ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE PÓRTICOS PLANOS VIA MÉTODO ANALÍTICO FORM, CONSIDERANDO A NÃOLINEARIDADE GEOMÉTRICA

7/26/2019 ANLISE DE CONFIABILIDADE DE PRTICOS PLANOS VIA MTODO ANALTICO FORM, CONSIDERANDO A NOLINEARI

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ANLISE DE CONFIABILIDADE DE PRTICOS PLANOS VIAMTODO ANALTICO FORM, CONSIDERANDO A NO-

LINEARIDADE GEOMTRICA

Anderson F. Andradea, Afonso H. Oliveirab, Silvana M. Bastos Afonsoc

aCentro de Tecnologia e Geocincias, Universidade Federal de Pernambuco, Av. Acadmico Hlio

Ramos S/N, Cidade Universitria, Recife-PE Brasil, [email protected].

bCentro de Tecnologia e Geocincias,Universidade Federal de Pernambuco, Av. Acadmico Hlio

Ramos S/N, Cidade Universitria, Recife-PE Brasil, [email protected].

cProcessamento de Alto Desempenho em Mecnica Computacional, Universidade Federal de

Pernambuco, Av. Acadmico Hlio Ramos S/N, Cidade Universitria, Recife-PE Brasil, [email protected].

Palavras Chave:Confiabilidade estrutural, mtodo analtico FORM, no-linearidadegeomtrica

Resumo. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia para anlise de confiabilidadeestrutural de prticos planos considerando a no-linearidade geomtrica. Sero utilizadas ferramentas

computacionais para a anlise estrutural bem como para a anlise de confiabilidade. O mtodoanaltico FORM (First Order Reliability Method) utilizado a fim de obter-se a confiabilidade daestrutura em questo. Este mtodo constitui um procedimento iterativo para determinao da

probabilidade de falha e medidas de sensibilidade da estrutura. A anlise estrutural objetiva determinaro comportamento da estrutura quando submetida a aes externas a qual pode apresentar umcomportamento linear ou no-linear. Dentre as vrias fontes de no-linearidade de uma estrutura pode-se citar a no linearidade fsica e a no linearidade geomtrica. A no-linearidade geomtrica decorrente do aparecimento de efeitos de segunda ordem quando a estrutura, em presena de esforonormal, submetida a valores relativamente grandes de deslocamento. O presente trabalho consideraapenas a no-linearidade geomtrica. Estudos de caso so utilizados para validar a metodologiadescrita.

Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 8869-8880 (artculo completo)Eduardo Dvorkin, Marcela Goldschmit, Mario Storti (Eds.)

Buenos Aires, Argentina, 15-18 Noviembre 2010

Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar


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1 INTRODUO

Nas estruturas em geral, sempre existe o risco de ela vir a falhar, porm, o risco

apresentado pelas mesmas deve ser quantificado e mantido em nveis aceitveis de acordocom critrios de segurana e economia. A determinao deste valor pode ser feita pormtodos de confiabilidade, os quais permitem a determinao do ndice de confiabilidade ouprobabilidade de falha da estrutura.

O presente trabalho tem como objetivo a anlise de confiabilidade estrutural de prticosplanos considerando no-linearidade geomtrica atravs do mtodo analtico FORM (FirstOrder Reliability Method).

2 ANLISE NO LINEAR

O objetivo da anlise estrutural determinar o comportamento da estrutura quandosubmetida a aes externas, ou seja, obter tenses, deformaes e deslocamentos.

Grande parte das estruturas de engenharia exibe um comportamento linear elstico sobcargas de servios. Existem excees como arcos e edifcios altos, e estruturas sujeitas a umescoamento localizado prematuro ou fissurao, por exemplo, que apresentam umcomportamento no-linear. Antes de alcanar o seu limite de resistncia, quase todas essasestruturas vo apresentar uma resposta no-linear significante.

Na anlise no-linear tenta-se melhorar a simulao do comportamento de uma estruturaem alguns aspectos. O objetivo fundamental obter-se para fins de projeto uma previsosegura do comportamento do sistema. Como conseqncia, tem-se um aumento dacomplexidade do problema e conseqente aumento do custo computacional.

O comportamento no-linear de uma estrutura, sob ao de um carregamento qualquer,pode ser classificado de acordo com seus efeitos. Dentre as vrias fontes de no linearidade

podem-se citar a no-linearidade fsica e a no-linearidade geomtrica. A primeira decorre dofato do material no apresentar uma relao tenso-deformao linear (no segue a lei deHooke), isto , o comportamento do material no elstico linear. J a no-linearidadegeomtrica decorrente do aparecimento de efeitos de segunda ordem quando a estrutura, empresena de esforo normal, submetida a valores relativamente grandes de deslocamento.Neste ltimo caso os efeitos no lineares esto associados s equaes de equilbrio, queconsideram a configurao deformada, e as relaes deformao-deslocamento. Nestetrabalho ser considerada somente a no-linearidade geomtrica.

2.1 Pontos crticos

Os pontos crticos so aqueles em que um caminho de equilbrio atinge um valor extremoou aqueles onde diferentes caminhos de equilbrio se encontram. Na figura 1 podem serobservados trs pontos crticos (A,B e C), onde os pontos (B e C) so chamados de pontoslimite e o ponto (A) ponto de bifurcao. Neste trabalho ser considerado apenas o primeiroponto limite.

A. ANDRADE, A. OLIVEIRA, S. BASTOS AFONSO8870



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Figura 1: Pontos crticos

3 CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

A confiabilidade estrutural pode ser considerada como uma importante ferramenta que oengenheiro dispe para quantificar a segurana que uma estrutura possui em atender aos

objetivos para os quais a mesma fora projetada, considerando as incertezas nas variveisinerentes ao seu projeto. Estas variveis aleatrias so denominadas variveis bsicas e a cadauma delas est associada a uma distribuio de probabilidade qualquer, e so usualmenterepresentadas por U= (U1,U2,U3, ..., Un).

A confiabilidade de uma estrutura pode ser avaliada pela probabilidade de sucesso (ps) oupela probabilidade de falha (pf). Devido sua ordem de grandeza, esta ltima, normalmente, mais utilizada, variando de 10-6a 10-3. Estas probabilidades so complementares, ou seja,

pf= 1 -ps (1)

Define-se uma funo de falha G(U) (funo de estado limite ou funo de performance)de tal maneira que o limite (G(U) = 0), denominado superfcie de falha, separe o domnioseguro (G(U) > 0) e o domnio de falha (G(U) 0), como mostrado, para o caso de duas

variveis aleatrias (n=2), na Figura 2.Desta forma, a probabilidade de falha, ou seja, a probabilidade da funo de falha assumir

valores pertencentes ao domnio de falha definida por:

0)( UGPpf (2)

Matematicamente esta probabilidade pode ser avaliada, segundo (Melchers, 1987), por:

F uf du(U)fp (3)

onde fu(U) representa a funo de densidade de probabilidade conjunta de todas as variveisaleatrias envolvidas no problema e F indica o domnio de falha (G(U) 0 ).

Figura 2: Definio da funo de falha

Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 8869-8880 (2010) 8871



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Devido s dificuldades encontradas na soluo analtica da eq. (3), surgiram algunsmtodos numricos que podem ser classificados da seguinte forma: Mtodos de IntegraoNumrica; Mtodos de Simulao ou Tcnicas de Monte Carlo; Mtodos Analticos FORM e

SORM (Second Order Reliability Method); Mtodos Mistos ou Hbridos. O mtodo analticoFORM ser melhor apresentado no item 3.1.

3.1 Mtodo Analtico FORM

No mtodo analtico FORM, segundo (Melchers, 1987), as variveis bsicas U,correlacionadas ou no, so transformadas em variveis normais padro estatisticamenteindependentes V (variveis reduzidas), ou seja, variveis que apresentam mdia nula e desviopadro unitrio, definindo assim uma funo de falha g(V) no espao reduzido. A superfciede falha, g(V) = 0, aproximada por uma superfcie linear (hiperplano) no ponto maisprximo origem (V*), este se caracteriza como o ponto de maior densidade local deprobabilidade, denominado ponto de projeto ou ponto mais provvel de falha, como indicadona Figura 3.

Define-se o ndice de confiabilidade , como a distncia entre o ponto V* e a origem, ouseja,

*V (4)

assim tem-se:

V * * . (5)

sendo * o vetor normal superfcie de falha no ponto de projeto.Utilizando-se as propriedades da distribuio normal multidimensional padro, a

probabilidade de falha, considerando-se uma aproximao de primeira ordem, pode serdefinida por:

p f df v V v( ) ( )F (6)onde (.) representa a distribuio cumulativa normal padro.

Figura 3: Representao grfica do Mtodo Analtico FORM.




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3.1.1 Transformao de variveis

A transformao das variveis bsicas U = (U1,U2,U3, ..., Un) em variveis normais

padro estatisticamente independentes V = (V1,V2,V3, ..., Vn), ou vice-versa, pode serdefinida da seguinte forma:

V T U ( ) ou U T V 1 ( ) (7)

onde T denominada como transformao de probabilidade e apresenta como condionecessria de sua existncia o fato das variveis bsicas apresentarem distribuies contnuasde probabilidade.

Considerando-se as variveis bsicas como sendo todas normais, correlacionadas ou no,torna-se possvel utilizar-se a transformao de Nataf descrita por Der Kiureghian e Liu,(1986), definida da seguinte forma:

V U m

1 ( ) (8)

onde m o vetor que contm as mdias das variveis bsicas U,

a matriz diagonal queapresenta os desvios padro destas variveis e a inversa da matriz L, onde Lrepresenta amatriz triangular inferior obtida da decomposio de Choleski da matriz dos coeficientes decorrelao das variveis bsicas U, e apresenta-se da seguinte forma:

nnnnn LLLL

LL

L

...

.............

0...0

0...00

321

2221

11

L (9)

onde os termosLijso definidos por:

11;11

;,1;0.11

1

21

1111

iLLikLLL

LniLLi

j

ijii

k

j

kjijij

kk

ikiji (10)

onde ij o coeficiente de correlao entre as variveis Uie Uj.

O Jacobiano da transformao (J) definido por e a partir da eq. (8)tem-se:

J 1 (11)

No caso geral, onde as variveis bsicas podem apresentar distribuies de probabilidadequaisquer, correlacionadas ou no, o uso da transformao de Nataf torna-se possvel, desdeque cada distribuio de probabilidade no normal seja substituda por uma distribuio deprobabilidade normal equivalente. Para tal utiliza-se o Princpio da Aproximao daExtremidade Normal, apresentado por (Ditlevsen, 1979). Este procedimento, ilustrado naFigura 4, consiste em se fazer a equivalncia entre os valores das funes cumulativa edensidade de probabilidade para ambas as distribuies no ponto de interesse U*, sobre asuperfcie de falha, ou seja:

UVJ /




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**

iiN

u

N

uiUFu

U

i

i

(12)

1

uN

i u

N

u

N i i

i

i

i

Ufu U

**

(13)

ondeN

ui

e uN

i so, respectivamente, a mdia e o desvio padro da distribuio normalequivalente para a varivel Ui

*; Fui(Ui*) e fui(Ui

*) so as funes cumulativa e densidade deprobabilidade originais da varivel Ui

*, respectivamente; (.) e (.) so as funes cumulativa

e densidade de probabilidade da distribuio normal padro.Resolvendo-se o sistema de equaes acima, obtm-se:

u

N i i

i ii

Fu U

fu U

*

*

(14)

uN i uN i ii iU Fu U * *

(15)

As equaes. (14) e (15) podem ser diretamente utilizadas para distribuies quaisquer,desde que estas sejam no correlacionadas. Caso contrrio, necessita-se tambm obter-se acorrelao equivalente entre as variveis aleatrias em questo, como mostrado por (DerKiureghian e Liu, 1986).

Considerando-se duas variveis aleatrias Ui e Uj , cada uma com sua distribuio deprobabilidade associada, e ij o coeficiente de correlao entre ambas, o coeficiente de

correlao equivalente (

ij

E

) entre as duas distribuies normais equivalentes pode ser obtidopela seguinte expresso:

ijE

ij F . (16)

onde F um fator que, para algumas distribuies de probabilidade, obtido atravs defrmulas semi-empricas apresentadas por (Der Kiureghian e Liu, 1986).

Figura 4: Princpio da Aproximao da Extremidade Normal.

3.1.2 Ponto de Projeto

Como j citado anteriormente, para obteno do ndice de confiabilidade e, posteriormente,a probabilidade de falha necessita-se encontrar o ponto de projeto V*. Esta etapa pode ser




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formulada como um problema de otimizao ou programao no-linear com uma restrioque pode ser expressa por:

P1: minimize V (17)

sujeito a g(V) = 0

Encontram-se, na literatura, vrios algoritmos para a resoluo do problema de otimizaoacima mostrado, contudo, (Sagrilo,1994) adotou o desenvolvido por (Hasofer e Lind, 1974) e,posteriormente, aprimorado por (Rackwitz e Fiessler, 1978), conhecido por HL-RF. O mesmoutiliza a seguinte expresso para atualizao:

(18)

onde g(VK) o gradiente da funo de falha e g(VK) o valor da funo de falha avaliados

no ponto VK.Para utilizao do mtodo HL-RF, utilizam-se as seguintes relaes:

g G

g GT

V U

V J U

1 (19)

onde G(U) o gradiente da funo de falha no espao original avaliado no ponto U.

3.1.3 Medidas de Sensibilidade

O mtodo analtico FORM fornece, alm da probabilidade de falha, outras medidas degrande importncia para anlises prticas de confiabilidade. Estas medidas so conhecidascomo medidas de sensibilidade. Existem vrias medidas de sensibilidade, a exemplo defatores de importncia, fatores de omisso e fatores de sensibilidade paramtricos. Nestetrabalho ser utilizado para anlise de sensibilidade das variveis apenas o fator deimportncia.

O fator de importncia de cada varivel aleatria i envolvida na anlise de confiabilidade definido por

Ii i 2

(20)

onde i o cosseno diretorcom relao a varivel Uido vetor normal a superfcie de falha noponto de projeto e no espao das variveis reduzidas, conforme Figura 2.

Os fatores de importncia indicam, como o nome prprio nome diz, qual a importnciarelativa de cada varivel no valor final da probabilidade de falha. As variveis com fator deimportncia baixo podem ser consideradas como determinsticas na anlise. Somente asvariveis com fatores de importncia altos que efetivamente contribuem para a probabilidadede falha.

3.1.4 Algoritmo do mtodo analtico FORM

Os principais passos do algoritmo do mtodo analtico FORM so os que seguem:

1)Avaliar as correlaes equivalentes entre as variveis e montar amatriz ;

TKKKK

K

Kggg

gVVVV

VV

.

12

1




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2) Escolher um ponto de partida Uno espao original (geralmente as mdias);

3) Avaliar as mdias e desvios padres das normais equivalentes no ponto de partida atravs

das expresses:

u

N i i

i ii

Fu U

fu U

*

*

(14)

uN i uN i ii iU Fu U * *

(15)

depois montar as matrizes em, j descritas anteriormente no item 3.1.1, com os respectivosdesvios padres e mdias das normais equivalentes;

4) Avaliar a funo de falha G(U), o Jacobiano e o gradiente de G(U) no espao reduzido

atravs das expresses:

J 1

(11)

g G

g GT

V U

V J U

1 (19)

5) Transformar o ponto de partida para o espao reduzido usando

m)J(UV (21)

6)Avaliar o novo ponto V

next

atravs do algoritmo HLRF(18)

7) Avaliar o ndice de confiabilidade

nextV (4)

8) Avaliar o novo ponto Unextno espao original atravs da seguinte expresso:

)(1 VVJUU nextTnext (22)

9) Tomar Unext

como novo ponto de partida e repetir os passos 3 a 8 at a convergncia, i.e.,

TOLnext

next

V

VV

(23)

10) Avaliar a probabilidade de falha pelo mtodo FORM por

)( FORMpf (24)

Tnext ggg

gVVVV

VV

.

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4 FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS UTILIZADAS

4.1 Anlise de confiabilidade

No caso da anlise de confiabilidade ser utilizado um programa desenvolvido emFORTRAN, que tomou como base o programa PACONF desenvolvido por (Sagrilo,1994).

4.2 Anlise no linear

Na anlise no linear ser utilizado um programa tambm desenvolvido em FORTRAN,baseado em um programa implementado por (Galvo, 2000), concebido para determinar ocaminho de equilbrio. Para o presente trabalho, este programa foi modificado para determinaro primeiro ponto limite das estruturas a serem analisadas.

5 ESTUDOS DE CASO

Neste item, alguns estudos de caso sero analisados com o intuito de validar a metodologiaconstruda.

5.1 Caso 1 Prtico de Lee

Neste exemplo feita a anlise de confiabilidade do Prtico de Lee. Esta estrutura interessante pelo fato de apresentar instabilidade por ponto limite depois de sofrer grandesdeslocamentos e rotaes. uma estrutura usada com freqncia por alguns autores paravalidar estratgias de soluo no-linear como o caso de Galvo (2000). Na figura 5apresenta-se a estrutura em questo. Na Tabela 1 so apresentadas as variveis aleatrias

utilizadas na anlise de confiabilidade pelo mtodo analtico FORM.

Figura 5: Prtico de Lee

Varivel Aleatria Mdia () Desvio Padro () Distribuiorea da Seo (A) 6,0 cm2 0,424 cm2 NormalInrcia da Seo (I) 2,0 cm4 0,316 cm4 NormalMdulo de Elasticidade (E) 720,0 kN/cm2 50,400 kN/cm2 Log-normal

Tabela 1: Variveis aleatrias utilizadas na anlise de confiabilidade do prtico de Lee




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Para o exemplo mostrado neste item, duas anlises foram desenvolvidas: uma funo defalha em termos de carga e outra em termos de deslocamento.

Na funo de falha em termos de carga, avaliou-se inicialmente qual o valor da carga que

leva a estrutura ao primeiro ponto limite. Utilizando 20 elementos para discretizar a estruturae os valores mdios das variveis aleatrias mostradas na Tabela 1, o valor do carregamentocalculado foi P = 1,863 kN. Estabelecendo-se como limite a carga P lim= 2,000 kN, chegou-sea funo de falha conforme mostrado abaixo:

G1 = Pcalc- Plim (25)

onde, Pcalc o valor da carga que leva a estrutura ao primeiro ponto limite a partir dos valoresassumidos pelas variveis aleatrias mostradas na Tabela 1 a cada iterao necessria parasoluo do mtodo analtico FORM de acordo com o que foi exposto no item 3.1.4. Osvalores obtidos esto mostrados na Tabela 2.

No caso da funo de falha em termos de deslocamento, foi avaliado o deslocamentovertical W no ponto de aplicao da carga correspondente ao carregamento que leva aestrutura ao primeiro ponto limite. Utilizando 20 elementos para discretizar a estrutura e osvalores mdios das variveis aleatrias mostradas na Tabela 1, o valor do deslocamento foiWlim= 49,102 cm. A funo de falha utilizada nesta anlise foi a mostrada abaixo:

G2 = Wlim- Wcalc (26)

onde, Wcalc o valor do deslocamento vertical no ponto de aplicao da carga relativo aocarregamento que leva a estrutura ao primeiro ponto limite a partir dos valores assumidospelas variveis aleatrias mostradas na Tabela 1 a cada iterao necessria para soluo domtodo analtico FORM de acordo com o que foi exposto no item 3.1.4. Os valores obtidosesto mostrados na Tabela 2.

Anlise Funo de Falha pf No

Iteraes1 G1 = Pcalc- Plim 0.43609 0.3314 32 G2 = Wlim- Wcalc 0.01416 0.4944 2

Tabela 2: Valores obtidos na anlise do prtico de Lee

Ao contrrio dos resultados comumente encontrados em anlises desse tipo, asprobabilidades de falha foram bastante elevadas porque o limite da funo de falha foi umvalor muito prximo do limite calculado (primeiro ponto limite). Caso todas as variveisfossem simtricas o resultado da anlise 2 seria exatamente 0,5, ou seja, probabilidade defalha igual a 50% j que o limite da funo de falha foi igual ao valor calculado (49,102 cm).

Na primeira anlise, o valor da probabilidade de falha se afastou do valor 0,5 porque o limiteadotado na funo de falha (2,000 kN) foi diferente do valor calculado para o primeiro pontolimite (1,863 kN).

5.2 Caso 2 Prtico abatido de Williams

Neste item, duas anlises do Prtico abatido de Williams sero desenvolvidas. Esteproblema citado por alguns pesquisadores a exemplo de (Galvo, 2000) como sendofreqentemente utilizado para validar modelos numricos. Esta estrutura apresenta umcaminho de equilbrio acentuadamente no linear com perda de estabilidade por ponto limite.Na Tabela 3 so apresentadas as variveis aleatrias utilizadas na anlise de confiabilidadepelo mtodo analtico FORM.




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Figura 6: Prtico abatido de Williams

Varivel Aleatria Mdia () Desvio Padro () Distribuiorea da Seo (A) 0,183 m2 0,0129 m2 NormalInrcia da Seo (I) 0,0009 m4 1,409.10-4m4 Normal

Tabela 3: Variveis aleatrias utilizadas na anlise de confiabilidade do prtico abatido de Williams

Para o exemplo mostrado acima, foram feitas duas anlises conforme citado anteriormente.Em uma anlise sero utilizadas as duas variveis aleatrias mostradas na Tabela 3.Diferentemente do estudo de caso 1, o mdulo de elasticidade foi aqui considerado comoparmetro determinstico com valor E = 1,03.107 tf/m2. A partir de uma anlise desensibilidade das variveis citadas atravs do clculo do fator de importncia, o nmero devariveis aleatrias ser reduzido para apenas uma varivel na segunda anlise.

Utilizando 20 elementos para discretizar a estrutura e os valores mdios das variveisaleatrias mostradas na Tabela 1, o valor do carregamento calculado foi P = 36,162 tf.Estabelecendo-se como limite a carga Plim= 37,000 tf, chegou-se a funo de falha conformemostrado abaixo:

G3 = Pcalc- Plim (27)onde, Pcalc o valor da carga que leva a estrutura ao primeiro ponto limite a partir dos valoresassumidos pelas variveis aleatrias mostradas na Tabela 1 a cada iterao necessria parasoluo do mtodo analtico FORM de acordo com o que foi exposto no item 3.1.4. Osvalores obtidos esto mostrados na Tabela 4.

Utilizando-se apenas a Inrcia da Seo como varivel aleatria de acordo com a tabela 3 ea mesma funo de falha G3, chega-se praticamente ao mesmo resultado obtido ao utilizarduas variveis aleatrias. Os resultados esto mostrados na Tabela 4.

Anlise Variveis aleatrias F.Importncia pf NoIteraes

1 A

I

0,0009

0,9991

0,1547 0,43850 3

2 I 1 0,1548 0,43846 3

Tabela 4: Valores obtidos na anlise do prtico abatido de Williams

Igualmente ao que foi mostrado no item 5.1, a probabilidade de falha foi prxima a 50%em funo do limite adotado para a funo de falha (37,000 tf) ser muito prximo ao valorcalculado para o primeiro ponto limite (36,162 tf). Se o valor adotado para P limfosse igual a36,162 tf, o valor de pfseria igual a 0,5.

Conforme era esperado, o valor da probabilidade de falha nas duas anlises foipraticamente o mesmo, mostrando a grande utilidade da anlise de sensibilidade.




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6 CONSIDERAES FINAIS

Neste trabalho procurou-se mostrar uma metodologia para anlise de confiabilidade de

prticos planos com no linearidade geomtrica.Na anlise de confiabilidade foi utilizado o mtodo analtico FORM que uma timaestratgia para avaliao da probabilidade de falha graas ao pequeno nmero de vezes que afuno de falha avaliada.

Atravs do segundo estudo de caso mostrado, outra importante ferramenta oferecida pelomtodo analtico FORM foi utilizada: a anlise de sensibilidade das variveis aleatriascomponentes da funo de falha, representada pelo Fator de Importncia. A anlise desensibilidade torna-se vantajosa do ponto de vista do custo computacional com a anlise deconfiabilidade quando o nmero de variveis aleatrias a serem analisadas elevado.

7 REFERNCIAS

A. Der Kiureghian; P.L. Liu. Structural Reliability under Incomplete Probability Information.J. of Eng. Mech., v.112, n.1, p.85-105, 1986.

A. M. Hasofer; N.C. Lind. Exact and Invariant Second-Moment Code Format. J. of Eng.Mech., v.100, n.EM1, p.111-121, 1974.

A.S. Galvo. Formulaes no-lineares de elementos finitos para anlise de sistemasestruturais metlicos reticulados planos. Ouro Preto: UFOP/DECIV, 2000. 168p.Dissertao (Mestrado em Engenharia Civil).

L.V.S. Sagrilo.Anlise de Confiabilidade Estrutural Utilizando os Mtodos Analticos FORMe SORM. Rio de Janeiro: UFRJ, 1994. 141p. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) -COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro,1994.

O. Ditlevsen. Narrow Reliability Bounds for Structural Systems. J. of Eng. Mech., v.7, n.4,

p.453-472, 1979.R.E. Melchers. Structural Reliability: Analysis and Prediction. Chichester: Ellis HorwoodLimited, 1987. 400p.

R. Rackwitz; B.Fiessler, Structural Reliability under Combined Random Load Sequences.Computer and Structure., v.9, p.489-494, 1978.



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