = 1.

(b) Si∑∞


(c) Si {an}∞n=1 es convergente, entonces∑∞

n=1 an es convergente.

(d) Si lımn→∞ an = 0, entonces∑∞


(e)∑∞

n=1 an = lımn→∞ an.

(f) Ninguna de la anteriores.

2. Definimos una serie de numeros reales∑∞

n=1 an convergente y con suma S ∈ R:

(a) La sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 es creciente y esta acotada superiormente por S(Sn = a1 + · · ·+ an para todo n ∈ N).

(b) lımn→∞(Sn+1 − Sn) = S (Sn = a1 + · · ·+ an para todo n ∈ N).

(c) La sucesion {an}∞n=1 es creciente y esta acotada superiormente por S.

(d) lımn→∞ an = S.

(e) La sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 converge a S (Sn = a1 + · · · + an para todon ∈ N).


3. Considera dos series de numeros reales∑∞

n=1 an y∑∞

n=1 bn. Indica la afirmacion INCORRECTA:

(a) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an

bn= L ∈ (0,∞), entonces

las dos series convergen o las dos series divergen.

(b) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞

n=1 an diverge, entonces∑∞

n=1 bndiverge.

(c) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an

bn= 0, entonces las dos

series convergen o las dos series divergen.

(d) Supongamos que existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N , que lımn→∞an

bn=∞

y que∑∞

n=1 bn converge. Entonces∑∞

n=1 an converge.

(e) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞

n=1 bn converge, entonces∑∞

n=1 anconverge.

(f) Todas las afirmaciones anteriores son correctas.

4. Cual de las siguientes series converge absolutamente?

(a)∑∞

n=1(1n

+ 12n ).

(b)∑∞

n=1(−1)n

2n+1.

(c)∑∞

n=2(−1)n

n(logn)2.

(d)∑∞

n=1

√n+1√n3+2

.

(e)∑∞

n=1n−1n2+1

.


5. ¿Cual de las siguientes series converge condicionalmente?

(a)∑∞

n=1n sinnn3+1

.

(b)∑∞

n=1(−1)n

n2 .

(c)∑∞

n=1(−1)n

3√n2+1

.

(d)∑∞

n=1(−1)nn2

n2+1.

(e)∑∞

n=1(−1)n2n

n!.


6. ¿Cual de las siguientes series NO es convergente?

(a)∑∞

n=1n cos(nπ)n+1

.

(b)∑∞

n=1cos(nπ)√

n.

(c)∑∞

n=1cos(nπ)

n.

(d)∑∞

n=1cos(nπ)n2 .

(e)∑∞

n=1n cos(nπ)n2+1

.


Análisis Matemático. Grupo B. Test 1 Apellidos, Nombre y Firma:

———————————————————————————————————————————

1. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?

(a) Si a, b ∈ R y 0 < a < b, entonces a2 < b2.

(b) Si a, b, c, d ∈ R, a < b y c < d entonces ac < bd.

(c) Si a, b, c ∈ R, a < b, y c < 0, entonces ac > bc.

(d)√


(e) Si a, b, c ∈ R y a < b, entonces a + c < b + c.

2. El ınfimo del conjunto A = { 1n

: n ∈ N} es

(a) 0

(b) −0,01

(c) 1

(d) No tiene, porque 0 6∈ A.

(e) Cualquier numero real menor o igual que 0.

3. El conjunto de los numeros reales x que verifican x+22x−1

≥ 2 es:

(a) (−∞, 43]

(b) (−∞, 12)

(c) [43,∞)

(d)(12, 4

3]

(e) (−∞, 12) ∪ [4

3,∞)

4. El conjunto de los puntos x reales que verifican |2x + 3| < 1 es:

(a) (−∞,−2) ∪ (−1,∞)

(b) (−∞,−2)

(c) (−∞,−1)

(d) [−2,−1]

(e) (−2,−1)

5. El conjunto de los puntos x reales que verifican |x− 1| ≥ 1 es:

(a) (−∞, 0] ∪ [2,∞)

(b) (−∞, 0]

(c) [2,∞)

(d) (−∞, 2]

(e) [0,∞)

6. El conjunto de los puntos x reales que verifican |x2 − 3x| > 1 es:

(a) (−∞, 3−√

132

) ∪ (3+√

132

,∞)

(b) (3−√

52

, 3+√

52

)

(c) (3−√

132

, 3+√

132

)

(d) (−∞, 3−√

132

) ∪ (3−√

52

, 3+√

52

) ∪ (3+√

132

,∞)

(e) No hay ningun x real que verifique la desigualdad.

Analisis Matematico. Grupo B. Test 2


1. Los argumentos de los numeros complejos z ∈ C que verifican z3 = −1 + i son

(a) 5π12

, 7π12

, 13π12

.

(b) π4, 11π

12, 19π

12.

(c) π12

, 9π12

, 17π12

.

(d) Solo hay un numero complejo que verifica la ecuacion y tiene argumento 9π4

.


2. Del polinomio en C, p(z) = anzn + · · · + a1z + a0 (con an, . . . , a0 ∈ C coeficientes del polinomio)

podemos decir:

(a) Existen w1, ..., wn ∈ C (no necesariamente distintos) tales que p(z) = (z−w1)×· · ·×(z−wn).

(b) Las raices del polinomio son las raices complejas n-esimas de a0.

(c) p(z) > 0 para todo z ∈ C.

(d) p(z) tiene una raiz real (es decir, existe x ∈ R tal que p(x) = 0).


3. Considera el numero complejo z = 1 + i + 3+2i1−i . Indica la afirmacion correcta:

(a) Re(z) = 1, Im(z) = i + 3+2i1−i .

(b) Re(z) = 4, Im(z) = 2.

(c) No es un numero complejo, y por tanto no tiene ni parte real ni parte imaginaria.

(d) Re(z) = 72, Im(z) = 3

2.

(e) Re(z) = 32, Im(z) = 7

2.

4. Considera el numero complejo z = −1 +√

3 i. Entonces z17 es:

(a)−216(1−√

3 i).

(b) 216(1 +√

3 i).

(c)−216(1 +√

3 i).

(d) 216(1−√

3 i).


5. Del conjunto A = {x ∈ Q : (6−x)(x−4)1+x

≤ 0} podemos decir que:

(a) Tiene mınimo y no tiene maximo.

(b) No tiene mınimo y tiene maximo.

(c) Tiene supremo pero no tiene maximo.

(d) Tiene ınfimo y no tiene supremo.

(e) Tiene mınimo y supremo.

6. Del conjunto A = {x ∈ R \Q : (2−x)(x−1)x

≥ 0} podemos decir que:



(c) Tiene supremo pero no tiene maximo.


(e) Tiene ınfimo y supremo.

Análisis Matemático. Grupo B. Test 3



(a) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(b) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− b| < ε, entonces 0 < |x− a| < δ.

(c) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < ε entonces |f(x)− b| < δ.

(e) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.


x si x > 1

−1 si x = 1

x2 si x < 1


(a) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− 1| < δ entonces |f(x)− 1| < ε.

(b) lımx→1+ f(x) 6= lımx→1− f(x).

(c) No existe el lımx→1 f(x).

(d) lımx→1 f(x) = −1

(e) f es continua en x = 1.


{ex, si x ≥ 0

sinx, si x < 0podemos decir:

(a) f es continua en 0.

(b) Existe el lımx→0 f(x).

(c) f es continua por la izquierda en 0.

(d) f es continua por la derecha en 0.



(a) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < ε entonces |f(x)− f(a)| < δ.

(b) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− f(a)| < ε, entonces |x− a| < δ.

(c) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(e) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

5. Considera la funcion f(x) = 1

1+cos2(x3)+ex2 . Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→∞ f(x) =∞.

(b) Existe c ∈ R tal que f(c) = 14.

(c) f no es continua en x = 0.

(d) lımx→−∞ f(x) = 0.

(e) Ninguna de las anteriores.(Continua detras)


{1x2 , x > 0

ex, x ≤ 0podemos decir:


(b) Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x| < δ entonces f(x) > M .

(c) Existe el lımx→0 f(x).

(d) Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x < δ entonces f(x) > M .




1. Considera la funcion f(x) = x + sin2 x2


(a) |f(x)− f(y)| ≤ 2|x− y| para todo x, y ∈ R.

(b) f es decreciente en (0,∞).

(c) f es convexa en (0,∞).

(d) f es concava en (0,∞).


2. Considera la ecuacion x2 − log x = 12

(logaritmo neperiano). ¿Cuantas soluciones tiene en R?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) Infinitas

3. ¿Cual es el lımx→0+ x log(tg x)?

(a) 0.

(b) 1.

(c) 0.

(d) No existe porque nos da una indeterminacion del tipo 0 · ∞.

(e) 2.

4. Considera una funcion f acotada e integrable en [a, b] ¿Cual de las siguientes afirmaciones esINCORRECTA?

(a) Si m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], entonces m(b− a) ≤∫ b

af(x) dx ≤M(b− a).

(b) |∫ b

af(x) dx| ≥

∫ b

a|f(x)| dx.

(c) Si g es integrable en [a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

(d)∫ b

af(x) dx = sup{L(P, f) : P particion de [a, b]} = ınf{U(P, f) : P particion de [a, b]}.

(Recuerda que L(P, f) es la suma inferior de f correspondiente a la particion P y U(P, f) es lasuma superior de f correspondiente a la particion P ).

(e) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces∫ b

af(x) dx ≥ 0.

5. Considera la funcion f(x) = x4/9. Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→0 f ′(x) = 0.

(b) f es concava en R.

(c) f es convexa en R.

(d) lımx→∞ f ′(x) = 0.

(e) Ninguna de las anteriores. (CONTINUA DETRAS)

6. Considera la funcion f(x) = x(arc tg(x)− π2). Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→∞ f(x) = +∞.

(b) lımx→∞ f(x) = 0.

(c) No existe lımx→∞ f(x).

(d) lımx→∞ f(x) = −∞.

(e) lımx→∞ f(x) = −1.

Análisis Matemático. Grupo B. Test 6Apellidos, Nombre y Firma:———————————————————————————————————————————


{sin t2

t2t 6= 0


∫ x

0f(t) dt, senala la afirmacion

correcta.

(a) F no es una funcion.

(b) F es derivable en R.

(c) f es una primitiva de F .

(d) F es creciente en R.


2. Consideremos una funcion acotada definida en [a, b] e integrable. La suma de Riemann de la funcionf correspondiente a una particion P = {x0, · · · , xn} y puntos intermedios tk ∈ [xk−1, xk], k =1, . . . , n es

(a) la integral∫ b

af(x)dx.

(b) sup{L(P, f) : P particion de [a, b]}, siendo L(P, f) la suma inferior de Riemann correspon-diente a la particion P .

(c) ınf{U(P, f) : P particion de [a, b]}, siendo U(P, f) la suma superior de Riemann correspon-diente a la particion P .

(d)∑n

k=1 f(tk)(xk − xk−1).

(e) Ninguna de las anteriores

3. El area de la region limitada por las funciones f(x) = x2

y g(x) = x2 entre x = 0 y x = 2 es:

(a)∫ 2

0(x

2− x2) dx.

(b)∫ 2

0(x2 − x

2) dx.

(c)∫ 1/2

0(x2 − x

2) dx+

∫ 2

1/2(x

2− x2)dx.

(d)∫ 1/2

0(x

2− x2) dx+

∫ 2

1/2(x2 − x

2)dx.

(e)∫ 2

0π(x2 − x

2)2 dx.

4. Considera la funcion f(x) = x2 y g(x) = x2. El volumen del solido generado al girar alrededor del

eje x la region del plano limitada por las dos funciones entre x = 0 y x = 2 es:

(a)∫ 2

0π(x2

4− x4) dx.

(b)∫ 2

0(x2 − x

2)2 dx.

(c)∫ 2

0π(x4 − x2

4) dx.

(d)∫ 1/2

0π(x2

4− x4) dx+

∫ 2

1/2π(x4 − x2

4)dx.

(e)∫ 1/2

0π(x4 − x2

4) dx+

∫ 2

1/2π(x2

4− x4)dx.

(CONTINUA DETRAS)

5. Considera la funcion f(x) = x2 y g(x) = x2. El volumen del solido generado al girar alrededor del

eje y la region del plano limitada por las dos funciones entre x = 0 y x = 8 es:

(a)∫ 4

0π(y − 4y2) dy.

(b)∫ 1/4

0π(y − 4y2) dy +

∫ 4

1/4π(4y2 − y)dy.

(c)∫ 4

0π(2y −√y)2 dy.

(d)∫ 1/4

0π(4y2 − y) dy +

∫ 4

1/4π(y − 4y2)dy.

(e)∫ 1/2

0π(4y2 − y) dy +

∫ 2

1/2π(y − 4y2)dy.

6. La longitud del arco de curva formado por la funcion f(x) = x3 entre x = 1 y x = 3 es

(a)∫ 3

12πx4 dx.

(b)∫ 3

1

√1 + 9x4 dx

(c)∫ 3

12πx4

√1 + 9x4 dx.

(d)∫ 3

1πx6 dx.


Análisis Matemático. Grupo B. Test 7Apellidos, Nombre y Firma:———————————————————————————————————————————

1. ¿Cual de las siguientes integrales es impropia?

(a)∫ 1

0x2 dx

(b)∫ 1

01

1+x2 dx.

(c)∫ 1

01

x+1dx.

(d)∫ 1

01

x−1dx.



(a)∫ 1

01x2 dx.

(b)∫ 1

01

(x−1)2dx.

(c)∫∞

11√xdx.

(d)∫∞

11x2 dx.



(a)∫ 1

−21√x+2

dx.

(b)∫ 2

01

(x−2)3/4 dx.

(c)∫ 1/2

01

(2x−1)4dx.

(d)∫ 1

01

(2x−1)4/5 dx.



(a)∫∞

1x+2

x2+x+7dx.

(b)∫∞

1x+2

x3+x+7dx.

(c)∫∞

1

√x+2

x+9dx.

(d)∫∞

1

√x+2√x3+9

dx.



(a)∫∞

01

x4+3x2+1dx.

(b)∫∞

01

x(x+7)dx.

(c)∫∞−∞

sen xx4+1

dx.

(d)∫∞

01

3√x(x+1)dx.


(CONTINUA DETRAS)


(a)∫∞

1sin xx2+1

dx.

(b)∫∞

13+cos x

xdx

(c)∫∞−∞

arc tg x3√x2+3

dx.

(d)∫ 1

0cos x

xdx.






(a) Si∑∞


(b) Si {an}∞n=1 es convergente, entonces∑∞


(c) Si lımn→∞ an = 0, entonces∑∞


(d) Si∑∞


(e) Ninguna de la anteriores.

2. Decimos que una serie de numeros reales∑∞

n=1 an es convergente y que su suma es S ∈ R si :

(a) lımn→∞ an = S.

(b) la sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 es creciente y esta acotada superiormente por S.

(c) la sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 converge a S, siendo Sn = a1 + · · ·+ an para todon ∈ N.

(d) lımn→∞(Sn+1 − Sn) = S.


3. Considera dos serie de numeros reales∑∞

n=1 an y∑∞


(a) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞


n=1 anconverge.

(b) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an



(c) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an



(d) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞


n=1 bndiverge.

(e) Supongamos que existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N , que lımn→∞an

bn=∞

y que∑∞

n=1 an converge. Entonces∑∞

n=1 bn converge.


(a)∑∞

n=1

√n+1√n3+2

.

(b)∑∞

n=2(−1)n

n(logn)2.

(c)∑∞

n=1n−1n2+1

.

(d)∑∞

n=1(1n

+ 12n ).

(e)∑∞

n=1(−1)n

2n+1.

5. Indica la afirmacion INCORRECTA:

(a) Si existe n ∈ N tal que an ≤ bn ≤ cn para todo n ≥ N y lımn→∞ an = lımn→∞ cn, entoncespodemos afirmar que lımn→∞ bn = lımn→∞ an.

(b) Toda sucesion acotada es convergente.

(c) Toda sucesion convergente esta acotada.

(d) Si una sucesion decreciente esta acotada, entonces podemos asegurar que es convergente.

(e) Si existe N ∈ N tal que |an − 1| ≤ 1√n

para todo n ≥ N , entonces podemos asegurar que

lımn→∞ an = 1.(CONTINUA DETRAS)


(a)∑∞

n=1n cos(nπ)n+1

.

(b)∑∞

n=1cos(nπ)

n.

(c)∑∞

n=1cos(nπ)n2 .

(d)∑∞

n=1cos(nπ)√

n.

(e)∑∞

n=1n cos(nπ)n2+1

.



1. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?

(a) Si a, b ∈ R y a < b, entonces a2 < b2.

(b) Si r, s ∈ Q, entonces r + s ∈ Q.

(c) Si a, b, c ∈ R, a < b, y c < 0, entonces ac > bc.

(d)√


(e) Si a, b, c ∈ R y a < b, entonces a + c < b + c.

2. El supremo del conjunto A = (R \Q) ∩ (0, 1) es:

(a) 0

(b) 1/2

(c) 1

(d) No tiene, porque es un conjuntos de numeros irracionales.

(e) Cualquier numero real mayor o igual que 1.

3. Del conjunto B =

{1− x2

1 + x2: x ∈ R

}podemos decir:

(a) No tienes cotas inferiores, puesto que x recorre todos los numeros reales.

(b) No tiene cotas superiores, puesto que x recorre todos los numeros reales.

(c) Una cota inferior de B es −2.

(d) Una cota superior de B es 0.

(e) B tiene ınfimo pero no tiene supremo.

4. El conjunto de los puntos x reales que verifican |2x + 1| = 1 es:

(a) {0}(b) (−∞, 0]

(c) [0,∞)

(d) {−1}(e) {0,−1}

5. El conjunto de los puntos x reales que verifican |x2 − 1| < 1 es:

(a) (−√

2,√

2) \ {0}(b) (−∞,

√2)

(c) (−12, 1

2)

(d) (0, 2)

(e) (−√

2,√

2)

6. Consideremos el numero complejo z = 1 + i. Entonces z20 es:

(a) 220(1 + i)

(b) 1− i

(c) 20(1 + i)

(d) −1

(e) −210



1. Los argumentos de los numeros complejos z ∈ C que verifican z3 = i son

(a) π2, π, 3π

2.

(b) π, 3π2

, 2π.

(c) π6, 5π

6, 9π

6.

(d) 0, π2, π.


2. Del polinomio en C, p(z) = z8 + 2z6 + z4 + 3z2 + 1 podemos decir:

(a) Existen w1, ..., w8 ∈ C (no necesariamente distintos) tales quep(z) = (z − w1)× · · · × (z − w8).

(b) p(i) = p(−i) = 0

(c) p(z) > 0 para todo z ∈ C.

(d) p(z) tiene una raiz real (es decir, existe x ∈ R tal que p(x) = 0).



(a) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(b) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.

(c) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < ε entonces |f(x)− b| < δ.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− b| < ε, entonces 0 < |x− a| < δ.

(e) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− b| < ε.


{x si x 6= 1

−1 si x = 1. Indica la afirmacion correcta:


(b) Para todo ε > 0 existe δ := ε > 0 tal que si 0 < |x− 1| < δ entonces |f(x)− 1| < ε.

(c) lımx→1+ f(x) 6= lımx→1− f(x).

(d) lımx→1 f(x) = −1


5. El conjunto de puntos x ∈ R que verifican | |x− 1|+ 1| = 2 es

(a) {0, 2}(b) {2}(c) {−2, 0, 2, 4}(d) {−2, 2}(e) No existe ningun numero real que verifique la ecuacion.

6. Del conjunto A = {x ∈ R : (x+2)(x−1)x+1

> 0} podemos decir que:



(c) No tiene ni ınfimo ni supremo.


(e) Tiene ınfimo y supremo.




{x2, si x ≥ 0

1− x2, si x < 0podemos decir:


(b) Existe el lımx→0 f(x).

(c) f es continua por la izquierda en 0.

(d) Existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe un punto x ∈ R, 0 < |x| < δ, con |f(x)| ≥ ε.


2. Considera la funcion f(x) = |x− 1|+ |x|. Indica la afirmacion correcta:

(a) f(x) ≥ 1 para todo x ∈ R.

(b) f no esta acotada en [0, 1]; es decir el conjunto {f(x) : x ∈ [0, 1]} no esta acotado en R.

(c) f no es continua ni en x = 0 ni en x = 1.

(d) Existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn verificando 0 < |xn| < 1n

y |f(xn)− 1| > ε.

(e) Niguna de las anteriores.


(a) Existe ε > 0 y existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(b) Para todo δ > 0 existe ε > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

(c) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < ε entonces |f(x)− f(a)| < δ.

(d) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |f(x)− f(a)| < ε, entonces |x− a| < δ.

(e) Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < ε.

4. Considera la funcion f(x) = ecosx sinx. Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→∞ f(x) =∞.

(b) Existe c ∈ (0, π2) tal que ecos c sin c = 1

2.

(c) f no es continua en x = 0.

(d) lımx→−∞ f(x) = 0.


5. El conjunto de puntos x ∈ R que verifican | x−12x−1− 1| < 1 es

(a) (0, 2)

(b) (−∞, 13).

(c) (1,∞).

(d) (−∞, 13) ∪ (1,∞).

(e) No existe ningun numero real que verifique la ecuacion.


{1x3 , x > 0

x2, x ≤ 0podemos decir:

(a) Existe el lımx→0 f(x).

(b) f es continua en 0.

(c) Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x < δ entonces f(x) > M .

(d) Para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x| < δ entonces f(x) > M .




1. Considera la funcion f(x) = |x− 5|. Senala la afirmacion correcta.

(a) f no es continua en x = 5.

(b) No existe el lımx→5+ f ′(x).

(c) No existe el lımx→5− f ′(x).

(d) Existe el lımx→5 f ′(x).

(e) f no es derivable en x = 5.

2. Considera la funcion definida en R, f(x) =

{x2 − 3, x ≥ 1

1x−1

, x < 1.Indica la afirmacion correcta:

(a) f(x) es continua en x = 1.

(b) f es derivable en R.

(c) Existen max{f(x) : x ∈ [−1, 1]} y mın{f(x) : x ∈ [−1, 1]} .

(d) Puesto que f(0) = f(√

2), existe c ∈ (0,√

2) tal que f ′(c) = 0.

(e) Existe el lımx→1+ f ′(x).

3. Considera la funcion f(x) = x + log x (logaritmo neperiano). Indica la afirmacion correcta.

(a) |f(x)− f(y)| < 2|x− y| para todo x, y > 1.

(b) Existen dos puntos distintos a, b > 0 tales que f(a) = f(b).

(c) f es estrictamente decreciente en (0,∞).

(d) f es convexa en (0,∞).


4. Considera la funcion f(x) = |x2 − x|. Indica la afirmacion correcta.

(a) f es convexa en los intervalos (−∞, 0) y (1,∞) y concava en (0, 1).

(b) f es convexa en todo R.

(c) f tiene un maximo absoluto en R.

(d) f no tiene mınimos relativos.


5. Considera la ecuacion x2 + log x = 3 (logaritmo neperiano). ¿Cuantas soluciones tiene en R?

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) Infinitas

6. Considera la funcion f(x) = x2/3. Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→0 f ′(x) =∞.

(b) f es concava en R.

(c) f tiene un maximo absoluto en R.

(d) f no es derivable en x = 0.





{sin tt

t 6= 0


∫ x0f(t) dt, senala la afirmacion

correcta.

(a) F no es continua en x = 0.

(b) F es creciente en R.

(c) F es convexa en R.

(d) F es creciente en (−π, π).


2. ¿Cual es el lımx→0+ xc log(sinx) si c > 0?

(a) 0 si 0 < c < 1; ∞ si c ≥ 1.

(b) 1.

(c) 0.

(d) No existe.

(e) 2.

3. Considera una funcion f acotada e integrable en [a, b] ¿Cual de las siguientes afirmaciones esINCORRECTA?

(a) |∫ baf(x) dx| ≥

∫ ba|f(x)| dx.

(b) Si m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b], entonces m(b− a) ≤∫ baf(x) dx ≤M(b− a).

(c) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces∫ baf(x) dx ≥ 0.

(d) Si g es integrable en [a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces∫ baf(x) dx ≤

∫ bag(x) dx.

(e)∫ baf(x) dx = sup{L(P, f) : P particion de [a, b]} = ınf{U(P, f) : P particion de [a, b]}.

(Recuerda que L(P, f) es la suma inferior de f correspondiente a la particion P y U(P, f) es lasuma superior de f correspondiente a la particion P ).

4. Considera la funcion f(x) = x2. Indica la afirmacion INCORRECTA.

(a)∫ 1

0x2 dx = lımn→∞( 1

n1n2 + 1

n22

n2 + · · ·+ 1n

(n−1)2

n2 + 1nn2

n2 ).

(b)∫ 1

0x2 dx = lımn→∞( 1

n· 0 + 1

n1n2 + · · ·+ 1

n(n−2)2

n2 + 1n

(n−1)2

n2 ).

(c)∫ 1

0x2 dx = lımn→∞

(1n

(0+ 1

n

2

)2

+ 1n

(1n

+ 2n

2

)2

+ 1n

(2n

+ 3n

2

)2

+ · · ·+ 1n

(n−1

n+n

n

2

)2)

=

= lımn→∞( 1n

1(2n)2

+ 1n

32

(2n)2+ 1

n52

(2n)2+ · · ·+ + 1

n(2n−1)2

(2n)2).

(d)∫ 1

0x2 dx = lımn→∞( 1

n21n2 + 1

n222

n2 + · · ·+ 1n2

(n−1)2

n2 + 1n2

n2

n2 ).

(e)∫ 1

0x2 dx = lımn→∞( 1

2n· 0 + 1

2n1

(2n)2+ 1

2n22

(2n)2· · ·+ 1

2n(2n−2)2

(2n)2+ 1

2n(2n−1)2

(2n)2).

5. Considera la funcion f(x) =

{x2 + 1 x ≤ 0

(1 + 1x)x

2x > 0


(a) No existe el lımx→0+ f(x).

(b) f no es continua en 0.

(c) No existe el lımx→0+ f ′(x).

(d) f no es diferenciable en x = 0.


6. Considera la funcion f(x) = x(arc tg(log x)− π2). Indica la afirmacion correcta.

(a) lımx→∞ f(x) = +∞.

(b) lımx→∞ f(x) = −∞(c) No existe lımx→∞ f(x).

(d) lımx→∞ f(x) = 0.

(e) lımx→∞ f(x) = 1.




{1−cos t

t2t 6= 0

12

t = 0. Entonces

(a) Existe la integral impropia∫∞−∞ f(x)dx, y es divergente.

(b) Existe la integral impropia∫∞−∞ f(x)dx, y es convergente.

(c) No existe el lımt→∞∫ t

0f(x)dx.

(d) No existe el lımt→−∞∫ 0

tf(x)dx.


2. Considera la funcion f(x) = 1(x−1)p . Entonces,

(a) La integral impropia∫∞

1f(x)dx converge si p ≤ 1 y diverge si p > 1.

(b) La integral impropia∫∞

1f(x)dx converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.

(c) La integral impropia∫∞

1f(x)dx converge si p > 0.

(d) No existe la integral impropia∫∞

1f(x)dx.

(e) La integral impropia∫∞

1f(x)dx diverge si p > 0.

3. Indica la afirmacion INCORRECTA.

(a) Si f : [a, z]→ R es integrable para todo a ≤ z <∞ y lımz→∞∫ z

a|f(x)|dx = L ∈ R, entonces

existe la integral impropia∫∞

af(x)dx y es convergente.

(b) Si f : [a, z]→ R es integrable para todo a ≤ z < ∞ y lımz→∞∫ z

af(x)dx = L ∈ R, entonces

existe la integral impropia∫∞

a|f(x)|dx y es convergente.

(c) Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b), que f y g son integrable en [a, z]

para todo a ≤ z < b, y que existe la integral impropia∫ b

af(x)dx y es divergente. Entonces existe

la integral impropia∫ b

ag(x) dx y es divergente.

(d) Supongamos que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b), que f y g son integrable en [a, z]

para todo a ≤ z < b, y que existe la integral impropia∫ b

ag(x)dx y es convergente. Entonces existe


af(x) dx y es convergente.

(e) Supongamos que 0 ≤ |f(x)| ≤ g(x) para todo x ∈ (a, b], que f y g son integrables en [z, b]

para todo a < z ≤ b, y que existe la integral impropia∫ b

ag(x)dx y es convergente. Entonces existe


af(x) dx y es convergente.

4. El area de la region limitada por las funciones f(x) = 2x+ 1 y g(x) = x2 entre x = 0 y x = 4 es:

(a)∫ 1+

√2

0(2x+ 1− x2) dx+

∫ 4

1+√

2(x2 − 2x− 1)dx.

(b)∫ 1+

√2

1−√

2(2x+ 1− x2) dx.

(c)∫ 1+

√2

0(x2 − 2x− 1) dx+

∫ 4

1+√

2(2x+ 1− x2)dx.

(d)∫ 4

0(x2 − 2x− 1) dx.

(e)∫ 4

0(2x+ 1− x2) dx.

5. El volumen del solido generado al girar alrededor del eje x, la region limitada por las funcionesf(x) = x2 y g(x) =

√x entre x = 0 y x = 1 es:

(a)∫ 1

0(x2 −

√x)dx.

(b)∫ 1

0π(x2 −

√x)2dx.

(c)∫ 1

0(√x− x2)dx.

(d)∫ 1

0π(x4 − x)dx.

(e)∫ 1

0π(x− x4)dx.

6. Indica la integral impropia que no es convergente.

(a)∫ 1

01√xdx.

(b)∫ 1

01√1−x

dx.

(c)∫∞

11

x3/2dx.

(d)∫ 0

−∞1

x4+1dx.

(e)∫ 1

01

x(x8+1)dx.



1. Considera la funcion f(x) = |x− sinx| en el intervalo [−π, π]. Entonces:

(a) f es estrictamente creciente.

(b) f es estrictamente decreciente.

(c) f es concava en (−ππ).

(d) f es derivable en x = 0.


2. El lımx→0sin(arc tg x)log(1−x)

(a) no existe,

(b) es −1,

(c) es −2,

(d) es 0,

(e) es 1.

3. Considera la funcion f : [0, 2]→ R, f(x) =√x(2− x). Entonces:

(a) f alcanza el maximo absoluto en x = 0 y el mınimo absoluto en x = 1.

(b) f es estrictamente creciente.

(c) max{f(x) : 0 ≤ x ≤ 2} = 2.

(d) f ′ tiene dos asıntotas verticales, x = 0 y x = 2.

(e) Ninguna de la anteriores

4. El volumen del solido generado al girar alrededor del eje y la region limitada por las funcionesf(x) = 10− x2 y g(x) = x2 entre x = 1 y x = 3 es:

(a)∫ √5

12πx(10− 2x2) dx+

∫ 3√5

2πx(2x2 − 10)dx.

(b)∫ 3

12πx(10− 2x2) dx.

(c)∫ 3

12πx(2x2 − 10)dx.

(d)∫ 3

1π(10− 2x2)2 dx.

(e)∫ √5

1(10− 2x2) dx+

∫ 3√5(2x2 − 10)dx.

5. Se tiene un cırculo de radio r y centro (0, R) con R > r. Si se le hace girar alrededor del eje x seobtiene un solido llamado toro, con la forma de una rosquilla. El area de la superficie del toro es:

(a)∫ r

−r2π(R +

√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx−∫ r

−r2π(R−

√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx.

(b)∫ r

−r2π(R +

√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx+∫ r

−r2π(R−

√r2 − x2)

√1 + x2

r2−x2 dx.

(c)∫ r

−rπ(R +

√r2 − x2)2 dx−

∫ r

−rπ(R−

√r2 − x2)2 dx.

(d)∫ r

−rπ(R +

√r2 − x2)2 dx+

∫ r

−rπ(R−

√r2 − x2)2 dx.


6. El numero de soluciones de la ecuacion x3 − log x = 1 es:

(a) 0.

(b) 1.

(c) 2.

(d) 3.

(e) Infinitas





(a) Si∑∞


(b) Si∑∞


(c) Si {an}∞n=1 es convergente, entonces∑∞


(d) Si lımn→∞ an = 0, entonces∑∞



2. Decimos que una serie de numeros reales∑∞

n=1 an es convergente y que su suma es S ∈ R si :

(a) lımn→∞ an = S.

(b) la sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 converge a S, siendo Sn = a1 + · · ·+an para todon ∈ N.

(c) la sucesion de sus sumas parciales {Sn}∞n=1 es creciente y esta acotada superiormente por S.

(d) lımn→∞(Sn+1 − Sn) = S.


3. Considera dos serie de numeros reales∑∞

n=1 an y∑∞


(a) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞


n=1 anconverge.

(b) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an



(c) Si existe N ∈ N tal que 0 ≤ an ≤ bn para todo n ≥ N y∑∞


n=1 bndiverge.

(d) Si existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N y lımn→∞an



(e) Supongamos que existe N ∈ N tal que an > 0, bn > 0 para todo n ≥ N , que lımn→∞an

bn=∞

y que∑∞

n=1 bn converge. Entonces∑∞

n=1 an converge.


(a)∑∞

n=1

√n+1√n3+2

.

(b)∑∞

n=1n−1n2+1

.

(c)∑∞

n=1(1n

+ 12n ).

(d)∑∞

n=1(−1)n

2n+1

(e)∑∞

n=2(−1)n

n(logn)2.

5. ¿Cual de las siguientes series converge condicionalmente?

(a)∑∞

n=1(−1)n

n2 .

(b)∑∞

n=1(−1)n

3√n2+1

.

(c)∑∞

n=1n sinnn3+1

.

(d)∑∞

n=1(−1)nn2

n2+1.

(e)∑∞

n=1(−1)n2n

n!.


(a)∑∞

n=1cos(nπ)

n.

(b)∑∞

n=1cos(nπ)n2 .

(c)∑∞

n=1n cos(nπ)n+1

.

(d)∑∞

n=1cos(nπ)√

n.

(e)∑∞

n=1n cos(nπ)n2+1

.

Analisis Matematico. Grupo B. Soluciones a los Test

TEST 1. (a), (c), (c), (e), (a), (e).

TEST 2. (c), (a), (e), (b), (a), (d).

TEST 3. (d), (a), (e), (b), (d), (c).

TEST 4. (e), (e), (a), (a), (b), (d).

TEST 5. (d), (c), (a), (d), (e), (a).

TEST 6. (b), (b), (b), (a), (e), (e).

TEST 7. (d), (b), (d), (a), (b), (c).

TEST 8. (a), (b), (d) o (e), (e), (b), (c).

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An alisis Matem atico. Grupo D. Test 1marjim/testAM.pdfAn alisis Matem atico. Grupo D. Test 2 Apellidos, Nombre y Firma: ||||| 1. Los argumentos y m odulos de los numeros complejos