Análise Sísmica Estruturas-carlos Daniel-1997

UNIVERSIDADE DO PORTOFACULDADE DE ENGENHARIA

Anlise ssmica de estruturas tridimensionais de edifcios de beto armado

Teoria do comportamento no linear dos materiais

Carlos Daniel Borges Coelho

PORTO, 1997

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Sumrio Este trabalho representa um estudo do comportamento das estruturas tridimensionais de edifcios quando sujeitas a aces ssmicas. Este tipo de estudos reveste-se da maior importncia pois esta rea de investigao est agora com grandes progressos, conciliando o avano nos estudos sismolgicos com o melhor conhecimento das capacidades resistentes dos materiais e com o aumento das capacidades de clculo que a informtica e os meios de modelao numrica viabilizam. O interesse dos conhecimentos nesta rea centra-se na possibilidade de definir regulamentao apropriada para o projecto de estruturas de edifcios. A regulamentao dever permitir aos projectistas um dimensionamento correcto das estruturas, cumprindo o grau de segurana desejvel, mas no sobredimensionando uma estrutura devido a um tipo de aco que provavelmente nem ocorrer durante o perodo de vida til da obra. A aco dos sismos resulta de um conjunto de vibraes do solo que se vo propagar a toda a estrutura durante a ocorrncia do sismo. portanto uma aco que varia ao longo do tempo e que por isso merece uma ateno especial. Neste trabalho procedeu-se elaborao de um programa de clculo automtico capaz de dar resposta a problemas que envolvessem estruturas sob influncia da aco ssmica. Assim, o programa alm de realizar o clculo esttico de uma estrutura tridimensional qualquer, permite tambm o clculo de frequncias e modos de vibrao das estruturas em estudo, bem como a sua anlise dinmica. Para se proceder ao clculo dinmico aplicado o Mtodo de Newmark, que por um processo de integrao passo a passo possibilita a resoluo da equao de equilbrio dinmico das estruturas. Os resultados obtidos so comparados e analisados com o consequente comentrio e o retirar de concluses. Como complemento final a este trabalho, e permitindo o esboar do sentido da evoluo da investigao nesta rea, so referidos alguns aspectos do comportamento no linear dos materiais que devero ser englobados em futuros trabalhos neste campo da anlise ssmica.

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Abstract This work is a study on the behaviour of tridimensional structures of buildings under seismic actions.

This kind of studies is of significance because research on this area has shown some development by putting together recent studies on seismology, better knowledge of the resistance characteristics of the materials and improved means of calculation given by improved numeric methods.

The aim of improving the knowledge on this area is to try to define appropriate legislation for the project of the structures of buildings.

The legislation should allow the correct calculation of the structures, within the desired degree of safety, but it should not over calculate the structure for a seismic action that most probably will not happen during the existence of the building. Seismic action results as several vibrations of the ground which propagate to an entire structure during an earthquake. It is an action which varies with time, and therefore it deserves special attention.

In this work, it was developed an automatic calculation computer code enabling us to solve problems where a structure is under the influence of seismic action.

Hence, the code enables us the calculation of the frequencies and modes shapes of the structures being studied, as well as its dynamic analysis, further than just the calculation of the static tridimensional structure.

The dynamic calculations are done by applying the Method of Newmark. This method makes use of a step by step integration process which solves the equation of the dynamic equilibrium of structures. The obtained results are compared and analysed. Some comments on the results are given and the possible conclusions are made.

Finally, some aspects of non-linear behaviour of materials which should be taken into account in future works on this area of seismic analysis are referred.

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Rsum Ce travail reprsente une tude da la faon dont se comportent des structures tridimensionnells des difices quand ils subissent des actions sismiques. Ce genre dtudes se revt dune grande importance puisque ce domaine dinvestigation est aujourdhui en grands progrs, conciliant lavance des tudes sismologiques avec une meilleure connaissance des capacits rsistantes des matriaux et avec largmentation des capacits de calcul que linformatique et les moyens de modelation numrique viabilisent. Lintrt des connaissances dans ce domaine se centre sur la possibilit de dfinir la rglementation approprie au projet des structures des difices. La rglementation devra permettre ceux qui laborent les projets, une tude plus correcte des dimensions des strutures, suivant le grade de scurit dsirable, mais non une tude surdimensionnelle de la structure cause dun type daction qui probablement narrivera pas pendant la priode de vie utile de loeuvre. Laction des sismes est le rsultat dun ensemble de vibrations du sol qui vont se rpartir au long de toute la structure pendant loccurrence du sisme. Cest ainsi une action qui varie au long du temps et pour cela mrite une attention spciale. Dans ce travail on a procd llaboration dun programme de calcul automatique capable de rpondre aux problmes qui enveloppent les structures sous linfluence de laction sismique. Ainsi, le programme non seulement ralise le calcul statique dune structure tridimensionnelle quelconque, mais aussi le calcul des frquences et la faon dont les structures en tude vibrent, ainsi que son analyse dynamique. Pour se procder au calcul dynamique, on applique la Mthode de Newmark, qui travers dun procs dintgration petit petit possibilite la rsolution de lquation dquilibre dynamique des structures. Les rsultats obtenus sont compars et analiss avec laccompagnement dun commentaire respectif et de conclusions retires. Comme complment final de ce travail, et permettant dessiner lgrement le sens de lvolution de linvestigation dans ce domaine, on rfre quelques aspects du comportement non linaire des matriaux qui devront tre insrs dans de futurs travails de ce genre de domaine de lanalyse sismique.

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Agradecimentos

Este trabalho resulta da conjugao de diversos apoios e incentivos dados ao autor, que vem aqui agradecer de uma forma sincera.

Alm de grato aos colegas e em especial famlia e ainda a todas as pessoas

com quem lida diariamente e por isso contriburam com a pacincia e a compreenso para a elaborao deste trabalho, pretende ainda explicitar a contribuio de:

Eng. Anbal Costa que na orientao deste trabalho demonstrou compreenso e amizade alm da formao que transmitiu durante a elaborao do mesmo.

Eng. lvaro Azevedo que com a sua presena frequente permitiu a resoluo

de diversos problemas no domnio da informtica. Eng. Rui Faria que com a cedncia de alguns algoritmos na rea do clculo de

frequncias e modos de vibrao mostrou ainda disponibilidade para esclarecimentos sempre que necessrios.

Colegas dos IX, X e XI Mestrados em Estruturas pelas suas sugestes e

comentrios e em especial ao Eng. Humberto Varum pelo seu auxlio na aplicao do programa GERNES.

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto pela cedncia de meios e em particular ao Departamento de Estruturas e a todo o seu pessoal.

Junta Nacional de Investigao Cientfica e Tecnolgica pelo apoio financeiro

concedido. A todos, o meu

OBRIGADO.

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ndice Pg. 1 Introduo 1.1 Descrio Geral 11 1.2 Resumo dos Captulos 12 2 Modelo Estrutural 2.1 Introduo 15 2.2 Modelo Tridimensional da Estrutura 16 2.2.1 Elementos de Grelha 17 2.2.2 Pilares 19 2.2.3 Paredes 21 2.3 Modelao da Massa 26 2.3.1 Massa dos Pisos 27 2.3.2 Massa dos Elementos Estruturais 29 2.3.3 Descrio de Exemplos 34 2.4 Validade do Modelo 37 3 Frequncias e Modos de Vibrao 3.1 Introduo 40 3.2 Consideraes Gerais 40 3.3 Descrio de Exemplos 43 3.4 Comentrios 46

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4 Aco Ssmica 4.1 Introduo 58 4.2 Amortecimento 59 4.2.1 Amortecimento Material 60 4.2.2 Amortecimento Algortmico 64 4.3 Acelerogramas 65 4.4 Mtodos de Integrao Numrica 70 4.4.1 Mtodo de Newmark 71 4.4.2 Outros Mtodos 74 4.4.2.1 Mtodo das Diferenas Centrais 74 4.4.2.2 Mtodo de Houbolt 76 4.4.2.3 Mtodo de Wilson 77 4.4.3 Estabilidade e Preciso dos Mtodos 79 4.5 Modelao no Clculo Automtico 80 5 Anlise de Resultados 5.1 Introduo 83 5.2 Resultados Obtidos 83 5.2.1 Anlise Esttica 84 5.2.2 Anlise Dinmica 87 5.2.2.1 PT4 88 5.2.2.2 NC4 94 5.2.2.3 PAL4 97 5.2.2.4 ESCa 99 5.2.2.5 ESCb 102

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5.2.3 Comparao Entre Estruturas 104 5.3 Comentrios 107 6 Anlise No Linear dos Materiais 6.1 Introduo 108 6.2 Modelos de Comportamento Estrutural do Beto Armado 109 6.2.1 Discretizao ao Nvel dos Elementos Estruturais 112 6.2.2 Formulao Genrica de Elementos Finitos 112 6.3 Caracterizao do Comportamento dos Materiais 113 6.3.1 Beto 115 6.3.1.1 Modelo de Park-Kent 115 6.3.1.2 Modelo de Sinha-Gerstle-Tulin 118 6.3.1.3 Modelo de Mander-Priestley-Park 119 6.3.2 Ao 121 6.3.2.1 Modelo de Giuffr-Pinto 121 6.3.2.2 Modelo de Ma-Bertero-Popov 123 6.3.2.3 Modelo de Aktan-Karlson-Sozen 124 6.3.3 Beto Armado 125 6.2.3.1 Modelo de Fibras 125 6.2.3.2 Modelo Elsto-Plstico Perfeito 127 6.2.3.3 Modelo Multi-Spring 129 6.4 Algoritmo de Aplicao ao Clculo Automtico 130 7 Consideraes Finais 133 Bibliografia 135

Captulo 1 Introduo

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1 Introduo 1.1 Descrio Geral Actualmente a investigao ao nvel do clculo de estruturas de beto armado sujeitas a aces estticas e bem definidas j no oferece grandes complexidades, se exceptuarmos alguns casos particulares de estruturas especiais e a tentativa de optimizao de solues nestes mesmos casos. No entanto, e tambm derivado do avanar do conhecimento nestes domnios, o estudo de estruturas ao clculo dinmico de aces como o sismo tem progredido e uma importante rea de investigao, conciliando o progresso do conhecimento sismolgico com o do comportamento dos materiais sob aces variveis no tempo. Os enormes avanos que a informtica tem conseguido nos ltimos tempos permitiram tambm que o clculo automtico suportasse um maior volume de operaes o que veio possibilitar a melhoria dos modelos numricos quer no clculo das estruturas, quer ao nvel da definio da aco ssmica, ajudando portanto ao progresso no campo dos estudos das aces ssmicas em estruturas de edifcios. O interesse principal dos estudos nesta rea centram-se em conseguir uma resposta satisfatria das estruturas s aces ssmicas, ou seja, conseguir reduzir as consequncias catastrficas que um sismo pode ter, sem no entanto sobredimensionar e encarecer consideravelmente os custos da estrutura devido a uma aco que poder nem acontecer durante o perodo de vida til da construo. Aps os resultados dos estudos serem analisados e comprovados ser possvel traduzi-los em regulamentao apropriada que tender a definir um mtodo de dimensionamento de estruturas eficaz e cada vez mais econmico. A primeira vez que houve regulamentao em Portugal relativamente aos sismos foi em 1958 atravs do R.S.C. Sismos que se referia a edifcios at 3 a 4 pisos. Em 1963, o R.E.S.E.P. definia um coeficiente ssmico que variava de 0.1 a 0.15 e permitia uma anlise esttica. Actualmente, a legislao em vigor em Portugal traduzida pelo R.S.A.E.E.P. (Regulamento de Segurana e Aces para Estruturas de Edifcios e Pontes) que define a aco ssmica do seguinte modo [4]: "A aco dos sismos resulta de um conjunto de vibraes do solo que so transmitidas s estruturas durante a ocorrncia de um sismo." A quantificao desta aco feita no regulamento em funo da sismicidade da zona em que se situa a construo e da natureza do terreno do local em que implantada. O regulamento prope uma srie de metodologias para a determinao dos efeitos desta aco que vo desde processos bastante simplificados e por isso com

Captulo 1 Introduo

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aplicao adequada apenas a estruturas de edifcios bastante regulares quer em termos de distribuio de rigidez, quer de massa, at mtodos de anlise dinmica. Quando se utilizam mtodos dinmicos, o R.S.A.E.E.P. sugere a admisso da hiptese de comportamento linear dos materiais propondo uma correco por aplicao de coeficientes de comportamento que dependem das caractersticas de ductilidade da estrutura e que pretendem simular a no linearidade dos materiais. No anexo III do mesmo regulamento so apresentados espectros de resposta de aceleraes que consideram a variabilidade da aco ssmica e permitem a determinao dos efeitos da aco dos sismos pelos mtodos descritos no R.S.A.E.E.P., mas a metodologia aqui empregue para a definio do sismo no seguiu esta via. Neste trabalho, os estudos tiveram por base a resposta das estruturas a acelerogramas gerados artificialmente, tentando traduzir os acelerogramas reais quando se d a libertao de energia que gera e propaga ondas, que originam o movimento vibratrio do solo. O equilbrio da estrutura durante e aps a aplicao dos acelerogramas traduzido por uma equao diferencial varivel no tempo. Para resolver as equaes diferenciais de equilbrio discritizadas no domnio do tempo foi necessrio recorrer a um Mtodo de Integrao Directa, sendo neste caso utilizado o Mtodo de Newmark. A aplicao de acelerogramas, bem como do Mtodo de Newmark inserem-se nos objectivos deste trabalho e permitem a viabilizao de um estudo das estruturas, admitindo o comportamento no linear dos materiais. Com o intuito de obter um modelo o mais preciso possvel, dever portanto no futuro, ser inserido na estrutura do clculo a no linearidade da resposta dos materiais, o que aproximar os resultados da realidade. Em resumo, a presente dissertao corresponde apresentao de um modelo de clculo automtico de estruturas tridimensionais (designado de GRETRI), englobando elementos de barra e elementos de parede, que est estruturado de forma a proceder anlise ssmica da resposta das estruturas a acelerogramas do solo atravs do Mtodo de Newmark, para que no futuro seja tambm implementada a anlise no linear dos materiais, da qual j feita uma abordagem terica. 1.2 Resumo dos Captulos O presente trabalho est organizado seguindo uma diviso em captulos que revela o desenrolar dos estudos efectuados e dos quais se referem aqui os aspectos essenciais. O presente captulo uma descrio geral das matrias abordadas e a exposio de objectivos e mtodos empregues. No captulo 2 apresentado o modelo adoptado para o clculo das estruturas, bem como a forma como considerada a massa da estrutura, que um factor fundamental nos estudos de problemas dinmicos.

Captulo 1 Introduo

13

Assim, e com o objectivo de se fazer um estudo de estruturas tridimensionais, que so as que de facto existem na realidade, mas sem se pretender alargar muito o volume de clculos, opta-se por um modelo de 3 graus de liberdade por cada n da estrutura, a que se associa um n fictcio por cada piso da estrutura. Sendo este n fictcio ligado a todos os pilares e/ou paredes do piso, simula de uma forma bastante fiel e sem grande aumento no volume dos clculos, os pisos que usualmente se podem considerar rgidos e portanto, tm apenas dois movimentos de translao ortogonais e uma rotao em torno de um eixo vertical. Pode-se considerar que este um modelo rigoroso e eficiente de anlise tridimensional de estruturas com 3 graus de liberdade por piso.

A massa dos elementos estruturais introduzida atravs de uma matriz consistente, que para as vigas (elementos de grelha) adopta uma determinada forma e que para os pilares (elementos verticais) tem uma forma diferente. A matriz de massa das paredes segue uma forma anloga da matriz de massa dos pilares, o que se mostrou suficientemente rigoroso. A massa de cada piso introduzida directamente pelo utilizador, devendo ser dividida pelos ns dos pilares e/ou paredes do piso e resultando imediata uma distribuio pelas variveis correspondentes s duas direces horizontais ortogonais e direco vertical. Desta forma consegue-se definir a massa da estrutura ao longo dos diversos pisos, permitindo a correcta modelao de variados tipos de estruturas. No captulo 3, alm de uma breve descrio do que a frequncia de vibrao de uma estrutura e do modo de vibrao que lhe corresponde, faz-se tambm a explanao, estudo e comentrio de exemplos que serviram para comprovar os resultados obtidos com o programa. Aproveitando o facto de se estudar com algum detalhe os exemplos apresentados, tecem-se algumas consideraes acerca da vibrao das estruturas e a importncia que este aspecto tem em estudos dinmicos como o a aco ssmica. O captulo 4 destina-se ao esclarecimento essencialmente terico, de aspectos relacionados com a resoluo da equao de equilbrio dinmico das estruturas. abordada a questo de qual a melhor maneira de definir a matriz de amortecimento, que associada s matrizes de massa e de rigidez formam as parcelas de um dos membros da referida equao. A matriz de amortecimento definida proporcionalmente s matrizes de massa e de rigidez atravs de uma combinao linear proposta por Rayleigh, que funo das frequncias de vibrao de dois quaisquer modos de vibrao. Os acelerogramas que permitem a definio da excitao que se pretende aplicar estrutura tambm so assunto deste captulo, pois a aco sobre a estrutura forma o segundo membro da equao de equilbrio. A aco ssmica expressa a partir de acelerogramas correspondentes s aceleraes do solo e atravs destes acelerogramas que a excitao se vai propagar a toda a estrutura. Os acelerogramas so gerados artificialmente por meio de um programa de clculo automtico, que respeita no entanto, as condies impostas pelo R.S.A.E.E.P. que se pretendam impor no estudo, quer a nvel do tipo de aco ssmica, quer em relao ao tipo de terreno e s caractersticas de amortecimento dos materiais. A resoluo da equao diferencial que rege o equilbrio dinmico da estrutura feita por intermdio de um mtodo de integrao numrica. Por questes de

Captulo 1 Introduo

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estabilidade, preciso e facilidade de transposio do algoritmo para o programa de clculo foi adoptado o mtodo de Newmark. Este mtodo possibilita ainda, a incorporao simultnea da anlise no linear dos materiais. O captulo 5 refere-se anlise dos resultados obtidos com o programa GRETRI, elaborado neste trabalho.

So apresentados os resultados de vrias estruturas analisadas, permitindo a observao de diversas particularidades, das quais se tecem os devidos comentrios. Com as estruturas estudadas pretendeu-se abranger uma amplitude grande de situaes de forma a generalizar o campo de aplicao do programa. Desta maneira criaram-se modelos de estruturas para testar casos de estruturas s com pilares, at estruturas com ncleos de beto armado, passando por estruturas com paredes isoladas ou com lanos de escadas.

Nestes exemplos tambm se estudarem vrios tipos de sismos regulamentares verificando-se as diferenas que da advieram. A apresentao dos resultados feita graficamente, conjuntamente com tabelas e quadros, permitindo assim uma maior facilidade de percepo e interpretao dos resultados. As potencialidades do modelo desenvolvido, so portanto expostos no quinto captulo. O sexto captulo concentra a matria relativa questo do comportamento no linear dos materiais. So analisados diversos modelos propostos por diferentes autores para simular o comportamento do beto e do ao e ainda o comportamento do beto armado. O modelo do material beto armado difere dos modelos dos seus componentes quando estudados separadamente. Neste trabalho feita apenas, uma abordagem terica da aplicao da no linearidade dos materiais que se justifica especialmente porque os sismos provocam solicitaes cclicas e intensas nas estruturas que se forem dimensionadas para funcionarem em regime linear sob estas aces ficariam antieconmicas e sobredimensionadas para a generalidade da sua vida til. Na ltima seco deste captulo refere-se qual a sequncia de clculo que o modelo deveria seguir, para inserir o estudo da no linearidade no processo de definio da resposta da estrutura. Este estudo no englobado no programa de clculo devido s complexidades que advm de uma anlise no linear dos materiais, quando se estudam modelos de estruturas tridimensionais. O captulo 7 serve para sistematizar e resumir as concluses e comentrios dos diversos captulos, apresentando-se as consideraes gerais extradas da execuo deste trabalho. So feitas ainda algumas observaes sobre perspectivas futuras nesta rea de investigao.

Captulo 2 Modelo Estrutural

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2. Modelo Estrutural 2.1 Introduo A definio de um modelo para simular e caracterizar o comportamento de uma estrutura, quando solicitada por determinada aco, de extrema importncia e tem que obedecer a critrios, mediante os objectivos a que se prope o estudo.

Sendo objecto deste trabalho a anlise do efeito de aces ssmicas em estruturas de edifcios, o modelo a adoptar ter sempre que dar um tratamento cuidado resposta a aces horizontais.

O modelo adoptado simula a rigidez e indeformabilidade dos pisos, caracterizando-se cada piso por dois movimentos de translao ortogonais entre si e por uma rotao em torno do eixo vertical. A versatilidade do modelo permite incluir a componente vertical da aco ssmica, que no sendo usualmente muito significativa poder ter algum interesse quando se estuda o esforo axial em pilares. O modelo utiliza diversos tipos de elementos estruturais que permitem caracterizar vrias estruturas diferentes. So modelados elementos de grelha, que com 6 graus de liberdade simulam as vigas. Nos pilares consideram-se 12 graus de liberdade e nas paredes 18, sendo comuns nestes elementos os graus de liberdade correspondentes aos ns fictcios dos pisos (as duas translaes do piso e a rotao em torno de zz). As paredes podem ser interligadas, possibilitando a realizao de ncleos fechados com rigidez toro. A modelao da distribuio da massa pela estrutura tambm fundamental em problemas dinmicos pois a solicitao resultante da aco ssmica directamente proporcional massa. O modelo adoptado considera a concentrao da massa ao nvel de cada um dos pisos da estrutura, bem como a distribuio da massa de cada elemento estrutural. As estruturas analisadas, so ento definidas por um modelo de clculo de estruturas com trs graus de liberdade por n, incluindo um n fictcio por cada piso, por forma a considerar-se os movimentos de corpo rgido no plano de cada andar. A cada n da estrutura associada uma massa, que no total ir corresponder massa dos vrios pisos, o que permite simular a solicitao resultante da aco ssmica.


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2.2 Modelo Tridimensional da Estrutura

O modelo de clculo estrutural que se apresenta, consiste essencialmente na representao das estruturas tridimensionais atravs de grelhas planas interligadas por pilares e/ou paredes.

Os modelos tridimensionais tm no limite, seis graus de liberdade por n, o que representa um nmero muito elevado de variveis e uma sobrecarga do volume de operaes do clculo automtico, com consequentes limitaes de dimenses devidas s capacidades de memria dos computadores. Este modelo tem apenas trs graus de liberdade por n, tal como a generalidade dos modelos de clculo de estruturas planas, mas inclui um n fictcio por andar, tambm ele com trs graus de liberdade. Desta forma consegue-se uma vantagem imediata em relao a outros modelos de representao estrutural tridimensional, pois h uma significativa reduo do nmero de variveis. Assim para cada n da estrutura, os trs graus de liberdade associados sero o de duas rotaes no plano horizontal e a translao vertical, enquanto aos ns fictcios ficam associados os graus de liberdade correspondentes ao movimento de corpo rgido de grelha (indeformabilidade do plano do piso). A figura 2.1 apresenta os graus de liberdade de cada tipo de n. Os ns de grelha existem em cada extremidade dos elementos estruturais e tm por isso a sua posio definida pela geometria da estrutura. Os ns fictcios so posicionados por defeito no ponto de coordenadas (0;0) de cada piso, pelo que no caso de solicitaes horizontais estticas necessrio ter em ateno o momento torsor que da resulta. O modelo permite no entanto, que a posio deste n seja criteriosamente escolhida para cada andar, de acordo com a opo do utilizador.

Figura 2.1 - Conveno de esforos no referencial global das estruturas.

Aps a definio das matrizes de rigidez de cada elemento [K], procede-se como em qualquer outro modelo de clculo s operaes correntes, como a


17

transformao de referenciais e o espalhamento na matriz de rigidez global da estrutura [K]global. A transformao de referenciais dos elementos estruturais para o referencial global da estrutura segue a expresso 2.1, em que a matriz [T] e a sua transposta esto relacionadas com a lei de transformao de cada elemento estrutural.

[ ] [ ] [ ] [ ]K T K Tglobal T= (2.1) O clculo esttico de deslocamentos e esforos na estrutura segue o mtodo dos deslocamentos, sendo portanto: [ ] { } { }K u f = (2.2) em que {u} representa o vector dos deslocamentos da estrutura e {f} o vector solicitao correspondente s aces exercidas sobre a estrutura. A modelao de estruturas desta forma apresenta algumas vantagens, pois permite caracterizar as estruturas reticulares duma forma bastante coerente com a realidade, representando a indeformabilidade das lajes no seu plano mas respeitando as deformaes naturais dos restantes elementos estruturais. A introduo de um elemento para simular paredes permite uma modelao mais rigorosa que a generalidade dos modelos. No necessria a introduo de troos rgidos na ligao a pilares pois a parede pode ser estudada na sua dimenso real. As paredes quando interligadas podem formar ncleos fechados, tendo o modelo capacidade para uma correcta considerao da rigidez toro do ncleo, que uma dificuldade que surge em muitos modelos. O nmero de variveis envolvidas de pouco mais de metade do limite das utilizveis nos modelos tridimensionais e quando se compara com os modelos de anlise plana evitam-se as compatibilizaes de deformaes, sendo portanto tambm vantajoso em relao a estes. 2.2.1 Elementos de Grelha

Os elementos de grelha (ou vigas), so elementos estruturais horizontais e funcionam entre dois ns de grelha do mesmo piso.

Para as vigas dos pisos a deformao considerada a de grelha plana, o que permite considerar um deslocamento na direco vertical e duas rotaes no plano da grelha. As vigas tero um n por extremidade o que proporciona a conveno exposta na figura 2.2.

Os ns de grelha esto necessariamente ligados a uma viga, mas no precisam de estar ao mesmo tempo na extremidade de pilares e/ou paredes. Por isso, os ns de grelha pertencem sempre a pelo menos uma barra horizontal e nem sempre a elementos verticais.


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Figura 2.2 - Conveno de esforos nas vigas.

A matriz de rigidez [KV], de um elemento de viga ser uma matriz de

dimenses [6x6] com os seguintes valores [1]:

[ ]K

E IL

E IL

E IL

E IL

G IL

G IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

G IL

G IL

E IL

E IL

E IL

E

V

t t

t t

=

120

6 120

6

0 0 0 06

04 6

02

120

6 120

6

0 0 0 06

02 6

04

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

IL

em que:

E representa o mdulo de elasticidade do material;

I o momento de inrcia da seco da viga: I b h= 312 ; b e h so respectivamente, a base e a altura da seco;

L o comprimento da barra;

G o mdulo de distoro: GE= +2 1( ) , sendo o coeficiente de Poisson;

It o momento de inrcia toro. O espalhamento da matriz de rigidez destes elementos de grelha na matriz de rigidez global da estrutura feito aps a transformao da matriz de rigidez do referencial local para o referencial global. Sendo o ngulo da barra com a direco


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do eixo dos xx no referencial global, ento a matriz de transformao [TV] ser simplesmente:

[ ]Tsen

sen

sensen

V =

1 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 00 0 0 0

coscos

coscos

Este elemento poder ter quaisquer caractersticas materiais permitindo uma diversidade de modelaes, consoante as consideraes da inrcia e rea da seco e das propriedades do material. 2.2.2 Pilares Os pilares so elementos obrigatoriamente verticais que interligam os diferentes pisos da estrutura ou fazem a ligao ao exterior atravs de apoios.

Os pilares so modelados com os graus de liberdade correspondentes a uma estrutura tridimensional, ou seja, seis graus de liberdade por extremidade, mas de facto o funcionamento dos pilares estar dependente dos ns de piso (ns fictcios), sendo na realidade pilares com dois ns em cada extremidade, e cada n com apenas trs graus de liberdade.

A figura 2.3 representa o pilar com a habitual distribuio tridimensional dos graus de liberdade, permitindo a sua total deformabilidade enquanto a figura 2.4 mostra a transformao que feita para atravs dos ns de piso ser materializada a indeformabilidade dos planos dos pisos. Os ns fictcios modelam os movimentos de corpo rgido da grelha no seu plano (duas translaes horizontais e a rotao em torno do eixo vertical), enquanto os restantes dois ns realizam a ligao aos respectivos ns das grelhas.

Figura 2.3 - Conveno de esforos nos pilares.


20

Figura 2.4 - Modelao dos graus de liberdade dos pilares.

Neste modelo de clculo, os pilares deixam de ser elementos de dois ns e seis graus de liberdade por n para serem caracterizados por quatro ns e trs graus de liberdade por n. A matriz de rigidez que lhes corresponde [1]:

[ ]K

E AL

E AL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E AL

E AL

E IL

E IL

E IL

E

P

X X X X

Y Y Y Y

X X X

=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

04

0 02

0 06

0 06

0

0 04

0 02 6

0 06

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

02

0 04

0 06

0 06

2 2

2 2

2

IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

G IL

G IL

X

Y Y Y Y

Y Y Y Y

X X X X

t t

2

2 2

2 2 3 3

2 2 3 3

0

0 02

0 04 6

0 06

0 0

0 06

0 06 12

0 012

0 0

06

0 06

0 012

0 012

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 06

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

E IL

G IL

G IL

Y Y Y Y

X X X X

t t

2 2 3 3

2 2 3 3

0 06 12

0 012

0 0

06

0 06

0 012

0 012

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

em que:

A a rea da seco do pilar; IX o momento de inrcia flexo segundo o eixo dos xx; IY o momento de inrcia flexo segundo o eixo dos yy;

e a restante simbologia tem o significado j expresso.


21

Tal como para os elementos de grelha, o espalhamento da matriz de rigidez dos pilares no referencial global, s feito aps a aplicao da transformao de referencial atravs da matriz [TP], seguindo a expresso 2.1.

[ ]Td sen d

d

P =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0

cos

sen d cos 1

Nesta matriz, d representa a distncia do pilar origem do referencial global (ponto de coordenadas (0;0)) e o ngulo definido entre a recta que une a base do pilar ao ponto (0;0) e o eixo dos xx. 2.2.3 Paredes As paredes so o nico elemento estrutural modelado como elemento plano. A introduo deste tipo de elemento foi considerada devido frequente utilizao de elementos de grande rigidez nas estruturas reais, que o elemento de barra no consegue traduzir fielmente.

As paredes podem ser introduzidas no modelo ligadas entre si, formando ncleos rgidos to comuns em caixas de escadas ou de elevadores.

Foi criada tambm a possibilidade de se introduzir estes elementos com um ngulo em relao ao plano horizontal, de forma a permitir que esse ngulo fosse diferente dos usuais 90.

Para no sobrecarregar o clculo com elementos finitos em estruturas tridimensionais, tem-se desenvolvido elementos finitos de ordem elevada [15], sendo o elemento aqui utilizado, uma aplicao desses estudos. Devido a este factor, no se aumenta significativamente o nmero de graus de liberdade do edifcio.

A parede idealizada por um elemento com 4 ns de grelha e 2 ns fictcios de piso representando assim no total, um elemento de 6 ns com os correspondentes 18 graus de liberdade. Para obter este elemento, mais uma vez se considera a indeformabilidade do plano do piso, relacionado-se os deslocamentos de translao no plano e a rotao em torno do eixo vertical para os ns contidos no mesmo piso. Com esta teoria retiram-se 6 variveis s normais 24 que genericamente esto associadas a este tipo de elementos. Para facilitar a anlise do funcionamento do elemento, este pode ser decomposto nos graus de liberdade que funcionam no seu prprio plano e


22

perpendicularmente a esse plano, permitindo escrever a matriz de rigidez do elemento de parede segundo a expresso:

[ ]K K KPa P T=

00 (2.3)

A figura 2.5 representa esquematicamente a diviso efectuada, permitindo a visualizao das variveis identificadas com o plano da parede e que caracterizam a matriz [KP] com dimenso de [10x10] elementos e as que originam a matriz [KT], que tem como dimenses os restantes [8x8] elementos. Como a uma aco exercida no plano da parede no resultam reaces no plano perpendicular e vice-versa, lgico que as submatrizes que relacionam estas variveis tenham o valor nulo, de acordo com o que se verifica na expresso 2.3.

Figura 2.5 - Conveno de esforos nas paredes.

Considerando que: E representa o mdulo de elasticidade do material; o coeficiente de Poisson do material; 2a o comprimento do elemento de parede; 2b a altura do elemento de parede; t a espessura do elemento de parede; e designando por c a relao geomtrica:

cab

= (2.4) pode obter-se, por aplicao da teoria do mtodo de elementos finitos [15], que:


23

[ ]K E t K KK KP AA ABABT BB=

1 2 1

(2.5)

sendo a matriz K KK K

AA AB

ABT

BB

1

decomposta nas matrizes [KAA], [KAB] e sua transposta e [KBB], que se apresentam de seguida:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )KAA

c a a

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b=

+ + +

+ +

35

15 10

15 10

15

1935

920

1342

720

370

920 42

720

1013

42720

22105

2845 42

720

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + +

235

845

15

370

920 42

720

1935

920

1342

720

10 42720

235

845

1342

720

22105

28

2

2 2

11 1 1 1 11 1 1 1

a c a b

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b a c a b ( )45 1

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )KAB

c a a

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b a=

+

+

35

15 10

15 10

15

1935

320

1342 4

370

320 42 4

1013

42 422

105445 42 4

2

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1

2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

3514

4515

370

320 42 4

1935

320

1342 4

10 42 42105

1445

1342 4

22105

445

11 1 1 1 11 1 1 1 1

+ + + +

c a b

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b a c a b

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )KBB

c a a

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b=

+ + +

+ +

35

15 10

15 10

15

1935

920

1342

720

370

920 42

720

1013

42720

22105

2845 42

720

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1

2

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

235

845

15

370

920 42

720

1935

920

1342

720

10 42720

235

845

1342

720

22105

2845

2

2 2

11 1 1 1 11 1 1 1 1

+ + + +

a c a b

cc

a c b cc

a c b

a a c b a c a b a c b a c a b

( )

A matriz respeitante aos graus de liberdade que funcionam perpendicularmente ao plano da parede expressa como se mostra em 2.6:

[ ] ( )K E t K KK KT AA ABABT BB=

3

2212 1 (2.6)

sendo K KK K

AA AB

ABT

BB

2

reduzida nas submatrizes seguintes:

[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )KAA

ab a b

ab a

ab a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

ab a b

ab a

=+ +

+ + +

3 2 3 2

2 2

3 2

35

110 2

35 2

110

110

43

415 2

110

23

415

23

5 21

10

1 1 1 11 1 1 11 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ab a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

3 2

2 2

35

110

21

1023

415

110

43

415

1 11 1 1 1

+ + +


24

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )KAB

ab a b

ab a

ab a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

ab a b

ab a

ab

= + +

+ + + +

3 2 3 2

2 2

3 2 3

35

110 2

35 2

110

110

23 15 2

110 3 15

23

5 21

103

5

1 1 1 11 1 1 11 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ +

a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

1 11 1 1 1

2

2 2

110

21

10 3 151

1023 15

[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )K BB

ab a b

ab a

ab a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

ab a b

ab a

ab

=+ + + + +

3 2 3 2

2 2

3 2 3

35

110 2

35 2

110

110

43

415 2

110

23

415

23

5 21

10

1 1 1 11 1 1 11 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3

51

10

21

1023

415

110

43

415

1 11 1 1 1

2

2 2

+ + +

a b

ab a

ab a

ab

ba

ab a

ab

ba

Com todas as submatrizes apresentadas, poder formar-se a matriz de rigidez de um elemento de parede no seu referencial local, que tal como os elementos de barra atrs expostos, dever ser transformado para o referencial global por aplicao de uma matriz de transformao. Para permitir a transformao de paredes em elementos inclinados que podero simular lanos de escadas (sempre entre dois pisos) surge na matriz de transformao um ngulo respeitante ao ngulo entre o plano horizontal e a parede, alm do ngulo j utilizado e que define o ngulo entre o eixo dos xx e a parede no referencial global. A figura 2.6 esquematiza os graus de liberdade da parede no seu referencial local, em que se evidncia a relao entre algumas das variveis para reduzir de 24 para 18 o nmero de incgnitas a trabalhar. Assim, as variveis 1 e 6 so comuns em dois ns, pois devido indeformabilidade do piso, so iguais os deslocamentos no plano da parede ao nvel e cada piso.

Figura 2.6 - Modelao dos graus de liberdade das paredes. A rotao em torno do eixo vertical da parede no est expressa em nenhum dos 4 ns da parede, porque esta rotao ser nica em cada face extrema (topo e base) e igual rotao do prprio piso.


25

Perante as consideraes tidas e a figura 2.6, ter-se- que as variveis 1, 11 e 13 se relacionam originando os trs graus de liberdade do piso inferior da parede, enquanto as variveis 6, 15 e 17 so anlogas para a face superior da parede. Os restantes graus de liberdade esto directamente relacionados com os quatro ns dos cantos da parede e correspondem a rotaes no plano horizontal e translao vertical, de acordo com os movimentos permitidos aos ns de grelha. Para aplicar as referidas relaes entre variveis, bem como situar a posio da parede no referencial global da estrutura, utilizada a matriz de transformao expressa por 2.7, atravs da equao 2.1, resultando da a matriz de rigidez da parede segundo os eixos globais da estrutura. A matriz :

[ ]T T TT TPa AA ABBA BB1 =

(2.7)

foi decomposta nas quatro submatrizes que se expem em seguida:

[ ]T

sensen sen

sensen

sen sensen

sensen sen

sensen

sen sen

AA =

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

cos

cos

cos

0 0 0 0 0 0

cos sen

[ ]T

sen

sen

sen

sen

AB =

coscos

coscos

coscos

coscos

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0


26

[ ]T

sen sensen

x xsen

y ysen

xy sen

xy sen

sen senBA =

+

+ +

cos cos coscos cos cos cos

cos

coscos

coscos

cos cos cos

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

2

2

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

1 2

1 2

1

1

2

2

senx x

sen

y ysen

xy sen

xy sen

+

+ +

cos cos cos cos

cos

coscos

coscos

0 0

0 0 0 0 0 2

2

0 0

3 4

3 4

3

3

4

4

[ ]T

sen sen sen sensen sen

xy sen

senx

y sensen

sen sen sen sensen sen

xy sen

senx

BB =

+

+

+

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

1

2

2

3

3

4

cos coscos cos

.

cos coscos cos

+

y sen sen4 0

Nas submatrizes [TBA] e [TBB], os valores de x1, x2, y1 e y2 referem-se s coordenadas globais em planta dos ns de grelha correspondentes face inferior da parede, enquanto x3, x4, y3 e y4 so as que correspondem aos ns da face superior da parede.

2.3 Modelao da Massa A modelao da distribuio de massa ao longo dos edifcios s tem significado para os estudos dinmicos, pois a frequncia de vibrao das estruturas e os respectivos modos de vibrao, tal como a grandeza das foras de inrcia, so dependentes da massa e da rigidez dos diversos elementos (o amortecimento [C] pode ser obtido por combinao de [K] e de [M]). Existem variadas opinies acerca de qual a melhor maneira de fazer intervir a matriz de massa no clculo. Estas opinies vo desde uma matriz de massa igual matriz identidade (com valor unitrio na diagonal principal e restantes valores nulos) e que portanto, no reconhece a influncia duma distribuio de massas ao longo dos andares, que pode ser bastante irregular e consequentemente determinante nos valores finais, at diferentes combinaes de matrizes de massa que so funo da distribuio da influncia de cada um dos graus de liberdade das estruturas [3]. Se se optar por o clculo similar aos coeficientes da matriz de rigidez, mas provocando-se agora aceleraes unitrias de cada grau de liberdade e analisando-se as foras de inrcia que se desenvolvem, pode-se obter a matriz de massa consistente que ser aqui utilizada para os elementos estruturais correspondentes a vigas e a


27

pilares [1]. Os coeficientes mij da matriz de massa so portanto foras de inrcia desenvolvidas na direco i devido a uma acelerao unitria na direco j. No modelo adoptado preferiu-se introduzir a massa (m) por metro linear de cada elemento estrutural (viga, pilar ou parede) fazendo-se a distribuio atravs dos diversos graus de liberdade por meio da matriz de cada elemento. A massa dos elementos estruturais no ser fundamental no clculo, pois no usualmente grande a sua variao de piso para piso e o seu peso na definio da massa total da estrutura pouco significativo. De qualquer modo, faz-se neste captulo referncia s matrizes de massa utilizadas para as vigas, pilares e paredes. A massa dos pisos ser a que maior importncia revela e corresponder ao somatrio das cargas permanentes do piso (laje, revestimentos, paredes, etc.) com o valor quase permanente da sobrecarga do piso. A maioria das modelaes simples, obrigam a que toda a massa de cada andar seja aplicada directamente no piso, sendo fornecido ou calculado depois o centro de massa desse nvel e s atravs destes dados que calculada a matriz de massa. Nessas modelaes desprezada a distribuio da massa pelos elementos estruturais verticais, sendo a massa que lhes corresponde aplicada directamente nos pisos. Com a modelao apresentada neste trabalho a massa dos elementos estruturais suprimida da massa do piso, excepo da massa das vigas. A massa dos elementos estruturais aplicada separadamente e desta forma consegue-se uma rigorosa modelao, que pode por isso trazer ligeiras diferenas em comparaes com os referidos modelos simples. Aps o espalhamento das matrizes de massa de cada elemento na matriz de massa global, poder encontrar-se nesta, diversas submatrizes [Mi] que correspondem a cada piso i da estrutura e que tm a seguinte forma [2]:

[ ]Mm 0 m Y0 m m X

m Y m X Ii

i i G

i i G

i G i G P

i

i

i i i

=

(2.8)

em que XGi e YGi so as coordenadas do centro de massa do piso i, considerando que nesse ponto que se concentra a massa do piso. IPi representa o momento polar de inrcia do piso i em relao ao eixo vertical.

Os graus de liberdade representados nas submatrizes [Mi] dizem respeito s translaes horizontais de cada piso i e rotao em torno do eixo vertical.

Com esta forma de modelao, consegue-se obter uma distribuio da massa que satisfaz os objectivos relativos aos estudos dinmicos. 2.3.1 Massa dos Pisos Tal como foi referido na seco anterior, a introduo da massa do piso no clculo dever ser modelada com critrio e cuidados, pois geralmente revela-se


28

importante na obteno de resultados relativos a frequncias e modos de vibrao das estruturas, tendo tambm consequncias nos resultados de anlises dinmicas que se pretendam fazer das estruturas sujeitas a sismos.

Segundo o que descrito no regulamento portugus [4], a massa do piso

dever ter em conta as aces permanentes e o valor quase permanente das sobrecargas do piso, ou seja, a sobrecarga dever ser afectada pelo coeficiente 2 definido no Regulamento de Segurana e Aces e somada s aces permanentes. Assim a massa total de um piso corresponder soma dos pesos relativos laje, revestimentos, paredes no estruturais, etc., com o valor quase permanente da sobrecarga do piso. No se considera nesta massa o peso dos elementos estruturais excepo das vigas, pois esses sero introduzidos separadamente. Caso se pretenda a contabilizao dessa massa directamente no piso, ento a massa por metro linear dos elementos estruturais dever ser considerada prxima de 0.

Para uma correcta utilizao do modelo apresentado neste trabalho, na massa

dos pisos dever ser contabilizada a massa das vigas, mesmo que esta tambm seja introduzida por metro de viga. Este facto deve-se particularidade dos elementos de grelha estarem associados a graus de liberdade de rotao no plano horizontal e translao vertical, pelo que a massa introduzida por metro de viga no transformada nos graus de liberdade correspondentes s translaes no plano horizontal e rotao em torno do eixo vertical, ou seja, no transformada nas principais variveis em anlise, quando se estudam a generalidade das aces dinmicas.

A massa total do piso assim calculada, ter de ser dividida e introduzida em cada n de grelha referido ao piso em questo. O modelo distribui depois a massa do n de grelha para o n fictcio do piso nos dois graus de liberdade correspondentes s translaes horizontais, mantendo ainda a massa do n a afectar o grau de liberdade da direco vertical de cada n de grelha. A diviso da massa por cada um dos ns de grelha estar ao critrio do utilizador, mas a modelao mais prxima da realidade ser a introduo de massas de acordo com a rea de influncia de cada n. A introduo da massa desta forma, leva a que aps o espalhamento das massas de cada n em cada um dos graus de liberdade se obtenha a massa total do piso nos graus de liberdade associados s translaes no plano do piso (dois graus de liberdade por piso pois este considerado rgido no seu plano). Os graus de liberdade associados s translaes verticais sero tantos quantos os ns de grelha e cada um deles ter uma parte da massa, mediante a escolha na introduo efectuada pelo utilizador. Nos graus de liberdade relacionados com as rotaes surge a influncia da posio da massa em relao ao referencial global da estrutura devido aplicao da matriz de transformao de cada elemento, realizada automaticamente pelo programa. A introduo da massa dos pisos desta forma mostrou-se verstil, tendo-se verificado um bom desempenho dos modelos de estruturas estudados.


29

2.3.2 Massa dos Elementos Estruturais A matriz da massa de vigas e pilares foi obtida de uma forma similar aos coeficientes da matriz de rigidez, tal como foi j referido. Os coeficientes da matriz de massa destes elementos estruturais equivalem s foras de inrcia desenvolvidas nos diversos graus de liberdade, quando provocada uma acelerao unitria num desses graus de liberdade. A matriz de massa toma assim uma forma diferente da matriz diagonal e relativamente a esta apresenta um pouco mais de rigor. A matriz de massa consistente [Mv], referida na bibliografia consultada como apropriada para os elementos de grelha (vigas), ser da mesma forma da matriz de rigidez, mas tomando agora os seguintes valores [1]:

[ ]M

m L m L m L m L

I m LA

I m LA

m L m L m L m L

m L m L m L m L

I m LA

I m LA

m L

V =

156420

0 22420

54420

0 13420

0 140420

0 0 70420

0

22420

0 4420

13420

0 3420

54420

0 13420

156420

0 22420

0 70420

0 0 140420

0

13420

2 2

0 0

2 3 2 3

2 2

0 0

2 0 3420

22420

0 4420

3 2 3

m L m L m L em que: m a massa por metro linear do elemento de viga; I0 o momento polar de inrcia da seco; sendo a restante simbologia j conhecida da matriz de rigidez. Como j ficou expresso, a massa dos elementos representados por vigas, alm de ser considerada como massa unitria ao longo do seu comprimento para avaliao da vibrao da prpria viga, deve ser tambm contabilizada na massa do piso. Deste modo no se procede duplicao do peso das vigas, mas sim correcta anlise do efeito deste peso em todos os graus de liberdade das estruturas. A matriz de massa dos pilares [MP], corresponde a uma matriz de massa de um elemento tridimensional com as mesmas dimenses da matriz [KP]. Aps consulta de bibliografia verificam-se os valores que se apresentam na pgina seguinte [1].


30

[ ]MP

m L m L

m L m L m L m L

m L m L m L m L

m L m L

m L m L m L

=

140420

0 0 70420

0 0 0 0 0 0 0 0

0 4420

3 0 0 3420

3 0 0 22420

2 0 0 13420

2 0

0 0 4420

3 0 0 3420

3 22420

2 0 0 13420

2 0 0

70420

0 0 140420

0 0 0 0 0 0 0 0

0 3420

3 0 0 4420

3 0 0 13420

2 0 0 22420

2 0

0 0 3420

3 0 0 4420

3 13420

2 0 0 22420

2 0 0

0 0 22420

2 0 0 13420

2 156420

2 0 0 54420

0 0

0 22420

2 0 0 13420

2 0 0 156420

2 0 0 54420

0

0 0 0 0 0 0 0 0 140420

0 0 0 70420

0

m L

m L m L m L m L

m L m L m L m L

m L m L m L m L

I m L

A

I m L

Am L m L m L m L

m L m L m L m L

I m L

A

I m L

A

0 0 13420

2 0 0 22420

2 54420

0 0 156420

0 0

0 13420

2 0 0 22420

2 0 0 54420

0 0 156420

0

0 0 0 0 0 0 0 0 70420

0 0 0 140420

0

Para as paredes, por simplicidade foi considerada uma analogia com a matriz

de massa dos pilares e portanto, a forma da matriz de massa das paredes, apesar de obviamente ter as mesmas dimenses da matriz de rigidez [18x18] no tem a mesma apresentao.

Tomou-se o elemento de parede como se tratasse de dois pilares e portanto, a matriz de massa similar a duas matrizes de massa de pilares, com a particularidade de os graus de liberdade relativos aos pisos serem coincidentes.

A matriz de massa considerada para as paredes tem ento a forma apresentada em conformidade com:

[ ]MM M MM M MM M M

Pa =

11 12 13

12 11 23

31 32 33

(2.9)

Segue-se a exposio das diversas submatrizes:

[ ]M110

00

00

0

=

140840

4840

3

4840

3

140840

4840

3

4840

3

m L 0 0 0 00 m L 0 0 00 0 m L 0 0

0 0 m L 0 00 0 0 m L 00 0 0 0 m L

[ ]M120

00

00

0

=

70840

3840

3

3840

3

70840

3840

3

3840

3

m L 0 0 0 00 m L 0 0 00 0 m L 0 0

0 0 m L 0 00 0 0 m L 00 0 0 0 m L


31

[ ]M13 130 0

00 0

0 00

0 0

=

0 0 0 00 m L 0 m L 0m L 0 m L 0

0 0 0 00 m L 0 m L 0m L 0 m L 0

22840

2 13840

2

22840

2840

2

22840

2 13840

2

22840

2 13840

2

[ ]M230 0

0 00 0

0 0

=

0 0 0 00 m L 0 0 m L 0m L 0 m L 0

0 0 0 00 m L 0 0 m L 0m L 0 m L 0

13840

2 22840

2

13840

2 22840

2

13840

2 22840

2

13840

2 22840

2

[ ]M310 0

0 00 0

0 0

=

0 m L 0 m L0 m L 0 0 m L 00 0 0 0

0 m L 0 m L0 m L 0 0 m L 00 0 0 0

22840

2 22840

2

22840

2 22840

2

13840

2 13840

2

13840

2 13840

2

[ ]M320 0

0 00 0

00 0

=

0 m L 0 m L0 m L 0 0 m L 00 0 0 0

0 m L 0 m L0 m L 0 m L 00 0 0 0

13840

2 13840

2

13840

2 13840

2

22840

2 22840

2

22840

2 22840

2

[ ]MIA

IA

IA

IA

33

156420

54420

156420

54420

140420

0 70420

0

54420

156420

54420

156420

70420

0 140420

0

=

m L 0 0 m L 0 00 m L 0 0 m L 0

0 0 m L 0 0 m L

m L 0 0 m L 0 00 m L 0 0 m L 0

0 0 m L 0 0 m L

A simbologia utilizada idntica referida para os pilares e vigas, em que m

continua a ser a massa por metro linear da altura de parede.


32

Figura 2.7 - Modelao dos graus de liberdade das paredes. (graus de liberdade relativos matriz de massa).

Tal como para as matrizes de rigidez, o espalhamento das matrizes de massa

dos elementos, na matriz de massa global, s efectuado aps a transformao de referenciais. Como as matrizes de massa de vigas e pilares so em todo semelhantes s respectivas matrizes de rigidez, a transformao a realizar a mesma e por isso so aplicadas as matrizes [TV] e [TP] apresentadas na seco 2.3.1. Para as paredes, a teoria utilizada difere da teoria de elementos finitos aplicada para a rigidez e por conseguinte a transformao segue a esquematizao da figura 2.7, que analiticamente conseguida por aplicao da matriz expressa na equao 2.10:

[ ]T T TT TPa AA ABBA BB2 =

(2.10)

que exposta de seguida.

[ ]T

sensen sen

sen sensen

sen sensen sen

sensen sen

sen sen

AA =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

coscos

coscos

coscos

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

sensen sen

sen sen

coscos


33

[ ]T

sen

sen

sen

sen

AB =

02

0 0 0 0

0 02

0 0 0

0 02

0 0 0

02

0 0 0 0

0 02

0 0 0

0 02

0 0 0

0 0 0 02

0

0 0 0 0 02

0 0 0 0 02

0 0 0 02

0

0 0 0 0 02

0 0 0 0 02

cos

cos

cos cos

cos

cos

cos cos

cos

cos

cos cos

cos

cos

cos cos

[ ]T

sen sen

xy sen

xy sen

sen sen

x

BA =

+

+

cos coscos cos cos coscos

cos coscos

cos cos

cos coscos cos cos cos

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1

1

2

2

3 +

+

cos

cos coscos

cos cos

y sen

xy sen34

40 0

[ ]T

sen sensen sen

y y

x xsen

y ysen

x xsen sen

sen sensen sen

y y

x xsen

y ysen

x x

BB =

+

+ +

+

+ +

+

+ +

+

+ +

coscos

cos

cos

coscos

cos

cos

0 0 0 00 0 0 0

2

2

2

2

0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 2

2

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

3 4

3 4

3 4

3 4

sen sen

A considerao da massa dos elementos estruturais distribuda ao longo do seu comprimento, em geral pouco significativa, mas pode ter particular interesse em estudos especficos destinados caracterizao de um destes elementos separadamente.


34

Para avaliao das divergncias de resultados neste tipo de estudos, no subcaptulo seguinte apresentado um caso de uma parede em consola com os respectivos comentrios. 2.3.3 Descrio de Exemplos Este subcaptulo destina-se anlise de dois exemplos simples, mas que ajudam a esclarecer alguns aspectos do funcionamento do modelo, no que respeita s consideraes da massa das estruturas. O primeiro exemplo analisado possibilita o controlo dos valores obtidos no clculo da matriz de massa global da estrutura. Permite ainda, a percepo da contabilizao das massas dos elementos estruturais, com particular realce para a massa das vigas e tambm a massa dos pisos. O segundo exemplo destina-se avaliao das diferenas registadas no clculo das vibraes de uma parede, pelo facto de se alterarem as condies de distribuio da massa. estudada uma parede com a massa distribuda ao longo da sua altura e comparada com a mesma parede, mas com a massa aplicada nos ns do topo. Exemplo 1 Para fazer um pequeno teste correcta discritizao da massa nos graus de liberdade correspondentes, foi preparado e calculado no programa um exemplo simples, para se efectuar a anlise e interpretao da matriz de massa global da estrutura. A estrutura adoptada para este estudo foi o prtico tridimensional simples de um s piso representado na figura 2.8, que pela sua simplicidade permite uma maior facilidade de domnio dos valores calculados. De qualquer modo, a estrutura apresenta 8 ns reais mais 2 fictcios o que leva a 30 graus de liberdade, ou seja, uma matriz de massa de [30x30]. Como a estrutura est encastrada na base s o piso interessa com as suas 15 variveis. Desta matriz ento possvel retirar a submatriz de [3x3] que corresponde aos graus de liberdade do n fictcio e que neste exemplo toma os seguintes valores:

3314 0 82 840 3314 82 84

82 84 82 84 828 44

. .. .

. . .

que correspondem matriz [Mi] apresentada na seco 2.3.


35

Note-se que para obter estes valores foram considerados: Massa do piso = 31.8 ton. Massa dos pilares = 0.30 ton/m. Massa das vigas = 0.45 ton/m.

Figura 2.8 - Esquema do prtico tridimensional de 1 piso.

As 31.8 toneladas correspondentes massa do piso (peso prprio da laje, revestimentos, paredes e combinao quase permanente da sobrecarga) so introduzidas divididas pelos quatro ns de pilar naquele piso (ns 6, 7, 8 e 9 na figura 2.8). Em cada n foram portanto introduzidas 7.95 toneladas. Por cada pilar espalhada ainda nesta matriz o valor dos membros (10,10) e (11, 11) da matriz [Mp] para assim se obter cada termo mi:

m = 4 (7.95 +156420

0.3 3.0) = 33.14i ton. Nesta estrutura regular o centro de massa do piso corresponde ao centro geomtrico e portanto X YG Gi i= = 2 5. m. Comparando o valor obtido no exemplo com a relao da matriz [Mi] verifica-se que:

X m Y mG i G ii i = = =2 5 3314 82 84. . . tonm. Com o controlo destes resultados fica evidenciado o domnio dos valores introduzidos, resultando claro que a massa das vigas no tem influncia nas grandezas relativas aos graus de liberdade do piso. A massa dos pilares aumenta de alguma forma a massa do piso pois so graus de liberdade que se encontram interligados. pois, por este motivo que quando se pretende a contabilizao da massa das vigas no peso total da estrutura, este dever ser tambm introduzido na massa do piso.


36

Neste caso, ter-se-ia que somar s 7.95 toneladas de cada n, o peso correspondente massa das vigas:

massa por n= + =7 95 0 45 5 108. . . tonm. Desta forma a massa mi resultaria maior e consequentemente todos os valores da matriz [Mi], mantendo-se todavia, todos os restantes valores da matriz de massa global da estrutura. Por este facto, as primeiras frequncias da estrutura (translaes horizontais e rotao em torno de zz) seriam menores, o que estaria mais de acordo com o comportamento real do prtico tridimensional. Com o conhecimento da forma como o modelo trabalha e distribui a massa, torna-se possvel avanar no clculo, incluindo com o rigor que se pretender a modelao da massa por forma correcta anlise dinmica de todas as estruturas. Exemplo 2 Com este exemplo pretendeu-se comparar o comportamento do mesmo elemento estrutural sujeito a diferentes distribuies de massa. Por anlise deste caso foi tambm possvel calibrar o elemento de parede por comparao com resultados obtidos em outros programas (SAP90 e modelo desenvolvido pelo eng. Rui Faria a que se designar R.F.), permitindo da mesma forma, a certificao da validade da matriz de massa considerada para as paredes. O modelo estudado neste trabalho e aplicado no programa de clculo automtico foi designado de GRETRI. Este nome abrevia a designao de grelhas tridimensionais que serviu de base ao desenvolvimento destes estudos. A parede escolhida tem as seguintes caractersticas: Dimenses - 3.0 x 5.0 m2; Espessura - 0.20 m; Mdulo de elasticidade - 29 GPa; Coeficiente de Poisson - 0.2; Massa por metro linear em altura de parede - 1.5 ton/m; Massa total da parede - 7.5 ton. Foram testadas as hipteses de massa por metro de parede distribuda ao longo da altura e a massa aplicada directamente nos ns de piso, tendo sido obtidos os resultados expostos nas tabelas da pgina seguinte. No caso da parede analisada, a modelao segundo o programa GRETRI elaborado neste trabalho permite 9 modos de vibrao diferentes, pois dos 18 graus de liberdade, metade est impedida de se mover por causa do encastramento na base. Os modelos adoptados nos programas que serviram de comparao so modelos de elementos finitos, em que a parede foi modelada com uma malha de elementos de pequenas dimenses, o que origina uma maior liberdade de deformao com o


37

consequente aumento de configuraes de vibrao. O benefcio da utilizao do elemento finito de ordem elevada, tendo portanto um nmero reduzido de variveis, contraposto ao rigor de algumas anlises. Nas tabelas que se seguem, as abreviaturas per, pla e rot, pretendem significar as configuraes de vibrao da parede, respectivamente no plano perpendicular parede, no plano da parede e em relao rotao em torno de um qualquer eixo. O algarismo que se apresenta aps a abreviatura, esclarece qual o grau do modo de vibrao na direco exposta.

Tabela 2.1 - Frequncias (Hz) para a massa distribuda pela parede

Modos GRETRI SAP90 R.F. 1 4.514 (per1) 4.435 (per1) 4.468 (per1) 2 16.491 (rot1) 16.641 (rot1) 16.899 (rot1) 3 27.082 (rot2) 27.395 (per2) 27.846 (per2) 4 44.471 (per2) 53.793 (pla1) 54.093 (pla1) 5 60.281 (pla1) 54.370 (rot2) 55.501 (rot2)

Tabela 2.2 - Frequncias (Hz) para a massa aplicada no topo da parede

Modos GRETRI SAP90 R.F. 1 3.186 (per1) 3.099 (per1) - 2 42.376 (pla1) 12.224 (rot1) - 3 63.868 (rot1) 40.000 (pla1) - 4 102.497 (per2) 44.826 (rot2) - 5 104.887 (rot2) 90.286 (rot3) -

Como se verifica por observao das tabelas 2.1 e 2.2, alguns dos modos de vibrao de ordem mais elevada no so captados pela modelao apresentada neste trabalho. Para o estudo da parede com a massa distribuda ao longo da sua altura so bons os resultados para os dois primeiros modos de vibrao. Para os modos de vibrao mais altos, verifica-se alguma discrepncia de resultados face aos diferentes pressupostos de clculo. Os resultados apresentados na tabela 2.2 so comprovativos da correcta resoluo do modelo, mas demonstra menor rigor, pois no detecta algumas configuraes de vibrao. O primeiro modo de vibrao no plano perpendicular parede e o primeiro no plano da prpria parede so comparveis com o outro modelo. A modelao com vrios elementos finitos de menor dimenso leva a configuraes de vibrao para frequncias menores e que este modelo no est capacitado para calcular por utilizar muito menos graus de liberdade.


38

2.4 Validade do Modelo Quando se procede criao de um modelo que simular o comportamento de uma estrutura, ter que se ter em ateno uma diversidade de parmetros e so muitas as vezes que um projectista tem que abdicar de alguns aspectos para poder beneficiar na resoluo de outros. O tempo de clculo de uma estrutura est usualmente ligado ao rigor dos resultados. O modelo adoptado tem nesse campo bastante aplicao, pois um modelo que trata estruturas tridimensionais e que por isso obrigam usualmente a um grande volume de variveis envolvidas e aumento da durao de clculo. Nesta modelao consegue-se evitar o maior nmero de variveis com a simples obrigao de movimentos de corpo rgido nos planos dos pisos, originando tambm a reduo do tempo de clculo. Este facto geralmente admissvel, perdendo-se a validade do modelo nos casos em que existem furaes significativas nas lajes, ou existindo pequenos desnveis englobados num mesmo piso. Nestes casos ter que ser o projectista a avaliar uma situao aproximadamente equivalente em que se possa aplicar o modelo, retirando depois as cuidadas concluses. A anlise de lajes no est contemplada por este modelo, que serve apenas para o estudo dos elementos estruturais referidos no subcaptulo 2.2 (vigas, pilares e paredes). Quando se estudam estruturas com lajes apoiadas em vigas, as lajes sero necessariamente estudadas em separado, mas quando a estrutura constituda por lajes fungiformes ento ter que ser preparada uma modelao cuidada, para que as caractersticas das vigas que substituem a laje simulem a capacidade resistente da laje em termos de movimentos de grelha no topo dos pilares. A considerao de ncleos resistentes em estruturas usual quando existem caixas de escadas ou de elevadores. Estes ncleos oferecem uma rigidez toro que no fcil de calcular quando se analisam modelaes planas, ou mesmo em alguns casos de modelos tridimensionais. O modelo programado permite a introduo de ncleos, ao possibilitar a juno de paredes. No entanto, a rigidez toro quando so introduzidos ncleos fechados vem excessiva, pois estes ncleos na realidade tm aberturas que podero reduzir significativamente a rigidez real da pea. O projectista ter que ponderar de uma forma cuidada a utilizao do ncleo fechado, sendo por vezes justificvel a introduo de uma viga a simular a usual padieira, quando existem as aberturas. Tal como a generalidade dos programas comerciais existentes, o modelo no considera a rigidez dos elementos no estruturais apesar de a sua massa poder ser contabilizada. Este factor pode ser particularmente importante, pois a deformabilidade do modelo ser nesse caso maior do que a verificada na realidade. Quando o projectista verificar que o significado da rigidez dos elementos no estruturais no deve ser desprezada, ter que efectuar um estudo auxiliar para a quantificao dessa rigidez. De acordo com esse clculo, a rigidez dos elementos


39

estruturais no modelo poder ser aumentada, ou se necessrio podero ser introduzidos mais elementos que simulem o acrscimo de rigidez. Com a finalidade de aumentar a versatilidade do modelo foi preparada a hiptese de clculo de paredes no verticais. Esta particularidade conseguida por aplicao da matriz de transformao ao elemento de parede e possibilita a simulao de lanos de escadas. A existncia de escadas origina normalmente aberturas nas lajes (que diminuem a rigidez e indeformabilidade do piso) que no so avaliadas pelo modelo, mas a prpria escada tem uma rigidez que a maioria dos modelos e projectistas despreza. O elemento de parede inclinado no funciona como laje, pois est obrigado a existir entre dois pisos, mas modela correctamente escadas que sejam exteriores aos edifcios. No caso de escadas interiores, o modelo no ser to real pois as necessrias aberturas na laje no so estimadas, pelo facto de se continuar a considerar a indeformabilidade dos pisos. Em termos de estudos dinmicos, o modelo foi preparado para o projectista ser capaz de anlises generalidade das situaes. A massa pode ser considerada de vrias formas, o que aumenta a versatilidade do modelo e o clculo dos efeitos duma aco ssmica ao longo do tempo podem ser implementados durante um perodo de tempo qualquer e com acelerogramas segundo uma qualquer direco. Os efeitos do sismo podero assim ser avaliados para quaisquer tipo de esforos nos elementos estruturais e de deslocamentos dos ns, de acordo com o pretendido com a aplicao destes modelos. A utilizao deste modelo assim vlida para uma diversidade de estruturas atravs de suposies razoveis e facilmente perceptveis. Quando for associada uma anlise no linear dos materiais a este modelo, este ser ento, um meio muito potente de clculo de estruturas de edifcios sob aces dinmicas.

Captulo 3 Frequncias e Modos de Vibrao

40

3. Frequncias e Modos de Vibrao 3.1 Introduo Uma estrutura com n graus de liberdade ter n modos de vibrao e para cada modo de vibrao corresponder uma frequncia de vibrao. A determinao das frequncias e modos de vibrao de uma estrutura obedece imposio de: det ([K] - 2 [M]) = 0 (3.1) que tem como soluo 12, 22, ..., n2 que so as frequncias dos n modos de vibrao. A resoluo da equao 3.1 simplesmente a determinao de um problema de valores e vectores prprios e existem diversos mtodos numricos para nos darem resposta a uma questo deste gnero. No caso deste trabalho, foi implementado no programa de clculo uma subrotina capaz de resolver este problema, utilizando o mtodo de Lanczos. Como j se observou, frequncias e modos de vibrao so caractersticas da estrutura dependendo apenas das suas matrizes globais de rigidez e de massa. Por isso so designadas por frequncias e modos de vibrao prprios da estrutura. O clculo de n modos de vibrao no fundamental pois a contribuio dos primeiros modos que tem relevo na resposta da estrutura. O acrescentar de modos de vibrao vai aumentar o volume de clculos sem trazer benefcios em termos de preciso de resposta. O clculo das frequncias prprias da estrutura importante em diversos aspectos. Permitem determinar qual o amortecimento que a estrutura ter, como se demonstra nas equaes 4.6 e seguintes do captulo 4. Alm disso, informam em que gama de frequncias que a estrutura ir trabalhar, possibilitando a tomada dos cuidados que o projectista entenda necessrios. Garantindo o correcto clculo das frequncias de vibrao das estruturas, fica assegurado o bom desempenho do modelo adoptado. devido a este factor, que neste captulo se reserva um espao para o estudo de vrios exemplos demonstrativos dos resultados da modelao escolhida.


41

3.2 Consideraes Gerais Uma anlise regulamentar conduz constatao da importncia do clculo das frequncias prprias das estruturas para quantificar a resposta a aces ssmicas. Neste subcaptulo, pretende-se expor uma srie de aplicaes do clculo das frequncias das estruturas e suas implicaes regulamentares. Quando se procede ao estudo dos modos de vibrao de uma estrutura e ao clculo das frequncias de vibrao desta, ter-se- o intuito de verificar quais as configuraes de vibrao que tm frequncias assimilveis pela gama de frequncias dos sismos. A anlise dinmica sobre modelos tridimensionais revela, em geral, frequncias prprias de vibrao das estruturas com valores prximos entre si. O R.S.A. explcita que a idealizao do tratamento da aco ssmica por meio de espectros de resposta no adequada no caso de frequncias prximas, pois a regra para combinao das respostas modais de aplicar a raiz quadrada da soma dos quadrados deixa de ser vlida. Esta regra diz que para obter a mxima resposta total se deve aplicar a expresso 3.2 [7]: u u umax ,max ,max ...= + +12 22 (3.2) estando dependente da boa separao entre as frequncias da estrutura, o que usualmente s se verifica em anlises planas. As condies 3.3-a e 3.3-b definem os limites de separao de frequncias:

ff

i

i+

115. (3.3-b)

Caso no seja aplicvel esta regra, por proximidade das frequncias, estas devem ser adicionadas. Na equao 3.4 apresenta-se a expresso a utilizar no caso das segunda e terceira frequncia da estrutura no estarem bem separadas. u u u u umax ,max ,max ,max ,max( ) ...= + + + +12 2 3 2 42 (3.4) A aplicao destas regras deve-se ao facto das respostas modais no terem os mximos a ocorrerem simultaneamente no tempo, o que a acontecer permitiria a simples adio dos valores das respostas.

O regulamento portugus destina no ponto 6 do artigo 30, uma breve referncia instabilidade de conjunto das estruturas, considerando que existir


42

instabilidade se o deslocamento relativo entre quaisquer dois ns sucessivos de um elemento vertical de suporte, obtido pela anlise de primeira ordem, for superior a 1.5% da distncia entre os referidos ns. Esta considerao de instabilidade pode ser dispensada se a estrutura no for demasiado deformvel, o que pode ser avaliado pela frequncia prpria fundamental da estrutura. Se a primeira frequncia de vibrao for superior quer a 0.5 Hz, quer ao quociente de 8 pelo nmero de pisos, isto significa que a estrutura no ser demasiado deformvel quando conjugada com uma distribuio de rigidez aproximadamente uniforme em altura. O regulamento prev ainda, o clculo estimado da frequncia prpria fundamental para uma anlise expedita, que permita a determinao do coeficiente ssmico 0. Os valores de 0 destinam-se a traduzir a influncia das propriedades dinmicas do terreno e da estrutura na resposta desta aco dos sismos. Para este clculo expedito o R.S.A. prev trs situaes distintas:

Estruturas em prtico: fn

= 12 (3.5-a)

Estruturas mistas prtico-parede: fn

= 16 (3.5-b)

Estruturas parede: fb

h= 6 (3.5-c)

em que n o nmero de pisos acima do nvel do terreno, h a altura do edifcio acima do mesmo nvel, b a dimenso em planta do edifcio segundo a direco considerada e f expresso em Hertz [4]. Estas expresses tornam evidente que as estruturas mais altas tero nos casos correntes menores frequncias de vibrao, tal como se constata nos exemplos apresentados no subcaptulo seguinte. Quando se pretende uma determinao analtica da frequncia prpria fundamental de uma estrutura, o regulamento sugere o recurso ao mtodo de Rayleigh, o que admissvel na maioria dos casos. O mtodo de Rayleigh referncia obrigatria no clculo expedito de frequncias de vibrao. Este mtodo determina que uma estrutura seja discretizada num certo nmero de massas concentradas, sendo a frequncia obtida pela expresso 3.6:

fg F d

F d

i ii

i ii

=

12 2. (3.6)

em que g o valor da acelerao da gravidade, Fi uma fora cuja intensidade igual ao peso da massa i e di o deslocamento provocado na estrutura pelas foras Fi actuando simultaneamente na direco em relao qual se est a determinar a frequncia prpria.


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Para aplicao deste mtodo interessa contabilizar a massa e rigidez da estrutura e dos elementos de construo a ela ligados. A expresso apresentada para estimar as frequncias prprias de edifcios foi obtida a partir da considerao dos resultados da anlise dinmica efectuada para estruturas tpicas e de valores derivados do clculo experimental [4]. Esta expresso pressupe que as estruturas esto preenchidas, em propores normais por paredes de alvenaria, as quais contribuem significativamente para a rigidez do edifcio. No caso de modelos planos, o mtodo de Rayleigh pode ser utilizado com a aplicao da associao de prticos em comboio para o clculo dos deslocamentos. Estas duas ltimas situaes demonstram a importncia do clculo das frequncias prprias de estruturas e a necessidade de meios correctos e cleres para a sua determinao. Atravs da aplicao do mtodo de Lanczos s subrotinas do modelo de clculo, implementou-se com resultados satisfatrios, uma forma de obteno dos valores das frequncias e modos de vibrao das estruturas. Os pontos 3.3 e 3.4 deste captulo, atestam esse facto.

3.3 Descrio de Exemplos A calibrao e comprovao de funcionamento do programa de clculo quer na anlise esttica, quer no clculo de frequncias e modos de vibrao de estruturas foi feita com base nos exemplos aqui descritos. Tentou seguir-se uma gama de estruturas comparveis entre si e que permitissem tambm a anlise comparativa com outros trabalhos j existentes [14] [16]. Assim, as figuras 3.1-a) a 3.1-f) representam o esquema estrutural da planta dos diversos tipos de edifcios analisados. A estrutura destes edifcios segue sempre a mesma malha regular de pilares espaada de 4 e 5 metros, totalizando em planta uma rea de cerca de 15 x 20 m2. Foram estudados edifcios com diferente nmero de pisos e que diferem tambm na existncia e posio de paredes, escadas ou ainda ncleos fechados. Seguindo o proposto em outros trabalhos, considerou-se em todos os casos as caractersticas expressas de seguida: Vigas: 20 x 50 cm2 0.25 ton/m 20 x 60 cm2 0.30 ton/m Pilares: 30 x 30 cm2 0.225 ton/m 30 x 40 cm2 0.300 ton/m 30 x 50 cm2 0.375 ton/m 30 x 60 cm2 0.450 ton/m


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Paredes: 20 x 400 cm2 2.00 ton/m 20 x 500 cm2 2.50 ton/m Para alm destas seces dos elementos estruturais e respectivas massas, considerou-se os pisos com um p-direito de 3.0 metros e em cada piso estimaram-se as seguintes massas: Peso prprio da laje (esp. = 0.15 m) 0.375 ton/m2 Revestimentos e paredes 0.250 ton/m2 Sobrecargas (0.2 x 2.0 kN/m2) 0.040 ton/m2 Total 0.665 ton/m2 A massa das vigas alm de ser considerada nos elementos estruturais foi tambm associada massa dos pisos, pois os graus de liberdade relacionados com as vigas no interferem com os graus de liberdade dos ns fictcios. Sendo assim, para ser considerada de uma forma mais correcta, na realidade a massa das vigas foi introduzida por duas vezes. Nos edifcios at 4 pisos a seco das vigas de 20 x 50 cm2 enquanto nos edifcios de 8 pisos de 20 x 60 cm2. Os pilares tm seco crescente de 2 em 2 pisos, possuindo no topo sempre a seco quadrada de 30 x 30 cm2. Sendo assim, nos edifcios de 8 pisos as seces so de 30 x 30 cm2 no topo e de 30 x 60 cm2 na base e nos edifcios de 4 pisos as seces so novamente de 30 x 30 cm2 no topo e na base so de 30 x 40 cm2.

Considerou-se para mdulo de elasticidade do beto o valor de 30 GPa e 0.2 para o coeficiente de Poisson.

Os edifcios do tipo PT so caracterizados por uma malha de pilares que se repete entre todos os pisos da estrutura do edifcio e que constituem os nicos elementos estruturais verticais. Os edifcios denominados por NC possuem 4 paredes entre cada piso da estrutura. As paredes por estarem interligadas entre si formam um ncleo fechado que para possibilitar uma maior diversidade de comparaes foi colocado em posies diferentes. Assim quando o ncleo colocado no centro geomtrico da planta estrutural, a estrutura classificada como tipo NCa e deslocando o ncleo para a esquerda como se visualiza nas figuras 3.1-c) e 3.1-d) perde-se as caractersticas de simetria das estruturas e passam a ser designadas por NCb e NCc respectivamente. Os edifcios tipo PAL correspondem a estruturas com duas paredes nos extremos laterais da planta. As paredes no esto ligadas entre si pelo que funcionam como elementos independentes, ao contrrio dos edifcios tipo NC. O edifcio tipo ESC esquematizado na figura 3.1-f) pode ser estudado com o modelo adoptado neste trabalho, pois a matriz de transformao aplicada aos elementos de parede permite que estes no sejam verticais, apesar de necessariamente estarem ligados nos extremos a ns de diferentes pisos. O edifcio tipo ESC composto por cinco elementos de parede, alm de diversos pilares, que em conjunto


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fazem a ligao entre os diversos pisos do edifcio. Quatro das paredes formam um ncleo fechado idntico aos dos edifcios tipo NCa e o quinto elemento de parede pretende simular os lanos de escada, localizados direita do ncleo. Este quinto elemento tem dois metros de largura e trs de altura, mas vence um vo de cinco metros, ao contrrio de qualquer outro elemento existente entre pisos.

a) Edifcio tipo PT - 2, 4 e 8 pisos; b) Edifcio tipo NCa - 4 e 8 pisos;

c) Edifcio tipo NCb - 8 pisos; d) Edifcio tipo NCc - 8 pisos;

e) Edifcio tipo PAL - 4 e 8 pisos; f) Edifcio tipo ESC - 4 pisos;

Figura 3.1 - Plantas estruturais dos edifcios estudados.

A figura 3.2 representa o alado tipo dos edifcios ESCa e ESCb que diferem simplesmente na direco dos lanos de escadas. A estrutura representada pelo tipo ESCa constituda por lanos de escadas sempre paralelos enquanto os edifcios do tipo ESCb tm os lanos de escada a formar um ziguezague paralelo, desde a fundao at ao topo do edifcio. Na estrutura ESCb, os primeiro e terceiro lanos, so encostados ao ncleo de paredes, enquanto os segundo e quarto lanos ocupam os dois metros de largura que restam at aos pilares da malha regular.


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a) Edifcio tipo ESCa; b) Edifcio tipo ESCb;

Figura 3.2 - Alado estrutural dos edifcios tipo ESC. Com base em todos estes edifcios estudados, considera-se que possvel caracterizar e comentar o comportamento das estruturas modelveis pelo programa desenvolvido neste trabalho. O subcaptulo seguinte destina-se apresentao desses mesmos comentrios aps a exposio dos resultados obtidos.

3.4 Comentrios A relao expressa pela equao 3.7 permitir o extrair de algumas das concluses que se vo apresentar de seguida. Esta equao demonstra a proporcionalidade entre a rigidez e a massa de uma estrutura, com a sua frequncia de vibrao.

fKM

= 1

2 (3.7) Como se verifica, estruturas com menor rigidez tero menores frequncias de vibrao e quanto mais pesados forem os edifcios, ser tambm menor a frequncia de vibrao que lhes fica associada. A representao grfica evidencia duma forma clara as configuraes das vibraes das estruturas, o que tambm ajuda compreenso do funcionamento das mesmas. Como forma de iniciar a apresentao dos resultados obtidos, so assim expostas as configuraes das seis primeiras frequncias de vibrao de alguns dos edifcios estudados. Para cada configurao de vibrao apresentam-se dois alados e a planta, o que permite desde logo a percepo da direco de vibrao da estrutura, quando o modo puro.

Para permitir uma comparao visual de resultados com significado prximo e no pretendendo alargar em demasiado esta apresentao grfica, foram escolhidos para esta exposio apenas as estruturas dos edifcios com 8 pisos. A figura 3.3, representa assim as configuraes de vibrao dos edifcios PT8, NC8a, NC8c e PAL8.

Figura 3.3 - Alados e plantas das configuraes dos seis primeiros modos de vibrao.

a) Edifcio tipo PT8.


b) Edifcio tipo NC8a.


c) Edifcio tipo NC8c.


d) Edifcio tipo PAL8.


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Perante o observado nas pginas anteriores, podem tecer-se os seguintes comentrios: No caso das estruturas com duplo eixo de simetria, verifica-se que as configuraes de vibrao obtidas so puras e que portanto, os deslocamentos dos ns das estruturas esto relacionados com um s grau de liberdade. O exem

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Análise Sísmica Estruturas-carlos Daniel-1997