Upload
jepri-efendi
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 1/12
N LISIS KOMPLEKS
Persamaan Cauchy reimann
Kelompok 6
OLEH :
Alfi Mulyahadi (1001125006)
Mika Melina (1001125105)
Winda Trisnawati (1001125194)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA
JAKARTA
2014
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 2/12
BAB 1
PERSAMAAN CAUCHY REIMANN
A. PENDAHULUAN
Persamaan Cauchy – Reimann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis
kompleks karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w =
f(z) = u (x,y) + iv (x,y). Pada pasal ini akan mengembangkan syarat perlu dan cukup agar suatu
fungsi yang diberikan mempunyai turunan. Hal ini dicapai melalui dua teorema. Teorema pertama
memberikan rumus untuk turunan asal turunan itu ada. Sedangkan teorema kedua memuat syarat
cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan akan menjamin adanya adanya turunan fungsi
dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu berada. Sebelum membahas kedua teorema
tersebut perhatikan gejala berikut.
Misalkan diberikan ,
2
z z f dengan mengunakan definisi turunan diperoleh:
1. ................. 2limlim22
' z z w
z w
z w
z f w f z f
z w z w
Misalkan ,iy x z diperoleh
xyi y xiy x z z f 22222
Jadi, 22, y x y xu dan xy y xv 2,
Turunan parsial pertama dari u dan v adalah
x y xv y y xv y y xu x y xu y x y x 2,dan,2, ,2, ,2,
Fungsi u, v, u x , u y , v x dan v y semuanya kontinu pada R 2, karena masing-masing merupakan fungsi
polinom. Dari turunan parsial pertama dapat dibentuk hubungan berikut
2................... 2dan2 yvu xvu x y y x
Dari persamaan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa jika ,2' z z f diperoleh
y y x x iuvivuiy xiy x z f 222'
Dengan melihat gejala tersebut di atas diturunkan suatu teorema yang disajikan di bawah ini yang
disebut dengan persamaan Cauchy Reimann.
B. PERSAMAAN CAUCHY REIMANN
1. Definisi
Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u
dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu
x y y x vuvu
dengan y
vv
x
vv
y
uu
x
uu y x y x
.
2. Teorema
Teorema 1
Diberikan ),(),()( y xiv y xu z f terdefinisi pad region D C dan
Diy x z 000 . Jika )( 0 z f ada, maka
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 3/12
),(),(),(),()( 000000000 y x y
vi y x
y
u y x
x
vi y x
x
u z f
sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu
),(),(),(),( 00000000 y x
x
vi y x
y
udan y x
y
v y x
x
u
Bukti :
Karena )( 0 z f ada, maka sepanjang y = 0 diperoleh :
),(),()(
),(,),(,)(
),(,),(,)(
),(),(,,)(
)()()(
00000
0000
0
0000
00
00000000
0
0
00000000
)0,0(),(0
00
00
limlim
lim
lim
lim
y x x
vi y x
x
u z f
x
y xv y x xvi
x
y xu y x xu z f
x
y xv y x xvi y xu y x xu z f
x
y xiv y xu y y x xiv y y x xu z f
z
z f z z f z f
x x
x
x x
z
Dengan memilih kurva x = 0, secara sama akan diperoleh bahwa
),(),()( 00000 y x x
vi y x
x
u z f
Teorema kedua memuat syarat cukup yakni jika dipenuhi oleh fungsi yang diberikan
akan menjamin adanya turunan fungsi dan teorema ini menyatakan lokasi dimana turunan itu
berada.
Teorema 2
Diberikan y xiv y xu z f ,, terdefinisi pada region C D dan .000 Diy x z
Jika
000000000
'
0
'
00000000
000
,,,,
,, ,,
Re 2
,
,, ,, ,, ,, ,, ,, 1
y xiu y xv y xiv y xu z f
danada z f maka
y xv y xudan y xv y xu
imannCauchy persamaanmemenuhi
y x z titik di
kontinu semuanya y xvdan y xv y xu y xu y xv y xu fungsi
y y x x
x y y x
y x y x
Bukti:
Misalkan ,,,' y xiv y xu z f maka untuk sebarang titik y y x x 00 , pada
r z N ,0 diperoleh
y y x x y x y y
u xv
uu
y xu y y x xuu
,,
,, 0000
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 4/12
dengan
0y, lim0,0,
x y x
dan
0y, lim0,0,
x y x
Selain itu, diperoleh
y y x x y x y y
v
x x
v
v
y xw y y x xvv
,,
,, 0000
Dengan () () () dan () () ()
Menurut hipotesis (2), dua relasi diatas menjadi:
∆u =∆x+
∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y .. . . . . . . . . (i)
dan
∆v =∆x+
∆y + (∆x,∆y)∆x + (∆x,∆y)∆y . . . . . . . . . (ii)
Oleh karena itu, diperoleh
f(z 0 + ∆z ) – f(z 0 )
= [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x,y0 + ∆y)] – [u(x0 ,y0 ) + iv(x0 ,y0 )]= [u(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – u(x0 ,y0 )] + i[v(x0 + ∆x,y0 + ∆y) – v(x0 ,y0 )]
= ∆u + i∆v
Menurut (i) dan (ii), persamaan itu menghasilkan
z
z f z z f
00
=
+ ( + i ) + ( + i )
=
+ ( + i ) + ( + i )
= + ( + i ) + ( + i ) . . . . . . . . . (iii)
Berasarkan relasi (iii), diambil limitnya untuk ∆z → 0 sehingga diperoleh:
( )() = *
( )
( ) +
f’(z0) = *
( ) ( )
+ karena ∆z → 0 maka ∆ x → 0 dan ∆ y → 0 serta semua ,,, → 0, sehinga diperoleh + i
→ 0 dan + i → 0.
Karena | ≤ 1 dan ≤ 1, diperoleh
f’(z 0 ) =
Dengan cara sama , diperoleh
f’(z 0 ) =
Catatan:
(a) Pada teorema 2 terdapat beberapa hal penting untuk diperhatika, yaitu
- konvers dari teorema tersebut salah
- dapat terjadi persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, tetapi f’(Z 0 ). - syarat (2) yaitu persamaan cauchy reimann merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup
untuk eksitensi f’(Z 0 )
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 5/12
(b) Teorema 2 menyatakan sebagai konverse dari teorema 1, yaitu jika f’(z0) ada, maka
persamaan Cauchy Reimann dipenuhi. Tetapi terdapat suatu fungsi yang mempunyai
turunan tetapi fungsi komponennya u dan v serta turunan parsial tidak semuanya kontinu.
Bentuk Polar Persamaan Cauchy-Reimann
Misalkan terdapat suatu fungsi kompleks ,, r ivr u z f dengan
. sin dancos , dimana ,sincos r vr r uir re z i Sehingga
sin dansin
cos dancos
r u
r
v
r v
r
u
maka
u
r r
vv
r r
u 1
dan
1
C. CONTOH SOAL
1. Diberikan fungsi f(z) = { ( ) ()
( ) ()
Perlihatkan bahwa f ’(0) ada tetapi tak kontinu di (0,0)
0
1sinlim
sinlim
0
0,00,lim0,00'
,, lim'
0
12
00
000000
0
x x
x
x
x
u xu
x
u f
y x x
ui y x
x
u
z
z f z z f z f
x
x
x x
z
Penyelesaian :
Misalkan u(x,y) = { ( ) ()
( ) ()
Dan v(x,y) = 0, untuk setiap (x,y).
Diperoleh :
01
sinlim0sin
lim0
0,00, lim0,0
0
12
00
x
x x
x
x
u xu
x
u
x
x
x x
dan
x x x
x
u
x x x
x x
x
u
1 cos
1sin2
1
1 cos
1sin2
2
x x
x x x
x
q
q p
x p p x
xu f
11
111
2
12
cos'
cos' sin
2' Misal
sin
2
2
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 6/12
x x x x x
x x x pqq p
x
u111
2
21 cossin2cos1
sin2''
Sehingga diperoleh
x x
x x y x y x
1 cos
1sin2lim
u lim
0,0,0,0,
ada tidak
1cos lim
1cos lim0
1cos lim1 sin2 lim
0,0,
0,0,
0,0,0,0,
x
x
x x x
y x
y x
y x y x
Karena ()() ( ) () maka
tak kontinu di (0,0)
Tetapi,
z
z
z
z f
z
f z f
f z z z
z12
000
sin
lim lim
00
lim0'
0sin0limsinz lim0'011
0 z
z f
2.
0, 0
0,
fungsiDiberikan
2 _
z
z z
z
z f
Tunjukkan bahwa persamaan Cauchy Reimann dipenuhi di ,0 z tetapi 0' f tidak ada.
Penyelesaian:
0 , 0
0,2
3 _
z
z z
z
z f =
0,0, ,0
0,0,,33
22
23
22
23
y x
y x y x
y x y
y x
xy x
Diperoleh:
0,0,, 0
0,0,,3
,
22
23
y x
y x y x
xy x
y xu
dan
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 7/12
0,0,, 0
0,0,,3
,
22
23
y x
y x y x
y x y
y xv
Oleh karena itu, diperoleh
0y
0 lim
0
0,0,0 lim0,0
11 lim
0
lim0
0,00, lim0,0
00
0
2
3
00
y y
x x x
y
u yu
y
u
x
x
x
x
u xu
x
u
11 limy
0y
lim0
0,0,0 lim0,0
00
lim
0
0,00, lim0,0
0
2
3
00
00
y y y
x x
y
y
v yv
y
v
x x
v xv
x
v
Karena ,0,000,0dan0,010,0 x
v
y
u
y
v
x
u
maka persamaan C-R dipenuhi
di (0, 0), tetapi
2
2
0,0,2
2 _
0
_
00
' limlim
z
lim0
0 lim0iy xiy x
z z
z z
z f z f f
y x z z z
Sepanjang kurva y = 0,
1 lim lim2
2
02
2
0,0,
x
x
iy x
iy x
x y x
Sepanjang kurva y = x,
12
2 lim lim
2
2
02
2
0,0,
ix
ix
iy x
iy x
x y x
3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya
a. 22)( iy x z f
b. z z f )(
c. 2)( z z f
Penyelesaian :
a. 22)( iy x z f .Df = C.
Misalkan22 ),(),( y y xvdan x y xu maka
y
v
x
v
y
u
x
u
vudan y y
v
x
v
y
u
x x
u
,,,,,2,00,2 semuanya kontinu
untuk setiap (x,y) R 2
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 8/12
Misalkan persamaan C-R dipenuhi, yaitu
00
22 x y y x
xv
yu
y
v
x
u
)( 0 z f ada hanya untuk satu titik ),( 000 y x z
Jadi x y x x
vi y x
x
u z f 2),(),()( 00000
Akibatnya diperoleh x z f 2)(
b.
iy x z z f )( .Df = C.Misalkan y y xvdan x y xu ),(),( maka
y
v
x
v
y
u
x
uvudan
y
v
x
v
y
u
x
u
,,,,,1,00,1 semuanya kontinu untuk
setiap (x,y) R 2
Karena 11
y
v
x
uuntuk setiap(x,y) R 2maka z z f )( tidak mempunyai turunan
pada C.
c. 222
)( y x z z f .Df = C.
Misalkan 0),(),( 22 y xvdan y x y xu maka
y
v
x
v
y
u
x
uvudan
y
v
x
v y
y
u x
x
u
,,,,,0,02,2 semuanya kontinu untuk
setiap (x,y) R 2
Misalkan persamaan Cauchy Reimann dipenuhi, yaitu
0
0
02
02
y
x
y
x
x
v
y
u
y
v
x
u
_
1apakahSelidiki er z f
Persamaan Cauchy Riemann hanya dipenuhi di titik (0,0) R 2. jadi )( z f ada hanyauntuk
z = 0 dan 000)0,0()0,0()(
i
x
vi
x
u z f
tidak sin,dancos1,Maka .sincosr11 _
r r vr r uir er z f
1dildiferensia 1apakahSelidiki .4 _
z er z f
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 9/12
1zdildiferensia
tidak 1Jadi.0dan1r 1diReimann-Cauchy persamaan berlaku _
er z f z
D. LATIHAN SOAL
1. Tentukan semua nilai C z sehingga z f ' tidak ada
a. _
z z z f
b. 22 ixy x z f
2. Tunjukkan bahwa ' f dan '' f ada setiap C z , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan
pertama dan keduanya
a. 2 iz z f
b. 3 z z f
3. Tunjukkan bahwa fungsi
0, 0
0, 22
33
22
33
z
z i y x
y x
y x
y x
z f
Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di 0 z , tetapi tidak mempunyai turunan di C.
4. Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut
a. i y x z f 22
b. iy x
z f
1
c. yi xe z f y sincos
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 10/12
LAMPIRAN
Penyelesaian Latihan Soal
1. Tentukan semua nilai C z sehingga z f ' tidak ada
a. _
z z z f
adatidaksehingga
ReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena
2 0
0 0
2, 0,
2,
z f
uvvu
vu
vu
y y xv y xu
iyiyiy x xiy xiy x y x f
y x y x
y y
x x
b. 22 ixy x z f
adatidaksehingga
ReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena
2 0
2
, 2,
2,
2
2
2
z f
uvvu
xyvu
yvu
xy y xv x y xu
ixy x y x f
y x y x
y y
x x
2. Tunjukkan bahwa ' f dan '' f ada setiap C z , kemudian tentukan persamaan fungsi turunan
pertama dan keduanya
a. 2 iz z f
0''
0'
analitik sehingga
ReimannCauchy persamaan berlakumaka dankarena
0 1 ,
1 0 2,
2222, 2
z f
iivu z f
z f
uvvu
vv x y xv
uu y y xu
xi y y xi yi xiiy xi y x f
x x
y x y x
y x
y x
b. 3 z z f
persamaan berlakumaka 6dan33karena
33 6 3,
6 33 3,
33
33323
222
22
2232
2223
3223
2332233222332
222232222
xyuv y xvu
y xv xyv y y x y xv
xyu y xu xy x y xu
i y yi x xy x z f
xy xi y xy yi x xi y xy xy yi x x z if y xy
i xy yi x yi x xiy x yi xyi xiy xiy x z f
y x y x
y x
y x
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 11/12
yi x yi x z f
xyi y xivu z f
z f
x x
66''
633'
analitik sehinggaReimannCauchy
22
3. Tunjukkan bahwa fungsi
0, 0
0, 22
33
22
33
z
z i y x
y x
y x
y x
z f
Memenuhi persamaan Cauchy Riemann di 0 z , tetapi tidak mempunyai turunan di C.
diperolehitu,karenaOleh
0,0,, 0
0,0,,
,
dan
0,0,, 0
0,0,,
,
22
33
22
33
y x
y x y x
y x
y xv
y x
y x y x
y x
y xu
11 lim lim lim0
0,0,0 lim0,0
11 lim lim lim0
0,00, lim0,0
002
3
00
002
3
00
y y y y
x x x x
y
y
y
y
y
y
u yu
y
u
x
x
x
x
x
x
u xu
x
u
i
y x
y x
y x
y x
z
f z f f
x
v
y
u
y
v
x
u
y
y
y
y
y
y
v yv
y
v
x
x
x
x
x
x
v xv
x
v
y x z
y y y y
x x x x
22
33
22
33
0,0,0
002
3
00
002
3
00
lim0
0 lim0'
tetapi,0,0didipenuhiReimannCauchy persamaan
maka,0,010,0dan0,010,0karena
11 lim lim lim0
0,0,0 lim0,0
11 lim lim lim0
0,00, lim0,0
8/12/2019 Anakom Kelomok 6 Persamaan Cauchy Riemann
http://slidepdf.com/reader/full/anakom-kelomok-6-persamaan-cauchy-riemann 12/12
ada.tidak0'Jadi, ada. tidaklim
maka berbeda,limitnyanilaidan0kurvasepanjangKarena
2
2 lim
22
33
22
33
0,0,
2
3
0,0,
f i
y x
y x
y x
y x
x y y
x x
x
y x
y x
4. Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut
a. i y x z f 22
l.diferensiamemilikitidak
sehinggaReimannCauchy persamaan berlakutidakmakadankarena
2 0 ,
0 2 ,
2
2
y x y x
y x
y x
uvvu
yvv y y xv
u xu x y xu
b. iy x z f 1
singular.ikadalah tit Titik
titikdikecualititikdisetiapanalitikFungsi.untuk1
'2
i z
i z f i z iy x
z f
c. yi xe z f y sincos
ldiferensiamemilikitidak
sehinggaReimannCauchy persamaan berlakutidakmaka dankarena os 0 sin,
os sin cos,
sincos,
x y y x
y
y x
y
y
y
y
x
y
y y
vuvu ycevv yie y xv
xceu xeu xe y xu
yie xe y x f