ANALISIS DE CUPULAS

TEORIA DE LA MEMBRANA

N r

1 d

dN

r1

d

d

N r

0d

d

N r0

d

d p r

0 r

1 0

N r

0 d

dN

r0

d

d

N r

1d

d

N r1

d

d p r

0 r

1 0

N

r2

N

r1

pz

0

Para los sistemas de cascaras, que son simétricas alrededor de sus ejes de la revolución, todos los términos puramente geométricas que implican dθ desaparecen

N r

1 d

dN

r0

d

d

N r0

d

d p r

0 r

1 0

2 1( )

N r

0 d

dN

r0

d

d

N r1

d

d p r

0 r

1 0

N

r2

N

r1

pz

0

Cuando la carga es simétrica respecto al eje, todos los términos que δθ se desvanecen y los términos en δϕ se puede escribir como diferenciales totales dϕ, ya que nada varía con θ

El componente circunferencial de la carga, pz, es igual a cero, y las resultantes de tensiones de cizalla desaparecen a lo largo de los meridianos y círculos paralelos. De ahí que la primera de las ecuaciones. (2-1) desaparece y los dos restantes se reducen a:

N r

0 d

dN

r0

d

d

p r0

r1

0

2 2( )N

r2

N

r1

pz

0

Así, la teoría de membrana para las cúpulas axisimétrica bajo carga axisimétrica requiere la solución de (2-2) para las dos fuerzas resultantes de la membrana Nθ y Nϕ. La primera

de las ecuaciones (2-2) se puede escribir de otra forma que permita una solución más simple

cos ( )

r0

d

d

1

r1

r0

d

dr

1cos ( )

Sustituyendo en (2-2) conseguimos

N r

0 d

dN r

1 cos ( ) p r

0 r

1 0

Observamos el efecto del Nθ en la dirección del meridiano podran haber sido

obtenidos directamente de la figura 2-1b señalando los lados meridiano del elemento para un ángulo dθcosϕ entre si. Así, en la dirección meridional, habrá un componente de la resultante de tensión circular en sentido negativo

N r1

d cos ( )

que, cuando los multiplicadores son omitidos, se reduce a

N r1

cos ( )

La segunda ecuacion de (2-2) puede ser simplificada a:

a( )N

r0

sin ( ) p

z

N

r1

y cuando (a) es introducido dentro del a primera ecuacion de (2-2) and cada termino es multiplicado por sinϕ, obtenemos:

sin ( )

N r0

d

d sin ( )

r0

sin ( ) p

z

N

r1

r1

cos ( ) sin ( ) p r0

r1

0

que cuando multiplicamos por 2π y integramos con respecto a ϕ

0

sin ( )

N r0

d

d

d

0

N r cos ( )

d1

2

0

p sin ( ) p

zcos ( ) 2 r

0 r

1

d b( )

La primera integral puede ser integrada por partes en la forma:

vu

d u v uv

d

donde

u sin ( )

du cos ( ) d

dv d N r0

d d d

v N r0

El lado izquierdo de (b) se conviertem en:

sin ( ) N r0

0

N r

0 cos ( )

d

0

N r

0 cos ( )

d

Y por lo tanto (b) se simplifica a:

c( )

N1

2 r0

sin ( )

0

p sin ( ) p

zcos ( ) 2 r

0 r

1

d

La expresión (pϕsin ϕ + pz cos ϕ) da la componente vertical de la carga. 2πr0 resume

esta carga vertical sobre un círculo paralelo completo, y r1 dϕ se integra la carga

vertical a lo largo de un meridiano. Por lo tanto la integral en (c) representa la carga vertical total de la figura 2.3 por encima del círculo paralelo definido por ϕ. La cantidad Nϕ 2πr0sen ϕ es fácil de ver como el componente vertical de Nϕ total en el círculo

paralelo ϕ.Por lo tanto Nϕ se puede escribir directamente como

NR

2 sin ( ) 2 3a( )

y de (a)

NR

2 r1

sin ( )2

pz

r0

sin ( ) 2 3b( )

Varias condiciones de carga específica sobre las cúpulas se describirá a continuación para ilustrar el uso de (2-3)

CUPULAS ESFERICAS

Carga uniforme sobre la superficie del domo. En el caso importante de la cúpula esférica de espesor uniforme con carga muerta, r1= r2 = a, pϕ = q sin ϕ y pz = q cos ϕ, donde q es la

carga muerta del cascaron, y

R 2 a2 q

0

sin ( )

d

2 a2 q

0

sin ( )

d simplify 2 a2 q cos ( ) 1( )

y (2-3) se convierte en:

2 4( )N a q

1

1 cos ( )

N a q1

1 cos ( )cos ( )

T N a sin ( ) cos ( )

0

N a

d T 0

Donde el borde libre ocurre a 51°50', Tϕ sera un maximo. Donde

90

T 0

0

N a

d T

0

90

a N

d

0

2

N a

d 0

Carga uniforme sobre una proyeccion horizontal de la superficie de la cupula

pz

p cos ( )2

p p sin ( ) cos ( )

p 0

En este caso:

R p r0 2 p a

2 sin ( )2

2 6( )N

a p2

N a p cos ( )2

a p( )

2 a

a p2

2 cos ( )2 1

2 7( )N

a p2

cos 2 ( )

CUPULAS ESFERICAS

carga uniforme sobre la superficie del domo

en el importante caso de la esférica hecho de espesor uniforme con carga muerta

r1

aa r2

aa

p q sin ( )q

pz

q cos ( )z

donde q es el Peso muerto de la cascara , y

R 2 a2 q

0

sin ( )

d a

R 2 a2 q cos 90( ) 1( )

muestran la distribución de las dos resultantes de tensiones de membrana en un hemisferio. Los valores meridional, que son aumentar la compresión de la corona hasta el borde. Los valores aro disminución de una compresión máxima a la corona a cero cuando

y de (2-3) tenemos

N a q1

1 cos ( ) a ec (2-4)

N a q1

1 cos ( )cos ( )

ec (2-5)

cos ( )1

1 cos ( )

o alrededor de 51 ° 50 ', luego la cúpula no se puede proporcionar con una tangente de apoyo al meridiano como en la figura 2-5a. Cuando el apoyo es sólo vertical, como se muestra en la figura 2-5b, habrá una incompatibilidad en la fuerza de borde ya que el apoyo no proporciona un sistema de retención horizontal para resistir el empuje horizontal

H N cos ( )N

Un anillo de tensión puede ser proporcionada en el borde de la cúpula para resistir la fuerza del anillo,

T N a sin ( ) cos ( )N

ya que esta tensión puede ser grande por lo general es necesario el uso de un anillo de refuerzo de borde con refuerzo. La tensión en un anillo es la tracción, en donde como cepa cúpula aro es por lo general a la compresión y rara vez será igual que en el ring. Esta incompatibilidad de las cepas no puede existir, por lo que debe ocurrir a lo largo de la flexión de los meridianos. La solución del problema de la cúpula de anillo curvado se discute en el cap. 4. Cuando la cúpula se apoya verticalmente, el equilibrio de la tensión horizontal resultans membrana se debe obtener Whitin la cúpula de tal manera que0

N a

d T 0

0

N a

d

en el borde libre se producen en el 51 ° 50 ' Tϕ será de un máximo

2.5.-Desplazamientos de la teoria de la menbrana para cupulas cargadas simetricamente con respecto a sus ejes

x0

x0

ax

r0

r x

x

rx

r2

x

y

y0

y0 r

yr1

ya

yr1

r

1

r0

ud

d

r0

r1

r0

d

d

w

r2

r

1

r1

d

d

u

r0

r1

r1

d

d

w

r1

1

r1

d

d

u

r0

r1

r1

d

d

w

r1

Debido a la asimetria axial , los terminos:

r

1d

d ud

d

r1

d

d ud

d0

ud

d

r0

d

dr1

cos ( )

r0

d

dahora

r0

cos ( )w

r2

r0

cos ( )w

r2

1

r1

d

d

w

r1

1

r1

d

d

w

r1

Estas expresiones pueden ser obtenidas directamente

d

d

1

tan ( )( ) r

1 r

2

1

ahora

1

Eh

N N 1

Eh

N N b( )

1

Eh

N N 1

Eh

N N c( )

Cuando sustituimos b y c en a

d

d

1

tan ( )

1

Eh

N r1

r2

N r2

r1

1

Esta ecuacion se puede resolver por integracion donde:

f ( )1

Eh

N r1

r2

N r2

r1

N

y

d

d

1

tan ( ) f ( )

1

La solucion general podria ser:

sin ( ) f ( )

sin ( )

d C

Donde C es una contante detrminada por las condiciones de frontera ,Una vez que ν es determinado, w puede ser derivado

w 1

tan ( ) r

2

w 1

tan ( ) r

21

Eh

N N

ahora :

y

r

1

1

r1

wd

d

r

1

1

r1

wd

d

1

Eh

N N r0

H

1

H

r2

sin ( )

Eh

N N H

r2

sin ( )

Eh

N N La rotacion del meridiano en el borde sera:con 0

1

tan ( ) r1

d

d

r2

1

Eh

N N

d

d

1

tan ( ) r1

d

d

r2

1

Eh

N N

d

d

nosotros encontramos

1

tan ( ) r1

Eh

N r1

r2

N r2

r1

H

sin ( )

d

d

1

r1

1

tan ( ) r1

Eh

N r1

r2

N r2

r1

H

sin ( )

d

d

1

r1

1

tan ( ) r1

Eh

N r1

r2

N r2

r1

H

sin ( )

d

d

1

r1

Donde solo el movimieto horizontal es requerido, no es necesario determinar ν,w o Δ ni que N y N como funciones matematicas de. Es solo necesario calcular N y N en el borde.Como un ejemplo, dejanos derivar el desplazamiento en el borde de un espesor constante de una cupula esferica, donde r1=r2=a, =0 en el borde

r1

aaa

r2

aaa

vH

a2 q

Eh

1 ( )

1 cos ( )cos ( )

sin ( )H

a2 q

Eh

1 ( )

1 cos ( )cos ( )

sin ( )H

a2 q

Eh

1 ( )

1 cos ( )cos ( )

sin ( )

aq

Eh

2 ( ) sin ( ) aq

Eh

2 ( ) sin ( ) aq

Eh

2 ( ) sin ( )

2.6.-Flexion en cascaras de revolucion bajo crags simetricas cercanos a sus ejes de rotacion

Para cascaras de revolucion:

r1

Nd

d

N r0

d

d

N r0

d

d

Q r1

sin ( ) p r0

r1

0r1

Nd

d

N r0

d

d

N r0

d

d

Q r1

sin ( ) p r0

r1

r1

Nd

d

N r0

d

d

N r0

d

d

Q r1

sin ( ) p r0

r1

N r

0 d

d

N r0

d

d

r1

Nd

d

Q r0

p r0

r1

0

N r0

d

d

N r0

d

d

r1

Nd

d

Q r0

p r0

r1

N r0

d

d

N r0

d

d

r1

Nd

d

Q r0

p r0

r1

r1

Qd

d

Q r0

d

d

N r0

N r1

sin ( ) pz

r0

r1

0r1

Qd

d

Q r0

d

d

N r0

N r1

sin ( ) pz

r0

r1

r1

Qd

d

Q r0

d

d

N r0

N r1

sin ( ) pz

r0

r1

M r0

d

d M

r0

d

d

r1

Md

d

Q r0

r1

0

M r0

d

d M

r0

d

d

r1

Md

d

Q r0

r1

M r0

d

d M

r0

d

d

r1

Md

d

Q r0

r1

r1

d

d

M r

0d

d

M r0

d

d

Q r0

r1

0r1

d

d

M r

0d

d

M r0

d

d

Q r0

r1

r1

d

d

M r

0d

d

M r0

d

d

Q r0

r1

Que para para cargas asimetricas y con:

r0

d

dr1

cos ( )

r0

d

dr

0d

dN r

0 d

dN r

1 cos ( ) Q r

0 p r

0 r

1 0

N r

0 d

dN r

1 cos ( ) Q r

0 p r

0 r

1

N r

0 d

dN r

1 cos ( ) Q r

0 p r

0 r

1

2 44( )

2 44( )

Q r

0 d

dN r

1 sin ( ) N r

0 p

zr

0 r

1 0

Q r

0 d

dN r

1 sin ( ) N r

0 p

zr

0 r

1

Q r

0 d

dN r

1 sin ( ) N r

0 p

zr

0 r

1

falta 1 ecuacion

De las anteriores expresiones obtenemos los esfuerzos resultantes:

N Kr0

cos ( )w

r2

r1

wd

d

w

r1

N Kr0

cos ( )w

r2

r1

wd

d

w

r1

N K1

r1

d

d

w

r1

r0

cos ( ) w

r1

N K1

r1

d

d

w

r1

r0

cos ( ) w

r1

y para esfuerzos de pareja

M Dr1

1

r1

wd

d

cos ( )

r0

r1

r

1

1

r1

wd

d

d

d

M Dr1

1

r1

wd

d

cos ( )

r0

r1

r

1

1

r1

wd

d

d

d

M D1

r1

r1

1

r1

wd

d

d

d

r1

wd

d

1

r1

cos ( )

r0

M D1

r1

r1

1

r1

wd

d

d

d

r1

wd

d

1

r1

cos ( )

r0

La 7 ecuaciones vistas contienen 7 incognitas, 3 esfuerzos resultantes(N ,N y Q ), 2 parejas de esfuerzos(M yM) y dos desplazamientos y w

Estos se reducen a :

V1

r1

wd

d

r

y

U r2

Q0

r

Nosotros reemplazamos la primera de la ecucuon 2-44 por una expresion vertical equilibrada, solo como fue hecho para derivar , basado en la teoria de membrana

2 r0

N 2 r0

Q0

cos ( ) r 02

del cual:

N Q1

tan ( )

R

2 r0

sin ( )

N Q1

tan ( )

R

2 r0

sin ( )

N1

r1

sin ( ) Q r

0 d

d

Q r0

1

tan ( ) r1

sin ( )

R

2 r1

sin ( )( )2

pz

r0

sin ( )

N1

r1

sin ( ) Q r

0 d

d

Q r0

1

tan ( ) r1

sin ( )

R

2 r1

sin ( )( )2

pz

r0

sin ( )