-
CAPITULO XIII
PRTICOS PLANOS ORTOGONALES
OBJETIVO:Calcular estructuras planas ortogonales aporticadas que
son las estructuras ms comunes que se presentan en la prctica de la
ingeniera civil.
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERA CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICA
ESCUELA DE INGENIERA CIVIL
MATERIA:ANLISIS MATRICIAL DE LAS ESTRUCTURAS
-
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
1
2
3
6
5
4
7
8
9
1
2
3
4
5
9
10
14
15
b = ( k + a ) / L = 6 E I / L2
k = 4 E I / L
t = (b + b) / L = 12 E I / L3
a = 2 E I / L
3 x 3
2 x 2
u2x
u1x
= u 2x - u 1x
u2x
u1x
v1y= 0
v2y = 0
Matriz de rigidez prticos planos ortogonales
1z2ztbbbkabakNudo inicialNudo final1z2zkaak
-
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
4
5
9
10
14
15
1
2
3
b = ( k + a ) / L = 6 E I / L2
k = 4 E I / L
t = (b + b) / L = 12 E I / L3
a = 2 E I / L
Matriz de rigidez K total del prtico ortogonal
Primer pisoSegundo pisoTercer
piso112324563789t1b1b2b3b1k1a4b6a6b2a4k2a5b7a7b3a5k3b8a8b6b7b8t2b6b7b8a6b6k4a9b11a11a7b7a9k5a10b12a12a8b8a10k6b13a13b11b12b13t3b11b12b13a11b11k7a14a12b12a14k8a15a13b13a15k9
-
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
2
3
6
5
8
9
2
4
5
9
10
14
15
Vector de cargas P
1
4
7
1
3
Resolucin del sistema de ecuaciones
F1M1M2M3F2M4M5M6F3M7M8M9
-
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
4
5
9
10
14
15
1
2
3
b = ( k + a ) / L = 6 E I / L2
k = 4 E I / L
t = (b + b) / L = 12 E I / L3
a = 2 E I / L
Matriz de rigidez total del prtico ortogonal
Resolucin por cadena abierta
Primer pisoSegundo pisoTercer piso11232456378
9t1b1b2b3b1k1a4b6a6b2a4k2a5b7a7b3a5k3b8a8b6b7b8t2b6b7b8a6b6k4a9b11a11a7b7a9k5a10b12a12a8b8a10k6b13a13b11b12b13t3b11b12b13a11b11k7a14a12b12a14k8a15a13b13a15k9A1Z10Z1TA2Z20Z2TA3
-
X
=
S3
S2
S1
Z1T
u3
u2
u1
0
u1S
+
X1= X1P + X1c
A2 - Z1T S1 1 Z1 =
Z1
Z2T
Z2
A3 Z2T S2 1 Z2 =
X2C = - S2 1 Z2 X3
X2 P= S2-1 u 2S
u3S
- Z2T X2P
X3= S3 1 u3 S
X3= S3 1 u3 S
- Z1T X1P
u2S
X2= X2P + X2c
X1 P= S1-1 u 1S
X1C = - S1 1 Z1 X2
Etapa complementaria
Etapa preparatoria
Resolucin de las ecuaciones
por cadena abierta matricial
A1Z10Z1TA2Z20Z2TA3X1X2X3u1u2u3
-
Ejercicio de Prtico
Plano Ortogonal
-
10 KN / m
5.00 m
6.00 m
4.00 m
3.00 m
3.00 m
15 KN / m
15 KN / m
5 KN
5 KN
15KN
27 KN
30 x 50
30 x 50
30 x 50
30 x 60
30 x 60
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 40
30 x 40
30 x 40
1.- Geometra del Prtico
= 0
= 0
E = 210 x 105 KN/m2
Datos:
X
Y
Q3
Q2
Q1
Q = Fuerzas cortantes
-
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
d3
d4
d8
d7
d6
d10
d11
d12
d 1
d 5
d 9
4
5
9
10
14
15
d2
2.- Numerar nudos y barras
Nmero de pisos NP=3
Nmero de ejes de columna
N.E.C.= 3
Nmero de nudos
j = NP x NEC = 3 x 3 = 9
Nmero de barras
n= (NP x NEC) + (NEC-1)NP
n= (3 x 3) + (3 -1)3 = 15
Barras ficticias
3.- Grado de Libertad.
G.D.L.= (N.E.C. x NP) + NP = (3 x 3) + 3 =12
-
4.- Incidencia de las barras.-
Columnas
Vigas
5.- Desplazamiento de las barras.-
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
d3
d4
d8
d7
d6
d11
d12
d1
d5
d 9
4
5
9
10
14
15
d2
d10
Barrai12Barrai121d10d290d6d72d10d3100d7d83d10d411d9d6d1040d2d312d9d7d1150d3d413d9d8d126d5d2d6140d10d117d5d3d7150d11d128d5d4d8
-
6.- Clculo de Rigideces.
4E = Cte.
k =
a =
b =
t =
4
2
1.5
0.75
4
2
1.5
0.75
4
2
1.5
0.75
2.25
1.125
1.125
0.75
2.25
1.125
1.125
0.75
2.25
1.125
1.125
0.75
2.25
1.125
1.125
0.75
2.25
1.125
1.125
0.75
k = 6.25 a = 3.125
k = 6.25 a = 3.125
k = 6.25 a = 3.125
k = 9.0 a = 4.50
k = 9.0 a = 4.50
k = 0 a = 0
0
0
0
0
k =
a =
b =
t =
k =
a =
b =
t =
-
7.- Matriz de Rigidez Total.
Planteamiento Submatricial
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
d3
d4
d8
d7
d6
d10
d11
d12
d 1
d 5
d 9
4
5
9
10
14
15
d2
d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11d122.251.501.501.50000000001.5012.503.12501.1251.1250000001.503.12521.504.501.12501.125000001.5004.5015.251.125001.125000001.1251.1251.1252.251.1251.1251.125000001.125001.12510.753.12501.1251.12500001.12501.1253.12519.754.51.12501.12500001.1251.12504.511.250000000001.1251.12501.501.1251.1250000001.125001.1258.503.12500000001.12501.1253.1258.500000000000000A1Z10ZT1A2Z20ZT2A3
1er Piso
2do Piso
3er Piso
-
8.- Matriz de Cargas Exteriores [ P ].
10 KN / m
5.00 m
6.00 m
15 KN / m
15 KN / m
5 KN
5 KN
15KN
27 KN
30 x 50
30 x 50
30 x 50
30 x 60
30 x 60
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 30
30 x 40
30 x 40
30 x 40
4.00 m
3.00 m
3.00 m
MF = p L2 / 12
P ( KN / m )
1
2
L
- MF
+ MF
Q3
Q2
Q1
Q = Fuerzas cortantes
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5 KN
15KN
27 KN
- 20.83
- 31.25
- 31.25
20.83
31.25
31.25
- 45.00
45.00
45.00
- 45.00
0.00
0.00
8.- Momentos de empotramiento perfecto M F
[ P ] =
27PrimerPiso31.2513.75-45.0015.00Segundo
Piso31.2513.75-45.005.00Tercer Piso20.83-20.830
-
8.- Matriz de Cargas Exteriores [ P ].
[ P ] =
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
P3
P4
P8
P7
P6
P11
P12
P1
P5
P9
4
5
9
10
14
15
P2
P10
[ P ] =
Arreglo submatricial
27P1Primer Piso31.25P213.75P3-45.00P415.00P5Segundo
Piso31.25P613.75P7-45.00P85.00P9Tercer Piso20.83P10-20.83P110P12u11
Pisou22 Pisou33 Piso
-
9.-Resolucin del Sistema de Ecuaciones.
9.1 .-Mtodo Directo.- [d] = [K]-1[P]
[ d ] =
X
Y
1
13
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
8
7
6
11
12
d3
d4
d8
d7
d6
d11
d12
d1
d5
d 9
4
5
9
10
14
15
d2
d10
Desplazamientos relativos
15.5431d1Primer Piso-0.420d213.75d3-4.907d410.830d5Segundo
Piso0.852d61.213d7-5.077d82.263d9Tercer
Piso3.5942d10-4.232d110d12
-
10. Calculo de Fuerzas y Momentos Finales
En vigas
M1 = MF1 + k 1 + a 2
M2 = MF2 + a 1 + k 2
En columnas
M1 = b + k 1 + a 2
M2 = b + a 1 + k 2
Cuadro de Momentos y Cortantes
P ( KN / m )
1
2
L
M1
M2
V2
V1
M1
M2
L
V1
V2
-
3.5942
0.857
-3.077
1.213
0.00
-4.232
-0.42
0.0132
-4.907
Cuadro de Momentos y Cortantes Finales
5 KN
15 KN
27 KN
5.001 KN
15.001 KN
27.001 KN
21.63
23.37
3.69
13.50
28.84
22.47
12.20
13.63
8.51
11.59
-11.59
5.61
0.00
0.00
0.00
0.00
- 4.77
-4.57
13.58
14.93
0.514
-5.61
-22.13
41.49
-56.93
4.77
-33.89
30.02
-66.96
0.897
Giros
z
2
q
z
1
q
[
]
=
P
[
]
[
]
[
]
P
K
d
1
-
=
L
EI
K
4
=
L
I
K
=
L
b
t
2
=
2
k
a
=
L
a
k
b
+
=
+
-
=
L
M
M
L
p
V
2
1
1
2
1
2
V
pL
V
-
=
1
2
2
1
1
V
V
L
M
M
V
-
=
+
=
