41 2 222 22R RSSR = =K K K KK K K
SI = 1 rad U = ct. aplicm T2 221CU We = 220 0Rd dSCr r = =
> = |||
\|=|||
\| == ==0412 212 220 220U k UdRURdWM Xr rct U M (cuplul mecanic)
acioneaz n sensul creterii unghiului 42 ELECTROCINETICA Sarcinile
electrice pot avea o micare ordonat: micarea electronilor accelerai
ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni)
ntr-un accelerator de particule; deplasarea electronilor liberi n
corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n
semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice;
deplasareacuvitez,macroscopicacorpurilorncrcatecusarcini electrice;
deplasarea unei bile electrizate. Electrocinetica studiaz
fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n corpuri
conductoare.
Deplasareaordonatapurttorilordesarcinincorpuriconductoarese
numeteconducieelectric.Sefoloseteexplicit:conductoarenstaredeconducie
electric.
ncadrulacestuicapitolsevortratacuprecderefenomeneleaferente
regimului staionar, caracterizat prin: vitez medie constant a
purttorilor de sarcinict v = ;
mrimilececaracterizeazfenomenelesuntinvariabilenraportcu timpul( )
0 = t; fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de
cldur cu mediul nconjurtor0 Q .
Mrimeafiziccecaracterizeazstareadeconducieesteintensitatea
curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin
definiie numeric egal cu sarcinaetransportat prin seciunea
transversal n unitatea de timp. dtdqtqit== 0lim(1) A iSI1 = > =
< 1 (Legea conduciei electrice n form local) J E E i= + = )
(1(10) - conductivitatea electric , 1 11 = > < mSI sau
Siemens / metru Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene
i poate fi de natur
chimic(bateriialcaline)saumecanic(generatoarelerotativedeinducie
electromagnetic). Corpuri omogene: J E = (11) J E = (11) ( ) = =
+212121SdliSSl d J l d E E i S J i = = + 212121Sdli l d E l d E i i
R e u = + (12)
Relaia(12)reprezintformaintegralalegiiconducieielectricepentruo
poriune de conductor neomogen. 47 u - tensiunea la bornele poriuni
de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele
de natur neelectric; R - rezistena electric a poriunii de
conductor. Pentru conductoarele de seciune constant : ==..ctct S
SlR= (13) Dacseconcentreazparteaomogen,respectivceaneomogenobinem
schema echivalent din fig.: Regim staionar:. ct u = U u ,E e , I i
I R E U = +(14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea
cmpului electricE !). ( ) | |0 01 T T + = (15) Relaia (15) arat
dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n domeniul
temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti. - reprezint
coeficientul de temperatur;0 > n general 0 - corespunde laK
T0020 273 + =mmmmCu22 8010 7 , 1 10 7 , 1 = mAl 8010 4 , 2 mAg 8010
6 , 1 Constantan (aliaj) m 6010 50
Existmaterialecareinvecintateatemperaturiide0absolutprezint
fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea
rezistivitii . IReuI REUi K 10 T15 exp r0 48 l12SdvdlVLegea
transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz) l E q l F
Leel = = t v l = t v E q Le = (3) JN qve = 1t J ENL = 1Pentru
unitatea de volum(N purttori elementari): t J E L N L = = 'J E -
reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n
stare de conducie. J EtLptj == 0lim (16) Aceast putere se transform
integral n cldur.
Relaia(16)reprezintformalocalalegiitransformriienergieinprocesul de
conducie electric.
Enun:Putereatransformatncldurcorespunztoareunitiidevoluma unui
conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar
ntre E i J. 2 31 1 1mAmVmWpSI = = > =EI PRI Pgj
= > < 1SIR (Ohm) W PSI1 = > < (Watt) Energia
electric Energiaelectricconsumatdeoporiunedeconductoraflatnstarede
conducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala
puterii n acel timp. =ttdt P W0 ) ( .0t t P t P W ct P = = = J WSI1
= > < (Joule)1s 1W 1J = kWh Wtehnic1 = > Pq0 0 Pg = <
rERbaterieelectric schemaneomogen parteelectric circuit omogen
parte+ - UE( ) 0 = RU = -E U = E sau JR 51 IRU( ) t u( ) t iL( ) t
u( ) t iC( )dtduC t i =1E3E1I1R1n2n3n1U2U2I
2R3R4I4R5I5J2b1bRezistorul ideal = 0 E I R U =RG1=- conductana
electric S GSI1 = > < (Siemens),1S = 1 -1 U G I = Bobina
ideal L - inductana ( )dtdiL t u =n regim staionar:) ( 0 0 it
scurtcircu Udtdi= = Nu vom folosi bobina n acest capitol.
Condensatorul ideal n regim staionar:0 0 = = Idtdu(mers n gol)
Nuvomfolosicondensatorulnacest capitol.
Elementelesuntconcepteidealizatecuajutorulcrorapotfiexplicate
fenomenereale.Unelementdecircuitidealfuncioneazpebazauneisingure
proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare.
Elemente de topologie a circuitelor electrice 52 1n2n3n1b2b) 1 () 2
() 3 () 4 () 5 (1n2n3n) 2 () 4 () 5 () (a Latur de circuit este
oporiune frramificaii; ea poate s conin unul sau mai multe
elemente; l - numrul de laturi.
Noddecircuitesteunpunctncareconvergtreisaumaimulte laturi.(3 2 1, ,
n n n ); n - numr de noduri. Bucl este un poligon format din laturi
ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5) Ochi de circuit este
bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).
1 + = n l o - numrul de ochiuri (relaia lui Euler)
Circuitulelectricsepoatereprezentagraficntr-oformsimplificatprin
grafurile asociate.
Grafulesteoreprezentaresimplificat,ncarelaturilecircuituluisunt
reprezentateprinarcuricroraliseasociazsensurinconcordancusensurile
convenionale alese pentru cureni.
Subgrafulesteoparteaunuigrafcarenuconinetoatelaturileacesteia,n
schimb el poate conine sau nu toate nodurile. Exemplu:
Subgrafuricomplementaresuntdousaumaimultesubgrafurialeaceluiai graf
care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur
comun. (a) i (b) sunt complementare
Arboreleesteunsubgrafceconinetoatenodurilegrafului,darnuconine
bucle. ) (bn1 n3 (a) 53 1n2n3n) 1 () 2 (Arbore) 1 () 2 () 3 () 3
(3bucla b) 1 () 2 (4b) 1 () 2 (5b) 5 (1 1 + 0 1 + 00 0 1 1 1 1 + 0
1 1 + 1 +1n2n3n1l2l3l4l5l= A 1 = n la(numrul de laturi ale
arborelui) Laturile unui arbore se numesc ramuri. Coarbore este
subgraful complementar unui arbore. o n l l l la c= + = = 1cl -
coardele Prinadugareacteuneicoardelaarboreseformeazcteobucl
independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul
coardei. o n l l bc= + = = 1(numrul de bucle independente)
Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de
inciden laturi-noduri n - linii; l-coloane; l nA Elementele
matricei sunt: egale cu zero0 =j ia dac latura j nu este incident
la nodul i; 1 + =j iadac latura j este incident la nodul i i are
sensul de ieire din acesta; 1 =j iadac latura j este incident la
nodul i i are sensul de intrare n acesta. Liniilenusuntliniar
independente,ceeacene permitespstrmnumai liniileindependenteale
matricei,frspierdem din informaie (n-1 linii) 54 1 = n rangA1 1 +0
1 + 0001 1 1 0 1 1 +3b4b5b1l2l3l4l5l= B00 ((
+ + =1 1 0 1 00 0 1 1 1Ar- matricea rezistor 2)Matricea de
conexiune laturi-bucle l bB 0 =ijb (laturai j ) 1 + =ijb (laturai j
iare acelaisenscu aceasta) 1 =ijb (laturai j ,dar are sens contrar)
Matricea curenilor laturilor | |(((((
=lIIIIM21 ,| |1 lI,l-numrul de laturi Matricea (vectorul)
tensiunilor laturilor ||(((((
=lUUUUM21 ,||1 lU
Observaie:Sensuriletensiunilorcoincidcusensulcurenilor.Suntsensuri
convenionale care pot fi diferite de sensurile reale.
Matricea(vectorul) potenialelor noduri
Dacpotenialulunuiadintrenodurisealegecareferiniiseatribuieo
valoarearbitrar(preferabilvaloareazero),atunciacestpotenialnufacepartedin
vectorul potenialelor nodurilor. | |(((((
= =1210nnVVVV VM, | | 1 ) 1 ( = n V, n = numrul de noduri al
circuitului 55 Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor |
|(((((
=lEEEEM21,| |1 lE .Exemplu:| |(((((((
=00031EEE Matrice curenilor surselor ideale de curent |
|(((((
=lJJJJM21,| |1 lJ .Exemplu:| |(((((((
=50000JJ Matricea rezistenelor laturilor | |(((((
=lRRRRKM O M MKK0 00 00 021,| |l lR. Matricea conductanelor
laturilor ||(((((
=lGGGGKM O M MKK0 00 00 021,||l lG. kkRG1= Relaii matriceale
utile: 1) 0 = = trtrA B B A
-matriceadeincidenlaturi-noduri(redus)Ari matricea de inciden
laturi-bucle B sunt ortogonale. | |l n rA ) 1 (, | | | |b n b ltB
=) 1 (0 rA ((((
+ + + +1 0 0 1 10 1 0 1 10 0 1 0 11l2l3l4l5l4b3b=B((((
+ + + + + 0 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 11n2n3n1l2l3l4l5l=56 ===+ +
= =(((((((
=((((
(((((((
=(((((((
I II II II I I I I II I I I IIIII II I IIIIIIIII5 54 43 35 4 2 5
4 21 5 4 3 15435 45 4 3543543210 0 00 1 00 0 11 1 01 1 1 ((
=(((((((
((
= 0 0 00 0 01 0 00 1 00 0 11 1 01 1 11 1 0 1 00 0 1 1 1tB2)|| |
| | | V A Ut = | | | |2 1 30 V V V = =
Observaie:Matriceadeincidenlaturi-noduri(redus) (rA )seobine
eliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial
din matricea de inciden laturi-noduri A. 3)| | | |CtI B I =, IC -
vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele Exemplu: ((((
=543IIIIC- curenii arborelui.| |n b CI Teoremele lui Kirchhoff
pentru circuite liniare de curent continuu Prima teorem a lui
Kirchhoff (Teorema curenilor):
Enun:Sumaalgebricaintensitilorcurenilorincidenintr-unnodde circuit
este zero. (((((((
+=((
(((((((
=(((((((
VVVV VVVVUUUUU2212 121543211 01 00 11 10 1V V V U 1 1 3 1 = =V V
U 2 1 2 =V V V U 2 2 3 5 = = 57 04 3 2 1= + + + i i i i 0) (=jn kkI
0 = s d J- Regim staionar + = + + + = 1 4 3 2 10 cosS s S S Sds J s
d J s d J s d J s d J s d J0 0 cos 0 cos 0 cos4 3 2 14 3 2= + + = +
+ + I I I I ds J ds J ds JS S S Teorema a doua a lui Kirchhoff
(Teorema tensiunilor) Enun: Suma algebric a tensiunilor la bornele
laturilor care compun o bucl de circuit este zero. 04 3 2 1= + U U
U U0) (=jb kkU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff
1i2i4i3i) (njS1S2S3S4dsdsdsI1I 2I3I 4J3J1ds
1E3E1I1R1U2U2I2R4I4R3R3I4Uconverssensbj3U1U2U3U4U1n2n3n4ndlSens
convenional 58 U kEk I kDemonstraie:Se aplic teorema potenialului
electric pentru regim staionar.
Teoremaesteasemntoaredinpunctdevedereformalcuteorema potenialului
electrostatic. 0 = l d E= + + + = + + + = 41 34 23 1232144321U U U
U l d E l d E l d E l d E l d Ennnnnnnn 04 3 2 1= + = U U U U Form
particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff k k k kI R E U = +k k
k kE I R U = (2) Se nlocuiete (2) n (1)( ) = = kkkk kkk k kkkE I R
E I R U = 0kkkk kE I R =kkkk kE I R (forma particular a teoremei a
II-a a lui Kirchhoff) Enun: Suma algebrica cderilor de tensiune la
bornele rezistoarelor de pe
laturilecarecompunobucldecircuitesteegalcusumaalgebricatensiunilor
electromotoare de pe acele laturi. Ex: 3 1 4 4 3 3 2 2 1 1E E I R I
R I R I R = + Teorema conservrii puterilor n circuite de curent
continuu Enun: Suma puterilor primite de laturile circuitului este
zero. k k kU I P = - puterea primit de latura k 01==lkk kU I- forma
general | | || 0 = U It - forma matriceal l lltlU I U I U IUUUIII+
+ + =(((((
(((((
LM M2 2 1 12121 59 Demonstraie: | | | |ctI B I = | | | | B I
Itct =|| | | V A Ut = | | || | | | | 0 = = V A B I U It tct | | 0 =
tA BForma particular: ( ) 01 121= = = = = =lkk klkk klkk k k k k k
k kI E I R E I R I E I R U = ==lkk klkk kI E I R1 12 - forma
particular (bilanul puterilor)
Enun:Sumaputerilorconsumatedetoaterezistoarelecircuituluiesteegal
cu suma total a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia
matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul | | |
|| | | |1 ) 1 ( 1 ) 1 (1 ) 1 (00 = = n l l nnII Expresia matriceal
a teoremei a II-a a lui Kirchhoff || | |10= bU B - forma general ||
| |1 10 = b l l bU B|| | | | | | | E I R U E I R Uk k k k = =- Se
nmulete cu B la stnga || | | | | | | = E B I R B U B | | | | | | E
B I R B = (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)
Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul
teoremelor lui Kirchhoff
Analizaunuicircuitelectricpresupunecalculareacureniloritensiunilor
laturilor atunci cnd se cunosc: natura elementelor componente;
modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii
elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru
elementele active - E, J
PentruanalizaunuicircuitcuajutorulteoremelorluiKirchhoffseparcurg
urmtoarele etape:
1)Seidentificelementeledetopologie:numruldelaturi(l),numrulde
noduri (n), numrul de bucle independente (b).
Laturileseindexeazcucifrearabenordinecresctoare,toateelementeleaceleiai
laturi purtnd ca indice indexul laturii respective. Nodurile
circuitului se indexeazc b a n n n , , sau , ,3 2 1. 60
Sealegsensuriconvenionalepentrucureniilaturilor(sensulcurentului
sensul tensiunii electromotoare). Se cere:5 1I I K ; 5 1U UK i
bilanul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3
Seidentificbucleleindependenteisealegsensuriconvenionalede
parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc( ) 1 necuaii cu
teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaii cu teorema a
II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de
ecuaii cu l necunoscute. | || | | | | | E B I R B TI T= = ) (0 )
(21| || || || | ((
= ((
E BIR Bn 1 ) 1 (0 (expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff
pentru ntregul circuit) Pentru exemplu: = = = =
====144228121254321421RRRRREEEVVV1b2b3bE1E2R1R2R3R4R5I1I 2I3I
4I51n2nE4n3 ((
=(((
+ + =(((((((
((
=000 1 1 1 11 0 0 1 14 3 2 15 2 154321I I I II I IIIIII( )( )(
)( )( ) = ++ = + + + = += + + = E I R I R bE I R I R I R bE E I R I
R bI I I I nI I I n4 4 4 3 3 32 5 5 3 3 2 2 22 1 2 2 1 1 14 3 2 1
25 2 1 1:::0 :0 :|||
\| 0 1 1 1 11 0 0 1 11l2l5l4l3l=((((
0 1 1 0 01 0 1 1 10 0 0 1 1=B0
