ANÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS ... - up.edu.br · clÁudio marchand krÜger da vinci , curitiba, v. 2 , n. 1, p. 87-104, 2005 898989 anÁlise geoestatÍstica de dados meteorolÓgicos

da Vinci , Curitiba, v. 2 , n. 1, p. 79-86, 2005da Vinci , Curitiba, v. 2 , n. 1, p. 1-208, 2005 8787878787

ANÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS METEOROLÓGICOSDO ESTADO DO PARANÁ UTILIZANDO

UM SOFTWARE LIVRE

CLÁUDIO MARCHAND KRÜGERProfessor e Coordenador - Engenharia Civil - UnicenP/Centro Universitário Positivo

[email protected]

da Vinci , Curitiba, v. 2 , n. 1, p. 87-104, 2005

ANÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS METEOROLÓGICOS ...

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RESUMO

No presente trabalho são realizadas análises geoestatísticas de dados obtidos de esta-ções meteorológicas distribuídas no território do Estado do Paraná. O software livre R foiutilizado em todas as etapas do trabalho. Para as análises geoestatísticas, foi utilizada a exten-são geoR. A estatística espacial é o conjunto de métodos estatísticos nos quais a localizaçãoespacial desempenha um papel importante na análise de dados. O principal objetivo dageoestatística é modelar variações espaciais contínuas assumindo uma estrutura de correlaçãoespacial da variável aleatória analisada. O software R e a extensão geoR demonstraram grandeeficiência para este tipo de estudo, sendo uma alternativa viável em comparação com softwarescomerciais especializados nesta área de conhecimento.

Palavras-chave: Geoestatística, software livre, interpolação espacial.

ABSTRACT

In this paper geostatistical analysis of meteorological data collected from stationsdistributed along the Paraná State are presented. The free software R was used in all phases ofthe work. For the geostatistical analysis, the geoR software extension was employed. SpatialStatistics is the set of statistical methods in which spatial locations play an important role inthe analysis of data. The main aim of geostatistics is to model continuous spatial variationassuming a spatial correlation structure for the random variable under analysis. The freesoftwares R and geoR showed to be very efficient for this kind of study, and they are a viablealternative in comparison to commercial software dedicated to this area of knowledge.

Key-words: Geostatistics, free software, spatial interpolation.

CLÁUDIO MARCHAND KRÜGER

8989898989da Vinci , Curitiba, v. 2 , n. 1, p. 87-104, 2005

ANÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS METEOROLÓGICOSDO ESTADO DO PARANÁ UTILIZANDO

UM SOFTWARE LIVRECLÁUDIO MARCHAND KRÜGER

1 INTRODUÇÃO

No presente trabalho são realizadas análises geoestatísticas dos dados meteorológicosobtidos de estações meteorológicas distribuídas no território do Estado do Paraná. O softwarelivre R foi utilizado em todas as etapas do trabalho.

R é uma linguagem e ambiente computacional para cálculos estatísticos e elaboraçãode gráficos (www.r-project.org). Faz parte do projeto de softwares livres conhecido comoGNU (www.gnu.org) e é similar ao software comercial S desenvolvido pelos LaboratóriosBell. O programa proporciona uma grande variedade de recursos de estatística e gráficos e éfacilmente extensível através de módulos desenvolvidos por grupos de pesquisas em diferen-tes áreas da matemática e da computação distribuídos ao redor do mundo.

No presente estudo, foi utilizada uma extensão do software R desenvolvida especial-mente para análises geoestatísticas e previsões espaciais, chamada “geoR” (RIBEIRO eDIGGLE, 2001). Esta extensão foi desenvolvida no Departamento de Matemática e Estatís-tica da Universidade de Lancaster, Reino Unido (www.est.ufpr.br/~paulojus/geoR) e temrecebido contribuições do Prof. Paulo Justiniano Ribeiro Jr., do Departamento de Estatísticada UFPR.

2 O QUE É GEOESTATÍSTICA?

A geoestatística tem suas origens em problemas ligados à estimativa de reservas mine-rais (CRESSIE, 1993). Seu desenvolvimento posterior acabou ocorrendo em grande parte deforma independente das correntes principais da estatística espacial.

A estatística espacial é o conjunto de métodos estatísticos nos quais a localizaçãoespacial desempenha um papel importante na análise de dados. O principal objetivo dageoestatística é modelar variações espaciais contínuas assumindo uma estrutura de correlaçãoespacial da variável analisada (DIGGLE e RIBEIRO, 2000).

A geoestatística assume que a distribuição das diferenças de variáveis entre dois pon-tos amostrados é a mesma para toda a região em estudo, e que isto depende somente dadistância entre eles e da orientação dos pontos. Ou seja, as diferenças existentes entre asdiversas variáveis devem ser consistentes, porém não constantes.



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De maneira resumida, os passos de um estudo de geoestatística consistem em:- análise exploratória dos dados: coleta das amostras a serem analisadas, cálculo deestatísticas básicas e análises de tendências;- análise estrutural dos dados: análise e inferência de valores correlacionados de umavariável no espaço ou no tempo, chamada de modelagem do variograma;- realização de inferências: aplicação das técnicas de Krigagem (nome genérico dado aoprocesso de estimativa baseado na teoria das variáveis regionalizadas) simples e ordi-nária. Essa etapa é comumente chamada de Krigagem ou simulação.

2.1 Modelagem do Variograma

A natureza estrutural de um conjunto de dados é definida a partir da comparação devalores tomados simultaneamente em dois pontos, segundo uma determinada direção. A fun-ção variograma é uma medida da variância das diferenças nos valores da variável regionalizadaentre pontos separados por uma certa distância. Pontos mais próximos, por estaremcorrelacionados, terão essa variância pequena, aumentando à medida que os pontos se distan-ciam.

Pode-se dizer que as técnicas geoestatísticas de estimativa são superiores por permiti-rem o cálculo do erro associado, chamado variância de krigagem.

3 DADOS UTILIZADOS

3.1 Dados meteorológicos

Foram utilizados os dados de temperatu-ra média (graus Celsius), umidade relativa do armédia (%) e total de horas de insolação médiamensal de 55 estações meteorológicas do Esta-do do Paraná e próximas em São Paulo e SantaCatarina. Os dados meteorológicos foram for-necidos pela COPEL (Sistema MET) e tambémobtidos de publicações oficiais (BoletimMeteorológico, 1988; Brasil, 1969 e 1992; San-ta Catarina, 1986). A figura 1 mostra o mapa doEstado do Paraná e a localização das estaçõesmeteorológicas utilizadas.

Figura 1 – Localização das estações meteorológicas



4 ANÁLISE GEOESTATÍSTICA

4.1 Análise de variogramas

Uma função de fundamental importância em geoestatística é a função denomi-nada de variograma. O variograma de um processo estocástico Y(x) é a função

(1)

onde x e x´ representam as coordenadas genéricas de duas observações quaisquer Y(x)e Y(x´) em um espaço n-dimensional. Para um certo conjunto de dados observados(Yi , Xi ): i=1, ... n, os valores esperados teóricos na equação acima são substituídos pelasmédias das diferenças ao quadrado entre pares de observações Yi e Yj cujas localiza-ções são dadas pelas coordenadas genéricas xi e xj . Na análise, supõe-se inicialmenteque Y (x), é estacionário.

O variograma empírico de um conjunto de dados (Yi , xi ): i=1, ... n é o conjunto depontos (uij , vij ): j > i onde uij =|| xi - xj|| é a distância euclidiana entre xi e xj e

(2)

A aplicação da equação acima ao conjunto de todos os dados (Yi , Xi ): i=1, ... ndá origem a uma nuvem de pontos com variabilidade muito grande para a modelagemteórica do processo. Por esta razão, é mais útil suavizar a nuvem de pontos do variogramaempírico através do cálculo das médias de vij para grupos de pontos que estejam auma certa distância de separação uij .



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Figura 2 – Variogramas empíricos e suavizados



Nas três figuras anteriores, as linhas tracejadas são “envelopes” dos variogramas, ob-tidos através da simulação por troca de posições dos pontos na amostra. Desta forma, a faixamostrada no envelope mostra uma larga variação possível do variograma amostral. Esta gran-de variabilidade pode ser parcialmente explicada pelo número relativamente pequeno de pon-tos amostrais (55). Ainda assim, evidencia-se a existência de uma estrutura de correlaçãoespacial nas três variáveis analisadas.

Uma forma alternativa de análise de variogramas é a consideração de uma direçãopreferencial de variação da variável analisada. Por exemplo, ao se estudar a dispersão espacialda poluição produzida por uma indústria, vale a pena concentrar a análise na direção do ventodominante no local e dar menos importância às variações em outras direções. Pela análise dosvariogramas direcionais, pode-se notar uma anisotropia razoavelmente bem definida haven-do maior variação na variabilidade espacial quando se consideram ângulos de orientação de45o e 135o. Estas orientações devem-se às características do relevo do Estado (mais marcantena direção Leste-Oeste) e da variação climática (com grande variabilidade no sentido Norte-Sul). Devido ao número reduzido de pontos amostrais, tornando difícil a avaliação do ângulode anisotropia mais adequado baseando-se nos variogramas direcionais, as análises seguintesnão consideraram o aspecto de anisotropia.

Figura 3 – Variogramas direcionais

sem

ivar

iance

sem

ivar

iance

sem

ivar

iance



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4.2 Ajuste de parâmetros do modelo geoestatístico

O modelo geoestatístico adotado assume que as observações representam uma versão“com ruído” de um sinal que descreve a verdadeira variabilidade da variável aleatória na áreade estudo. Um dos objetivos da análise geoestatística é prever o sinal na área ou algumaquantidade que possa ser descrita como uma função do sinal.

Um procedimento bastante comum (mas não o mais preciso) para estimativa deparâmetros do modelo geoestatístico é ajustar uma curva ao variograma empírico (figura 4).Desta forma, os parâmetros do modelo podem ser lidos diretamente do modelo teórico ajus-tado. O jargão normalmente utilizado neste caso é chamar o intercepto da curva de nugget ou“pepita”, fazendo referência às origens da geoestatística na área de mineração. A diferençaentre a assíntota horizontal do variograma e o nugget é chamado de sill (ou “patamar”) e adistância na qual o variograma teórico atinge seu máximo é conhecido como range (ou “alcan-ce”). Estes nomes correspondem aos parâmetros (nugget), (sill) e (range), respecti-vamente. O parâmetro normalmente é expresso multiplicado por uma constante, depen-dendo do modelo utilizado. Para modelos onde o alcance é infinito, utiliza-se um “alcanceprático”, que seria o ponto onde o variograma atinge 95% da assíntota. É interessante notarque, mesmo para uma distância igual a zero, normalmente os dados amostrais apresentam umresíduo de variabilidade, chamado pepita. Este resíduo pode ser atribuído a erros de observa-ção ou a descontinuidades locais da variável analisada, por exemplo, a ocorrência de umapepita de ouro em um campo de mineração.

Figura 4 – Componentes do variograma

No presente estudo, inicialmente, foram tentados ajustes “a sentimento”, para tentarencontrar valores iniciais coerentes dos parâmetros , e . Esta análise inicial revela-seimportante, pois as análises subseqüentes, como ajuste por mínimos quadrados e máximaverossimilhança, usam os parâmetros iniciais nos procedimentos de otimização.

semivariância



4.2.1 Famílias de modelos de funções de correlação

Os variogramas teóricos usados no presente estudo incluem o “efeito pepita”. Nocaso estacionário, o variograma com este efeito pode ser representado por (DIGGLE e RI-BEIRO, 2000):

(3)

Na expressão acima é uma função de correlação espacial. Nem toda funçãoteórica pode ser candidata a representar . Além de alguns requisitos não-triviais doponto de vista matemático não citados aqui, usualmente exige-se que o modelo usado para afunção de correlação incorpore os seguintes atributos (DIGGLE e RIBEIRO, 2000):

1. seja monotonamente não-crescente com u (a correlação entre duas observaçõesdecresce com o aumento da distância entre dois pontos amostrais);2. quando (a correlação tende para zero para grandes distâncias entrepontos);3. pelo menos um parâmetro no modelo deve controlar a taxa na qual tende para zero(visto que a distância de separação na qual a correlação torna-se desprezível não é conhecidade antemão).

Adicionalmente, é útil incluir no modelo alguma flexibilidade na forma geral da fun-ção de correlação. Desta forma, um modelo paramétrico para a função de correlação deve terum ou dois parâmetros, e um modelo para o variograma três ou quatro (dois parâmetros decorrelação mais os dois componentes da variância ( e ) (DIGGLE e RIBEIRO, 2000).

A seguir, algumas famílias de funções que atendem a estes requisitos e que foramutilizadas na presente análise:

Família Esférica

(4)

Como esta família depende apenas do parâmetro , não há flexibilidade para a for-ma. Adicionalmente, segundo DIGGLE e RIBEIRO (2000), a lógica de sua aplicação física équestionável em problemas no espaço bidimensional.

Família Exponencial

(5)

onde > 0 e . A função de correlação exponencial corresponde ao caso em quek=1. Para k=2 , esta função chama-se função de correlação gaussiana. Esta famíliafreqüentemente produz um ajuste qualitativamente razoável à estrutura de correlação dos



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dados espaciais, mas as previsões baseadas neste modelo tendem a ser pouco robustas apequenas variações sobre o modelo escolhido (DIGGLE e RIBEIRO, 2000).

Família de Matérn

(6)

onde ( , k ) são parâmetros, G representa a função gama e Kk representa uma função de besselmodificada de ordem k. A família é válida para > 0 e k > 0. O caso k=0,5 corresponde exatamenteà função de correlação exponencial, . A função gaussiana corresponde aocaso limite no qual . Segundo RIBEIRO et al. (2003), A família de Matérn é particularmen-te atrativa, pois o valor do parâmetro k controla a suavidade do processo do sinal subjacente. Destaforma, conclui-se que a família de Matérn é provavelmente a melhor escolha para função de correla-ção para uso geral, por sua flexibilidade e simplicidade (apenas dois parâmetros).

As figuras a seguir mostram os variogramas empíricos de temperatura, umidade e insolação,juntamente com os ajustes (a sentimento) de funções de correlação exponencial e esférica e tambémos ajustes por mínimos quadrados ponderado (WLS) e ordinário (OLS). São mostrados também osajustes da função de Matérn e a estimativa de parâmetros diretamente (sem auxílio do variograma)por máxima verossimilhança.



Figura 5 – Semivariogramas teóricos

4.3 Uso do modelo para previsão e interpolação espacial (Kriging)

Na maioria das aplicações de geoestatística, o maior interesse está na realização deinferências sobre o sinal S(x) , tais como prever o valor de S(x) sobre a área de estudo, ouestimar a probabilidade de que S(x) esteja acima de um certo valor limite.

O problema da previsão então reduz-se ao estudo da distribuição condicionada deS(x) dados os valores observados y, e para tal considera-se uma malha de previsão sobre aregião. Considerando um valor isolado S0 em um local genérico x0 , (S0 , Y ) possui, sob ahipótese de um modelo gaussiano, uma distribuição condicionada de previsão [ S0 | Y ] commédia e variância dadas por:

(7)

(8)onde:

r é um vetor (n x 1) com os elementos onde || xi - xj || é a distância euclidianaentre x e xj ;

R é uma matriz (n x n) com os (i,j)-ésimos elementos ;I é uma matriz identidade (n x n).

Com todos os parâmetros do modelo considerados conhecidos, as equações acimasão chamadas de equações de “kriging simples”. As fórmulas acima estão implementadas nafunção do R chamada krige.conv, cujo nome significa “kriging convencional”. As entradaspara a função são o objeto geodata e coordenadas dos pontos amostrais e informações domodelo, incluindo valores dos parâmetros. A função calcula estimativas das médias e variânciasna malha de previsão.



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As figuras a seguir mostram os mapas com as previsões de temperatura, umidade einsolação, usando o modelo de Matérn. Por motivo de falta de espaço, serão omitidos osresultados do modelo de máxima verossimilhança. Em seguida, são mostrados os mapas comos erros de previsão e a seqüência de comandos do R. As coordenadas estão representadasem graus e as variáveis em graus Celsius (temperatura), porcentagem (umidade relativa) ehoras (insolação).

Figura 6 – Mapas de previsão e erros de previsão



5 CONCLUSÕES

No presente trabalho foram analisados os dados meteorológicos de 55 estações distri-buídas pelo Estado do Paraná e perto das fronteiras nos estados vizinhos de São Paulo eSanta Catarina. As seguintes conclusões foram obtidas da análise geoestatística dos dados detemperatura média, umidade relativa do ar média e insolação média mensal:

- Os envelopes dos variogramas empíricos demonstraram a existência de estrutura decorrelação espacial para as três variáveis meteorológicas analisadas.- A análise da anisotropia foi dificultada pela grande variabilidade dos variogramasdirecionais causada pelo pequeno número de pontos amostrais, sendo desconsideradanas análises subseqüentes. Ainda assim, evidenciou-se a existência de anisotropia nosdados das três variáveis analisadas.- Os parâmetros do modelo geoestatístico foram obtidos através do ajuste das fun-ções de correlação esférica, exponencial e Matérn e também pela inferência direta aosdados através de estimativas por máxima verossimilhança.- As estimativas por máxima verossimilhança nem sempre se mostram visualmente asmelhores, comparando-se os pontos do variograma empírico com a função teóricaajustada, mas os erros de previsão mostraram-se menores que os outros métodos, emalguns casos.- O modelo de Matérn foi o que apresentou os menores erros de previsão, entre asfunções de correlação testadas. Pela literatura pesquisada, é o modelo mais vantajosopara uso geral entre as funções candidatas, por ser simples (apenas dois parâmetros) eflexível, adaptando-se melhor aos dados através da escolha do parâmetro k.- Os mapas com os erros de previsão demonstraram um resultado melhor para asvariáveis temperatura e insolação média. A variável umidade relativa apresentou mai-ores desvios na previsão.- O software R e a extensão geoR demonstraram grande eficiência para este tipo deestudo, sendo uma alternativa viável em comparação com softwares comerciaisespecializados nesta área de conhecimento.



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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BOLETIM METEOROLÓGICO. Dados meteorológicos do Estado de São Paulo. DAEE,1988.

BRASIL. Ministério da Agricultura. Escritório de Meteorologia. Normas Climatológicas.Rio de Janeiro, 1969. v.4

BRASIL. Ministério da Agricultura e Reforma Agrária. Normas Climatológicas: 1961-1990. Brasília, 1992.

CRESSIE, N. Statistics for spatial data. New York: Wiley, 1993.

DIGGLE, P. J.; RIBEIRO JÚNIOR, P. J. Model Based Geostatistics. In: SINAPE, 14., 2000,Caxambu. Anais... São Paulo: Associação Brasileira de Estatística, 2000.

RIBEIRO JÚNIOR, P. J.; CHRISTENSEN, O. F.; DIGGLE, P. J. Geostatistical software :geoR and geoRglm. In:INTERNATIONAL WORKSHOP ON DISTRIBUTEDSTATISTICAL COMPUTING, 3. Anais... Viena: Áustria, 2003.

RIBEIRO JÚNIOR, P. J.; DIGGLE, P. J. GeoR: a package for geostatistical analysis. R.News, v.1-2, June 2001.

SANTA CATARINA. Gabinete de Planejamento e Coordenação Geral. Subchefia de Esta-tística, Geografia e Informática. Atlas do Estado de Santa Catarina. Rio de Janeiro: AerofotoCruzeiro, 1986.



ANEXOS

COMANDOS DA LINGUAGEM R

#### Variogramas##

## Temperatura

temp.vario <- variog(temp,option=”cloud”)plot(temp.vario,main=”Variograma da Temperatura (nuvem)”)temp.vario <- variog(temp)plot(temp.vario,main=”Variograma Empírico da Temperatura”)temp.vario.env <- variog.mc.env(temp, obj.v=temp.vario)plot(temp.vario, env=temp.vario.env,main=”Variograma deTemperatura”)

## dados transformados (lambda = 3)

temp.vario <-variog(temp,lambda=3,trend=~temp$covar[,1]+temp$covar[,2]+temp$coords[,1]+temp$coords[,2],max.dist=5.5)plot(temp.vario,main=””)temp.vario.env <- variog.mc.env(temp, obj.v=temp.vario)plot(temp.vario, env=temp.vario.env,main=”Temperatura (rem. detendências)”)

## Umidade Relativa

umid.vario <- variog(umid,option=”cloud”)plot(umid.vario,main=”Variograma da Umidade (nuvem)”)umid.vario <- variog(umid)plot(umid.vario,main=”Variograma Empírico da Umidade”)umid.vario.env <- variog.mc.env(umid, obj.v=umid.vario)plot(umid.vario, env=umid.vario.env,main=”Variograma de Umidade”)

## dados transformados (lambda = 2)

umid.vario <-variog(umid,trend=~umid$covar[,1]+umid$covar[,2]+umid$coords[,1]+umid$coords[,2],lambda=2,max.dist=3.5)plot(umid.vario,main=”Variograma de Umidade - Remoção detendência”)umid.vario.env <- variog.mc.env(umid, obj.v=umid.vario)plot(umid.vario, env=umid.vario.env,main=”Variograma de Umidade(rem. tendência)”)



102102102102102

## Insolação

inso.vario <- variog(inso,option=”cloud”)plot(inso.vario,main=»Variograma da Insolação (nuvem)»)inso.vario <- variog(inso)plot(inso.vario,main=»Variograma Empírico da Insolação»)inso.vario.env <- variog.mc.env(inso, obj.v=inso.vario)plot(inso.vario, env=inso.vario.env,main=»Envelope com Variogramade Insolação»)

## dados transformados

inso.vario <-variog(inso,trend=~inso$covar[,1]+inso$covar[,2]+inso$coords[,1]+inso$coords[,2],max.dist=3.5)plot(inso.vario,main=”Insolação - Sem tendências”)inso.vario.env <- variog.mc.env(inso, obj.v=inso.vario)plot(inso.vario, env=inso.vario.env,main=”Variograma de Insolação(rem. tendência)”)

# Análise de anisotropia (variogramas direcionais)

plot(variog4(temp),main=”Temperatura”)plot(variog4(umid),main=”Umidade”)plot(variog4(inso),main=”Insolação”)

## INTERPOLAÇÃO ESPACIAL (KRIGING)## Criação de grid regular na extensão total dos dados e um grid## dentro do polígono do Estado##install.packages(“splancs”)##library(splancs,lib=”c:\\temp”)

require (splancs)points(temp, pt.div=”equal”, bor=borderPR,xlab= “Longitude”,ylab=“Latitude”,main= “Grid de previsão”)gridarea <- expand.grid(seq(-55,-47,0.1), seq(-28,-20,0.1))points(gridarea, pch=”+”)gridPR <- polygrid(seq(-55,-47,0.1), seq(-28,-20,0.1), borderPR)points(gridPR, col=”blue”, pch=”+”)

#### MAPAS DE PREVISÕES## Mapa com os valores previstos de TEMPERATURA

temp.grid <- krige.conv(temp, loc=gridPR,krige=krige.control(obj=temp.ml))image(temp.grid,border=borderPR,loc=gridarea,col=topo.colors(200),main=“Temperatura”, xlab= “Longitude”,ylab= “Latitude”,x.leg=c(-54,-



48), y.leg=c(-21.5,-21))

## Mapa com os valores previstos de UMIDADE

umid.grid <- krige.conv(umid, loc=gridPR,krige=krige.control(obj=umid.ml))image(umid.grid,border=borderPR,loc=gridarea,col=topo.colors(200),main=“Umidade Relativa do Ar”, xlab= “Longitude”,ylab=“Latitude”,x.leg=c(-54,-48), y.leg=c(-21.5,-21))

## Mapa com os valores previstos de INSOLAÇÃO

inso.grid <- krige.conv(inso, loc=gridPR,krige=krige.control(obj=inso.ml))image(inso.grid,border=borderPR,loc=gridarea,col=topo.colors(200),main=“Insolação mensal média”, xlab= “Longitude”,ylab=“Latitude”,x.leg=c(-54,-48), y.leg=c(-21.5,-21))



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