UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCURETI FACULTATEA DE ENERGETIC

FAC

ULT

ATE A D

E EN ERGE T

I CA

BUCURESTI

LUCIA DUMITRIU CTLIN DUMITRIU

BAZELE ELECTROENERGETICII

BUCURETI, 2004

I

CUPRINS

CAP. 1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

1

1.1. MRIMI CE CARACTERIZEAZ STRILE ELECTROMAGNETICE ALE CORPURILOR

1

1.1.1. Starea de electrizare 1 1.1.2. Starea de polarizaie 1 1.1.3. Starea de magnetizaie 2 1.1.4. Starea electrocinetic 2

1.2. MRIMI CE CARACTERIZEAZ CMPUL ELECTROMAGNETIC 3 1.3. CMPUL ELECTRIC IMPRIMAT 5 1.4. REGIMURILE DE DESFURARE A FENOMENELOR ELECTRICE I MAGNETICE

5

1.5. CONDUCTOARE N CMP ELECTROSTATIC 6 1.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

6

1.6.1. Legea fluxului electric 7 1.6.2. Legea fluxului magnetic 10 1.6.3. Legea induciei electromagnetice 12 1.6.4. Legea circuitului magnetic 13 1.6.5. Legea conservrii sarcinii electrice 15 1.6.6. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm) 16 1.6.7. Legea transformrii energiei electromagnetice n procesul conduciei electrice (legea lui Joule)

17

1.6.8. Legea legturii n cmp electric 18 1.6.9. Legea polarizaiei temporare 18 1.6.10. Legea legturii n cmp magnetic 19 1.6.11. Legea magnetizaiei temporare 19 1.6.12. Legea electrolizei 21

1.7. ENERGIA I FORELE CMPULUI ELECTROSTATIC 21 1.7.1. Energia cmpului electrostatic 21 1.7.2. Densitatea de volum a energiei cmpului electrostatic 22 1.7.3. Teoremele forelor generalizate n cmp electric 22

1.8. ENERGIA I FORELE CMPULUI MAGNETIC 24 1.8.1. Energia cmpului magnetic 24 1.8.2. Densitatea de volum a energiei cmpului magnetic 25 1.8.3. Teoremele forelor generalizate n cmp magnetic 25

CAP. 2. CIRCUITE ELECTRICE 27 2.1. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE 27

2.1.1. Ipotezele teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai 27 2.1.2. Elemente de circuit 28

II

2.1.2.1. Rezistorul 29 2.1.2.2. Bobina 30 2.1.2.3. Condensatorul 33 2.1.2.4. Sursa de tensiune 35 2.1.2.5. Sursa de curent 36

2.1.3. Circuite electrice 37 2.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice 37 2.1.3.2. Regimurile de funcionare ale circuitelor electrice 38

2.1.4. Teoremele generale ale teoriei circuitelor elctrice 39 2.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff 39 2.1.4.2. Teorema lui Tellegen 40 2.1.4.3. Teorema conservrii puterilor 40 2.1.4.4. Teorema surselor ideale cu aciune nul (Vaschy) 41

2.1.5. Metoda simbolic de reprezentare n complex a mrimilor sinusoidale

41

2.1.6. Ecuaiile lui Kirchhoff n form simbolic 42 2.1.7. Legea lui Ohm n complex 43 2.1.8. Regula divizorului de tensiune 44 2.1.9. Regula divizorului de curent 44 2.1.10. Teorema de conservare a puterilor 45 2.1.11. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thvenin)

45

2.1.12. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton)

46

2.2. CIRCUITE TRIFAZATE 47 2.2.1. Sisteme de mrimi trifazate 47 2.2.2. Conexiunile circuitelor trifazate 50

2.2.2.1. Conexiunea stea n regim simetric 51 2.2.2.2. Conexiunea triunghi n regim simetric 52

2.2.3. Circuite trifazate cu cuplaje magnetice 53 2.2.3.1. Receptor trifazat n conexiune stea cu cuplaje magnetice 53 2.2.3.2. Receptor trifazat n conexiune triunghi cu cuplaje magnetice 54 2.2.3.3. Linie trifazat cu cuplaje magnetice ntre conductoarele fazelor

54

2.2.4. Analiza circuitelor trifazate alimentate cu tensiuni simetrice 54 2.2.4.1. Receptor dezechilibrat n conexiune stea 55 2.2.4.2. Receptor echilibrat n conexiune stea 57 2.2.4.3. Receptor dezechilibrat n conexiune triunghi 58 2.2.4.4. Receptor echilibrat n conexiune triunghi 60

2.2.5. Puteri n circuite trifazate 63 2.2.5.1. Puteri n sistemele trifazate funcionnd n regim nesimetric 63 2.2.5.2. Puteri n sistemele trifazate funcionnd n regim simetric 64

2.2.6. Metoda componentelor simetrice 66 2.2.6.1. Componentele simetrice ale sistemelor de mrimi trifazate nesimetrice

66

2.2.6.2. Tratarea cuplajelor magnetice n componente simetrice 67

III

2.2.6.3. Analiza circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice

68

2.2.6.4. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate 69 2.3. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL 73

2.3.1. Generaliti 73 2.3.2. Mrimi periodice 73 2.3.3. Caracterizarea mrimilor periodice nesinusoidale 74 2.3.4. Puteri n regim nesinusoidal 75

CAP. 3. MAINI I ACIONRI ELECTRICE 77 3.1. TRANSFORMATORUL ELECTRIC 77

3.1.1. Principiul de funcionare 77 3.1.2. Teoria tehnic a transformatorului electric lund n considerare pierderile n fier

78

3.1.3. Bilanul puterilor transformatorului electric 81 3.1.4. Randamentul transformatorului electric 83

3.2. MOTORUL ASINCRON 84 3.2.1. Principiul de funcionare. Regimurile mainii 84 3.2.2. Teoria tehnic a mainii asincrone n regim de motor 86 3.2.3. Bilanul puterilor i randamentul motorului asincron trifazat 88

3.3. ACIONRI ELECTRICE 90 3.3.1. Sisteme de acionare electric 90 3.3.2. Ecuaia fundamental a sistemelor de acionare electric 91 3.3.3. Reducerea cuplurilor i a momentelor de inerie la arborele motorului

92

3.3.4. Reducerea micrilor de translaie la micri de rotaie 94 3.3.5. Caracteristicile mecanice ale mainilor de lucru 96

3.3.5.1. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu viteza liniar sau cu viteza unghiular a mecanismului

96

3.3.5.2. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu unghiul de rotaie al unor organe componente ale mainii

98

3.3.5.3. Maini de lucru cu cuplu rezistent variabil cu cursa 98 3.3.6. Alegerea motoarelor electrice de acionare 99

3.3.6.1. Regimurile de funcionare ale mainilor de lucru 99 3.3.6.2. Serviciile de funcionare ale motoarelor electrice 99 3.3.6.3. Alegerea tipului motoarelor electrice de acionare n funcie de caracteristicile mecanice ale mainilor de lucru

100

3.3.6.4. Alegerea puterii nominale a motoarelor electrice de acionare pe baza condiiilor de nclzire

102

3.3.6.5. Verificri netermice la alegerea motoarelor electrice 114 CAP. 4. REGIMURI DE FUNCIONARE A INSTALAIILOR ELECTROENERGETICE

116

4.1. MODELAREA ELEMENTELOR COPMPONENTE ALE SISTEMULUI ELECTROENERGETIC

117

4.1.1. Ipoteze de lucru 117 4.1.2. Modelarea generatoarelor 118 4.1.3. Modelarea consumatorilor 119 4.1.4. Modelarea reelei 120

IV

4.2. REPREZENTAREA PRIN CUADRIPOLI A INSTALAIILOR ELECTRICE

120

4.3. SCHEMELE ELECTRICE ECHIVALENTE ALE REELELOR ELECTRICE. CALCULUL PARAMETRILOR ELECTRICI ECHIVALENI

122

4.3.1. Schemele electrice echivalente ale liniilor electrice 122 4.3.2. Schemele electrice echivalente ale transformatoarelor de putere 124

4.4. CALCULUL CIRCULAIILOR DE CURENI I DE PUTERI N REELELE ELECTRICE

128

4.4.1. Alegerea metodelor de calcul a regimului permanent de funcionare a SEE

128

4.4.2. Precizri privind efectuarea calculelor 128 4.5. CALCULUL PIERDERILOR DE PUTERE I ENERGIE N REELELE ELECTRICE

129

4.6. MSURI PENTRU REDUCEREA PIERDERILOR DE PUTERE I ENERGIE

131

4.6.1. Msuri de reducere la nivelul proiectrii 132 4.6.2. Msuri de reducere care nu necesit investiii mari 133 4.6.3. Msuri de reducere care necesit investiii mari 133 4.6.4. Msuri de reducere n ntreprinderi 134 4.6.5. Compensarea local a puterii reactive 134 4.6.6. Msuri de mbuntire a factorului de putere n ntreprinderi 136 4.6.7. Funcionarea n paralel a transformatoarelor 137

4.7. CURBE DE SARCIN. INDICATORI AI CURBELOR DE SARCIN.

139

4.7.1. Indicatorii curbelor de sarcin 139 4.7.2. Reeaua de distribuie de medie tensiune ideal 143

BIBLIOGRAFIE 144

1

CAP.1. BAZELE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

Strile i fenomenele fizice se caracterizeaz cu ajutorul mrimilor fizice care se clasific n:

mrimi primitive, care se introduc pe cale experimental; mrimi derivate, care se definesc cu ajutorul mrimilor primitive.

Teoria macroscopic a fenomenelor electromagnetice utilizeaz ase specii de mrimi primitive specifice, care caracterizeaz complet starea electromagnetic a corpurilor i starea cmpului electromagnetic.

1.1. MRIMI CE CARACTERIZEAZ STRILE ELECTROMAGNETICE ALE CORPURILOR

1.1.1. Starea de electrizare (de ncrcare electric): - pentru un corp mic - este caracterizat global de sarcina electric (q) - mrime

primitiv scalar, dotat cu semn. Unitatea de msur n SI se numete coulomb [C]. - pentru un corp mare, caracterizarea strii de ncrcare electric se face local (ntr-un

punct), cu ajutorul unor mrimi derivate, numite densiti de sarcin electric:

densitatea lineic: l

qlll 0

dlim

=r ; (1.1.1)

densitatea de suprafa: Aqs

As 0

dlim

=r ; (1.1.2)

densitatea de volum: VqV

VV 0

dlim

=r . (1.1.3)

Corpurile ncrcate cu sarcini electrice i asociaz un sistem fizic numit cmp electric, prin care se transmit ntre corpuri fore i cupluri electrice.

Dup modul cum transmit starea de electrizare se disting dou clase de materiale de importan esenial n industria electrotehnic:

materiale electroconductoare - din care categorie fac parte: metalele i aliajele lor, crbunele, anumite soluii de sruri, baze, acizi. Dintre aceste materiale deosebit de importante pentru industria electrotehnic sunt Cu i Al, din care se realizeaz conductoarele liniilor electrice aeriene i n cablu i nfurrile mainilor i transformatoarelor electrice. Materialele electroconductoare prezint proprietatea c la trecerea curentului electric, n ele se dezvolt pierderi de putere prin efect Joule, proporionale cu ptratul intensitii curentului.

materiale electroizolante, numite i materiale dielectrice, din care fac parte: lemnul, sticla, mtasea, porelanul, hrtia, uleiul, lacurile, aerul uscat, bachelita, cauciucul, policlorura de vinil etc. n materialele dielectrice folosite n industria electrotehnic se dezvolt pierderi de putere proporionale cu ptratul tensiunii i cu o mrime de material numit tangenta unghiului de pierderi.

1.1.2. Starea de polarizaie:

- pentru un corp mic este caracterizat global de momentul electric ( p ) mrime primitiv vectorial avnd unitatea de msura coulomb metru [Cm].

2

- pentru un corp de dimensiuni mari, starea de polarizaie se caracterizeaz local cu ajutorul densitii de volum a momentului electric, mrime derivat vectorial, numit polarizaie ( P ).

Metalele sunt practic nepolarizabile electric. n cazul dielectricilor, starea de polarizaie apare numai n prezena cmpului electric i

dispare cnd acesta se anuleaz. O astfel de polarizaie se numete temporar i este caracterizat de momentul electric temporar tp . Unele materiale precum cristalele de cuar, sarea Seignette i turmalina, au o stare de polarizaie independent de cmpul electric, numit polarizaie permanent i caracterizat de momentul electric permanent pp . Cele dou tipuri de polarizaie nu se exclud, astfel nct att momentul electric ct i polarizaia satisfac relaiile:

pt ppp += , (1.1.4)

pt PPP += . (1.1.5)

1.1.3. Starea de magnetizaie a unui corp mic se caracterizeaz global cu ajutorul mrimii primitive vectoriale numit moment magnetic ( m ), care se msoar n amper metru ptrat [Am2]. Caracterizarea strii de magnetizare a unui corp mare se face local, cu ajutorul densitii de volum a momentului magnetic, mrime derivat numit magnetizaie ( M ).

Unele corpuri ajung n stare de magnetizaie numai n prezena cmpului magnetic, starea numindu-se magnetizaie temporar.

Altor corpuri le este proprie starea de magnetizaie, independent de prezena cmpului magnetic. Aceast stare se numete magnetizaie permanent.

Momentul magnetic i magnetizaia satisfac relaiile:

pt mmm += , (1.1.6)

pt MMM += . (1.1.7) 1.1.4. Starea electrocinetic a conductoarelor se caracterizeaz cu ajutorul mrimii

primitive scalare numit intensitate a curentului electric de conducie (i), avnd ca unitate de msur amperul [A]. Aceasta se refer la o anumit seciune a conductorului. Pentru caracterizarea local a strii electrocinetice se introduce mrimea derivat numita densitate a curentului de conducie ( J ), relaia dintre cele dou mrimi fiind: =

SS AnJi d . (1.1.8)

Unitile de msur SI ale acestor mrimi sunt date n Tabelul 1.1. Tabelul 1.1.

Mrime primitiv Simbol Unitate Mrime derivat Simbol Unitate Densitate lineic rl C/m Sarcina electric q C Densitate superficial rs C/m2

Densitate volumetric rv C/m3

Momentul electric p Cm Polarizaia P C/m2

Momentul magnetic m Am2 Magnetizaia M A/m

Intensitatea curentului electric de conducie

i

A

Densitatea curentului electric de conducie

J

A/m2

3

1.2. MRIMI CE CARACTERIZEAZ CMPUL ELECTROMAGNETIC

Starea cmpului electromagnetic este caracterizat macroscopic prin urmtoarele specii de mrimi:

intensitatea cmpului electric ( E ), avnd unitatea de msura volt pe metru {V/m]; inducia electrica ( D ), cu unitatea de msura coulomb pe metru ptrat [C/m2]; intensitatea cmpului magnetic ( H ), msurat n amper pe metru [A/m]; inducia magnetic ( B ), a crei unitate de msur este tesla [T].

Aceste specii de mrimi de stare se introduc cu ajutorul a dou specii de mrimi primitive: vectorul cmp electric n vid ( vE ) i vectorul inducie magnetic n vid ( vB ). ntre mrimile de stare ale cmpului electric ( E , D ), respectiv ntre cele ale cmpului magnetic ( H , B ), exist urmtoarele relaii:

ED e= , (1.2.1)

HB m= . (1.2.2)

Cu ajutorul acestor mrimi se definesc patru mrimi derivate importante n cadrul teoriei macroscopice a electromagnetismului:

tensiunea electric (U)- unitate de msur voltul [V]; fluxul electric (Y)- unitate de msur coulombul [C]; tensiunea magnetic (Um)- unitatea de msur amper (A) sau amper-spir (A.sp); fluxul magnetic (F) cu unitatea de msur weberul (Wb).

Relaiile de definiie sunt urmtoarele:

tensiunea electric ntre dou puncte A,B, calculat de-a lungul unei curbe deschise, C, este:

=B

CAAB sEu

)(

dd , (1.2.3)

unde sd este elementul de linie orientat (Fig. 1.2.1).

Fig. 1.2.1

Dac integrala se calculeaz pe o curb nchis, G, atunci mrimea corespunztoare se numete tensiune electromotoare (t.e.m.) i se exprim cu relaia:

G

G = sEe dd

. (1.2.4)

fluxul electric printr-o suprafa oarecare, deschis, S, este:

AnDS

SS dd

=Y , (1.2.5)

4

unde Sn este normala la suprafa. Dac suprafaa se sprijin pe o curb nchis, G, atunci relaia (1.2.5) devine:

AnDS

SS dd

G

G G=Y , (1.2.6)

unde dA reprezint elementul de arie neorientat. Sensul normalei la suprafa este asociat cu sensul de parcurgere al curbei dup regula

burghiului drept (Fig. 1.2.2).

Fig. 1.2.2

Dac se calculeaz fluxul electric printr-o suprafa nchis, S, atunci relaia de definiie devine:

AnD dd

S

SS =Y . (1.2.7)

Normala la suprafaa nchis este prin definiie normala exterioar.

tensiunea magnetic ntre dou puncte A,B, se definete ca i tensiunea electric (Fig. 1.2.1) de-a lungul unei curbe deschise:

=B

CAmAB sHu

)(

dd . (1.2.8)

Dac integrala se efectueaz pe o curb nchis, atunci se definete tensiunea magnetomotoare (t.m.m.):

G

G = sHumm dd

. (1.2.9)

fluxul magnetic se definete ca i fluxul electric (Fig. 1.2.2), fie prin suprafee deschise, fie prin suprafee nchise, cu relaiile:

AnBS

SS dd

=F , (1.2.10)

AnBS

SS dd

G

GG=F , (1.2.11)

AnB dd

S

SS =F . (1.2.12)

5

Not. Rmn valabile toate observaiile fcute la fluxul electric n legtura cu normalele la suprafee.

Alte mrimi derivate importante sunt: solenaia (Q), rezistena (R), capacitatea (C), inductivitatea (L) etc. n Tabelul 1.2 este prezentat corespondena dintre aceste mrimi.

Tabelul 1.2 Mrime primitiv Simbol Unitate Mrime derivat Simbol Unitate Intensitatea cmpului electric

E V/m Tensiunea electric U V

Inducia electric D C/m2 Fluxul electric Y C

Intensitatea cmpului magnetic

H A/m Tensiunea magnetic Um A (A.sp)

Inducia magnetic B T Fluxul magnetic F Wb

1.3. CMPUL ELECTRIC IMPRIMAT

Experiena arat c starea electrocinetic a conductoarelor este produs uneori de cauze de natur neelectromagnetic (de exemplu de o pil galvanic). Efectul acestor cauze se echivaleaz cu efectul unui cmp electric ce ar determina aceeai stare electrocinetic. Acest cmp se numete cmp electric imprimat. El este localizat fie n volumul fie pe suprafaa de contact a corpurilor conductoare i se caracterizeaz local prin mrimea derivat vectorial numit intensitatea a cmpului electric imprimat- iE .

iE este o mrime de material i caracterizeaz conductoarele neomogene din punct de vedere structural, termic, chimic i accelerate.

Proprietile globale ale cmpului electric imprimat n raport cu o anumit curb sunt exprimate de integrala de linie a vectorului iE n raport cu acea curb, mrimea corespunztoare numindu-se tensiune electromotoare imprimat:

sEeC

iCi d)( = . (1.3.1)

1.4. REGIMURILE DE DESFURARE A FENOMENELOR ELECTRICE I MAGNETICE

Dup modul de variaie n timp a mrimilor electrice i magnetice, strile electromagnetice se pot desfura n urmtoarele regimuri: - regimul static, n care mrimile de stare nu variaz n timp i nu se produc transformri energetice; n acest regim fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice i pot fi studiate n cadrul unor capitole distincte ale teoriei, respectiv electrostatica i magnetostatica; - regimul staionar, n care mrimile nu variaz n timp, dar interaciunile cmpului electromagnetic cu corpurile sunt nsoite de transformri energetice; - regimul cvasistaionar, n care mrimile variaz n timp, dar suficient de lent nct s se poat neglija curenii de deplasare n raport cu cei de conducie, i influena lor magnetic peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor; este cel mai important regim din punct de vedere al aplicaiilor tehnice; - regimul nestaionar (regim variabil) caracterizat de cea mai general form de variaie n timp a mrimilor, n care intervine fenomenul de radiaie electromagnetic.

6

1.5. CONDUCTOARE N CMP ELECTROSTATIC

La introducerea lui ntr-un cmp electric, un conductor neutru se electrizeaz (electrizare prin influen). Fenomenul const n repartizarea unor sarcini electrice pe suprafaa conductorului, fr modificarea sarcinii sale totale, nule n cazul conductoarelor neutre.

n regim electrostatic este ndeplinit condiia de echilibru electrostatic:

0=+ iEE . (1.5.1) n cazul conductoarelor omogene i neaccelerate, cmpul electric imprimat este nul,

0=iE , (1.5.2) i, n consecin, cmpul electrostatic n aceste conductoare este de asemenea nul: 0=E . (1.5.3) n fiecare punct al suprafeei acestor conductoare cmpul electrostatic are numai component perpendicular pe suprafa. n caz contrar, particulele purttoare de sarcini electrice s-ar deplasa n conductor sau pe suprafaa sa i nu ar fi ndeplinit condiia de echilibru electrostatic. Conductoarele omogene i neaccelerate, au n regim electrostatic urmtoarele proprieti:

1. Toate punctele din interiorul unui conductor au acelai potenial. Deci suprafeele acestor conductoare sunt echipoteniale i liniile de cmp sunt perpendiculare pe ele.

Demonstraie: E = 0, deci UAB = V(A) V(B) = 0; 2. Sarcina electric a conductoarelor este repartizat superficial, iar sarcina din

interiorul conductoarelor este nul; 3. La suprafaa conductoarelor inducia electric este egal n orice punct cu densitatea

de suprafa a sarcinii electrice; 4. n cavitile fr sarcini electrice din interiorul conductoarelor cmpul electric este

nul. Acest efect se folosete n instalaiile de .t. pentru ecranarea (prin conductoare legate la pmnt) a locurilor de observaie n care se afl personal operator;

5. Orice suprafa echipotenial din cmp poate fi nlocuit cu o suprafa conductoare fr a perturba cmpul (principiul metalizrii suprafeelor echipoteniale).

1.6. LEGILE TEORIEI MACROSCOPICE A ELECTROMAGNETISMULUI

Legi- relaii determinate experimental care exprim raporturi obiective i eseniale ntre fenomene. Aceste relaii care se stabilesc prin generalizarea datelor experimentale, pe baza abstractizrii, se numesc legi. Teoreme- relaiile care se pot deduce prin analiz logic din altele (n ultim instan din legi). Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice se clasific n: - legi generale valabile pentru orice fel de corpuri, indiferent de regimul de desfurare al fenomenelor i independent de caracteristicile de material ale mediului. n aceast categorie intr: - legea fluxului electric, - legea fluxului magnetic, - legea induciei electromagnetice, - legea circuitului magnetic, - legea conservrii sarcinii electrice, - legea transformrii energiei electromagnetice n procesul conduciei electrice (legea lui Joule),

7

- legea legturii n cmp electric, - legea legturii n cmp magnetic; - legi de material sunt valabile numai pentru anumite corpuri, fiind dependente de caracteristicile de material ale acestora: - legea polarizaiei temporare, - legea magnetizaiei temporare, - legea conduciei electrice (legea lui Ohm),

- legea electrolizei.

1.6.1. Legea fluxului electric Corpurilor ncrcate cu sarcini electrice li se asociaz un cmp electric.

Liniile de cmp electric sunt linii deschise care pleac de pe corpurile ncrcate cu sarcini pozitive i ajung pe corpurile ncrcate cu sarcini negative (Fig. 1.6.1).

Suprafeele perpendiculare n orice punct pe liniile de cmp se numesc suprafee echipoteniale.

Vectorul intensitii cmpului electric i vectorul induciei electrice sunt tangeni n fiecare punct la linia de cmp i, fiind funcii de punct )(rE , respectiv )(rD , au valori constante n toate punctele aceleiai suprafee echipoteniale.

a) b)

Fig. 1.6.1 Dac nconjurm cu o suprafa nchis un corp ncrcat cu sarcin electric, toate liniile de cmp vor strbate suprafaa. Fluxul electric este mrimea ce caracterizeaz cmpul electric din punct de vedere al valorilor pe care le ia inducia electric n toate punctele suprafeei.

n orice moment de timp fluxul electric Y printr-o suprafa nchis S este egal cu sarcina electric qVS localizat n domeniul delimitat de aceast suprafa:

SS

SS==Y VqAnD d

d, (1.6.1)

unde Sn reprezint normala exterioar la suprafaa nchis S (Fig. 1.6.2).

Fig. 1.6.2

8

Trecnd de pe suprafaa S n domeniul (arbitrar) delimitat de aceasta, VS, (cu teorema lui Stokes) i exprimnd sarcina electric n raport cu densitatea ei de volum, se obine forma local a legii n domenii de continuitate i netezime a proprietilor electrice:

SS

S=

VV

V

VAnDdiv dd r , (1.6.2)

de unde rezult

VDdiv r= . (1.6.3)

La o suprafa de discontinuitate (ntre dou medii cu proprieti electrice diferite) ncrcat cu densitate de suprafa a sarcinii electrice se obine o form local valabil n toate punctele suprafeei:

snn DD r=- 12 . (1.6.4)

Dac suprafaa nu este ncrcat cu sarcin, se obine relaia de conservare a componentelor normale ale induciei electrice:

nn DD 12 = . (1.6.5)

Aplicaii. Legea fluxului electric poate fi folosit pentru calculul intensitii cmpului electric n

cazul configuraiilor ce prezint simetrie. Calculul intensitii cmpului electric produs de un corp punctiform ncrcat cu

sarcina q.

Fig. 1.6.3

Din legea fluxului electric rezult:

SSS

S === VqRRDARDAnD 24)(d)(d p .

Din aceast relaie, innd seama de (1.2.1) se obine intensitatea cmpului electric n orice punct de pe suprafaa S (sfera de raz R):

24

)()(R

qRDRE Vepe

S== .

Calculul capacitii condensatorului plan. Capacitatea condensatorului plan poate fi calculat cu ajutorul legii fluxului electric

aplicat pe o suprafa nchis ce trece printr-o armtur i prin dielectric, sau pe baza proprietilor conductoarelor omogene.

9

Fig. 1.6.4

Armturile condensatorului fiind conductoare omogene, sarcina electric cu care se ncarc este repartizat pe suprafaa lor dinspre dielectric, cu o densitate egal cu inducia electric n fiecare punct. innd seama de relaiile (1.2.1) i (1.2.3) se obine capacitatea condensatorului plan:

dA

dAqq

Edq

UqC e

e

====d

,

unde e este permitivitatea dielectricului. n cazul unui condensator plan cu dielectric neomogen relaia de mai sus devine:

=

=n

k k

k

dAC

1

e.

Calculul capacitii condensatorului cilindric.

Fig. 1.6.5

Alegnd o suprafa nchis latSSS =S 21 de form cilindric cu raza r, aplicnd legea fluxului electric i innd seama de faptul c fluxul electric prin suprafeele S1 i S2 este nul (liniile de cmp sunt pe direcia razei de la armtura interioar ncrcat pozitiv, la cea exterioar ncrcat negativ) rezult

qrlDDdAdAnDdAnDSlatSlat

=====Y S

S p2 ,

unde q reprezint sarcina cu care se ncarc armtura interioar. Calculnd D, E i apoi U ntre armturi, rezult:

1

2ln

2

RR

lUqC pe== .

10

n cazul unui dielectric neomogen cu n straturi, relaia devine:

=

+=

n

k k

k

k

RRlC

1

1ln

2

e

p.

Tubul de flux electric - poriunea de cmp delimitat de totalitatea liniilor de cmp care trec prin toate punctele unui contur nchis G (Fig. 1.6.6).

Fig. 1.6.6

Se consider o suprafa nchis latSSS =S 21 pe care se aplic legea fluxului electric. Sensul fluxurilor 1Y i 2Y prin cele dou suprafee S1 i S2 este indicat de versorii celor dou normale 1n respectiv 2n la cele dou suprafee. Deoarece pe suprafaa lateral Dn ^S rezult c prin aceast suprafa fluxul este nul i

SSSS

SS =Y-Y=-=+==Y VSSSS

qdAnDdAnDdAnDdAnDdAnD 21212121

.

Dac n interiorul suprafeei S nu exist sarcini electrice 21 Y=Y . Rezult c n regiunile din spaiu n care nu exist sarcini electrice, fluxul cmpului electric prin orice seciune transversal a unui tub de flux are aceeai valoare. Aceasta reprezint proprietatea de conservare a fluxului electric de-a lungul unui tub de linii de cmp.

1.6.2. Legea fluxului magnetic Liniile de cmp magnetic (liniile vectorului induciei magnetice) sunt linii nchise. Aceast constatare conduce la formularea legii fluxului magnetic: n orice moment fluxul

magnetic printr-o suprafa nchis este nul:

0dd

==F S

SSAnB . (1.6.6)

innd seama de relaia de definiie prelucrat cu ajutorul teoremei Gauss-Ostrogradski se obine forma local a legii, pentru domenii de continuitate i netezime ale proprietilor magnetice (ale induciei magnetice):

0d =S

VBdivV

, (1.6.7)

adic 0=Bdiv . (1.6.8) Relaia (1.6.8) arat c nu exist sarcini magnetice de tipul celor electrice.

11

La suprafee de discontinuitate forma local a legii fluxului magnetic este:

012 =- nn BB , (1.6.9)

adic se obine relaia de conservare a componentelor normale ale induciei magnetice:

nn BB 12 = . (1.6.10)

Aplicaii. Definind tubul de flux magnetic similar cu cel electric, se consider o suprafa

nchis latSSS =S 21 (Fig. 1.6.7) pe care se aplic legea fluxului magnetic. Pe baza acelorai considerente de la tubul de flux electric se obine relaia de conservare a

fluxului magnetic de-a lungul unui tub de linii de cmp.

21 F=F .

Fig. 1.6.7

Prin orice suprafa deschis care se sprijin pe aceeai curb nchis fluxul magnetic este acelai.

Fig. 1.6.8

Fie dou suprafee 1G

S i 2G

S ce se sprijin pe curba G. Se consider suprafaa

21 GG=S SS i se aplic legea fluxului magnetic:

0212

2

1

1

21

=F+F-=+-=+==F G

G

G

G

GG

SSS

SSS

SS

SSS

dAnBdAnBdAnBdAnBdAnB .

Rezult c oricare ar fi 1G

S i 2GS fluxul magnetic se conserv:

21 F=F .

12

1.6.3. Legea induciei electromagnetice

Enun: Tensiunea electromotoare indus n lungul unei curbe nchise G este egal cu viteza de scdere a fluxului magnetic prin orice suprafa deschis ce se sprijin pe curba G:

t

e Sd

dG

F-=G . (1.6.11)

innd seama de relaiile de definiie ale celor dou mrimi, se obine forma explicit

AnBt

sES

S dddd

G

G-=G

, (1.6.12)

n care elementul de arc sd pe curba G i versorul normalei GSn la suprafaa GS sunt asociate dup regula burghiului drept (Fig. 1.2.2). Dezvoltnd derivata substanial pentru medii n micare i innd seama de forma local a legii fluxului magnetic, se obine urmtoarea form integral dezvoltat a legii:

( ) mtS

SS

S eedAnvBrotdAntBdsE +=-

-= G

G

G

GG

x , (1.6.13)

unde et se numete t.e.m. indus prin transformare, iar em t.e.m. indus prin micare. n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice locale, aplicnd teorema lui Stokes membrului stng al ecuaiei (1.6.13), se obine forma local a legii:

( )BvrottBErot x+

-= . (1.6.14)

Pentru medii imobile, ecuaia devine

tBErot

-= , (1.6.15)

cunoscut sub numele de a doua ecuaie a lui Maxwell.

La suprafee de discontinuitate se conserv componenta tangenial a intensitii cmpului electric: 12 tt EE = . (1.6.16)

Aplicaii. 1. Principiul producerii t.e.m. alternative. Funcionarea generatoarelor de c.a. are la baz

fenomenul induciei electromagnetice, care se produce ca urmare a existenei unui cmp magnetic nvrtitor (produs de rotorul mainii care este un electromagnet rotit de turbin) ce ntretaie spirele nfurrii statorice n care induce t.e.m. datorit componentei em.

2. Principiul transformatorului electric. Datorit variaiei fluxului magnetic din primar, n secundarul transformatorului se induce prin transformare (et) o t.e.m. de aceeai frecven cu cea a mrimilor primare.

3. n regim static i n regim staionar legea induciei electromagnetice are forma:

G

G == 0dsEe ,

numit teorema potenialului electrostatic, respectiv electrocinetic staionar.

13

Considernd curba G o bucl a unui circuit electric i descompunnd-o ntr-o sum de curbe deschise Ck, ce urmresc tensiunile la bornele laturilor care formeaz bucla, se obine:

GG ====

hkk blk

k CusEsEe 0dd )A( ,

relaie ce reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor lk ce aparin buclei bh este nul.

1.6.4. Legea circuitului magnetic

Enun: Tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe nchise G este egal cu suma dintre solenaia corespunztoare curenilor de conducie care strbat o suprafa deschis

GS , mrginit de curba G i viteza de cretere a fluxului electric prin suprafaa respectiv:

t

u SSmm dd

GG

Y+Q=G . (1.6.17)

Al doilea termen din partea dreapt a ecuaiei se numete curent hertzian. Folosind relaiile de definiie ale mrimilor, se obine forma integral explicit a legii:

AnDt

AnJsH SSS

S ddddd G

GG

G +=G

, (1.6.18)

n care elementul de arc sd pe curba G i versorul normalei GSn la suprafaa GS sunt asociate dup regula burghiului drept (Fig. 1.2.2). n cazul corpurilor imobile relaia are forma:

AntDAnJsH S

SSS ddd G

GG

G

+=G

, (1.6.19)

termenul al doilea din partea dreapt fiind numit curent de deplasare. Se numete regim cvasistaionar regimul variabil n care se poate neglija curentul de deplasare din legea circuitului magnetic, peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor. n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice, aplicnd teorema lui Stokes membrului stng i n ipoteza corpurilor imobile, se obine forma local a legii:

tDJHrot

+= , (1.6.20)

numit prima ecuaie a lui Maxwell. La suprafeele de discontinuitate forma local este: stt JHH =- 12 . (1.6.21)

Dac pe suprafaa de discontinuitate nu exist pnze de curent, are loc conservarea componentelor tangeniale ale intensitii cmpului magnetic: 12 tt HH = . (1.6.22)

Observaie: Solenaia are urmtoarea semnificaie: - pentru o suprafa SG perpendicular pe axa unui conductor parcurs de curentul electric de conducie i, i a crei arie este cel puin egal cu cea a conductorului: iS =Q G ;

- dac aria suprafeei SG este mai mic dect cea a conductorului: cond

SSS A

AiJA G

GG==Q ;

- dac SG taie cele N spire, parcurse de curentul i, ale unei bobine: iNS =Q G .

14

Aplicaii. n regim staionar legea capt forma:

G

Q=G Smmu , (1.6.23)

respectiv

G

G=G S

S AnJsH dd , (1.6.24)

numit teorema lui Ampre. Calculul intensitii cmpului magnetic produs de un conductor cilindric circular de

raz a, rectiliniu, infinit, parcurs de curentul i, uniform distribuit pe seciunea sa (Fig. 1.6.9).

Aplicnd teorema lui Ampre i calculnd pe rnd cei doi termeni, se obine:

rHsHsHsHrumm p2ddd)( ==== GGG

G ,

oricare ar fi r n raport cu a.

Fig. 1.6.9

Solenaia se calculeaz n cele dou domenii:

15

1.6.5. Legea conservrii sarcinii electrice.

Dac se consider o suprafa nchis S care trece prin dielectrici (nu este strbtut de cureni de conducie), sarcina electric n interiorul suprafeei (reprezentnd un sistem izolat) rmne constant

.,ctq =S (1.6.25)

oricare ar fi fenomenele care se produc n interiorul suprafeei: Dac suprafaa intersecteaz i conductoare parcurse de curent electric de conducie, intensitatea curentului de conducie care prsete suprafaa S este egal n fiecare moment cu viteza de scdere a sarcinii electrice adevrate localizat n volumul delimitat de S.

t

qi V

dd

S-=S . (1.6.26)

Fig. 1.6.10

Folosind relaiile de definiie, legea capt forma integral

S

-=S

SV

V VtAnJ d

ddd r . (1.6.27)

n regim electrocinetic staionar (regim de c.c.) sarcina electric este constant, iar relaiile de mai sus capt formele:

0 respectiv ,0 ==S Jdivi , (1.6.28)

cunoscute sub numele de teorema continuitii liniilor de curent continuu. Interpretare: liniile de curent continuu sunt linii nchise, sau curentul continuu circul

numai pe ci nchise. Consecine:

1. Vectorul densitii de curent este tangent la suprafaa unui conductor strbtut de curent continuu, deci conductorul este un tub de curent;

2. La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate se conserv componenta normal a densitii de curent.

3. Dac suprafaa S tinde la limit ctre un nod al unui circuit, n regim electrocinetic staionar i cvasistaionar

0)A( ==

Sjk nl

kii , (1.6.29)

i reprezint teorema nti a lui Kirchhoff, cu enunul: suma algebric a curenilor din laturile lk incidente ntr-un nod nj al unui circuit electric este nul.

16

1.6.6. Legea conduciei electrice (legea lui Ohm)

Enun: Suma vectorial dintre intensitatea cmpului electric E i intensitatea cmpului electric imprimat iE din interiorul unui conductor izotrop este proporional n fiecare punct cu densitatea curentului electric de conducie din acel punct:

JEE i r=+ , (1.6.30)

constanta de proporionalitate fiind o mrime scalar dependent de natura materialului i de temperatur, numit rezistivitate. Relaia (1.6.30) reprezint forma local a legii conduciei electrice i mai poate fi scris sub forma:

( )iEEJ += s , (1.6.31) unde =1/ se numete conductivitate electric. Consecine:

1. n conductoarele perfect omogene din punct de vedere structural, mecanic, termic i chimic, i neaccelerate, n care 0=iE , legea conduciei electrice are forma:

JE r= sau EJ s= 2. Pentru conductoare n regim electrostatic, fiind valabil condiia

0=J , forma local a legii devine:

0=+ iEE , relaie numit condiia de echilibru electrostatic. n cazul conductoarelor perfect omogene i neaccelerate, relaia capt forma:

0=E . 3. ntr-un conductor aflat n astfel de condiii cmpul electric este peste tot nul. Aceasta

explic fenomenul de influen electrostatic (vezi $ 1.5). n teoria circuitelor electrice prezint o mare importan forma integral a legii lui Ohm care se obine prin integrarea relaiei (1.6.30) de-a lungul unei poriuni neramificate de conductor, ntre punctele A i B de-a lungul fibrei medii (curba C din Fig. 1.6.11):

=+B

CA

B

CAi

B

CAsJsEsE

)()()(ddd r (1.6.32)

Fig. 1.6.11

17

innd seama de definiiile mrimilor derivate, relaia se poate scrie sub forma:

==+CC

ib sAis

Aieu dd rr . (1.6.33)

Pentru conductoare omogene (r = ct.) cu seciune A = ct., se obine forma integral a legii lui Ohm pentru laturi de circuit active (avnd i surse de cmp electric imprimat), numit i caracteristica u(i) a laturii:

iReu ib =+ , (1.6.34) unde:

AlR r= (1.6.35)

reprezint rezistena electric a poriunii neramificate de circuit de lungime l i seciune A i se msoar n ohmi [W]. n teoria circuitelor cu parametri concentrai relaia (1.6.34) se asociaz laturii reprezentate n figura 1.6.12.

Fig. 1.6.12

Relaia (1.6.34) se mai poate scrie sub forma:

)( ib euGi += , (1.6.36)

numit caracteristica i(u) a laturii. Mrimea G = 1/R se numete conductan i se msoar n siemens [S].

1.6.7. Legea transformrii energiei electromagnetice n procesul conduciei electrice (legea lui Joule).

Densitatea de volum a puterii cedat de cmpul electromagnetic unui conductor aflat n stare electrocinetic este egal n orice punct cu produsul scalar dintre intensitatea cmpului electric i densitatea curentului electric de conducie:

JEp j = (1.6.37)

innd seama de legea conduciei electrice, relaia mai poate fi scris sub forma:

( ) eRiij ppJEJJEJp -=-=-= 2rr , (1.6.38) unde 02 >= JpR r i corespunde cldurii disipate n conductor prin efectul electrocaloric al curentului de conducie (efect Joule-Lenz), iar JEp ie = reprezint densitatea de putere cedat de sursele de cmp imprimat n procesul de conducie. Dup cum vectorii iE i J sunt omoparaleli, respectiv antiparaleli, 0>ep , puterea fiind cedat, respectiv 0

18

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .dddd iuAnJsEAnJsEsAnJEVpP bSCVVV

jJ ===== (1.6.39)

Fig. 1.6.13

Relaia (1.6.39) arat c puterea total cedat de cmpul electromagnetic unei poriuni de conductor filiform n procesul de conducie electric este egal cu produsul dintre tensiunea electric la bornele conductorului i intensitatea curentului electric care-l parcurge. innd seama de forma integral a legii conduciei electrice, relaia (1.6.39) se scrie sub forma: eRibJ PPieiRiuP -=-==

2 , (1.6.40)

unde 2iRPR = reprezint puterea disipat n conductor sub form de cldur, iar ieP ie = este puterea generat de sursa de cmp electric imprimat (Fig. 1.6.12) cu t.e.m. ei, cnd este parcurs de curentul electric de conducie i. Dac ei i i au acelai sens, Pe>0 i sursa cedeaz energie circuitului, iar dac ei i i au sens invers, Pe

19

n care ec este susceptivitatea electric a materialului, mrime adimensional, depinznd de natura materialului i de condiii neelectrice (temperatur, presiune etc.). Aceste materiale nu prezint polarizaie permanent. n aplicaii legea polarizaiei temporare se combin cu legea legturii n cmp electric. Astfel:

( )EEEPEPED eet ceceeee +=+=+=+= 100000 . (1.6.44) Notnd re ec =+1 permitivitatea relativ a materialului i eee =r0 permitivitatea sa

absolut, relaia (1.6.44) devine:

ED e= . (1.6.45)

1.6.10. Legea legturii n cmp magnetic n orice moment de timp i n orice loc, indiferent de regimul de variaie al mrimilor,

ntre vectorul intensitii cmpului magnetic, al induciei magnetice i al magnetizaiei, exist relaia:

( )MHB += 0m , (1.6.46) unde [ ]m/H104 70 -= pm este o constant universal numit permeabilitatea vidului.

1.6.11. Legea magnetizaiei temporare Aceast lege de material exprim dependena componentei temporare a magnetizaiei de

intensitatea cmpului magnetic:

( )HfM t = (1.6.47) Pentru materialele izotrope i liniare din punct de vedere magnetic, categorie din care fac

parte toate materialele feromagnetice cu excepia magneilor permaneni, aceast dependen este dat de relaia:

HM mt c= , (1.6.48)

n care mc este susceptivitatea magnetic a materialului, mrime adimensional, depinznd de natura materialului, de starea lui de deformare i de temperatur.

n tehnic legea se folosete n combinaie cu legea legturii n cmp magnetic:

( ) ( ) ( ) ( )HHHMHMHB mmt cmcmmm +=+=+=+= 10000 . (1.6.49) Notnd rm mc =+1 permitivitatea relativ a materialului i mmm =r0 permitivitatea sa

absolut, relaia (1.6.49) devine:

HB m= . (1.6.50)

Observaii: 1. Materialele magnetice se clasific n:

Materiale neferomagnetice (din care fac parte: Cu, Ag, Al, Pt, aerul) caracterizate printr-o relaie (1.6.50) liniar i printr-o valoare a permeabilitii relative 1rm , ceea ce nseamn o permeabilitate absolut 0mm .

20

Materiale feromagnetice (Fe, Co, Ni, Ga i unele aliaje) pentru care relaia (1.6.50) este neliniar ca urmare a dependenei permeabilitii m de intensitatea cmpului magnetic H. Caracteristica B(H) numit curb de histerezis magnetic este reprezentat n Fig. 1.6.14.

Fig. 1.6.14 Aria nchis de ciclul de histerezis corespunde unei densiti de volum a energiei care se

transform n cldur, prin frecri interne, la fiecare parcurgere a ciclului. Ea este proporional cu energia de magnetizare a acestor materiale.

Caracteristic pentru aceste materiale este valoarea foarte ridicat a permeabilitii relative (de ordinul 102105), ceea ce, conform relaiei (1.6.50) determin obinerea unor inducii magnetice (respectiv a unor energii magnetice) de valoare mare, la valori relativ reduse ale intensitii cmpului magnetic.

La suprafaa de separaie dintre un corp feromagnetic i unul neferomagnetic, liniile de cmp magnetic ies perpendicular pe suprafaa corpului feromagnetic.

2. Dup forma ciclului de histerezis materialele feromagnetice se clasific n:

Materiale magnetice moi, caracterizate printr-un ciclu de histerezis ngust. Aceste materiale se magnetizeaz i se demagnetizeaz relativ uor; ele se folosesc pentru realizarea circuitelor magnetice ale mainilor, aparatelor i transformatoarelor electrice. Din aceast categorie fac parte: Fe pur, Ol electrotehnic (aliat cu 4% Si), diverse aliaje (Permalloy, Supermalloy). n afara proprietilor magnetice, aceste materiale au i proprieti conductoare, ceea ce face ca n timpul funcionrii, n circuitele magnetice ale dispozitivelor respective s apar dou categorii de pierderi: prin histerezis (PH) i prin curenii turbionari (cureni Foucault) care se induc n aceste materiale (PF).

Materiale magnetice dure, care au un ciclu de histerezis larg. Aceste materiale se magnetizeaz i se demagnetizeaz relativ greu; ele se folosesc pentru realizarea magneilor permaneni. Din aceast categorie fac parte Ol clit (cu 1% C), Ol-Cr, Ol-W), Alnico etc.

Materiale ferimagnetice (sau ferite) cu o structur asemntoare celor feromagnetice, dar fiind materiale semiconductoare, caracterizate prin rezistivitate mare (102106 Wm). Feritele tehnice sunt materiale ceramice obinute prin sinterizare n cmpuri magnetice. Ele pot fi moi sau dure.

Feritele magnetice moi se pot folosi n dispozitivele de frecven joas sau nalt ca piese masive, datorit faptului c fiind dielectrice, n ele nu se produc pierderi

21

prin cureni turbionari. Se folosesc pentru realizarea circuitelor magnetice ale mainilor electrice mici, miezuri de bobine, transformatoare sau ca antene magnetice (ferite de Mn-Zn sau Ni-Zn la care permeabilitatea maxim se atinge la temperaturi de aproximativ 300 C).

Feritele magnetice dure se folosesc pentru realizarea magneilor permaneni (n maini electrice, n difuzoare etc.) sau a memoriilor magnetice (ferite de Ba sau Co maniperm, magnadur, baferit etc.).

1.6.12. Legea electrolizei Aceast lege caracterizeaz electroliii (conductoare de spea a doua n care trecerea

curentului de conducie este nsoit de reacii chimice) i se enun astfel: Masa de substan depus n unitatea de timp la unul din electrozii unei bi electrolitice parcurs de curent de conducie, este egal cu produsul dintre intensitatea curentului electric i i raportul dintre echivalentul electrochimic vnA / , prin constanta universal a lui Faraday, F0:

iFnA

tm

v 0dd

= , (1.6.51)

n care F0=96 490 coulombi. n intervalul de timp t, masa m are expresia:

000

dFn

AqiFnAm

v

t

v== t , (1.6.52)

n care =tiq

0dt este sarcina electric, iar echivalentul electrochimic al substanei este o

mrime de material.

1.7. ENERGIA I FORELE CMPULUI ELECTROSTATIC

1.7.1. Energia cmpului electrostatic Energia cmpului electrostatic al unui sistem de corpuri conductoare se poate determina pe

baza principiului conservrii energiei, conform cruia: energia elementar dWext primit de un sistem din exterior ntr-o transformare, este egal cu suma dintre lucrul mecanic elementar dL efectuat de sistem, cldura elementar dQ dezvoltat, creterea elementar dWe a energiei sistemului i energia elementar dWt transformat n alte forme:

teext WWQLW ddd +++= dd . (1.7.1)

Dac transformarea elementar se efectueaz foarte lent i izoterm, pentru a avea o succesiune de stri electrostatice, fr dezvoltare sau transfer de cldur, i dac nu se efectueaz lucru mecanic, atunci: eext WW dd = . (1.7.2) n procesul de stabilire a cmpului electrostatic, lucrul mecanic elementar al forelor exterioare necesar transportrii sarcinii elementare de la pn pe suprafaa conductoarelor este, pentru conductorul k: kkkext qVL d=d . (1.7.3)

Lucrul mecanic total necesar ncrcrii cu sarcini elementare a tuturor conductoarelor este:

==

==n

kkk

n

kkextext qVLL

11ddd . (1.7.4)

22

n regim electrostatic, sistemul primete energie din exterior numai sub form de lucru mecanic al forelor exterioare:

extext LW d=d , (1.7.5)

i innd seama de relaiile (1.7.2) i(1.7.4) rezult:

=

=n

kke qVW

1k dd . (1.7.6)

Considernd starea intermediar a conductoarelor caracterizat de sarcinile i potenialele

kk qq l=' , respectiv kk VV l=

' , cu )1,0(l , valorile extreme corespunznd strii iniiale, respectiv finale, i integrnd relaia (1.7.6), se obine expresia energiei electrostatice

==

=

= ==

==

n

kkk

n

kkk

n

kkke qVqVqVW

1

1

01

1

0 1

''

2

1dd lll

l

. (1.7.7)

n cazul particular al unui condensator

( )C

qCUqUqVqVWe 2

22

21 2

1

2

1

2

1===-= . (1.7.8)

1.7.2. Densitatea de volum a energiei cmpului electrostatic Energia cmpului electrostatic este localizat n tot domeniul ocupat de cmpul electrostatic cu o densitate de volum care se poate exprima n funcie de mrimile de stare ale cmpului electric cu una din relaiile:

21222

1

2

1 DEDEwe ee === . (1.7.9)

Expresiile de mai sus sunt valabile numai n medii liniare i fr polarizaie permanent.

1.7.3. Teoremele forelor generalizate n cmp electric Teorema lui Coulomb permite calculul forelor care se exercit asupra corpurilor n cmp electrostatic numai pentru medii omogene, liniare i izotrope. O metod general de calcul a forelor electrostatice (i a forelor electrice n regim variabil) are la baz principiul conservrii energiei (relaia 1.7.1). Considernd c asupra corpurilor conductoare se exercit fore generalizate X, care determin transformri elementare dx ale corpurilor, lucrul mecanic elementar efectuat de un corp se exprim sub forma:

xXL d=d , (1.7.10)

unde fora generalizat X (acionnd pe direcia de cretere a lui dx) poate fi: o for de deplasare, un cuplu, o presiune, o tensiune superficial i coordonata generalizat asociat, dx, va fi o distan, un unghi, un volum sau o arie. Dac transformrile elementare sunt efectuate n regim electrostatic, energia elementar primit de sistem de la sursele exterioare

=

=n

1kdd kkext qVW , (1.7.11)

este egal conform relaiei (1.7.1) cu suma dintre lucrul mecanic elementar efectuat de sistem i creterea elementar a energiei electrostatice a sistemului: eext WLW dd += d . (1.7.12)

23

Calculul forei generalizate se poate face pe baza relaiei (1.7.12) n dou ipoteze:

Sistemul este izolat. Aceasta implic:

0d . == kk qctq (1.7.13)

i innd seama de (1.7.11) i (1.7.12), rezult:

( ) .d ctqeWL =-=d , (1.7.14)

adic lucrul mecanic este efectuat pe baza scderii energiei electrostatice interne a sistemului. Exprimnd energia electrostatic n funcie numai de sarcinile electrice i de coordonata

generalizat (n cazul unui condensator )(2

2

xC

qeW = ) i innd seama de (1.7.13) se obine:

( ) xx

WdW ectqe d.

== . (1.7.15)

Relaiile (1.7.10), (1.7.14) i (1.7.15) conduc la prima teorem a forelor generalizate n cmp electrostatic:

.ctq

e

xW

X=

-= . (1.7.16)

Deci: Fora generalizat X asociat coordonatei generalizate x este egal cu derivata parial cu semn schimbat a energiei electrostatice a sistemului (exprimat n funcie numai de sarcinile electrice i coordonata generalizat), n raport cu coordonata generalizat x, la sarcini constante ale conductoarelor. Sistemul are potenialele fixate (conductoarele sunt conectate la surse de tensiune),

adic:

0d . == kk VctV . (1.7.17)

Din ecuaia de bilan rezult:

( )ext

WqVqVWn

kkk

ctV

n

kkkctVe dddd 2

1

2

1

2

1

1.1. ==

=

==== , (1.7.18)

adic energia primit de sistem de la sursele exterioare se distribuie n mod egal pentru efectuarea de lucru mecanic i pentru creterea energiei electrostatice a sistemului, iar

( ) ( ) ..dd ctVectVeext dWWWL == =-=d . (1.7.19) Exprimnd energia electrostatic n funcie numai de poteniale i de coordonata

generalizat (n cazul unui condensator 2

)( 2UxCeW = ) i innd seama de relaiile (1.7.10),

(1.7.17) i (1.7.19) rezult a doua teorem a forelor generalizate n cmp electrostatic:

.ctV

e

xW

X=

= , (1.7.20)

adic: Fora generalizat X asociat coordonatei generalizate x este egal cu derivata parial a energiei electrostatice a sistemului (exprimat n funcie numai de potenialele electrice i coordonata generalizat), n raport cu coordonata generalizat x, la poteniale constante ale conductoarelor.

24

Observaii: 1. Pentru sistemele liniare, cele dou expresii ale forei generalizate sunt echivalente. 2. Forele electrostatice au valori mici, ceea ce face ca aplicaiile lor tehnice s se

nscrie ntr-un domeniu limitat la construcia aparatelor de msur i a unor traductoare.

1.8. ENERGIA I FORELE CMPULUI MAGNETIC

1.8.1. Energia cmpului magnetic Se consider un sistem de n circuite electrice filiforme, caracterizate de rezistenele electrice, tensiunile la borne, curenii i fluxurile magnetice kkkk iuR F,,, (Fig. 1.8.1)

Fig.1.8.1

Energia magnetic a sistemului poate fi calculat pe baza principiului conservrii energiei, conform cruia energia primit de la surse trebuie s acopere pierderile prin efect Joule n rezistenele circuitelor, lucrul mecanic al forelor generalizate i creterea energiei magnetice a sistemului:

mn

kkk

n

kkk WLtiRtiu ddd

1

2

1++=

==d . (1.8.1)

Dac se aplic legea conduciei electrice, pentru circuitul k se obine:

kkikfk iReu =+ , (1.8.2)

unde ufk este tensiunea electric n lungul firului, iar eik reprezint t.e.m. a circuitului, considerat nul. Legea induciei electromagnetice, aplicat conturului nchis format din conductorul circuitului k i linia tensiunii la borne, are forma:

t

uue kkfk ddF

-=-=G . (1.8.3)

Considernd fluxurile magnetice variabile n timp, din ultimele dou ecuaii se obine:

t

iRu kkkk ddF

+= . (1.8.4)

nmulind relaia (1.8.4) cu ikdt i sumnd pentru toate circuitele, rezult relaia:

===

F+=n

kkk

n

kkk

n

kkk itiRtiu

11

2

1ddd . (1.8.5)

Comparnd relaiile (1.8.1) i (1.8.5) se obine:

=

F=+n

kkkm iWL

1ddd . (1.8.6)

25

Considernd c n sistem au loc transformri n care nu se efectueaz lucru mecanic (circuitele sunt imobile), iar ntr-o stare intermediar curenii i fluxurile magnetice satisfac relaiile ,' kk ii l= respectiv ,

'kk F=F l cu [ ]1,0l , prin integrarea relaiei (1.8.6) se obine:

=

F=n

kkkm iW

121 (1.8.7)

n particular, pentru o bobin, Lin == ,1 i

L

LiiWm 2

22

2

1

2

1 F==F= , (1.8.8)

iar pentru dou bobine cuplate magnetic

21122222

2111 2

1

2

1 iiLiLiLWm ++= . (1.8.9)

Primul termen reprezint energia magnetic proprie a bobinei 1, al doilea - energia magnetic proprie a bobinei 2, iar al treilea energia magnetic de interaciune a bobinelor. n general, pentru un circuit oarecare parcurs de curentul i, situat ntr-un cmp magnetic exterior, energia de interaciune este:

extiW F=int . (1.8.10)

1.8.2. Densitatea de volum a energiei cmpului magnetic Energia cmpului magnetic este localizat n tot domeniul ocupat de cmp cu o densitate de volum care se poate exprima n funcie de mrimile de stare ale cmpului magnetic prin una din expresiile:

21222

1

2

1 BHBHwm mm === , (1.8.11)

valabile numai n medii liniare. Observaie: Pentru a se compara densitatea de volum a energiei electrice cu cea a energiei magnetice, pentru valori practice ale mrimilor de stare, se determin:

Densitatea de volum a energiei electrice n cazul unui cmp electric n aer, cu o densitate a cmpului de 10 kV/cm:

320 J/m 42,421

= Ewe e ;

Densitatea de volum a energiei magnetice pentru un cmp magnetic n aer, cu inducia de 1 T:

30

2J/m 000.400

2

1=

mBwm .

Se observ c densitatea de volum a energiei magnetice este de aproximativ 90.000 de ori mai mare dect a celei electrice, ceea ce justific importana aplicaiilor tehnice i domeniile largi de utilizare a dispozitivelor magnetice.

1.8.3. Teoremele forelor generalizate n cmp magnetic Lucrul mecanic elementar care se efectueaz la o deplasare elementar dx a unuia din circuitele sistemului, n cmp magnetic, se poate determina din relaia (1.8.6):

26

mn

kkk WiL d d

1

=-F=d . (1.8.12)

Calculul forei generalizate X se poate face n dou ipoteze:

Fluxurile magnetice sunt meninute constante, adic .ctk =F i 0d =F k . n acest caz

( ) .d ctmWL =F-=d (1.8.13) i lucrul mecanic se efectueaz n baza scderii energiei magnetice a sistemului.

Exprimnd energia magnetic n funcie numai de fluxurile magnetice i de coordonata

generalizat (n cazul unei bobine )(2

2

xLWm

F= ) i lucrul mecanic cu relaia general (1.7.10),

relaia (1.8.13) conduce, n ipoteza de lucru adoptat, la:

.ct

m

xW

X=F

-= , (1.8.14)

relaie ce reprezint prima teorem a forelor generalizate n cmp magnetic: Fora generalizat X asociat coordonatei generalizate x este egal cu derivata parial cu semn schimbat a energiei magnetice a sistemului (exprimat n funcie numai de fluxurile magnetice i coordonata generalizat), n raport cu coordonata generalizat x, la fluxuri constante.

Curenii circuitelor sunt meninui constani, adic .ctik = i 0d =ki . Se prelucreaz relaia (1.8.12) n care

==

F=

F=

n

kkk

n

kkkm iiW

11ddd

2

1

2

1 , (1.8.15)

obinnd

.ddd111 2

1

2

1 ===

F=F-F=n

kkk

n

kkk

n

kkk iiiLd (1.8.16)

Este evident c n acest caz

( ) .d ctimWL ==d , (1.8.17) i energia primit de sistem se mparte n mod egal pentru efectuarea de lucru mecanic i pentru creterea energiei magnetice a sistemului.

Exprimnd energia magnetic n funcie numai de cureni i de coordonata generalizat (n

cazul unei bobine 2)(2

1 ixLWm = ) i lucrul mecanic cu relaia general (1.7.10), relaia

(1.8.17) conduce, n ipoteza de lucru adoptat, la:

.cti

m

xW

X=

= , (1.8.18)

relaie ce reprezint a doua teorem a forelor generalizate n cmp magnetic: Fora generalizat X asociat coordonatei generalizate x este egal cu derivata parial a energiei magnetice a sistemului (exprimat n funcie numai de cureni i coordonata generalizat), n raport cu coordonata generalizat x, la cureni constani.

27

CAP. 2. CIRCUITE ELECTRICE

2.1. BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

2.1.1. Ipotezele teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai Regimurile circuitelor electrice se pot studia cu ajutorul ecuaiilor cu derivate pariale ale cmpului electromagnetic (ecuaiile lui Maxwell) n condiii date. Prin utilizarea elementelor de circuit cu parametri concentrai studiul circuitelor electrice se simplific; n locul ecuaiilor cu derivate pariale intervin ecuaii difereniale, mai simplu de rezolvat. Teoria circuitelor electrice cu parametri concentrai se elaboreaz prin particularizare din teoria cmpului electromagnetic, n urmtoarele condiii de aproximare:

1. Caracterul cvasistaionar al regimului, care presupune neglijarea curentului de deplasare i i t

qtD D (

dd

dd= =

y ) peste tot, cu excepia dielectricului condensatoarelor (asigurnd astfel

nchiderea circuitului). Regimul cvasistaionar este astfel caracterizat prin existena curentului de conducie n conductoare i a celui de deplasare n condensatoarele cu dielectric perfect izolant.

2. Localizarea energiei cmpului magnetic numai n bobine i a energiei cmpului electric numai n condensatoare (dei iD stabilete cmp magnetic n dielectricul condensatoarelor i cmpul magnetic variabil n timp din bobine produce cmp electric, acestea se vor neglija).

3. Se admite c intensitatea curentului care iese dintr-o born a unui element de circuit este egal cu intensitatea curentului care intr prin cealalt born. Aceast condiie presupune c cea mai mare dintre dimensiunile l ale elementului de circuit este mult mai mic dect lungimea de und cea mai mic, l , care intervine n semnalul electric. Astfel n circuitele electrice cu parametri concentrai curentul electric se stabilete instantaneu, efectul de propagare fiind neglijabil. Considernd un conductor de lungime l parcurs de curentul

-=

cxtfItxi m p2sin),( , (2.1.1)

unde x este variabila spaial, c este viteza de propagare a undei electromagnetice (egal cu viteza luminii), iar f - frecvena, dac

12

28

curentului variabil n timp pe seciunea conductorului (efectul pelicular). n acest sens, teoria circuitelor electrice este exclusiv o teorie a elementelor de circuit filiforme. n regim variabil, satisfacerea condiiei caracterului filiform al conductoarelor se reduce la verificarea condiiei:

af

29

elemente de circuit pasive, pentru care n orice punct al caracteristicii de funcionare p > 0, ceea ce nseamn c elementul de circuit primete putere pe la borne (rezistorul, bobina, condensatorul);

elemente de circuit active (sau surse), pentru care cel puin ntr-un punct al caracteristicii de funcionare p < 0 , ceea ce nseamn c elementul de circuit cedeaz putere pe la borne (sursa de tensiune, sursa de curent).

2.1.2.1. Rezistorul Este un element de circuit a crui ecuaie caracteristic este de forma

Riuu Rb == . (2.1.11)

a) Rezistorul liniar invariabil n timp. Acest element de circuit al crui simbol este reprezentat n figura 2.1.1,a, are ecuaia caracteristic (numit i ecuaie constitutiv)

u t Ri t( ) ( )= (2.1.12) sau i t Gu t( ) ( )= , (2.1.13)

unde R > 0 este rezistena elementului msurat n ohmi W i G > 0 este conductana acestuia, msurat n siemens S . Ecuaiile (2.1.12) i (2.1.13) reprezint n planul (u,i) o dreapt ce trece prin origine; ca urmare, tensiunea i curentul au aceeai form de variaie n timp. nmulind ecuaia (2.1.12) cu i(t) sau (2.1.13) cu u(t) se obine puterea instantanee primit pe la borne de rezistor:

p t u t i t Ri t Gu t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = =2 2 . (2.1.14)

Indiferent de sensul de referin al tensiunii sau curentului, p > 0 i corespunde efectului electrocaloric de transformare ireversibil a energiei electrice n cldur. Dac R = 0 (G ) ecuaia (2.1.12) devine:

u t( ) = 0, (2.1.15)

caracteristic a scurtcircuitului. Dac R (G = 0) ecuaia (2.1.13) devine:

i t( ) = 0 (2.1.16)

caracteristic a laturii n gol.

b) Rezistorul liniar variabil n timp (parametric), are ecuaia caracteristic

u t R t i t( ) ( ) ( )= , (2.1.17)

unde R(t) se numete rezisten parametric, simbolul su fiind cel din figura 2.1.1,b. Un exemplu de astfel de element de circuit este poteniometrul. Caracteristicile (2.1.17) reprezint n planul (u, i) o familie de drepte ce trec prin origine; deci forma de variaie n timp a tensiunii este diferit de cea a curentului. Acest tip de element poate fi folosit la modelarea unui contactor real cu ajutorul unui contactor ideal i a dou rezistoare liniare i invariabile n timp, R1 de valoare foarte mare i R2 de valoare foarte mic.

c) Rezistorul neliniar (Fig. 2.1.1,c) invariabil n timp cu ecuaia caracteristic:

( ) ,0)(),( =tituf (2.1.18) respectiv

30

( ) ,0),(),( =ttitug (2.1.19) pentru cel variabil n timp.

Fig. 2.1.1

Dup forma ecuaiei caracteristice, aceste elemente pot fi simetrice sau nesimetrice n raport cu originea. Din punct de vedere al mrimii care fixeaz univoc poziia punctului de funcionare pe curba caracteristic, rezistoarele neliniare se clasific n:

rezistoare neliniare controlate n tensiune, avnd ecuaia caracteristic de forma

( ))()( tuiti = sau )( uii = ; (2.1.20) rezistoare neliniare controlate n curent, avnd ecuaia caracteristic de forma

( ))()( tiutu = sau )( iuu = . (2.1.21) Un rezistor neliniar caracterizat de faptul c pentru orice tensiune u dat (curent i dat) curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificat) se numete rezistor neliniar controlat n tensiune (curent). Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent i termistorul, a cror rezisten variaz cu temperatura, varistorul a crui caracteristic este controlat n tensiune i dioda cu gaz, avnd caracteristica controlat n curent. Dioda cu jonciune, dioda Zener i dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu caracteristic controlat n tensiune. Un alt exemplu este arcul electric n curent continuu i n curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil n timp.

2.1.2.2. Bobina Bobina necuplat magnetic are ecuaia caracteristic

u utb L

= =ddj

, (2.1.22)

numit ecuaia de evoluie a bobinei, din care, prin integrare pe intervalul (0, t) se obine

')d'()0( ;')d'()0()(0

0ttuttut

t

-

=+= jjj ; (2.1.23)

Relaia (2.1.23), numit i ecuaie de ereditate a bobinei, arat c fluxul magnetic la momentul t depinde de valorile anterioare ale tensiunii, deci bobina este un element cu memorie. De asemenea rezult c n intervalul ( , )- fluxul magnetic n bobin este o funcie absolut continu n timp. Se spune c fluxul are un caracter conservativ. Dac rezistena bobinei este nenul ( )R 0 , ecuaia (2.1.22) pentru bobina real capt forma:

LRb uutRiu +=+=

ddj , (2.1.24)

31

unde uR se numete cdere de tensiune rezistiv, iar uL- cdere de tensiune inductiv.

a) Bobina liniar, invariabil n timp i necuplat magnetic, cu simbolul din figura 2.1.2,a, are ecuaia caracteristic

( ) ( )tLit =j , (2.1.25) unde L > 0 este inductivitatea msurat n henry [H], constant pentru o anumit bobin.

n planul (j,i) caracteristica (2.1.25) este o dreapt ce trece prin origine, n consecin fluxul magnetic i curentul au aceeai form de variaie n timp.

innd seama de ecuaiile (2.1.22), i (2.1.25) se obine ecuaia caracteristic :

u t L it( ) =dd , (2.1.26)

din care, prin integrare pe intervalul (0,t) rezult

.'d)'(1)0( ;'d)'(1)0()(0

0-

=+= ttuL

ittuL

itit

(2.1.27)

Integrnd ecuaia (2.1.26) pe intervalul ( , )0 t t+ d i scznd apoi membru cu membru ecuaia (2.1.27), se obine:

.'d)'(1)()d(d

+

=-+tt

tttu

Ltitti (2.1.28)

Dac tensiunea este mrginit, u t U( ) < n intervalul 0,T , atunci integrala din (2.1.28) tinde ctre zero cnd dt 0, i deci se anuleaz i membrul stng al acestei ecuaii. Altfel spus, n aceste circumstane curentul prin bobin este uniform continuu n intervalul (0,T). El nu poate avea un salt brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit. Bobina liniar invariabil n timp i necuplat magnetic este complet caracterizat de inductivitatea proprie L i de intensitatea curentului n momentul iniial i( )0 . Proprietile de continuitate ale fluxului magnetic i curentului electric prin bobin sunt utilizate n studiul regimului tranzitoriu. nmulind ecuaia (2.1.26) cu i td ' i integrnd pe intervalul ( , )0 t n condiia i( )0 0= , se obine energia Wm acumulat n cmpul magnetic al bobinei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L

ttittLiiiLttituWit

m

22

00 21

21'd''d'' jj ===== , (2.1.29)

a crei valoare este pozitiv.

b) Bobina liniar, variabil n timp (parametric) i necuplat magnetic (Fig. 2.1.2,b) are ecuaia caracteristic

( ) ( ) ( )titLt =j , (2.1.30) unde L(t) se numete inductivitate parametric. innd seama de ecuaiile (2.1.22) i (2.1.30) se obine

u t L t it i tLt( ) ( ) ( )= +

dd

dd . (2.1.31)

Primul termen din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv prin pulsaie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv parametric.

32

n planul (j,i) ecuaia (2.1.30) reprezint o familie de drepte ce trec prin origine; ca urmare, fluxul magnetic i curentul au forme diferite de variaie. Un exemplu de inductor parametric l constituie un solenoid n interiorul cruia miezul magnetic se deplaseaz alternativ.

c) Bobina neliniar (Fig. 2.1.2,c) este o bobin cu miez feromagnetic ce intr n componena releelor, electromagneilor, transformatoarelor i mainilor electrice. Caracteristica ei flux-curent, numit caracteristic de magnetizare, este de forma:

( ) ( )( ) .0,, =ttitg j (2.1.32) numit curb de histerezis. Bobinele cu miez de fier pot fi modelate ca elemente de circuit, aproximnd corespunztor forma caracteristicii, de exemplu prin segmente de dreapt.

Fig. 2.1.2

d) Bobine cuplate magnetic

Se spune c o bobin s parcurs de curentul is este cuplat magnetic cu alte (l-1) bobine, dac fluxul magnetic js este funcie i de intensitile curenilor ce parcurg aceste bobine, ecuaia caracteristic a bobinei s fiind

( ) ( ) ( ) ( )( )ttitititi lss ,,...,,...,, 21jj = . (2.1.33) Dac bobinele sunt liniare i invariabile n timp, innd seama de relaiile lui Maxwell pentru inductiviti, ecuaia caracteristic (2.1.25) devine

=

=l

kksks iL

1j , (2.1.34)

n care mrimea

0>,0 skis

sd

sss kiLL ===

j, (2.1.35)

se numete inductivitate proprie, iar mrimea

L Lisk ks

ds

ki s ks= = =

j0 , ,

(2.1.36)

putnd fi pozitiv sau negativ, se numete inductivitate mutual. Pentru a stabili ce semn se ia n consideraie n calculele din teoria circuitelor pentru inductivitatea mutual, n schemele electrice se evideniaz cu * bornele polarizate ale bobinelor cuplate magnetic. Dac sensurile de referin ale curenilor is i ik fa de bornele polarizate sunt identice (ambii intr sau ies din aceste borne), inductivitatea mutual este pozitiv. n caz contrar, este negativ.

33

Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculeaz nlocuind relaia (2.1.34) n (2.1.22). Se obine astfel

u L it Lit L

its sk

k

lk

ss

skkk s

lk= = +

= =

1 1

dd

dd

dd , (2.1.37)

unde primul termen din membrul drept se numete cdere de tensiune inductiv proprie, iar al doilea - cdere de tensiune inductiv mutual. nmulind ecuaia (2.1.37) cu i tsd ' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza i(0) = 0, se obine expresia energiei magnetice nmagazinate n bobina s:

=

+==t l

skk

i

ksskssssms iiLiLtiuW0 1 0

''2 d 21'd . (2.1.38)

Primul termen din membrul drept se numete energie magnetic proprie i este strict pozitiv, iar al doilea se numete energie magnetic mutual i poate fi pozitiv sau negativ. Energia magnetic total a sistemului de l bobine cuplate magnetic are expresia

=

=i

ks

l

skskm iiLW

0

''

1,d . (2.1.39)

n cazul particular a dou bobine cuplate magnetic, se obine

W L i L i L i im = + +12

121 1

22 2

212 1 2 , (2.1.40)

unde primul i al doilea termen reprezint energia magnetic nmagazinat n prima, respectiv a doua bobin, iar ultimul termen reprezint energia magnetic de interaciune.

2.1.2.3. Condensatorul Considernd dielectricul condensatorului perfect izolant, legea conservrii sarcinii electrice conduce la relaia dintre intensitatea curentului electric de conducie i sarcina electric sub forma ecuaiei de evoluie

i qt=dd . (2.1.41)

Integrat pe intervalul (0, t), ecuaia (2.1.41) conduce la

'.d)'()0( ;'d)'()0()(0

0ttiqttiqtq

t

-

=+= (2.1.42)

Relaia (2.1.42) numit ecuaia de ereditate a condensatorului, arat c sarcina electric la momentul t, depinde de valorile anterioare ale curentului; prin urmare, condensatorul este un element cu memorie. Rezult de asemenea c n intervalul ( , )- sarcina electric este o funcie absolut continu n timp; altfel spus, sarcina electric nu variaz discontinuu (are caracter conservativ).

a) Condensatorul liniar invariabil n timp, (Fig. 2.1.3,a) are ecuaia caracteristic

q t Cu t( ) ( )= , (2.1.43)

unde C > 0 se numete capacitate i se msoar n farazi [F]. n planul (q, u) ecuaia (2.1.43) reprezint o dreapt ce trece prin origine, deci sarcina

electric i tensiunea au aceeai form de variaie n timp.

34

innd seama de (2.1.43), ecuaia (2.1.41) devine

i t C ut( ) =dd , (2.1.44)

care prin integrare pe intervalul (0, t) conduce la

'.d)'(1=)0( ;'d)'(1)0()(0

0tti

Cutti

Cutu

t

-

+= (2.1.45)

Condensatorul liniar i invariabil n timp este complet determinat de capacitatea C i de tensiunea iniial u(0). nmulind ecuaia (2.1.44) cu u td ' i integrnd pe intervalul (0, t) n ipoteza u(0) = 0, se obine energia acumulat n cmpul electric al condensatorului n acest interval

),()(21)(

21)(

21'd''d)'()'( 22

00tutqtq

CtCuuuCttituW

ut

e ===== (2.1.46)

a crei valoare este pozitiv. Printr-o demonstraie similar celei pentru curentul prin bobin, se poate arta c dac intensitatea curentului prin condensator este mrginit, i(t) < I n intervalul [0,T], atunci tensiunea electric la bornele condensatorului variaz continuu n intervalul (0,T). Altfel spus, tensiunea la bornele unui condensator liniar invariabil n timp nu poate varia brusc de la o valoare finit la o alt valoare finit. Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice i a tensiunii la bornele condensatorului va fi folosit n studiul regimului tranzitoriu.

b) Condensatorul liniar variabil n timp (parametric) cu simbolul din figura 2.1.3,b, are ecuaia caracteristic q t C t u t( ) ( ) ( )= , (2.1.47) unde C(t) se numete capacitate parametric. Din relaia (2.1.41), innd seama de (2.1.47), se obine

i t C t ut u tCt( ) ( ) ( ) .= +

dd

dd (2.1.48)

Primul termen din membrul drept se numete component de pulsaie a curentului, iar al doilea - component parametric. n planul (q, u) ecuaia (2.1.48) definete o familie de drepte ce trec prin origine, deci curbele de variaie ale tensiunii i sarcinii electrice sunt diferite. Un exemplu de condensator liniar variabil n timp este condensatorul cu armtur vibrant.

c) Condensatorul neliniar (Fig. 2.1.3,c)

Condensatoarele reale au caracteristica q(u) neliniar (n general variabil n timp), de forma ( ) 0),(),( =ttutqf , (2.1.49) reprezentat printr-o curb de histerezis.

Ca i la bobina cu miez feromagnetic, condensatorul neliniar poate fi modelat ca element de circuit, aproximnd caracteristica neliniar prin segmente de dreapt.

35

Fig. 2.1.3

2.1.2.4. Sursa de tensiune Sursa ideal independent de tensiune (Fig.2.1.4,a) este un element activ de circuit avnd urmtoarea ecuaie caracteristic:

u t e t i( ) ( ), .= " (2.1.50)

n planul (u, i) caracteristica de funcionare este o dreapt paralel cu axa curentului (Fig.2.1.4,b).

Fig. 2.1.4

Rezult c sursa ideal independent de tensiune este un caz particular de rezistor neliniar

controlat n curent, caracterizat de faptul c pentru orice curent dat, tensiunea este unic specificat.

Dac e t( ) = 0, caracteristica (2.1.50) devine 0)( =tu , se reprezint pe axa curentului, i sursa ideal independent de tensiune devine un scurtcircuit ( )R = 0 , proprietate important n cadrul teoriei circuitelor electrice, folosit pentru pasivizarea acestor surse.

Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de tensiune este c circuitul conectat la bornele sursei nu influeneaz forma de und a tensiunii ei, ci numai curentul care circul prin surs. Puterea cedat de sursa de tensiune circuitului extern este:

p t u t i t e t i t( ) ( ) ( ) ( ) ( ).= = (2.1.51)

Dac elementul de circuit degaj cldur prin efect electrocaloric, adic are rezisten intern 0R , ecuaia sa este:

u e Ri= - . (2.1.52)

Un astfel de element se numete surs real de tensiune (Fig. 2.1.5,a). Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (Fig. 2.1.5,b).

36

Fig. 2.1.5

nmulind relaia (2.1.52) cu i t( ) , se obine puterea electric cedat la borne de surs

p t u t i t e t i t Ri t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = - 2 . (2.1.53)

Relaia (2.1.50) arat c nu putem conecta n paralel (ntre aceleai borne) surse ideale de tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare.

2.1.2.5. Sursa de curent Sursa ideal independent de curent (Fig. 2.1.6,a) este o surs de energie electromagnetic avnd proprietatea de a debita un curent j t( ) independent de reeaua conectat la bornele ei. Semnificaia fizic a definiiei sursei ideale independente de curent este c, de data aceasta, este prescris curba de variaie a curentului sursei. Ea nu este influenat de tensiunea la borne determinat de circuitul extern, astfel nct ecuaia caracteristic a elementului este:

. ),()( utjti "= (2.1.54)

n planul (u,i) caracteristica este o dreapt paralel cu axa tensiunii (Fig. 2.1.6,b).

Fig.2.1.6

Sursa independent de curent este un caz particular de rezistor neliniar controlat n tensiune,

deoarece, conform ecuaiei caracteristice, pentru orice tensiune curentul este unic specificat. Dac j t( ) = 0, caracteristica se reprezint pe axa tensiunii, i sursa ideal independent de curent devine o latur deschis ( )R , proprietate de asemenea important n cadrul teoriei circuitelor electrice, legat de pasivizarea acestor surse. Puterea cedat de surs circuitului extern este

p t u t i t u t j t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = . (2.1.55)

Schema echivalent a unei surse reale de curent este prezentat n figura 2.1.7,a, iar ecuaia de funcionare este:

i t j t Gu t( ) ( ) ( ).= - (2.1.56)

Caracteristica de funcionare este o dreapt care nu trece prin origine (Fig. 2.1.7,b).

37

Fig. 2.1.7

nmulind relaia (2.1.56) cu u(t) se obine puterea electric cedat la borne de surs:

p t u t i t u t j t Gu t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).= = - 2 (2.1.57)

Relaia (2.1.54) arat c nu putem conecta n serie (pe aceeai latur) surse de curent cu valori diferite ale curenilor injectai.

2.1.3. Circuite electrice

2.1.3.1. Clasificarea circuitelor electrice Circuitele sau reelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate n diverse moduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se obine astfel o structur cu un numr n de borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare born se caracterizeaz prin curentul ik i potenialul vk , iar diferena potenialelor a dou borne se numete tensiune la borne.

Un circuit cu n borne de acces se numete multipol electric sau n-pol electric (Fig. 2.1.8). n particular, dac n = 2, circuitul se numete dipol, dac n = 3 - tripol i dac n = 4 - cuadripol electric. ntlnit i n reprezentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol a circuitelor electrice (Fig. 2.1.9), se caracterizeaz prin intensitatea curentului absorbit printr-o born i prin tensiunea ntre cele dou borne. Relaia u f i= ( ) sau i g u= ( ) se numete caracteristica dipolului. Pentru sensurile de referin ale curentului i tensiunii la borne din figur reprezentnd convenia de la receptoare, puterea absorbit pe la borne de dipol, p ui= > 0, iar dipolul se numete receptor. Pentru un sens invers al tensiunii la borne- convenia de la generatoare, puterea la bornele dipolului p ui= - < 0, iar dipolul se numete generator.

Fig. 2.1.8

Fig. 2.1.9

Prin definiie circuitele ideale n - pol satisfac urmtoarele condiii:

38

- n fiecare moment suma algebric a intensitilor curenilor bornelor de acces este nul; - n fiecare moment puterea electromagnetic total primit din exterior de circuitul n - pol se exprim conform teoremei puterii electromagnetice prin relaia:

p v ikk

n

k==

1

. (2.1.58)

Asocierea a dou borne ai cror cureni sunt egali n valoare absolut i opui ca semn, constituie o poart. Un multipol ale crui borne sunt grupate astfel nct s constituie n pori se numete multiport sau n - port (Fig.2.1.10). El se caracterizeaz prin tensiunile porilor i prin intensitile curenilor acestora. Cuadripolul, avnd bornele grupate n dou pori, este un diport (Fig. 2.1.11).

Fig. 2.1.10

Fig. 2.1.11

2.1.3.2. Regimurile de funcionare ale circuitelor electrice Dup natura funciilor care exprim variaia n timp a intensitilor curenilor i tensiunilor, regimurile de funcionare ale circuitelor electrice se clasific n: a) regim de curent continuu - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt constante n timp; b) regim variabil - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii oarecare de timp; c) regim periodic - n care mrimile de excitaie, intensitile curenilor, tensiunile i potenialele electrice sunt funcii periodice de timp. Un regim periodic particular foarte important n practic este regimul sinusoidal. Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de curent continuu sau regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri tranzitorii. Rezolvarea sistemelor de ecuaii ce descriu funcionarea circuitelor electrice n unul din regimurile de mai sus prezint particulariti specifice fiecrui regim, ceea ce determin abordarea de tehnici de analiz specifice. Acestea se grupeaz n trei mari categorii: 1. Analiza regimurilor de curent continuu, cuprinznd metode de analiz ce conduc la rezolvarea unui sistem de ecuaii algebrice care descriu funcionarea circuitului. Efortul de calcul este determinat exclusiv de numrul de ecuaii ale sistemului. Cele mai utilizate metode matematice n acest caz sunt algebra matriceal i metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii algebrice.

39

2. Analiza regimurilor sinusoidale, cu ajutorul metodei simbolice a reprezentrii n complex. Prin intermediul acestei tehnici, numit i metoda simbolic, sistemul de ecuaii difereniale ce descriu funcionarea circuitului n regim sinusoidal se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice, satisfcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a crui rezolvare este mult mai simpl. Analiza se ncheie prin revenirea din domeniul complex n domeniul real, obinndu-se astfel valorile instantanee ale mrimilor electrice calculate - cureni, tensiuni, poteniale electrice. 3. Analiza regimurilor variabile oarecare, prin metoda operaional. Tehnica cea mai utilizat de analiz folosit n acest caz se bazeaz pe transformata Laplace, i permite transformarea ecuaiilor difereniale ale circuitului n ecuaii algebrice, satisfcute de transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similar celei simbolice folosite n analiza regimurilor sinusoidale. Dup obinerea soluiilor sub forma transformatelor Laplace (numite funcii imagine), se aplic transformata Laplace invers pentru a se obine valorile instantanee ale necunoscutelor (numite funcii original). Pentru rezolvarea acestor regimuri exist ns i alte metode, care se bazeaz pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii.

2.1.4. Teoreme generale ale teoriei circuitelor electrice

2.1.4.1. Teoremele lui Kirchhoff a) n regim cvasistaionar legea conservrii sarcinii electrice pentru o suprafa nchis S care nconjoar un nod oarecare ( )n j al circuitului, intersecteaz toate conductoarele laturilor l nk j( ) i nu trece prin dielectricii condensatoarelor, conduce la

i qtSS= - =dd 0. (2.1.59)

Dac se atribuie semnul (+) curenilor care ies din nodul ( )n j (au sensul de referin acelai cu al normalei nS) i semnul (-) celor care intr n nod, relaia (2.1.59) conduce la

( )( )

A kl n

ik j

= 0. (2.1.60)

Relaia (2.1.60) reprezint prima teorem a lui Kirchhoff, care se enun astfel: suma algebric a intensitilor curenilor din laturile lk incidente n nodul ( )n j al unui circuit este nul. b) Aplicnd legea induciei electromagnetice pe conturul G , n ipoteza localizrii cmpului magnetic numai n bobine (avnd o valoare nul n afara elementelor de circuit) se obine

G

G =-==G .0

dd

tdsEe S

j (2.1.61)

Descompunnd curba nchis G ntr-o sum de curbe deschise ce urmresc liniile tensiunilor la bornele laturilor lk ce formeaz bucla ( )bh a circuitului, relaia (2.1.61) conduce la ( )

( )A k

l bu

k h

= 0, (2.1.62)

relaie ce reprezint teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor lk aparinnd buclei ( )bh a unui circuit este nul. Din modul de deducere al ecuaiei (2.1.62) rezult c semnul (+) se atribuie tensiunilor la borne al cror sens de referin coincide cu cel al curbei G i semnul (-) celorlalte.

Observaie:

40

Teoremele lui Kirchhoff obinute sub formele (2.1.60) i (2.1.62) sunt independente de natura elementelor de circuit i de modul de variaie n timp a tensiunilor i curenilor. Ele sunt consecine ale structurii topologice (derivnd din modul de interconexiune a elementelor de circuit) a reelei.

2.1.4.2. Teorema lui Tellegen Aceasta este o teorem general, reprezentnd o consecin direct a teoremelor lui Kirchhoff. Fiind date dou regimuri oarecare de funcionare ale unui circuit electric, notate cu (') respectiv (''), curenii i tensiunile corespunztoare, care verific independent cele dou teoreme ale lui Kirchhoff, satisfac urmtoarele relaii:

( ) 0="' t iu (2.1.63) i ( ) ( ) 0=- '""' tt iuiu , (2.1.64) unde u este vectorul tensiunilor laturilor (porilor) circuitului, iar i