Analisa Numerik

PENDAHULUAN

2

Komputer, Manusia, dan Persoalannya• Membantu manusia menanggulangi persoalan :

– Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.)– Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.)– Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.)– Dalam sains (pergerakan benda ruang angkasa, dsb.)

• Dng. modelling, persoalan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk formula matematis.

• Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal :– Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut

mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati kawasan yg. buruk, dsb.

• Utk. dapat jawaban perlu metoda.• Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari.• Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada

titik-titk tertentu dng. metode numerik.

3

Beberapa Model Matematis• Sistem Persamaan Linear (SPL)

– Bentuk Umum :Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi :

Ax = bA : matriks berukuran N X Nb : vektor berukuran N

– Contoh :• Cari x yang memenuhi :

x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 32x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 25x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5

-3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2

• Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya berbeda.

• Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian memori.

4

Beberapa Model Matematis• Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL)

– Bentuk Umum :Cari x yg. memenuhi :

f1(x1,x2,...,xN) = 0f2(x1,x2,...,xN) = 0

... = ... fN(x1,x2,...,xN) = 0

– Contoh :x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0 x2 + y2 + z2 + z = 0

• Persamaan Diferensial Parsial (PDP)– Bentuk Umum :

A, B, C : konstan

),,,,( yxyyxyxx yxFCBA

5

Beberapa Model Matematis– Contoh :

Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat :

Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1

Syarat batas : x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x)x = 1 : u(1,y) = f4(y) ; y = 1 : u(x,0) = f2(x)

Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :

6

Beberapa Model Matematis• Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB)

– Bentuk Umum :y’ = f(x,y), y(x0) = y0

didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar sistem).

– Contoh :Model dinamika populasi dan sistem persamaan non-linier :

;

Nilai awal : untuk

Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :

10'

2xxyxx

20'

2yyyxy

1)0(,2)0( yx 300 t

7

Beberapa Model Matematis– PDB ada 2 macam :

• PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya.

• PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak terlalu berbeda jauh.

– PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier.

• Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model lain, misal :– PDP bisa menjadi PDB

– SPNL harus melalui proses SPL

8

Kuliah• Outline

– Pendahuluan– Floating point arithmetic– Pendekatan fungsi dengan polinom Lagrange, Power,

Newton.– Solusi sistem persamaan linier– Solusi (sistem) persamaan non-linier– Pendekatan turunan dan integral– Solusi persamaan diferensial biasa

• Ref :– Comte, Samuel D., & Carl De Boor. Elementary

Numerical Analysis. Mc Graw Hill.

• Penilaian : PR : 35%, UTS : 25%, UAS : 40%