ANÁLISE COMBINATÓRIA 1 AUTOR DESCONHECIDO

7/31/2019 ANLISE COMBINATRIA 1 AUTOR DESCONHECIDO

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ANLISE COMBINATRIA

FATORIAL

5! = 5.4.3.2.1 = 120

4! = 4.3.2.1 = 24

3! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 2

1! = 1

0! = 1 CONVENO

Exemplo: Calcular o valor de:

a) 4! + 3! b) 7!

24 + 6

30

7.6.5.4.3.2.1

5040

Observe que:

4!+3! 7!

c)!8

!10

n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1

= 8!

10.9. 8! 90

=


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d)

!49

!49!50

49!49!

50.49!

49!(50 1)

49!

49

O conjunto soluo de:

210)!1(

)!1(

n

n :

(n 1)!

= 210

(n + 1)! = (n + 1).n.(n 1).(n 2).(n 3)....

(n + 1)! = (n + 1).n.(n 1)!

(n + 1).n.(n 1)!

(n + 1).n = 210

n2 + n 210 = 0

n = 14n = - 15(no convm)

Determine a soma dos valoresde m que satisfazem a equao(m 3)! = 1

(m 3)! = 1! ou (m 3)! = 0!m 3 = 1

m = 4

m 3 = 0

m = 3

Logo a soma dos valores de m 7

210)!1(

)!1(

n

n


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PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMO princpio fundamental da contagem, ou princpio multiplicativo,

estabelece um mtodo indireto de contagem de um determinado evento,sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades.

Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas eindependentes de modo que:E1 o nmero de possibilidades da 1 EtapaE2 o nmero de possibilidades da 2 Etapa

::En o nmero de possibilidades da n-sima EtapaEnto E1 . E2 . ......... .Ek o nmero total de possibilidades do evento ocorrer.

Quantas placas para identificao de veculos podem ser confeccionadas

com 3 letras e 4 algarismos?(Considere 26 letras, supondo que no h nenhuma restrio.)

2626 26 1010 10 10 = 175. 760. 000


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Quantos nmeros de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podemser formados ?

Alguns nmeros possveis

244 3215244 5138

244 0008244 2344244 0000:::

Usando o princpio fundamental da contagem:

2441010 1010

= 10 000 nmeros

fixo


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Numa olimpada de Matemtica concorrem 100 participantes e seroatribudos dois prmios, um para o 1 lugar e outro para o 2 lugar. Dequantas maneiras podero ser distribudos esses prmios?

99100= 9900 maneiras


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USA TODOS ELEMENTOS

NO USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAO

ARRANJO

COMBINAO

IMPORTA ORDEM

NO IMPORTA ORDEM

Pn = n!p)!(n

!np

nA

p!p)!(n

!np

nC

FORMULRIO


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01) ( UFSC ) Numa circunferncia so tomados 8 pontos distintos. Ligando-se doisquaisquer desses pontos, obtm-se uma corda. O nmero total de cordas assimformadas :

n = 8 totalp = 2 usa

A C

Corda AC = CA

COMBINAO

p!p)!(n

!np

nC

28

2)!2!(8

!828

C

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAO

ARRANJONO USA TODOS ELEMENTOS

COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem


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03)Quanto aos anagramas da palavra NMERO, determine:



COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem

a) Total de Anagramas

Pn =n!

P6 =6!P6 = 720

b)O nmero de anagramasque comeam em N eterminam em O

N O

{U, M, E, R}

P3 . P4

3!.4!

6 . 24 = 144

c)O nmero de anagramas que possuem N, U, Mjuntas.

N U M E R O X E R O

d)O nmero de anagramas que possuem N, U, M

juntas e nessa ordem.

P4 = 4! = 24


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04) Determine o nmero de anagramas da palavra CARCAR (no considere oacento)



COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem

210!2!2!3

!73,2,27

P

05) ( ITA ) O nmero de solues inteiras e no negativas da equaox + y + z + w = 5 :

56!3!5

!85,38

P


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06) Os presentes a determinada reunio, ao final da mesma, cumprimentam-semutuamente, com aperto de mo. Os cumprimentos foram em nmero de 28. Onmero de pessoas presentes reunio :



COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem

n = x total

p = 2 usa

COMBINAO

p!p)!(n

!npn

C

2)!2!(x!x28

Jos Carlos Carlos Jos

2)!2.1(x

2)-1)(x-x(x28

56 = x2 - x

x2 x 56 = 0

x = 8


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07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo nmero de colorados assistem a um Grenal.Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma nica vez, etodos os gremistas cumprimentam-se entre si uma nica vez,havendo no total 43cumprimentos. O nmero de colorados :



COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem

432xC

26C

432)!2!(x

!x

2)!2!(6

!6

432)!2.1(x

2)-1)(x-x(x15

x2 x =56

x2 x 56 = 0

x = 8


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COMBINAO

Importa ordem

No Importa ordem

08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).

2

xA01. A equao = 12 no possui soluo.

12!2)(x

!2)1)(xx(x

12!2)(x

!x

12A2x

x(x 1) = 12x2 x 12 = 0x1 = 4 ou x2 = 3 (no serve).

F

02. Com a palavra CAJU podemos formar24 anagramasPn =n!P4 = 4! = 24

V

04. Numa sala esto 5 professores e 6alunos. O nmero de grupos quepodemos formar, tendo 2professores e 3 alunos, 30.

20020.10

36C.

25C

F

ou +e x

08. Na final do revezamento 4 x 100 mlivre masculino, no Mundial de Natao,em Roma 2009, participaram: EstadosUnidos, Rssia, Frana, Brasil, Itlia,

frica do Sul, Reino Unido e Austrlia. Osdistintos modos pelos quais poderiam tersido distribudas as medalhas de ouro,prata e bronze so em nmero de 56.

78 =336

ARRANJO P.F.C

6

F

09) ( UFSC 2009 ) A i l ( ) i ( ) CORRETA(S)


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09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).

01. Em uma clnica mdica trabalham cinco mdicos e dez enfermeiros. Com essenmero de profissionais possvel formar 200 equipes distintas, constitudas cadauma de um mdico e quatro enfermeiros.

02. Entre os anagramas da palavra GUA, 6 comeam por consoante. (noconsidere o acento)

04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferncia podem serfeitos 440 tringulos unindo-se trs desses pontos.

08. O total de nmeros pares que se obtm permutando os algarismos 1, 2, 2,5, 5, 5e 6 180.

1050.2105!4!.6!10.

!!.14!5C.C 4

1015

F

3!2

!3P23 F

220!3.!9

!12C

3

12 F

Terminados em 2

Terminados em 6

120!3

!6P36

60!.2!3

!6P3,26

TOTAL: 180 V

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