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Analisis de Capacidad del Call Center de una
Entidad Financiera
Trabajo de TesisPresentado al
Departamento de Ingenierıa Industrial
por
Pablo Andres Garcıa Hurtado
Para optar al Tıtulo deIngeniero Industrial
Ingenierıa IndustrialUniversidad de los Andes
December 2003
Analisis de Capacidad del Call Center de una
Entidad Financiera
Aprobado por:
Profesor German Riano Ph.D., Asesor
Profesor Edgar Gonzales Ph.D.
Fecha de Aprobacion
II.03(2)43
RECONOCIMIENTOS
Agradecimiento a la entidad financiera que me apoyo en la elaboracion de este
proyecto con los datos y conocimiento acerca del funcionamiento del Call Center.
Agradecimiento al profesor German Riano por su contribucion durante todo
el proceso de este proyecto y al profesor Edgar Gonzales por su interes y tiempo
dedicado como jurado de tesis.
iii
II.03(2)43
TABLA DE CONTENIDO
RECONOCIMIENTOS III
LISTA DE TABLAS VII
LISTA DE FIGURAS VIII
I. INTRODUCCION 1
II. DESCRIPCION BASICA DE UN CALL CENTER 4
2.1. Call Center de solo llamadas entrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Terminologıa de servicio de un call center . . . . . . . . . . . . . . . 6
III. CASO CALL CENTER DE ENTIDAD FINANCIERA 8
3.1. Funcionamiento del call center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Problema del call center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV. DATOS 13
4.1. Tipos de datos reportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Analisis de las llamadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.1. Analisis de las llamadas entre meses . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2.2. Analisis de las llamadas por semana del mes . . . . . . . . . 17
4.2.3. Analisis de las llamadas en los dıas de la semana . . . . . . . 18
V. ARRIBOS NO ESTACIONARIOS 21
5.1. Proceso de Poisson no Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2. Analisis de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
VI. MODELOS MATEMATICOS PARA DESCRIBIR EL SISTEMA 24
6.1. Matematicas en call centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
iv
6.2. Modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2.1. Descripcion del modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2.2. Aplicacion del modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3. Modelo Erlang X (Erlang A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3.1. Descripcion del modelo Erlang X . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3.2. Aplicacion del modelo Erlang X . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VII.INCERTIDUMBRE EN LA TASA DE ARRIBOS DE LAS LLA-MADAS 38
7.1. Fuentes de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.2. Modelando la variabilidad de la tasa de los arribos . . . . . . . . . . 39
7.2.1. Heurıstica Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2.2. Intervalo de Confianza para la Tasa de Arribos . . . . . . . . 42
VIII.RECOMENDACIONES 47
IX. CONCLUSIONES 49
Apendice A. — ANALISIS DE COEFICIENTE DE VARIACION 51
Apendice B. — ESTIMADORES 52
Apendice C. — MODELO ERLANG C 54
Apendice D. — MODELO ERLANG X 57
Apendice E. — R Y VAR(R) PARA CADA INTERVALO 60
Apendice F. — HEURISTICA GRASSMANN 62
Apendice G. — COMPARACION ENTRE INTERVALOS DE CON-FIANZA 64
Apendice H. — AGENTES EN INTERVALO DE CONFIANZA SU-PERIOR 66
Apendice I. — ERLANG X PARA EXCEL 68
v
REFERENCIAS 70
vi
II.03(2)43
LISTA DE TABLAS
1. Terminologıa de Call Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Datos para un dıa particular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Anova: Todos los meses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Anova: Meses Sin Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002 . . . . . . 17
5. Anova para semanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Tabla de Desviacion Estandar de las semanas . . . . . . . . . . . . . 18
7. Anova para dıas de la semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8. Anova de dıas de la semana sin incluir meses Junio 02, Julio 02 yDiciembre 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9. Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio. Los datosson para los intervalos de los dıas Lunes y Miercoles. . . . . . . . . . 29
10. R y Var (R) para cada intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11. Costos por tipo de contrato. No incluye entrenamiento . . . . . . . . 48
12. Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio (Martes -Jueves - Viernes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13. R y Var (R) para cada intervalo (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . 61
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II.03(2)43
LISTA DE FIGURAS
1. Funcionamiento area Servicio al Cliente . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Comportamiento de las llamadas en los meses . . . . . . . . . . . . . 16
3. Comportamiento de las llamadas en las semanas . . . . . . . . . . . . 17
4. Llamadas por dıa de la semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. cv2 calculado vs 1/media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6. Sistema Operacional de un Call Center de llamadas de entrada (to-mado de Gans, Koole y Mandelbaum [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7. Agentes Erlang C vs agentes instalados . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8. Validacion pronostico modelo Erlang C: TSF y ASA . . . . . . . . . . 31
9. Comparacion de agentes instalado con modelo Erlang C y X . . . . . 35
10. Validacion pronostico modelo Erlang X: Abandono Real vs AbandonoErlang X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11. Modelos Erlang como herramienta Gerencial . . . . . . . . . . . . . . 37
12. Agentes calculados por heurıstica Grassmann . . . . . . . . . . . . . . 42
13. Comparacion entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalosuperior de confianza con Varianza Real . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14. Comparacion Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann. 46
15. cv2 calculado vs 1/media para Martes - Miercoles - Jueves . . . . . . 51
16. Agentes Erlang C vs agentes instalados (Martes - Jueves - Viernes) . 55
17. Validacion pronostico modelo Erlang C: TSF y ASA (Martes - Jueves- Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
18. Comparacion de agentes instalado con modelo Erlang C y X (Martes- Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii
19. Validacion pronostico modelo Erlang X: Abandono Real vs AbandonoErlang X (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
20. Agentes calculados por heurıstica Grassmann (Martes - Jueves - Vier-nes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
21. Comparacion entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalosuperior de confianza con Varianza Real (Martes - Jueves - Viernes) . 65
22. Comparacion Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann(Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ix
II.03(2)43
Capıtulo I
INTRODUCCION
En las ultimas dos decadas, el concepto de servicio en las empresas ha ido cam-
biando poco a poco hasta el punto de volverse uno de los focos mas importantes
para determinar la calidad del producto o servicio ofrecido. Luego de este tiempo de
evolucion del concepto de servicio, en la actualidad es una fuerte herramienta que
puede determinar la decision tomada por el consumidor.
El deseo de las empresas de acercarse a sus clientes las ha obligado a crear
herramientas para esto. Un acercamiento exitoso ha sido la utilizacion de lıneas
de contacto, comunmente llamadas “Call Center”, lo cual les ha permitido no solo
conocer mejor a sus clientes, sino tener un canal mas de venta hacia ellos.
En la actualidad, call centers son una parte integral de muchos negocios, y tienen
gran importancia en el crecimiento economico (Gans, Koole y Mandelbaum [1]), son
la fuente principal de comunicacion con los clientes. Las firmas, han hecho gran-
des inversiones de infraestructura necesaria y poder ofrecer un buen servicio a sus
clientes. Con el tiempo se ha ido incrementando el uso de call centers y la tecno-
logıa de los mismos. Al igual, diferentes estudios para profundizar su conocimiento
han ido surgiendo por parte de diferentes disciplinas desde Matematicas, Investiga-
cion de Operaciones, Tecnologıa, Gerencia de Recurso Humano, hasta Psicologıa y
Sociologıa (Gans, Koole y Mandelbaum [1]).
En Colombia, el concepto de call centers lleva poco tiempo, hasta ahora las em-
presas han empezado a utilizar esta fuerte herramienta de servicio. La costumbre
colombiana esta en pleno cambio en torno a los call centers. Lıneas de emergencia
y algunos bancos han sido pioneros en la utilizacion de call centers para recepcion
1
II.03(2)43
de llamadas y de venta hacia sus clientes respectivamente. Por otra parte, empresas
de telecomunicaciones estan empezando a ofrecer el servicio de consultorıa en tec-
nologıa y capacitacion de recurso tanto en la gerencia como agentes de servicio. Es
un mercado hasta ahora empezando.
El principal problema que tienen que afrontar los gerentes de call centers es el
servicio que van a ofrecer a sus clientes a un bajo costo, tener recurso ocioso lo harıa
muy costoso pero una baja capacidad instalada conducirıa a un servicio deficiente,
ya que los clientes instintivamente esperan un nivel mınimo de servicio (tiempo de
respuesta y duracion de la llamada o solucion del problema en linea). Por lo tanto el
numero de recurso instalado es una variable importante para determinar la calidad
del servicio ofrecido. Gran variedad de estudios se han hecho al respecto buscando
modelar el sistema. Entre estos estudios, los procesos estocasticos han sido muy
utiles para modelar call centers.
Lo que busca esta investigacion es hacer un estudio de la capacidad requeri-
da en un call center determinado, para este fin se escogio como caso de estudio el
call center de una entidad bancaria. A lo largo del documento se estudiara diferen-
tes modelos matematicos y sus implicaciones de uso. En los primeros capıtulos se
hara un breve descripcion del funcionamiento de un call center, en la seccion 2.2
se mirara conceptos basicos de servicio en un call center y en la seccion 3.1 se des-
cribira el call center que se tomo como caso de estudio. Luego en la seccion 4.2 se
analizara y determinara los datos del call center con los cuales se haran los estudios
posteriores. En las secciones 5.1 y 5.2 se estudiara con mayor detalle el supuesto que
se hace en algunos modelos matematicos sobre el comportamiento de la llegada de
las llamadas al call center. Luego veremos en las secciones 6.2 y 6.3 dos formas de
modelar un call center de acuerdo a sus requerimientos de servicio. Posteriormente,
se estudiara diferentes fuentes de incertidumbre en las llegada de las llamadas en la
seccion 7.1 y se haran propuestas para manejarla en las seccion 7.2. Finalmente se
propondra una recomendacion para determinar el numero de recurso instalado en el
call center y sus implicaciones de uso.
Por otra parte, se quiere mostrar la interesante aplicacion de diferentes modelos
2
II.03(2)43
matematicos y teorıa de colas a la realidad, incentivando de esta manera a la in-
vestigacion sobre call centers. A traves de este proyecto surgiran nuevos temas de
interes para futuras investigaciones, dejando las puertas abiertas en este campo que
apenas comienza.
3
II.03(2)43
Capıtulo II
DESCRIPCION BASICA DE UN CALL
CENTER
Los call centers son una parte importante para diferentes negocios, para el caso
de companıas como aerolıneas, hoteles o bancos, call centers proveen una union
importante entre el cliente y el proveedor de servicio (Koole [5]). Los call centers
constituyen un grupo de personas, computadores y equipos de telecomunicacion
lo cual permite ofrecer un servicio telefonico. Comunmente cada persona esta en
un cubıculo con diademas de audıfonos y microfonos al frente de una pantalla de
computador para facilidad de atencion de la llamada de los clientes (Gans, Koole y
Mandelbaum [1]).
Segun las necesidades de la companıa diferentes sistemas de call centers pueden
existir. Para el caso de una linea de emergencia o compras por catalogo las llamadas
son generadas por parte de los clientes, diferente al caso de un sistema de televenta
o servicios de encuestas que genera llamadas de salida. Al igual, puede existir call
centers que sean una combinacion de los dos sistemas lo cual los hace mas complejos.
A pesar de estas dos grandes clasificaciones, los call centers pueden volverse cada vez
mas sofisticados todavıa. Si se tiene una clasificacion de tipo de llamada como en el
caso de un call center de una empresa de tarjetas de credito donde los clientes son
clasificados segun la capacidad del credito, el analisis es mucho mas difıcil. Similar
es el caso cuando se tiene clasificado tambien a los agentes de servicio de acuerdo
a las habilidades y conocimientos que estos tengan, y que estos diferentes grupos
de agentes tambien se puedan cruzar entre si, es decir, que un solo agentes tenga
varias habilidades, como el caso si es necesario diferentes idiomas o conocimiento de
4
II.03(2)43
promociones especiales (Whitt [9]), concepto que en la terminologıa de call centers
se conoce como “skill- based route” (Koole [5]). En la actualidad, los call centers se
han unido con otras herramientas de servicio como la gerencia del correo electroni-
co “E-mail Management” u otras aplicaciones de multimedia, lo cual los hace mas
complejos todavıa para analizar.
El caso de interes de esta investigacion es el call center de solo llamadas entrantes,
es decir, que los clientes son los que generan las llamadas. Los demas casos pueden
ser objeto para futuras investigaciones en el campo.
2.1. Call Center de solo llamadas entrantes
Segun los requerimientos del negocio, un call center puede funcionar durante
horas laborales o las 24 horas del dıa y siete dıas a la semana. En los call centers
de solo llamadas entrantes, luego de marcar un numero telefonico especıfico, es
comun que el primer encuentro que tengan los clientes sea con un Sistema de Audio
Respuesta (IVR: Interactive Voice Response) el cual recibe informacion por parte del
cliente, por medio del teclado telefonico o por voz, como numero de cuenta bancaria
o codigo de seguridad y el tipo de servicio deseado (Gans, Koole y Mandelbaum [1]).
El IVR puede responder ciertas inquietudes o solicitudes que solo requieren revisar
un sistema y algunos datos del cliente, como transferencias de dinero. Puede que el
servicio termine en el IVR o se pida atencion de un agente especializado, si es el caso,
la llamada entra a un sistema de distribucion de llamadas (ACD: Automatic Call
Distributor) para enrutar al cliente a un representante de servicio (Whitt [9]). Los
ACD son altamente tecnologicos, puede ser programado para enrutar las llamadas
bajo muchos criterios (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). El ACD esta en permanente
monitoreo de la llamadas, sabe cuales estan con un agente de servicio y cuales
esta esperando a ser atendidas. Inclusive puede poner musica de espera o mensajes
del tiempo estimado en espera para las llamadas que esten en cola (Ross [8]); en este
punto, el cliente puede tomar la decision de seguir en cola o retirarse del sistema
lo cual ocasionarıa un abandono. Tan pronto un agente este disponible, el ACD
enruta la primera llamada al agente de servicio. Segun la tecnologıa del call center,
5
II.03(2)43
el agente de servicio puede tener varias llamadas a la vez, de esta forma el tiempo
en cola puede disminuir pero a la vez el servicio prestado puede desmejorar por
tener en espera a los clientes despues de haber recibido la llamada. El ACD sigue
monitoreando hasta que la llamada salga del sistema, es decir, luego que la atencion
por parte del agente termine.
Por otro lado, los agentes se conectan al sistema de acuerdo a algunos parametros
como idioma, conocimiento de un tema especıfico o sin ningun tipo de clasificacion el
cual es el caso cuando los agentes saben de todos los temas en cuestion. La mayorıa de
estas llamadas son grabadas para retroalimentacion del servicio prestado (Ross [8])
o por seguridad como el caso de una entidad financiera.
2.2. Terminologıa de servicio de un call center
Dentro del “mundo” de los call centers ya existe un lenguaje que es entendido por
todas las personas que hacen parte de este. Algunos conceptos tecnologicos fueron
mencionados y explicados en al seccion 2.1, otros conceptos ya se han mencionado
sin hacer una explicacion oficial.
Para entender claramente las posteriores secciones es necesario explicar ciertos
terminos o indicadores que determinan el servicio del call center. Tambien seran
explicados nombres comunes que se utilizan en los sistemas de reportes. Todo esto
para estar totalmente familiarizados con los terminos que se utilizaran en adelante.
El la tabla. 1 se encuentran los terminos basicos en call centers y que seran utilizados
a lo largo de este estudio.
Los concepto de TSF y ASA son muy importantes puesto que cada uno de ellos
puede determinar el modelo del sistema a utilizar y por consiguiente definir el numero
de agentes requeridos para responder las llamadas. Cada call center define un servicio
a ofrecer a sus clientes, por ejemplo que el 95 % de las llamadas sean contestadas en
15 segundos, para este caso 95 % es el TSF y 15 segundos es el tiempo de servicio. De
acuerdo a estos parametros existen modelos que pueden determinar cuantos agentes
son requeridos para satisfacer la demanda, estos modelos seran analizados en la
seccion 6.2 y 6.3. Por medio del ASA se puede definir el numero de recurso instalado
si se ajusta un valor de este, por ejemplo 15 segundos. Es importante aclarar que el
6
II.03(2)43
NOMBRE DESCRIPCIONIVR “Interactive Voice Response” Sistema Audio
RespuestaACD Automatic call distributor
CRM Customer Relationship Management
CSR “Customer Service Representative” Agente deServicio
ASA “Average Speed Answer” Tiempo promedio paracontestar la llamada
TSF “Time Service Factor”% de llamadas contestadasantes de un tiempo especıfico
AHT “Average Hold Time”Tiempo en que el agente no estadisponible
Tiempo de Servicio Indicador de tiempo antes que la llamada sea contestada.Define el TSF
% Aband % de llamadas abandonadas
Tiempo Abandono Tiempo promedio de las llamadas abandonadas
Tabla 1: Terminologıa de Call Centers
tiempo de servicio no es el mismo que el ASA.
Otro termino importante es el tiempo en que el agente no esta disponible AHT,
para este caso no solo se tiene en cuenta el tiempo que dura la llamada, en la mayorıa
de ocasiones cuando para el cliente la llamada ha terminado, el agente de servicio
todavıa tiene trabajo pendiente que esta llamada le ha generado, como por ejemplo
el envıo de un fax o el registro de la llamada, tareas que le impidan contestar otras
llamadas. Para esto, los telefonos de los call center tienen la opcion de poner en
wrap-up el telefono, lo cual significa que todavıa no estan disponibles para recibir
otro cliente y que se esta trabajando en la llamada anterior. El tiempo post-llamada
“wrap-up time” se suma al tiempo de atencion y definen lo que es el AHT. Es
importante tener en cuenta esto a la hora de hacer inferencias sobre el sistema,
muchas veces el wrap-up time puede llegar a ser igual al tiempo de llamada lo cual
representa el doble de tiempo que el agente no esta disponible.
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II.03(2)43
Capıtulo III
CASO CALL CENTER DE ENTIDAD
FINANCIERA
El area de servicio al cliente de la entidad financiera a estudiar es la encargada de
responder a todas las inquietudes de los clientes corporativos que sean despues
de realizar una operacion, ya sea de forma electronica o manual.
Costa de cuatro grandes areas que atienden a los clientes:
Call Center Principal Por donde entran absolutamente todas las solicitudes de
los clientes. En este se encuentra otro Call Center mas pequeno que se encarga
de manejar todas las llamadas referentes a productos electronicos del banco.
Area de Investigacion Encargada de todas los reclamos de los clientes que no
se pudieron solucionar en lınea y necesitan una investigacion para poder dar
respuesta a la inquietud. Tambien tienen a cargo buscar mejoras de problemas
repetitivos.
Servicio VIP Area que se encarga de manejar los clientes que mas utilidades le
generan al banco. En esta se encuentra una subarea de venta de impuestos,
divisas y CDT’s.
Area de Datos Area que se encarga de manejar todas las estadistas pertinentes
para el negocio: estandares de servicio, capacidad instalada, indicadores de
gestion, etc.
La forma como entre estas areas se interactua se puede detallar en la figura 1:
8
II.03(2)43
Figura 1: Funcionamiento area Servicio al Cliente
3.1. Funcionamiento del call center
La recepcion de las inquietudes es por tres canales:
Llamada telefonica
Correo Electronico
Fax o Carta
Las llamadas telefonicas son atendidas por un Call Center de numero telefonico
unico. Todas las llamadas entran a un sistema de audio respuesta (IVR). La cantidad
de troncales es mucho mayor que las posibles llamadas que puedan recibir, en caso
de mas llamadas que las troncales, lo cual no es muy factible, existe un sistema
de contingencia del doble de troncales que es el call center de banca personal ,
por lo tanto no existe senal de ocupado para los clientes. En el IVR se encuentran
respuestas a algunas solicitudes (saldos, movimientos de las cuentas). Si la solicitud
9
II.03(2)43
no es respondida por el sistema, la llamada es enviada al Call Center a un agente
capacitado para responder la inquietud. Si la respuesta a la pregunta no se puede
responder en lınea, es decir, requiere de una investigacion previa, se le dice al cliente
una fecha de respuesta y un registro de la investigacion.
Para propositos de este estudio es de interes la primera area, Call Center Prin-
cipal.
El paso de la llamada desde el sistema audio respuesta al call center es automati-
co, la llamada es enviada al agente que se encuentre disponible aleatoreamente. Si
todos los agentes estan ocupados, la llamada pasa a una cola de espera hasta que
haya agentes disponibles. Al ser automatico el paso de la llamada, no es necesario
contestar u oprimir algun boton para recibir la llamada.
Cada parte del proceso tiene mediciones de acuerdo a las labores que se realizan,
para este caso de analisis es de vital importancia las que competen a indicadores de
Call Centers. En el call center hay indicadores de gestion importantes que determi-
nan el buen funcionamiento del area. Existen dos grandes indicadores:
Porcentaje de llamadas contestadas antes de 15 segundos (tres timbres)
Porcentaje de llamadas abandonadas
Cada uno de estos indicadores tiene sus metas respectivas. El porcentaje de llamadas
contestadas antes de 15 segundos, llamado TSF (Time Service Factor), debe ser
mayor a 95 %. El porcentaje de llamadas abandonadas debe ser menor a 2 %. Esto
se mide diariamente y acumulado mensual.
Estos indicadores son medidos continuamente y son los mas importantes no solo
en el ambito local sino tambien a escala internacional. La razon de esto es que la
entidad financiera estudiada es una multinacional.
Otros indicadores importantes, que se resumen en tiempos de trabajo son los
siguientes:
Tiempo Promedio de Contestar
Tiempo Promedio de Llamada
10
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Tiempo de Trabajo luego de terminar una Llamada
Tiempo Total de Conexion
Al igual que en cualquier empresa, siempre se busca tener la cantidad de personas
mınima para cumplir con los objetivos propuestos del negocio; esta no es la excep-
cion. En el call center se busca tener la cantidad de personas justas para cumplir
con los indicadores. Este no solo es una presion de la vicepresidencia de Servicio
al Cliente si no de la presidencia de toda la entidad en Colombia. Dado que es un
tema de mucho cuidado, puesto que no solo implica cumplir con los indicadores
sino tambien entrenamiento de las personas que contestan las llamadas, siempre se
esta midiendo constantemente la cantidad de personas necesarias por segmentos del
dıa.
3.2. Problema del call center
El problema que presenta el Call Center es la cantidad de personas requeridas
para contestar su flujo de llamadas. Hasta ahora ha utilizado la herramienta Erlang
C pero no ha sido satisfactoria. Es decir, el modelo exige un numero de personas
que algunas veces no alcanza a cumplir con los indicadores que ellos propusieron.
Por lo tanto han tenido que recurrir a pruebas de ensayo y error para ver cuantas
personas se requieren. Por esto, se ha llegado a un conflicto con la gerencia puesto
que no hay un soporte fuerte para definir el numero de personas requeridas en el
sistema.
La gerencia necesita tener un metodo para definir la cantidad de personas reque-
ridas que no sea por ensayo y error, es decir, a la hora de requerir recurso, que haya
un soporte lo suficientemente fuerte para poder contratar, o vice versa, sacar gente,
pero que no sea porque se cree que se necesita. Por otro lado, quieren que el numero
de personas requeridas que no solo sea decidido por un indicador, el TSF, que es
el caso de Erlang C, sino que tambien que se tenga en cuenta el % de abandono el
cual es un indicador de mucha importancia para ellos. Dentro de poco tiempo el
call center ha pensado crecer y se quiere tener una buena herramienta para toma de
decisiones.
11
II.03(2)43
Tambien es importante tener en cuenta que no se puede estar contratando y
sacando gente todo el tiempo, por lo tanto es importante que el numero de personas
que se seleccione tener sea la necesaria para un plazo largo de trabajo (al menos 6
meses).
Si se tiene un modelo mas preciso para calcular las personas requeridas, y se tiene
un metodo de pronosticar los dıas y meses, el desempeno del Call Center serıa muy
bueno, y los objetivos del negocio tanto del desempeno como gerenciales (mınimo
numero de personas) seran cumplidos satisfactoriamente.
12
II.03(2)43
Capıtulo IV
DATOS
Para cualquier tipo de estudio que se quiera hacer es muy importante la recolec-
cion de datos. Decidir que datos son los necesarios segun las fuentes de los mismos, y
la cantidad de estos son tareas muy importantes antes de empezar a hacer el estudio.
Para el caso de call centers, existe la tecnologıa necesaria para hacer la captura
de los datos. Dentro de la misma, existen sistemas de reportes que son a los que
el call center tiene acceso. En la seccion 2.1 se vio el funcionamiento del ACD en
el sistema, que guarda absolutamente todos los movimientos de las llamadas. Esto
queda archivado en una base de datos y de esta es que se toman los datos para hacer
los reportes. No siempre esta base es accesible para el call center, solo los reportes
que esta genera. Este es el caso del call center de la entidad financiera en estudio.
Los tipos de datos recolectados se explicaran en la siguiente seccion.
4.1. Tipos de datos reportados
Los datos que se pueden obtener del call center de la entidad financiera son
limitados. Estos se generan en intervalos de tiempo de media hora. Para el caso de
cantidad de llamadas, ya sea contestadas o abandonadas, se tienen datos totales.
Para el caso de tiempos, es decir, tiempos de atencion, tiempo requerido despues de
llamada, tiempo de contestar y tiempo de abandono son promedios de cada intervalo.
El reporte tambien tiene otros campos que pueden ser utiles para validar los modelos
propuestos. Entre estos datos se tienen la cantidad de agentes promedio por cada
intervalo de tiempo y el porcentaje de llamadas contestadas antes de 15 segundos
para cada media hora.
13
II.03(2)43
Intervalo CALLS ASA ABAND ABT ATT WUT STAFF TSF08:00 21 0:07 0 0:00 2:58 0:00 5,3 8608:30 29 0:02 0 0:00 2:38 10:37 6,9 10009:00 33 0:02 0 0:00 3:02 4:13 7 10009:30 18 0:02 0 0:00 3:20 8:52 7 10010:00 30 0:02 1 0:00 5:05 3:20 7 9710:30 23 0:05 0 0:00 4:05 2:32 7 9611:00 16 0:02 0 0:00 3:37 8:10 6 10011:30 24 0:02 0 0:00 2:53 4:19 6 10012:00 16 0:06 2 0:15 2:50 15:00 5 8312:30 8 0:02 1 0:04 4:01 3:51 3 8913:00 14 0:02 0 0:00 2:31 7:34 4,2 10013:30 5 0:02 0 0:00 1:11 0:00 3,7 10014:00 11 0:02 1 0:14 2:19 13:50 4,7 9214:30 13 0:19 3 1:06 4:25 21:11 4 6315:00 20 1:09 1 0:56 4:55 10:56 3,8 4815:30 10 0:37 3 0:38 4:51 11:44 3,4 4616:00 13 0:17 0 0:00 4:05 29:35 4 7716:30 11 0:16 0 0:00 5:12 20:55 4 8217:00 16 0:09 1 0:14 1:59 17:01 4 8217:30 9 0:03 0 0:00 3:47 0:00 2,8 100
Tabla 2: Datos para un dıa particular.
Se tiene un ano de datos, desde Junio 2002 hasta Julio 2003. Para cada mes
esta la informacion de los dıas y cada dıa esta dividido en segmentos de media hora,
desde las 8 : 00am hasta las 6 : 00pm. Un ejemplo de los datos se puede ver en la
tabla 2.
Las abreviaturas son las siguientes:
CALLS Llamadas contestadas
ASA Tiempo promedio para ser constada la llamada
ABAND Llamadas abandonadas
ABT Tiempo promedio de abandonos
ATT Tiempo promedio de atencion
14
II.03(2)43
WUT Tiempo total no disponible despues de la llamada
STAFF Personas promedio conectadas
TSF Porcentaje de llamadas contestadas
4.2. Analisis de las llamadas
En esta primera parte nos interesa conocer el comportamiento de las llamadas a
lo largo del ano, mes, semana y dıa; definir picos de llamadas y valles a su vez. Para
esto se hizo recoleccion de datos de un ano, desde Junio 2002 hasta Julio 2003. Los
datos estan totalizados mensualmente, diariamente y detallados hasta intervalos de
cada media hora en el dıa. En el analisis las llamadas totales tienen en cuenta las
llamadas contestadas (exitosas) y las llamadas abandonadas, es decir, que no fueron
contestadas por ningun agente. Los resultados se presentan a continuacion.
4.2.1. Analisis de las llamadas entre meses
El comportamiento de las llamadas durante el ano es muy similar en todos los
meses. Esto lo podemos mirar observando la figura 2 de llamadas promedio por dıa.
En la figura 2 podemos observar que los meses de Junio 2002 y Julio 2002 son picos.
Esto se debe a que en el mes de mayo se instalo una nueva tecnologıa en el sistema
audio respuesta, adicionando nuevas funciones. Era necesario “educar” al cliente
para que empezara a utilizar los servicios ofrecidos por el sistema y no recurrir a un
agente de servicio. De esta forma se disminuyeron las llamadas al call center como
se puede ver en el mes de Agosto 2002 en adelante. El comportamiento del mes de
Diciembre se puede asociar a que las empresas tienen vacaciones colectivas por lo
tanto las llamadas se reducen considerablemente.
Es necesario realizar pruebas de soporte para confirmar que el volumen de llama-
das es igual para todos los meses. Para esto nos vamos a ayudar de la herramienta
Anova para mirar si las medias de todos los meses tienen un igual valor. Los resul-
tados se pueden ver en la tabla 3.
Segun el resultado, existe al menos un mes el cual tiene un valor diferente de
los demas meses. Este resultado era de esperar por los picos encontrados en Junio
15
II.03(2)43
Promedio diario mensual ponderado
0
50100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jun0
2
Jul0
2
Aug
02
Sep
02
Oct
02
Nov
02
Dec
02
Jan0
3
Feb
03
Mar
03
Apr
03
May
03
Jun0
3
Jul0
3
mes
Lla
mad
as d
iari
as p
rom
edio
Figura 2: Comportamiento de las llamadas en los meses
ANOVA: Todos los MesesSource of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 284419,382 13 21878,414 5,43 0 1,757Within Groups 1079895,33 268 4029,46
Total 1364314,713 281
Tabla 3: Anova: Todos los meses
y Julio 2002 y las pocas llamadas del mes de diciembre 2002. Sin tener en cuenta
estos meses los resultados se pueden observar en la tabla 4. De acuerdo al analisis
de varianza, los resultados son los esperados, es decir, no se rechaza la hipotesis nula
que el valor de las medias de las llamadas de los meses es la misma para un 5% y
10% de confiabilidad.
Este resultado es muy bueno dado que al no haber un aumento de llamadas
considerable en cada mes, la cantidad de agentes necesarios puede ser la misma
durante todo el ano. En terminos de contratacion de recurso humano es un buen
resultado.
16
II.03(2)43
ANOVA: Sin Junio 2002,Julio 2002 y Diciembre 2002Source of Variation SS df MS F F crit 5% F crit 10%
Between Groups 44329,225 10 4432,922 1,5 1,876 1,629Within Groups 617587,622 211 2926,956
Total 661916,847 221
Tabla 4: Anova: Meses Sin Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002
Analisis Llamadas por Semana
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Semana1 Semana2 Semana3 Semana4
Pro
med
io L
lam
adas
po
r D
ia
Figura 3: Comportamiento de las llamadas en las semanas
4.2.2. Analisis de las llamadas por semana del mes
Ahora analizaremos lo mismo que lo anterior pero por semanas en lugar de meses,
para mirar el comportamiento de las llamadas dentro de los meses, analizando las
semanas y los dıas de la semana.
Mirando la figura 3, existe un aumento en la cuarta semana de 45 llamadas
diarias aproximadamente. Este es un numero significativo para el call center el cual
puede afectar la cantidad de personas necesarias. Para esto tambien haremos un
analisis de varianza para el comportamiento de las llamadas en las semanas.
Segun la tabla 5, no hay diferencia estadıstica suficiente para decir que si hay
17
II.03(2)43
ANOVASource of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 16826,55 3 5608,85 1 0,384 2,798Within Groups 259067,649 48 5397,243
Total 275894,199 51
Tabla 5: Anova para semanas
SUMMARYGroups Count Sum Average Variance Sd. Deviation
Semana1 13 4749,8 365,369 3219,566 56,741Semana2 13 4504,2 346,477 2928,297 54,114Semana3 13 4463,4 343,338 475,223 21,8Semana4 13 5049,6 388,431 14965,89 122,335
Tabla 6: Tabla de Desviacion Estandar de las semanas
diferencia entre las semanas, un resultado diferente al que se espera. Por lo visto, hay
una alta variacion dentro de cada tratamiento. Esto lo podemos confirmar viendo la
tabla 6 de la desviacion estandar de los datos. Vemos entonces que la desviacion en
las semanas es alta sin tener cuenta la tercera semana, lo cual demuestra la diferencia
que hay en las llamadas en cada semana. Tambien podemos atribuir esta varianza
a que esta agrupacion por semanas es manual, lo cual aumenta la variacion en los
datos. De esta forma no podemos concluir que hay diferencia entre las semanas,
reciben en promedio el mismo numero de llamadas.
Despues de este resultado entre las semanas, y viendo que no son un factor de
variacion en el estudio posterior, es de interes mirar si en los dıas de la semana
encontramos diferencias significativas.
4.2.3. Analisis de las llamadas en los dıas de la semana
Para este caso haremos el mismo tipo de estudio que para el caso de los meses
y las semanas. Observando la figura 4 se puede decir que el numero de llamadas
entrantes es similar entre todos los dıas de la semana, teniendo una diferencia entre
el maximo y el mınimo de 51 llamadas aproximadamente. Para poder tener en
cuenta este supuesto de igualdad es necesario validarlo, para lo cual vamos a utilizar
18
II.03(2)43
Comportamiento dias de la semana
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
lunes martes miercoles jueves viernes
Dias
Pro
med
io l
lam
adas
po
r d
ia
Figura 4: Llamadas por dıa de la semana
ANOVA: todos los mesesSource of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 83504,133 4 20876,033 4,8 0,001 2,404Within Groups 1204345,81 276 4363,572
Total 1287849,943 280
Tabla 7: Anova para dıas de la semana
la misma herramienta que en los demas analisis.
Segun los resultados en la tabla 7, si hay una diferencia entre la cantidad de lla-
madas entrantes en los dıas. Un resultado que no esperabamos obtener de acuerdo
a la grafica anterior. Para analizar que otras variaciones pueden causar este efecto,
miramos si los dıas se comportan igual sin incluir los datos de los meses de Junio
2002, Julio 2002 y Diciembre 2002, los cuales, hemos visto que son picos y valles res-
pectivamente en los datos y son un factor de varianza. Sin estos datos los resultados
se pueden observar en la tabla 8.
De acuerdo a la tabla 8, vemos que a pesar de la variacion producida por estos
meses no incluidos, los dıas siguen siendo diferentes entre ellos. Esta variacion se
puede deber a varios factores, por ejemplo los dıas martes son diferentes en una
semana con lunes festivo a una en la que no. Ademas es comun que los clientes
19
II.03(2)43
ANOVA: Sin Jun02, Jul02, Dic02Source of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 45094,579 4 11273,645 4 0,004 2,413Within Groups 616156,788 216 2852,578
Total 661251,367 220
Tabla 8: Anova de dıas de la semana sin incluir meses Junio 02, Julio 02 y Diciembre 02
llamen los lunes para aclarar sus dudas sobre la informacion de la semana anterior
y hacer nuevas solicitudes las cuales pueden producir una nueva llamada el dıa
miercoles para ver como va la investigacion de su solicitud anterior, por lo cual se
puede explicar los picos de los dıas lunes y miercoles.
Los analisis que se llevaran a cabo en secciones posteriores, se realizaran con
datos que sean similares, es decir, no se tendran en cuenta los meses picos y valles,
al igual que se realizaran diferenciando entre los dıas de la semana ya que no son
similares entre ellos.
20
II.03(2)43
Capıtulo V
ARRIBOS NO ESTACIONARIOS
En la mayorıa de los casos reales no hay una llegada de entidades estacionaria.
Al contrario, los arribos cambian a lo largo del tiempo. En el caso de un restaurante,
la tasa de llegadas es diferente en la tarde que en la hora de almuerzo o en la noche.
Por lo tanto, esta no estacionalidad de los arribos presenta una fuente adicional de
variabilidad (Hall [3]). Arribos no estacionarios ocurren cuando la tasa de llegada
de entidades varıa en el tiempo.
5.1. Proceso de Poisson no Homogeneo
Un proceso de Poisson no homogeneo es una generalizacion de un proceso de
Poisson tradicional en donde los eventos ocurren aleatoriamente en el tiempo a una
tasa de λ(t) en el tiempo t (Kuhl y Wilson [6]). Los eventos estan determinados por
la funcion de densidad λ(t). La funcion acumulada esta definida por:
Λ(t) =∫ t
0λ(τ) dτ
Para que un proceso de conteo sea un proceso de Poisson no estacionario debe
cumplir con los siguientes supuestos (Hall [3]):
El proceso tiene incrementos independientes
Pr[N(t + dt)−N(t)
= 0] = 1− λ(t) dt
= 1] = λ(t) dt
≥ 1] = 0
donde λ(t): tasa de arribos en el tiempo t
21
II.03(2)43
dt: diferencial de tamano del intervalo de tiempo
La probabilidad que un arribo a cualquier tiempo dependa del tiempo cuando
otra entidad arriba debe ser igual a cero.
Cada arribo debe llegar uno a uno.
Un proceso de Poisson no estacionario no tiene la propiedad que el tiempo en-
tre arribos sea una variable aleatoria exponencial. Por lo tanto, no posee tampoco
la propiedad de memoria de la variable exponencial. Cada intervalo de tiempo de
tamano dt se comporta como un proceso de Poisson.
Dentro de cada intervalo de tiempo la variacion es aleatoria, y dado que el proceso
de arribos en cualquier intervalo de tiempo tiene una distribucion Poisson (Hall [3]),
indica que la media debe ser igual a la varianza. Por lo tanto el coeficiente de
variacion debe ser igual a:
coeficiente variacion(cv) =desviacion estandar
media=
σ
λ
cv2(Poisson) =1
media=
1
λ
5.2. Analisis de los datos
Sabemos que el comportamiento de las llamadas es diferente para ciertos inter-
valos de tiempo, en este caso, intervalos de media hora (30 minutos). Mirando los
supuestos mencionados en la seccion anterior, podemos decir que se cumplen, es
decir, no hay dependencia entre la llegada de los arribos, entre llamada y llamada.
Y ademas como los canales de entrada son mas que suficientes para las llamadas
esperadas, no hay la posibilidad que la llamada no entre al sistema porque otra
llamada este en el. Por otro lado las llamadas llegan una a una, y se van ubicando
en la cola del sistema. Ası que bajo esta observacion vemos que estos supuestos de
un proceso de Poisson no Homogeneo se cumplen. Ahora nos interesa mirar como
es la variacion de los arribos de las llamadas, es decir, mirar el comportamiento del
coeficiente de variacion.
22
II.03(2)43
Lunes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8
COEFICIENTE
1/M
ED
IAViernes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
COEFICIENTE
1/M
ED
IA
Figura 5: cv2 calculado vs 1/media
Para esto calculamos un valor estimado de la media y varianza para cada intervalo
y cada dıa de la semana, y luego calculamos el valor del coeficiente de variacion y lo
comparamos con el valor teorico que esperamos. Los resultados obtenidos son algo
que no esperabamos, el comportamiento de arribos es mas variable que un proceso
de Poisson. Ejemplo de los resultados los podemos ver en la figura 5.
El comportamiento es similar para los demas dıas de la semana. En el eje de
las X se encuentra el coeficiente real elevado al cuadrado y en el eje de las Y se
encuentra el valor teorico esperado 1/λ . Se encontro entonces que el proceso es
mas variable que un proceso de Poisson, el cual es un resultado que no esperabamos
encontrar.
Los inconvenientes de esta conclusion es que ya no podemos validar que la llegada
de llamadas tiene un comportamiento Poisson, puesto que es mas variable que el
proceso; o si aceptamos este supuesto, hay que tener en claro lo que estamos pasando
por alto, la variabilidad del sistema es mayor al proceso que estamos utilizando para
modelarlo. En la seccion 7.2 hablaremos de como tratar con esta variabilidad del
sistema para la definicion de cantidad de recurso en el Call Center.
23
II.03(2)43
Capıtulo VI
MODELOS MATEMATICOS PARA
DESCRIBIR EL SISTEMA
6.1. Matematicas en call centers
Gerenciar un call center no es tarea facil, se requieren varias habilidades como
conocer el servicio que se esta ofreciendo y gerencia de personal (entrenamiento y
motivacion). Otro tipo de habilidades requiere conocimientos cuantitativos las cua-
les estan en relacion con el nivel de servicio y la eficiencia del personal de servicio
(Koole [5]). Las matematicas pueden ser muy buena herramienta para la definicion
del nivel de servicio. Pueden definir la cantidad de recurso necesaria como tambien
una optima asignacion de horarios para los agentes de servicio. En sistemas mas
complejos de call centers, pueden ayudar en el analisis de enrutamiento de las lla-
madas. Por ende, las matematicas son un factor muy importante en la gerencia de
un call center (Koole [5]).
A pesar que varios de estos modelos ya estan implementados en programas com-
putacionales, es importante que se tenga conocimiento de las matematicas impli-
cadas para poder hacer un buen analisis y ası sacar el mejor provecho del modelo.
Siempre estos programas necesitan de la interaccion humana, y esto solo es posible
si se conoce bien el programa (Koole [5]). Entender los resultados que los modelos
retornan es una excelente ayuda para tomar buenas decisiones sobre el call center.
Preguntas como cuanto tiene que esperar un cliente para ser atendido? o Cuantas
personas abandonaron antes de ser atendidas? (Gans, Koole y Mandelbaum [1]) son
cuestionamiento permanentes por parte de la gerencia que definen el servicio que
24
II.03(2)43
Figura 6: Sistema Operacional de un Call Center de llamadas de entrada (tomado de Gans, Kooley Mandelbaum [1])
estan ofreciendo, para esto las matematicas (teorıa de colas) pueden ser muy utiles y
ası facilitar el trabajo de todo el call center. (La figura 6 muestra el funcionamiento
de un call center analizado como un sistema de colas.)
Si se quieren hacer cambios en el negocio, las matematicas pueden ofrecer una
base para saber las implicaciones del cambio haciendo analisis de diferentes escena-
rios. De esta forma las decisiones tomadas no seran bajo ensayo y error y a ciegas,
sino que se tendra un conocimiento de lo que se puede esperar. Por lo tanto, para
poder aprovechar al maximo estos analisis, es necesario conocer sobre las diferentes
variables que se manejan y la interaccion entre ellas.
Es importante que la gerencia sepa que los modelos matematicos son simplifi-
caciones de la realidad, por lo tanto, no deben esperar que el modelo les de todas
las respuestas exactas. El comportamiento humano no se puede modelar, y es una
variable permanente en cualquier negocio. El servicio no solo es medido por factores
cuantitativos, la forma como un agente de servicio se comunico con el cliente no
25
II.03(2)43
puede ser medida, si se dio la informacion correcta tampoco. Conociendo las im-
plicaciones de aplicar estos modelos y combinarlo con la experiencia que se tiene
del call center y manejo de recurso humano, se tienen dos fuertes herramientas que
ayudaran en el exito del servicio ofrecido.
6.2. Modelo Erlang C
6.2.1. Descripcion del modelo Erlang C
El modelo Erlang C es usado para analizar el rendimiento de un sistema estacio-
nario en intervalos de tiempo lo suficientemente pequenos (media hora - hora) para
poder asumir que las caracterısticas no cambian (Koole [5]).Haciendo esto, implıci-
tamente se asume que las tasas de arribos y servicios son constantes, al igual que el
sistema llega al equilibrio en poco tiempo en cada intervalo (Gans, Koole y Mandel-
baum [1]).Adicionalmente, el modelo supone que los arribos siguen un proceso de
Poisson y que los tiempos de servicio son exponenciales e independientes entre ellos.
En este modelo se tiene un Call Center con un solo tipo de llamadas y no abando-
nos, ademas, cada llamada espera hasta que sea atendida por un agente de servicio
(Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Se define Ri como:
Ri =λi
µi
= λiE[Si]
donde λi es el numero promedio de llamadas recibidas en una unidad de tiempo, por
ejemplo media hora, y E[Si] es el tiempo promedio de servicio o el tiempo promedio
en el que el agente de servicio esta ocupado, no puede recibir llamadas (Gans, Koole
y Mandelbaum [1]).
Definimos la utilizacion promedio del sistema como:
ρi =λi
Nµi
=Ri
N
Donde N es el numero de agentes instalados en el call center. De acuerdo a esto,
y suponiendo que no hay abandonos, al menos se requieren Ri agentes de servicio
para atender las llamadas recibidas en el intervalo i. Es necesario que ρi sea menor
que 1 para poder tener equilibrio en el sistema. Para entonces, el modelo Erlang
26
II.03(2)43
C define la probabilidad que todos los agentes N esten ocupados (Gans, Koole y
Mandelbaum [1]), en otras palabras, la fraccion de llamadas que deben esperar en
cola para ser atendidas como:
Pr{Wait > 0} = C(N, Ri)
C(N, Ri) = 1−(∑N−1
m=0 Rmi /m!
)
(∑N−1m=0 Rm
i /m!)
+(
RNi
N !
) (1
1−Ri/N
)
Dato que el modelo asume que el tiempo de servicio es exponencial, el tiempo de
espera en cola es exponencial tambien con media (Nµi − λi)−1 (Gans, Koole y
Mandelbaum [1]). Por lo tanto, el tiempo promedio en cola (ASA: Average Speed
Answer) se puede calcular de la siguiente manera:(Gans, Koole y Mandelbaum [1])
ASA = E[Wait] = C(N, Ri)(
1
N
) (1
µi
) (1
1− ρi
)
De esta misma forma se puede calcular tambien la proporcion de llamadas que
esperan menos de un tiempo T especıfico, donde T determina el nivel de servicio
deseado por el call center. Esta fraccion de llamadas es conocida como el factor
de servicio (TSF: Time Service Factor), el cual es calculado como:(Gans, Koole y
Mandelbaum [1])
TSF = Pr{Wait ≤ T} = 1− Pr{Wait > 0}Pr{Wait > T |Wait > 0}
= 1− C(N, Ri)e−Nµi(1−ρi)T
Usualmente, los gerentes de call centers estan interesados en el calculo del ASA y
TSF y no tienen en cuenta el valor de la probabilidad de esperar en cola, Pr{Wait > 0}(Gans, Koole y Mandelbaum [1]), que como vemos es fundamental para el calculo
de las dos anteriores medidas de servicio.
Ambas medidas de servicio pueden utilizarse para definir la cantidad de recurso
necesario para las llamadas, en nuestro caso de estudio, es de interes la definicion
de agentes de servicio por medio del TSF, la razon es porque es un requisito de la
gerencia mantener un nivel de servicio especıfico.
Ni = min{N |TSF ≥ TSF ∗}
27
II.03(2)43
Al igual que se puede determinar el numero de agentes, tambien se puede utilizar
todos los calculos anteriores para realizar pronosticos del comportamiento del call
center. Es decir, es comun que los gerentes de call centers tengan limitado la cantidad
de agentes para tener (lımite de presupuesto), por lo tanto, les interesa conocer el
rendimiento esperado para en numero de agentes instalados y ası saber que pueden
prometer y ofrecer a sus clientes.
Es importante tener en cuenta que el modelo es muy sensible a pequenos cambios,
un agente mas o un agente menos puede incrementar o disminuir considerablemente
el nivel de servicio respectivamente, al igual que el tiempo promedio de espera de
la llamada para ser atendido. Y no solo es sensible para cambios en el numero de
agentes, sino tambien para cambios en la demanda λ al igual que para el tiempo de
servicio (Koole [5]). Lo cual quiere decir que para un call center, la falta de un agente,
por ejemplo un agente incapacitado por estado de salud, puede afectar considerable-
mente el funcionamiento, al igual que un aumento en los arribos puede afectar los
indicadores de servicio considerablemente. Este caso en particular de variabilidad
en los arribos sera estudiado en las secciones 7.1 y 7.2 con mayor detenimiento.
6.2.2. Aplicacion del modelo Erlang C
Los datos son promedios de intervalos de media hora. Para calcular la tasa de
arribos y el tiempo de servicio es comun utilizar promedios de los intervalos de datos
de periodos comparables y calcular los estimadores de la siguiente forma (Jongbloed
y Koole [4]):
∑Ki=1 µi
K;
∑Ki=1 λi
K
Para el caso de estudio, separamos los datos en los dıas de la semana puesto que
entre ellos los datos no son comparables como lo vimos en la seccion 4.2.
En la tabla 9 vemos un ejemplo de los calculos realizados de los estimadores.
Teniendo estos datos podemos obtener el numero de agentes requeridos para un
nivel de servicio especıfico. En el caso de estudio, la gerencia del call center requiere
que se cumpla un nivel de servicio de 95 % de las llamadas contestadas antes de 15
28
II.03(2)43
lunes Miercolesintervalo arribos servicio (seg) intervalo arribos servicio (seg)
08:00 a.m. 21,917 129,504 08:00 a.m. 21,522 136,92508:30 a.m. 32,222 152,629 08:30 a.m. 30,022 162,29109:00 a.m. 31,583 174,007 09:00 a.m. 33,087 192,62509:30 a.m. 29,722 187,249 09:30 a.m. 28,739 204,45210:00 a.m. 27,694 207,5 10:00 a.m. 26,413 216,41110:30 a.m. 25,056 206,224 10:30 a.m. 24,783 223,55311:00 a.m. 25,861 214,368 11:00 a.m. 23,543 225,06211:30 a.m. 22,056 212,686 11:30 a.m. 22,413 228,41312:00 p.m. 18,944 208,111 12:00 p.m. 18,261 215,94712:30 p.m. 12,778 209,962 12:30 p.m. 11,87 207,53101:00 p.m. 6,306 199,487 01:00 p.m. 6,261 210,57501:30 p.m. 7,25 165,869 01:30 p.m. 7,717 165,36502:00 p.m. 13,583 185,5 02:00 p.m. 13,217 207,85202:30 p.m. 17,528 214,223 02:30 p.m. 15,891 226,14603:00 p.m. 18,543 233,663 03:00 p.m. 17,87 236,05803:30 p.m. 16,257 242,638 03:30 p.m. 16,978 252,10704:00 p.m. 15,2 249,905 04:00 p.m. 15,4 275,81304:30 p.m. 12,971 272,592 04:30 p.m. 14,267 268,69605:00 p.m. 9,943 276,595 05:00 p.m. 10,556 301,97905:30 p.m. 5,714 224,825 05:30 p.m. 5,844 268,584
Tabla 9: Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio. Los datos son para losintervalos de los dıas Lunes y Miercoles.
29
II.03(2)43
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10:0
0 A
M
10:
30
AM
11:0
0 A
M
11:
30
AM
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
Mround csr Erlang C
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10
:00
AM
10
:30
AM
11
:00
AM
11
:30
AM
12
:00
PM
12
:30
PM
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Erlang C
Figura 7: Agentes Erlang C vs agentes instalados
segundos. En terminos tecnicos quiere decir que TSF = 95 % y el T especıfico es de
15 seg.
Para cada intervalo de media hora de cada dıa de la semana se calculo el numero
de agentes necesarios de acuerdo al modelo Erlang C y se comparo con el numero
de agentes instalados realmente en el call center. Esto se hizo con el fin de comparar
el comportamiento del modelo teorico con la realidad. Un ejemplo de los resultados
se puede ver en la siguiente figura 7.
De acuerdo a estos resultados, vemos que en algunos intervalos es necesario
colocar mas agentes que los que propone el modelo Erlang C. En otros casos, Erlang
calcula que se necesitan mas agentes que los que se tienen. La razon de esta diferencia
radica en el supuestos que hace Erlang C que las llamadas siguen un proceso de
Poisson, y como vimos en secciones anteriores, sabemos que nuestro proceso es mas
variable que un proceso de Poisson, por lo tanto es de esperar que Erlang C no tenga
30
II.03(2)43
TSF Real vs TSF Erlang C (Lunes)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
TSF Real vs TSF Erlang C (Miercoles)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:0
0 A
M
8:30
AM
9:00
AM
9:3
0 A
M
10:
00
AM
10:
30
AM
11:
00
AM
11:
30
AM
12:
00 P
M
12:
30
PM
1:00
PM
1:3
0 P
M
2:00
PM
2:30
PM
3:0
0 P
M
3:30
PM
4:00
PM
4:3
0 P
M
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
ASA Real vs ASA Erlang C (lunes)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 AM
11:0
0 AM
11:3
0 AM
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
segu
ndos
Asa Cal Asa Real
ASA Real vs ASA Erlang C (Miercoles)
0
2
4
6
8
10
12
8:00
AM
8:30
AM
9:0
0 A
M
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:0
0 P
M
3:30
PM
4:00
PM
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:30
PM
seg
un
do
s
Asa Cal Asa Real
Figura 8: Validacion pronostico modelo Erlang C: TSF y ASA
la precision para modelar el sistema bajo estudio. Otra motivo puede ser el supuesto
de tiempos exponenciales de servicio. La otra razon es que Erlang C es limitado,
es decir, no tiene en cuenta los abandonos, los cuales son importantes para el call
center, como mencionamos anteriormente, es un indicador de calidad importante
para la gerencia.
Podemos comparar tambien los pronosticos realizados por Erlang C con los da-
tos reales, es decir, mirar el factor de servicio y el tiempo en cola con los agentes
instalados y compararlo con los indicadores reales. En la figura 8 podemos ver el
comportamiento del modelo Erlang C.
Observado la figura 8 vemos que el modelo no es muy preciso con la realidad,
es decir, en algunos momentos parece que subestimara el sistema, pero en otros los
valores muestran lo contrario. Como antes se menciono, esta diferencia se puede
31
II.03(2)43
deber a la alta variacion de las llamadas, mayor que un proceso Poisson, el cual es
el supuesto que hace el modelo Erlang C.
Existe una extension al modelo Erlang C el cual tiene en cuenta el porcentaje
de abandono el cual es un factor importante de decision para la gerencia del call
center. Este modelo es conocido con Erlang A o Erlang X el cual sera explicado en
la seccion 6.3.
6.3. Modelo Erlang X (Erlang A)
En la seccion 6.2 vimos una manera de modelar el comportamiento de un call cen-
ter, el modelo Erlang C. Para algunos call centers es una muy buena aproximacion.
Sin embargo, otros contactos de servicios han mostrado un comportamiento diferen-
te al modelado por Erlang C por no tener en cuenta los abandonos (Koole [5]). Es
importante ver que al aumentar los abandonos el tiempo en cola disminuye (ASA), lo
cual es bueno para el factor de servicio (TSF), sin embargo el indicador de abandono
aumenta y serıa un factor negativo del servicio ofrecido. Observamos entonces que el
modelo Erlang C necesita mejora para poder modelar mejor la realidad (Koole [5]),
en nuestro caso de interes, modelar abandonos.
6.3.1. Descripcion del modelo Erlang X
El comportamiento de las llamadas abandonadas es complicado de estimar. El
abandono puede ocurrir con el solo hecho de tener que esperar a ser atendido, algu-
nos otros clientes son un poco mas pacientes y abandonan despues de un tiempo en
espera (Koole [5]). Para este modelo entonces, vemos que es importante el tiempo
promedio de paciencia, es decir, el tiempo que esta dispuesto esperar un cliente a ser
atendido. Como Koole [5] menciona, determinar este tiempo de paciencia es “ma-
tematicamente hablando, una tarea difıcil”. La mayorıa de llamadas son contestadas
antes que la paciencia termine.
La mayorıa de sistemas de reportes de call center arrojan el tiempo promedio en
cola de las llamadas abandonadas. Este dato es de cuidado, puesto que es el tiempo
de los clientes mas impacientes, por lo tanto, no es el valor correcto del tiempo en
32
II.03(2)43
cola que los clientes estan dispuestos a esperar para ser atendidos, la paciencia es
un valor mayor al reportado.
El calculo de este valor de tiempo tiene varias influencias, es decir, los clientes
saben que entre mas tiempo esten en cola, se reduce el tiempo en ser atendidos, pero
a pesar de esto abandonan. Es diferente estar en una cola fısica donde se puede ver
cuantas personas hay y la velocidad del flujo de los clientes, a estar en una cola virtual
donde no hay conocimiento del proceso del sistema. La falta de informacion es otro
factor para que la impaciencia aumente y abandonen. Los clientes que abandonan
no conocen el tiempo que tienen que esperar, es decir, el tiempo esperado en cola,
mientras que los clientes que no abandonan conocen el tiempo promedio de espera,
ası que su impaciencia es menor que los otros clientes.
Existes sistemas de audio respuesta que cada cierto tiempo informan un tiempo
esperado de espera, esto con el fin de no perder clientes. Al igual, otros sistemas
en vez de dar un tiempo estimado de espera dan informacion sobre los productos
ofrecidos con el fin de evitar que el cliente llegue a la impaciencia.
En Colombia, los call centers es algo novedoso, es decir, hasta ahora estan em-
pezando a ser utilizados como una estrategia de servicio. Por lo tanto, la paciencia
es mucho menor puesto que los clientes estan acostumbrados a otro tipo de servicio,
como por ejemplo, comunicarse directamente con sus asesores de cuenta o no tener
la costumbre de “hablarle” a una maquina. La cultura colombiana esta empezando
a cambiar poco a poco en el uso de call centers, y se espera que con el tiempo este
tiempo de paciencia aumente y ası evitar el abandono.
Habiendo obtenido el valor numerico de la paciencia, adicionarlo al modelo no es
algo complicado bajo ciertos supuestos (Koole [5]):
Los clientes abandonan en el momento que entran a la cola con una cierta
probabilidad
Los clientes en cola abandonan en el proximo segundo con una probabilidad
que no depende del tiempo que lleven esperando
Este ultimo es un supuesto bastante fuerte del modelo, pero es requerido para poder
modelar el tiempo en cola como exponencial y hacer sencillo los calculos. La fraccion
33
II.03(2)43
de abandono se calcula de la siguiente manera:
%Aband = C(N, Ri)e−Nµi(1−ρi)T
donde T es el valor de la paciencia en unidades de tiempo.
Junto con el factor de servicio (TSF ), el numero de agentes requeridos es:
Ni = min{N |TSF ≥ TSF ∗ ; %Aband ≤ %Aband∗}
Al igual que el caso de Erlang C, se puede pronosticar el comportamiento del aban-
dono del call center dado una cantidad de agentes instalados, y demas parametros
como cantidad de llamadas que se pueden recibir dado un porcentaje de abandono
y una cantidad de agentes instalados.
6.3.2. Aplicacion del modelo Erlang X
En la seccion 6.2 vimos la aplicacion del modelo Erlang C. Para este caso adicio-
namos dos parametros a los demas del modelo para estimar la cantidad de agentes
de servicio necesarios para satisfacer los indicadores. Estos nuevos parametros son la
fraccion de abandono ( %Aband) y el tiempo que un cliente esta dispuesto a esperar
antes de abandonar el sistema.
El valor del tiempo de paciencia se calculo tomando dos fuentes. Por un lado
se calculo el tiempo promedio de espera de las llamadas que fueron abandonadas,
esto con el fin de saber un estimado del valor. El resultado de este valor es 23 seg.
La otra fuente para calcular el tiempo en cola antes de abandonar, fue consultada
a la gerencia del call center. Para este caso, despues de realizar una encuesta a los
clientes han concluido que los clientes estan dispuestos a esperar un tiempo igual al
doble del prometido por el call center. Es decir, a los clientes se les ofrece un tiempo
de factor de servicio de 15 seg (tres timbres), o sea que el valor de la paciencia es
de 30 seg. Con este valor y un porcentaje de abandono de un 2% requerido por la
gerencia, se realizo el calculo del numero de agentes a requerir. Los resultados se
pueden ver en la figura 9 (Nota: El valor del TSF y el tiempo de servicio siguen
siendo los mismos, 95% y 15 segundos respectivamente, los datos son de la misma
forma que se encuentran en la tabla 9). Vemos que para algunos casos, la cantidad
34
II.03(2)43
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10:
00 A
M
10
:30
AM
11:
00 A
M
11
:30
AM
12
:00
PM
12
:30
PM
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Figura 9: Comparacion de agentes instalado con modelo Erlang C y X
de agentes instalados es similar a la cantidad de agentes requeridos por el modelo,
lo cual nos muestra una mejor aproximacion al sistema. Son muy pocos los casos
donde se presenta que el numero de recursos requeridos sea menor al instalado.
Vemos tambien que el modelo tambien aconseja tener instalados mas agentes para
ası cumplir con los dos requerimientos. Este es un resultado interesante puesto que
de esta forma se asegura el nivel de servicio por tener un aumento de agentes y por
otro lado se asegura un bajo valor del porcentaje de abandono.
Es importante notar la diferencia entre los dos modelos, Erlang C y X (Erlang
A), en la mayorıa de los casos requiere un mayor numero de agentes. Esta puede ser
una forma de cubrir la variabilidad del sistema y no sufrir con el factor de servicio.
Este tema sera tratado en la seccion 7.2.
Al igual que Erlang C, este modelo tambien nos ayuda para pronosticar el com-
portamiento del call center. Aunque pareciera que en algunos casos el comporta-
35
II.03(2)43
Aband Real vs Aband Erlang X (Lunes)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10:
00 A
M
10
:30
AM
11
:00
AM
11:
30
AM
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
Aband Erlang X Aband Real
Aband Real vs Aband Erlang X (Miercoles)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
Aband Erlang X Aband
Figura 10: Validacion pronostico modelo Erlang X: Abandono Real vs Abandono Erlang X
miento fuera similar en el modelo, a una escala menor, lo que realmente se puede
apreciar es que hay una variabilidad en el modelo que hace que no haya precision.
Esta variabilidad se puede deber tanto a la incertidumbre de los arribos de las lla-
madas, el supuesto de tiempos de servicios exponenciales, como tambien al supuesto
que el tiempo en cola antes de abandonar es exponencial, por lo tanto, carece de
memoria. Este al ser un supuesto tan fuerte puede aumentar la tasa de abandono,
el cual es un resultado que se puede apreciar en la figura 10.
A pesar de las diferencias en las aproximaciones de los modelos, es una forma
de disminuir la incertidumbre del funcionamiento del sistema, es decir, es preferible
tener estos modelos, ya sea Erlang C o Erlang X a hacer una estimacion a prueba y
error lo cual puede implicar altos costos para el call center. Ambos modelos se pue-
den usar para calcular una base numerica de algunos parametros, o para tener una
36
II.03(2)43
Comportamiento TSF y Aband según Recurso Instalado
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
agentes
TS
F y
Aba
nd e
n %
TSF Aband 30 seg
Análisis Abandono según Paciencia
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
6 7 8 9 10
agentes
% a
band
ono
Aband 15 seg Aband 30 segAband 60 seg
Figura 11: Modelos Erlang como herramienta Gerencial
aproximacion del funcionamiento del call center teniendo muy en cuenta las desven-
tajas de ambos modelo. Es decir, utilizar estos modelos conociendo los supuestos y
funcionamiento de ambos, pueden ser una fuerte herramienta para mejorar el servi-
cio ofrecido a los clientes. Un ejemplo de una herramienta muy util para la gerencia
se puede mirar en la figura 11.
37
II.03(2)43
Capıtulo VII
INCERTIDUMBRE EN LA TASA DE
ARRIBOS DE LAS LLAMADAS
En los modelos que hasta ahora hemos estudiado, Erlang C y Erlang X, se asume
que la tasa de arribos es conocida. La tasa de arribos depende de varias cosas: dıa
de la semana o el mes, hora del dıa, festivos, etc (Gans, Koole y Mandelbaum [1]).
Mientras que en un proceso de Poisson la media y la varianza son la misma, en
nuestro caso encontramos que para los intervalos de cada dıa de la semana la varianza
es mucho mayor que su media; dado los datos de intervalos del dıa, la tasa de arribos
se vuelve aleatoria (Gans, Koole, Mandelbaum [1]). Varios estudios se han hecho
para estimar la funcion de densidad para la tasa de arribos, por ejemplo Kuhl y
Wilson [6] trabajan un estimador de cuadrados mınimos para un proceso de Poisson
no Homogeneo, Leemis [7] investiga una estimacion no parametrica de la funcion
acumulada, y Jongbloed y Koole [4] prueban una funcion Poisson mixta con una
funcion Gamma para estimar la tasa de arribo. Es comun utilizar datos historicos
para estimar la tasa de arribos, pero esta no es conocida con seguridad. Lo cual
ignorar esta incertidumbre de los arribos puede ser un gran riesgo (Gans, Koole y
Mandelbaum [1]).
7.1. Fuentes de Incertidumbre
Whitt [9] nos muestra diferentes fuentes de esta incertidumbre en los arribos.
Una de ellas, ya mencionada, es el supuesto que los arribos siguen un proceso de
Poisson. Este caso Whitt [9] lo define como incertidumbre del modelo, porque los
38
II.03(2)43
arribos reales del proceso pueden no ser bien modelados por un proceso de Poisson.
En nuestro caso, demostramos en la seccion 5.2 que los arribos tienen mayor varianza
que un proceso de Poisson.
La otra fuente de incertidumbre que Whitt [9] nos indica es la incertidumbre del
parametro la cual se encuentra cuando pronosticamos la tasa de arribos para hacer
los calculos correspondientes, ya sea por los metodos usados por Kuhl y Wilson [6]
o Leemis [7], como por una estimacion promedio utilizando datos historicos. La
recomendacion es no pasar por alto el error del pronostico e incluirlo en el analisis
que se este realizando (Whitt [9]).
La otra fuente de incertidumbre propuesta es la incertidumbre del proceso la
cual es inherente en el momento de modelar una situacion real. El modelo es una
aproximacion a la situacion real, por lo tanto, siempre existira un error de por medio.
7.2. Modelando la variabilidad de la tasa de los
arribos
Pocos trabajos se han hecho para tener en cuenta la incertidumbre en los arribos
que produce una alta variabilidad en el proceso. En este estudio, dos metodos seran
utilizados para tener en cuenta la variabilidad de los arribos a la hora de determinar
el numero de agentes a instalar. Primero miraremos la heurıstica propuesta por
Grassmann [2] para definir la cantidad de recurso necesario, y luego estudiaremos
un arreglo a los intervalos de confianza propuestos por Jongbloed y Koole [4] para
determinar el numero de agentes en los diferentes escenarios.
7.2.1. Heurıstica Grassmann
7.2.1.1. Descripcion Heurıstica Grassmann
Lo que Grassmann propone inicialmente es que el numero de agentes requeridos
es igual a R + ∆ donde R es definido como:
Ri =λi
µi
= λiE[Si]
39
II.03(2)43
y ∆ es igual a zα
√Ri, donde zα es el percentil de una distribucion normal estandar
el cual Grassmann [2] lo denomina Factor de Seguridad. Por lo tanto tenemos que
el numero de recurso necesario es:
Ni = Ri + zα
√Ri
Grassmann [2] demuestra que para un sistema de infinitos servidores, si los arribos
son Poisson, el numero de clientes en el sistema sigue una distribucion Poisson con
parametro R. Por lo tanto, la variabilidad de la cantidad de clientes en el sistema
es igual V ar(R). De esta forma, Grassmann [2] propone que se tenga en cuenta la
variabilidad en la definicion de recurso para ası disminuir la incertidumbre en los
arribos de la siguiente forma:
Ni = Ri + zα
√Ri + var(Ri)
7.2.1.2. Aplicacion Heurıstica Grassmann
Para poder aplicar el metodo de Grassmann primero calculamos los valores de
Ri para cada intervalo de cada dıa, en la tabla 10 se puede ver un ejemplo de los
calculos.
Con estos valores de Ri y var(Ri) y un percentil z al 0, 025, se calculo la cantidad
de agentes requeridos. Al igual que con los anteriores modelos, se compararon los
resultados con la cantidad de recurso instalado. Un ejemplo de los resultados se
puede ver en la figura 12.
Los resultados obtenidos son interesantes, dado que los agentes requeridos segun
Grassmann [2] dan muy cercanos a los agentes realmente instalados. En pocos casos
es mayor los instalados a los propuestos por Grassmann [2]. Curioso es que esta
diferencia se ve a las horas donde menos llamadas se presentan, es decir, al medio
dıa, este resultado es igual para todos los dıas de la semana. En horas pico se presenta
la misma cantidad de agentes y en pocos casos es mayor la cantidad propuesta por
la heurıstica.
La ventaja que tiene este modelo es que tiene en cuenta la variabilidad de los
arribos por medio de R. Pero como desventaja se encuentra la difıcil aclaracion de
40
II.03(2)43
lunes Miercolesintervalo Ri Var Ri intervalo Ri Var Ri
08:00 a.m. 1,568 0,513 08:00 a.m. 1,619 0,38808:30 a.m. 2,731 0,907 08:30 a.m. 2,692 1,03809:00 a.m. 3,049 1,219 09:00 a.m. 3,534 0,98409:30 a.m. 3,091 0,753 09:30 a.m. 3,261 1,02610:00 a.m. 3,186 0,879 10:00 a.m. 3,176 1,02510:30 a.m. 2,87 1,16 10:30 a.m. 3,074 0,78211:00 a.m. 3,078 0,817 11:00 a.m. 2,941 1,1511:30 a.m. 2,604 0,91 11:30 a.m. 2,842 1,08212:00 p.m. 2,189 0,509 12:00 p.m. 2,188 0,90112:30 p.m. 1,489 0,755 12:30 p.m. 1,369 0,53401:00 p.m. 0,698 0,186 01:00 p.m. 0,733 0,38401:30 p.m. 0,669 0,11 01:30 p.m. 0,708 0,18802:00 p.m. 1,397 0,289 02:00 p.m. 1,528 0,54902:30 p.m. 2,083 0,755 02:30 p.m. 1,992 0,68603:00 p.m. 2,402 0,78 03:00 p.m. 2,344 0,85503:30 p.m. 2,186 1,281 03:30 p.m. 2,369 1,0804:00 p.m. 2,105 0,888 04:00 p.m. 2,35 1,31804:30 p.m. 1,957 1,102 04:30 p.m. 2,128 0,79505:00 p.m. 1,526 0,609 05:00 p.m. 1,768 1,05605:30 p.m. 0,712 0,337 05.30 p.m. 0,866 0,402
Tabla 10: R y Var (R) para cada intervalo.
41
II.03(2)43
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Grassmann
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Grassmann
Figura 12: Agentes calculados por heurıstica Grassmann
los factores de servicio, es decir, un TSF = 95 % : 15 seg y un abandono de 2 %. El
factor de seguridad z es el encargado de modelar estos tres indicadores o al menos
los dos primeros. Por lo tanto, la seleccion de este factor de seguridad no es tarea
facil. Algunos estudios nos dicen que este puede ser calculado por medio de Erlang
C a traves del valor C(N, Ri), es decir Pr{Wait > 0} = C(N,Ri) (Gans, Koole y
Mandelbaum [1]).
7.2.2. Intervalo de Confianza para la Tasa de Arribos
7.2.2.1. Descripcion Intervalo de Confianza
En los modelos anteriores de Erlang, varios supuestos hemos hecho sobre la tasa
de arribos. Asumimos que conocemos el comportamiento de las llamadas, supusimos
tambien que la tasa es constante en el intervalo de tiempo y que los arribos se
comportan como un proceso de Poisson. A pesar que los modelos Erlang tienen
42
II.03(2)43
un buen comportamiento, considerar como constante la tasa de arribos es bastante
irreal (Jongbloed y Koole [4]).
Tradicionalmente, los gerentes de call centers tratan de controlar la variabilidad
analizando el dıa pico de la semana o epocas predecibles de alto volumen de llamadas,
pero esto no explica del todo la variabilidad de las llamadas (Jongbloed y Koole [4]).
De todos modos, como usualmente no es flexible la cantidad de recurso instalado,
si es necesario estudiar escenarios pesimistas para poder cumplir con los requisitos
necesarios de servicio, claro esta, teniendo en cuenta los costos que implica este
escenario.
Hemos visto que es comun utilizar estimadores puntuales para la tasa de arribos
y el tiempo de servicio para la estimacion de indicadores de servicio. Teniendo en
cuenta periodos similares los estimadores utilizados para µ y λ son:
µ =
(∑Ki=1 E[Si]
K
)−1
; λ =
∑Ki=1 λi
K
donde E[Si] es el tiempo total de duracion de la llamada.
Para el caso de la duracion de la llamada se pueden utilizar otros periodos para
calcular el estimador, de esta forma, el estimador es mas preciso que el de los arribos.
La propuesta que hace Jongbloed y Koole [4] para tener en cuenta la incer-
tidumbre de la tasa de arribos, es hacer un intervalo de confianza para λ supo-
niendo que la tasa de arribos es Poisson, es decir, que la media y la varianza son
E[λ] = λ y var[λ] = λ respectivamente. Bajo este supuesto se construye un intervalo
al 100(1− β) % de confianza:λ− z1−β/2
√λ
K; λ + z1−β/2
√λ
K
donde K es la cantidad de periodos que se toman para la medicion.
Dado el intervalo, se calcula el numero de agentes por medio de Erlang C. Con el
lımite inferior se define el numero de agentes fijos en el sistema, y el lımite superior
define el numero total de agentes instalados incluyendo fijos y flexibles para el caso
de momentos picos en el call center (Jongbloed y Koole [4]).
En la seccion 5.2 se demostro que la tasa de arribos es mas variable que un
proceso de Poisson. El ajuste que se quiere proponer es utilizar la varianza real de
43
II.03(2)43
la tasa obtenida de los datos para calcular el intervalo de confianza. De esta forma
el intervalo de confianza cambia a:λ− z1−β/2
√var(λ)
K; λ + z1−β/2
√var(λ)
K
A continuacion se hara un analisis de los datos y ver los resultados obtenidos.
7.2.2.2. Aplicacion Intervalo de Confianza
En el analisis, primero comparamos el comportamiento de los agentes para los
dos intervalos de confianza y miramos la diferencia entre ellos, un ejemplo de los
resultados se puede ver en la figura 13.
Agentes para Intervalo superior Poisson Vs Intervalo superior Var Real
(Lunes)
0123456789
8:00
AM
8:30
AM
9:0
0 A
M
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Erlang C Poisson Erlang C Var Real
Agentes para Intervalo superior Poisson Vs Intervalo superior Var Real
(Miercoles)
0123456789
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:3
0 P
M
4:00
PM
4:30
PM
5:0
0 P
M
5:30
PM
Erlang C Poisson Erlang C Var Real
Figura 13: Comparacion entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalo superior deconfianza con Varianza Real
Segun los resultados, podemos encontrar que para ambos metodos el numero de
agentes es similar excepto en algunos intervalos de tiempo. La diferencia radica en
44
II.03(2)43
que la variacion de la tasa de arribos para estos intervalos es mucho mas alta que la
media de los mismos, por esta razon el numero de agentes requerido es mayor.
La importancia de hacer las inferencias utilizando el intervalo de confianza pro-
puesto es que se esta teniendo en cuenta la variabilidad real del comportamiento de
las llamadas. De este modo, como se menciono anteriormente, podemos determinar
cuantos agentes de servicio se requieren fijos y cuantos flexibles en momentos de alta
tasa de arribos. Con este intervalo de confianza tambien podemos utilizar el modelo
de abandonos, Erlang X, y ası hacer un calculo mas preciso segun los requerimientos
de la Gerencia del Call Center.
Los resultados utilizando el modelo Erlang X en el lımite superior del intervalo de
confianza se pueden observar en la figura 14. Los resultados se muestran comparando
entre el modelo Erlang X y Erlang C y a su vez, con el modelo de la heurıstica de
Grassmann que tambien tiene en cuenta la variabilidad del sistema.
Era de esperar el comportamiento entre el resultado de Erlang C y Erlang X,
interesante comparar con los resultados segun Grassmann. Los tres modelos tienen
en cuenta la variabilidad del sistema, vimos que Grassmann tiene un buen compor-
tamiento pero tambien analizamos la difıcil definicion del factor de seguridad. A
pesar de los supuestos de los modelos Erlang, tienen puntos a favor por la facilidad
de determinar los objetivos a alcanzar.
Hacer uso del intervalo de confianza ayuda en el analisis de escenarios y cono-
cimiento de posibles incrementos o disminuciones de la tasa de arribos. Ademas, es
una buena herramienta para determinar la cantidad de recurso humano a requerir,
definiendo la cantidad de agentes fijos y la cantidad de flexibles.
45
II.03(2)43
Agentes Lunes (Var)
0123456789
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Agentes Miercoles (Var)
0123456789
10
8:0
0 A
M
8:30
AM
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:3
0 P
M
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Figura 14: Comparacion Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann.
46
II.03(2)43
Capıtulo VIII
RECOMENDACIONES
En este momento, el Call Center de la entidad financiera cuenta con 7 agentes
de servicio en las horas pico. De estos agentes 5 son fijos a lo largo del dıa excepto
a la ultima hora, que solo estan 4 e inclusive 3 agentes. Los agentes flexibles estan
conectados en la manana y en la tarde cumplen con otras tareas del area de servicio al
cliente, dentro de las cuales esta dar respuesta a sencillas investigaciones y solicitudes
de los clientes que duran mas de un dıa en resolver. A parte de esta labor, tambien
estan a cargo de manejar el correo electronico como canal de llegada por parte de
los clientes.
La razon por la cual el modelo que se esta utilizando (Erlang C) no era muy
preciso es por la gran variabilidad que se encuentra en las llamadas entrantes, mayor
a la que supone el modelo. Ademas el modelo no tiene en cuenta las llamadas
abandonadas del sistema, esto hace que se aleje un poco mas de la realidad del call
center.
A pesar que el modelo Erlang hace un supuesto bastante fuerte en las llamadas
entrantes y tiempos en cola, se recomienda utilizar el modelo Erlang X que tiene
en cuenta el porcentaje de llamadas abandonadas, el cual es un indicador muy
importante para el area. Tambien se recomienda trabajar con el lımite superior del
intervalo de confianza utilizando la varianza real de las llamadas como escenario,
esto con el fin de estar preparados con los agentes requeridos en fuertes elevaciones
de la tasa de llegada de las llamadas.
La propuesta de capacidad es tener la cantidad de agentes fijos que actualmente
se tienen, es decir, 5 agentes de servicio a lo largo del dıa, y tener un agente flexible
47
II.03(2)43
CSRNivel Senior Nivel Junior Contratista
1 Agente $ 2.786.000 $ 2.208.000 $ 2.142.0007 Agentes $ 19.502.000 $ 15.456.000 $ 14.994.0008 Agentes $ 22.288.000 $ 17.664.000 $ 17.136.000
ANO 7 Agentes $ 234.024.000 $ 185.472.000 $ 179.928.000
ANO 8 Agentes $ 267.456.000 $ 211.968.000 $ 205.632.000
ANO 1 Agente $ 33.432.000 $ 26.496.000 $ 25.704.000
Tabla 11: Costos por tipo de contrato. No incluye entrenamiento
mas, en total 3 agentes flexibles, pero que este agente adicional sea flexible todo el
dıa, no solo en las mananas, esto con el fin de cubrir la variabilidad presente tanto
en las mananas como en las tardes.
Se realizo un analisis de los costos que involucrarıa contratar una persona adicio-
nal. De acuerdo con datos obtenidos por parte de la gerencia se tienen tres tipos de
contratos segun el perfil de la persona. Los costos a los que incurrirıa el area estan
resumidos en la tabla 11.
La persona adicional no solo serıa entrenada como agente de servicio sino tambien
en el manejo del correo electronico dado que se encuentran con deficit en capacidad
en este y en la radicacion de cartas y fax. Adicionalmente, dentro de los proyectos
futuros del call center esta el crecimiento del mismo, por lo tanto, una persona mas
les ayudarıa a estar preparados para el cambio. La gerencia ha decidido que si con-
tratan a una persona adicional serıa un contratista.
Por otro lado, se quiere proponer utilizar el modelo Erlang X como herramienta
gerencial para pronosticar el funcionamiento del call center y como ayuda en toma de
decisiones, algo que no esta implementado todavıa. Para este fin, se propone utilizar
como escenario pesimista el lımite superior del intervalo de confianza creado y muy
optimista el lımite inferior. A su vez, el modelo les sirve para tener una base en el
momento de analizar la paciencia de los clientes antes de abandonar, y cambios en
el tiempo de servicio por parte de ellos.
48
II.03(2)43
Capıtulo IX
CONCLUSIONES
A lo largo del documento se realizaron diferentes pruebas a modelos teoricos y
analizando sus aplicaciones a una situacion real, para este caso el Call Center de
una entidad financiera. A pesar de los grandes supuestos que hacen los modelos, son
una muy buena aproximacion y herramienta para toma de decisiones.
Actualmente el call center decide su capacidad basandose en el modelo Erlang
C. Se ha tenido varias inquietudes acerca del modelo, no solo sobre como funciona
sino por su precision con la realidad y por no incluir un indicador de servicio que
para ellos es definitivo en la decision de personas a instalar en el call center.
Se analizaron otros modelos y se compararon con la situacion real del call center
y con el modelo Erlang C. Como resultado se encontro que otros modelos se acercan
bien al la situacion real, pero por sus fuertes supuestos y la variabilidad del sistema,
siguen siendo causa de la diferencia entre lo real y lo teorico. Se mira otro modelo
que tiene en cuenta la variabilidad pero tiene como desventaja lo difıcil que es la in-
clusion de los indicadores de servicio de interes por parte del call center. Finalmente
se estudia un intervalo de confianza para la llegada de las llamadas con el fin de
tener en cuenta la variabilidad del sistema; con este intervalo se aplican los modelos
de colas que se estudiaron para tener una base de diferentes escenarios para analizar
el funcionamiento del call center.
A pesar que este tema de estudio lleva ya un recorrido en otros paıses, en Co-
lombia apenas esta comenzando. Las empresas estan creando diferentes tipos de
call centers segun sus necesidades. Call centers con sistemas de ruteo o que no solo
49
II.03(2)43
reciben llamadas sino tambien hay un flujo de salida son unos ejemplos de estos.
Ahora estan empezando uniones con otras formas de contacto con los clientes como
el correo electronico e internet y otras modalidades. Los call centers dejan de recibir
solo llamadas y empiezan a crear nuevos canales de contacto con los clientes renom-
brandose “Contact Centers”. Cambios se estan ejerciendo, grandes oportunidades
nacen que pueden ser fruto para futuras investigaciones en el tema.
Espero que este trabajo sea util como material de estudio y tambien como un
incentivo en la investigacion en call centers.
50
II.03(2)43
Apendice A
ANALISIS DE COEFICIENTE DE VARIACION
Martes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4
COEFICIENTE
1/M
ED
IA
Miercoles
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
COEFICIENTE
1/M
ED
IA
Jueves
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4
COEFICIENTE
1/M
ED
IA
Figura 15: cv2 calculado vs 1/media para Martes - Miercoles - Jueves
51
II.03(2)43
Apendice B
ESTIMADORES
Martes Juevesintervalo arribos servicio (seg) intervalo arribos servicio (seg)
08:00 a.m. 18,979 152,210 08:00 a.m. 16,936 153,64008:30 a.m. 26,787 182,560 08:30 a.m. 25,574 184,62509:00 a.m. 30,468 190,330 09:00 a.m. 29,128 198,11109:30 a.m. 28,064 201,032 09:30 a.m. 28,957 207,32110:00 a.m. 26,170 203,569 10:00 a.m. 24,681 222,21810:30 a.m. 26,745 216,270 10:30 a.m. 24,362 214,60211:00 a.m. 23,553 220,267 11:00 a.m. 21,915 222,92611:30 a.m. 21,383 216,823 11:30 a.m. 20,106 228,14312:00 p.m. 18,511 217,947 12:00 p.m. 16,553 247,17312:30 p.m. 10,851 227,526 12:30 p.m. 9,596 234,35501:00 p.m. 6,085 211,859 01:00 p.m. 5,404 187,89701:30 p.m. 7,043 168,803 01:30 p.m. 6,936 174,91102:00 p.m. 13,574 179,556 02:00 p.m. 13,681 197,14802:30 p.m. 17,191 210,250 02:30 p.m. 15,851 220,75603:00 p.m. 16,870 248,724 03:00 p.m. 17,191 235,77403:30 p.m. 17,435 247,954 03:30 p.m. 17,766 236,86104:00 p.m. 15,891 238,329 04:00 p.m. 15,213 263,16104:30 p.m. 13,522 256,532 04:30 p.m. 13,979 280,50805:00 p.m. 10,065 281,340 05:00 p.m. 9,957 283,25505:30 p.m. 5,587 270,512 05:30 p.m. 5,085 301,798
52
II.03(2)43
Viernesintervalo arribos servicio (seg)
08:00 a.m. 18,217 144,73808:30 a.m. 24,674 187,25209:00 a.m. 28,913 190,75909:30 a.m. 25,935 209,10510:00 a.m. 25,435 212,13110:30 a.m. 23,326 213,86311:00 a.m. 22,587 225,71711:30 a.m. 21,283 233,55212:00 p.m. 16,087 212,94912:30 p.m. 12,326 211,01401:00 p.m. 6,717 179,86301:30 p.m. 6,348 169,86402:00 p.m. 11,870 188,42602:30 p.m. 15,022 215,89703:00 p.m. 15,543 256,37003:30 p.m. 15,783 243,94904:00 p.m. 16,022 247,42604:30 p.m. 12,156 270,54305:00 p.m. 8,600 258,86505:30 p.m. 5,067 251,103
Tabla 12: Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio (Martes - Jueves - Viernes).
53
II.03(2)43
Apendice C
MODELO ERLANG C
Agentes Jueves
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:
30 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C
Agentes Martes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10
:00
AM
10
:30
AM
11
:00
AM
11
:30
AM
12
:00
PM
12:
30
PM
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Erlang C
54
II.03(2)43
Agentes Viernes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:0
0 A
M
8:3
0 A
M
9:0
0 A
M
9:3
0 A
M
10
:00
AM
10
:30
AM
11
:00
AM
11
:30
AM
12
:00
PM
12
:30
PM
1:0
0 P
M
1:3
0 P
M
2:0
0 P
M
2:3
0 P
M
3:0
0 P
M
3:3
0 P
M
4:0
0 P
M
4:3
0 P
M
5:0
0 P
M
5:3
0 P
M
round csr Erlang C
Figura 16: Agentes Erlang C vs agentes instalados (Martes - Jueves - Viernes)
TSF Real vs TSF Erlang C (Martes)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
TSF Real vs TSF Erlang C (Jueves)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
ASA Real vs ASA Erlang C (Martes)
0
2
4
6
8
10
12
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
segu
ndos
Asa Cal Asa Real
ASA Real vs ASA Erlang C (Jueves)
0123456789
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
segu
ndos
Asa Cal Asa Real
55
II.03(2)43
TSF Real vs TSF Erlang C (Viernes)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
ASA Real vs ASA Erlang C (Viernes)
0
1
2
3
4
5
6
7
88:
00 A
M
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
segu
ndos
Asa Cal Asa Real
Figura 17: Validacion pronostico modelo Erlang C: TSF y ASA (Martes - Jueves - Viernes)
56
II.03(2)43
Apendice D
MODELO ERLANG X
Agentes Jueves
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:3
0 P
M
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:0
0 P
M
5:30
PM
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Agentes Martes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
57
II.03(2)43
Agentes Viernes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Figura 18: Comparacion de agentes instalado con modelo Erlang C y X (Martes - Jueves - Viernes)
Aband Real vs Aband Erlang X (Martes)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Aband Erlang X Aband
Aband Real vs Aband Erlang X (Jueves)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Aband Erlang X Aband
58
II.03(2)43
Aband Real vs Aband Erlang X (Viernes)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Aband Erlang X Aband
Figura 19: Validacion pronostico modelo Erlang X: Abandono Real vs Abandono Erlang X (Martes- Jueves - Viernes)
59
II.03(2)43
Apendice E
R Y VAR(R) PARA CADA INTERVALO
Martes Juevesintervalo Ri Var Ri intervalo Ri Var Ri
08:00 a.m. 1,604 0,250 08:00 a.m. 1,445 0,36008:30 a.m. 2,712 0,746 08:30 a.m. 2,621 0,85309:00 a.m. 3,215 0,851 09:00 a.m. 3,203 1,13409:30 a.m. 3,133 0,800 09:30 a.m. 3,333 0,92810:00 a.m. 2,961 0,774 10:00 a.m. 3,045 0,96610:30 a.m. 3,205 0,858 10:30 a.m. 2,901 0,81011:00 a.m. 2,881 0,986 11:00 a.m. 2,713 0,95211:30 a.m. 2,572 0,833 11:30 a.m. 2,545 0,85012:00 p.m. 2,240 0,656 12:00 p.m. 2,273 0,83112:30 p.m. 1,369 0,284 12:30 p.m. 1,249 0,41601:00 p.m. 0,717 0,171 01:00 p.m. 0,564 0,13401:30 p.m. 0,660 0,163 01:30 p.m. 0,674 0,16402:00 p.m. 1,351 0,165 02:00 p.m. 1,501 0,45402:30 p.m. 2,011 0,531 02:30 p.m. 1,938 0,40703:00 p.m. 2,328 0,853 03:00 p.m. 2,247 0,48203:30 p.m. 2,402 0,708 03:30 p.m. 2,333 0,94404:00 p.m. 2,100 0,320 04:00 p.m. 2,214 1,00704:30 p.m. 1,923 0,805 04:30 p.m. 2,175 0,94805:00 p.m. 1,568 0,567 05:00 p.m. 1,566 0,70105:30 p.m. 0,837 0,270 05:30 p.m. 0,854 0,504
60
II.03(2)43
Viernesintervalo Ri Var Ri
08:00 a.m. 1,459 0,20908:30 a.m. 2,564 0,63409:00 a.m. 3,064 0,69609:30 a.m. 3,010 0,79110:00 a.m. 2,995 0,82010:30 a.m. 2,769 0,85211:00 a.m. 2,831 0,94111:30 a.m. 2,761 1,06412:00 p.m. 1,897 0,56212:30 p.m. 1,444 0,29801:00 p.m. 0,672 0,16401:30 p.m. 0,599 0,13002:00 p.m. 1,244 0,49902:30 p.m. 1,800 0,72603:00 p.m. 2,208 0,62603:30 p.m. 2,129 0,87004:00 p.m. 2,197 1,23704:30 p.m. 1,825 0,88805:00 p.m. 1,237 0,55605:30 p.m. 0,707 0,245
Tabla 13: R y Var (R) para cada intervalo (Martes - Jueves - Viernes)
61
II.03(2)43
Apendice F
HEURISTICA GRASSMANN
Agentes Martes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Grassmann
Agentes Jueves
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:3
0 P
M
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:0
0 P
M
5:30
PM
round csr Grassmann
62
II.03(2)43
Agentes Viernes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Grassmann
Figura 20: Agentes calculados por heurıstica Grassmann (Martes - Jueves - Viernes)
63
II.03(2)43
Apendice G
COMPARACION ENTRE INTERVALOS DE
CONFIANZA
Agentes para Intervalo superior Poisson Vs Intervalo superior Var Real
(Martes)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Erlang C Poisson Erlang C Var Real
Agentes para Intervalo superior Poisson Vs Intervalo superior Var Real
(Jueves)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Erlang C Poisson Erlang C Var Real
64
II.03(2)43
Agentes para Intervalo superior Poisson Vs Intervalo superior Var Real
(Viernes)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Erlang C Poisson Erlang C Var Real
Figura 21: Comparacion entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalo superior deconfianza con Varianza Real (Martes - Jueves - Viernes)
65
II.03(2)43
Apendice H
AGENTES EN INTERVALO DE CONFIANZA
SUPERIOR
Agentes Martes (Var)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Agentes Jueves (Var)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
66
II.03(2)43
Agentes Viernes (Var)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Figura 22: Comparacion Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann (Martes - Jueves- Viernes)
67
II.03(2)43
Apendice I
ERLANG X PARA EXCEL
Por medio de esta herramienta para Excel se puede calcular la cantidad de agen-
tes requeridos dado un porcentaje de abandono y de servicio (TSF). Tambien calcula
el TSF y abandono esperado para un determinado numero de agentes.
Instalacion
Para que funcione siempre que se corra Excel debe guardarse la librerıa en la
carpeta de Add-in de Excel. Luego en el menu de Excel tools/add-ins selecciona la
librerıa. Si no listada, hacer click en browse y buscar la librerıa en la carpeta donde
fue guardada. Luego de seleccionada, se asegura que este seleccionada la librerıa de
las que aparecen listadas.
Funciones y Parametros
Funciones
Abandon Calcula el porcentaje de llamadas que abandonaran luego de un tiempo
dado
TSF Calcula el porcentaje de llamadas contestadas antes de un tiempo dado
AgentsAB Calcula la cantidad de agentes requiridos para satisfacer los indicadores
de servicio
Parametros
Aband % de llamadas que abandonaran
68
II.03(2)43
AbandonTime es el tiempo en segundos antes de abandonar e.g. 30
SLA % de llamadas contestadas antes de un tiempo dado
ServiceTime es el tiempo en segundos antes de contestar la llamada e.g. 15
CallsPerHour es el numero de llamadas recibidas en una hora
AHT (Average handle time) es la duracion de la llamada en segundos incluyendo
el tiempo post-llamada e.g 180
69
II.03(2)43
REFERENCIAS
[1] Gans, N., Koole, G., and Mandelbaum, A., “Telephone call cen-ters: Tutorial, review, and research prospects,” Manufacturing & ServiceOperations Management, vol. 5, pp. 79–141, 2003. Versi’øn Online enwww.cs.vu.nl/obp/callcenters.
[2] Grassmann, W. K., “Finding the right number of servers in real-world sys-tems,” Interfaces, vol. 18, pp. 94–104, 1988.
[3] Hall, R. W., Queueing Methods: For Services and Manufacturing. Prentice-Hall, 1991.
[4] Jongbloed, G. and Koole, G., “Managing uncertainty in call centers usingpoisson mixtures,” Applied Stochastic Models in Business and Industry, vol. 17,pp. 307–318, 2001.
[5] Koole, G., “Call center mathematics: A scientific method for understan-ding and improving contact centers.” Versi’øn: Octubre 24 2003. Online:www.cs.vu.nl/ koole/ccmath.
[6] Kuhl, M. E. and Wilson, J. R., “Least squares estimation of nonhomoge-neous poisson processes,” Journal of Statistical Computation and Simulation,vol. 67, pp. 75–108, 2000.
[7] Leemis, L. M., “Nonparametric estimation of the cumulative intensity functionfor a nonhomogeneous poisson process,” Management Science, vol. 37, pp. 886–900, 1991.
[8] Ross, A. M., Queueing systems with daily cycles and stochastic demand withuncertain parameters. PhD thesis, University of California, Berkeley, 2001.
[9] Whitt, W., “Stochastic models for the design and management of customercontact centers: some research directions.” Working Paper, 2002.
70
Análisis de Capacidad de un CallCenter de una Entidad Financiera
Pablo Andrés García HurtadoDiciembre 11 2003
Agenda• Introducción• Descripción Call Center• Análisis de los Datos• Análisis de Arribos• Matemáticas en Call Centers• Modelo Erlang C• Modelo Erlang X• Incertidumbre en los arribos• Modelo Grassmann• Intervalo de Confianza• Recomendaciones
Introducción
Problema:
• Servicio que se va a ofrecer a bajo costo• Número de recurso instalado
Descripción del Call Center
El área de servicio al cliente es la encargada de responder a todas las inquietudes de los clientes corporativos que sean después de realizar una operación, ya sea de forma electrónica o manual.
– Call Center Principal– Área de Investigación– Servicio VIP– Área de Datos
Interacción entre las áreas
Análisis de los Datos
Datos Reportados
•Datos agrupados en intervalos de media hora.•Llamadas totales por intervalo.•Tiempos Promedios•Datos desde Junio 2002 – Julio 2003
Ejemplo de Reporte
7322:092:310:4630:051217:30
1006,929:174:470:0000:021417:00
1006,112:302:280:0000:041116:30
906,27:543:150:0510:051816:00
95713:062:510:0000:041915:30
606,735:573:350:0510:211915:00
1007,334:122:230:0000:021914:30
95818:092:470:0210:031814:00
10081:363:020:0000:031813:30
10080:004:340:0000:031013:00
8985:583:390:0000:07912:30
10093:161:470:0000:022212:00
10093:581:570:0000:022511:30
81927:282:400:0320:093911:00
89919:292:480:0000:054410:30
64915:403:200:1730:176010:00
62917:032:440:0620:196409:30
9196:502:400:1810:045609:00
829,97:112:130:1740:068408:30
608,90:552:130:28130:177408:00
TSFSTAFFWUTATTABTABAND CALLSASAACD CALLSINTERVALO
Análisis de las llamadas por mesesPromedio diario mensual ponderado
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Jun0
2
Jul0
2
Aug
02
Sep
02
Oct
02
Nov
02
Dec
02
Jan0
3
Feb0
3
Mar
03
Apr
03
May
03
Jun0
3
Jul0
3
mes
Llam
adas
dia
rias
prom
edio
1,75705,43F critP-valueF
Anova: Todos los meses
Análisis de las llamadas por meses
Existe diferencia entre los meses. Sin tener en cuenta los meses picos y valles los resultados son los siguientes:
1,6291,8761,515F crit 10%F crit 5%F
Anova: Sin incluir Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002
Los meses tienen el mismo número de llamadas sin tener en cuenta los meses Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002.
Análisis de las llamadas por semanasAnalisis Llamadas por Semana
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Semana1 Semana2 Semana3 Semana4
Prom
edio
Lla
mad
as p
or D
ia
Anova: Todos los meses
2,7980,3841,039F critP-valueF
A pesar de la diferencia numérica entre las semanas, no hay evidencia suficiente para rechazar la igualdad de los valores.
Análisis de las llamadas por díasComportamiento dias de la semana
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
lunes martes miercoles jueves viernes
Dias
Prom
edio
llam
adas
por
dia
2,4040,0014,784F critP-valueF
Anova: Todos los meses
Anova: Sin incluir Junio, Julio y Diciembre
2,4130,0043,952F critP-valueF
Entre los días de la semana existe variabilidad suficiente para afirmar que son diferentes entre ellos.
Análisis de los Datos
•Sin tener en cuenta los meses picos Junio 2002 y Julio 2002 y el mes valle Diciembre 2002, las llamadas en los meses del año se comportar de manera similar.•Las semanas de los meses tienen igual número de llamadas en promedio por día.•Existe diferencia entre la cantidad de llamadas recibidas entre los días de la semana.
Análisis de Arribos
Varianza(Poisson) = media(poisson)
Coeficiente de Variación (cv) = Desviación Estándar / Media
Proceso de Poisson no Homogéneo•Tasa de arribos cambia a través del tiempo.•Pequeños intervalos se comportan como un proceso de Poisson.
λλλ 1)var(
22 ==cv
Proceso de Poisson no HomogéneoLunes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8
COEFICIENTE
1/M
EDIA
Viernes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4
COEFICIENTE1/
MED
IA
La tasa de arribos de las llamadas es más variable que un proceso de Poisson.
Proceso de Poisson no Homogéneo
• Se cumplen los siguientes supuestos:
No hay dependencia entre la llegada de las llamadas.Las llamadas entran al sistema una a una.
• La tasa de arribos de las llamadas es más variable que un proceso de Poisson.
Tener cuidado si validamos el supuesto de arribos Poisson
Matemáticas en Call Centers
•Definición de un nivel de servicio•Análisis de diferentes escenarios
Los modelos matemáticos son una aproximación a la realidad!!
Modelo Erlang C
Analiza el rendimiento de un sistema estacionario.
Supuestos– Arribos se comportan Poisson– Tiempos de servicio exponenciales– No hay abandonos
Modelo Erlang C[ ]ii
i
ii SER λµ
λ ==Se define Ri como:
NRN iiii == µλρUtilización promedio del sistema:
P{Wait > 0} = C( N , Ri )
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
∑
∑−
=
−
=
NRNR
mR
mRRNC
i
Ni
N
m
mi
N
m
mi
i
11
!!
!1,
1
0
1
0
Modelo Erlang C
[ ] ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
iii N
RNCWaitEASAρµ 1
111,
{ } ( ) ( )TNi
iieRNCTWaitPTSF ρµ −−−=≤= 1,1
Ni = min { N | TSF ≥ TSF* }
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C
KK
K
ii
K
ii ∑∑
== 11 ;λµ TSF = 95%
Tiempo Servicio = 15 seg
Aplicación Modelo Erlang C
TSF Real vs TSF Erlang C (Lunes)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
TSF Real vs TSF Erlang C (Miercoles)
0,86
0,88
0,9
0,92
0,94
0,96
0,98
1
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
TSF calculado TSF Real
Conclusión•No es muy preciso con la realidad•Supuesto arribos Poisson•No abandonos
•Facilidad en los cálculos•Tiene en cuenta indicadores importantes.
Aplicación Modelo Erlang C
Modelo Erlang X
Extensión modelo Erlang C, tiene en cuenta las llamadas abandonadas del sistema.
Supuestos– Arribos se comportan Poisson.– Tiempos de servicio exponenciales.– Probabilidad de abandonar no depende
del tiempo que se lleva en cola.
Modelo Erlang X
{ } ( ) ( )TNi
iieRNCTWaitPTSF ρµ −−−=≤= 1,1
( ) ( )TNi
iieRNCAband ρµ −−= 1,
{ }** ;|min AbandAbandTSFTSFNNi ≤≥=
T = Tiempo promedio en que una llamada es abandonada.
T = Tiempo promedio antes de ser contestada una llamada.
Aplicación Erlang X
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Erlang C Erlang X 2% 30 seg
Abandono = 2%Tiempo Abandono = 30 seg
TSF = 95%Tiempo Servicio = 15 seg
Conclusión•Supuesto arribos Poisson•Fuerte supuesto en probabilidad de abandonos.•Facilidad en los cálculos
•Tiene en cuenta todos los indicadores de servicio requeridos.•Una forma de disminuir la incertidumbre del sistema.
Aband Real vs Aband Erlang X (Lunes)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Aband Erlang X Aband Real
Aband Real vs Aband Erlang X (Miercoles)
00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Aband Erlang X Aband
Aplicación Erlang X
Incertidumbre en los Arribos
Fuentes de Incertidumbre– Incertidumbre del modelo.– Incertidumbre del parámetro.– Incertidumbre del proceso.
Para manejar esta incertidumbre se propone el modelo de Grassmann y cálculos con intervalo de confianza.
Modelo Grassmann[ ]ii
i
ii SER λµ
λ ==Se define Ri como:
iii RzRN α+=
Donde zα es el percentil de una distribución normal estándar llamado factor de seguridad.Para tener en cuanta la variabilidad, el número de agentes es:
( )iiii RRzRN var++= α
Agentes Lunes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Grassmann
Agentes Miercoles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
round csr Grassmann
Conclusión•Los agentes necesarios son muy cercanos a la realidad.•Diferencia a las horas donde menos flujo se recibe.
•Tiene en cuenta la variabilidad de los arribos.•Difícil aclaración de los factores de servicio.
Aplicación Modelo Grassmann
Intervalo de ConfianzaPara tener en cuenta la incertidumbre de la tasa de arribos se crea un intervalo de confianza para las llamadas recibidas.
K
K
ii∑
=∧
= 1λ
λSe estima la tasa de arribos:
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+− −− K
VarzK
Varz λλλλ ββ 2121 ;
Aplicación Intervalo de ConfianzaAgentes Lunes (Var)
0123456789
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Agentes Miercoles (Var)
0123456789
10
8:00
AM
8:30
AM
9:00
AM
9:30
AM
10:0
0 A
M
10:3
0 A
M
11:0
0 A
M
11:3
0 A
M
12:0
0 P
M
12:3
0 P
M
1:00
PM
1:30
PM
2:00
PM
2:30
PM
3:00
PM
3:30
PM
4:00
PM
4:30
PM
5:00
PM
5:30
PM
Grassmann Erlang C Var Real Erlang X Var Real
Conclusión•Se tiene en cuenta la variabilidad real de las llamadas.•Ayuda en el análisis de escenarios.
•Ayuda a definir agentes fijos y flexibles.•Mantiene los mismos supuestos del modelo Erlang.
Recomendaciones
• Tener un modelo de capacidad de agentes fijos y flexibles.
• Uso del modelo Erlang X: tiene en cuenta el porcentaje de abandono.
• Hacer uso del intervalo de confianza para mayor precisión en el análisis de escenarios.
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