Ejercicios de cuaciones de Cauchy-Riemann

Matemáticas Especiales

1

Página 1

GUIA No 1

VARIABLE COMPLEJA

En esta guía se utilizaran de MATLAB las siguientes funciones preestablecidas

FUNCION ESTRUCTURA EN MATLAB SIGNIFICADO

i

j

>>i >>j

Cantidad imaginaria ( √1 )

√ >>sqrt(x) Calcula la raíz cuadrada de x >>y^x Calcula y elevado a la potencia x >>exp(x) Calcula la exponencial de x

Im(z) >>imag(z) Retorna la parte imaginaria del numero

complejo z

Re(z) >>real(z) Retorna la parte real del numero complejo z || >>abs(z) Retorna el módulo del numero complejo z

Arg(z) >>angle(z) Retorna el argumento (ángulo de fase) del

numero complejo z >>conj(z) Calcula el complejo conjugado del numero z

Ln(x) >>log(x) Devuelve el valor del logaritmo natural de x

Log(x) >>log10(x) Devuelve el logaritmo en base 10 de x

Sen(x) >>sin(x) Devuelve el valor del Seno de x en radianes

Cos(x) >>cos(x) Devuelve el valor del coseno de x expresado

en radianes

Tan(x) >>tan(x) Devuelve la tangente del argumento x en

radianes >>asin(x) Devuelve el arco cuyo seno es x, el resultado

en radianes >>acos(x) Devuelve el arco cuyo coseno es x, el

resultado en radianes >>atan(x) Devuelve el arco cuyo tangente es x, el

resultado en radianes >>sinh(x) Calcula el seno hiperbólico de x >>cosh(x) Calcula el coseno hiperbólico de x >>tanh(x) Calcula la tangente hiperbólica de x

>>syms x Define que la variable x es simbólica >>diff(y,x) Calcula la derivada de y con respecto a x,

tanto y como x deben ser simbólicas

>>expand(x) Escribe la expresión x como un producto de

factores. Es una expansión simbólica de x.


2

Página 2

Desde el command window de MATLAB se puede realizar operaciones aritméticas elementales de

sumas diferencias productos y división, con números complejos.

ARITMETICA DE NUMEROS COMPLEJOS

Ejercicio No. 1

Suponga que tiene tres números complejos ( 1 3 2 4 5), se desea

realizar la operación,

En MATLAB se asigna a las variables z1, z2 y z2 los valores correspondientes (Recuerde que

MATLAB diferencia entre mayúsculas y minúsculas)

>> z1=1+j

z1 =

1.0000 + 1.0000i

>> z2=3-2i

z2 =

3.0000 - 2.0000i

>> z3=-4+5j

z3 =

-4.0000 + 5.0000i

Observe que se puede colocar indiscriminadamente i o j. Ahora se realiza la operación postulada

>> z1+z2-z3

ans =

8.0000 - 6.0000i

Observe que el resultado se almacenó en una variable temporal llamada ans, si Usted realiza otra

operación dicha variable cambiará.

Ejercicio No 2

Calcular · ·

Como en MATLAB se tienen almacenadas las variables, basta solo realizar la operación

>> z1*z2*z3


3

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ans =

-25.0000 +21.0000i

Ejercicio No 3

Calcular $%&$'$(

Para realizar la operación sugerida, se puede realizar por dos métodos:

Método 1: Almacenar en una nueva variable, ) por ejemplo, la suma del numerador, luego

realizar la división $*$(

>> z4=z2+z3

z4 =

-1.0000 + 3.0000i

>> z4/z1

ans =

1.0000 + 2.0000i

Método 2: Realizar la operación usando signos de agrupación

>> (z2+z3)/z1

ans =

1.0000 + 2.0000i

Ejercicio No. 4

Calcular +$%&$'$( ,--------- +$(&$'$% , +$(&$%$' ,

Se debe calcular el primer término que es el conjugado complejo de la fracción, para ello aproveche

el hecho que en el ejercicio anterior se almacenó en la variable ) el resultado de la operación

indicada.

>> conj(z4)

ans =

-1.0000 - 3.0000i

En ans está almacenado el resultado de la operación, de tal manera que se puede completar la

operación agregando las fracciones y el producto.

>> ans+((z1+z3)/z2)*((z1+z2)/z3)


4

Página 4

ans =

0.1876 - 2.8424i

Ejercicio No. 5

Calcular

Para realizar la operación debe ser claro que · lo que significa que se puede calcular

mediante dos métodos:

Método 1: Realizar la operación ·

>> z2*z2

ans =

5.0000 -12.0000i

Método 2: realizar la operación

>> z2^2

ans =

5.0000 -12.0000i

Tenga presente que (^2) es elevar un numero a la potencia 2, en tanto que (.^2) es elevar cada

elemento en un arreglo a la potencia 2.

Ejercicio No. 6

Calcular +$(&$'$% ,.

Se realiza en primera instancia la operación +$(&$'$% , y elevamos a la potencia 5

>> ((z1+z3)/z2)^5

ans =

19.0536 +11.5736i

Ejercicio No. 7

Calcular /+$(&$'$% ,

Para resolver el problema se debe realizar en MATLAB

>> sqrt((z1+z3)/z2)


5

Página 5

ans =

0.3501 + 1.3183i

El editor de MATLAB le indica cuantos paréntesis tiene abiertos y con cuáles se cierra, para tener

control de los mismos.

Ejercicios Propuestos VC-1:

En los ejercicios del 1 al 12 encuentre la suma, diferencia, producto y cociente de cada par de

números complejos

1 4 , ) 7 2 . , 2. 3 ). , ) 2.

4 √ √5 , √ ) √5 5 / 4 , √ √ ' 7

6 √3' , ) √5'

7 √ 4 , √) 4 8 + ,3. ) 4 , 5 + ), 7

9 + , 4 , ) 7

10 ) , ) . 11 4 , ) 7 12 + 4 , , + ) 7,

En los ejercicios del 13 al 24 sean los números complejos &67 , .7&7 , 38, ) ) . realizar las operaciones indicadas

13 9 · $%$* 14 +$(&.7$*2$%$' , 15 +)$'$($*$% ,. )------

16 +$( 7$*$% $' ,/

17 +$(.$*$%2$%)$' , 18 +$(&$*'$%;$' ,<

19 3 2 --------------- +$%$*,-----

20 /5 3 ---------------'

21 +$($*, +$'$*,.

22 ). < 23 = 9$'$** √$(> ? 24 = √$*$%7 9$'' ?)

25 Con la ayuda de MATLAB demuestre que @ @

26 Con la ayuda de MATLAB demuestre que @ · @

27 Con la ayuda de MATLAB demuestre que $($% $(---$%---


6

Página 6

REPRESENTACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS

Ejercicio No. 8

Represente los números 1 3 2 4 5 en su forma polar, exponencial y

trigonométrica

Para darle solución al ejercicio, se debe encontrar los módulos de cada uno de los números y

además encontrar sus argumentos, para ello se realiza:

>> abs(z1)

ans =

1.4142

>> angle(z1)

ans =

0.7854

>> abs(z2)

ans =

3.6056

>> angle(z2)

ans =

-0.5880

>> abs(z3)

ans =

6.4031

>> angle(z3)

ans =

2.2455

De tal manera que los números complejos pueden ser escritos en sus representaciones como se

muestra en la tabla siguiente:

RECTANGULAR POLAR EXPONENCIAL TRIGONOMETRICA 1 1.4142A0.7854D 1.41423.2E.)6 1.41420.7854 0.7854 3 2 3.6056A0.5880D 3.60563..EE36 3.60560.5880 0.5880 4 5 6.4031A2.2455D 6.4031.)..6 6.40312.2455 2.2455


7

Página 7

Ejercicio No. 9

Dados los números complejos:

3A153 D .&)6 < . ) 5cos0.7 0.7

Calcular /+$('&$';$%$(·$* , *

El numero complejo tiene un módulo 3 y argumento principal de 153 recuerde que MATLAB

realiza las operaciones en radianes lo que indica que el argumento que se encuentra en grados

sexagesimales debe escribirse en radianes, para ello se debe recordar que

13 J180 K 1K 180LJ

De tal manera que en MATLAB se debe realizar

>> 15*pi/180

ans =

0.2618

Lo que indica que 153 es 0.2618 rad. Recuerde que MATLAB tiene incorporado dentro de sus

constantes el número J y se llama pi .

Así el número es

>> z1=3*exp(ans*j)

z1 =

2.8978 + 0.7765i

Lo que se puede comprobar utilizando la representación trigonométrica

>> 3*(cos(0.2618)+j*sin(0.2618))

ans =

2.8978 + 0.7765i

Calcular es sencillo utilizando las funciones de MATLAB

>> z2=exp(5+4i)

z2 =

-9.7009e+001 -1.1232e+002i

Calcular < .


8

Página 8

>> z3=1/6+3/5j

z3 =

0.1667 - 0.6000i

Calcular ) 5M0.7 0.7

>> z4=5*(cos(0.7)+j*sin(0.7))

z4 =

3.8242 + 3.2211i

Se calcula la cantidad subradical

>> ((z1^3+z3^5-conj(z2))/(z1*z4))^3

ans =

1.9643e+002 +9.5990e+002i

Ahora se calcula la raíz cuarta de la cantidad obtenida anteriormente

>> ans^(1/4)

ans =

5.2703 + 1.8776i

Apreciado estudiante, realice la operación completa en una sola línea y compruebe el resultado.

Ejercicio No. 10

Para los números del ejercicio anterior: a) calcule la expresión $( b) compruebe el resultado con

la expresión vista en clase para este tipo de expresiones.

>> z2^z1

ans =

-1.0598e+007 -4.5775e+006i

Se deja como ejercicio la parte b del problema

Ejercicio No. 11

Para los números del ejercicio No 9: a) Calcule 5 $' $* b) compruebe su respuesta con las

expresiones desarrolladas en clase

>> log(z2^z3-z3^z4)

ans =

-0.5408 + 2.9029i


9

Página 9

Se deja como ejercicio la parte b del problema

Ejercicio No. 12

Encuentre las tres raíces cúbicas de N 1 8

Para realizar este ejercicio, se debe tener presente la formula de Moivre

O ||OP Q QR

Con || STU U úSK , Q WKXTS Y ZK8 M8ZU U TSK , de tal manera

que

>> w=1-i

w =

1.0000 - 1.0000i

>> r=abs(w)

r =

1.4142

>> t=angle(w)

t =

-0.7854

>> k=0:2

k =

0 1 2

>> r^(1/3)*(cos((t+2*pi*k)/3)+j*sin((t+2*pi*k)/3))

ans =

1.0842 - 0.2905i -0.2905 + 1.0842i -0.7937 - 0 .7937i

Y las raíces son 3 1.0842 0.2905i , z 0.2905 1.0842i, 0.7937 0.7937i Se usó un arreglo k, para generar los números desde el 0 hasta 2, de tal manera que la operación

resultante fue de nuevo un arreglo con tres elementos (ans).

Se puede resolver el ejercicio con MATLAB usando la sentencia >>solve(), llamando a z como

variable simbólica

>> syms z

>> solve('z^3=1-i')


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Página 10

ans =

2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4)

2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8)

2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 - i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(- i/8 - 1/8)

>> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4 )

ans =

1.0842 - 0.2905i

>> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4 )

ans =

1.0842 - 0.2905i

>> 2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8)

ans =

-0.2905 + 1.0842i

>> 2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 - i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(- i/8 - 1/8)

ans =

-0.7937 - 0.7937i


En los ejercicios del 1 al 24 exprese el número dado en forma rectangular, polar, exponencial y

trigonométrica.

1 8 2 3 48 3 5 128

4 5 √38 5 10 6 7 148

7 56 ' 8 4&√ 6 9 √36*'

10 7 11 )6 12 2 '&6'%

13 7M8 +_ , 14 3M8 +)_ , 15 2M8 +._ ,

16 2M8 +2_ , 17 8M8 +._) , 18 5M8 + _,

19 2A35L D 20 12A35L D 21 7A315L D 22 9A73L D 23 √2A127L D 24 3A15L D En los ejercicios del 25 al 30 realizar la operación que se indica, si:


11

Página 11

5√ 6√, 3√2 `J3D , 2√38 a√32 b, ) 5√2A127L D 25 $( 26 $% 27 )$(&$'

28 /+$('&$';$%$(·$* ,$'*

29 + $%$'$*,$(

30 ) $(

Resolver las siguientes ecuaciones:

28 ) 81 0 29 < 1 √38 30 6) 25 32 3 10 0

PROBLEMAS EN INGENIERIA

P1 En las ecuaciones de ondas electromagnéticas, un elemento muy importante es el factor de

propagación c. En general c es un número complejo, definido como c d e, donde d se

llama factor de atenuación, y e se conoce como factor de fase. Si además suponemos que c fgh fi. Muéstrese usando como ayuda MATLAB que

d fjgi2 k1 + hfi, 1

e fjgi2 k1 + hfi, 1

Utilice MATLAB para realizar la gráfica para el factor de atenuación, usando valores típicos ( Use

las tablas )

P2 Una línea de transmisión se define como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un

punto a otro. Básicamente, una línea de transmisión tiene dos terminales en las que se alimenta

potencia (o información) y dos terminales en las recibe la potencia ( o información ). La

impedancia característica de una línea de transmisión se define como

lL km f5n f

Donde :

R = Resistencia por unidad de Longitud Ωm. L = Inductancia por unidad de longitud, H m-1

G = Conductancia por unidad de Longitud op. C = Capacitancia por unidad de Longitud Fm

Con ayuda de MATLAB, muestre que


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Página 12

a) Si la frecuencia es grande la línea tiene una impedancia característica

lL k5 mL

Que se convierte en una impedancia real ( Resistencia ) que tiene como nombre, Resistencia

Característica.

b) Cuando R y G son pequeñas, pero no lo suficientemente pequeñas para despreciarse,

entonces se puede expresar la impedancia característica de la siguiente forma:

lL k5 q1 = n2f m2f5?r

P3 En las líneas de transmisión es muy útil encontrar la impedancia (resistencia en variable

compleja ) a la distancia x, l medida desde la impedancia de carga ls. Esta impedancia se define

como l l3 tu&tvwxOyztv&tuwxOyz. Con c d e S(Factor de Propagacion de la onda en la línea).

l Impedancia a la distancia x viendo hacia la carga, Ω l3 Impedancia característica de la línea, Ω

ls Impedancia de la carga, Ω.Todas estas constantes.

a) Con la ayuda de MATLAB muestre que si la línea no tiene perdidas d 0, la impedancia l se puede escribir comol l3 tu&6tvwxOtv&6tuwxO b) Encuentre las expresiones con la ayuda de MATLAB para cuando la línea està en

cortocircuito y cuando està en circuito abierto.


13

Página 13

ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN

Ejercicio No. 13

Determine si la función satisface las ecuaciones de Cauchy_Riemann

Para determinar si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann |T| || |T| ||

Teniendo presente que ~ T, , es decir que T, m~

y , S~, debe evaluarse las igualdades.

Para realizar este tipo de operaciones se deben llamar un tipo de variables que se llaman

alfanuméricas o simbólicas. Sobre este tipo de variables se pueden realizar operaciones del cálculo

tales como derivación integración y solucionar ecuaciones diferenciales.

Para llamar este tipo de variables se utiliza la expresión

>> syms x

>>

MATLAB interpreta que en adelante la variable x es simbólica.

SI EN SU PC ESTA OPCION NO FUNCIONA PUEDE SER POR LA VERSIÒN QUE ESTE UTILIZANDO DE

MATLAB, O EL SISTEMA OPERATIVO ESTA TRABAJANDO A 64BIT Y MATLAB A 32BIT. PARA PC QUE

TRABAJAN A 64BIT, LA VERSION DE MATLAB 2010a O SUPERIOR PUEDE SER LA SOLUCION.

Se crean las variables simbólicas necesarias

>> syms x y z w u v

>>

Ahora se define que

>> z=x+j*y

z =

x + y*i

Ahora se define la función N y se calcula el resultado


14

Página 14

>> w=z^2

w =

(x + y*i)^2

Que no da mucha información, para poder hacerle seguimiento a lo que hace, se utiliza la función

expand(z), que convierte la expresión en

>> w=expand(z^2)

w =

x^2 + 2*x*y*i - y^2

Se define que T, m~ y , S~

>> u=x^2-y^2

u =

x^2 - y^2

>> v=2*x*y

v =

2*x*y

Ahora se utiliza la derivada simbólica de MATLAB para comparar la primera de las ecuaciones de

Cauchy-Riemann

>> diff(u,x)

ans =

2*x

>> diff(v,y)

ans =

2*x

Se verifica que la primera de las igualdades se obtiene. Ahora se debe evaluar la segunda de las

ecuaciones de Cauchy-Riemann

>> diff(u,y)

ans =

(-2)*y

>> -diff(v,x)

ans =


15

Página 15

(-2)*y

Lo que comprueba que la función de variable compleja dada Satisface las ecuaciones de Cauchy-

Riemann

Ejercicio No. 14

Pruebe que la función ~ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann

En este problema, la definición de las funciones T, m~ y , S~ es

inmediata

>> u=exp(x)*cos(y)

u =

exp(x)*cos(y)

>> v=exp(x)*sin(y)

v =

exp(x)*sin(y)

Ahora se establece las derivadas de las ecuaciones de Cauchy- Riemann

>> diff(u,x)

ans =

exp(x)*cos(y)

>> diff(v,y)

ans =

exp(x)*cos(y)

>> diff(u,y)

ans =

-exp(x)*sin(y)

>> -diff(v,x)

ans =

-exp(x)*sin(y)

Lo que verifica las Condiciones de Cauchy-Riemann


16

Página 16

Ejercicio No. 15

Pruebe que la función ~ K. 5Q 5Q satisface las ecuaciones de Cauchy –

Riemann.

Este problema debe tratarse con cuidado, ya que la función que se da está en forma polar, motivo

por el cual, la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cambia notablemente, como se

demostró en clase, llegando a la forma |T|K 1K ||Q 1K |T|Q ||K

Se realiza la definición de las variables simbólicas y se establece las funciones

>> syms u v r t

>> u=r^5*cos(5*t)

u =

r^5*cos(5*t)

>> v=r^5*sin(5*t)

v =

r^5*sin(5*t)

Ahora se evalúan las derivadas con sus factores

>> diff(u,r)

ans =

5*r^4*cos(5*t)

>> 1/r*diff(v,t)

ans =

5*r^4*cos(5*t)

>> 1/r*diff(u,t)

ans =

(-5)*r^4*sin(5*t)

>> -diff(v,r)

ans =

(-5)*r^4*sin(5*t)


17

Página 17


En los ejercicios del 1 al establezca si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann

1 ~ $ 2 ~ 3 ~ O,

4 ~ 5 ~ 5 6 ~ +$ ,

7 ~ $ 8 ~ $ 9 ~ &

10 ~ MY 11 ~ 2 1 12 ~ 8

13 ~ 2 14 ~ $7$ 15 ~ $$

PROBLEMAS DE INGENIERIA

P4 Analícese con ayuda de MATLAB el flujo plano, no vortiginoso (irrotacional), de un líquido

incompresible ideal, para ello suponga que , y , las componentes del vector de

velocidad del flujo a lo largo de los ejes e , y sea , , la velocidad

compleja del flujo. Muéstrese que es una función analítica.


18

Página 18

FUNCIONES ARMONICAS Y ARMONICAS CONJUGADAS

Ejercicio No. 16

Dada T, 2, encuentre la función conjugada , tal que

~ T, , es una función analítica de en todo el plano

Se sabe que se deben satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann, de tal manera que || |T|

Entonces el resultado de la operación debe ser integrado con respecto a y

>> u=x^2-y^2+2*x

u =

x^2 + 2*x - y^2

>> diff(u,x)

ans =

2*x + 2

Para calcular una integral, en MATLAB la operación se realiza escribiendo >>int(f,x) indica que

se integra la función f (Simbólica ) con respecto a x (simbólica).

>>v= int(ans,y)

v =

y*(2*x + 2)

Tenga presente, que en el procedimiento que se realiza, hace falta la constante de integración.

Ahora como se ha visto en el curso, se deriva con respecto a x y se multiplica por -1

>>- diff(v,x)

ans =

(-2)*y

Re realiza ahora la derivada de u respecto a y es decir, se utiliza la segunda ecuación de Cauchy-

Riemann


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Página 19

>> diff(u,y)

ans =

(-2)*y

Como los dos resultados son iguales, la constante de integración es un valor constante, por tanto

>> v

v =

y*(2*x + 2)

Adicionándole una constante K. Esa será la función conjugada. Así la solución es

, 2 2

Y la función ~ 2 2 2

Ejercicio No. 17

Encuentre la función conjugada de T, 21 y muentre que la función ~ T

es armónica

En primer lugar se debe encontrar la función conjugada de T, es decir la función , , para

tal efecto, se sigue el procedimiento del ejercicio anterior.

>> syms u v x y

>> u=2*x*(1-y)

u =

(-2)*x*(y - 1)

>> v=int(diff(u,x),y)

v =

-(y - 1)^2

>> -diff(v,x)

ans =

0

>> -diff(u,y)

ans =

2*x

>> int(ans,x)


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Página 20

ans =

x^2

así pues que la función , 1 y la función ~ 21 1 para mostrar que es armónica, la función definida como ~ T debe satisfacer la ecuación

de Laplace

|T| |T| 0

Lo que significa en MATLAB

>> diff(u,x)

ans =

2 - 2*y

>> diff(ans,x)

ans =

0

>> diff(u,y)

ans =

(-2)*x

>> diff(ans,y)

ans =

0

Lo que significa que la función T, 21 satisface la ecuación de Laplace luego es

armónica.

>> v=v+x^2

v =

x^2 - (y - 1)^2

>> diff(v,x)

ans =

2*x

>> diff(ans,x)


21

Página 21

ans =

2

>> diff(v,y)

ans =

2 - 2*y

>> diff(ans,y)

ans =

-2

Se verifica que al sumar los dos resultados 2-2=0 satisface la ecuación de Laplace, por tanto la

función ~ 21 1 es armónica.


En los ejercicios del 1 al 9 probar que T, es armónica y hallar la armónica conjugada ,

1 21 2 2 3 3 3 2 2

4 %&% 5 6 cos

7 %&%% 8 2Y +, 9

PROBLEMAS EN INGENIERIA

P5 Las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo están dadas en forma vectorial por

· Ley de Gauss para el

campo eléctrico

· 0 Ley de Gauss para el

campo magnético h i w Ley de Ampere Maxwell g w Ley de Faraday

En general, los campos eléctricos E y magnéticos H son funciones de la posición , , y, en

situaciones que cambian con el tiempo, como una función del tiempo t. En consecuencia, se puede

escribir que los campos eléctrico y magnético son

|| cosfY || cosfY

Es decir la parte real del campo complejo. Encuentre la forma de las ecuaciones de Maxwell bajo

este supuesto.

P6 Una de las miles de soluciones posibles de la ecuación de Laplace y que tiene mucho validez en

problemas prácticos de ingeniería es la función


22

Página 22

~ W5 =l l ?

Para obtener funciones útiles en la resolución de problemas deben separarse en esta expresión

sus partes real e imaginaria y representarse en el plano complejo, como se muestra en la figura. El

numerador está dado por la recta O1P, y el denominador por la recta O2P.

Muestre que La función de Z proporciona dos funciones

n W5 K K WQ Q

Cualquiera de las dos funciones son solución de la ecuación de Laplace. Si se toma G como función

potencial se obtienen familias de superficies equipotenciales igualando G a una serie de

diferentes valores constantes. Es conveniente determinar estos valores constantes de G

definiendo K K S n W 5 S donde cada valor de m determina una superficie

equipotencial particular. Encuentre las ecuaciones de las equipotenciales y grafíquelas.

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Ejercicios de cuaciones de Cauchy-Riemann