Analisi Matematica 2 Prove d’Esame A.A. 2012/2017web.inge.unige.it/DidRes/Analisi/PrAmT.pdf · Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011 Prima Prova parziale 23/11/2011

Analisi 2 Polo di Savona

Analisi Matematica 2

Prove d’Esame

A.A. 2012/2017

1- PrAmT.TEX— []

Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011

Prima Prova parziale 23/11/2011

Si consideri la funzione

f(x, y) =

{x− y3 |x| ≤ |y3|0 altrove

<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.

 Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f e differenziabile in (0, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (0, 1).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1]× [0, 1].

<F> Calcolare∫Qf(x, y)dxdy

<G> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 1).

2- PrAmT.TEX— [PrAmT13.TEX]

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 17/12/2011

Seconda Prova parziale 17/12/2011

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 1− y , z ≤ 2− y , x ≥ 1 , x ≤ 2 , y ≥ 0 , y ≤ 1}

<A> Calcolare il volume di VSi considerino due variabili aleatorie indipendenti: ξ con distribuzione triangolare che restituisce numeri

in [0, 2] ed ha moda 1/3 ed η uniforme su [1, 3]

 Determinare la PDF di ξ , η e ξ + η

<C> Calcolare media e varianza di ξ , η e ξ + η


Analisi 2 Polo di Savona Esame Gennaio 08/01/2013

Esame Gennaio 08/01/2013

Si consideri una linea di trasmissione dati su cui si verificano 5 errori di trasmissione al minuto.

<A> Calcolare la probabilita che in un minuto si registrino 3 errori di trasmissione.

 Calcolare la probabilita che in un mezz’ora si registrino 45 errori di trasmissione.

<C> Calcolare la probabilita che il primo errore a partire da un certo istante avvenga dopo un minuto.

<D> Stimare n 6= 3 con la proprieta che: la probabilita che in un minuto si verifichino n errori e uguale allaprobabilita che in un minuto si verifichino 3 errori.

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f(x, y, z) =xy

y − x2

<E> Disegnare le curve di livello di f

<F> Studiare la continuita di f nell’origine

<G> Calcolare le derivate direzionali di f nell’origine.

<H> Stabilire se f e differenziabile nell’origine





f(x, y, z) =

{1 x2 + y2 + z2 ≥ 1x2 + y2 + 1 x2 + y2 + z2 < 1

<A> Determinare dove f e definita e dove f e continua.

 Calcolare le derivate parziali di f nel punto P = (0, 0, 1)

<C> Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f sul suo campo di definizione.

<D> Calcolare∫Vf(x, y, z)dxdydz essendo V la parte del cubo con due vertici coincidenti con i punti (0, 0, 0)

e (1, 1, 1) esterna alla sfera di centro l’origine e raggio 1 .

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Un apparato, dopo la produzione, viene sottoposto a due controlli che indichiamo con I ed II perverificarne il funzionamento.

Nel caso in cui un apparato sia funzionante, il primo test rileva che e’ funzionante nel 99% dei casimentre nel caso in cui un apparato sia difettoso (non funzionante), il primo test rileva che e’ difettoso nel70% dei casi.

Nel caso in cui un apparato sia funzionante, il secondo test rileva che e’ funzionante nel 98% dei casimentre nel caso in cui un apparato sia difettoso (non funzionante), il secondo test rileva che e’ difettoso nel90% dei casi.

<E> Calcolare la probabilita’ che entrambi i test siano superati nel caso di un apparato funzionante

<F> Calcolare la probabilita’ che entrambi i test siano superati nel caso di un apparato difettosoDeterminare condizioni aggiuntive che consentano di rispondere alle seguenti domande e rispondere.

<G> Calcolare la probabilita’ che un apparato sia funzionante nel caso siano superati entrambi i test

<H> Calcolare la probabilita’ che un apparato sia funzionante nel caso non siano superati entrambi i test


Analisi 2 Polo di Savona Esame Febbraio 19/02/2013

Esame Febbraio 19/02/2013

Si consideri la funzionef(x, y) = min{(y − x)(y − x3), 0}

<A> Studiare continuita e derivabilita di f

 Studiare la differenziabilita di f

<C> calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

<D> calcolare∫[0,1]×[0,1] f(x, y)dxdy.

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Si consideri la variabile aleatoria x che restituisce il punteggio ottenuto lanciando un dado a forma ditetraedro (4 facce) e la variabile aleatoria y che restituisce il punteggio ottenuto lanciando un dado a formadi esaedro (6 facce).

<E> Determinare la PDF di x e rappresentarla graficamente.

<F> Determinare la PDF di y e rappresentarla graficamente.

<G> Determinare la PDF di x+ y e rappresentarla graficamente.

<H> Determinare media varianza e moda di x+ y.


Analisi 2 Polo di Savona Esame Giugno 11/06/2013

Esame Giugno 11/06/2013


f(x, y) =

(x− 2)(y − 3)

(x− 2)2 + (y − 3)2(x, y) 6= (2, 3)

π (x, y) = (2, 3)

<A> Studiare continuita e derivabilita di f

 Studiare la differenziabilita di f

<C> calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

<D> calcolare∫[0,1]×[0,1] f(x, y)dxdy.

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Si consideri la variabile aleatoria x che ha distribuzione triangolare nulla fuori dell’intervallo [2, 5] dimoda 3

<E> Determinare la PDF di x e rappresentarla graficamente.

<F> Calcolare media e varianza di x.

<G> Determinare la PDF di x2.

<H> Determinare la moda di x2.




Si consideri la funzionef(x, y) = xy(x2 + y2)

<A> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

 Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sul quadrato Q avente vertici in (0, 0). ed (1, 1)

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Sia B una variabile aleatoria discreta con densita binomiale di media 30 relativa ad N = 100 provebernoulliane

<C> Determinare n < N tale che la probabilita che (B > n) sia piu piccola di 0.5Sia ora G una variabile aleatoria geometrica con la stessa media di B

<D> Calcolare la probabilita che G(300) < 1/2


Analisi 2 Polo di Savona Esame Luglio 09/07/2013

Esame Luglio 09/07/2013

Si consideri la funzionef(x, y) = xy + x2 + y2

<A> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f .

 Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sulla parte del quadrato Q avente vertici in (0, 0) ed(2, 2) esterna al cerchio di centro l’origine e raggio 1.

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Sia T una variabile aleatoria con densita di probabilita (PDF) triangolare, distribuita su [0, 2] e di media4/3

<C> Determinare la PDF di T

<D> Determinare la moda e la mediana di T

<E> Determinare la PDF di 1/T


Analisi 2 Polo di Savona Esame Settembre 17/09/2013

Esame Settembre 17/09/2013


f(x, y) =

{x y ≥ 3

√x

y3 y < 3√x

<A> Studiare la continuita di f .

 Determinare l’insieme in cui f e parzialmente derivabile.

<C> Determinare le derivate direzionali di f nell’origine.

<D> Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f sul cerchio di centro l’origine e raggio 1.

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Un centro di soccorso stradale riceve mediamente 12 richieste di intervento in un giorno.

<E> Calcolare la probabilita che riceva in un’ora al piu 2 richieste.

<F> Calcolare la probabilita che riceva in un’ora pervengano piu di 3 richieste.

<G> Calcolare n in modo che la probabilita che pervengano piu di n richieste in un’ora sia inferiore al 10%





f(x, y) = |(y − sin(x))(y − cos(x))|


 Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f e differenziabile in (π/4,√

2/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (π/4,

√2/2).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (π/4,√

2/2).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = {(x, y) : x ∈ [0, π], y ∈ [0, sin(x)]}.

<F> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 1).




<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2 − y2 = 1

avente minima distanza dal punto (0, 1)

 Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x+ 1) , z ≥

√x2 + y2}




<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2 − y2 = 1

avente minima distanza dal punto (0, 1)

 Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x+ 1) , z ≥

√x2 + y2}


Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 07/01/2014

Terza Prova parziale 07/01/2014


f(x) =

a

x4x > 1

bx+ c x ∈ [0, 1]0 altrove

<A> Determinare a, b, c in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ

 Determinare a, b, c in modo che la media di ξ sia1

<C> Determinare a, b, c in modo che la varianza di ξ sia 1

<D> Calcolare P (4 ≤ ξ ≤ 5)

<E> Calcolare P (−1 ≤ ξ ≤ 0)




Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ min{1−√x2 + y2, 1−

√(x− 1)2 + y2}

<A> Calcolare il volume di V .

 Calcolare massimi e minimi assoluti e relativi di f(x, y, z) = x su V .

Due tiratori A e B sparano ad un bersaglio ed hanno, rispettivamente probabilita 1/4 ed 1/8 di colpirenel segno.

<C> Calcolare quanti tiri occorrono ad A per essere certo di colpire il bersaglio

<D> Calcolare quanti tiri occorrono ad B perche la probabilita di aver colpito il bersaglio almeno una voltasia superiore al 50%

<E> Calcolare n in modo che la probabilita che B colpisca il bersaglio in n + 10 tiri sia superiore allaprobabilita che A colpisca il bersaglio in n tiri.




Si considerif(x, y) = y2 − x3 + x

e l’insiemeG = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = 0}

<A> Disegnare, nel piano D.

 Studiare l’esplicitabilita di f(x, y) = 0 rispetto ad y

<C> Studiare l’esplicitabilita di f(x, y) = 0 rispetto ad xSia y = φ(x) la funzione che esplicita f(x, y) = 0 rispetto ad x in un intorno di (2,

√2).

<D> Calcolare φ′(x)

<E> Calcolare φ′′(x)

Sia ξ una variabile aleatoria discreta con densita di probabilita geometrica associata ad una provaBernoulliana con probabilita di successo p.

<F> Determinare l’espressione della funzione densita di probabilita (PDF) e della funzione densita di prob-abilita cumulativa (CDF) di ξ.

<G> Calcolare media e varianza di ξ

<H> Calcolare la probabilita di registrare almeno un successo al piu in 10 tentativi

 Determinare p in modo che la probabilita di registrare almeno un successo al piu in 10 tentativi siamaggiore di 0.5.

<J> Per p = 1/3 determinare n in modo che la probabilita di registrare almeno un successo al piu in ntentativi sia minore di 0.5.




Si consideri l’insieme

A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ |x|+ |y|}

<A> Disegnare la proiezione di A sul piano (x, y)

 Calcolare il volume di A

<C> Determinare la minima e la massima distanza di un punto di A dall’origine

Un pezzo deve essere sottoposto a 3 successive lavorazioni L1, L2, L3 la cui durata e , rispettivamentecompresa tra 1 e 2, 1 e 3 e 2 e 4 ed e distribuita uniformemente.

<D> Calcolare la media e la varianza del tempo totale di lavorazione.

<E> Determinate la distribuzione di probabilita della variabile aleatoria che rappresenta la somma dei primidue tempi di lavorazione .

<F> Determinate la distribuzione di probabilita della variabile aleatoria che rappresenta il tempo totale dilavorazione.





f(x, y) = E(arctan(y/x))

<A> Determinare il campo di definizione di f e rappresentarne gli insiemi di livello

 Studiare continuita e derivabilita di f

<C> Studiare l’esistenza delle derivate direzionali di f nel punto (1, tan(1)), calcolandole ove esistano.Si consideri la funzione

f(x, y) = xy(x− y)(x+ y)

<D> Determinare eventuali punti di minimo e di massimo relativi ed assoluti di f su R2

<E> Determinare eventuali punti di minimo e di massimo relativi ed assoluti di f sul cerchio di centro l’originee raggio 1

Un tiratore spara a due distinti bersagli con probabilita p di colpire il primo e probabilita q di colpireil secondo.

<F> Per p = 1/3, calcolare la probabilita che il primo bersaglio sia colpito in 3 colpi

<G> Per p = 1/3, calcolare la probabilita che il primo bersaglio non sia colpito al terzo colpo

<H> Determinare la densita di probabilita della variabile aleatoria che restituisce il numero di tentativieffettuati per colpire entrambi i bersagli.




SiaV = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1−

√x2 + y2 , x2 + y2 − x ≤ 0}

<A> Calcolare il volume di V

 Determinare massimi e minimi assoluti di f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sull’insieme

D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1 , x2 + y2 − x ≤ 0}

Un tiratore dispone di due armi con cui spara ad un bersaglio.Utilizzando la prima arma colpisce il bersaglio con probabilita p = 1/2 mentre utilizzando la seconda

arma colpisce il bersaglio con probabilita q = 2/3

<C> Il tiratore sceglie a caso tra le due armi e colpisce il bersaglio al decimo colpo. Calcolare la probabilitache il tiratore abbia scelto la prima o la seconda arma.

<D> Il tiratore sceglie a caso tra le due armi e colpisce il bersaglio al k−esimo colpo. Calcolare la probabilitache il tiratore abbia scelto la prima o la seconda arma.

<E> Il tiratore sceglie un’arma a caso e spara al bersaglio. Calcolare la probabilita che il bersaglio sia colpitoin al piu tre colpi.

<F> Il tiratore sceglie un’arma a caso e spara al bersaglio. Calcolare la probabilita che il bersaglio sia colpitoin piu tre colpi.




Sia

f(x, y) =

{e2x−y x ∈ [0, 1], , x ≤ y ≤ x+ 20 altrove

<A> Calcolare ∫R2

f(x, y)dxdy

 Determinare massimi e minimi assoluti di f

<C> Disegnare le curve di livello di f

<D> Calcolare le derivate direzionali di f nell’origineSiano

f(t) =

{αe−t t ∈ [0, 2]0 altrove

g(t) =

{βet t ∈ [0, 1]0 altrove

<E> Determinare α in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ

<F> Determinare β in modo che g sia la PDF di una variabile aleatoria η

<G> Calcolare P (η > 1/2)

<H> Determinare la PDF di ξ + η

 Calcolare P (ξ + η > 1)





f(x, y) =

{x2 + y2 |x|+ |y| ≤ 11 altrove


 Determinare se f e differenziabile in (1/2, 1/3) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1/2, 1/3).

<C> Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 0).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).

<F> Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.





D = {(x, z) ∈ R2 : x2 + z2 ≤ 1 , x2 + z2 − 2x ≤ 0}

<A> Disegnare D ed il trasformato di D mediante il cambio di variabili{x = ρ cos θz = ρ sin θ

 Calcolare l’aerea di D.

<C> Calcolare ∫D

xdxdz

Si consideri il volume V generato dalla rotazione di D attorno all’asse z

<D> Calcolare il volume di V .

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di F (x, y, z) = z su V .




Sia ξ una variabiile aleatoria binomiale relativa a n ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilitadi successo p e sia η una variabiile aleatoria binomiale relativa a m ripetizioni di una prova bernoulliana conprobabilita di successo q

<A> Impostare il calcolo per determinare la PDF di ξ e di η

 Tenendo conto dell’identita di Vandermonde, che afferma che

(n+m

k

)=

k∑j=0

(n

j

)(m

k − j

)

Determinare, per p = q = 1/2, la PDF di ξ + ηed interpretare il risultato.Si considerino tre scatole in cui sono contenuti dadi di colore diverso nelle quantita che seguono:

- I scatola : 8 dadi Neri, 5 dadi Bianchi, 7 dadi Gialli- II scatola : 13 dadi Neri, 7 dadi Bianchi,- III scatola : 5 dadi Neri, 10 dadi Bianchi;

<C> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Bianco; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III

<D> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Nero; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatola I,II, III

<E> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Giallo; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III





f(x, y) =

{y − x y ≥ x20 altrove

<A> Studiare campo di definizione e continuita di f

 Studiare derivabilita e differenziabilita di f

<C> Calcolare le derivate direzionali di f in P0 = (0, 1)

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in P0 = (1, 1)Sia ancora

f(x, y) =

{y − x y ≥ x30 altrove

eD = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}

<E> Determinare, se esistono, massimi e minimi assoluti di f su D

<F> Calcolare ∫D

f(x, y)dxdy

Si lanciano due monete per 100 volte e si vince quando per entrambe le monete esce testa.

<G> Calcolare la probabilita di vincere 50 volte.

<H> Calcolare la probabilita di vincere almeno 50 volte.

 Calcolare la probabilita di vincere al piu 50 volte.





V = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y ≤ z ≤ 1− x2 − y2}

<A> Disegnare le proiezioni di V sui piani coordinati

 Calcolare il volume di V



SiaS = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z = 1− x2 − y2}

<C> Determinare la minima e la massima distanza di S dall’origine.

<D> Determinare la PDF del quadrato di una variabile aleatoria uniforme definita su [0, 2]





f(x, y) = 2 ln(x2 + y2)− sin(xy)

<A> Studiare continuita e differenziabilita di f .

 Restringendosi al primo quadrante, studiare il segno di f sulle circonferenze di centro l’origine e raggi1 e√e (l’iperbole riportata in figura ha equazione xy = π/2 )

<C> Calcolare la derivata rispetto a ρ e rispetto a θ di

ϕ(ρ, θ) = f(ρ cos(θ), ρ sin(θ))

<D> Studiare il segno di ∂∂ρϕ(ρ, θ) e ∂

∂θϕ(ρ, θ) nella parte del cerchio x2 + y2 ≤ e che si trova nel primoquadrante.



<E> Usando i risultati ottenuti dimostrare che per ogni θ ∈ [0.π/2] la retta di equazioni parametrichex = ρ cos(θ) , y = ρ sin(θ) incontra una ed una sola volta l’insieme

{(x, y) ∈ R2+ : x2 + y2 ≤ e , f(x, y) = 0}

, e che pertanto e’ possibile definire una funzione ρ(θ) che lo rappresenta.



<F> Studiare il segno della funzione ρ(θ) e disegnare l’insieme {(x, y) ∈ R2+ : x2 + y2 ≤ e , f(x, y) = 0}

<G> Determinare la PDF del quadrato della variabile aleatoria la cui PDF e:

ϕ(t) =

{1/2a t ∈ [0, a]1/2b t ∈ [−b, 0)0 altrove





f(x, y) = arctan(yx

)e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2x ≤ 0 , x2 + y2 − 2y ≤ 0}

<A> Determinare massimi e minimi assoluti, estremo superiore ed inferiore di f su D

 Disegnare nel piano (ρ, θ) il trasformato di D

<C> Calcolare ∫D

f(x, y)dxdy

Si considerino le variabili aleatorie ξ e η definite daP (ξ = 1) = 1/2P (ξ = 2) = 1/3P (ξ = 3) = 1/6

,

P (η = 1) = 1/4P (η = 2) = 1/2P (η = 3) = 1/8P (η = 5) = 1/8

<D> Determinare la PDF della variabile aleatoria ξ + η:Si sceglie una scatola rossa ed una scatola blu tra 6 scatole rosse e 8 scatole blu.3 scatole blu contengono 1 gettone, 2 scatole blu contengono 2 gettoni, 1 scatola blu contiene 3 gettoni.2 scatole rosse contengono 1 gettone, 4 scatole rosse contengono 2 gettoni, 1 scatola rossa contiene 3

gettoni, 1 scatola rossa contiene 5 gettoni.

<E> Calcolare la probabilita che si ottengano in tutto 3 gettoni

<F> Calcolare quanti gettoni e piu probabile ottenere.





D = {(x, y, z) ∈ R3 :√x2 + y2 ≤ z ≤ 4−

√x2 + y2 ≤ 2 , x2 + y2 − 2y ≤ 0}

<A> Calcolare il volume di D

 Calcolare massimi e minimi assoluti di f(x, y, z) = z su D

<C> Calcolare le derivate direzionali di f nel punto P0 = (0, 0, 4)Si considerino due tiratori T1 e T2 che sparano ad un bersaglio un colpo ciascuno ogni volta.La probabilita che un colpo del primo tiratore vada a segno e 1/2 mentreLa probabilita che un colpo del secondo tiratore vada a segno e 2/3

<D> Determinare la probabilita che il bersaglio sia colpito dall’uno o dall’altro tiratore

<E> Determinare la probabilita che il bersaglio sia colpito al piu in 3 colpi

<F> Determinare quanti colpi occorre prevedere di sparare per essere certi, al 99%, che il bersaglio vengacolpito.





f(x) =√|y − 2x+ 1|]

e l’insieme

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2x ≤ 0}

<A> Disegnare D le linee di livello di f

 Calcolare massimi e minimi assoluti di f su D

<C> Calcolare le derivate direzionali di f nel punto (1/2, 0)

<D> Calcolare ∫D

f(x, y)dxdy

Si consideri un distributore automatico di bibite contenente bottiglie di Aranciata (A) , Limonata (L) eAcqua Tonica (T ) e si supponga che su 100 acquirenti i 50 scelgano T , 20 scelgano L ed i restanti scelganoA.

Si supponga inoltre che in un giorno ci si attende che 6000 acquirenti accedano al distributore.

<E> Determinare quante bottiglie A occorre mettere nel distributore affinche la probabilita che un acquirentenon possa essere soddisfatto sia inferiore a 0.1

<F> Determinare quante bottiglie L occorre mettere nel distributore affinche la probabilita che un acquirentenon possa essere soddisfatto sia inferiore a 0.1Sia x una variabile aleatoria binomiale associata ad un esperimento bernoulliano in cui la probabilita di

successo e p

<G> Calcolare media e varianza di x giustificando le affermazioni.


Analisi 2 Polo di Savona Settembre 15/09/2015

Settembre 15/09/2015


D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 4−√x2 + y2, x ∈ [0, 1]}

<A> Calcolare il volume di D

 Calcolare il baricentro di D

<C> Calcolare le derivate direzionali di f(x, y, z) = max{4−√x2 + y2 − z, 0} nel punto (0, 0, 4)

<D> Calcolare, dove e definita, la forma quadratica hessiana dif(x, y, z) = 4−√x2 + y2 − z

Si consideri una variabile aleatoria ξ con PDF uniforme su [2, 4]

<E> Determinare la PDF di η =√ξ

<F> Calcolare media e varianza di η





f(x, y) = |1− x2 − y2|

<A> -[3] Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.

 -[3] Determinare se f e differenziabile in (0, 1/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (0, 1/2).

<C> - [4] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[6]Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> - [5]Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).

<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.




SiaA = {(x, y, z) ∈ R3 : 2− 2x ≤ z ≤ 2− x , z ≤ 2− (x2 + y2)}

<A> -[15] Determinare il volume di ASia

B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 2− 2x ≤ z ≤ 2− x}

 -[9] Determinare il volume di BSia

C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − x ≥ 0 , : x2 + y2 − 2x ≤ 0}

<C> -[6] Calcolare ∫C

2x− x2 − y2dxdy




Sia ξ una variabile aleatoria esponenziale di media λ ed η una variabile aleatoria esponenziale di mediaµ

<A> -[10] Determinare la PDF della variabile aleatoria x = ξ + η

 -[8] Determinare la media e la varianza di xSi supponga di dover raggiungere la localita B partendo da A e passando per la localita C utilizzando

un mezzo di trasporto che collega A con C che prevede 6 partenze da A ogni ora ed un secondo mezzo checollega C con B e prevede 3 partenze ogni ora.

<C> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il primo mezzo.

<D> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il secondo mezzo.

<E> -[4] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare complessivamente.

<F> -[4] Calcolare la probabilita che l’attesa superi complessivamente 30 minuti.





f(x, y) =ln(x+ y)

x

<A> Disegnare le curve di livello di f

 Studiare il limite di f per (x, y) che tende a (0, 0).

<C> Calcolare le derivate direzionali di f in P0 = (1, 1)

<D> Calcolare massimi e minimi assoluti di f

<E> Calcolare massimi e minimi assoluti di f in A = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ x+ y ≤ e}Si considerino la variabile aleatoria ξ con PDF triangolare su [0, 1] e moda 1 e la variabile aleatoria η

con PDF triangolare su [0, 1] e moda 0

<F> Determinare la PDF di x = ξ + η

<G> Calcolare media e varianza di x = ξ + ηPer completare un certo processo e necessario completare due distinte operazioni la cui durata e una

variabile aleatoria con PDF triangolare triangolare su [01] e moda 1 (in ore) per la prima operazione e 0 perla seconda operazione

<H> Calcolare il tempo medio di completamento del processo

 Calcolare la probabilita che il processo sia completato in meno di 30 minutil




Si consideri

A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + y2 ≤ z ≤ 1− x2 − y2}

<A> Disegnare la proiezione di A sul piano z = 0

 Calcolare il volume di ASia

f(x, y, z) =

{x (x, y, z) ∈ A0 (x, y, z) /∈ A

<C> Calcolare massimi e minimi assoluti di f su A

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in P0 = (0, 0, 1)Si considerino due variabili aleatorie indipendenti ξ ed η positive.

<E> Determinare la PDF di x = ξη

<F> Calcolare la media di x = ξηLa vendita giornaliera di un certo prodotto e data da una variabile aleatoria triangolare definita su

[0, 10] di moda 7 (in pezzi) e il tempo che intercorre tra l’emissione del riordino e l’arrivo della merce e’ datoda una variabile aleatoria triangolare definita su [2, 5] con moda 3 (in giorni).

<G> Calcolare il valore medio del numero di pezzi da riordinare ( cioe il numero medio di pezzi che sonovenduti nel periodo che mediamente intercorre tra l’emissione dell’ordine e l’arrivo della merce).





f(x) =ln(x− y)

x

<A> Disegnare le curve di livello di f

 Studiare lim(x,y)→∞ f(x, y)

<C> Studiare lim(x,y)→(0,0) f(x, y)Il tempo T impiegato per portare a termine un certo processo e’ stimato mediante una variabile aleatoria

con distribuzione triangolare definita su [1, 5] con moda 2 (in giorni).

<D> Calcolare il tempo medio per portare a termine il processo.

<E> Determinare la probabilita di portare a termine il processo prima del tempo medio o dopo il tempomedioIl tempo T impiegato per portare a termine un certo processo e’ condizionato dalla quantita di risorse

R che viene destinata alla sua esecuzione ed e noto che:se R > α il processo verra portato a termine prima del tempo medio certamentese R ≤ α il processo verra portato a termine dopo il tempo medio certamente

<F> Sapendo che il processo e terminato in meta del tempo medio e che la probabilita che le risorse assegnatesiano R > a e del 30% , calcolare la probabilita che siano state assegnate R ≤ a risorse al processo e laprobabilita che siano state assegnate R > a risorse al processo.





f(x, y) =

{x y2 ≤ (x(x+ 1))2

y y2 > (x(x+ 1))2

<A> Rappresentare nel piano le zone in cui f vale x e quelle in cui vale y

 Studiare la continuita di f nell’origine.

<C> Studiare la differenziabilita di f nell’origine.

<D> Studiare massimi e minimi assoluti di f

<E> Calcolare∫Qf(x, y)dxdy dove Q e il quadrato [0, 2]× [0, 2]

Per portare a termine la lavorazione di un pezzo e necessario utilizzare due macchine M1 ed M2 insuccessione. La macchina Mi si guasta mediamente λi volte in un anno ed in presenza del guasto di unadelle due macchine la lavorazione si arresta.

<F> Calcolare la probabilita che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno un tempo t0.

<G> Determinare il tempo medio della prima interruzione.Si supponga che λ2 sia minore di λ1 e che si decida di affiancare ad M2 una macchina N2, con le stesse

caratterisfiche, da far intervenire in caso di guasto.

<H> Calcolare la probabilita che la lavorazione dei pezzi non si interrompa per almeno un tempo t0.




<A> Determinare i punti di minima e di massima distanza dall’origine dell’ellisse di equazioni

x2

a2+y2

b2= 1

 Determinare i punti di minima e di massima distanza dall’origine dell’ellissoide di equazioni

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Il tempo di percorrenza di un certo tratto di autostrada e dato da una variabile aleatoria con PDFtriangolare ed e compreso tra 10 e 30 minuti con un tempo di percorrenza medio di 15 minuti nel casodi condizioni atmosferiche favorevoli, mentre e dato da una variabile aleatoria con PDF triangolare ede compreso tra 20 e 45 minuti con un tempo di percorrenza medio di 25 minuti nel caso di condizioniatmosferiche sfavorevoli.

<C> Determinare la PDF della variabile aleatoria che restituisce il tempo di percorrenza in condizioni fa-vorevoli.

<D> Determinare la PDF della variabile aleatoria che restituisce il tempo di percorrenza in condizioni sfa-vorevoli.

<E> Supponendo che la probabilita che le condizioni atmosferiche siano favorevoli sia del 60%, determinarela PDF della variabile aleatoria che definisce il tempo di percorrenza.




Si considerino i piani Π1 di equazione z = ax e Π2 di equazione z = (−1/a)x , a > 0, e il cilindro C diequazione x2 + y2 − x = 0

<A> Determinare il volume del solido delimitato dai due piani e dal cilindro al variare di a

 Determinare, al variare di a il massimo ed il minimo del volume trovato al punto precedente.Si supponga di ripetere una scommessa all’infinito e sia p = 0.1 la propabilita di vincere la scommessa.

Si supponga inoltre che il costo della scommessa e 1 e la vincita e V . Si gioca fino a che non si vince unavolta.

<C> Determinare la probabilita di vincere la prima scommessa al tentativo n.

<D> Determinare la vincita netta ( Vincita - costo delle scommesse fatte) nel caso si vinca al tentativo n

<E> Determinare la vincita media e trovare V in modo che la vincita media sia positiva.(puo essere utile tenere conto che

∑+∞n=1 nq

n−1 = 1/(1− q)2

<F> Supponendo la media nulla stabilire entro quale tentativo deve avvenire la vincita affinche si guadagni.





f(x, y) = |x− y|(y + x)

<A> Studiare continuita e differenziabilita di f

 Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 1)

<C> Studiare massimi e minimi di f sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1

<D> Calcolare ∫C

f(x, y)dxdy

dove C e il cerchio di centro l’origine e raggio 1Consideriamo due dadi uno bianco ed uno nero e supponiamo che ogni faccia del dado bianco esca con

probabilita 1/6 mentre la probabilita di ottenere un pari, lanciando il dado nero e il doppio di quella diottenere un dispari.

<E> Determinare la probabilita di ottenere un pari o un dispari lanciando il dado nero.

<F> Si sceglie un dado (la scelta e equiprobabile) e lo si lancia; calcolare la probabilita che esca 2

<G> Si sceglie un dado (la scelta e equiprobabile) e lo si lancia; calcolare la probabilita che esca 1

<H> Si sceglie un dado (la sceltae equiprobabile) e lo si lancia ottenendo 6. Calcolare la probabilita che sisia scelto il dado nero.

 Si sceglie (la sceltae equiprobabile) un dado e lo si lancia 3 volte ottenendo 6, 5, 4. Calcolare la probabilitache si sia scelto il dado nero.





f(x, y) = 2y3 + 6x2y + 3x2 − 3y2

e la figura seguente

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

−−−−−+

+++++++++++

++++++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

−

−

−

−

−

+

+

y = −1/2

y = 3/2

x = −1 x = 1

x2 + y2 ≤ y

y =√3/2

2in cui e evidenziato il segno che f assume nei punti delle rette y = −1/2, y = 0, y = 3/2 , x = 1, x = −1e sulla circonferenza di equazione x2 + y2 − y = 0

La parte tratteggiata indica l’insieme in cui fx > 0 mentre la parte colorata indica l’insieme in cui fy < 0

<A> -[15] Disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f(x, y) = 0

 -[10] Verificare le affermazioni descritte nella figura che sono state usate per disegnare l’insieme dei puntidel piano tali che f(x, y) = 0

<C> - [2] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[1] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> - [7] Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 0).

<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di equazione x2 + y2 − y ≤ 0

<G> -[3] Calcolare se esiste il limx,y)→+∞ f(x, y)

<H> -[8] Calcolare le derivate direzionali di g(x, y) = max{f(x, y), 0} in (0, 0).





y(t) = 2

∫ +∞

−∞e−x

2+xtdx

<A> -[4] Calcolare la derivata y(t) di y

 -[4] Integrare per parti y ed esprimere y in funzione di y

<C> -[4] Determinare y

<D> - [10] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) , z ≥ x , z ≥ y}

<E> - [12] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) ≤ 1 , z ≥ x , z ≥ y}

<F> - [8] Calcolare l’area diD = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ}

<G> - [8] Calcolare l’area di

D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ , ρ ≤ 1}

<H> - [8] Calcolare∫D

1

(√x2+y2)α

dxdy dove

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

 - [8] Calcolare∫D

1

(√x2+y2)α

dxdy dove

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}




Partendo da A si puo arrivare in B utilizzando un mezzo di trasporto.- la frequenza media delle partenze e una variabile aleatoria con PDF di Poisson di media 6 partenze

all’ora.- il tempo di percorrenza e dato da una variabile aleatoria triangolare con moda 30 minuti nulla fuori

dell’intervallo [28, 32]

<A> -[4] Calcolare il tempo medio di attesa del mezzo

 -[4] Calcolare il tempo medio di percorrenza.

<C> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria T che restituisce il tempo di attesa del mezzo.

<D> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria τ che restituisce il tempo di percorrenza.

<E> -[4] Determinare la media del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..

<F> -[4] Determinare la varianza del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..

<G> -[4] Determinare la PDF del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.




Sia

f(x, y) =

{x2 + |x| y2 > |x|x2 + y2 y2 < |x|

<A> -[] Studiare la continuitdi f e prolungarla per continuita ove possibile.

 -[] Studiare la derivabilita e la differenziabilita di f

<C> -[] Calcolare le derivate direzionali di f nell’origine.

<D> -[] Disegnare le curve di Livello di f

Un punto vendita necessita di disporre N pezzi di un articolo al giorno; Il tempo che intercorre tra ilmomento in cui riordina e l’arrivo dell’articolo e T giorni.

Pertanto il numero minimo di articoli necessari ad assicurare che il punto vendita non sia sprovvisto eNT .

Supponendo che N sia una variabile aleatoria triangolare di moda 5 e nulla fuori da [3, 7] e che T siaessa pure una variabile aleatoria triangolare di moda 5 giorni e nulla fuori da [4, 6]

<E> -[] Determinare il valore medio di NT

<F> -[] Determinare la varianza di NT

<G> -[] Determinare la PDF diNT

<H> -[] Determinare ν in modo che P (NT > ν) < .1 e dare una interpretazione del significato di ν




Sia

f(x, y) =

{y |y| < e−x

2

e−x2

|y| > e−x2


 -[] Studiare la derivabilita e la differenziabilita di f

<C> -[] Calcolare∫Df(x, y)dxdy dove D = {(x, y) : |y| ≤ e−x2}

<D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Un rettangolo ha i lati b ed h che sono definiti da due variabili aleatorie indipendenti uniformi su [1, 2]e [2, 3], rispettivamente.

Sia A la variabile aleatoria che definisce l’area del rettangolo.

<E> -[] Determinare il valore medio di A

<F> -[] Determinare la varianza di A

<G> -[] Determinare la PDF diA

<H> -[] Disegnare il grafico della PDF di A e determinare α in modo che P (A < α) < .1 .




Sia

f(x, y) =

{x (|y| − x2)(|x| − y2) < 0y (|y| − x2)(|x| − y2) > 0


 -[] Studiare le derivate direzionali di f nell’origine.

<C> -[] Calcolare∫Df(x, y)dxdy dove D = {(x, y) :∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1]}

<D> -[] Disegnare le curve di livello di f

Il raggio ρ di una circonferenza γ e definito da una variabile aleatoria esponenziale di media 1/2.Sia ` la variabile aleatoria che definisce la lunghezza di γ ed A la variabile aleatoria che definisce l’area

del cerchio delimitato da γ.

<E> -[] Determinare la PDF di`

<F> -[] Determinare media e varianza di `

<G> -[] Determinare la PDF di A

<H> -[] Determinare α in modo che P (A < α) < .1 .




Sia

f(x, y) = y2/2− y3/3− x ln |x| − x

<A> -[] Studiare l’esistenza di soluzioni dell’equazione f(x, y) = 0 in un intorno di (1, 0)

 -[] Disegnare il luogo dei punti del piano tali che f(x, y) = 0 in un intorno di (1, 0)

<C> -[] Determinare massimi e minimi assoluti di f(x, y) = x+y+x2 sul cubo di spigoli (1, 1, 1) e (−1,−1,−1)Si consideri una variabile aleatoria triangolare ξ di moda c e non nulla su [a, b] con 0 < a < c -[] Determinare a, b, c in modo che P (ξ > c) < .1

<E> -[] Verificare che la somma di variabili aleatorie di Poisson e una variabile aleatoria di Poisson




Sia

f(x, y) = xy

<A> -[] Determinare dove f e definita e dove e continua

 -[] Studiare la continuita o la prolungabilita per continuita di f nell’origine.

<C> -[] Stabilire se f e differenziabile nell’origine

<D> -[] Stabilire se f ammette derivate direzionali nell’origine e in caso affermativo calcolarle.Si considerino due variabili aleatorie indipendenti ξ ed η di densita uniforme su [0, 1]

<E> -[] Calcolare P (ξ > 1/2, η < 1/2)

<F> -[] Calcolare P (0 < ξ < 1/3, 1/2 < η < 1)

<G> -[] Calcolare P (ξ2 + η2 < 1)

<H> -[] Calcolare P (ξ2 + η2 <√

2)




Sia

f(x, y) = |xy(x2 − y2)|

<A> -[] Determinare dove f e definita, dove e continua e dove e derivabile.

 -[] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di centro (0, 0) e raggio 1

<C> -[] Stabilire se f e differenziabile nell’origine

<D> -[] Stabilire se f ammette derivate direzionali nell’origine e in caso affermativo calcolarle.Si consideri due variabili aleatorie indipendenti, ξ ed η , di densita triangolare su [0, 1] di moda 1 la

prima e 0 la seconda

<E> -[] Calcolare P (ξ > 1/2, η < 1/2)

<F> -[] Calcolare P (0 < ξ < 1/3, 1/2 < η < 1)

<G> -[] Calcolare P (ξ2 + η2 < 1)

<H> -[] Calcolare P (ξ2 + η2 <√

2)




Sia F (x, y, z, u) = x+ y + z + u

<A> -[] Determinare. se esiste, il punto x, y, z, u soddisfacente l’uguaglianza f(x, y, z, u) = 0 che ha massimadistanza dall’origine.

 -[] Determinare. se esiste, il punto x, y, z, u soddisfacente l’uguaglianza f(x, y, z, u) = 0 che ha minimadistanza dall’origine.Si consideri una variabile aleatoria ξ avente densita di Poisson di media 10

<C> -[] Determinare la PDF di ξ

<D> -[] Calcolare p10 = P (ξ < 10)

<E> -[] Trovare una approssimazione di p10

<F> -[] Stimare l’errore commesso nell’approssimazione del punto precedente

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Analisi Matematica 2 Prove d’Esame A.A. 2012/2017web.inge.unige.it/DidRes/Analisi/PrAmT.pdf · Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011 Prima Prova parziale 23/11/2011