Politecnico di BariCorso di Laurea in Ingegneria Civile-AmbientaleTecnica delle Costruzioni

DICATEChDipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, del Territorio, Edile e di ChimicaPolitecnico di Bari

Settembre 2015

Prof. Rita Greco

Analisi lineare delle strutture: richiami di teoria tecnica delle travi, metodi di risoluzione dei sistemi iperstatici

Strutture: Concetti fondamentali

Si definisce struttura un corpo continuo o un insieme di corpiconnessi tra loro e opportunamente vincolati, soggetti ad azioniapplicate in punti diversi, in grado di "trasferire" i carichi.

Lo scopo dell’analisi strutturale é quello di determinare lo statodi cimento del sistema in questione, quando sia sottoposto adun definito insieme di azioni.

La soluzione di questo problema si consegue con i metodi dellaScienza delle Costruzioni da cui, nel caso specifico, si fadiscendere la Meccanica delle Strutture.

Dicesi elemento strutturale un particolare corpo che siconviene di poter assimilare a un modello semplice, per il qualesia possibile la formulazione diretta di leggi rappresentative dicomportamento.

Una classificazione degli elementi può essere fatta sulla basedella loro configurazione geometrica. Possono essere definitimonodimensionali quando una delle loro dimensioni siapreponderante rispetto alle altre due (ad esempio travi ) ;bidimensionali quando una dimensione sia ridotta rispetto allealtre (ad esempio lastre e piastre ) ; tridimensionali nel casopiù generale.

Se si riesce a far dipendere il comportamento dell’intero sistemastrutturale da quello relativo a un numero finito di suoi punti, lostudio può essere ricondotto alla determinazione di sforzi espostamenti ad essi relativi e da questi si può dedurre ilfunzionamento meccanico dell’intero complesso.

Ciò si verifica ad esempio nelle cosiddette strutture ascheletro, composte esclusivamente di elementimonodimensionali le cui caratteristiche di risposta si fannosolitamente dipendere da quelle valutabili nei punti di incrociodetti nodi. In tal caso il problema viene ricondotto a un numerofinito di parametri: si parla perciò di Meccanica strutturalediscreta.

Alcune definizioni

Si definisce trave il solido monodimensionale generato da unafigura piana che si sposta nello spazio conservandosiperpendicolare alla traiettoria detta asse geometrico o linea d'assedescritta dal suo baricentro. Tale traiettoria, può essere una curvagobba o piana, continua e rettificabile, che si ritiene dotata didebole curvatura. In particolare essa può ridursi ad una retta.

Si introduce una coordinata curvilinea s lungo la linea d'asse conorigine nel baricentro di una delle sezioni di estremità, ad esempioG0.Si scelgono due terne ortogonali destre di riferimento: unaglobale, fissa, l' altra, locale con origine nel baricentro dellasezione corrente s.

Terna Globale

Terna Locale

Ascissa corrente

Mentre l'asse x3 continua ad essere considerato diretto secondola tangente alla linea d'asse e con verso concorde con quelloassunto positivo per s, gli assi x1 ed x2 ed vengonoconsiderati diretti rispettivamente secondo i due assiprincipali d`inerzia ξ ed η della sezione.

Accanto alla legge A(s) con cui l'area della sezione trasversalevaria con l'ascissa curvilinea s misurata lungo l'asse, bisognaprecisare le leggi con cui si evolvono, in funzione ancora di s, lecaratteristiche inerziali J1, J2, J3≡Jo della sezione rispetto agliassi x1 ed x2 della terna locale e rispetto al baricentro Gs.

Si indicano inoltre con q1(s), q2(s), q3(s); m1(s), m2(s), m3(s) le componenti, sempre secondo la terna locale di riferimento, delle distribuzioni q(s) ed m(s) rispettivamente di forze e coppie, lungo la linea d'asse. Analogamente F ed M sono le eventuali forze e coppie concentrate in punti dell'asse ed F1, F2, F3; M1, M2, M3 le loro componenti; Z e W, nell`ordine, sono le forze e le coppie reattive di componenti Z1, Z2, Z3; W1, W2, W3, applicate nei punti d'asse e, comunque, nelle sezioni in cui sono localizzati gli eventuali vincoli.

Nella generica sezione s è possibile definire le sei caratteristiche dellasollecitazione N, V1, V2, M1, M2, M3, osservando che V1, V2, M1,M2 si identificano rispettivamente con i tagli e i momenti flettentidiretti secondo gli assi principali di inerzia della sezione. N è lo sforzonormale, M3=T il momento torcente.

Alla trave si estendono i risultati del cosiddetto Problema di Saint-Venant che, come noto, fornisce la soluzione del problemadell'equilibrio elastico per un solido a forma di cilindro retto,sufficientemente allungato, a sezione trasversale qualsiasi, dimateriale linearmente elastico, omogeneo ed isotropo, conforze di volume nulle, forze nulle sulla superficie laterale ediverse da zero in corrispondenza delle basi, privo di vincoli.

Rinviando, per la giustificazione di quanto sopra, a quanto illustrato atal proposito nell'ambito della Scienza delle Costruzioni, ci si limitaqui ad osservare che tale modo di procedere porta a ritenerepresenti, nel generico punto della trave, le sole tensioni :

In funzione di queste si possono esprimere le sei caratteristiche dellasollecitazione richiamate in precedenza.

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Caratteristiche della sollecitazione

I sistemi pianiUn caso particolare molto importante è quello della trave piana, che si presenta quando l’asse è contenuto in un piano che è anche piano di simmetria geometrica e di carico. In questo caso le componenti delle forze attive e reattive si riducono a: F2, F3, M1=M, Z2, Z3, W1=W. Le componenti del carico distribuito e delle coppie distribuite sono rispettivamente: q3(s), q2(s), m1(s)=m(s)

Le caratteristiche della sollecitazione nella generica sezione sono solamente: N, M1=M, V2=V e sono legate alle distribuzioni di carico dalle equazioni indefinite di equilibrio in cui r indica il raggio di curvatura della linea d’asse.

Derivando quest’ultima e sostituendo il valore della derivata del taglio dalla seconda equazione si ottiene

Per travi ad asse rettilineo o con curvatura trascurabile

In assenza di coppie distribuite

La flessione e il taglio sono retti con x1 asse neutro della flessione e x2 asse di sollecitazione e di flessione. Sono inoltre diverse da zero le componenti dello spostamento e della rotazione u2, u3 e γ1=γ.Estendendo i risultati del problema di Saint-Venant, le due facce dell’elemento subiscono i seguenti spostamenti relativi:

J e χ sono rispettivamente Momento di Inerzia e Fattore di Taglio relativi all’asse x1.

L’energia di deformazione dunque si riduce a 3 termini, ovvero:

Travi ad asse rettilineo: LA TRAVE INFLESSA

Nelle applicazioni è molto ricorrente una speciale trave piana: quellaad asse rettilineo soggetta a forze e reazioni vincolari esclusivamentenormali all'asse, detta trave inflessa. Per essa le caratteristichedella sollecitazione relative a una generica sezione sono al più il taglioed il momento flettente, essendo ovunque nullo lo sforzo normale.La denominazione di trave inflessa che le viene attribuita è peraltroda ritenersi impropria in quanto, nella grande maggioranza dei casi,essa non è assoggettata a flessione semplice ma piuttosto a flessionecomposta (a flessione cioè accompagnata da taglio).

La trave inflessa ad asse rettilineo viene riferita ad una terna di assicon origine nel baricentro di una delle sezioni di estremità O≡A, diregola quella di sinistra; l'asse y3 coincide con l'asse della trave,l'asse y2 è ortogonale ad esso. Il terzo asse y1, perpendicolare alpiano medio della trave, è diretto a sua volta verso l'osservatore ed ètale che la terna sia una terna destra.

Le forze attive e reattive hanno componenti rispettivamente F2 eZ2≡V; le coppie attive e reattive sono M1 = M e W1=W; la solacomponente del carico distribuito lungo l'asse è la q2(y3); le eventualicoppie distribuite hanno la sola componente m1(y3)≡m(y3).

Le caratteristiche della sollecitazione nella generica sezione siriducono allo sforzo di taglio V(y3) e al momento flettenteM(y3) i cui segni vengono fissati in base alle usuali convenzioni.Delle componenti u3 e u2 dello spostamento del baricentro dellagenerica sezione, rispettivamente parallela e normale all'asse, laprima è trascurabile rispetto alla seconda.

S

S

S

S

M(y3) M(y3)

V(y3) V(y3)

La componente u2(y3) è detta perciò semplicemente spostamento eil suo diagramma, riportato parallelamente alla direzione di y2, si dicelinea elastica della trave. Le coordinate di quest' ultima sonopositive se equiverse con y2 e dirette pertanto verso il basso; larotazione γ1=γ della generica sezione è positiva se antiorariaessendo l'asse y1 diretto verso l'osservatore.

Da quanto si è detto si deduce che, per una trave inflessa, in assenza di sforzonormale, sono equivalenti, ai fini statici, vincoli quali la cerniera fissa e l'appoggioscorrevole con direzione efficace normale all'asse. Conseguentemente una travevincolata agli estremi con due cerniere fisse, cinematicamente iperdeterminata, risulta,per le particolari condizioni di carico cui è sottoposta, staticamente isodeterminata.

AO B

y3

y2

(y )3

u2u' = - >02

y1

u2

AO B

y3

y2

(y )3

u2u' = - >02

y1

[C]

Dalle equazioni indefiniteproposte precedentemente siricavano:

Legano le caratteristiche della sollecitazionedi taglio e momento flettente al carico eall'eventuale distribuzione di momento

Nell'ipotesi di piccoli spostamenti può confondersi l'angolo dirotazione della generica sezione (pari all'angolo che tangente allalinea elastica forma con l'asse ) con la sua tangente.Il segno meno si giustifica rilevando che nei tratti in cui la lineaelastica ha andamento crescente con y3 l'angolo γ risulta orario epertanto negativo.

Se, ai fini deformativi, siconsidera il solo contributo delmomento flettenteprescindendo dagli effetti deltaglio, si ricava:

AO B

y3

y2

(y )3

u2u' = - >02

y1

Sostituendo l’espressione di γ:

Derivandola ancora rispetto a y3 si ottengono le seguenti espressioni

È un'equazione differenzialedel quarto ordine allederivate totali dettaequazione della lineaelastica. Essa è l'equazionerisolvente in termini dispostamenti della traveinflessa, cui vanno associatequattro condizioni alcontorno, cui corrispondonole condizioni imposte daivincoli alla struttura.

Nel caso frequente di m(y3)=0 e di trave a sezione costante,l'equazione differenziale del quart'ordine si semplifica nella formaseguente:

Il problema della trave inflessa è un problema al contorno allederivate totali in quanto la sua soluzione si ottiene integrandol'equazione differenziale del quart'ordine e associando adessa opportune condizioni in corrispondenza delle sezionivincolate, generalmente coincidenti con le sezioni di estremità.Tali condizioni possono essere di carattere cinematico o statico.

Esempio: Trave doppiamente incastrata conrotazione a nell’estremo B

u2

V

M

Spostamento

Taglio

Momento Flettente

La determinazione delle caratteristiche di risposta di una strutturadiscreta e, in particolare, di una struttura composta di elementimonodimensionali (travi), implica l'individuazione delle relazioniesistenti tra un certo numero di parametri divisi in due categorie:spostamenti e forze.

Alla prima appartengono tutti i parametri che, indipendentementedalla loro natura di spostamenti propriamente detti o di rotazioni,sono indispensabili ai fini di descrivere la struttura nella suaconfigurazione deformata.

Alla seconda, che comprende sia forze propriamente dette checoppie, appartengono i parametri atti ad identificare la condizione dicarico cui la struttura è sottoposta.

Sistemi di coordinate

Allo scopo di individuare in maniera univoca i predetti parametri si fauso di un sistema di coordinate che, associato al particolareproblema strutturale che si intende esaminare, serve a ordinare eidentificare le varie quantità che si ritengono significative per lastruttura in studio.

La sua scelta dipende quindi dalla geometria strutturale, dalladisposizione dei vincoli, dalla distribuzione delle forze e dalleinformazioni richieste sugli spostamenti.

Generalmente un sistema di coordinate definisce spostamenti eforze relativi ad un insieme discreto di sezioni strutturali in terminidi componenti aventi specifiche direzioni.

Solitamente tali direzioni si assumono in modo tale che nel sistemacoordinato, a ciascun punto prescelto sia associata una triadeortogonale.

Una volta fissato il sistema di coordinate, sono univocamente determinati sia gli spostamenti che le forze nodali esibite dalla struttura: ui è lo spostamento letto in corrispondenza della generica coordinata ed Fi la forza relativa ivi applicata.

L'indice i varia tra 1 ed N essendo N il numero dei parametri in gioco.

In maniera analoga si possono individuare le quantità locali riferite al generico elemento: esse vengono indicate con i simboli :

Per gli spostamenti

Per gli sforzi interni associati alla coordinata i-esima dell’elemento generico e (e=1,…,t)

Accanto ai vettori ad N componenti che definiscono spostamenti e forze nodali:

Si hanno anche i vettori che contengono le quantità locali:

Relazioni di congruenza ed equilibrio

Nell’analisi di strutture monodimensionali composte di più elementi è di particolare importanza lo studio delle relazioni che legano tra loro le grandezze cinematiche globali e locali e, dualmente, le forze esterne ed interne.

Nel primo caso si ha:

Vettore a componenti indipendenti

Matrice di congruenza

La matrice [A] ècostituita da 4 righe e 3colonne; la secondacolonna ad esempiocomprende i valori delle{β} corrispondenti aglispostamenti u2=1, uh=0per h≠2

Coefficienti di rigidezza e deformabilità: sistemi aduna coordinata

La formulazione dei metodi di calcolo dei sistemi di travi richiede ladefinizione di alcune quantità caratteristiche, dette coefficienti dirigidezza e coefficienti di deformabilità, strettamente legate allastruttura su cui si opera e al sistema di coordinate prescelto.

La ricerca della risposta strutturale implica innanzituttol'individuazione di un sistema di coordinate che, associato alparticolare problema, identifichi e ordini i parametri statici ecinematici coinvolti nell'analisi.

Problemi nei quali è sufficiente una sola coppia di parametri (unaforza F, cioè, ed uno spostamento u ) a caratterizzare in manieracompleta la risposta, individuano strutture ad una solacoordinata.

In questo caso la relazione che lega la forza allo spostamento, letticon riferimento all'unica coordinata associata ad entrambi, puòscriversi, attesa la linearità del sistema, nella forma:

In tale relazione viene evidenziato il coefficiente di rigidezza k che ,per una data struttura, è legato alla coordinata prescelta. Essorappresenta infatti la forza da associare alla coordinata considerataperchè il corrispondente spostamento sia unitario.

Una maniera alternativa per descrivere il comportamento strutturale è basata sull'impiego del coefficiente di deformabilità h, tale che:

Esso è definito come lo spostamento che si legge in corrispondenza della coordinata, in conseguenza dell'applicazione di una forza unitaria.

Costituendo le due precedenti equazioni due modi alternativi perdescrivere la stessa relazione, i coefficienti k ed h sono l'uno l'inversodell'altro, nel modo che risulti cioè:

Si immagina che i sistemi rappresentati nella figura seguente sianocostituiti da aste a sezione costante il cui momento di inerziarispetto all'asse baricentrico della sezione trasversale sia J.Detto E il modulo di elasticità longitudinale del materialecostitutivo, i coefficienti in parola valgono rispettivamente:

Sistemi a più coordinate

h12

-

Sintesi dirigidezze edeformabilitàper travi aduna campata

Il metodo degli spostamenti

Questo metodo deve il suo nome al fatto che la soluzione per un’assegnata struttura è ottenuta assumendo come incognite vspostamenti indipendenti, la cui conoscenza permette di risalire allo stato di sollecitazione interno. Tali spostamenti sono detti gradi di libertà cinematici della struttura. Il metodo si basa sulla scrittura delle equazioni:

che legano, attraverso i coefficienti di rigidezza kij = kji, le forze Fiapplicate in corrispondenza degli spostamenti incogniti ui agli stessi spostamenti, resi attivi uno per volta. Più in sintesi esse diventano:

i

Se la struttura non è labile, le proprietà della matrice [K] di rigidezzaassicurano l’invertibilità delle equazioni precedenti, e quindi ladeterminazione degli spostamenti incogniti ui.

Noti questi ultimi, si può risalire allo stato di sollecitazione interna.

L’algoritmo tuttavia non è generale; esso opera nell’ipotesi distrutture caricate da forze Fi, correlative agli spostamenti ui, dettegeneralmente forze nodali.

L’estensione del metodo a condizioni di carico diverse (carichiapplicati agli elementi costitutivi, variazioni termiche ecc.) èconseguibile tramite la procedura seguente.

Si può infatti immaginare di separare l’effetto dei carichi non nodalida quello dei carichi nodali, studiando la struttura come sommadi due schemi.

Nel primo schema, unitamente ai carichi non nodali (carichiapplicati in campata, autotensioni, ecc.) si applica un sistema di forzenodali Fi(o), capaci di azzerare i spostamenti ui nella condizione dicarico considerata.

La conoscenza degli ui che, nella particolare condizione di caricoimposta, sono tutti nulli, consente di determinare lo stato disollecitazione interno corrispondente. Attraverso condizioni diequilibrio nodale quindi si determinano le Fi

(o) .

Il ripristino della condizione di carico assegnata è ottenuto sommandoalla soluzione ricavata dal primo schema, quella relativa alle dateforze nodali, non ancora considerate, e alle forze Fi

(o) , cambiate disegno, introdotte allo scopo di azzerare gli ui.

La soluzione di questo secondo schema avviene mediante equazioni del tipo:

Carichi nodali

Il metodo degli spostamenti: un esempio

rappresenta gli spostamenti nodali

dovuti alle Fi

Si ponga:

Rappresenta gli spostamenti provocatida tutte le altre azioni

Sommando le due espressioni

Che consente di determinare il vettore spostamento {u} noto che sia il vettore {F(0)}

In definitiva, il metodo degli spostamenti si articola nelle seguentifasi:

1.da un esame della tipologia strutturale e delle condizioni di carico siindividuano spostamenti indipendenti ui che si assumono qualiincognite del problema. Essi devono essere tali da consentire dirisalire allo stato di sollecitazione interno di ciascuno degli elementicostitutivi;

2.bloccando tutti gli spostamenti ui attraverso opportune forze F(0)(i

= 1,2,...,v) si studia la struttura sotto i carichi nodali determinandole sollecitazioni E(0);

3.imponendo alla struttura scarica lo spostamento ui=1 e bloccandocontemporaneamente tutti gli altri, si determinano le forze kij(i =1,2,...,v) in grado di mantenere il sistema in equilibrio in questaconfigurazione deformata. Si costruisce così per colonne la matrice dirigidezza [K];

4.si impongono gli equilibri nodali per la struttura caricata dalle forze(F – F(0)) e, tramite il sistema si determinano gli spostamenti ui;

4. Noti gli ui si ricava lo stato di sollecitazione della struttura. DettoE(i)(i = 1,2,...,v) il valore che la generica sollecitazione assumeper ui = 1, si può porre il valore E dovuto ai spostamenti nellaforma

5. Lo stato di sollecitazione finale si ottiene sommando alle E, cosìricavate, le E(0) ottenute nella prima fase. Risulta cioè

Esempio